Výroba oceli
Hutnické listy č.3/2008
Model minimalizace technologického zbytku pro ZPO 1 v TŽ, a.s. Ing. Miroslav Honzák, TŘINECKÉ ŽELEZÁRNY, a. s., Průmyslová 1000, 739 61 Třinec – Staré Město,Třinec Ing. Jan Morávka, Ph.D., Třinecký inženýring, a. s., Frýdecká 126, 739 61 Třinec – Staré Město Prof. Ing. Karel Michalek, CSc., VŠB-TU Ostrava, 17. listopadu 15, 708 33 Ostrava-Poruba
Článek obsahuje popis matematicko-statistické analýzy variant odlévaných formátů na ZPO 1 v Třineckých železárnách, a.s. při různých licích rychlostech na jednotlivých licích proudech a při určitém rozsahu hmotností oceli v posledních tavbách sekvencí. Cílem analýzy bylo zmapovat možnosti minimalizace technologického zbytku pro existující varianty a navrhnout způsob realizace této minimalizace pomocí algoritmu SW realizovaného modelu minimalizace technologických zbytků.
1. Úvod Od roku 2005 je v Třineckých železárnách, a.s. (TŽ) řešen výzkumný úkol (VÚ) s názvem „Vývoj modelu a jeho implementace pro zmenšení odpadu z poslední tavby odlité v sekvenci na blokovém zařízení plynulého odlévání“. V rámci řešení VÚ bylo nutné analyzovat, modelovat, simulovat a posléze SW implementovat model minimalizace technologického zbytku (MMTZ) na pracovišti ZPO 1 v TŽ, a.s., který bude pracovat v součinností s paralelně analyzovaným a vytvářeným modelem směsných oblastí (MSO).
2. Přehled potřebných údajů Před samotným matematickým modelováním byla uskutečněna, jak matematická analýza příslušných úloh matematického programování a tzv. „řezného“ problému [1], [2], [3], tak i analýza potřebných vstupních veličin modelu [4]. Velice stručný výběr z výsledků analýzy je možné shrnout následovně: • v technologických předpisech jsou uvedeny předpokládané (povolené) tzv. zadní technologické zbytky (z_max) v posledních tavbách sekvencí, • rozmezí zákazníky požadovaných odlévaných délek předlitků činí: u všech formátů kruhových předlitků 2.6 ÷ 6.5 m, u předlitků pravoúhlých 300 x 350 mm 4 ÷ 9 m, • asi 1/3 sekvencí byla ukončena fyzicky a 2/3 tvořily tzv. letmé výměny mezipánví, • v současnosti je užívaných 6 variant odlévaných formátů na licích proudech – tab.1:
Tab.1. Používané varianty (V) odlévaných formátů [mm] na licích proudech ZPO 1 Tab. 1. Applied variants (V) of cast formats (mm) in casting streams of the continuous casting machine (ZPO) no. 1.
V 1 2 3 4 5 6a 6b
LP5 LP4 LP3 LP2 LP1 300x350 300x350 300x350 300x350 300x350 ∅ 320 ∅ 320 ∅ 320 ∅ 320 ∅ 320 ∅ 410 ∅ 410 ∅ 410 ∅ 410 ∅ 410 ∅ 525 ∅ 525 ∅ 525 ∅ 525 ∅ 525 ∅ 525 ∅ 410 ∅ 525 ∅ 525 ∅ 525 ∅ 525 ∅ 410 ∅ 410 ∅ 410 ∅ 410 ∅ 410 ∅ 410 ∅ 525 ∅ 525
3. Matematický model variant odlévání Na základě určitých zjednodušujících předpokladů a bilančních rovnic byl sestaven matematický model variant odlévání předlitků na ZPO 1 v TŽ, a.s., ze kterého lze získat závislosti celkového technologického zbytku na vstupních parametrech. 3.1 Matematický model technologických zbytků Deterministický matematický model variant odlévání byl vytvořen na základě následujících zjednodušených skutečností a předpokladů: • přehřátí oceli je konstantní pro celou tavbu, • licí rychlosti jsou konstantní pro celou tavbu, • přesnost měření veličin je absolutní, • všechna ocel z LP je odlita beze zbytku, • k ukončení odlévání na jednotlivých licích proudech dojde ve stejném okamžiku. Matematický model vychází z rovnic pro odlitou délku a hmotnost předlitků na licích proudech – viz obr.1 (kde jsou: LP – licí pánev, MP – mezipánev, KR – krystalizátory):
35
Hutnické listy č.3/2008
Výroba oceli
m1i - tzv. metrové hmotnosti odlévaných formátů na licích proudech [kg/m], vi - licí rychlosti na licích proudech [m/min], ki - počet různých požadovaných délek předlitků na licích proudech, j - index délek předlitků, j = 1, 2, … ki, dij - požadované délky předlitků na licích proudech [m], pokud ki = 1, pak dij = di.
