Súradnice bodov na priamke a v rovine

Stredná priemyselná škola strojnícka, Duklianska 1, Prešov Analytická geometria lineárnych útvarov Za zakladateľa analytickej geometrie je považovaný René Descartes, ktorý publikoval základné metódy analytickej geometrie v roku 1637. Analytická geometria skúma geometrické problémy a geometrické útvary popisom ich súradníc v pevne zvolenej súradnicovej sústave. Popis problémov pomocou rovníc potom umožňuje riešiť geometrické problémy algebraickými a geometrickými prostriedkami. René Descartes, známy aj ako Cartesius (* 31. marec 1596, La Haye, Francúzsko – † 11. február 1650, Štokholm, Švédsko) bol francúzsky filozof, matematik predstaviteľ racionalizmu, špeciálnovedný bádateľ vo viacerých prírodovedných odboroch. Hlboko ovplyvnil celú novovekú vedu. Postupom od metodického pochybovania k nepochybnému Cogito ergo sum (Myslím, teda som) začal obrat k subjektu, k vlastnej filozofii Ja. Descartes sa tým stal predovšetkým priekopníkom v oblasti kritiky poznania. Jeho cieľom bolo založiť jednotnú vedu na matematickej báze. Descartes rozpracoval metódu získavania vedeckých poznatkov alebo racionálne zdôvodneného názoru: išlo tu o heuristickú metódu alebo výskumnú techniku (ars inveniendi = umenie objavovať), ktorá spočíva v postupnosti krokov zameraných na riešenie bádateľských problémov (v matematike, prírodných vedách, náboženstve i etike). Táto Descartova metóda kombinuje analýzu a syntézu, pričom analýza predstavuje rozklad problému alebo zložitého predmetu na jeho najmenšie, intuitívne rozoznateľné súčasti a syntéza ho rekonštruuje pomocou prísne logických operácii (dedukcie). Sledujúc pravidlá tejto metódy, Descartes hľadá posledné, základné, večné pravdy. Existencia týchto právd je podľa Descarta daná pravdugarantujúcim bohom (veracitas Dei). Descartes radikalizoval svoju skepsu (pochybovanie) až k podľa neho - nepochybnému, evidentnému východisku, ktoré sformuloval vo vete, ktorú by sme po slovensky mohli vyjadriť takto: Myslím, teda som (Cogito, ergo sum). Rozmanitosť vecí - častí celku nie je podla Descarta (podobne ako podľa atomistov) výsledkom kvalitatívnych zmien. Ich kvalitatívnu rozmanitosť chápe ako výraz kvantitatívnej mnohotvárnosti. Preto napr. zviera chápal ako mechanický stroj. V matematike zaviedol pojem premennej, funkcie, sústavu súradníc (tzv. karteziánsku) a založil analytickú geometriu. (Zdroj: wikipedia)

Súradnice bodov na priamke a v rovine V dnešnej dobe sa takmer denne stretávame s udávaním polohy – svojho bydliska, miesta stretnutia, lekára, školy, dovolenkovej destinácie, atď. V praxi nato slúžia ulice, čísla domov alebo v modernej počítačovej dobe GPS súradnice. Tento už bežne používaný spôsob sa ale nehodí napríklad pre šachistu, ktorý udáva miesto na šachovnici písmenom a číslom (stĺpce a rady). Podobne budeme postupovať aj my. Polohu bodov (súradnice) budeme popisovať pomocou číselnej osi a polohu bodov (súradnice) v rovine budeme popisovať pomocou karteziánskej súradnicovej sústavy.

1

Stredná priemyselná škola strojnícka, Duklianska 1, Prešov Súradnice bodov na priamke Na ľubovoľnej priamke p zvolíme najprv bod O , a potom bod I tak, aby OI  1. Každému bodu X priamky p priradíme reálne číslo x  OX , ak leží bod X na polpriamke OI a číslo x   OX , ak leží bod X na polpriamke opačnej k polpriamke OI . Priamka p nám následne predstavuje číselnú os.

