3.1. A Poisson-eloszlás

Harmadik fejezet

Nevezetes val´ osz´ın˝ us´ egi v´ altoz´ ok Valamely valósz´ın˝ uségi változóhoz kapcsolódó kérdésekre akkor tudunk pontos választ adni, ha a változó eloszlása ismert, vagy megközel´ıt˝oleg ismert. Ebben a fejezetben a leggyakrabban el˝oforduló valósz´ın˝ uség-eloszlásokat tekintj¨ uk át. Megjegyezz¨ uk, hogy a matematikai statisztika irodalma jóval több valósz´ın˝ uségeloszlást tart nyilván. Természetesen minden eloszlás nem adható meg, de elegend˝oen sok eloszlás köz¨ ul választva szinte minden eloszlás jól közel´ıthetõ.

3.1. A Poisson-eloszl´ as A Poisson-eloszlás egyike a mérnöki gyakorlatban és az informatikában leggyakrabban megjelen˝o valósz´ın˝ uség-eloszlásoknak. Ennek ellenére az el˝oz˝o fejezetben tárgyalt eloszlásokhoz képest csak jóval összetettebb matematikai modellekben mutatható be. Legegyszer˝ ubben a binomiális eloszlásból kiindulva juthatunk el a Poisson-eloszláshoz. Bizonyos mennyiség˝ u nyersanyagból m szám´ u terméket kész´ıtenek. Az összes nyersanyagban n szám´ u szennyez˝odésszemcse van. Mi a valósz´ın˝ usége, hogy egy termékbe pontosan k szemcse ker¨ ul? (Ez a kérdés például akkor válhat lényegessé, amikor bizonyos szám´ unál több szennyez˝odésszemcsét tartalmazó termék selejtnek tekintend˝o.) Leegyszer˝ us´ıtve ´ıgy fogalmazhatunk: n szám´ u szemcsét kell elhelyezni m dobozban. Mi a valósz´ın˝ usége, hogy egy dobozba k szám´ u szemcse jut? Annak a valósz´ın˝ usége, hogy egy adott szemcse egy adott dobozba ker¨ ul p = 1/m. Így a binomiális eloszlás képletét használva: n pk (1 − p)n−k k annak a valósz´ın˝ usége, hogy k szemcse jut egy dobozba. Ez a valósz´ın˝ uség egy hosszabb gyártási periódusban érdekes, amikor m nagyon nagy, de az egy termékre jutó szennyez˝odésszemcsék n/m száma nem változik. Legyen λ = n/m. A λ k λ n−k n 1− lim n→∞ k n n határérték kiszám´ıtásához részletesen ki´ırjuk a binomiális egy¨ utthatót, és egy kicsit átalak´ıtjuk: n(n − 1)(n − 2) . . . (n − k + 1) λk λ n λ −k 1 − 1 − nk k! n n 1

´ ÍNUS ˝ EGI ´ VALTOZ ´ ´ 3. FEJEZET. NEVEZETES VALOSZ OK

2

Itt az els˝o tört és az utolsó tényez˝o egyhez tart, a középs˝o (n-t˝ol f¨ ugg˝o) tényez˝o pedig e−λ -hoz egy nevezetes határértéktétel szerint. Tehát: λk n (3.1.1) pk (1 − p)n−k → e−λ k k! λ param´ eter˝ u Poisson-eloszl´ asnak nevezz¨ uk a P (ξ = k) =

λk −λ e , k!

ahol k = 0, 1, . . . n és λ > 0

(3.1.2)

valósz´ın˝ uség-eloszlást. Lejjebb megmutatjuk, hogy λ az eloszlás várható értéke. Amit ´ıgy kaptunk, az a Poisson-féle határértéktétel: 3.1. t´ etel: (Poisson-f´ ele hat´ ar´ ert´ ekt´ etel) A p sikerval´ osz´ın˝ uség˝ u binomi´ alis eloszlás Poisson-eloszláshoz tart, ha az alternat´ıva ismétlésének n sz´ ama tart a végtelenhez u ´gy, hogy ek¨ ozben a binomiális eloszlás várhat´ o értéke np ´ alland´ o marad. Más szóval, ha n nagy p-hez képest, akkor a binomiális eloszlás Poisson-eloszlással közel´ıthet˝o. A Poisson-eloszlásra vonatkozó több kérdésre a gener´ atorf¨ uggv´ eny módszere hatékonyan használható. Ha egy diszkrét valósz´ın˝ uségi változó csak pozit´ıv egész értékeket vesz fel, akkor generátorf¨ uggvénye ∞ X G(z) = P (ξ = n)z n (3.1.3) n=1

hatványsorral adott, feltételezve, hogy a G összegf¨ uggvény létezik. Minden esetre |z| < 1 esetén a hatványsor tetsz˝oleges diszkrét eloszlásnál létezik. A Poisson-eloszlás generátorf¨ uggvénye G(z) = eλ(z−1)

