PID szabályozó tervezése frekvenciatartományban 1.1.1. A szabályozó er sítésének hatása a stabilitásra A szabályozó er sítése az a paraméter, amelyet a szabályozás m ködése alatt is számos esetben módosítanak, hangolnak például a minél kisebb állandósult állapotbeli hiba eléréséhez. Ezért célszer megvizsgálni, hogy a körer sítés módosítása hogyan befolyásolja a zárt rendszer stabilitását. 7.1 Példa: Legyen a szabályozó átviteli függvénye Hc(jω) amelynek amplitúdómenete |Hc(jω)|, fázismenete ϕ(Hc(jω)). Legyen a folyamat átviteli függvénye HF(jω) amelynek amplitúdómenete |HF(jω)|, fázismenete ϕ(HF(jω)). Határozzuk meg a nyílt rendszer amplitúdó- és fázismenetét. A szabályozó átvitelét az amplitúdó és fázis függvényében az alábbi formában írhatjuk fel: Euler
H C ( jω) = Re(H C ) + j Im(H C ) = H C ( jω) (cos(ϕ ( H C ( jω))) + j sin(ϕ (H C ( jω)))) = H C ( jω) e jϕ ( HC ( jω)) (7.2)
A folyamat esetében: H F ( jω ) = H F ( jω ) e jϕ ( H F ( jω ))
(7.3)
A nyílt rendszer átviteli függvénye: H N ( jω ) = H C ( jω ) H F ( jω ) = H C ( jω ) e jϕ ( H C ( jω )) H F ( jω ) e jϕ ( H F ( jω )) H N ( jω ) = H C ( jω ) H F ( jω ) e j (ϕ ( H F ( jω ))+ϕ ( H C ( jω )) )
(7.4)
Tehát a nyílt rendszer amplitúdó- és fázismenete: H N ( jω ) = H C ( jω ) ⋅ H F ( jω )
ϕ (H N ( jω ) ) = ϕ (H C ( jω ) ) + ϕ (H F ( jω ) )
(7.5)
A szabályozó er sítése és a fázistartalék kapcsolatának vizsgálatához írjuk fel a nyílt rendszert olyan formában, hogy a szabályozó er sítése ( K P ) elkülönítve legyen a nyílt rendszer többi részét l. H N ( jω ) = K P H N 1 ( jω )
(7.6)
Ha K P -t komplex átvitelként kezeljük, könnyen belátható, hogy az amplitúdója K P és fázisa 0. Tehát ha KP értékét változtatjuk a (7.5) összefüggések alapján, a nyílt rendszer amplitúdómenete változik, fázismenete pedig nem. A 7.2 Ábrán a fázistartalék változása
látszik az amplitúdó függvényében: ha a szabályozás er sítését növeljük, az amplitúdómenet feljebb kúszik, a fázismenet változatlan marad. Ha a fázistartalék csökken, a szabályozási rendszer stabilitása romlik. Ez abban nyilvánul meg, hogy tranziens állapotban a túllövés egyre nagyobb lesz, a folyamat kimenetén a lengések csillapítása egyre kisebb lesz. Nulla fázistartalékra a lengések konstans amplitúdójúvá vállnak. Negatív fázistartalék esetén a zárt rendszer instabil, a kimenet korlátlanul növekszik.
Hiba! Nincs ilyen stílusú szöveg a dokumentumban..1 Ábra: A szabályozó er sítésének hatása a fázistartalékra
A szabályozó er sítésének növelésével a szabályozási rendszer stabilitása romlik, s t túl nagy szabályozóer sítéssel a szabályozási rendszert instabillá tehetjük.
1.1.2. PID szabályozók tervezése el írt fázistartalékra A cél a PID típusú szabályozó paramétereinek meghatározása úgy, hogy a szabályozó rendszer akkor se veszítse el a stabilitását, ha a tervezésnél alkalmazott modell nem írja le tökéletesen a valós irányított folyamat viselkedését, vagy ha a folyamat paraméterei megváltoznak.
