Příklad 1. Řešení 1a Máme určit poloměr a obor bodové konvergence mocninné řady ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1B ČÁST 13

ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1B

ČÁST 13

Příklad 1 Určete poloměr a obor bodové konvergence mocninných řad:

a)

b)

c)

d)

f)

g)

= 8, ∗ = −7, 9

+1

= 1, ∗ = −1, 1

3

= 3, ∗ = −3, 3

+ 2 + 1

e)

− 1 8

!

= 1, ∗ = −2, 0 = +∞, ∗ = ∞, +∞

! − 3 + 2 + 3

= 0, ∗ = $3% = 1, ∗ = −3, 1&

2 2 − 1

1 1 1 ' = , ∗ = (− , )* 2 2 2 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… h)

Řešení 1a Máme určit poloměr a obor bodové konvergence mocninné řady

− 1 8

Jedná se o mocninnou řadu se středem v bodě 1. Pro hledání jejího poloměru konvergence musíme vyšetřit její absolutní konvergenci. Použijeme d’Alambertovo podílové kritérium. − 1

8 − 1

− 1

+ 1 8

= lim = lim + = lim

− 1

→ → + 1 8 → + 1 8 − 1

8 − 1 − 1

1 = lim 01 − = ) → 8 +1 8 Z podílového kritéria vyplývá, že řada je konvergentní pro − 1

1 1<1 8 Tuto podmínku můžeme upravit | − 1| < 8 ∀∃

1


ČÁST 13

Odtud je zřejmé, že poloměr konvergence je = 8. Obor bodové konvergence můžeme určit ze středu řady a poloměru, nebo z poslední podmínky. Odtud prozatím ∗ = −7, 9

Protože d’Alambertovo podílové kritérium neříká nic o konvergenci nebo divergenci pro + = 1, musíme ověřit konvergenci v krajních bodech oboru bodové konvergence pro každý z těchto bodů zvlášť. Nejprve prověříme konvergenci pro = −7. Naše řada bude mít v tomto případě tvar

−7 − 1 −8 −1 8 −1 = = = 8 8 8

Tato řada je podle Leibnizova kritéria konvergentní. Proto bod = −7 patří do oboru bodové konvergence. Nyní prověříme konvergenci pro = 9. Naše řada bude mít v tomto případě tvar

9 − 1 8 8 1 = = = 8 8 8

Tato řada je, jak známo, divergentní. Proto bod = 9 nepatří do oboru bodové konvergence. Proto obor bodové konvergence pro zadanou řadu je ∗ = −7, 9 . ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Řešení 1b Máme určit poloměr a obor bodové konvergence mocninné řady

+1

Jedná se o mocninnou řadu se středem v bodě 0. Pro hledání jejího poloměru konvergence musíme vyšetřit její absolutní konvergenci. Použijeme d’Alambertovo podílové kritérium. + 1 + 1 + 2 4 + 2 1 + = lim + 1 = lim = lim = lim 01 − 4 ) 4 4 + 1 → → + 1 → + 2 + 1 → + 2 + 1 1 = lim 01 − ) = → + 1 4 Z podílového kritéria vyplývá, že řada je konvergentní pro || < 1 Odtud je zřejmé, že poloměr konvergence je = 1. Obor bodové konvergence můžeme určit ze středu řady a poloměru, nebo z poslední podmínky. Odtud prozatím ∗ = −1, 1


+1 1 1 1 −1 = −1 01 + ) = −1 1 + −1 = −1 1 + −1

∀∃

2


ČÁST 13

První řada je zjevně divergentní. Druhá je podle Leibnizova kritéria konvergentní. Jejich součet je tedy divergentní. Proto bod = −1 nepatří do oboru bodové konvergence. Nyní prověříme konvergenci pro = 1. Naše řada bude mít v tomto případě tvar

1 1 1 +1 1 = 1 01 + ) = 1 + = 1 +

Obě řady jsou zjevně divergentní. Obě jsou kladné. Jejich součet je tedy divergentní. Proto bod = 1 nepatří do oboru bodové konvergence. Proto obor bodové konvergence pro zadanou řadu je ∗ = −1, 1 . ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Řešení 1c Máme určit poloměr a obor bodové konvergence mocninné řady

