BAB III PROSES POISSON MAJEMUK Pada bab ini membahas tentang proses stokastik, proses Poisson dan proses Poisson majemuk yang akan diaplikasikan pada bab selanjutnya. 3.1 Proses Stokastik Koleksi atau barisan peubah acak = | ∈ , dinamakan proses stokastik. T set indeks yaitu Jika untuk setiap , ∈ maka > , < atau = , yang selanjutnya T dinamakan ruang parameter. Pada penerapannya, interpretasi t menyatakan waktu dan menyatakan proses/keadaan pada waktu t. Jika T set indeks adalah himpunan yang terbilang maka disebut proses stokastik waktu diskrit. Sedangkan jika T set indeks adalah himpunan yang tak terbilang maka disebut proses stokastik waktu kontinu. Proses stokastik waktu kontinu | ∈ dikatakan memiliki kenaikan bebas (independent increment) jika untuk setiap < < < ⋯ < , peubah acak − , − , … , − saling bebas. Proses stokastik waktu kontinu | ∈ dikatakan memiliki kenaikkan stasioner (stationary increment) jika + − memilliki distribusi yang sama dengan untuk setiap waktu t.
18
19
Secara gambar, Frekuensi X(t + s) X(t + s) – X(t) X(t)
X(s)
s 0
s s
t
t+s
Waktu
Gambar 3.1 Kenaikan Stasioner (stationary increment) pada Proses Stokastik 3.2 Proses Menghitung Proses stokastik , ≥ 0 dikatakan proses menghitung jika merupakan banyaknya peristiwa yang telah tejadi hingga waktu t. Proses menghitung harus memenuhi: (i) ≥ 0. (ii) bernilai bilangan bulat (integer). (iii) Jika < maka ≤ . (iv) Untuk < , − sama dengan banyaknya peristiwa yang terjadi pada interval , ]. Proses menghitung dikatakan sebagai proses kenaikan bebas (independent increment) jika jumlah peristiwa yang terjadi dalam interval terpisah bersifat saling bebas. Ini berarti bahwa banyakya peristiwa yang telah terjadi pada waktu t harus bersifat saling bebas dengan banyaknya peristiwa yang terjadi pada interval t dan t + s. Sebagai contoh, misalkan banyaknya penjualan saham merupakan
20
suatu peristiwa. Banyaknya penjualan saham pada pukul 09:31:00 bersifat saling bebas (indenpendent) dengan banyaknya penjualan saham pada interval waktu 09:31:00 dan 10:00:00 Proses
menghitung
dikatakan
sebagai
proses
kenaikan
stasioner
(stationary increment) jika distribusi dari banyaknya peristiwa yang terjadi pada suatu waktu hanya bergantung pada panjangnya interval waktu. Ini berarti bahwa proses menghitung dikatakan memilliki kenaikan stasioner jika banyaknya peristiwa pada interval
+ , + ] memiliki distribusi yang sama dengan
banyaknya peristiwa pada interval , ] untuk setiap < dan > 0.
t1
t1+s
t2
t2+s
Gambar 3.2 Kenaikan Stasioner (stationary increment) pada Proses Menghitung 3.3 Proses Poisson Salah satu tipe proses menghitung adalah proses Poisson, yang didefinisikan sebagai berikut. Definisi 3.1: Proses menghitung , ≥ 0 dikatakan sebagai proses Poisson dengan intensitas %, % > 0 jika: (i) 0 = 0, (ii) Proses memiliki kenaikan bebas (independent increment),
21
(iii) Banyaknya peristiwa dalam beberapa interval sepanjang t berdistribusi Poisson dengan rerata %. Artinya, untuk semua s, ≥ 0, & + − = = '(
'() !
,
= 0,1, ….
(3.2)
Berdasarkan definisi diatas, dapat dikatakan bahwa , ≥ 0 merupakan peubah acak yang berdistribusi Poisson yang memiliki nilai ekspektasi matematik, ,- ] = %.
(3.4)
Definisi 3.2 (konsep fungsi f sebagai ./): Fungsi f dikatakan sebagai 0ℎ jika lim5→
75 5
=0
(3.5)
Definisi 3.3: Proses menghitung , ≥ 0 dikatakan sebagai proses Poisson dengan intensitas %, % > 0 jika: (i) = 0. (ii) Proses memiliki kenaikan stasioner (stationary increment) dan kenaikan bebas (independent increment). (iii) & ℎ = 1 = %ℎ + 0ℎ. (iv) & ℎ ≥ 2 = 0ℎ.
22
3.4 Proses Poisson Majemuk Proses stokastik , ≥ 0 dikatakan sebagai proses Poisson majemuk jika dapat direpresentasikan untuk ≥ 0 oleh = ∑<( ;= :;
(3.6)
dengan , ≥ 0 adalah proses Poisson dan :; , = 1,2, … adalah keluarga peubah acak saling bebas
dan berdistribusi identik yang saling bebas dari proses
, ≥ 0. Ini berarti jika , ≥ 0 adalah proses Poisson majemuk maka adalah peubah acak Poisson majemuk. Sifat-sifat proses Poisson majemuk: (i) Nilai ekspektasi ,-] = ,>,-| ]? = ,> ,-:]? = ,- ],-:] = %,-:] (ii) Varians @ABCD = ,>@ABC| D? + @AB,-| ] = ,- @AB :] + @AB ,-:] = @AB:,- ] + ,-:] @ABC D = @AB:% + ,-:] % = %@AB: + ,-:] = %,:
(3.7)
23
(iii) Fungsi pembangkit momen Dengan diketahui bahwa & = = ∑ & = | = & = . Maka, ,C EF( D = ∑; E; & = = ∑; E; ∑ & = | = & = = ∑ & = ∑; E; & = | = = ∑ & = ∑; E; &: + : + ⋯ + : = = ∑ & = GH = ∑ & = ICJK ED = G<( LCGH D = '(JK E
Contoh: Misalkan investor yang datang untuk membeli saham pada suatu perusahaan pada waktu perdagangan sesi I yaitu pukul 09:30:00 s.d 12:00:00 berdistribusi poisson dengan intensitas %. : : banyaknya saham yang terjual pada investor ke-1, : : banyaknya saham yang terjual pada investor ke-2, ⋮ :<( : banyaknya saham yang terjual pada investor ke- . Misalkan ; , = 1,2, … , berdistribusi eksponensial dengan parameter 1000.
24
Andaikan banyaknya saham yang terjual pada setiap investor merupakan vaiabel acak yang independen dan berdistribusi identik. Jika adalah banyaknya saham yang terjual pada semua investor yang berdatangan pada waktu t, maka , ≥ 0 adalah proses Poisson majemuk.
