Perumusan Fungsi Green Sistem Osilator Harmonik dengan Menggunakan Metode Integral Lintasan (Path Integral)

Perumusan Fungsi Green Sistem Osilator Harmonik dengan Menggunakan Metode Integral Lintasan (Path Integral) Sutisna Abstract: The path integral is a method that often used in the quantum problems calculation. For example; the calculation of quantum system energy that has complex potential form. The method gives more easily than perturbation method. The method is also used to derive Green function, which usually used Fourier transformation. The Green function has widely application in quantum physics, since it used to compute solution of inhomogen differential equation as Schrodinger equation. In the particle physics, the Green function used as propagator in Feynman’s diagram. Considering the importance of Green function, and the powerfull of path integral method, in the paper, the method used to derive the formula of Green function for quantum harmonic oscillator system. The system has widely application to give more information of physical phenomena, for example, the atomic vibration in solid state. The result was also compared with Fourier transformation method and both give the same result as hoped. Keywords: Green function, harmonic oscillator, path integral method

PENDAHULUAN Fungsi

sebagai

Green

merupakan

propagator

di

dalam

diagram Feynman (Ryder, H. L.,

salah satu metode penting dalam

1985).

fisika, baik dalam tinjauan klasik

Cara yang biasa digunakan

maupun tinjauan kuantum. Secara

untuk merumuskan fungsi Green

umum fungsi Green digunakan untuk

adalah

mengkonstruksi solusi persamaan

transformasi Fourier. Tetapi metode

diferensial tak homogen, misalnya

ini kurang sesuai jika diterapkan ke

persamaan Schrodinger. Sedangkan

dalam

dalam

mekanika kuantum yang kompleks.

medan adalah

kuantum

relativistik

(teori

fungsi

Green

kuantitas

yang

kuantum), suatu

Cara

dengan

menggunakan

masalah-masalah

lainnya

menggunakan

dalam

adalah

dengan

metode

integral

menyatakan ekspektasi dari perkali-

lintasan. Integral lintasan merupakan

an operator-operator medan dalam

salah satu metode yang banyak

waktu yang terurut (Ismail, 2000:1).

digunakan

Di dalam fisika partikel, fungsi Green

berbagai

pada

Beberapa

umumnya

juga

digunakan

Staf Pengajar Jurusan Fisika, FMIPA, Universitas Jember.

65

untuk

menyelesaikan

problem keuntungan

kuantum. dari

66

Jurnal Fisika FLUX, Vol. 6 No. 1, Pebruari 2009 (65 – 77)

penggunaan

metode

integral

memiliki aplikasi yang luas dalam

lintasan adalah (Gross, 1993):

membahas berbagai fenomena fisis.

1. Integral lintasan dapat digunakan

Misalnya

di

dalam

fisika

atom,

untuk mendapatkan solusi-solusi

vibrasi atom di dalam molekul dan

secara eksak dan numerik dari

zat padat dapat dihampiri dengan

teori

medan

(dimana

teori

interaksi

kuat

gerak osilator harmonik. Sedangkan

perturbasi

tidak

di dalam fisika inti potensial rata-rata

dapat mengerjakannya). 2. Integral

lintasan

cara

yang

perhitungan

nukleon di dalam inti juga sering

menyediakan

mudah

dalam

kuantisasi

ekspresi-ekspresi

fungsi

yang

erat

berkaitan

dan Green dengan

dihampiri dengan potensial harmonik. Selanjutnya osilator harmonik sederhana model

merupakan

yang

sebagai

banyak

model

sebuah digunakan

pendekatan

dari

amplitudo dalam proses fisika

sistem dengan potensial yang lebih

seperti peristiwa hamburan dan

kompleks. Meskipun osilasi di alam

peluruhan partikel.

yang kita jumpai adalah gerak osilasi

3. Integral

lintasan

memiliki

teredam (damped) atau terpaksa

kerangka kerja yang lebih umum

(forced) namun simpangan kecilnya

secara teoritik.

