Počítače a fyzika. Přednáška pro U3V FPF SU v Opavě 30. března 2006

1/99

Pocˇı´tacˇe a fyzika

Počítače a fyzika Stanislav Hledík Přednáška pro U3V FPF SU v Opavě 30. března 2006 Abstrakt

Počítače a fyzika? Proč ne Fyzika a počítače? A co tak Lidé, počítače a fyzika? Subjektivní pohled očima fyzika, který se s počítači důvěrněji seznámil až poté, co se trochu vyznal ve fyzice. •Prvnı´ •Prˇedchozı´ •Dalsˇ´ı •Poslednı´ •Zpeˇt •Vprˇed •Obsah •Najdi •Cela´ obr. •Zavrˇi •Konec

2/99


Obsah 1 Historie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kalkulační pomůcky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Počátek 19. století . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Konec 19. a začátek 20. století . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . První půle 20. století . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Poválečný rozmach počítačů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vznik počítačového průmyslu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Boom mikroprocesorů a personálních počítačů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pár historických výroků . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 5 9 15 15 28 38 40 47

2 Jak a co počítače počítají ve fyzice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Reprezentace čísel v počítači . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Proč a nač se ve fyzice počítače používají? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Příklad na vytvoření počítačové simulace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Některé další metody používané v numerických simulacích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Další příklad počítačové simulace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48 48 49 50 57 70

Reference . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

•Prvnı´ •Prˇedchozı´ •Dalsˇ´ı •Poslednı´ •Zpeˇt •Vprˇed •Obsah •Najdi •Cela´ obr. •Zavrˇi •Konec

3/99


1. Historie ❖

Počítače jsou nespolehlivé, lidé také. Avšak počítače jsou v tom mnohem důkladnější. —Murphy

Fyzika a matematika nejbohatší zdroj podnětů pro rozvoj počítačové technologie; nedávný příklad (1989): CERN – Timothy Berners-Lee vynalezl WEB Numerické výpočty byly a jsou potřebné ve fyzice, astronomii, technice, vojenství, . . . dnes ve všech odvětvích vědy Symbolické manipulace (a + b)2 = a 2 + 2ab + b2 důležité v matematice a teoretické fyzice Počítačová grafika, multimédia moderní odvětví computer science Komunikace, zábava Internet, Email, počítačové hry, video, . . . Fyzika

Poˇc´ıtaˇce


4/99


Orientace v čase Počítání dnů, období, kalendář (Stonehenge v Anglii cca 2800 př. n. l.) Orientace v prostoru Délky, kusy, . . . Číselné soustavy Desítková, dvanáctková, šedesátková (v anglosaském světě dodnes), dvacítková


5/99


Kalkulační pomůcky

Čína: abakus (ruská verze) •Prvnı´ •Prˇedchozı´ •Dalsˇ´ı •Poslednı´ •Zpeˇt •Vprˇed •Obsah •Najdi •Cela´ obr. •Zavrˇi •Konec

6/99


Pascalina z r. 1642 francouzského matematika Blaise Pascala (1623–1662)


7/99


Další kalkulační strojky; vpravo nahoře Leibnizův, v zámku Raduň mechanický kalkulátor pro výpočet daní •Prvnı´ •Prˇedchozı´ •Dalsˇ´ı •Poslednı´ •Zpeˇt •Vprˇed •Obsah •Najdi •Cela´ obr. •Zavrˇi •Konec

8/99


. . . a donedávna používané logaritmické pravítko •Prvnı´ •Prˇedchozı´ •Dalsˇ´ı •Poslednı´ •Zpeˇt •Vprˇed •Obsah •Najdi •Cela´ obr. •Zavrˇi •Konec

9/99


Počátek 19. století Charles Babbage, 1791–1871, Anglie: matematik, posedlost kvantifikací čehokoliv, obdivovatel železnice, tunely, žaludeční výplachové pumpy, studoval odolnost lidského těla vůči vysokým teplotám. Nenáviděl pouliční hudebníky, pokoušel se matematicky předpovídat dostihové výsledky. V oblasti výstavby počítačů předběhl dobu o cca 100 let. 1823–1854: stavba Difference Engine, řízen pevným programem, pohon parním strojem, rozloha fotbalového hřiště, pro výpočty matematických tabulek, zůstal nedokončen •Prvnı´ •Prˇedchozı´ •Dalsˇ´ı •Poslednı´ •Zpeˇt •Vprˇed •Obsah •Najdi •Cela´ obr. •Zavrˇi •Konec

10/99


1854: děrnými štítky řízený Analytical Engine – idea děrných štítků převzata od tkalce a průmyslníka J. M. Jacquarda a mechanika J. de Vausancona.

