PŘÍKLADY PRŮBĚHŮ VNITŘNÍCH SIL N,T,M NA NOSNÍCÍCH 1. Prostý nosník zatížený osamělými silami (břemeny) Vykreslete průběhy vnitřních sil N, T a M. a,1) N = 0 v celém úseku 1, 2 )
2, 3)
Ta1 = A = T1a M a1 = 0 M 1a = A ⋅ a1 N = 0 v celém úseku T12 = A − F1 = T21 M 12 = M 1a M 21 = A ⋅ a 2 − F1 ⋅ 12 N = 0 v celém úseku T23 = A − F1 − F2 = T32 M 23 = M 21 M 32 = A ⋅ a3 − F1 ⋅13 − F2 ⋅ 23
b, 3) použit výpočet „zprava (postupuje se od pravé podpory doleva) Tb 3 = A = T3b M b3 = 0 M 3b = M 32 N = 0 v celém úseku
podle tabulky 6.4. (viz skripta) pro zatížení nulovým spojitým zatížením střednice: průběh T je konstantní, průběh M lineární (prvního stupně). Poloha nebezpečného průřezu: funkce posouvající síly T mění znaménko v bodu 2, v tomto místě bude maximální ohybový moment M max = M 21 = M 23 V místech, kde působí osamělá síla má posouvající síla skok (nespojitost), který se rovná velikosti působící síly. Ohybový moment má v těchto bodech zlom.
2. Prostý nosník zatížený jedním osamělým břemenem Vypočítejte průběhy vnitřních sil jako funkci délky střednice a vykreslete je. Reakce
A= B=
F 2
Vnitřní síly: a, c ) (úsek končí těsně před působištěm síly F) N (x ) = 0
F F Tac = = Tca 2 2 M (x) = A ⋅ x M ac = 0 pro x = 0 F l Fl pro x = l / 2 M ca = ⋅ = 2 2 4 T (x ) = A =
c, b ) N (x ) = 0 F F F =F − =− 2 2 2 l M (x ) = A ⋅ x − F ⋅ x − 2
T (x ) = A −
F F − F = − = Tbc 2 2 F l Fl M cb = ⋅ = 2 2 4 F l M bc = − F ⋅ l − = 0 2 2
Tca =
pro x = l / 2 pro
x=l
Podle tabulky 6.4. (viz skripta) pro zatížení nulovým spojitým zatížením střednice: průběh T je konstantní, průběh M je lineární (prvního stupně) Poloha nebezpečného průřezu: funkce posouvající síly T mění znaménko v bodu c, v tomto místě bude M max = M ca = M cb maximální ohybový moment
3. Prostý nosník s rovnoměrným spojitým zatížením Vypočítejte průběhy vnitřních sil jako funkci délky střednice a vykreslete je. Reakce:
A = B = q⋅
l 2
Vnitřní síly: a, b ) (úsek končí těsně před působištěm reakce B při výpočtu „zleva“) N (x ) = 0
T (x ) = A − q ⋅ x =
ql −q⋅x 2
ql = −Tba 2 x qlx qx 2 qx M ( x ) = A ⋅ x − qx ⋅ = − = (l − x ) 2 2 2 2 M ab = 0 pro x = 0 ql M ba = ⋅ (l − l ) = 0 pro x = l 2 Tab =