(obrázky zakreslené v programe Geogebra) Súradnice bodov v rovine Dvojica číselných os x, y v rovine, pre ktoré platí, že obidve osi sú navzájom kolmé a ich priesečníku O zodpovedá na obidvoch osiach číslo 0 , sa nazýva karteziánska súradnicová sústava v rovine. Bod O sa nazýva počiatok karteziánskej súradnicovej sústavy a priamky x, y sa nazývajú súradnicové osi.

Zápis súradnice bodov na priamke

Číslo určujúce súradnicu bodu na priamke predstavuje jeho polohu na číselnej osi. 2

Stredná priemyselná škola strojnícka, Duklianska 1, Prešov

A6; B 1; C0; D 7; E9 Zápis súradníc bodov v rovine

Bodom A vedieme rovnobežky so súradnicovými osami. Každá rovnobežka pretne súradnicovú os x a y v konkrétnom čísle. Uvedené čísla predstavujú súradnice bodu A , teda A7;4. Príklad 1. Zvoľte karteziánsku súradnicovú B1;3, C 2;1, D 5;6, E3;0, F 0;2.

sústavu

a zobrazte

Riešenie:

Výpočet stredu úsečky na priamke Pre stred S s  úsečky AB na priamke, pričom Aa, Bb platí: ab s . 2

3

v nej

body

Stredná priemyselná škola strojnícka, Duklianska 1, Prešov

Výpočet stredu úsečky v rovine Pre stred S s1 ; s 2  úsečky AB v rovine, pričom Aa1 ; a2 , Bb1 ; b2  platí:

s1 

a1  b1 a  b2 , s2  2 . 2 2

Príklad 2. Vypočítajte súradnice stredu úsečky AB , ak platí a) A 3,5, B6, b) C 2,25;6, D1,3;2. Riešenie: 1. Použitím vzorca na výpočet súradnice stredu úsečky na priamke dostaneme a  b  3,5  6 2,5 s    1,25 2 2 2 Pre stred úsečky AB platí S 1,25. 2. Použitím vzorca na výpočet súradníc stredu úsečky v rovine dostaneme a b  2,25  1,3  0,95 s1  1 1    0,475 2 2 2 a  b2 6   2 4 s2  2   2 2 2 2 Pre stred úsečky AB platí S  0,475;2. Riešenie cvičení:

4

Stredná priemyselná škola strojnícka, Duklianska 1, Prešov

Vzdialenosť dvoch bodov na priamke a v rovine Vzdialenosť dvoch bodov na priamke Dané sú body Aa, Bb na priamke (viď obrázok).

Vzdialenosť bodov A a B je daná ako dĺžka úsečky AB a vypočítame ju podľa vzorca:

AB  b  a Príklad 1. Vypočítajte vzdialenosť bodov A a B , ak je dané: a. A5, B2; b. A 2, B3; c. A 1, B 8. Riešenie: Dosadením do vzorca dostaneme: AB  2  5   3  3 a. b.

AB  3   2  3  2  5  5

c.

AB   8   1   8  1   7  7.

Dĺžky jednotlivých úsečiek sú 3,5,7.

Vzdialenosť dvoch bodov v rovine

V súradnicovej sústave sú dané dva body Aa1 , a2 ; Bb1 , b2  (viď obrázok).

5

Stredná priemyselná škola strojnícka, Duklianska 1, Prešov Z obrázka vyplýva, že AC  b1  a1 ; BC  b2  a2 . dostávame pre vzdialenosť dvoch bodov v rovine vzťah:

AB 

Z Pytagorovej

vety

b1  a1 2  b2  a2 2

Príklad 2. Vypočítajte vzdialenosť bodov A a B , ak je dané A 3;1, B2;8. Riešenie: Dosadením do vzorca dostaneme:

AB 

2   32   8   12

Dĺžka úsečky AB je rovná



2  32   8  12

 5 2   7  25  49  74 2

74 .

Príklad 3. Na súradnicovej osi y nájdite bod M , ktorý má rovnakú vzdialenosť od začiatku súradnicovej sústavy a od bodu A 8;4. Riešenie: Bod M ležiaci na súradnicovej osi y má súradnice M 0; y . Zo zadania príkladu vyplýva, že MO  MA , pričom O0;0. Dosadením do uvedeného vzťahu dostávame:

0  02  0  y 2   8  02   4  y 2 2 2 2 0 2   y    8   4  y  0  y 2  64  16  8 y  y 2 y 2  80  8 y  y 2

/

2

/  y 2  80 y 2  80  8 y  y 2 /: 8 8 y  80 y  10. Bod uvedených vlastností má súradnice M 0;10.