Idea podmíněného skoku – připisována Babbageově dlouholeté přítelkyni lady Lovelace •Prvnı´ •Prˇedchozı´ •Dalsˇ´ı •Poslednı´ •Zpeˇt •Vprˇed •Obsah •Najdi •Cela´ obr. •Zavrˇi •Konec

11/99


Ada Byron, Lady Lovelace (1815–1852) – matematička, první programátor na světě, autorka myšlenky podmíněného skoku v programu, popularizátorka díla Charlese Babbage. V r. 1944 překlad Babbageova článku o Difference machine, doplněn o její vlastní poznámky. •Prvnı´ •Prˇedchozı´ •Dalsˇ´ı •Poslednı´ •Zpeˇt •Vprˇed •Obsah •Najdi •Cela´ obr. •Zavrˇi •Konec

12/99


Podmíněný skok:

if (k > 0) ... pro kladné k udělá program toto ... else ... a pro záporné nebo nulové k zase tohle Větvení programu (skok) podle splnění či nesplnění podmínky.

Na její počest nazván programovací jazyk Ada vyvinutý v roce 1979 pro potřeby US ministerstva obrany.


13/99


Příklad na podmíněný skok: Gaussův algoritmus pro výpočet data Velikonoční neděle (první neděle po prvním jarním úplňku). Vstupem je rok (proměnná year), výstupem měsíc březen (4) nebo duben (3) a den (proměnná day): day=(19*(year%19)+24)%30; day=day+22+((5+2*(year%4)+4*(year%7)+6*day)%7); if (day>=57) day = day-7; if (day>31) printf("%s%2d\n"," 4 ",day-31); else printf("%s%2d\n"," 3 ",day);


14/99



15/99


Konec 19. a začátek 20. století Řízení mechanickým záznamem děrné štítky, válce s výstupky, mechanické automaty, hrací strojky, . . . Herman Hollerith navrhl tabulátor – třídil děrné štítky podle kódu ve formě perforovaných otvorů, použito pro sčítání obyvatel r. 1890 v USA. Značně omezené použití, ale velmi rozšířené. Zakladatel International Business Machines. Začátek 20. stol. ve znamení Hollerithových kalkulátorů První půle 20. století Období mezi světovými válkami Konrad Zuse a Alan Turing. 2. svět. válka hlavně vojenské využití Poválečný rozvoj Vývojový trend přesměrován do komerčních aplikací, USA získávají světovou dominanci v poč. technologiích •Prvnı´ •Prˇedchozı´ •Dalsˇ´ı •Poslednı´ •Zpeˇt •Vprˇed •Obsah •Najdi •Cela´ obr. •Zavrˇi •Konec

16/99


Konrad Zuse (1910–1995) Německý letecký inženýr u Henschel Flugzeugwerke, statické výpočty letadel jej r. 1934 přivedly k myšlence konstrukce výpočetního stroje. Neznal dílo Ch. Babbage. R. 1938 první stroj Z1 s elektromag. relé. R. 1939 opět reléový počítač Z3 (2400 relé) řízený děrnou páskou, 50 operací/s, první počítač využívající binární číselné soustavy. R. 1942 Z4 s větším výkonem, na konci války putoval složitě až na curyšskou polytechniku, zde až do r. 1955. Zuse Institut Berlin: http://www.zib.de/, http://amira.zib.de/ •Prvnı´ •Prˇedchozı´ •Dalsˇ´ı •Poslednı´ •Zpeˇt •Vprˇed •Obsah •Najdi •Cela´ obr. •Zavrˇi •Konec

17/99


Detail Z1, 1938 •Prvnı´ •Prˇedchozı´ •Dalsˇ´ı •Poslednı´ •Zpeˇt •Vprˇed •Obsah •Najdi •Cela´ obr. •Zavrˇi •Konec

18/99


Rekonstruovaný Z3, poprvé použita binární soustava, 1939 •Prvnı´ •Prˇedchozı´ •Dalsˇ´ı •Poslednı´ •Zpeˇt •Vprˇed •Obsah •Najdi •Cela´ obr. •Zavrˇi •Konec

19/99


Z4, 1942 •Prvnı´ •Prˇedchozı´ •Dalsˇ´ı •Poslednı´ •Zpeˇt •Vprˇed •Obsah •Najdi •Cela´ obr. •Zavrˇi •Konec

20/99


Detail Z4 •Prvnı´ •Prˇedchozı´ •Dalsˇ´ı •Poslednı´ •Zpeˇt •Vprˇed •Obsah •Najdi •Cela´ obr. •Zavrˇi •Konec

21/99


K. Zuse u repliky svého počítače •Prvnı´ •Prˇedchozı´ •Dalsˇ´ı •Poslednı´ •Zpeˇt •Vprˇed •Obsah •Najdi •Cela´ obr. •Zavrˇi •Konec

22/99


Bina´rnı´ cˇ´ısla Dekadická soustava – báze (basis) 10, deset číslic (digits) 0, . . . , 9: 109.375 = 1 × 102 + 0 × 101 + 9 × 100 + 3 × 10−1 + 7 × 10−2 + 5 × 10−3


22/99


Bina´rnı´ cˇ´ısla Dekadická soustava – báze (basis) 10, deset číslic (digits) 0, . . . , 9: 109.375 = 1 × 102 + 0 × 101 + 9 × 100 + 3 × 10−1 + 7 × 10−2 + 5 × 10−3 Dvojková soustava (binary system) – báze 2, dvě číslice (bit = binary digit) 0, 1: 109.375 = 1 × 26 + 1 × 25 + 0 × 24 + 1 × 23 + 1 × 22 + 0 × 21 + 1 × 20 + 0 × 2−1 + 1 × 2−2 + 1 × 2−3 = 1101101.011 1 MSB