LP M
MP
Výstupy (výstupní parametry):
KR
⇒ tT - doba tavby [min]: f1
f2
f3
f4
f5
tT =
dij
M
,
(4)
n
∑m
1i
⋅vi
i =1
⇒ sTi - celkové odlité délky předlitků v tavbě na licích proudech [m]: v1
v2
v3
v4
v5
sTi = vi ⋅ tT ,
Obr. 1. Schematické znázornění ZPO 1 Fig. 1. Schematic picture of the continuous casting machine (ZPO) no. 1
⇒ dpi - průměrné požadovaná délka předlitků v tavbě na licích proudech [m]:
d pi =
si = vi ⋅ t ,
(1)
Mi = m1i ⋅ si = m1i ⋅ vi ⋅ t ,
(2)
(5)
1 ki ⋅ ∑ d ij , k i j =1
(6)
⇒ pi - počet předlitků požadovaných délek v tavbě na licích proudech [m]:
kde je: n - počet funkčních licích proudů, i - index licích proudů, i = 1, 2, … n, si - odlitá délka předlitku na licím proudu i za čas (v čase) t [m], vi - průměrná licí rychlost na licím proudu i [m/min], t - čas odlévání v rámci tavby [min], m1i - metrová hmotnost předlitku na licím proudu i [kg/m], Mi - odlitá hmotnost předlitku na licím proudu i v čase t [kg].
⇒ zi, mzi - délky a hmotnosti zadních technologických zbytků v tavbě na licích proudech [m], [kg]:
Pro všechny (funkční) licí proudy a celou tavbu pak platí bilanční rovnice:
⇒ Z, mZ - délka a hmotnost celkového zadního technologického zbytku tavby [m], [kg]:
n
n
M = ∑Mi = tT ⋅ ∑m1i ⋅vi , i =1
(3)
i =1
kde je M - hmotnost oceli v tavbě [kg], tT - doba tavby [min]. Z uvedených rovnic lze pak přehledně definovat vstupy a výstupy (tyto v navazujícím pořadí svého výpočtu), a tím i poměrně jednoduchý výpočtový algoritmus modelu [5]: Vstupy (vstupní parametry): n - počet funkčních licích proudů, na ZPO 1 je n = 5, pro variantu č.4 n = 4, i - index licích proudů, i = 1, 2, … n = {1, 2, 3, 4, (5)}, M - hmotnost oceli v licí pánvi = hmotnost oceli v tavbě [kg], fi – obecné obsazení licích proudů formáty, např. {300, 320, 0, 410, 525} [mm],
36
s pi = Ti , d pi
(7)
kde [x] označuje dolní celou část výrazu, čísla x,
s z i = sTi − Ti ⋅ d pi = sTi − pi ⋅ d pi , d pi
(8a)
mzi = m1i ⋅ z i ,
(8b)
n
Z = ∑ zi ,
(9a)
i =1
n
mZ = ∑ mzi .
(9b)
i =1
Jak je z uvedených rovnic vidět, mezi finální výstupy modelu patří délky a hmotnosti zadních technologických zbytků na licích proudech zi, mzi, jako i celková délka a hmotnost tohoto zbytku v tavbě Z, mZ. 3.2 Závislost technologického zbytku na vstupních parametrech Pokud uvažujeme jako základní vstupní proměnnou veličinu hmotnost oceli v tavbě M [t], pak je možné pro různé varianty dalších vstupních veličin odvodit funkční vztahy pro celkový technologický zbytek Z [m].
Hutnické listy č.3/2008
Výroba oceli
Na obr.2a jsou zobrazeny průběhy závislosti pro nejjednodušší varianty vstupních parametrů, tj. na všech licích proudech jsou stejné (a konstantní): formáty a délky předlitků, jako i licí rychlosti, na obr.2b pak pro různé licí rychlosti na proudech:
Carlo (stochastická simulace) v programu Matlab. 4.1 Deterministická simulace Základní okno deterministického modelu v tabulkovém procesoru Excel je viditelné na obr.3.