Vektor, súradnice vektora a veľkosť vektora Vektor Vo fyzike často potrebujeme pri niektorých veličinách znázorniť nielen ich veľkosť, ale aj smer (napríklad sila, rýchlosť, zrýchlenie, ...). Preto ich znázorňujeme úsečkami, u ktorých je daný začiatočný a koncový bod – orientovanými úsečkami. Graficky orientovanú úsečku znázorňujeme ako úsečku so šípkou pri koncovom bode (viď obrázok).

(nakreslené v programe Geogebra) 6

Stredná priemyselná škola strojnícka, Duklianska 1, Prešov Orientovanú úsečku so začiatočným bodom A a koncovým bodom B zapisujeme v texte symbolom AB. Veľkosť orientovanej úsečky AB je vzdialenosť bodov, A, B. Dve orientované úsečky budú určovať rovnaký vektor, ak budú rovnako veľké a budú mať rovnaký smer. Ktoré orientované úsečky na obrázku určujú rovnaký vektor?

(nakreslené v programe Geogebra) Vidíme, že orientované úsečky AB, EF, IJ majú rovnakú veľkosť a orientované úsečky AB, EF, GH majú rovnaký smer. Rovnaký vektor teda určujú orientované úsečky AB a EF. Z uvedeného vyplýva, že orientované úsečky AB, CD majú rovnaký smer práve vtedy, keď a) priamky AB a CD sú rovnobežné rôzne a body B, D ležia v tej istej polrovine s hraničnou priamkou AC (viď obrázok),

(nakreslené v programe Geogebra) alebo b) priamky AB a CD sú totožné a prienikom polpriamok AB a CD je opäť polpriamka (viď obrázok).

(nakreslené v programe Geogebra)

7

Stredná priemyselná škola strojnícka, Duklianska 1, Prešov Vektor je množina všetkých orientovaných úsečiek, ktoré majú rovnakú veľkosť a rovnaký smer. Označenie: vektory označujeme malými tučnými písmenami alebo v písomnom zápise so šípkou, napr. orientovaná úsečku AB určuje vektor u. Súradnice vektora Dané sú body Aa1 , a2  a Bb1 , b2 . . Súradnice vektora u, ktorý je určený orientovanou úsečkou AB vypočítame:

u1  b1  a1

u 2  b2  a2

Zapisujeme: u = u1 , u 2 . Symbolický zápis u = B – A. Súradnice vektora nezávisia od toho, ktorou orientovanou úsečkou budú určené. Naopak, ak je daný bod A a vektor u, nájdeme jediný bod B tak, že orientovaná úsečka AB je umiestnením vektora u. Jeho súradnice budú:

b1  a1  u1

b2  a2  u 2

Bod B zapisujeme symbolicky v tvare B = A + u. Veľkosť vektora Veľkosť vektora u je veľkosť akejkoľvek orientovanej úsečky AB, ktorá vektor u určuje. Označujeme ho symbolom |u|. Špeciálne prípady:  |u| = 1, vektor u sa nazýva jednotkový vektor,  |u| = 0, vektor u sa nazýva nulový vektor (počiatočný bod splýva s koncovým bodom). V rovine platí pre vzdialenosť dvoch bodov Aa1 ; a2 , Bb1 ; b2  vzťah

AB 

b1  a1 2  b2  a2 2

.