1 0

1

1

0

1

0

LSB

MSB

1

1 LSB

LSB = least signif. bit MSB = most signif. bit


23/99


Aritmeticke´ operace s bina´rnı´mi cˇ´ısly Analogicky jako v dekadické soustavě: 1 + 0 = 1, 1 + 1 = (10)2 = (2)10 , (10)2 + 1 = (11)2 = (3)10 , atd. 1 + 1

0

1 1 1

1 1 0

1 0 1

0 1 1

×

1

1 0

1 1 1

1 1 0 1 1 0

1 1 0 1

1 0 0

1

0


24/99


Konverze z dekadicke´ do dvojkove´ soustavy Celočíselná část: 109 Kvocient : 2 Zbytek

54 1

27 0

13 6 3 1 0 1 1 0 1 1

LSB

MSB

Pozor! Opačné pořadí: LSB → MSB.

Zlomková část: 0.375 ×2

Zlomek Celé č.

0.75 0 MSB

0.5 1

0 1 LSB


25/99


Alan Mathison Turing (1912–1954) Britský matematik zabývající se vztahem stroje a přírody ⇒ umělá inteligence (AI). V r. 1936 článek On Computable Numbers, v němž popsal hypotetické zařízení zvané dnes Turingův stroj: teoretický základ programovatelných počítacích strojů. V r. 1950 článek popisující možnost testování inteligence stroje – Turingův test. Ve válečných letech práce pro armádu – rozluštění kódu německého šifrovacího stroje Enigma. Od r. 1945 na univerzitě v Manchesteru: vývoj počítacího stroje MADAM (Manchester Digital Automatic Machine). •Prvnı´ •Prˇedchozı´ •Dalsˇ´ı •Poslednı´ •Zpeˇt •Vprˇed •Obsah •Najdi •Cela´ obr. •Zavrˇi •Konec

26/99


Turing byl vynikající běžec (maratón pod 3 hodiny).


27/99


Příklad jednoduchého Turingova stroje ˇ ı/záznamová hlava Ctec´ 0

1

1 0

1

1

1

0

1

Dˇerná páska 0 Start

Stav 3

0

0 0

1 Stav 2

Stav 1

0


28/99


Poválečný rozmach počítačů Howard H. Aiken (1900–1973) r. 1944 na Harvardu reléový Mark I, 23 dekadických míst, log, cos, sin, tg, papírová děrná páska bez zpětného chodu, později Mark II (1947). John W. Mauchly, J. Presper Eckert v r. 1946 na pensylvánské univerzitě ENIAC (Electrical Numerical Integrator and Calculator) – 10 dekadických míst, 18000 elektronek, 30 tun (rozměry 30 m × 3 m × 1 m). Používán armádou do r. 1955 pro balistickou laboratoř. Na vývoji ENIACu se podílel John von Neumann.


29/99


Mark I •Prvnı´ •Prˇedchozı´ •Dalsˇ´ı •Poslednı´ •Zpeˇt •Vprˇed •Obsah •Najdi •Cela´ obr. •Zavrˇi •Konec

30/99


ENIAC •Prvnı´ •Prˇedchozı´ •Dalsˇ´ı •Poslednı´ •Zpeˇt •Vprˇed •Obsah •Najdi •Cela´ obr. •Zavrˇi •Konec

31/99


ENIAC


32/99


John von Neumann (1903–1957) Americký matematik maďarského původu, působil na univerzitě v Princetonu v USA. Během 2. světové války působil jako expert a konzultant několika vládních komisí a byl ve styku s vědci, kteří byli z důvodu utajení od sebe izolováni. Díky tomu měl obrovský přehled v trendech vývoje počítačů. Přivedl k sobě skupinu vědců z Los Alamos (atomová bomba) a skupinu připravující ENIAC. V r. 1945 publikoval závěry, podle nichž může pčítač mít pevnou fyzickou strukturu a přesto může provádět jakékoliv výpočty řízené programem: von Neumannova koncepce. •Prvnı´ •Prˇedchozı´ •Dalsˇ´ı •Poslednı´ •Zpeˇt •Vprˇed •Obsah •Najdi •Cela´ obr. •Zavrˇi •Konec

33/99


John von Neumann •Prvnı´ •Prˇedchozı´ •Dalsˇ´ı •Poslednı´ •Zpeˇt •Vprˇed •Obsah •Najdi •Cela´ obr. •Zavrˇi •Konec

34/99


J. R. Oppenheimer a John von Neumann •Prvnı´ •Prˇedchozı´ •Dalsˇ´ı •Poslednı´ •Zpeˇt •Vprˇed •Obsah •Najdi •Cela´ obr. •Zavrˇi •Konec