Pro zatížení konstantním spojitým zatížením střednice: průběh T je lineární (prvního stupně), průběh M je kvadratický (druhého stupně) Poloha nebezpečného průřezu: nulová posouvající síla T ( x0 ) =
ql l − q ⋅ x0 = 0 ⇒ x0 = je poloha nebezpečného průřezu 2 2
maximální ohybový moment v nebezpečném průřezu M max =
qx0 q l l 1 (l − x0 ) = ⋅ ⋅ l − = ql 2 2 2 2 2 8
4. Konzola s rovnoměrným spojitým zatížením Vypočítejte průběhy vnitřních sil jako funkci délky střednice a vykreslete je. Výpočet vnitřních na konzole je nejvhodnější provádět ze strany volného konce. V tom případě není třeba počítat reakce ve vetknutí konzoly. a, b ) N (x ) = 0 T ( x ) = −q ⋅ x =
Tab = 0 Tba = −q ⋅ l x qx 2 M ( x ) = − qx ⋅ = − 2 2 M ab = 0 ql 2 M ba = − 2
Pro zatížení konstantním spojitým zatížením střednice: průběh T je lineární (prvního stupně), průběh M je kvadratický (druhého stupně)
pro x = 0 pro x = l
pro x = 0 pro x = l
5. Konzola zatížená osamělým břemenem na konci vyložení Vypočítejte průběhy vnitřních sil jako funkci délky střednice a vykreslete je. Budeme postupovat výpočtem „zprava“, v souřadné soustavě s osou x orientovanou zprava doleva. b, a ) N (x ) = 0 po celé délce T (x ) = F M ( x ) = − Fx M ba = 0 M ba = − F ⋅ l
pro x = 0 pro x = l
Pro zatížení nulovým spojitým zatížením střednice: průběh T je konstantní, průběh M lineární (prvního stupně)
6. Prostý nosník s trojúhelníkovým spojitým zatížením Vypočítejte průběhy vnitřních sil jako funkci délky střednice a vykreslete je. Náhradní břemeno F =
1 f0 ⋅ l 2
reakce A z momentové podmínky rovnováhy k bodu b: l l 1 A ⋅ l − F ⋅ = A ⋅ l − f 0l ⋅ = 0 3 2 3 1 A = f 0l 6
Reakce B ze součtové podmínky rovnováhy: A+ B− F =0 1 1 1 B = F − A = f 0l − f 0l = f 0l 2 6 3
Výpočet vnitřních sil: Náhradní břemeno (obsah zatěžovacího trojúhelníka o stranách x a f (x ) ) 1 1 x 1 x2 F (x ) = f (x ) ⋅ x = f0 ⋅ x = f0 2 2 l 2 l 1 1 x2 Posouvající síla T ( x ) = A − F ( x ) = f 0l − f 0 6 2 l 1 1 l2 1 1 Tab = T (0 ) = f 0l = A pro x = 0 Tba = T (l ) = f 0l − f 0 = − f 0l = − B pro x = l 6 6 2 l 3
Ohybový moment x 1 1 x 1 1 x x 1 1 x3 M ( x ) = A ⋅ x − F ( x ) ⋅ = f 0l ⋅ x − f ( x ) ⋅ x ⋅ = f 0l ⋅ x − f 0 ⋅ x ⋅ = f 0l ⋅ x − f 0 3 6 2 3 6 2 l 3 6 6 l M ab = M ba = 0
Z podmínky nulové posouvající síly se určí poloha nebezpečného průřezu: 1 1 x02 T ( x ) = f 0l − f 0 = 0 6 2 l
