Efek Relativistik Pada Hamburan K + n

Efek Relativistik Pada Hamburan K+n Putu Adi Kusuma Yudhal , Dr. Agus Salam2 , Dr. Imam Fachruddin3 1. Departemen Fisika, Universitas Indonesia, Depok 16424, Indonesia 2. Departemen Fisika, Universitas Indonesia, Depok 16424, Indonesia 3. Departemen Fisika, Universitas Indonesia, Depok 16424, Indonesia email : [email protected]

Abstrak Hamburan K+ n dihitung dalam basis ruang momentum tiga dimensi (3D). Sebagai input digunakan interaksi yang dijabarkan sebagai pertukaran meson dan hiperon antar kaon dan nukleon. Dua tipe perhitungan dikerjakan, tipe satu menggunakan kinematika nonrelativistik dan tipe dua memakai kinematika relativistik. Perhitungan tipe dua dibandingkan terhadap perhitungan tipe satu untuk melihat efek relativistik pada energi yang bervariasi.

Relativistic Effect on K+ n Scattering Abstract K+ n scattering is calculated in three-dimensional (3D) momentum space basis. As input interaction described as meson- and hyperon-exchange between kaon and nucleon is taken. Two types of calculations are carried out, type one uses nonrelativistic kinematics and type two takes relativistic kinematics. Calculations of type two are compared to those of type one to see some relativistic effects at various energies. Keywords: Relativistic effect, K+ n scattering, 3D basis

PENDAHULUAN Seiring

berkembangnya

teknologi,

eksperimen

hamburan

yang

semakin

mutakhir

memungkinkan pa- ra fisikawan untuk memperoleh data yang semakin akurat untuk dianalisis dan melakukan eksperimen pada energi yang makin tinggi, bukan hanya berorde MeV, melainkan juga GeV dan bahkan TeV. Di samping itu, perkembangan metode perhitungan yang semakin maju juga sangat membantu pemecahan masalah-masalah di bidang fisika teori. Efek Relativistik..., Putu Adi Kusuma Yudha, FMIPA UI, 2014

Baik eksperimen maupun teori, penelitian tentang hamburan partikel hingga saat ini terus dikembangkan untuk mempelajari lebih lanjut struktur maupun sifat-sifat inti dan partikelpartikel subatomik [1]. Pada penelitian ini kami menghitung hamburan kaon-nukleon (KN). Hamburan ini merupakan salah satu contoh hamburan elastik, dimana selama reaksi berlangsung, struktur internal dari partikel-partikel yang berinteraksi tidak berubah[2]. Persamaan utama untuk menghitung hamburan ini yaitu persamaan Lipmann- Schwinger untuk matriks T[3]. Dari elemen matriks T, yang merupakan solusi persamaan tersebut, besaran-besaran hamburan seperti penampang lintang dapat dihitung.

TEORI DASAR Kinematika Non-Relativistik Secara garis besar, relasi antara momentum di kerangka lab dan P.M. dapat dituliskan dalam persamaan : P=

m 2 kl - m l k2 ml + m2

(1)

Nilai k’2 = 0, karena pada keadaan awal sistem yang bekerja adalah sistem Kaon, yang bertumbukan

dengan Nukleon, berada dalam keadaan diam relatif terhadap kerangka lab. Sehingga : µ kl . ml

(2)

ml m2 ml + m2

(3)

P = dimana µ merupakan massa tereduksi :

µ=

Gambar 2.1: Skematik hamburan di kerangka lab dan pusat massa

Persamaan Lippmann-Schwinger 3D Keadaan Basis Keadaan basis

didefinisikan sebagai hasil dari keadaan bebas

relatif partikel, sedangkan

, dimana

keadaan spin dengan spin total s = . Kuantisasi spin berada di

Efek Relativistik..., Putu Adi Kusuma Yudha, FMIPA UI, 2014

sepanjang sumbu z, maka

momentum

(4) Keadaan

dinormalisasi menjadi (5)

dengan relasi kelengkapan

(6)

Elemen Matriks-T dan Persamaan Lippmann-Schwinger Elemen matriks-T didefinisikan sebagai (7) Lalu, elemen matriks-T dalam basis

, untuk elemen matriks

yang memenuhi

persamaan Lippmann-Schwinger adalah

(8)

memiliki propagator bebas (9) Pada kondisi

berlaku (10)

dimana

ditulis dalam persamaan

(11) Selanjutnya,

didefinisikan sebagai (12)

Efek Relativistik..., Putu (11) Adi Kusuma dengan definisi tersebut, maka persamaan menjadiYudha, FMIPA UI, 2014

\

(13) Relasi simetri berlaku pada

sebagai berikut : (14)

Besaran Spin Besaran spin dicari dengan persamaan (15) Persamaan (15) berhubungan dengan polarisasi spin di keadaan awal dan keadaan akhir . Jadi, dari persamaan (15), kita mendapatkan besaran spin yang dibutuhkan antara lain, penampang lintang diferensial spin rata-rata (spin-averaged differential cross section)

(16)

polarisasi dan asimetri

yang dihitung pada saat spin awal terpolarisasi namun spin terhambur tidak terpolarisasi pada kondisi sebaliknya

(17)

(18) serta depolarisasi

, yaitu ketika spin awal dan spin terhambur tidak terpolarisasi


(19)

(20)

Kinematika Relativistik Keadaan akhir yang diamati adalah keadaan akhir proyektil, maka .