35/99



36/99


Výsledkem von Neumannových prací: flexibilnější a účinnější programování s možností knihovních subrutin. EDVAC Electronic Discrete Variable Automatic Computer, John W. Mauchly, J. Presper Eckert UNIVAC použit při odhadu volebních výsledků v US prezidentské kampani r. 1952. Předpověď Eisehowerova vítězství, ačkoli novináři nevěřili a uveřejnili opak. Nakonec se předpověď potvrdila a média oslavovala novou techniku. Ferranti Mark I v Anglii na univerzitě v Manchesteru r. 1949, paměťová elektronka F. C. Williamse a T. Kilburna. První demo programy napsány A. Turingem. EDSAC Electronic Delay Storage Automatic Calculator r. 1949 pod vedením M. V. Wilkese


37/99


UNIVAC •Prvnı´ •Prˇedchozı´ •Dalsˇ´ı •Poslednı´ •Zpeˇt •Vprˇed •Obsah •Najdi •Cela´ obr. •Zavrˇi •Konec

38/99


Vznik počítačového průmyslu •

Pionýrská doba: na univerzitách, v armádě; ojedinělé exempláře

•

Průmyslová výroba: počítačoví nadšenci z univerzitního vývoje, obvykle se dostali do finančních problémů a skončili u zavedených firem

•

Tyto obchodně zdatné firmy si uvědomily možnost nového trhu

•

IBM měla počáteční kapitál z prodeje Hollerithových tabulátorů, dosud jeden z největších dodavatelů počítačů na světě

Počítače založené na elektronkách: •Prvnı´ •Prˇedchozı´ •Dalsˇ´ı •Poslednı´ •Zpeˇt •Vprˇed •Obsah •Najdi •Cela´ obr. •Zavrˇi •Konec

39/99


Přelomový model IBM 360 z roku 1964, založený na monolitických a hybridních obvodech, stavebnicová struktura používaná v podstatě dodnes. •Prvnı´ •Prˇedchozı´ •Dalsˇ´ı •Poslednı´ •Zpeˇt •Vprˇed •Obsah •Najdi •Cela´ obr. •Zavrˇi •Konec

40/99


Boom mikroprocesorů a personálních počítačů Altair 8800 v roce 1975 – stavebnice fy MITS za 400 USD, paměť 256 Byte, uživatel si musel psát programy sám ve strojovém kódu, neboť na trhu žádné nebyly. Apple II Steve Wozniak a Steve Jobs se zabudovaným interpretem BASICu, barevnou grafikou a 4.1 kB paměti, cena 1300 USD IBM malý počítač Acorn, později známý pod názvem IBM PC. 16 kB operační paměti, klávesnici z el. psacího stroje IBM a připojení ke kazetovému magnetofonu, cena 1300 USD. IBM uvolnilo zdrojový kód tzv. BIOSu a vznikla řada klonů – IBM PC kompatibilních počítačů. Apple Macintosh r. 1984, s GUI (grafické rozhraní) IBM 286-AT s aplikací Lotus 1-2-3 a Microsoft Word Intel dodavatel mikroprocesorů Microsoft a fenomén Bill Gates •Prvnı´ •Prˇedchozı´ •Dalsˇ´ı •Poslednı´ •Zpeˇt •Vprˇed •Obsah •Najdi •Cela´ obr. •Zavrˇi •Konec

41/99


Apple I


42/99


Apple II


43/99


Apple Macintosh (1984)


44/99


Velký superpočítač Cray I ze 70. let


45/99


IBM PC


46/99


Sinclair ZX80 a ZX 81


47/99


Pár historických výroků ❖

Vypadá to že jsme narazili na hranici toho, čeho je možné dosáhnout s počítačovými technologiemi. Člověk by si ale měl dávat pozor na takováto tvrzení, protože do 5 let se obvykle ukáží jako pěkná pitomost. —John von Neumann, 1949

❖

Počítače by v budoucnu mohly vážit i méně než 1,5 tuny. —Časopis Popular Mechanics, 1949

❖

Ale . . . k čemu by to mohlo být dobré? —IBM, 1968

❖

Nemyslím si, že by na světovém trhu byla poptávka po více než pěti počítačích. —Thomas J. Watson, 1943

❖

Pro pokrytí celosvětových potřeb by mělo stačit asi deset počítačů. —Thomas J. Watson, 1946

❖

Není žádný důvod, proč by lidé měli mít počítače doma. —Ken Olsen, 1977

❖

Jednoho dne budeme mít osobní počítače a budeme žít normálněji . . . —Donald E. Knuth, 1978

❖

Počítače jsou k ničemu. Dokáží pouze poskytovat odpovědi. —Pablo Picasso

❖

640 KB paměti by mělo každému stačit. —Bill Gates, 1981 •Prvnı´ •Prˇedchozı´ •Dalsˇ´ı •Poslednı´ •Zpeˇt •Vprˇed •Obsah •Najdi •Cela´ obr. •Zavrˇi •Konec

48/99


2. Jak a co počítače počítají ve fyzice Reprezentace čísel v počítači •

Binární čísla, aritmetika s binárními čísly

•

Různé typy dat: znaky, celá čísla, desetinná čísla, řetězce, složitější datové typy