Hiba! Nincs ilyen stílusú szöveg a dokumentumban..2 Ábra: A modellbizonytalanság a Bode diagramon
A 7.3 Ábrán a nominális rendszer Bode diagramja, amit a szabályozó tervezéséhez alkalmaztunk, valamint a valós irányított rendszer Bode diagramja látható. A valós rendszer Bode diagramja pontosan nem ismert, csak azt tudjuk róla, hogy valahol a nominális rendszer diagramja körüli bizonytalanság sávban található. Ha a bizonytalansági sáv széles akár az is el fordulhat, hogy a nominális rendszer fázistartaléka pozitív de a valós rendszer fázistartaléka negatív. Ha a szabályozó garantálja, hogy a nominális nyílt rendszernek nagy el írt fázistartaléka legyen, akkor a bizonytalansági sávban található valós rendszer is jó eséllyel stabil marad. Tehát a robusztus stabilitást garantáló szabályozók paramétereit úgy kell meghatározni, hogy a nyílt rendszer nagy fázistartalékkal rendelkezzen. A robusztusság mellett a tervezésnél más követelményeket is el írhatunk, mint például gyors válasz és korlátozott beavatkozó jel. A PID szabályozó átviteli függvénye általánosan: H C ( s) = K P ⋅ 1 +
sTd 1 + Ti s 1 + s ⋅ T
(7.7)
A KP, Ti, Td, T paramétereket kell meghatározni úgy, hogy a szabályozás robusztus legyen. Bizonyos feladatokhoz elégséges, ha csak egyszer bb struktúrájú P, PI vagy PD szabályozót alkalmazunk. Ilyenkor kevesebb paramétert kell meghatározni. A követelményeket az alábbi három pontban foglalhatjuk össze: I. Legyen a nyílt rendszer fázistartaléka egyenl egy el írt ϕtREF fázistartalékkal. II. Legyen a beavatkozó jel maximális értéke uMAX. III. Legyen az irányított rendszer válasza minél gyorsabb.
Az I. feltétel teljesítéséhez el ször meg kell határozni a nyílt rendszer vágási frekvenciáját (ωC), vagyis ahol az amplitúdómenet metszi a vízszintes tengelyt. Mivel a Bode diagram logaritmikus, ezért az amplitúdómenet a vágási frekvencián 1. Ezek után a nyílt rendszer (7.1) összefüggés alapján számított fázistartaléka egyenl kell legyen az el írt fázistartalékkal. Tehát az alábbi egyenletrendszerhez jutunk: H C ( jωC ) ⋅ H F ( jω C ) = 1 π + ϕ (H C ( jω C )) + ϕ (H F ( jω C )) = ϕ tREF
(7.8)
A II. feltételt akkor kell figyelembe venni, ha a szabályozó deriváló csatornával is rendelkezik. A szabályozás indításakor a szabályozó bementén egységugrásszer hiba jelenik meg. Ezért a t=0 id pillanatban a deriváló csatorna miatt a beavatkozó jel megugrik. A szabályozó paramétereket úgy kell megválasztani, hogy a szabályozó egységugrásra adott válasza a t=0 id pillanatban egyenl legyen az el írt maximális beavatkozó jellel. A PD (és PID) szabályozó egységugrásra adott válaszának meghatározásához alkalmazzuk a Laplace transzformált alábbi tulajdonságát: lim u (t ) = lim su ( s ) t →0
s →∞
(7.9)
Mivel az egységugrás Laplace transzformáltja 1/s: sTd T 1 lim su (s ) = lim sH C (s ) = lim H C ( s ) = lim K P ⋅ 1 + = KP ⋅ 1+ d s →∞ s →∞ s s →∞ 1+ s ⋅T T
s →∞
(7.10)
