Příklady k přednášce 9 - Zpětná vazba
Michael Šebek Automatické řízení 2015 16-3-15
Příklad: Přibližná inverze Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• tank průřezu 1 s výškou hladiny y(t), přítokem u(t) a odtokem 2 y (t )
dy (t ) + 2 y (t ) = u (t ) dt • Cíl řízení: sledovat pomalu se měnící referenční signál • Struktura: FF řízení s přibližnou inverzí s modelem v FB a velkým zesílením na malých frekvencích • Zesílení realizujeme integrátorem (má ∞ zesílení pro ω=0) • Můžeme testovat v Simulinku – model tank1.mdl • Funguje dobře, ale jen když • model je přesný • model a soustava mají skoro stejný počáteční stav • reference má jen nízké frekvence
Michael Šebek
Pr-ARI-09-2013
2
Příklad: Přibližná inverze Automatické řízení - Kybernetika a robotika
reference pomalá pp. a zesílení stejné 0.25, g= 2 x0= x0= g= m s m s
ref. pomalá, pp. různé zesílení stejné
ref. pomalá, pp. stejné zesílení různé
4, x0=s 0.25, g= x0= g=s 2 m m
x0= x= 0.25, g= 2, g=s 3 m m 0s
špatné špatné
O.K.
reference s vyššími frekvencemi (pulsy) tvarovací filtr - dolní propust nahrazen čistým zesílením 1
špatné Michael Šebek
Pr-ARI-09-2013
3
Proč a kdy vůbec použijeme ZV ? Automatické řízení - Kybernetika a robotika
1. 2. 3.
Do ZV obvodu se „skutečnou soustavou“ G(s) uměle přikreslíme její známý model G0(s) a označíme nový regulátor (s modelem soustavy) C (s) =
Tím jsme nic nezměnili! 4.
K ( s) 1 + G0 ( s ) K ( s )
G (s) G0 ( s )
G0 ( s )
Pro novou strukturu platí
f =d + [G − G0 ] u 5.
G (s)
ZV signál zřejmě zmizí ( f = 0 ) právě když současně a) G0 ( s ) = G ( s ) tj. přesně známe soustavu a přitom b) porucha/počáteční stav jsou nulové d =0
G (s) G0 ( s )
Pokud bychom to vše znali, není třeba ZV! Michael Šebek
Pr-ARI-09-2015
4
Proč „citlivost“ ? Automatické řízení - Kybernetika a robotika
Porovnejme přenos otevřené smyčky y ( s ) L( s )r ( s ) + d ( s ) = s přenosem uzavřené smyčky = y ( s ) S ( s ) L( s )r ( s ) + S ( s )d ( s )
d
r
L( s )
y
• Zřejmě S(s) vyjadřuje redukci citlivosti systému, dosaženou pomocí ZV Ve skutečnosti tento název poprvé použil Bode z jiného důvodu: • Pro skalární přenosy formální derivování T podle G dává dT dG =
L( s ) = K ( s )G ( s )
d (GK (1 + GK )) (1 + GK )( K ) − (GK )( K ) K = = dG (1 + GK ) 2 (1 + GK ) 2 K G GK 1 1 TS = = (1 + GK ) 2 G 1 + GK 1 + GK G G
dT T =S dG G
• Tedy S(s) je citlivost relativní změny CL přenosu T(s) na relativní změnu (chybu) modelu soustavy G(s) Michael Šebek
Pr-ARI-09-2013
5
Př. 1: Posunutí pólu - Zrychlení pece na pizzu Automatické řízení - Kybernetika a robotika
Specifikace: zrychlit 4x • změnit dobu náběhu na Tr = 0.55 hod • tj. zmenšit časovou konstantu na T = 0.25 • tedy posunout pól z -1 do -4 Řešení • ZV + zesílení (P regulátor) – návrh je jednoduchý • obecný CL charakteristický polynom je
k
1 s +1
Tr T= 2.2
c( s ) = ( s + 1) + k = s + (1 + k ) • chceme ho změnit na c( s )= s + 4 • proto zvolíme k = 3
• dostaneme výsledný přenos
(s) T=
L 3 = 1+ L s + 4
• přechod je skutečně 4x rychlejší, ale co ustálená hodnota? Michael Šebek
Pr-ARI-09-2013
6
Model matching Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Lepší bude: posunout pól, ale zachovat ustálené zesílení 1 4 tj. původní přenos změnit na G ( s) = F (s) = s +1 s+4 • K tomu je třeba složitější struktura r
• Minule jsme navrhli k = 3 a tím dostali
T (s) =
l
k
1 s +1
y
3 l s+4
• Teď už jen stačí vzít a dostaneme
4 l= 3 Systém je 4x rychlejší a ustálená hodnota je stejná!
