1
II. Mocninné řady Obsah 1 Mocninná řada a její obor konvergence
2
2 Vlastnosti mocninných řad
6
3 Taylorovy řady 3.1 Maclaurinovy rozvoje některých elementárních funkcí . . . . . . . 3.2 Přibližné výpočty pomocí Taylorových řad . . . . . . . . . . . . .
8 13 14
2
1
Mocninná řada a její obor konvergence
Mocninné řady jsou speciální řady funkcí, jejichž členy jsou mocninné funkce. Definice 1 Nechť a je libovolné reálné číslo a {cn }∞ n=0 je posloupnost reálných čísel. Mocninnou řadou se středem v bodě a a koeficienty cn nazýváme funkcionální řadu ∞ X
cn (x − a)n = c0 + c1 (x − a) + c2 (x − a)2 + . . . + cn (x − a)n + . . .
(1)
n=0
Člen c0 nazýváme absolutní člen.
P∞ n Poznámka 1 Substitucí y = x − a lze mocninnou řadu n=0 cn (x − a) se P∞ středem v bodě a převést na mocninnou řadu n=0 cn y n se středem v počátku. Bylo by tedy postačující vyšetřovat pouze vlastnosti mocninných řad se středem v počátku. P∞ n Definice 2 Oborem konvergence mocninné řady n=0 cn (x − a) je množina P∞ n všech bod˚ u x¯ ∈ R takových, že číselná řada n=0 cn (¯ x − a) konverguje.
Věta 1 Každá mocninná řada konverguje ve svém středu a má zde součet c0 .
Věta 2 Nechť řada (1) konverguje pro x = x¯, kde x¯ 6= a. Pak řada absolutně konverguje pro každé x ∈ R, pro které platí |x − a| < |¯ x − a|, tzn. pro x ∈ (a − |¯ x − a|, a + |¯ x − a|).
D˚ ukaz. Předpokládejme, že (1) konverguje v bodě x = x¯, přičemž x¯ 6= a. Z nutné podmínky konvergence číselné řady plyne, že lim cn (¯ x − a)n = 0,
n→∞
3 to znamená, že číselná posloupnost {cn (¯ x − a)n } je ohraničená, tedy existuje K > 0 tak, že |cn (¯ x − a)n | ≤ K pro každé n ∈ N. Vezmeme x ∈ R takové, že |x − a| < |¯ x − a| a dokážeme, že v něm řada (1) konverguje absolutně. Pro takové x platí x − a (2) x¯ − a < 1. Pak
x − a n x − a n . |cn (x − a) | = |cn (¯ x − a) | ≤ K x¯ − a x¯ − a P P x−a n |cn (x − a)n | Z (2) plyne, že řada K| x¯−a | je konvergentní, a tedy i řada konverguje. 2 n
n
D˚ usledek 1 Jesliže existuje bod x˜ ∈ R takový, že řada (1) v x˜ diverguje, pak řada diverguje pro všechny body x ∈ R takové, že |x − a| > |˜ x − a|, tedy pro všechny body ze sjednocení interval˚ u (−∞, a − |˜ x − a|) ∪ (a + |˜ x − a|, ∞).
D˚ ukaz. Kdyby řada (1) konvergovala v některém bodě x ∈ R takovém, že |x−a| > |˜ x −a|, pak z věty 2 vyplývá, že by musela konvergovat i v bodě x˜, což je ve sporu s předpokladem. 2 Věta 3 Ke každé mocninné řadě existuje jediné číslo ρ ∈ [0, ∞] tak, že řada pro všechna x splňující |x − a| < ρ absolutně konverguje a pro x ∈ R splňující |x − a| > ρ diverguje, tj. řada absolutně konverguje pro x ∈ (a − ρ, a + ρ) a diverguje pro x ∈ (−∞, a − ρ) ∪ (a + ρ, ∞).