Könnyen belátható, hogy PID esetén is ugyanez lesz az eredmény. A (7.10) összefüggésben kapott érték egyenl kell legyen uMAX-al. A III. feltételt pólus-zérus kiejtéssel érhetjük el. A szabályozó zérusait úgy választjuk meg, hogy ejtsék ki az irányított folyamat lassú pólusait. A csak egy er sítésparaméterrel rendelkez P szabályozóval csak az I. feltétel teljesíthet . Zérussal is rendelkez szabályozókkal garantálható a pólus-zérus kiejtés, tehát a gyors válasz. A tervezés lépései során feltételezzük, hogy az irányított folyamat harmadfokú rendszer, de a tervezési módszer egyszer en módosítható más rendszerosztályokra is. Feltételezzük, hogy az irányított folyamat dinamikája az alábbi modellel írható le: H F (s) =
KF (T1s + 1)(T2 s + 1)(T3 s + 1)
(7.11)
Legyen T3 a leglassúbb, T1 a leggyorsabb id állandó a folyamatban, vagyis: T3>T2>T1. A rendszer összes paraméterét ismertnek tekintjük. 7.2 Példa: Határozzuk meg a H (s ) =
K els fokú rendszer fázis- és amplitudómenetét. Ts + 1
Els lépésben a modellben s helyébe jω-t helyettesítünk és meghatározzuk az átviteli függvény valós és komplex részét: H ( jω ) =
K Tjω + 1
=
K (1 − T ⋅ jω ) 2
2
T ω +1
=
K 2
2
T ω +1
−j
K ⋅T ⋅ω
(7.12)
T 2ω 2 + 1
Re
Im
Az amplitúdómenet: H ( jω ) = Re( H ( jω )) 2 + Im( H ( jω )) 2 =
K2
(T ω 2
A fázismenet: ϕ (t ) = arctg
Im( H ( jω ) = arctg Re( H ( jω )
7.3 Példa: Határozzuk meg a H (s ) =
−
1 Ti s
2
+
K 2 ⋅T 2 ⋅ω 2
) (T ω
+1
2
2
2
)
+1
2
=
K 2
T ω 2 +1
(7.13)
K ⋅T ⋅ω T 2ω 2 + 1 = −arctg (T ⋅ ω ) K
(7.14)
T 2ω 2 + 1
els fokú integráló rendszer fázis- és
amplitudómenetét. Akárcsak az el z példa esetén, s helyébe jω-t helyettesítünk és meghatározzuk az átviteli függvény valós és komplex részét: H ( jω ) =
1 1 = 0− j Ti jω Ti ω
(7.15)
Az amplitúdómenet: 1 A= 0 + − Ti ω 2
2
=
1 Ti ω
(7.16)
A fázismenet: −
ϕ = arctg
1 Ti ω π = arctg (− ∞ ) = − 0 2
(7.17)
Amennyiben több sorosan csatolt els fokú rendszer amplitúdó és fázismenetét kell meghatározni, akárcsak a 7.1 Példa esetében az amplitúdómenetek összeszorzódnak, a fázismenetek pedig összeadódnak (lásd (7.5) összefüggés).
1.1.2.1.P szabályozás A nyílt rendszer P szabályozóval ( H C ( s ) = K P ), ha a folyamatot a (7.11) modell írja le: H N (s) = K P
KF (T1 s + 1)(T2 s + 1)(T3 s + 1)
(7.18)
Ebben az esetben (7.8) egyenletrendszer, felhasználva a (7.5), (7.13), (7.14) összefüggéseket:
(T
)(
2
KF ⋅ KP
)(
)
=1
2 2 2 2 2 1 ωC + 1 T2 ωC + 1 T3 ω C + 1 π + arctg (H N ( jωC )) = π − arctg (T1ωC ) − arctg (T2ωC ) − arctg (T3ωC ) = ϕ tREF
(7.19)
A fenti nemlineáris egyenletrendszer két egyenletet és két ismeretlent tartalmaz: ωC, KP. A megoldásként kapott KP proporcionális er sítés garantálja a nyílt rendszerben az el írt fázistartalékot (ϕtREF). 1.1.2.2.PI szabályozás A nyílt rendszer PI szabályozóval és az irányított harmadrend folyamat modelljével: H N (s) = K P ⋅ 1 +
KF T s +1 KPKF 1 = i Ti s (T1 s + 1)(T2 s + 1)(T3 s + 1) Ti s (T1 s + 1)(T2 s + 1)(T3 s + 1)
(7.20)
Válasszuk úgy az integrálási id t, hogy ejtse ki a leglassúbb (T3) id állandót: Ti=T3
(7.21)
A pólus-zérus kiejtés után a nyílt rendszer:
H N (s) =
K F ⋅ (K P Ti ) ⋅ (Ti s + 1) Ti =T3 K F K P T3 = s (T1s + 1)(T2 s + 1)(T3 s + 1) s(T1s + 1)(T2 s + 1)
(7.22)
Ebben az esetben (7.8) egyenletrendszer, felhasználva a (7.5), (7.13), (7.14), (7.16), (7.17) összefüggéseket:
π−
π 2
(
K F K P T3 2
)(
)
ωC T1 ωC 2 + 1 T2 2ωC 2 + 1
=1
