i'
PR)CEEDINGSITB VoL. 7, No. 4, 1974.
ti
BMCKET POISSON RELATIVISTIK*) Ilans J. wospakrik**)
RINGKASAN DaLan artikel ini dieoba mennerluaskan notasi Poisson Bracket dalon Mekanika Klassik ke da.Lan mtory-uaktu berdimensi entpat da?i TeorL ReLatiuistik Khusus. FonruLasi ini, ternyata sangat menanik sekali kay,enamemberLkqn pe"sonaan-pe"samaqt gerak z,eLatiuistik rmmcul Beea?a uqj ar sebagai, konselosensinya.
ABSTRACT CLassieaL Poisson Bz'aeket is extended to the four di,mensi,onal spaee - time fornalism in Special Relatiuity. This forrruLation giues the relathsistic equation of motion appeaned direetLy as its consequeneed. L . 4
I.
Pendahulum
Artikel P.A.M. Dirac
(Le47).
l-ni merupakan suatu revlew terhadap artikelnya yang dimuat daLaur, Rev. Mod. Phys. 2l-, 3, 329
Tujuan utama dari artlkel lnl adalah memperluaskan notasl Poisson Braeket (PB) dalan Mekanika Klasslk yang biasanya didefinisikan terhadap momentum dan koordinat dalam ruang ttga dimensl ke dalan formulasl ruang-waktu berdirnensi empat dari Teori Relatlvltas Khusus dengan nemperkenaLkan momentum-empat darl momenturn-energL yang relatlvistik dan koordinat - empat darl ruang-waktu.
-Ti-'sebuah
tinjauan
: t * )'Departemen
ulang.
Flsika,
Instltut
Teknologt Bandung.
163
764 Dalam Bab rr di-berikan secara ' singkat suatu resume terha
II.
Resune terhadnp poisson Bz,acket klassik FormuLasi dasar darl polsson Bracket dlperkenal.kan me_ 1alui suaru rransformasi k"";;i; i.t"o,Mekanrka Klasslk dan untuk ini pemb-aca reigaaakan referensi ke Literatur 2, halaman ^dlpersilahkan 220' dan-ii'iJi.fii :, halaman 247, Resune berikut ini diberikan secara i;;;;;;g dari persamaan gerak Ha_ m1lton Klassik. Fungsi Harnirton H yang menyatakan energl totar darl suatu sistim dinamika yang terdiit aar' n_bendatifik-b;J";irik, di_ berikan oleh,
H = P " > t s- L ,
s = 1, 2, ...r
3n
(rr.r.)
dimana L = L(xs, 0",,a, adalah fungsl Lagrange, *" d"r, ps.ada_ 1ah koordinat dan-momentur yang uraslng-masing dldeflnislkan ruang tiga dimensi. r""Ji 9.1..t. menyatakan turunan eksak terhadap waktu t dan. telah dlpergunakan -ri"""r"y" dl atas notasl indeks dumny yang- menyatakan bahwa indeks kernbar dalan suatu perkallan rnenyatakan penJumlahan terhadapnya. Dengan dernikian ternyata bahwa fungsl Hamllton adalah merupakan suatu fungsi tt(xs, ps, t). Bentuk persamaan gerak Hamilton adalah, dldeflnlsikan langstng dari (II.l) seiagal,
)is=E-ri"=_aH 8Po oxs
|6}i.il,totlah
(rr.2)
suatu variabel dlnamlka, makapersamaangeraknya
i=\s+-QIJ"
,aF
t-
Bt
(rr.3)
165 dengan mempergunakan (tt.1),
naka ia berubah menjadl,
aH _aF aH , aF s=ar axs aps aps axs at
= [r,u]+
i
lD
(rr.4)
ii
I i I
notasl [FrH] adal.ah poisson Bracket yang dlmaksud, yang secara umun dldeflnlsikan sebagal,
lr,cl =+-aG-- aF aG axs aps Beberapa sipat-slpat nelalui differenslasi
.sr-
[xrxJ=
( r r .s )
aps axs
aljabar yang dlmilikinya dapat dlperoleh yang sederhana diberilan dl bawah lnl,
[p",pt] = o
[*s,pr] = -[p"r*t]
= 6r"
(=o'r*s
=1
(II.6a)
[=1rr=s dan
[F'F1 = g [F,c1 = 0 bl1a c adalah suatu konstanta
(II.6b)
Bila F daran (rr.4) adalatr maslng-naslng xs dan ps uraka dlperoleh persanaan gerak Harnllton yang dttuliskan ai aatarn notasl Polsson Bracket sebagal,
; s = 1 xs,H = t *t
Ep'
dan blla
F adalah Il sendlrl,
fi = [H,H]
karena [Il,tt]
= g.