(21) Sehingga, penampang lintang diferensial rata-rata spin untuk kinematika relativistik adalah

Untuk kinematika non-relativistik, nilai momentum

(22)

atau dapat ditulis

(23) Maka dari itu, dapat kita set

(24) yang membuat persamaan (22) berubah menjadi (25) Sehingga penampang lintang rata-rata spin untuk kinematika non-relativstik adalah Efek Relativistik..., Putu Adi Kusuma Yudha, FMIPA UI, 2014

(26)

METODE PENELITIAN Hamburan K+n dikerjakan dengan menyelesaikan persamaan Lipmann- Schwinger (LS) untuk matriks-T dalam basis 3D di ruang momentum[4]. Sebagai input diambil model pertukaran hadron orde dua untuk interaksi K+n, yang merupakan model interaksi pertukaran meson dan hyperon[5]. Model ini melibatkan pertukaran skalar meson hyperon

, vektor meson

dan

serta

dan . Dua macam perhitungan akan dilakukan. Perhitungan pertama menggunakan

kinematikanonrelativistik dan yang kedua menggunakan kinematika relativistik [6]. Hasil perhitungan adalah penampang lintang,faktor fase, matriks- , polarisasi, dan depolarisasi. Untuk melihat efek kinematika relativistik hasil perhitungan kedua akan dibandingkan terhadap yang pertama. Diagram Feynmann untuk pertukaran meson :

Gambar 3.1: Diagram Feynmann untuk pertukaran meson hamburan K+ N sedangkan untuk pertukaran hyperon, diagram Feynmann untuk reaksinya adalah


Gambar 3.2 : Diagram Feynmann untuk pertukaran hyperon hamburan K+ N Untuk pertukaran partikel a, \

(27)

lalu, untuk pertukaran partikel ω dan ρ

dengan faktor isospin tambahan

(28)

untuk pertukaran partikel . Sedangkan untuk pertukran

hyperon dan


(29) dengan faktor isospin tambahan

untuk

=

dan

[5] untuk

HASIL PENELITIAN Differential Cross Section at Elab = 100 MeV nonrel rel

14

da dn [milibarn]

12 10 8 6 4 2 0

0

45

90 θlab [degree]

135

180

Gambar 4.1: Penampang lintang Diferensial pada energi 100 MeV

Differential Cross Section at Elab = 500 MeV 45

nonrel rel

40

da dn [milibarn]

35 30 25 20 15 10 5 0

0

45

90 θlab [degree]

135

Efek Relativistik..., Putulintang Adi Kusuma Yudha, FMIPA UI,500 2014 Gambar 4.2: Penampang Diferensial pada energi MeV

180

=

Differential Cross Section at Elab = 1000 MeV 60

nonrel

rel

da dn [milibarn]

50 40 30 20 10 0

0

45

90 θlab [degree]

135

Gambar 4.3: Penampang lintang Diferensial pada energi 1000 MeV


180









PEMBAHASAN Penampang Lintang Diferensial Penampang lintang diferensial untuk energi 100 MeV, 500 MeV dan 1000 MeV ditunjukkan oleh gambar (4.1) - (4.3). Saat nilai energi membesar, jarak pergeseran kurva antara perhitungan non relativistik dan relativistik semakin melebar, terutama pada saat sudut hambur (Blab ) kecil. Dari grafik juga terlihat bahwa penampang lintang diferensial hasil perhitungan relativistik memiliki nilai yang lebih besar dari perhitungan non relativistik. Pada gambar (4.19) juga ditampilkan penampang lintang total pada energi 10 - 1000 MeV.

Faktor Fase dan Matriks-T Faktor fase (Π) dan matriks-T (IO ) berkorelasi terhadap nilai penampang lintang diferensial. Faktor fase untuk nilai energi 100 MeV, 500 MeV dan 1000 MeV ditunjukkan oleh gambar (4.4) - (4.6), sedangkan matriks-T ditunjukkan oleh gambar (4.7) - (4.10).