Z [m]
∆Z = n.d n.d = 5.d
k = 1000/m1 Mt min
∆Mt = 5.m1.d/1000
Mt max
Mt [t]
Obr. 2a. Průběhy celkového zadního zbytku v závislosti na stejných množinách vstupních parametrů Fig. 2a. Pass of a complete back residue in relation to the same set of input parameters
Z [m]
∆Z = d
n.d = 5.d
Obr. 3. Výstupy deterministické simulace – Excel Fig. 3. Outputs of a deterministic simulation - Excel
Na obr.4 je zobrazena závislost Z, Z + maxz na licí rychlosti pro určité hodnoty vstupních parametrů a při hmotnosti oceli v LP 155 t z programového systému Matlab: 16 Z + maxz Z
k = 1000/m1 Mt min
∆Mt = m1.d/1000
Mt max
Mt [t]
Obr. 2b. Průběhy celkového zadního zbytku v závislosti na vstupních parametrech – různé licí rychlosti Fig. 2b. Pass of a complete back residue in relation to the input parameters – various cast speeds
Z odvozených vztahů [5] a obr.2 je zřejmé, že závislost celkového zadního zbytku na hmotnosti oceli v licí pánvi (v tavbě) má charakter soustavy úseček (přímek) se stejným sklonem a konstantním rozestupem. Jde o závislost víceznačnou a tím i nejednoznačnou. Kritické („zlomové“) hmotnosti oceli v LP jsou v „ideálním“ případě rovny celočíselnému násobku součinu počtu licích proudů, metrové hmotnosti a délky předlitků. V případě s nestejnými licími rychlostmi jsou kritické hmotnosti n-krát (počet licích proudů) hustěji a pravidelně umístěné, tj. jde o celočíselné násobky metrové hmotnosti a délky předlitků.
4. Analýza variant Analýza variant odlévání byla uskutečněna podle vytvořeného deterministického modelu i algoritmu, jak ve statickém režimu (deterministická simulace) v tabulkovém procesoru Excel a v matematickém programovém prostředí Matlab, tak i v režimu Monte
14
12
10
8
6
4 0.52
0.54
0.56
0.58
0.6
0.62
0.64
0.66
0.68
0.7
0.72
Obr. 4. Výstupy deterministické simulace – Matlab Fig. 4. Outputs of a deterministic simulation - Matlab
Deterministická simulace sloužila hlavně ke „zmapování“ situace a ke stanovení vhodných kritérií minimalizace technologického zbytku. Příklad závislosti různých navržených kritérií minimalizace na licí rychlosti v5 v rozmezí 0.52-0.72 m/min (pro stejné v1 = v2 = v3 = v4 = 0.65 m/min) pro vstupní parametry: Mt = 155 t, d = 5 m, m1 = 1000 kg/m je uveden na obr.5.
37
Výroba oceli
Hutnické listy č.3/2008
Mt = 155 t, d = 5 m, m1 = 1000 kg/m
60
18 Z*maxz
15
maxz
40
12
Z+maxz
30
9
20
6
10
3
0 0.50
0.55
0.60
0.65
maxz [m]
Z.maxz [m]
50
0 0.75
0.70
v5 [m/min] Obr. 5. Závislost kritérií maxz, Z+/*maxz na licí rychlosti v5 (LP5) Fig. 5. Dependence of maxz criteria, Z+/*maxz dependence on the cast speed v5 (LP5)
Celkový zadní zbytek Z vykazuje pro závislost na licí rychlosti intervalově konstantní hladiny, směrodatná odchylka má více (2 nebo 3) globálních maxim - viz obr.6.