i " = [p " ,Hl = - +
(rr.7)
Exo
rnaka dLperoleh
',5a;H= E a H
(rr.8)
L66 Poleeon Bracket yang dtdeflnislkan dl atas dalarn koordinat dan momenttn dalan ruang tlga dlnenel, selanJutnya diberlkan notasl [FrG]g. rrr.
Perluasqt errpat
Poieeon Bracket
ke dslan
mtoq-uaktu
berdimensi
Bahasan selanJutnya lnl bertuJuan roeuperluaskan [FrG]3 ke dalam ruang-waktu eopat dlmensl dalam TeorL Relatlvltas [husus. Daram Mekanlka Rel-atlvlstlk dttunJukkan batrwa perluasan darl momentr.rn ruaDg yang blaea ke dalan momentum eopat dalarn ruang-waktu bLrdlnen"l gipat 1nl, memberikan komponen keempatnya sebagal energl totaL ilarl slitln. Fornul-ast'int dtberilian dalan Llteratur 1, halanan 100 dan LLterat,ur 4, haLanan 2L0 dan 224. secara kwantLtatlp, koordlnat - koordLnat ini dltullekan sebagal, *X = (*o
= ct,
U ,O P .= tP
= ; tH
(rrr.1)
xs)
dan momentun,
illmana H - H(xf, p"1 .d"lah lah monenlr.rn relatlvlstlk.
A. P )
Hamilton
=++--aE-\, lF,Gt 0x' Ep'
(rrr.2) reLatlvlstlk
u=ors
dan ps ada-
(rrr .3)
0pt Ext
dengan notael dan dlkenal sebagal poLsson Bracket [FrG]4, relatlvlstlk. Secara matematlsr dtanggap bahwa Betlap *U do, pU'adalah tak bergantrrngan satu sama lalnnya. Jadl pula dlpenuhlnya slpat-slpat alJabar dalan Bab II, yaknt
[*r, *']4 = [pu,nv]o- o [*!, pvl4= -[px, xv]4 6uv= tl: u#v }l=v
(III.4a)
dan
lF,Fl4=Q l F ,c l 4 = Q blla
c adalatr konstan
( r r r .4b)
It
L67
: t
IV.
I
Persanaor ge"ak reLatiuistik dalan Poieson Bracket uis tik d.st konsis tensi- ehekny a
relati-
t
t:
t i l,
l*
t I
Persamaan gerak HamlLton relativLstik diperoleh dengan mengevaluasi Poisson Bracket relatLvlstik darl xs dan ps dengan po dan menglngat batrwa xs adaLah tak bergantungan terhadab p" dan bahwa balk xs maupun pa kedua-duanya adalah bukan fungsl expJ.islt darl xo. Sebelnwrya, perlu dibukttkan terieblh dahulu akan pernyataan berlkut: Blla F = F(x!, ps) adalah suatu varlabel dlna'q{ka, maka
aF _?d.= dF apo axo
(rv.r)
dxo
Buktinya adaLah sebagaLberlkut,
ar ael = aF d (lttrat Llrerarur 4, halao"r"r,. .?l: = 4 apo axo apo dxo Exo dxo nan 224) naka
aF _4d"=
d!'