Keduanya

didapatkan dari persamaan penampang lintang diferensial (2.86) untuk relativistik dan (2.90) untuk non relativistik. Maka faktor fase relativistik :

faktor untuk relativistik

matriks-T untuk non relativistik dan non relativistik

Pada faktor fase, dari gambar (4.4) - (4.6) terlihat bahwa nilai Π hasil perhitungan relativistik lebih besar dari hasil perhitungan relativistik. Hal ini yang mengakibatkan penampang lintang diferensial hasil perhitungan relativistik memiliki nilai yang lebih besar dari perhitungan non relativistik. Kemudian, untuk matriks-T , dari gambar (4.7) - (4.9), nilai IO membesar pada sudut Blab kecil, kecuali pada energi 100 MeV. Nilai IO membesar pada sudut Blab kecil inilah yang mengakibatkan pergeseran kurva penampang lintang diferensial mengarah ke sudut Blab yang kecil. Pada gambar (4.19) juga ditampilkan grafik penampang lintang total pada energi 10 - 1000 MeV.

Polarisasi, Depolarisasi (X X ) dan Depolarisasi (Z X ) Polarisasi pada energi 100 MeV, 500 MeV dan 1000 MeV ditunjukkan oleh gambar (4.10) (4.12), se- dangkanEfek depolarisasi (X Putu X ) dan (Z X ) Yudha, masing-masing oleh gambar Relativistik..., Adi Kusuma FMIPA UI,ditunjukkan 2014 (4.13) - (4.15) dan (4.16) - (4.18). Efek relatifistik paling terlihat untuk polarisasi pada energi

500 MeV, terutama pada saat sudut Θ C M besar. Lalu, untuk depolarisasi (X X ) dan (Z X ), efek relativistik kurang terlihat pada energi 100 MeV, sedangkan pada energi 500 MeV dan 1000 MeV, efek relativistik mulai terlihat. Hal ini ditandai dengan semakin terlihatnya pergeseran kurva hasil perhitungan relativistik dan non relativistik.

KESIMPULAN Perbedaan hasil perhitungan efek relativistik dan non relativistik pada nilai energi tertentu memperlihatk- an perbedaan yang mencolok pada sudut hambur (Blab ) kecil, yang ditunjukkan oleh grafik penampang lintang diferensial. Hal ini berhubungan dengan nilai faktor fase (Π) dan matriks-T (IO ). Faktor fase mempengaruhi nilai penampang lintang diferensial. Nilai faktor fase pada perhitungan efek relativistik lebih besar dari perhitungan non relativistik untuk setiap nilai energi tertentu. Ini yang menyebabkan nilai penampang lintang diferensial untuk perhitungan efek relativistik lebih besar dari perhitungan nilai non relativistik untuk setiap nilai energi tertentu. Lalu, matriks-T (IO ) mempengaruhi pergeseran sudut penampang lintang diferensial. Nilai IO cenderung membesar pada sudut Blab kecil. Ini yang menyebabkan jarak pergeseran kurva hasil perhitungan efek relativistik dan non relativistik terlihat signifikan di sudut Blab

kecil. Kemudian, efek relativistik semakin

signifikan pengaruhnya pada energi yang semakin tinggi. Ini ditunjukkan pada grafik polarisasi, depolarisasi (X X ) dan (Z X ). Pada grafik polarisasi, efek relativistik paling terlihat pada energi 500 MeV. Untuk depolarisasi (X X ) dan (Z X ), pada nilai 100 MeV, efek relativistik belum kentara terlihat, sedangkan pada energi yang lebih tinggi, yaitu 500 MeV dan 1000 MeV, efek relativistik mulai terlihat. Hal ini ditandai dengan terlihat makin jelasnya pergeseran kurva hasil perhitungan efek relativistik terhadap perhitungan non relativistik.

DAFTAR ACUAN [1] Krane, K.S. (1988). Introductory Nuclear Physics. Wiley, New York. [2] Davydov, A.S., dan Haar, D.T. (1976). Quantum Mechanics. Pergamon Press, New York. [3] Glockle, W. (1983). The Quantum Mechanical Few-Body Problem. Springer Verlag, Berlin. [4] Fachruddin, I., dan Salam, A. (2013). KN scattering in 3D formulation. Few-Body Systems 54, 1625, DOI: 10.1007/s00601-012-0557-1. [5] Buttgen, R., Holinde, K., Muller-Groeling, A., Speth, J., dan Wyborny, P. (1989). A Meson Exchange Model for the K+N Interaction. Nuclear Physics A 506, 586-614. [6] Fong, R., dan Sucher, J. (1964). Relativistic Particle Dynamics and the S Matrix. J. Math. Phys 5, 456. Efek Relativistik..., Putu Adi Kusuma Yudha, FMIPA UI, 2014

Efek Relativistik Pada Hamburan K + n

Recommend Documents