D˚ ukaz. Jestliže a je jediný bod, ve kterém řada (1) konverguje, pak položíme–li ρ = 0, tvzení věty platí. Nechť existuje bod x¯ 6= a takový, že v něm řada (1) konverguje. Definujeme množinu M = {r > 0 :
∞ X
cn (x−a)n konverguje pro všechna x ∈ R taková, že |x−a| < r}.
n=0
Z našeho předpokladu (existence bodu x¯, ve kterém řada (1) konverguje) a věty 2 plyne, že M 6= ∅. Položme ρ = sup M. Zřejmě ρ > 0 (tedy je možný i případ
4 ρ = ∞). Nyní ověříme, že takto definované ρ má vlastnosti uvedené v tvrzení věty. Nechť tedy x ∈ R je takové, že |x − a| < ρ. Z definice suprema plyne, že existuje r ∈ M tak, že |x − a| < r ≤ ρ a tedy z definice množiny M vyplývá, že řada (1) v bodě x konverguje (dokonce absolutně – viz věta 2). Vezmeme nyní číslo x ∈ R takové, že |x − a| > ρ. Pak existuje číslo R > 0 tak, že |x − a| > R > ρ (existence tohoto čísla plyne z hustoty množiny reálných čísel). Z definice ρ plyne, že řada diverguje například v bodě x˜ = a + R (samozřejmě diverguje i v bodě a − R). Pak platí |x − a| > R = |a + R − a| = |˜ x − a|. Z d˚ usledku 1 tedy plyne, že řada (1) diverguje i v bodě x.
2
Poznámka 2 Věta 3 tedy říká, že pro konvergenci mocninné řady m˚ uže nastat právě jeden z následujících tří případ˚ u: 1. Řada (1) absolutně konverguje pro x = a a diverguje na R \ {a} (případ ρ = 0). 2. Ŕada (1) absolutně konverguje na celém R (případ ρ = ∞). 3. Řada (1) absolutně konverguje na intervalu (a − ρ, a + ρ) a diverguje na intervalech (−∞, a−ρ) a (a+ρ, ∞). O konvergenici řady v bodech x = a−ρ a x = a + ρ věta 3 nic neříká. Definice 3 Číslo ρ z předchozí věty nazýváme poloměr konvergence řady a interval (a − ρ, a + ρ) nazýváme interval absolutní konvergence řady. Poznámka 3 Při vyšetřování konvergence mocninné řady tedy stačí pouze určit poloměr konvergence a vyšetřit body na hranici oboru konvergence. Následující věta nám dá návod, jak poloměr konvergence určit. Věta 4 Pro poloměr konvergence platí: p (a) ρ = λ1 , kde λ = lim sup n |cn |, n→∞
p (b) existuje–li lim n |cn | = λ (konečná nebo nekonečná), pak ρ = λ1 , n→∞
(c) existuje–li lim cn+1 = λ (konečná nebo nekonečná), pak ρ = λ1 . cn n→∞
Poznámka 4 Jestliže λ = ∞, pak pokládáme ρ = pokládáme ρ = 01+ = ∞.
1 ∞
= 0 a pokud λ = 0, pak
5 .
6
2
Vlastnosti mocninných řad
V této kapitole se budeme zabývat základními vlastnostmi mocninných řad. Protože jsou mocninné řady speciálním typem funkčních řad, budou i uvedené vlastnosti analogiemi těch v kapitole Posloupnosti a řady funkcí. Následující věta nám umožní využít vlastnosti stejnoměrně konvergentních řad. Věta 5 Nechť má řada (1) kladný poloměr konvergence, tzn. ρ > 0. Pak řada (1) konverguje stejnoměrně na intervalu [a − r, a + r] pro všechna 0 < r < ρ. D˚ ukaz. Vezmeme r ∈ R takové, že 0 < r < ρ. Zřejmě |cn (x − a)n | ≤ |cn |r n
pro všechna x ∈ [a − r, a + r] a všechna n ∈ N. P Vyšetříme konvergenci řady |cn |r n pomocí Cauchyova kriteria. Platí p p lim n |cn |r n = r lim n |cn | n→∞
n→∞
p P Protože ρ > 0, pak také λ = lim n |cn | < ∞. Jestliže je λ = 0 pak řada |cn |r n n→∞ konverguje. V opačném případě platí p r lim n |cn |r n = rλ = < 1 n→∞ ρ P a tedy i v tomto případě řada |cn |r n konverguje. Podle Weierstrassova kritéria konverguje řada (1) stejnoměrně na intervalu [a − r, a + r]. 2 Poznámka 5 Je–li poloměr konvergence kladný, pak lze definovat funkci f : (a − ρ, a + ρ) → R předpisem f (x) =
∞ X
cn (x − a)n
pro každé x ∈ (a − ρ, a + ρ).