terhadap titik kesetimbangan dapat

4. Lebih jauh, hubungan yang erat antara

mekanika

mekanika

statistik

kuantum,

dan

atau teori

sangat

akurat

dihampiri

dengan

osilator harmonik sederhana (Paken P., 2004).

medan statistik dan teori medan

Sebagai

kuantum

diperoleh, akan dihitung juga fungsi

dengan

terlihat

sederhana

menggunakan

integral

lintasan. Dari mengingat

dengan

yang

menggunakan

metode transformasi Fourier. uraian

di

pentingnya

atas, peranan

fungsi Green dan sifat powerfull dari metode

Green

pembanding hasil

integral

lintasan,

maka

METODOLOGI Pembahasan dalam paper ini dilakukan

dengan

pendekatan

dalam paper ini metode tersebut

metode teoretik. Secara garis besar,

akan digunakan untuk merumuskan

langkah-langkah

yang

fungsi Green dari sistem osilator

adalah sebagai

berikut: pertama

harmonik

mencari solusi fungsi Green dengan

kuantum.

Sistem

ini

dilakukan

67

Sutisna, Perumusan Fungsi Green ..............

menggunakan metode transformasi

metode transformasi Fourier, dimulai

Fourier, dengan mula-mula mendefi-

dengan

nisikan gaya eksternal J k  dalam

gerak dari

ruang momentum. Dari definisi gaya

(osilator harmonik)

menuliskan

persamaan

sistem yang

ditinjau

 mq  m 2 q  J t  , .........

eksternal ini, kemudian digunakan

(1)

untuk mencari solusi umum dari

Dimana m adalah massa partikel, ω

persamaan gerak osilator harmonik

frekwensi sudut, q koordinat umum

dengan menggunakan transformasi

dan

Fourier, yang selanjutnya digunakan

eksternal. Dengan mengasumsikan

untuk merumuskan fungsi Green

J t 

dari sistem yang ditinjau. Kedua

menggunakan

fungsi

hasil

dari

gaya

suatu



 e J t dt ......... ikt

(2)



menyesuaikan dimana

integral lintasan yang telah ada dengan

1 2

J k  

mendefinisikan fungsi Green secara kemudian

sebagai

sumber

dituliskan (dalam ruang momentum)

metode

integral lintasan, dengan mula-mula

umum,

adalah

transformasi Fourier maka dapat

adalah merumuskan fungsi Green dengan

J t 

Green

k

adalah

bilangan

gelombang.

tersebut.

Langkah terakhir adalah menerap-

Nilai J t  harus menuju nol

kan fungsi Green tersebut untuk

untuk t yang besar, sehingga q t 

menghitung

dan

energi

dari

sistem

osilator harmonik.

turunan

Substitusi

1 2

J k  

Untuk menyelesaikan fungsi

J k  

1 2



m



dengan permisalan q k  

1 2



e



ikt

q t dt ............ (4a)

(1)

ke



 e  mq  m q dt , ikt

2



atau

menggunakan

d 2 q t  ikt 1 e dt  2 dt 2

persamaan

persamaan (2), maka diperoleh:

Penurunan Fungsi Green dengan Menggunakan Metode Transformasi Fourier dengan

akan

mendekati nol untuk t yang besar.

HASIL DAN PEMBAHASAN

Green

pertamanya



 m qt e 2

ikt

dt ..........................

(3)



maka persamaan (3) dapat ditulis menjadi:

68


1 2

J k  



m 

.

d 2qt  ikt e dt  m 2qk  dt 2 ................ (4b)

Integral suku pertama persamaan (4b) memberikan



1 2

qt  

1 2





J t ' eikt'dt ikt  k 2m  m 2 e dk  



  Gt , t 'J ' t 'dt', 

............................................ 

 

ikt d 2 q t  ikt  dq ikt   dq  d e m dt 2 e dt   dt e    dt  dt  





 dq   ik   e ikt dt. dt  

(7a)

dimana G t , t ' 

1 2



e  ik t t '  1  dk e  ik t t '  dk   . 2 2  m m  2 k 2   2

 mk



....................