Pro fyzikální výpočty mají zásadní význam reálná čísla: •

IEEE standard pro reálná čísla

•

Operace s reálnými čísly


48/99


2. Jak a co počítače počítají ve fyzice Reprezentace čísel v počítači •

Binární čísla, aritmetika s binárními čísly

•

Různé typy dat: znaky, celá čísla, desetinná čísla, řetězce, složitější datové typy

Pro fyzikální výpočty mají zásadní význam reálná čísla: •

IEEE standard pro reálná čísla

•

Operace s reálnými čísly

Pojďme si s nimi na chvíli pohrát . . . •Prvnı´ •Prˇedchozı´ •Dalsˇ´ı •Poslednı´ •Zpeˇt •Vprˇed •Obsah •Najdi •Cela´ obr. •Zavrˇi •Konec

49/99


Proč a nač se ve fyzice počítače používají? Počítačová fyzika – fyzika, jejíž hlavní výsledky jsou získány s podstatnou podporou počítačů (nejen např. na vykreslení grafů, nebo na výpočet z analytických formulí apod.) Počítačové simulace: vytvoření matematického modelu založeného na známých fyzikálních zákonech. Model může být „ručnímu“ řešení zcela nepřístupný. Úkolem počítače je provést nesmírně rychle obrovské množství aritmetických operací spojených s řešením rovnic matematického modelu.


49/99


Proč a nač se ve fyzice počítače používají? Počítačová fyzika – fyzika, jejíž hlavní výsledky jsou získány s podstatnou podporou počítačů (nejen např. na vykreslení grafů, nebo na výpočet z analytických formulí apod.) Počítačové simulace: vytvoření matematického modelu založeného na známých fyzikálních zákonech. Model může být „ručnímu“ řešení zcela nepřístupný. Úkolem počítače je provést nesmírně rychle obrovské množství aritmetických operací spojených s řešením rovnic matematického modelu. Zpracování experimentálních dat: počítač dokáže velmi efektivně filtrovat data z gigantických experimentů, jejichž výsledky vedou k novým fyzikálním objevům. Velké urychlovače, CERN, atd. Minulá přednáška Mgr. Gabriela Töröka – zpracování experimentálních dat z rentgenových družic.


49/99


Proč a nač se ve fyzice počítače používají? Počítačová fyzika – fyzika, jejíž hlavní výsledky jsou získány s podstatnou podporou počítačů (nejen např. na vykreslení grafů, nebo na výpočet z analytických formulí apod.) Počítačové simulace: vytvoření matematického modelu založeného na známých fyzikálních zákonech. Model může být „ručnímu“ řešení zcela nepřístupný. Úkolem počítače je provést nesmírně rychle obrovské množství aritmetických operací spojených s řešením rovnic matematického modelu. Zpracování experimentálních dat: počítač dokáže velmi efektivně filtrovat data z gigantických experimentů, jejichž výsledky vedou k novým fyzikálním objevům. Velké urychlovače, CERN, atd. Minulá přednáška Mgr. Gabriela Töröka – zpracování experimentálních dat z rentgenových družic. Řízení experimentu: Urychlovače, Hubbleův vesmírný teleskop, ale v podstatě každý novější laboratorní přístroj je do jisté míry řízen počítačem. Mobily, elektronické systémy aut, . . . •Prvnı´ •Prˇedchozı´ •Dalsˇ´ı •Poslednı´ •Zpeˇt •Vprˇed •Obsah •Najdi •Cela´ obr. •Zavrˇi •Konec

50/99


Příklad na vytvoření počítačové simulace

(síla na míč) = (tíhová) •Prvnı´ •Prˇedchozı´ •Dalsˇ´ı •Poslednı´ •Zpeˇt •Vprˇed •Obsah •Najdi •Cela´ obr. •Zavrˇi •Konec

50/99



(síla na míč) = (tíhová) + (odpor vzduchu) •Prvnı´ •Prˇedchozı´ •Dalsˇ´ı •Poslednı´ •Zpeˇt •Vprˇed •Obsah •Najdi •Cela´ obr. •Zavrˇi •Konec

50/99



(síla na míč) = (tíhová) + (odpor vzduchu) + (Magnusova) •Prvnı´ •Prˇedchozı´ •Dalsˇ´ı •Poslednı´ •Zpeˇt •Vprˇed •Obsah •Najdi •Cela´ obr. •Zavrˇi •Konec

51/99


Započtení jen tíhy: snadné, řeší se na střední škole (šikmý vrh)


51/99


Započtení jen tíhy: snadné, řeší se na střední škole (šikmý vrh) Připočtení odporu vzduchu: obtížnější, balistická křivka


51/99


Započtení jen tíhy: snadné, řeší se na střední škole (šikmý vrh) Připočtení odporu vzduchu: obtížnější, balistická křivka