n=0
V dalším se budeme zabývat vlastnostmi tohoto součtu řady. D˚ usledek 2 Součet mocninné řady (1) je spojitá funkce na intervalu (a−ρ, a+ ρ). D˚ ukaz. Vezmeme–li libovolný bod x ∈ (a − ρ, a + ρ), pak zřejmě existuje r > 0 takové, že r < ρ a x ∈ (a − r, a + r). Protože členy řady (1) jsou spojité funkce na R, pak její součet je spojitá funkce na intervalu [a − r, a + r]. Tedy spojitá i v bodě x. 2
7 Příklad 1 Uvažujme funkci f (x) =
1 . x2 + 2x − 3
Najděte mocninnou řadu se středem a = −1 takovou, aby funkce f byla jejím součtem a určete poloměr konvergence této řady. Řešení: K tomu abychom mocninnou řadu mohli určit, provedeme nejprve rozklad funkce f (x) na parciální zlomky. Jednoduše se dá vypočítat, že f (x) =
1 1 1 1 · − · 4 x−1 4 x+3
pro každé x ∈ R \ {1, −3}.
Dále platí n ∞ ∞ 1X x+1 1 1 1 1X 1 1 = − =− =− · = − (x + 1)n n x−1 2 − (x + 1) 2 1 − x+1 2 2 2 2 2 n=0 n=0 pro |(x + 1)/2| < 1 a n ∞ ∞ 1 1 1 1 1X x+1 1 X (−1)n =− =− · =− (x+1)n x+1 = − n x+3 −2 − (x + 1) 2 1 − −2 2 n=0 −2 2 n=0 2 pro |(x + 1)/(−2)| < 1. Dohromady tedy platí ∞
∞
∞
X −1 + (−1)n 1 X (−1)n 1X 1 n n f (x) = − (x + 1) + (x + 1) = (x + 1)n n n n 8 n=0 2 8 n=0 2 8·2 n=0 pro všechna |x+1| < 2, tzn. pro x ∈ (−3, 1). Nyní spočítáme poloměr konvergence takové řady. Zřejmě c2m = 0
a
c2m+1 = −
Z toho je vidět, že sice lim
p n
lim sup
p n
n→∞
n→∞
tzn. ρ = 2.
1 4 · 22m+1
pro každé m ∈ N0 .
|cn | neexistuje, ale
|cn | = lim
m→∞
p
2m+1
1 |c2m+1 | = , 2
8 Nyní se zaměříme na to, jak se dají derivovat a integrovat součty mocninné řady (1) na (a − ρ, a + ρ). Věta 6 (O derivování a integrování řad) . Nechť má mocninná řada (1) poloměr konvergence ρ > 0 a funkce f : (a − ρ, a + ρ) → R je její součet. Pak funkce f má na intervalu (a − ρ, a + ρ) derivaci a primitivní funkci a pro každé x ∈ (a − ρ, a + ρ) platí f (x) = ′
∞ X
ncn (x − a)n−1
(3)
n=1
a Z
x
f (t) dt = a
∞ X cn (x − a)n+1 . n + 1 n=0
(4)
Uvedené mocninné řady mají poloměr konvergence roven ρ. D˚ usledek 3 Součet f mocninné řady (1) s kladným poloměrem konvergence ρ má spojité derivace všech řád˚ u na intervalu (a − ρ, a + ρ) a platí f (k) (x) =
∞ X
n(n − 1)(n − 2) · · · (n − k + 1)cn (x − a)n−k
n=k
pro každé x ∈ (a − ρ, a + ρ).
3
Taylorovy řady
Uvažujme následující problém: Je dána reálná funkce f definovaná na nějakém okolí U(a) bodu a a snažíme P∞ se zjistit, zda-li existuje mocninná řada n=0 cn (x − a)n o středu a konvergující na U(a) k funkci f (viz např. příklad 1). Definice 4 Nechť je funkce f definovaná na nějakém okolí U(a) bodu a ∈ R. Jestliže ∀x ∈ U(a) platí ∞ X f (x) = cn (x − a)n , n=0
pak říkáme, že funkci f lze na U(a) rozvinout v mocninnou řadu se středem v bodě a.