^o.o dp ox
^o.s^o.s^o
dP
dD
^o-^s.o^s.o^o' dp dx ox dp
6x
,-4_
dx
I
a.F dxs
ar
o*" d*o
ap" d*o
dp8
T-
_ L\
dx
0F oxo
=dE dxo terbuktl. Jadl persamaan adalah r._s f.x r
or P
^s^o
_ dx -d?p lt.=-7 ^o^5 dp dx
^o G+
=Q
gerak Hamllton
,
.a
dD
(|;K
^s dp
.o crx
untuk koordlnat
^a^o
^s^o
^s^o
^O^O dx dP
^S^S dP dx
^o^o
dx-
dp
dx
dD
dx
dp
ruang x8,
dp
dx
menurur (IV.1)
menurut (III.4)
168 nemberikan,
r*o
gP-"
(rv.s)
d*d= Fataufs=-*
yanS mana nirlp pula dengan persanaan gerak Hanllton non-relativistik unruk ps yang didefinlsikan dalan (II.3). SelanJu,lnyar. klta membuktikan pula pernyataan bertkut: Bila F = F(xU, ps) adalah suatu ai""ri[.i.t" "air"6.f
[F,po]4=o Ini
dibuktlkan
sebagal berikut,
rD -or p J4
[r,
(rv.4)
aF _A.d+ aF d
=
a*s aps
_ aF _?d _ aF _?d.
axo apo
aps axs
apo axo
t'
menurut (IV.l),
(IV.2)
(IV.3)
dan
aF-dxs+aF a*s dxo
ruas kanan berubah menJadl
+EF !d_an
Exo
ap" d*o
dxo
tetapl
+=EF-dxs*3F dxo
axs dxo
d*L ' ops dxo
a*o
dengan deniklan pernyataan dl atas terbuktl. Dengan mempergunakan (IV.4), maka persamaan gerak , relati_ vlstik untuk suatu varlabel dlnamika F, yang ita"tfrrf"ft.r, dalam (II.4) dalan bentuk non-relatlvistlknya, adalah
l r , p o l *, = 3 t
3d*ae
a*" ap"
= .[ F !r
=Q
axo apo
o, aF P Je.+-J
gd-aF
nU
dx
dF .O
4]-aF
aps axs
-C.
apo axo menurut (Iv.1)
dx
menurut (IV.4)
il
]t69 memberlkan,
*= dx"
[r, po]3 *= " 3*
atau F = [F, H]3
,' ial tF
(rv.s)
yang nana menunJukkan kemirlpannya. Blla F adalah po sendlri, maka ^o^o ^o^o ^o^s ^o^o dP dP _dP dP _dP dD [co.rol '4 =dD +dD ^ s ^ s ^ o ^ o ^ s ^ s ^ o ^ o dP dx dx dP dP dx dp dx ^o dp ^o dx
^o^o dD dp ^o^o dp dx
menurut (III.5)
menurut (rv. r) , -?d. 0oo = d, r"rob.rlkan apo axo dxo
.o ^o GD = 4 .o ^o (lX dX
yang nana
nirlp
pula
atau ;I tA =H: -
dt
dengan bentuk non-relatlvlsttk
(Iv.6)
(II.7).