3

Jedná se o mocninnou řadu se středem v bodě 0. Pro hledání jejího poloměru konvergence musíme vyšetřit její absolutní konvergenci. Použijeme d’Alambertovo podílové kritérium. 3 1 + 1 3 + = lim = lim = lim = lim 01 − ) = → → → → + 1 3 + 1 3 +1 3 3 3 Z podílového kritéria vyplývá, že řada je konvergentní pro 5 5<1 3 Tuto podmínku můžeme upravit || < 3 Odtud je zřejmé, že poloměr konvergence je = 3. Obor bodové konvergence můžeme určit ze středu řady a poloměru, nebo z poslední podmínky. Odtud prozatím ∗ = −3, 3


−3 −1 3 −1 = = 3 3

Tato řada je podle Leibnizova kritéria konvergentní. Proto bod = −3 patří do oboru bodové konvergence. Nyní prověříme konvergenci pro = 3. Naše řada bude mít v tomto případě tvar

3 1 = 3

Tato řada je, jak známo, divergentní. Proto bod = 3 nepatří do oboru bodové konvergence. Proto obor bodové konvergence pro zadanou řadu je ∗ = −3, 3 . ∀∃

3


ČÁST 13

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Řešení 1d Máme určit poloměr a obor bodové konvergence mocninné řady

+ 2 + 1

Jedná se o mocninnou řadu se středem v bodě −1. Pro hledání jejího poloměru konvergence musíme vyšetřit její absolutní konvergenci. Použijeme d’Alambertovo podílové kritérium. + 1 + 3 + 1 4 + 4 + 3 2 + 3 + 1 = lim 01 + 4 + = lim = lim ) + 1

4 → → + 2 → + 2 + 1

+ 2 = + 1

Z podílového kritéria vyplývá, že řada je konvergentní pro | + 1 | < 1 Odtud je zřejmé, že poloměr konvergence je = 1. Obor bodové konvergence můžeme určit ze středu řady a poloměru, nebo z poslední podmínky. Odtud prozatím ∗ = −2, 0


+ 2 −2 + 1 = + 2 −1

Tato řada je zřejmě divergentní. Proto bod = −2 nepatří do oboru bodové konvergence. Nyní prověříme konvergenci pro = 0. Naše řada bude mít v tomto případě tvar

+ 2 0 + 1 = + 2 1 = + 2

Tato řada je zřejmě divergentní. Proto bod = 0 nepatří do oboru bodové konvergence. Proto obor bodové konvergence pro zadanou řadu je ∗ = −2, 0 . ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Řešení 1e Máme určit poloměr a obor bodové konvergence mocninné řady

!

Jedná se o mocninnou řadu se středem v bodě 0. Pro hledání jejího poloměru konvergence musíme vyšetřit její absolutní konvergenci. Použijeme d’Alambertovo podílové kritérium. + 1 + 1 ! ! + 1 + 1 ! + = lim = lim = lim = lim = 0 = 0 → → + 1 ! → + 1 ! → ! Z podílového kritéria vyplývá, že řada je konvergentní pro ∀∃

4


ČÁST 13 |0| < 1

Tuto podmínku splňuje každé ∈ .

| − 1| < 8 Odtud je zřejmé, že poloměr konvergence je = +∞. Odtud prozatím ∗ = −∞, +∞ . ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Řešení 1f Máme určit poloměr a obor bodové konvergence mocninné řady

! − 3

Jedná se o mocninnou řadu se středem v bodě 3. Pro hledání jejího poloměru konvergence musíme vyšetřit její absolutní konvergenci. Použijeme d’Alambertovo podílové kritérium. + 1 ! − 3 + 1 ! + 1 ! + 1 − 3 = lim − 3 = lim − 3

+ = lim = lim ! → → + 1 ! → + 1 ! → − 3 = +∞ − 3

Z podílového kritéria vyplývá, že řada je konvergentní pro |+∞ − 3 | < 1 Tato podmínka není splněna pro žádné , pro = 3 není výraz korektní. Odtud je zřejmé, že poloměr konvergence je = 0. Obor bodové konvergence této řady je tedy jednoprvková množina ∗ = $3%. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Řešení 1g Máme určit poloměr a obor bodové konvergence mocninné řady

+ 2 + 3

Jedná se o mocninnou řadu se středem v bodě −2. Pro hledání jejího poloměru konvergence musíme vyšetřit její absolutní konvergenci. Použijeme d’Alambertovo podílové kritérium. + 2 + 2 4 + 3 + 2 4 + 1 + 1 + 3

+ 1 + 4

+ = lim = lim = lim + 2 + 2 → → → + 1 + 4 + 2 + 3

+ 3

+ 3

4 + 3 + 2 = lim 4 + 2

= lim → + 1 + 4

→ + 5 + 4 2 + 4 = lim 01 − 4 ) + 2 = + 2 → + 5 + 4 Z podílového kritéria vyplývá, že řada je konvergentní pro | + 2| < 1 Odtud je zřejmé, že poloměr konvergence je = 1. Obor bodové konvergence můžeme určit ze středu řady a poloměru, nebo z poslední podmínky. Odtud prozatím ∀∃