9 Poznámka 6 Výše popsaný problém lze rozdělit na dvě části: 1. Je možno funkci f rozvinout na nějakém intervalu v mocninnou řadu se středem v bodě a? 2. Pokud ano, jak vypadají koeficienty cn této mocninné řady? Nejprve odpovíme na druhou otázku, tj. odvodíme, jak vypadají koeficienty cn . Mějme zadánu funkci f (x), uvažujme pro jednoduchost a = 0 a předpokládejme, že existují c0 , c1 ... takové, že f (x) = c0 + c1 x + c2 x2 + . . . na nějakém okolí bodu 0. Požadujeme přitom, aby koeficienty cn byly takové, aby funkce f (x) a řada c0 + c1 x + c2 x2 + . . . měly stejné hodnoty derivací v bodě 0. Tj. aby rovnosti: ′ f (x) = c1 + 2c2 x + 3c3 x2 + . . . ′′
f (x) = 2c2 + 6c3 x + . . . ′′′
f (x) = 6c3 + . . . platily pro x = 0. Má tedy platit: ′
f (0) = c1 ′′
f (0) = 2c2 ′′′
f (0) = 6c3 = 3! · c3 .... f (n) (0) = n! · cn . Z toho vyplývá, že koeficienty cn splňují: f (n) (0) f (0) , . . . , cn = . c0 = f (0), c1 = f (0), c2 = 2! n! ′′
′
Z této úvahy je patrné, že pokud lze funkci rozvinout v mocninnou řadu, pak má tato řada speciální charakter, který je jednoznačně určen hodnotami derivací v bodě a. Věta 7 (O Taylorově rozvoji) . Jestliže lze funkci f : U(a) → R rozvinout v mocninnou řadu (1), pak pro její koeficienty platí cn =
f (n) (a) n!
kde pokládáme f (0) (a) = f (a).
pro každé n ∈ N ∪ {0},
(5)
10 D˚ usledek 4 Existuje nejvýše jedna mocninná řada se středem v bodě a, která na U(a) konverguje k funkci f . Její koeficienty jsou ve tvaru (5). Definice 5 Je–li dána funkce f : U(a) → R, pak řadu ve tvaru ∞ X f (n) (a)
n!
n=0
(x − a)n
nazýváme Taylorovou řadou funkce f se středem a, její koeficienty nazýváme Taylorovými koeficienty a její n–tý částečný součet nazýváme Taylorovým polynomem stupně na značíme jej Tn (x). Jestliže platí a = 0, pak tuto řadu nazýváme Maclaurinovou řadou. Ne každá funkce však lze rozvinout v mocninnou řadu, jak je patrné z následujícího příkladu. Příklad 2 Uvažujme funkci f (x) =
1
e− x2 0
pro x ∈ R \ {0}. pro x = 0.
Dá se vypočítat, že platí f (n) (0) = 0
pro každé n ∈ N0 .
Z předchozí věty plyne, že jestli by se dala funkce f rozvinout v mocninnou řadu o středu 0 na nějakém okolí tohoto bodu, pak jsou všechny její koeficienty cn nulové. Taková řada ovšem konverguje na R k nulové funkci, tzn. že k funkci f nekonverguje na žádném okolí bodu 0. Z tohoto příkladu lze vidět, že i když má funkce spojité derivace všech řád˚ u na celém R neznamená to ještě, že ji lze rozvinout v mocninnou řadu v libovolném bodě jejího definičního oboru. V některých případech je možné najít Taylorovu řadu velmi snadno, bez nutnosti počítat derivace všech řád˚ u. Např. tehdy, jestliže lze použít vzorec pro součet geometrické řady.
11 .