V, Bahasan dmt Kesintpulan Perkataan Polsson Bracket relatlvlstlk bukannya berartl la adalah suatu bentuk yang covarlant dal-am Teorl ReLativltas Khusus. Dlkatakan relativlstlk, karena la meoberlkan bentuk persamaan-persanraan gerak relativistlk yang sesuai. Komentar serupa pula dlberlkan kepada perkataan llamll-ton relatlvlstlk dalao Bab III dan Bab IV. Fonrulasl covarlant darl Hanllton telah diturunkan dalan Llteratur 1, halaman 2 dan Literatur 4, halarnan 223. persamaan-persamaan gerak dalanr Bab II Kesamaan atara dan Bab III adalah tidak dan momentum eksak karena llaniLton dalam Bab IV adalah relatlvistik. Kesamaannya akan kelihbtan bila dttullskan Hanllton relativistlk ini sebagal H = IIfttrc2, dlmana Hr tereduslr nenJadl Hamllton non-relatlvlstlk dalan Bab II blla kecepatannya adalah kecil sekali dlbandlngkan terhadap kecepatan eahaya, v (( c. Akhlrnya, dlslnpulkan batrwa adaLah sangat ekonomls seka-
170 11, wrtuk menyalakan suatu persamaan gerak reLatlvlstik dalarn notasl Polsson Bracket relatLvlstik lnl, karena semuanya telah terdapat di dalaur notasl yang indah inl. Perlu dlte'nbahkan pula dislnl bahwa, artlkel lnl barulah merupakan suatu konsl.stensi check dari pada formulasi notasi Polsson Bracket relatlvlsttk untuk persamaan gerak relatlvlstlk. Untuk penakaiannya dalam menfornulasikan suatu bentuk yang leblh Luas dal-am flsisnya, dinamlka rel-atlvlstik pembaca dlpersllahkan membaca artikel yang cukup menarik dari piontr Mekanlka Kwanturn reLatlvistlk kenamaan P.A.M. Dirac, dalan Rev. Mod. Phys. 21., 3, 329 (L947),
Ueapot tey"ima kasih PenuLls sangat berterLma kaslh kepada para revlewer Proceedlngs ITB yang telah menunjukkan akan kesamaan form.ulas 1 Polsson Bracket rel-ativlstik di atas dengan yang terdapat dalan artlkelnya Dirac yang lebth luas, dan pula atas kesediaannya untuk memuatkan.kenball artlkel lnl sebagal suatu revle\il terhadapnya.
Literatut 1. Bergmann P.G.: Introduction Japan Publ. Trad. Co., Ltd.
to the (l-960).
2. Corbean H.C. and Stehle Phlllp: Prlnr., Lrd. (2nd ed.).
CLassical Mechanlcs, Topan
3. Dlrac P.A.M.: Fotr of R€latlvlstlc Phys. 2L, 3, 392 (L947). 4. Goldsteln H.: Lrd. (1962).
Classlcal
Theory of Rel-atlvl-ty,
Dynamlcs,
Rev.
Mod.
Mechanlcs, Japan Publ. Trad. Co.,
(nituz"Lma I )ktober L973)
I
It
PROCEEDING I TSB . V O L U M E 7 ISI - CONTENTS Hal-aman P. Soedigdo, Rochestri Ijad, dan Tan HrvieLiep, Penentuan Deradjat Pernbusukanpada Udang
t
U. Suriawiria, Efek Stimulatif dari Bakteria terhadap (VoluatieLla Pernbentukan Tubuh-buah djarnur Padi Voluacea (Fr.) Sine.)
11
Sri Sudarulati, Mesodermal Competence of The Presumptive Ecto - neuroderm at Varlous Developmental Stages, Ln Xenopus Laeuis (DAUDIN)
L7
I4.T. Zen, Geothermy and Its
27
Future in Indonesia
P. Soedigdo, Tinjauan Ulang mengenai Bloklmla DllA dan RNA serta Bioslntesa Proteln
4L
Hari jono Djojodihardjo, A S l r n p J . eM e r h o d t o C a l " c u t _ a r e The Oscillatlng Llft on A Ctrcular Cylinder ln Potentlal Flow
57
B. Hidajat and I. Rad'iman, The dB and gK Srars near The Direction of The Galactic Center
77
U. Surjawiria, Evaluasi Nodulasl Alaml terhadap 102 species Polong-polongan dari beberapa ternpat dl Jawa Barat
87
Harijono Djojodihardjo, Sorne Nores on The Deslgn, Constructlon and Performance of The Low - Speed Wind-Tunnel at ITB
103
11. Hidajatr quence
119
Evolution
of
Stars toward The Maln Se-
Sri Sudarwati dan Lien A. Sutasurja, Reproduksl pada Suatu jenis Chlroptera darl Daerah Tropis Tada(ItorsfleLd) rida plicatus plicatus
131
Harijono Djojodihardjo, Vinrl's Surface Densiry as A I'leans of Representlng The Earthf s Disturbance Potential
139
Hans J. Wospakrik, Poisson Bracket Relativistik
163