− arctg (T1ωC ) − arctg (T2ωC ) = ϕ tREF
(7.23)
A (7.23) egyenletrendszer megoldásaként kapjuk az el írt fázistartalékot biztosító KP er sítést. A Ti integrálási id t a (7.21) összefüggés alapján kell számítani. 1.1.2.3.PD szabályozás A nyílt rendszer sz rt PD szabályozóval és az irányított folyamattal : H C (s) = K P ⋅ 1 +
sTd KF = Ts + 1 (T1s + 1)(T2 s + 1)(T3 s + 1)
(Td + T )s + 1 Ts + 1
KPKF (T1s + 1)(T2 s + 1)(T3 s + 1)
(7.24)
Válasszuk úgy a Td + T értékét, hogy ejtse ki a leglassabb T3 pólust: (7.25)
Td = T3 − T
A pólus-zérus kiejtés után a nyílt rendszer: H N (s) =
T +Td =T3 K P ⋅ K F ⋅ ((Td + T )s + 1) KPKF = (T1s + 1)(T2 s + 1)(T3 s + 1)(Ts + 1) (T1s + 1)(T2 s + 1)(Ts + 1)
(7.26)
A (7.8) egyenletrendszert a (7.5), (7.13), (7.14) összefüggéseket felhasználva kapjuk. Mivel a szabályozó tartalmaz deriváló csatornát, vegyük figyelembe a beavatkozó jel korlátosságára kikötött feltételt, felhasználva a (7.10) összefüggést:
(T
2
)(
KPKF
)(
)
=1
ω C + 1 T2 2ωC 2 + 1 T 2ωC 2 + 1 π − arctg (T1ωC ) − arctg (T2ω C ) − arctg (T ) = ϕ tREF 1
2
T −T KP ⋅ 1+ 3 = u MAX T
(7.27)
A fenti nemlineáris egyenletrendszerben az ismeretlenek K P , T , ωC . A Td deriválási id t a T paraméter ismeretében a (7.25) összefüggés alapján kapjuk. 1.1.2.4.PID szabályozás A pólus-zérus kiejtés elvégzéséhez a PID szabályozót módosított alakban kell felírni: H C ( s) = K P ⋅ 1 +
sTd 1 + s ⋅ T + TiTd s 2 + Ti s(1 + s ⋅ T ) T (T + T )s 2 + (T + Ti )s + 1 1 + = KP ⋅ = KP ⋅ i d (7.28) 1 + s ⋅ T Ti s Ti s(1 + s ⋅ T ) Ti s(1 + s ⋅ T )
A modell számlálóját keressük az alábbi alakban:
(τ 1s + 1)(τ 2 s + 1) = Ti (Td + T )s 2 + (T + Ti )s + 1
(7.29)
Könnyen belátható, hogy a τ1, τ2 és a szabványos szabályozóparaméterek között az alábbi összefüggés áll fenn: τ 1 ⋅τ 2 = Ti (Td + T ) τ 1 + τ 2 = T + Ti
(7.30)
A pólus zérus kiejtéshez válasszuk: τ1=T2, τ2=T3. Ezzel a paraméterválasztással szabályozó deriválási és integrálási idejét az alábbi módon tudjuk kifejezni: T2T3 −T T − T2 − T3 Ti = T − T2 − T3
Td =
(7.31)
A nyílt rendszer sz rt PID szabályozóval és az irányított folyamattal a pólus-zérus kiejtés végrehajtása után: τ 1 =T3
(K P Ti ) ⋅ K F ⋅ (τ 1s + 1) ⋅ (τ 2 s + 1) τ ==T H N (s) = s (T1s + 1)(T2 s + 1)(T3 s + 1)(Ts + 1) 2
2
K P K F (T2 + T3 − T ) s (T1 s + 1)(Ts + 1)
(7.32)
A (7.8) egyenletrendszert felhasználva a (7.5), (7.13), (7.14), (7.16), (7.17) összefüggéseket kapjuk. Ugyanakkor vegyük figyelembe a beavatkozó jel korlátosságára kikötött feltételt, felhasználva a (7.10) összefüggést: K F K P (T2 + T3 − T )
(
)(
)
ω c T12ωC 2 + 1 T 2ωC 2 + 1
π−
=1
π − arctg (T1ωC ) − arctg (Tω C ) = ϕ tREF 2 T2 ⋅ T3 KP ⋅ =u (T2 + T3 − T ) MAX
(7.33)
A fenti nemlineáris egyenletrendszerben az ismeretlenek K P , T , ωC . A Td, Ti paramétereket a már meghatározott T paraméter ismeretében a (7.31) összefüggés alapján számíthatjuk. A robusztus PID szabályozók tervezéséhez mind a négy esetben nemlineáris egyenletrendszert kell megoldani. Bonyolultságuk miatt az egyenletrendszerek analitikusan nem megoldhatóak, ezért numerikus módszerekkel kereshetjük a helyes megoldást. Használható például a Matlab ‘fsolve’ függvénye a megoldás meghatározásához.