(7b)

adalah fungsi Green untuk sistem

Sehingga persamaan (4b) dapat

osilator harmonik.

ditulis menjadi:

Penurunan Fungsi Green dengan Metode Integral Lintasan



imk 2

J k  

dq

 dt e

ikt

dt  m 2 q k  .

Fungsi





dengan



J k   mk 2  m 2 qk  , .........

(5)

Green

amplitudo

direlasikan

untuk

proses

fisika seperti hamburan dan proses peluruhan. Dalam mekanika kuan-

atau

q k  

tum fungsi Green secara umum

J k  ................... (6a) k m  m 2 2

dengan

menggunakan

transformasi

Fourier

1 2

 qk e

 ikt

bawah ini (Ryder, H. L., 1985)

sifat

G n  t1 , t 2 , . . . , t n   0 Tˆ qˆ t1 qˆ 2 t 2  . . . qˆ n t n  0

dari

dengan Tˆ

maka

persamaan (4a) dapat kita dituliskan

q t  

diekspresikan oleh persamaan di

dk ,

,

menyatakan perkalian

urutan waktu (time ordered product). Untuk merumuskan fungsi Green ini, mula-mula harus membuat integral

yang dengan mensubtitusikan ke

lintasan dalam bentuk representasi

persamaan (6a) akan didapatkan

Heisenberg. Operator qˆ t  adalah operator Heisenberg, yang dikaitkan

q t  

1 2



k



2

J k  e ikt dk .(6b) 2 m  m

Dengan menggunakan definisi dari

J k  pada persamaan (2), persamaan (6b) akan menjadi

dengan operator Schrodinger qˆ oleh

qt   eiHt e  iHt . Keadaan eigen dari operator

Heisenberg

q, t ; qˆ t  q, t  q q, t ,

adalah dan

hu-

bungannya dengan keadaan eigen


dilakukan adalah menuliskan “fungsi

bebas waktu adalah q, t  e iHt q .

2-titik” sebagai berikut (Ryder, H. L.,

Kemudian integral lintasan dapat

1985)

ditulis sebagai berikut K  q' e

 iHT

q  q ' , T q ,0 

 D qe

iS

.........................

 q ' , T T qˆ t1 qˆ 2 t 2  q,0 .............. (9)

.

Kemudian akan dipilih suatu metode

(8)

untuk menentukan kontribusi vakum

Dengan integral lintasan ini nantinya

pada tingkat awal dan akhir (tanpa

akan dicari “fungsi 2-titik (two point

sumber eksternal).

function)” Gt1 ,t2  , yaitu fungsi yang dievalusi

antara

69

dua

titik

Untuk t1  t 2 , persamaan (9)

yang

menjadi:

berdekatan. Langkah pertama yang

q ' , T Tˆ qˆ t1 qˆ2 t 2  q,0  q ' , T Tˆ qˆ t1 qˆ2 t 2  q,0   dq1dq2 q ' , T q1 , t1 q1 , t1 qˆ t1 q2 t2  q2 , t 2 q2 , t2 q,0   q1 ,t1 q1

q 2 q2 , t2

  dq1dq2 q1q2 q ' , T q1 , t1 q1 , t1 q2 , t 2 q2 , t 2 q ,0 . Masing-masing elemen persa-

lintasan,

maan ini merupakan suatu integral

menjadi:

sehingga

dapat

ditulis

 q ',T q1 ,t1 q 2 ,t 2 q ' , T T qˆ t1 qˆ 2 t2  q,0   dq1dq 2 q1q2  Dqe iS  Dqe iS  Dqe iS .......... (10) q1 ,t1

q 2 ,t 2

q ,0

Persamaan (10) terdiri dari

adalah perubahan posisi q1 ke q ' .