(3.1.4)

minden z ∈ IR esetén értelmezve van. 3.1. p´ elda: Használjuk a generátorf¨ uggvényt szórásnégyzetének kiszám´ıtására!

a

Poisson-eloszlás

várható

értékének

és

Akkor (3.1.3)-ból differenciálással és z = 1 helyettes´ıtéssel kapjuk, hogy 0

G (1) =

∞ X

P (ξ = n)n = M (ξ) ,

(3.1.5)

n=1

és ismételt differenciálással 00

G (1) =

∞ X

P (ξ = n)n(n − 1) = M (ξ 2 ) − M (ξ).

n=1

Ebb˝ol σ(ξ)2 = G00 (1) + G0 (1) − (G0 (1))2 .

(3.1.6)

Most alkalmazzuk a (3.1.5) és (3.1.6) általános képleteket a Poisson-eloszlásra: G0 (z) = λeλ(z−1) ,

G00 (z) = λ2 eλ(z−1) . t u

´ ´ A GAMMA-ELOSZLAS ´ 3.2. AZ EXPONENCIALIS ES

3

A λ szám tehát a Poisson-eloszlás várható értéke és egyben szórásnégyzete. A következ˝o, a gyakorlatban nagy jelent˝oség˝ u tétel bizony´ıtása ismét a generátorf¨ uggvény– módszeren alapul. Azt a könnyen kiszám´ıtható áll´ıtástfogjuk felhasználni, hogy f¨ uggetlen, egész értékeket felvev˝o valósz´ın˝ uségi változók összegének generátorf¨ uggvénye az összeadand´ ok generátorf¨ uggvényének a szorzata.

3.2. t´ etel: Ha ξ1 és ξ2 λ1 ill. λ2 paraméter˝ u Poisson-eloszl´ as´ u f¨ uggetlen val´ osz´ın˝ uségi változók, akkor ξ1 + ξ2 ugyancsak Poisson-eloszl´ as´ u, és paramétere λ1 + λ2 . Bizony´ıt´ as: ξi generátorf¨ uggvénye Gi (z) = eλi (z−1)

(i = 1, 2)

(3.1.4) szerint. ξ1 + ξ2 generátorf¨ uggvénye G = G1 · G2 , azaz G(z) = eλ1 (z−1) eλ2 (z−1) = e(λ1 +λ2 )(z−1) . Ez pedig éppen egy λ1 + λ2 paraméter˝ u Poisson-eloszlás generátorf¨ uggvénye.

t u

A Poisson eloszlást a binomiális eloszlásból, annak speciális eseteként kaptuk meg. Komoly el˝onye, hogy nem kell ismerni a p valósz´ın˝ uséget, n-et, a k´ısérletek számát, csak λ-t. Poisson eloszlás esetén annak a valósz´ın˝ usége, hogy a siker száma k vagy annál több legyen λk−1 λ2 −λ + ··· + P (ξ > k) = 1 − e 1!λ + 2! (k − 1) Ez a kifejezés olyan gyakran fordul el˝o, hogy k¨ ulön neve is van: ,,Poisson féle exponenciális f¨ uggvény”, és értékeit táblázatba foglalták. Jól használható id˝oegység alatt bekövetkez˝o események számának, ter¨ ulet egységre es˝o pontok számának, készletezési, sorban állási, radioakt´ıv atomok bomlásával kapcsolatos valósz´ın˝ uségek le´ırására.]