Připočtení rotace (faleš): kulatý míč se začne chovat podobně jako křídlo letadla, vzniká vztlak, který jej vychyluje z dráhy Magnusova s´ıla

proudnice

vztlak proudnice

rychlost

odpor rotace

odpor

rychlost


52/99


Výsledkem je soustava tří ODR (tzv. pohybových rovnic) pro tři souřadnice středu míče x, y, z:

m

d2 x dt 2

=

dz 1 dx dy − C(v)Sρv +CM ρΩv n y − n z 2 dt dt dt

m

d2 y = dt 2

dx 1 dy dz − C(v)Sρv +CM ρΩv n z − nx 2 dt dt dt

dy 1 dz dx d2 z m 2 = −mg− C(v)Sρv +CM ρΩv n x − ny dt 2 dt dt dt q dy 2 dz 2 dx 2 přičemž ještě v = + + dt dt dt . Kromě pohybových rovnic musíme znát počáteční podmínky: odkud a jakou rychlostí fotbalista míč vykopl v čase, který si označíme 0. •Prvnı´ •Prˇedchozı´ •Dalsˇ´ı •Poslednı´ •Zpeˇt •Vprˇed •Obsah •Najdi •Cela´ obr. •Zavrˇi •Konec

53/99


Jak s těmito rovnicemi počítač (podle našich instrukcí – programu) naloží? 1.

Za základ se vezme počáteční poloha a rychlost:


53/99




2.

Ze znalosti pohybových rovnic spočte polohu a rychlost, kterou míč bude mít po uplynutí krátkého (ale konečného) časového intervalu:


53/99




2.


3.

Pak spočte polohu a rychlost po dalším časovém intervalu:


53/99




2.


3.

Pak spočte polohu a rychlost po dalším časovém intervalu:

4.

. . . atd. atd. Pozor – musíme mít odhad chyby:


54/99


Co od nás počítač bude vyžadovat? Algoritmus: postup, který vede k vyřešení všech úloh daného typu v konečném počtu kroků. Např. jeden z algoritmů pro řešení ODR se jmenuje po svých objevitelích Runge–Kutta, další pak Bulirsch–Stoer Vstupní data: v naší ukázce jde o počáteční hodnoty polohy a rychlosti míče. Demonstrace na Gaussově algoritmu.


54/99


Co od nás počítač bude vyžadovat? Algoritmus: postup, který vede k vyřešení všech úloh daného typu v konečném počtu kroků. Např. jeden z algoritmů pro řešení ODR se jmenuje po svých objevitelích Runge–Kutta, další pak Bulirsch–Stoer Vstupní data: v naší ukázce jde o počáteční hodnoty polohy a rychlosti míče. Demonstrace na Gaussově algoritmu. Jak tyto údaje počítači sdělíme? Pomocí programu. V začátcích počítačů se instrukce programu i data vkládaly pomocí strojového kódu – extrémně nepřehledné a špatně modifikovatelné, navíc závislé na hardwaru. Dnes: pomocí určitého programovacího jazyka. Algoritmus = myšlenka, program = její vyjádření v konkrétním jazyce •Prvnı´ •Prˇedchozı´ •Dalsˇ´ı •Poslednı´ •Zpeˇt •Vprˇed •Obsah •Najdi •Cela´ obr. •Zavrˇi •Konec

55/99


Programovací jazyky používané pro numerické simulace ve fyzice: Nízkoúrovňové jazyky: C, C++, Fortran #include <stdio.h> int main(void) { float x=1.0/3.0; putchar(’\n’); if (3.0*x==1.0) printf("%s\n","Correct"); else printf("%s\n","Incorrect"); return 0; }

PROGRAM quiz_inc IMPLICIT NONE REAL :: x=1.0/3.0 PRINT* IF ((3.0*x) .EQ. 1.0) THEN PRINT*, ’Correct’ ELSE PRINT*, ’Incorrect’ END IF STOP END PROGRAM quiz_inc

Vysokoúrovňové jazyky: Mathematica, Maple, IMSL, . . . Obvykle integrují i grafiku a animaci. N[(1.0/3.0)*3.0]


56/99


Ukázka řešení ODR – simulace pádu do černé díry. Na rozdíl od míče musíme spočítat dráhu fotonu pro každý obrazový bod – pixel!


57/99


Některé další metody používané v numerických simulacích ˇ esˇenı´ linea´rnıćh algebraickyćh rovnic R Dvě algebraické rovnice pro dvě neznámé x, y: 4.76x + 104.2y = 54.1 15.06x − 2.2y = −17.5


57/99


Některé další metody používané v numerických simulacích ˇ esˇenı´ linea´rnıćh algebraickyćh rovnic R Dvě algebraické rovnice pro dvě neznámé x, y: 4.76x + 104.2y = 54.1 15.06x − 2.2y = −17.5 Tři algebraické rovnice pro tři neznámé x, y, z: 4.76x + 104.2y − 67.0z = 54.1 15.06x − 2.2y + 1.28z = −17.5 5.67x − 2.1y − 91.6z = 7.12