5


ČÁST 13

∗ = −3, −1


−3 + 2 −1 = + 3

+ 3

Tato řada je podle Leibnizova kritéria konvergentní. Proto bod = −3 patří do oboru bodové konvergence. Nyní prověříme konvergenci pro = −1. Naše řada bude mít v tomto případě tvar

−1 + 2 1 1 = = + 3

+ 3

+ 3

Tuto řadu můžeme rozepsat

1 1 1 1 1 1 1 1 = + + + + + + …+ +⋯ + 3 1 ∙ 4 2 ∙ 5 3 ∙ 6 4 ∙ 7 5 ∙ 8 6 ∙ 9 + 3

To můžeme napsat i jinak

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = 0 − ) + 0 − ) + 0 − ) + 0 − ) + ⋯+ 0 − )+⋯ 3 2 5 3 3 6 3 4 7 3 +3 + 3 3 1 4

Vytkneme

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = '0 − ) + 0 − ) + 0 − ) + 0 − ) + ⋯ + 0 − )+⋯* + 3 3 1 4 2 5 3 6 4 7 +3

Po vyrušení stejně velkých sčítanců v posledním součtu dostáváme

==

1 1 1 1 1 1 1 = lim 01 − ) = lim 01 − )= ∙1= +3 3 → +3 3 3 + 3 → 3

Řada je tedy konvergentní. Z toho důvodu bod = −1 patří do oboru bodové konvergence. Proto obor bodové konvergence pro zadanou řadu je ∗ = −3, −1&. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Řešení 1h Máme určit poloměr a obor bodové konvergence mocninné řady

2 2 − 1

Jedná se o mocninnou řadu se středem v bodě 0. Pro hledání jejího poloměru konvergence musíme vyšetřit její absolutní konvergenci. Použijeme d’Alambertovo podílové kritérium. 2 2 4 4 2 − 1

2 − 1 2 + 1 − 1 2 + 1 = lim 2 + = lim = lim = lim 2 → → 2 → 2 → 2 + 1 2 2 + 1

2 − 1 2 − 1 2 = lim 01 − ) 2 = 2 → 2 + 1 ∀∃

6


ČÁST 13

Z podílového kritéria vyplývá, že řada je konvergentní pro |2| < 1 Tuto podmínku můžeme upravit 1 || < 2 Odtud je zřejmé, že poloměr konvergence je = . 4

Obor bodové konvergence můžeme určit ze středu řady a poloměru, nebo z poslední podmínky. Odtud prozatím 1 1 ∗ = 0− , ) 2 2 Protože d’Alambertovo podílové kritérium neříká nic o konvergenci nebo divergenci pro + = 1, musíme ověřit konvergenci v krajních bodech oboru bodové konvergence pro každý z těchto bodů zvlášť.

Nejprve prověříme konvergenci pro = − . Naše řada bude mít v tomto případě tvar

1 2 >− ? 2 2 − 1

= −1

4

1 1 1 2 = −1 2 = −1 2 − 1 2 − 1 22 − 1

2

Tato řada je podle Leibnizova kritéria konvergentní. Proto bod =

konvergence.

− 4

patří do oboru bodové

4

Nyní prověříme konvergenci pro = . Naše řada bude mít v tomto případě tvar 1 2 >2?

1 1 1 1 2 2 = = = = 2 − 1 2 − 1 2 − 1 22 − 1

4 − 2

2

Nyní uplatníme porovnávacím kritériem. Od druhého sčítance počínaje (první by vedl k problémům ve jmenovateli prvního členu porovnávané řady) platí

4

4

4

4

4

1 1 1 1 1 1 1 1 > = ∙ = = 4 − 2 4 − 4 4 −1 4 −1 4 −1

Poslední řada je ale jiným způsobem zapsaná harmonická řada. Takže platí

4

4

1 1 1 1 1 > = 4 − 2 4 −1 4

Protože, jak známo, je harmonická řada divergentní, je divergentní i zkoumaná řada. Proto bod =

nepatří do oboru bodové konvergence.

4

Proto obor bodové konvergence pro zadanou řadu je ∗ = (− , ?. 4 4

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

∀∃

7

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit poloměr a obor bodové konvergence mocninné řady ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1B ČÁST 13

Recommend Documents