⇒
1 1 x02 l− ⋅ =0 6 2 l
⇒
l2 x0 = =& 0,577 ⋅ l 3
Maximální ohybový moment v nebezpečném průřezu 1 1 x0 1 1 (0,557l ) 2 = M (0,577l ) = f 0l ⋅ x0 − f 0 = f 0 0,577l − f 0 = 0,064 f 0l 2 6 6 6 6 l l 3
M max
3
7. Nosník s převislým koncem 1 F=8 kN q1=4 kN/m´ a Ay 2
M=2 kNm
60
45o 1
q2=5 kN/m´
o
Ax 1,5
b
3
2 1,5
3
B [m]
Postup řešení: 1) Šikmé spojité zatížení rozložíme na složky spojitého zatížení ve směru střednice (s indexem x) a ve směru kolmém na střednici (s indexem y). q1x = q1 ⋅ cos 45o = 4,0 ⋅ 0,707 = 2,83 kN/m
q1 y = q1 ⋅ sin 45o = 4,0 ⋅ 0,707 = 2,83 kN/m
F=8 kN q1=4 kN/m´ a Ay 2
M=2 kNm
60
45o 1
q2=5 kN/m´
o
Ax 1,5
b
3
2 1,5
3
B [m]
2) Sestavením podmínek rovnováhy vypočteme reakce nosníku v podporách a a b. 2,83 ⋅ 2 − Ax − 8 ⋅ cos 60° = 0 Ax = 1,66 kN Ay ⋅ 6 − 2,83 ⋅ 2 ⋅ 7 − 8 ⋅ sin 60° ⋅ 4,5 − 5 ⋅ 3 ⋅ 1,5 + 2 = 0 Ay ⋅ 6 − 39,62 − 31,18 − 22,5 + 2 = 0 Ay = 15,22 kN B ⋅ 6 − 2 − 5 ⋅ 3 ⋅ 4,5 − 8 ⋅ sin 60° ⋅ 1,5 + 2,83 ⋅ 2 ⋅1 = 0 B ⋅ 6 − 2 − 67,5 − 10,39 + 5,66 = 0 B = 12,37 kN
F=8 kN q1=4 kN/m´ a Ay 2
M=2 kNm
60
45o 1
q2=5 kN/m´
o
Ax 1,5
b
3
2
3
1,5
B [m]
Kontrola (nepoužitou součtovou podmínkou rovnováhy ve směru y): ?
Ay + B − q1 y ⋅ 2 − F ⋅ sin 60 − q2 ⋅ 3 = 0 o
?
15,22 + 12,37 − 2,83 ⋅ 2 − 8 ⋅ 0,866 − 5 ⋅ 3 = 0 0= 0
F=8 kN q1=4 kN/m´ a Ay 2
M=2 kNm
60
45o 1
q2=5 kN/m´
o
Ax 1,5
b
3
2 1,5
3
B [m]
3) Výpočet vnitřních sil na mezích intervalů: 1, a
)
N1a = 0 T1a = 0 M 1a = 0
a, 2
)
N a 2 = −5,66 + 1,66 = −4 kN = N 2 a Ta 2 = −5,66 + 15,22 = 9,56 kN = T2 a M a 2 = −5,66 kNm M 2 a = −2,83 ⋅ 2 ⋅ 2,5 + 15,22 ⋅ 1,5 = −14,15 + 22,83 = 8,68 kNm
N a1 = −2,83 ⋅ 2 = −5,66 kN Ta1 = −2,83 ⋅ 2 = −5,66 kN M a1 = −2,83 ⋅ 2 ⋅ 1 = −5,66 kN
F=8 kN q1=4 kN/m´ a Ay 2
Ax 1,5
b
3
2 1,5
3
B [m]
N 23 = −4 + 8 ⋅ cos 60° = 0 kN = N 32 T23 = 9,56 − 8 ⋅ sin 60° = 2,63 kN = T32 M 23 = 8,68 kNm M 32 = −2,83 ⋅ 2 ⋅ 4 + 15,22 ⋅ 3 − 8 ⋅ sin 60° ⋅ 1,5 =
2, 3
3, b
M=2 kNm
60
45o 1
q2=5 kN/m´
o
)
= −22,64 + 45,66 − 10,39 = 12,63 kNm N 3b = N b 3 = 0 T3b = T32 = 2,63 kN Tb 3 = −12,37 kN M b 3 = −2 kNm M 3b = −2 + 12,37 ⋅ 3 − 5 ⋅ 3 ⋅ 1,5 = −2 + 37,11 − 22,5 = 12,61 kNm
V úseku 3, b ) mění posouvající síla znaménko, proto vyhledáme polohu nebezpečného průřezu z podmínky nulové posouvající síly.