optimální licí rychlosti na licím proudu, kdy je současně celkový technologický zbytek i maximální délka zbytku na jednom licím proudu (jejich součet) minimální. Toto kritérium optimality (minima technologického zbytku) se tedy jeví jako velice vhodné. 4.2 Stochastická simulace V programovém systému Matlab byl vytvořen program pro stochastickou simulaci. Výhodou tohoto modelu je jeho jednoduchá modifikovatelnost s možností zadat různé varianty vstupních parametrů a hlavně výpočet i zobrazení pro celý rozsah hmotností oceli v LP. Na obr.7 je pro názornost viditelné zobrazení závislosti délky celkového zbytku Z [m] a kritéria Z + maxz [m] na hmotnosti oceli, na obr.8 délky zbytků z [m] na všech licích proudech pro minimální celkový zbytek (grafické výstupy z matematického programu Matlab). 25 Z Z + maxz
20
Mt = 155 t, d = 5 m, m1 = 1000 kg/m
1.5
15 soz
15
10 Z [m]
soz [m]
Z
1
0.5
0 0.50
5
0.55
0.60
0.65
0.70
0 0.75
v5 [m/min] Obr. 6. Závislost kritérií soz, Z na licí rychlosti v5 (LP5) Fig. 6. Dependence of soz criteria, Z dependence on the cast speed v5 (LP5)
10
5
0 155
160
165
170
175
180
185
190
195
200
205
Obr. 7. Grafy závislostí stochastického modelu v SW Matlab: závislost Z, Z + maxz na M Fig. 7. Dependence graphs of a stochastic model in SW Matlab: dependence Z, Z + maxz on M
0.25
Z obr.5 a obr.6 je zřejmé, že minimální celkový zbytek Z je rovný 5 m a současně nejmenší maximální zbytek na licích proudech je maxz = 1 m. Při stejných délkách zbytků (směrodatná odchylka zbytků soz = 0) nastává v daném případě pro licí rychlost o hodnotě v5 = 0.65 m/min, která je v tomto případě stejná jako licí rychlosti na předchozích čtyřech licích proudech. Tento závěr však platí pouze pro danou hmotnost oceli v LP a dané hodnoty dalších vstupních parametrů (obecně se může licí rychlost na licím proudu č.5 lišit od rychlosti na dalších licích proudech). Ze simulačních výpočtů s deterministickými modely v tabulkovém procesoru Excel a v programovém systému Matlab vyplynulo: • samotné kritérium Z určuje celý interval hodnot optimální licí rychlosti na vybraném licím proudu, takže je pouze částečně vhodné, • kritérium Z+maxz umožňuje najít konkrétní hodnotu
38
0.2
0.15
0.1
0.05
0
1
2
3
4
5
Obr. 8. Grafy závislostí stochastického modelu v SW Matlab: závislost z na LP1 až LP5 Fig. 8. Dependence graphs of a stochastic model in SW Matlab: dependence z on LP1 to LP5
Hutnické listy č.3/2008
Výroba oceli
5. Algoritmus regulace licí rychlosti Pro realizaci složité úlohy minimalizace celkového technologického zbytku v poslední tavbě sekvence pro existující různorodé varianty odlévání předlitků (viz tab.1) bylo hledáno algoritmické řešení. Zatím byl uskutečněn první návrh algoritmu regulace licí rychlosti na jednom licím proudu (např. a pravděpodobně na proudu prostředním, tj. třetím), zabezpečující průběžnou a konečnou minimalizaci celkového technologického zbytku v poslední tavbě sekvence při odlévání stejných formátů na všech licích proudech, tj. pro varianty odlévání č. 1 ÷ 3 (viz tab.1). Algoritmus bude nejprve naprogramován a odzkoušen pro variantu č.1, tj. pro odlévání pravoúhlého formátu předlitků rozměrů 300 x 350 mm na všech pěti licích proudech [5], [6]. Grafické znázornění tohoto algoritmu stanovení optimální licí rychlosti (na prostředním 3. licím proudu) pomocí vývojového diagramu je na obr.9: Z
Inicializace: Tzkrit = 1000 v3 = vmin
+
_
Pro definování absolutní úspory je možné zavést proměnnou (ukazatel) úspor celkového zadního technologického zbytku auZ [m] podle jednoduchého vztahu:
auZ = ZT − Z min T [m] .
(10)
A obdobně pro definování relativní procentuální úspory lze zavést proměnnou (ukazatel) uZ [%] pomocí vztahu:
uZ =
(ZT − Z minT ) ⋅100 [%] . auZ ⋅ 100 = ZT ZT
(11)
Simulačně byly v programovém matematickém prostředí Matlab předběžně ověřeny a graficky znázorněny výstupní ukazatele optimalizace zbytků pro formát předlitků 300 x 350 mm, rozsah korigovaných hmotností oceli v tavbě M ∈ <150,200> t, rozsah délek předlitků v tavbě d ∈ <4, 9> m, „optimální“ přehřátí dTpr = 30 °C, odkud nominální licí rychlost vnom = 0.65 m/min. Byly uvažovány dva režimy nastavení minimálních a maximálních licích rychlostí: režim „běžný“, u kterého pro mezní rychlosti platí: vmin = vnom – 20 % a vmax = vnom + 10 % a režim „přísný“ (odlévání kolejnicových značek), kde vmin = vnom – 10 % a vmax = vnom.