3.2. Az exponenci´ alis ´ es a gamma-eloszl´ as Az exponenciális eloszlás már az el˝oz˝o fejezetben is felbukkant, s˝ ur˝ uségf¨ uggvénye f : x → exp(−λx), ahol λ pozit´ıv paraméter. Az exponenciális eloszlás várható értéke λ−1 . A tipikus exponenciális eloszlás´ u valósz´ın˝ uségi változó egy olyan véletlen id˝otartam, amely ha egy x id˝opontig nem ért véget, akkor u ´gy tekinthet˝o, mintha az egész folyamat csak az x id˝opontban kezd˝odött volna: P (ξ 6 x + y|ξ > x) = P (ξ 6 y)

(3.2.1)

Ez mindig teljes¨ ul egy exponenciális eloszlás´ u ξ valósz´ın˝ uségi változóra. Szavakkal u ´gy fejezz¨ uk ki, hogy az exponenci´ alis eloszl´ asnak nincsen eml´ ekezete, (3.2.1) bizony´ıtásához a valósz´ın˝ uségeket ki kell fejezni az eloszlásf¨ uggvény seg´ıtségével: P (x 6 ξ 6 x + y) Fξ (x + y) − Fξ (x) = P (x > ξ) 1 − Fξ (x) −λx −λ(x+y) e −e = = 1 − e−λy = Fξ (y) = P (ξ 6 y). e−λx

P (ξ 6 x + y|ξ > x) =

4


Bizony´ıtható, hogy csak az exponenciális eloszlásnak nincs emlékezete a s˝ ur˝ uségf¨ uggvénnyel rendelkez˝o folytonos eloszlások között. Exponenciális eloszlás alkalmazható például radioakt´ıv bomlási folyamatok során, és olyan – meghibásodásra, élettartamra vonatkozó – problémák esetében, ahol a meghibásodás nem az öregedésb˝ol, hanem pl. valamilyen véletlen ingadozástól, behatástól f¨ ugg. Az exponenciális eloszlás befoglalható a gamma-eloszl´ asok családjába. Legyen α és β pozit´ıv paraméter. A gamma-eloszlás a gamma-f¨ uggvényr˝ol kapta a nevét, mivel defin´ıciójában a gamma f¨ uggvény szerepel. A gamma f¨ uggvényre vonatkozó legfontosabb ismeretek a f¨ uggelékben megtalálhatók. Az α-drend˝ u gamma-eloszlás s˝ ur˝ uségf¨ uggvénye ( f (x) =

1 xα−1 e−x/β β α Γ(α)

ha x > 0,

0

k¨ ulönben.

(3.2.2)

Kiszámolható, hogy a gamma-eloszlás várható értéke αβ és varianciája αβ 2 . Az α = 1 választás vezet az exponenciális eloszláshoz. A gamma-eloszlás momentumgeneráló f¨ uggvénye t > β esetén van értelmezve és m(t) = (1 − βt)−α (t > β). (3.2.3) 3.3. t´ etel: Ha a ξ1 , ξ2 , . . . , ξn valósz´ın˝ uségi v´ altoz´ ok f¨ uggetlenek és ξi gamma-eloszl´ as´ u αi és β paraméterrel (1 6 i 6 n), akkor ξ1 + ξ2 + . . . + ξn ugyancsak gamma-eloszl´ as´ u, α1 + α2 + . . . + αn és β paraméterrel. Bizony´ıt´ as: A momentumgeneráló f¨ uggvény módszerét használjuk. (3.2.3) szerint ξi momentumgeneráló f¨ uggvénye mi (t) = (1 − βt)−αi és a ?? tétel szerint ξ1 + . . . + ξn momentumgeneráló f¨ uggvénye m(t) =

n Y

mi (t) = (1 − βt)−(α1 +α2 +···+αn )

i=1

amib˝ol látszik, hogy egy gamma-eloszláshoz tartozik, és a paraméterek kiolvashatók.

t u

A Poisson eloszlás megadja az id˝o intervallum alatt bekövetkez˝o események számának valósz´ın˝ uségét, a két esemény között eltelt id˝o pedig exponenciális eloszlást követ.

3.3. A norm´ alis eloszl´ as A ξ valósz´ın˝ uségi változót norm´ alis, avagy N (m, σ)-eloszlás´ unak nevezz¨ uk, ha s˝ ur˝ uségf¨ uggvénye (x−m)2 1 f (x) = √ e− 2σ2 (3.3.1) 2πσ alak´ u, ahol −∞ < m < ∞ és σ > 0. Mivel f (m − x) = f (m + x), az N (m, σ) s˝ ur˝ uségf¨ uggvény szimmetrikus m-re, és m a várható értéke. Parciális integrálással számolható ki, hogy N (m, σ) szórása éppen σ.