1.1.3. El írt fázistartalékon alapuló tervezés kiterjesztése mintavételes rendszerekre Az el z fejezetben bemutatott, folytonos rendszerekre kidolgozott szabályozótervezési módszer az el írt fázistartalék biztosítására kis változtatásokkal kiterjeszthet mintavételes szabályozók tervezésére is. A tervezés a bilineáris (Tustin) transzformáción alapszik, amellyel mintavételes (z komplex változóban felírt) átviteli függvények folytonos (s komplex változóban felírt) átviteli függvényekké transzformálhatóak és fordítva. A bilineáris transzformáció esetében az áttéréshez az alábbi összefüggést kell alkalmazni (Tustin képlet): s=
2 z −1 ⋅ T z +1
(7.39)
T a mintavételi periódust jelöli. A transzformáció fordítottja: T 2 z= T 1− s 2 1+ s
(7.40)
A bilineáris transzformáció fontos tulajdonsága, hogy a komplex tér bal félsíkját az egységsugarú kör belsejébe transzformálja (lásd 7.8 Ábra). A fordított transzformáció pedig a komplex egységsugarú kör belsejét a komplex tér bal félsíkjába transzformálja. Tehát ha a folytonos rendszer stabil, a transzformációval kapott mintavételezett rendszermodell is garantáltan stabil lesz és fordítva. Ezért a robusztusságot garantáló szabályozók mintavételes átírásánál a bilineáris transzformációt érdemes alkalmazni.
Hiba! Nincs ilyen stílusú szöveg a dokumentumban..3 Ábra: A Tustin transzformáció
A szabályozó tervezéséhez adott az el írt fázistartalék (ϕtREF, uMAX) valamint a beavatkozó jel maximális értéke, valamint a mintavételezett rendszer modellje HF(z). A mintavételes szabályozó tervezésének lépései:
I. A bilineáris transzformációt (7.39) összefüggést alkalmazva megkapjuk a rendszer folytonos modelljét. Eredmény: HF(s). II. A folytonos modellre megtervezzük a folytonos idej szabályozót. Eredmény: Hc(s). III. A folytonos szabályozót bilineáris transzformációval mintavételes alakra hozzuk. Eredmény: Hc(z). A II. lépésben a 7.2 fejezetekben leírtakat kell követni. Egyedüli eltérés a maximális beavatkozójel számításánál van. Feltételeztük, hogy a beavatkozó jel a t=0 id pontban (mintavételes esetben a k=0 mintavételben) lesz a legnagyobb. A beavatkozó jel értékét mintavételes rendszereknél másképp kell számítani. A beavatkozó jel értéke a legels mintavételben, ha a szabályozó bemenete egységugrás: u 0 = lim u (z ) = lim H C (z ) ⋅ z →∞
z →∞
1 1 − z −1
= lim H C ( z ) = H C (z → ∞ ) z →∞
(7.41)
Bilineáris transzformáció esetén, ha a z komplex változó értéke a ∞–be tart, az s komplex változó: lim s = lim
z →∞
2 z −1 2 ⋅ = z +1 T
(7.42)
z →∞ T
Tehát ha áttérünk folytonos rendszermodellre, és a beavatkozó jel értékét keressük a legels mintavételben, s helyébe 2/T –t kell helyettesíteni: s=
2 T
u0 = H C ( s) = H C
2 T
(7.43)
A szabályozó tervezésénél a pólus-zérus kiejtés mellett, a korlátozott beavatkozó jel és el írt fázistartalék biztosításához, az inverz bilineáris transzformációval kapott folytonos modellt alkalmazva az alábbi nemlineáris egyenletrendszert kell megoldani: H C ( jω C ) ⋅ H F ( jωC ) = 1 π + arctgϕ (H C ( jω C )) + arctgϕ (H F ( jωC )) = ϕ tREF H C (T 2) = u MAX
Matlab függvényeket használva a tervezési séma az alábbi módon foglalható össze: "Tustin " d 2 cm
"Tustin " c 2 dm
H F ( z ) → H F (s ) → , P-Z kiejtés, ’fsolve’ → H C (s ) → H C ( z ) `
(7.44)