V příkladu 2 jsme viděli, že ne vždy Taylorova řada konverguje k dané funkci. Nyní se tedy budeme zabývat otázkou existence Taylorovy řady, tj. první otázkou z poznámky 6. Definice 6 Nechť funkce f : U(a) → R má derivace v bodě a až do n–tého řádu. Funkci Rn+1 : U(a) → R definovanou vztahem Rn+1 (x) = f (x) − Tn (x) nazveme n–tým zbytkem v Taylorově vzorci. Věta 8 Nechť má funkce f v bodě a derivace všech řád˚ u. Taylorova řada funkce f konverguje k funkci f v bodě x ∈ U(a) právě když lim Rn+1 (x) = 0.
n→∞
(6)
D˚ ukaz. Fakt, že Taylorova řada konverguje k funkci f znamená, že Tn (x) → f (x)
pro každé x ∈ U(a),
což znamená Rn+1 (x) = Tn (x) − f (x) → 0
pro každé x ∈ U(a). 2
Naše pozornost se tedy nyní zaměří na otázku, za jakých podmínek je splněna podmínka (6). Nejprve si zavedeme potřebné označení. Označení: Pro a, b ∈ R budeme symbolem Ia,b rozumět interval (a, b), je–li a < b a interval (b, a), je–li b < a.
12 Věta 9 (O zbytku) . Nechť f má na U(a) derivace všech řád˚ u a nechť ϕ má na U(a) derivaci, ϕ′ 6= 0 na U(a). Pak pro každé n ∈ N, x ∈ U(a) existuje ξ ∈ Ia,x tak, že Rn+1 (x) =
(x − ξ)n ϕ(x) − ϕ(a) (n+1) · f (ξ). n! ϕ′ (ξ)
Jesliže položíme ϕ(t) = (x − t)n+1 pak dostáváme tzv. Lagrange˚ uv tvar zbytku Rn+1 (x) =
(x − a)n+1 (n+1) f (ξ) (n + 1)!
a pro ϕ(t) = t dostáváme tzv. Cauchy˚ uv tvar zbytku (x − ξ)n (x − a) (n+1) Rn+1 (x) = f (ξ). n! Věta 10 Nechť x ∈ (a − δ, a + δ). Jestliže existuje M > 0 tak, že pro každé n ∈ N platí |f (n) (t)| ≤ M pro každé t ∈ Ia,x . Pak Taylorova řada konverguje k funkci f v bodě x. D˚ ukaz. Stačí dokázat, že je splněna podmínka (6). Vezměme si Lagrange˚ uv tvar zbytku Rn+1 (x). Pro něj platí |Rn+1 (x)| =
M|x − a|n+1 |f (n+1) (ξ)| |x − a|n+1 ≤ (n + 1)! (n + 1)!
kde ξ ∈ Ia,x . Výraz napravo konverguje k nule pro n → ∞. Tedy (6) platí.
2
13
3.1
Maclaurinovy rozvoje některých elementárních funkcí ∞
ex = 1 +
X xn x x2 x3 + + +... = 1! 2! 3! n! n=0
x ∈ (−∞, ∞)
∞
X x3 x5 x2n+1 x sin x = − + −... = (−1)n 1! 3! 5! (2n + 1)! n=0
x ∈ (−∞, ∞)
∞ X x2n x2 x4 cos x = 1 − + −... = (−1)n x ∈ (−∞, ∞) 2! 4! (2n)! n=0 ∞ α α X α n (1 + x)α = 1 + x+ x2 + . . . = x x ∈ (−1, 1) 1 2 n n=0 ∞ X xn+1 x2 x3 ln(1 + x) = x − + − ... = (−1)n 2 3 n+1 n=0 ∞ X 1+x x3 x5 x2n+1 = 2 x+ + +... = 2 ln 1−x 3 5 2n + 1 n=0
x ∈ (−1, 1) x ∈ (−1, 1)
∞
X 1 = 1 − x + x2 − . . . = (−1)n xn 1+x n=0
x ∈ (−1, 1)
∞
X 1 2 4 (−1)n x2n = 1 − x + x − . . . = 1 + x2 n=0
x ∈ (−1, 1)
∞
arctg x = x −
X x3 x5 x2n+1 + − ... = (−1)n 3 5 2n + 1 n=0
x ∈ h−1, 1i
14
3.2
Přibližné výpočty pomocí Taylorových řad
Taylorovy řady lze využít např. pro • přibližný výpočet funkčních hodnot, • určování funkčních hodnot logaritm˚ u, • výpočet limit, • přibližný výpočet integrál˚ u, • řešení diferenciálních rovnic.