´ ´ 3.3. A NORMALIS ELOSZLAS

5

Ha m = 0 és σ = 1, akkor standard norm´ alis eloszl´ asr´ ol beszél¨ unk. oszlásf¨ uggvénye Z x 1 2 e−t /2 dt Φ(x) = √ 2π −∞

Ennek el(3.3.2)

A Φ(x) értékeket táblázatból vehetj¨ uk, mivel az integrál nem adható meg könnyen kezelhet˝o képlettel. A táblázat csak pozit´ıv x-ekre tartalmazza Φ(x)-et, negat´ıv x értékekre a Φ(−x) = 1 − Φ(x) összef¨ uggést használjuk. A táblázatból látható, de fejben tartani is érdemes, hogy a standard normális eloszlás 99% valósz´ın˝ uséggel −3 és 3 között veszi fel értékeit. Megjegyzés: A m˝ uszaki irodalomban uggvény defin´ıciója Erf(x) := gyakran használt Erf hibaf¨ R x −t2 x 1 2 √ e dt, tehát Φ(x) = 2 Erf √2 . π 0 3.4. t´ etel: Ha a ξ valósz´ın˝ uségi változ´ o N (m, σ) eloszl´ as´ u, akkor η=

ξ−m σ

standard normális eloszlás´ u. Nevezetesen b − m a − m a − m b − m <η< =Φ −Φ P (a < ξ < b) = P σ σ σ σ 3.2. p´ elda: Legyen a ξ valósz´ın˝ uségi változó N (3, 2) eloszlás´ u. Mekkora legyen az A szám ahhoz, hogy a (2, A) intervallumba 1/2 valósz´ın˝ uséggel essenek ξ értékei? Ha F a ξ valósz´ın˝ uségi változó eloszlásf¨ uggvénye, akkor

és a

P (2 6 ξ 6 A) = F (A) − F (2) A − 3 2 − 3 A − 3 1 = Φ −Φ =Φ −1+Φ , 2 2 2 2 A − 3 1 3 = −Φ Φ 2 2 2

egyenlethez jutunk, amit Φ táblázata seg´ıtségével oldunk meg: (A − 3)/2 = Φ−1 (0.8085) = 0.8725, amib˝ol A = 4.745. t u 3.3. p´ elda: Egy gyártó 1000 Ft-os egységáron árulja termékeit. Ha egy termék 80 g-nál kisebb, akkor eladhatatlan, és teljes veszteséget jelent. A termékek tömege normális eloszlást mutat w0 várható értékkel és 10 g szórással. Egy termék el˝oáll´ıtási költsége c = 5w + 30, ahol w a termék s´ ulya. Milyen átlagos w0 s´ uly maximalizálja a profitot? Annak a valósz´ın˝ usége, hogy egy termék eladhatatlan w − 80 p=Φ , 10 és (1 − p)1000 − (5w + 30) a bevétel, amelynek várható értéke a maximalizálandó. A 970 − 1000p − 5w0 várható érték maximumát differenciálással határozzuk meg: w − 80 d w0 − 80 0 1000 Φ = −100 Φ0 = −5 dw0 10 10 (összetett f¨ uggvényt kellett differenciálni). Az egyenlet két gyöke köz¨ ul w0 = 109.6 ad csak maximumot, a feladat természetéb˝ol adódóan. t u

6


Normális eloszlás alkalmazható mérési hibákra, méret ingadozásokra és olyan élettartam vizsgálatokra, ahol a kész¨ ulékek, alkatrészek rendszeres kopással mennek tönkre. A normális eloszlás fontosságát t¨ ukrözi a következ˝o tétel, amely szerint bizonyos feltételek esetén normális eloszlással közel´ıthet˝o a binomiális eloszlás. 3.5. t´ etel: (Moivre–Laplace-t´ etel) Legyen ξn 0, 1, 2, . . . , n értékeket felvev˝ o valósz´ın˝ uségi v´ altoz´ o, amelynek eloszlása binomi´ alis p sikerval´ osz´ın˝ uséggel. Ekkor a ξn − np ξn∗ = √ npq val´ osz´ın˝ uségi változók eloszlása a standard norm´ alis eloszl´ ashoz tart, amikor n → +∞. A tételt a gyakorlatban a binomiális eloszlás közel´ıtésére használjuk a következ˝o alakban: a − np b − np −Φ √ P (a 6 ξn 6 b) ≈ Φ √ npq npq

(3.3.3)

Ez a közel´ıtés akkor alkalmazható, ha np és nq 5-nél nagyobb. Megjegyzés: A 3.12 gyakorlat megoldásában megtapasztalhatjuk a tétel jelent˝oségét. 3.4. p´ elda: Egy hallgatónak 20 tesztkérdésre kell igennel vagy nemmel válaszolnia, és p = 50 %-os valósz´ın˝ uséggel ad helyes választ. Mi a valósz´ın˝ usége, hogy legalább 15 kérdésre ad helyes választ? np = nq = 10 > 5 , ´ıgy alkalmazhatjuk a (3.3.3) közel´ıtést. P (15 6 ξ) = 1 − 0.989 = 1.1% a meglep˝oen alacsony esély. t u

3.6. t´ etel: Az N (m, σ) norm´ alis eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ uségi v´ altoz´ o momentumgener´ al´ o f¨ uggvénye m0 (t) = exp(mt + σ 2 t2 /2) .