57/99


Některé další metody používané v numerických simulacích ˇ esˇenı´ linea´rnıćh algebraickyćh rovnic R Dvě algebraické rovnice pro dvě neznámé x, y: 4.76x + 104.2y = 54.1 15.06x − 2.2y = −17.5 Tři algebraické rovnice pro tři neznámé x, y, z: 4.76x + 104.2y − 67.0z = 54.1 15.06x − 2.2y + 1.28z = −17.5 5.67x − 2.1y − 91.6z = 7.12 Co když máme 1000 rovnic pro 1000 neznámých? Tehdy je Cramerovo pravidlo, které se učí děti na středních školách, k ničemu. Existují metody pro numerické řešení: Gaussova–Jordanova eliminace, trojúhelníková faktorizace, . . . •Prvnı´ •Prˇedchozı´ •Dalsˇ´ı •Poslednı´ •Zpeˇt •Vprˇed •Obsah •Najdi •Cela´ obr. •Zavrˇi •Konec

58/99


Interpolace a extrapolace 10

26 9

24 22

1

8 2

4

20 y

7

3 6

18 5 16 14 12 10 3.1

3.11

3.12

3.13

3.14

3.15

3.16

3.17

3.18

3.19

x

Interpolace polynomiální, racionální, kubickými splajny, . . . •Prvnı´ •Prˇedchozı´ •Dalsˇ´ı •Poslednı´ •Zpeˇt •Vprˇed •Obsah •Najdi •Cela´ obr. •Zavrˇi •Konec

59/99


Numericka´ integrace (kvadratura)

Trapezoidální pravidlo, Simpsonovo pravidlo, Rombergova kvadratura, Gaussova kvadratura, . . .


60/99


Hledańı´ korˇene a nelinea´rnı´ rovnice

y y = f (x)

x koˇreny rovnice f (x) = 0 Metoda sečen, Newtonova–Raphsonova, . . . •Prvnı´ •Prˇedchozı´ •Dalsˇ´ı •Poslednı´ •Zpeˇt •Vprˇed •Obsah •Najdi •Cela´ obr. •Zavrˇi •Konec

61/99


Hledańı´ maxim a minim funkcı´

y maximum maximum

x minimum


62/99


Parcia´lnı´ diferencia´lnı´ rovnice Hyperbolické, parabolické (evoluční); eliptické

Vizualizace numerické simulace přílivových sil působících na akreční disk okolo černé díry. Numerická data: John Blondin, North Carolina State University’s Physics Department. Vizualizace: program Amira. •Prvnı´ •Prˇedchozı´ •Dalsˇ´ı •Poslednı´ •Zpeˇt •Vprˇed •Obsah •Najdi •Cela´ obr. •Zavrˇi •Konec

63/99


Kvantová chemie: simulace hustoty pravděpodobnosti výskytu protonu v argonovém klastru. Vizualizace pomocí Amiry: J. SchmidtEhrenberg •Prvnı´ •Prˇedchozı´ •Dalsˇ´ı •Poslednı´ •Zpeˇt •Vprˇed •Obsah •Najdi •Cela´ obr. •Zavrˇi •Konec

64/99


Obrázek znázorňuje elektrostatický potenciál ribonukleázy T1. Vizualizace pomocí Amiry. •Prvnı´ •Prˇedchozı´ •Dalsˇ´ı •Poslednı´ •Zpeˇt •Vprˇed •Obsah •Najdi •Cela´ obr. •Zavrˇi •Konec

65/99


Simulace proudění vzduchu kolem křídla. Vizualizováno pomocí modulu Amiry pro zobrazení silokřivek. •Prvnı´ •Prˇedchozı´ •Dalsˇ´ı •Poslednı´ •Zpeˇt •Vprˇed •Obsah •Najdi •Cela´ obr. •Zavrˇi •Konec

66/99


Animace splynutí neutronových hvězd obíhajících okolo sebe. Vizualizace hustoty energie W. Benger, simulace AEI Potsdam. •Prvnı´ •Prˇedchozı´ •Dalsˇ´ı •Poslednı´ •Zpeˇt •Vprˇed •Obsah •Najdi •Cela´ obr. •Zavrˇi •Konec

67/99


Obecně relativistická simulace gravitační energie. Vizualizace hustoty energie W. Benger, simulace AEI Potsdam. •Prvnı´ •Prˇedchozı´ •Dalsˇ´ı •Poslednı´ •Zpeˇt •Vprˇed •Obsah •Najdi •Cela´ obr. •Zavrˇi •Konec

68/99


Rychla´ Fourierova transformace a spektra´lnı´ metody Efektivní výpočet Fourierovských spekter je umožněn rychlým algoritmem Fourierovy transformace, jenž redukuje počet operací z O(N 2 ) na O(N log N ). Pro počet vzorků N ≈ 1000000 to znamená urychlení výpočtu 10000–100000×. Jinými slovy: výpočtu, který by trval bez rychlého algoritmu 1 den, postačí s rychlým algoritmem okolo 1 s. Spektrální aplikace mají široké využití téměř všude: • • • • • •

Radioastronomie Zobrazování v medicíně Seismologie Spektroskopie Zpracování obrazu a multimédia Komunikace . . . a spousty dalších