4 T (s) = s+4 Michael Šebek
Pr-ARI-09-2013
7
Diskuse Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Zadání jsme splnili, ale je to opravdu tak jednoduché? • Můžeme soustavu zrychlovat libovolně? Tedy pól posouvat libovolně? • Podle RL se zdá, že ano R
• Ale podívejme se na vstup do soustavy
4
3
3
1 s +1
Y
s +1 1 s +1 = u lim = 4 s 4 u (s) = 4 r (s) 0+ s →∞ s+4 s s+4
• Vstupní signál má vysokou špičku: • Čím dále posuneme pól, tím bude špička vstupu větší • až přestane platit lineární model • Poučení: Póly nesmíme posouvat moc daleko od původních poloh Michael Šebek
Pr-ARI-09-2013
8
Diskuse Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Jak se projeví skoková změna vnější teploty?
viz pizza.mdl
d 43
1 s +1
3
1 4 1 yss= rss + d ss r (s) + d (s) a s+4 s+4 • Systém nedokáže eliminovat vliv skokové změny vnější teploty • Na to musí mít regulátor integrační složku = y(s)
d 1
y(s)
16 7 +4 s
1 s +1
7 s + 16 s r ( s ) d (s) + 2 2 ( s + 4) ( s + 4)
Michael Šebek
yss= rss + 0d ss Pr-ARI-09-2013
9
Příklad - 2. řád Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Navrhněte k tak, aby Ts ≤ 4s a OS % ≤ 5% T= s
k
1 s ( s + 2)
Y
4 4 = ≤4 ςωn σ
° − σ ≤ −1
ζ =
− ln(%OS 100)
≈ 45
π 2 + ln 2 (%OS 100)
%OS=5 → ζ ≈ 0.7 → ϕ ≈ 45
• RL
k↑ k =1
[1, 2] k∈ k =0
Michael Šebek
Pr-ARI-09-2013
10
Příklad na druhý a vyšší řád: „Spojitý deadbeat“ Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Napodobuje typickou diskrétní strategii • Skoková odezva se rychle přiblíží pásmu ustálení a s minimálním překmitem tam už zůstává • Typická specifikace: 1. Rychlá odezva(= minimální Tr a Ts) 2. OS mezi 0,1% a 2% 3. podkývnutí < 2% db2=[1 1.82 1 0 0 0 0 ] db3=[1 2.20 1.9 1 0 0 0] 4. Ess = 0 •
Empiricky zjištěné hodnoty pro výsledné přenosy
db4=[ 1 2.80 3.5 2.2 1 0 0] db5=[ 1 3.4 5.4 4.9 2.7 1 0] db6=[ 1 4.05 7.55 8.7 6.5 3.15 1] db=[1;mono(0:6)*db2.';mono(0:6)*db3.';mono(0:6)*db4.';mono(0:6)*db5.';mono(0:6)*db6.'] T=1./db step(tf(T(2)),tf(T(3)),tf(T(4)),tf(T(5)),tf(T(6)),10)
ωn2 s 1 T2 řád ( s ) = s , = = s 2 + αωn s + ωn2 s 2 + α s + 1 ωn ωn3
1 = s 3 + αωn s 2 + βωn2 s + ωn3 s 3 + α s 2 + β s + 1
T3řád ( s ) Michael Šebek
Pr-ARI-09-2013
11
Příklad na druhý a vyšší řád: „Spojitý deadbeat“ Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Soustava se ZV regulátorem G (s)
dává přenos uzavřené smyčky
1 s+z = , C (s) k s ( s + 1) s+ p
T fb ( s ) =
k (s + z)
s 3 + ( p + 1) s 2 + ( p + k ) s + kz
• Pomocí předfiltru vykrátíme (stabilní!) nulu a dostaneme celkový přenos 3 z ω kz n F (= s) = Tcelk ( s ) = s+z s 3 + ( p + 1) s 2 + ( p + k ) s + kz s 3 + αωn s 2 + βωn2 s + ωn3
• Máme 1 parametr navíc, takže třeba zvolíme Ts a k tomu vypočteme (ze vzorce pro 2. řád)
ωn =
4, 04 Ts
• Z porovnáním koeficientů u jednotlivých mocnin ve • dostaneme
s 3 + ( p + 1) s 2 + ( p + k ) s + kz = s 3 + αωn s 2 + βωn2 s + ωn3
( p + 1)= αωn → p= αωn − 1 p + k= βωn2 → k= βωn2 − p kz = ωn3 → z = ωn3 k
Michael Šebek
Pr-ARI-09-2013
12
Příklad na druhý a vyšší řád: „Spojitý deadbeat“ Automatické řízení - Kybernetika a robotika
1 s+z z • Soustava, ZV regulátor a předfiltr = G (s) = , C ( s ) k= , F (s) s ( s + 1) s+ p s+z • Nejprve zvolíme Ts = 2s a k tomu 04 Ts 2, 02 = ωn 4,= vypočteme (ze vzorce pro 2. řád) • Z tabulky odečteme pro 3. řád = α 1,9; = β 2, 2 , porovnáme koeficienty ve • s 3 + ( p + 1) s 2 + ( p + k ) s + kz = s 3 + αωn s 2 + βωn2 s + ωn3 = s 3 + 3,84s 2 + 8,98s + 8, 24 • A dostaneme p ≈ 2,84; k ≈ 6,14; z ≈ 1,34 • A z toho hledané
s+z s + 1,34 C ( s ) k= 6,14 = s+ p s + 2,84 1,34 z (s) = F= s + z s + 1,34
8.24 s 3 + 3.84 s 2 + 8.98s + 8.24 6.14 s + 8.24 T fb ( s ) = 3 s + 3.84 s 2 + 8.98s + 8.24
Tcelk ( s ) =
Michael Šebek
Pr-ARI-09-2013
13