(3.3.4)

Bizony´ıt´ as: A momentumgeneráló f¨ uggvény defin´ıciója szerint az Z ∞ (x−m)2 1 m0 (t) = √ etx e− 2σ2 dx 2πσ −∞ Z ∞ 1 = √ exp [(−σ −2 /2)(x2 − 2mx + m2 − 2σ 2 tx)] dx. 2πσ −∞ A kitev˝oben teljes négyzetté való kiegész´ıtés után azt kapjuk, hogy Z ∞ (x − (m + tσ 2 ))2 1 mt+t2 σ 2 /2 √ m0 (t) = e exp − dx . 2σ 2 2πσ −∞ √ Az integrál értéke 2πσ, és ´ıgy a bizony´ıtandó képlethez jutottunk.

t u

3.7. t´ etel: Legyen ξi N (mi , σi ) norm´ alis eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ uségi v´ altoz´ o (i = 1, 2). Ha pξ1 és ξ2 f¨ uggetlen, akkor ξ1 + ξ2 is normális eloszl´ as´ u, m = m1 + m2 v´ arhat´ o értékkel és σ = σ12 + σ22 sz´ or´ assal.

´ ´ 3.4. A LOGARITMIKUS NORMALIS ELOSZLAS

7

Bizony´ıt´ as: Valóban, az mi (t) = exp(mi t + σi2 t2 /2) momentumgeneráló f¨ uggvények szorzata (σ 2 + σ22 )t2 exp m1 t + m2 t + 1 2 a ?? tétel alapján ξ1 + ξ2 momentumgeneráló f¨ uggvénye. Bel˝ole a normális eloszlás paraméterei kiolvashatók. t u A szórás a valósz´ın˝ uségi változók ingadozásának leggyakrabban használt mértéke. Egy valósz´ın˝ uségi változó bizonytalanságának – f˝oként az információelméletben használt – másik mértéke az entr´ opia. ξ entrópiáját az Z

∞

−

fξ (x) ln fξ (x) dx = H(ξ)

(3.3.5.)

−∞

integrállal lehet megadni. Könny˝ u kiszámolni az N (m, σ) eloszlás entrópiáját, ami az √ ln 2πe + ln σ

(3.3.6)

értéknek adódik. (A képletb˝ol látszik, hogy normális eloszlásra az entrópia bármilyen val´ os értéket felvehet.) A nagy szórás nagy entrópiát, azaz nagy bizonytalanságot jelent. Az N (m, σ) norm´ alis eloszlás nevezetes tulajdonsága, hogy a σ szórás´ u és m várható érték˝ u eloszlások között a legnagyobb az entrópiája, azaz minden más σ sz´ orás´ u m várható érték˝ u eloszlás entrópiája (3.3.6)-nál kisebb.

A következ˝o eloszlások majd a statisztikai vizsgálatokban lesznek fontosak.

3.4. A logaritmikus norm´ alis eloszl´ as Egy pozit´ıv értékeket felvev˝o ξ valósz´ın˝ uségi változót logaritmikus norm´ alis eloszl´ as´ unak (vagy lognormális eloszlás´ unak) mondunk, ha a η = ln ξ valósz´ın˝ uségi változó normális eloszlás´ u. Tételezz¨ uk fel, hogy η eloszlása N (m, σ). Ekkor az eloszlásf¨ uggvény defin´ıciója szerint 1 Fξ (x) = P (ξ < x) = P (η < ln x) = √ σ 2π

Z

ln x

e−

(t−m)2 2σ 2

dt.

−∞

Ebb˝ol differenciálással adódik, hogy fξ (x) = √

(ln x − m)2 1 exp − 2σ 2 2πσx

(x > 0).