68/99


Rychla´ Fourierova transformace a spektra´lnı´ metody Efektivní výpočet Fourierovských spekter je umožněn rychlým algoritmem Fourierovy transformace, jenž redukuje počet operací z O(N 2 ) na O(N log N ). Pro počet vzorků N ≈ 1000000 to znamená urychlení výpočtu 10000–100000×. Jinými slovy: výpočtu, který by trval bez rychlého algoritmu 1 den, postačí s rychlým algoritmem okolo 1 s. Spektrální aplikace mají široké využití téměř všude: • • • • • •

Radioastronomie Zobrazování v medicíně Seismologie Spektroskopie Zpracování obrazu a multimédia Komunikace . . . a spousty dalších

Co je vlastně ta Fourierova transformace? •Prvnı´ •Prˇedchozı´ •Dalsˇ´ı •Poslednı´ •Zpeˇt •Vprˇed •Obsah •Najdi •Cela´ obr. •Zavrˇi •Konec

69/99


Pocˇ´ıtacˇova´ grafika


70/99


Další příklad počítačové simulace


71/99



72/99



73/99



74/99



75/99



76/99



77/99


Glorie


78/99


Čím jsou způsobeny tyto jevy, včetně všech detailů? •

•

Nejjednodušší vysvětlení: geometrická optika. Je schopna přibližně vysvětlit barvy duhy, ale ne nadpočetné proužky a Alexandrův tmavý pás. Glorii neumí vysvětlit vůbec. Všechny tyto jevy vysvětluje exaktní teorie rozptylu elektromagnetických vln na dielektrické kouli – náročná na výpočetní výkon. •Prvnı´ •Prˇedchozı´ •Dalsˇ´ı •Poslednı´ •Zpeˇt •Vprˇed •Obsah •Najdi •Cela´ obr. •Zavrˇi •Konec

79/99



80/99



81/99



82/99



83/99


Mieova teorie Era

Hra = 0,

=

E ϑa

=

E ϕa

=

Hϑa

=

Hϕa

=

(2.1)

E 0 cos ϕ e−ikr ∞ Σl=1 (cl Sl + bl Q l ), , k r 0 −ikr −E sin ϕ e ∞ (c Q + b S ), Σl=1 l l l l k r 0 −ikr E sin ϕ e ∞ (c Q + b S ), , Σl=1 l l l l k r E 0 cos ϕ e−ikr ∞ Σl=1 (cl Sl + bl Q l ). k r 0

(2.2) (2.3) (2.4) (2.5)

0

cl

=

2l + 1 ψl (γ )ψl (γ m) − mψl (γ )ψl (γ m) , l(l + 1) χl (γ )ψ 0 (γ m) − mχ 0 (γ )ψl (γ m) l l

bl

=

2l + 1 ψl (γ )ψ 0 l (γ m) − mψl (γ )ψl (γ m) , l(l + 1) χ 0 (γ )ψl (γ m) − mχl (γ )ψ 0 (γ m) l l

0

(2.6)

0

(2.7)

kde ψl (x) =

r

πx J 1 (x), 2 l+ 2

χl (x) =

r

πx (2) (x). H 2 l+ 12

(2.8)


84/99


Počet členů v nekonečné sumě parciálních vln, jenž je nutné pro danou vlnovou délku λ vzít v úvahu, je

2πa N= + 1, λ

(2.9)

Číslo N nabývá hodnot řádově 102 (pro a ∼ 0.01 mm) až 104 (pro a ∼ 1 mm), přičemž s klesající hodnotou λ roste a maxima Nmax nabývá pro λ = λmin . Jsou-li proměnné λ, θ rozděleny po řadě do Nλ a Nθ hodnot, musíme volat rutiny pro výpočet Besselových funkcí a asociovaných Legendreových polynomů obsažených ve výrazech pro koeficienty cl , bl , Q l , Sl – řádově Nmax Nλ Nθ krát, což může dosáhnout 108 až 1010 volání. To způsobuje pomalost kódu. Například simulace duhy pro a = 1 mm trvá na sériovém stroji s procesorem Pentium 4/1800 cca 1 den. •Prvnı´ •Prˇedchozı´ •Dalsˇ´ı •Poslednı´ •Zpeˇt •Vprˇed •Obsah •Najdi •Cela´ obr. •Zavrˇi •Konec

85/99


Poloměr kapky 0.01 mm, plošné Slunce přirozená

horizontální polarizace

vertikální polarizace


86/99


Poloměr kapky 0.01 mm, bodové Slunce přirozená




87/99






88/99






89/99






90/99






91/99






92/99






93/99






94/99






95/99






96/99






97/99






98/99






99/99


Reference [Jirovský, 2000] Jirovský, V. (2000). Principy počítačů. Matfyzpress, Praha. [Press et al., 1997] Press, W. H., Teukolsky, S. A., Vetterling, W. T., a Flannery, B. P. (1997). Numerical Recipes in C: The Art of Scientific Computing. Cambridge University Press, Cambridge, 2nd vydání. [Práger a Sýkorová, 2004] Práger, M. a Sýkorová, I. (2004). Jak počítače počítají. Pokroky Mat. Fyz. Astronom., 49(1):32–45.


Počítače a fyzika. Přednáška pro U3V FPF SU v Opavě 30. března 2006

Recommend Documents