F=8 kN q1=4 kN/m´ a Ay 2
M=2 kNm
60
45o 1
q2=5 kN/m´
o
Ax 1,5
b
3
2 1,5
3
B [m]
T ( x0 ) = Tb 3 + 5 ⋅ x0 = −12,37 + 5 ⋅ x0 = 0 12,37 = 2,474 m 5 x0 = 8 − 2,474 = 5,526 m x0 =
Velikost maximálního ohybového momentu: M max
1 1 2 = − M + B ⋅ x0 − q2 x0 = −2 + 12,37 ⋅ 2,474 − 5 ⋅ 2,474 2 = 2 2 = −2 + 30,60 − 15,30 = 13,3 kNm
F=8 kN q2=5 kN/m´
q1=4 kN/m´
60o
45o
a
1 2
M=2 kNm
Ay
Ax 1,5
2
3
b B [m]
3
1,5
N [kN]
-4,00 -5,66 -9,56 2,63
T [kN]
-5,66
5,526
2,474 -12,37
-5,66
-2,00
M [kNm]
8,68 12,63
Mmax=13,30
8. Nosník s převislým koncem 2 q=4 N/cm´
M=2000 Ncm
Ax a
1 Ay
30
o
10
20
b
2 F=400 N 30
c
B 20
[cm]
Postup řešení: 1) Výpočet reakcí z podmínek rovnováhy
Ax + 400 ⋅ cos 30° = 0 Ax = −346,41 N Ay ⋅ 60 − 400 ⋅ sin 30° ⋅ 40 − 4 ⋅ 30 ⋅ 15 − 2000 = 0 Ay ⋅ 60 − 8000 − 1800 − 2000 = 0 Ay = 196,67 N B ⋅ 60 − 4 ⋅ 30 ⋅ 45 − 400 ⋅ 0,5 ⋅ 20 + 2000 = 0 B ⋅ 60 − 5400 − 4000 + 2000 = 0 B = 123,33 N
Kontrola nevyužitou součtovou podmínkou rovnováhy: ?
Ay + B − Fy − q ⋅ 30 = 0
?
196,67 +123,33− 400⋅ 0,5 − 4 ⋅ 30 = 0
0 =0
2) Výpočet vnitřních sil na mezích intervalů
q=4 N/cm´ Ax a
1 Ay 20
a,1 ) N a1 = N1a = 346,41 N Ta1 = T1a = 196,67 N M a1 = 0
M=2000 Ncm
o
30 10
b
2 F=400 N 30
M 1a = 196,67 ⋅ 20 = 3933,4 Ncm
1,2
N12 = N 21 = 0 T12 = 196,67 − 400 ⋅ 0,5 = −3,33 N T21 = −3,33 N M 12 = M 1a = 196,67 ⋅ 20 = 3933,4 Ncm M 21 = 196,67 ⋅ 30 − 400 ⋅ 0,5 ⋅ 10 = 3900 Ncm
1,2
N12 = N 21 = 0 T12 = 196,67 − 400 ⋅ 0,5 = −3,33 N T21 = −3,33 N M 12 = M 1a = 196,67 ⋅ 20 = 3933,4 Ncm M 21 = 196,67 ⋅ 30 − 400 ⋅ 0,5 ⋅ 10 = 3900 Ncm
c
B 20
[cm]
q=4 N/cm´
M=2000 Ncm
Ax a
1 Ay
10
20
2, b
c, b výpočet „zprava“
30
o
b
2 F=400 N 30
c
B 20
[cm]
) N = 0 v celém intervalu T2b = −3,33 N
)
Tb 2 = −3,33 − 4 ⋅ 30 = −123,33 N
M 2b = M 21 = 3900 Ncm M b 2 = 196,67 ⋅ 60 − 400 ⋅ 0,5 ⋅ 40 − 4 ⋅ 30 ⋅ 15 = 11800,2 − 8000 − 1800 = 2000 Ncm N =0 v celém intervalu T =0 v celém intervalu M = 2000 Ncm v celém intervalu
3) Posouvající síla mění znaménko v bodu 1. Ohybový moment v tomto bodu byl vyčíslen již v intervalu a,1 ). Potom M max = M 1a = M 12 = 3933,4 Ncm
q=4 N/cm´
M=2000 Ncm
Ax o
Ay 20
b
2
1
a
30
F=400 N
10
30
c B 20
N [N]
346,41
T [N]
196,67
-3,33
-123,33
M [Ncm]
2000,00
Mmax=3933,40
3900,00
[cm]