Taktiež vieme, že súradnice vektora u = B – A sú čísla u1  b1  a1 ; u 2  b2  a2 . Pre každý vektor u = u1 ,u 2  v rovine platí |u| =

u12  u 22

Príklad 1. V rovine sú dané body A 3;4, B2;1. Vypočítajte súradnice vektora u = B – A. Riešenie: Dosadením do vzorca dostaneme u = B  A  2   3;1  4  2  3;1  4  5;5 . 8

Stredná priemyselná škola strojnícka, Duklianska 1, Prešov Súradnice vektora u = B – A sú 5;5. Príklad 2. V rovine je daný bod A6;5 a vektor u   1;2. Vypočítajte súradnice bodu B  A  u. Riešenie: Dosadením do vzorca dostaneme B  A  u  6   1;5   2  6  1;5  2  5;7. Súradnice bodu B  A  u sú 5;7. Príklad 3. V rovine sú dané body C2;1, D 3;4. Určte súradnice vektora u = CD a veľkosť vektora u = CD. Riešenie: Dosadením do vzorca dostaneme súradnice vektora u = CD  D  C   3  2;4   1   3  2;4  1   5;5. Pre veľkosť vektora platí

 52  52  25  25  50. Súradnice vektora u = CD sú  5;5 a jeho veľkosť je |u| u12  u 22 

50.

Operácie s vektormi Sčítanie vektorov Pre každé dva vektory u = u1 ;u 2  , v = v1 ;v2  platí: u + v = u1  v1 ; u 2  v2  . Graficky:

(nakreslené v programe Geogebra)

9

Stredná priemyselná škola strojnícka, Duklianska 1, Prešov Súčet vektorov u = B – A, v = C – B je vektor w = C – A. Zapisujeme u + v = C – A. Pri sčítaní vektorov nezávisí na voľbe umiestnenia jednotlivých vektorov. Preto platí pre každé dva vektory u, v a pre každé tri vektory u, v, w: u+v=v+u (komutatívnosť) (u + v) + w = u + (v + w) (asociatívnosť). Grafické overenie prvej z uvedených vlastností (komutatívnosť):

(nakreslené v programe Geogebra) Rozdiel vektorov Ak u = B – A, tak vektor A – B sa nazýva opačný vektor k vektoru u a označuje sa –u. V rovine platí: u = u1 ;u 2   -u =  u1 ;u 2 . Graficky (v = – u):

(nakreslené v programe Geogebra)

10

Stredná priemyselná škola strojnícka, Duklianska 1, Prešov Rozdiel vektorov v a u (označujeme w = v – u) bude predstavovať w = v + (u), teda k prvému vektoru pripočítame vektor navzájom opačný k druhému vektoru. Graficky:

(nakreslené v programe Geogebra) Násobenie vektora číslom Násobok vektora u = B – A číslom k  R  0 je vektor v = C – A, pričom C je bod, pre ktorý platí:  AC  k . AB ,  pre k >0, leží bod C na polpriamke AB, pre k <0 leží bod C na polpriamke opačnej k polpriamke AB. Vektor v = C – A označujeme symbolom k . u. Graficky (výsledný vektor je v obrázku kvôli prehľadnosti zakreslený v inom umiestnení):  napr. k  2

(nakreslené v programe Geogebra) 11

Stredná priemyselná škola strojnícka, Duklianska 1, Prešov  napr. k  0,5

(nakreslené v programe Geogebra). Pre každý vektor u = u1 ;u 2  v rovine a každé číslo k  R  0 platí: k . u = k.u1 ; k.u 2 . Príklad V rovine sú dané body A5;4, B 2;1, C3;0. Vypočítajte: a. súradnice vektora u = AB, b. súradnice vektora v = CB, c. opačný vektor k vektoru v, d. súčet vektorov u + v, e. rozdiel vektorov v – u, f. násobok vektora 3.u. Riešenie: Dosadením do vzťahov dostaneme a. u = AB = B – A =  2  5;1  4   7;3 , b. v = CB = B – C =  2  3;1  0   5;1, c. –v = 5;1, d. u + v =  7  5;3  1   12;2, e. v – u =  5  7;1  3  2;4, f. 3.u =  21;9.

12

Stredná priemyselná škola strojnícka, Duklianska 1, Prešov

Obsah Analytická geometria lineárnych útvarov..................................................................... 1 Súradnice bodov na priamke a v rovine...................................................................... 1 Vzdialenosť dvoch bodov na priamke a v rovine......................................................... 5 Vektor, súradnice vektora a veľkosť vektora............................................................... 6 Operácie s vektormi..................................................................................................... 9

Pripravila: RNDr. Hedviga Kovaľová

13