Výpočet maxz, Z, Tzpom
Tzpom < Tzkrit ?
na všech (funkčních) licích proudech při původně nastavených licích rychlostech na počátku tavby a • ZminT [m]: což je minimální celková délka technologického zbytku na všech (funkčních) licích proudech při optimalizované licí rychlosti na LPP3 na počátku tavby.
Tzkrit = Tzpom Zmin = Z v3opt = v3
Na obr.10,11 jsou pro „běžný“ režim pomocí 3D grafů znázorněny závislosti ukazatelů v3opt a uZ na korigované hmotnosti oceli v tavbě M [t] a (stejné na každém licím proudu) délce předlitků d [m]:
Zvětši v3 o dvv
_
v3 > vmax?
+ K Obr. 9. Vývojový diagram algoritmu stanovení optimální licí rychlosti v3opt Fig. 9. Flowchart of an algorithm of an optimal cast speed specification v3opt
6. Předběžné vyhodnocení úspor Pro vyhodnocení úspor technologických zbytků bude vhodné porovnávat dvě hodnoty výstupních proměnných: • ZT [m]: což je celková délka technologického zbytku
Obr. 10. Optimální licí rychlost v3opt = f(M,d) pro rozsah v = 0.520.65-0.72 m/min Fig. 10. Optimal cast speed v3opt = f(M,d) for the range of v = 0.520.65-0.72 m/min
39
Výroba oceli
Obr. 11. Relativní úspora uZ = f(M,d) pro rozsah v = 0.52-0.65-0.72 m/min Fig. 11. Relative economy uZ = f(M,d) for the range of v = 0.52-0.650.72 m/min
Na základě uskutečněných simulačních výpočtů lze konstatovat, že relativní průměrná úspora je poměrně nízká a bude se pohybovat v rozmezí asi 10 ÷ 30 %. Obecně se relativní úspora u obou režimů pohybovala ve velkém rozmezí 0 ÷ (téměř) 100 %, což např. znamená, že existuje dost hodně kombinací hmotnosti oceli v tavbě a délek předlitků, kde k žádné úspoře nedojde.
7. Závěr Na základě matematicko-statistické analýzy šesti používaných variant odlévání předlitků na ZPO 1 v TŽ, a.s. je možné vyslovit následující závěry: • byl vytvořen matematický model variant odlévání, • bylo nalezeno vhodné minimalizační kritérium technologického zbytku, definované jako součet celkového zadního zbytku a maximálního zbytku na licích proudech,
40
Hutnické listy č.3/2008
• byl navržen algoritmus řízení licí rychlosti na prostředním (třetím) licím proudu, který průběžně upravuje (v technologických mezích) tuto licí rychlost tak, aby při měnicích se licích rychlostech na ostatních licích proudech (za předpokladu nasazení předlitků stejného formátu na všech licích proudech) došlo k minimalizaci celkového technologického tzv.zadního zbytku v poslední tavbě sekvence, • model minimalizace technologického zbytku (MMTZ) bude účinně spolupracovat s paralelně analyzovaným a vytvářeným modelem směsných oblastí (MSO), který umožní podstatně zmenšit tyto zbytkové a směsné oblasti (podle zkušeností s dříve vytvořeným a provozovaným MSO na ZPO 2), což by mělo přinést významný efekt. Literatura [1] [2] [3] [4] [5] [6]
GROS, I. 2003. Kvantitativní metody v manažerském rozhodování 1. vyd. Praha : Grada Publishing a.s. ISBN 80247-0421-8 JABLONSKÝ, J. 2002. Operační výzkum – kvantitativní modely pro ekonomické rozhodování. 1. vyd. Praha : Professional Publishing. ISBN 80-86419-42-8 JANÁČEK, J. 2003. Matematické programování. 2. opravené vyd. Žilina : Edis – vydavatelství Žilinské univerzity, 2003. ISBN 80-8070-054-0 MORÁVKA, J. 2005. Matematické modely optimálního dělení předlitků na ZPO 1. Roční zpráva projektu č.1112504. Třinec : Ti, a.s., prosinec 2005. 32 s. MORÁVKA, J. 2006. Modely optimálního dělení předlitků na ZPO 1. Roční zpráva projektu č.1112603. Třinec : Ti, a.s., prosinec 2006. 32 s. MORÁVKA, J. 2007. Modely minimalizace technologických zbytků a směsných oblastí na ZPO 1. Roční zpráva projektu č. 112605. Třinec : Ti, a.s., listopad 2007. 42 s.
Recenze: Prof. Ing. Jozef Kijac, CSc.