(3.4.1)

Az irodalomban m helyett α és σ helyett β paraméter is szokott szerepelni. Az m és σ bet˝ uk haszn´ alata azonban azért célszer˝ u, mert utalnak a megfelel˝o normális eloszlásra. Integrálással kiszámolható ξ várható értéke és szórása: M (ξ) = em+σ

2 /2

,

2

2

σ(ξ)2 = e2m+σ (eσ − 1)

(3.4.2)

A lognormális eloszlás nevezetes tulajdonsága, hogy ha ξ lognormális eloszlás´ u, akkor az aξ b valósz´ın˝ uségi változó is lognormális eloszlás´ u tetsz˝oleges pozit´ıv a és b számokra.

8


3.5. A khi-n´ egyzet ´ es a khi-eloszl´ as n szám´ u f¨ uggetlen standard normális eloszlás´ u valósz´ın˝ uségi változó négyzetösszegének eloszlását n szabads´ agfok´ u χ2 -eloszl´ asnak nevezik. A χ2 -eloszlás s˝ ur˝ uségf¨ uggvénye n

x

x 2 −1 e− 2 fn (x) = n 2 2 Γ(n/2)

(x > 0)

(3.5.1)

(A nevez˝oben el˝oforduló gamma f¨ uggvény értelmezése és tulajdonságai a f¨ uggelékben találhatók meg.) 3.8. t´ etel: Az n szabadságfok´ u χ2 -eloszl´ as momentumgener´ al´ o f¨ uggvényét, v´ arhat´ o értékét és sz´ or´ as´ at a következ˝o képletek adják meg: √ m(t) = (1 − 2t)−n/2 (t > 1/2), M = n, σ = 2n . (3.5.2) Az η valósz´ın˝ uségi változó eloszlását χ-eloszl´ asnak nevezz¨ uk, ha az η 2 valósz´ın˝ uségi változó 2 χ -eloszlás´ u. Ez az eloszlás a matematikai statisztikában játszik fontos szerepet. Az nszabadságfok´ u χ-eloszlás s˝ ur˝ uségf¨ uggvénye 2

2xn−1 e−x /2 fn (x) = n/2 2 Γ(n/2) és várható értéke M=

(x > 0)

√ Γ((n + 1)/2) 2 . Γ(n/2)

(3.5.3)

(3.5.4)

Megjegyezz¨ uk, hogy a példák között szerepel a két szabadságfok´ u χ2 -eloszlás s˝ ur˝ uségf¨ uggvényének levezetése. A következ˝o példában rámutatunk a Maxwell-eloszlás (lásd a ?? példát) és a három szabadságfok´ u χ2 -eloszlás kapcsolatára. 3.5. p´ elda: A kinetikus gázelmélet szerint egy nyugalomban lév˝o gáz egy molekulájának egymásra mer˝oleges x, y és z irány´ u sebességkomponensei f¨ uggetlenek, és N (0, σ) eloszlás´ u valósz´ın˝ uségi változónak tekinthet˝ok. Legyen ξx , ξy és ξz a három sebességkomponens. A sebességvektor q v = ξx2 + ξy2 + ξz2 hosszának s˝ ur˝ uségf¨ uggvényét a Maxwell-féle sebességeloszlási törvény adja meg, amit most levezet¨ unk. A ξx /σ, ξy /σ és ξz /σ valósz´ın˝ uségi változók standard normális eloszlás´ uak, ´ıgy v/σ három 2 2 szabadságfok´ u χ -eloszlás´ u valósz´ın˝ uségi változó. A χ -eloszlás s˝ ur˝ uségf¨ uggvényéb˝ol 2

2 /2

2x2 e−x /2 2x2 e−x fv/σ (x) = 3/2 = √ 2 Γ(3/2) 2π és

2 2

2σ 3 x2 e−x σ /2 √ fv (x) = σfv/σ (σx) = 2π √ (2.3.11) α paramétere és az utóbbi képlet σ-ja között az α = 2/σ o¨sszef¨ uggés áll fenn. Ezért 2 σ = m/(kT ). t u

´ 3.6. A T VAGY STUDENT ELOSZLAS

9

3.6. A t vagy student eloszl´ as Az η valósz´ın˝ uségi változót n szabadságfok´ u t-eloszl´ as´ unak nevezz¨ uk, ha megadhatók olyan standard normális eloszlás´ u, f¨ uggetlen ξ0 , ξ1 , . . . , ξn valósz´ın˝ uségi változók, hogy √ nξ0 η=p 2 ξ1 + ξ22 + · · · + ξn2

3.1. A Poisson-eloszlás

Recommend Documents