beberapa ekspresi integral lintasan,

Selanjutnya kita dapat mengkombi-

pertama perubahan posisi awal q

nasikan tiga integral lintasan ini

ke posisi

sehingga

q2 , kedua perubahan

posisi q2 ke q1 , dan yang ketiga

q ' , T Tˆ ( qˆ t1 qˆ 2 t2 ) q ,0 



q ',T

q ,0

persamaan

(10) dapat

ditulis menjadi:

D q q t1  q t2 e iS t1  t 2  ............................ (11)

Selanjutnya untuk semua waktu dapat ditulis menjadi:  q ',T q ' , T T qˆ t1  qˆ2 t 2 .....qˆn t n  q,0   Dq qt1  qt2 .....qt n eiS ............................. (12) q ,0

70


Untuk mendapatkan elemen

Dimana

angka

“0”

menandakan

vakum-ke-vakum, dilakukan dengan

fungsi gelombang suatu keadaan

cara memperluas tingkat q ' , T dan

dasar/ground state.

q,0

Untuk

dalam bentuk fungsi eigen

bahkan

interval waktu menjadi sangat kecil, kontribusi

untuk

fungsi

Green, dilakukan dengan menam-

Hamiltonian. Dan jika kita buat

maka

menghitung

elemen

seluruh

T qˆ t1 qˆ t 2  . . . qˆ tn  persamaan

berkaitan

tingkat lainnya akan hilang secara

ke

(13)

yang

dengan

faktor

relatif ke tingkat dasar. Sehingga

qt1 qt 2  . . . qˆ n  dalam integralnya,

didapatkan

sehingga

integral

lintasan

akan

menjadi:

q ' , T q ,T  0, T 0, T   Dqe iS .. (13)

0, T Tˆ qˆ t1 qˆ 2 t2  . . . qˆ n t n  0, T   Dq q t1 qt 2  . . . qt n e iS ........................... (14) Dari

ekspresi

tingkatannya berbeda. Oleh karena

sebelah kiri tidak sesuai dengan

itu tingkatan ini harus dieleminasi,

definisi fungsi Green seperti apa

sehingga

yang

persamaan

diinginkan

ini,

Green

dapat

dituliskan menjadi:

0, T

karena

fungsi

G n  t1 , t2 , . . . , tn   0 Tˆ qˆ t1 qˆ2 t 2  . . . qˆn t n  0 

0, T Tˆ qˆ t1 qˆ2 t2  . . . qˆn t n  0,T 0, T 0,T

 Dq qt qt  . . . qt e   Dqe 1

2

n

iS

........................

(15)

iS

.

Untuk kehadiran sumber eksternal

dapat dituliskan sebagai integral

J t 

fungsional Z J  sebagai berikut

propagator

dapat

ditulis

menjadi:

 

i S  dtJ t q t 

 

i S  dtJ t q  t 

 Dq e K  Dqe

iS

 . .............. (16)

Persamaan di atas mengandung sumber eksternal

J t  sehingga

 Dq e Z J    Dqe

iS

 . .......... (17)

Jika dioperasikan Z J 

dengan

i  i   J t1  , akan memberikan


71

 Dq q t e i S   dtJ t q t     1   1  Z J    iS Dqe  i J t1   J 0      J 0

 Dq qt e   Dq e

iS

1

iS

0, T qˆ t1  0,T 1    Z J    0 qˆ t1  0 0, T 0,T  i J t1   J 0 Dan

turunan

fungsional

n

kali

terhadap

eksternal

untuk

 j  0

integral

sumber

sumber

dengan fungsi Green persamaan

keadaan

bebas

ternyata

identik

(15), yaitu sebagai berikut:

Dq q t1  . . . q t n eiS 1      ... Z J    0 Tqˆ t1  . . . qˆ t n  0 . ........ (18) iS  i J t1  J tn   J 0  Dqe Dalam

persamaan

di

atas,

fungsional Z J  dinamakan sebagai fungsional pembangkit untuk fungsi Green,

karena

fungsional

Z J 

harmonik yang dirumuskan sebagai berikut:

1 1  S o   dt  mq 2  m 2 q 2 , 2 2 

dapat membangkitkan seluruh fungsi

Sehingga persamaan (19) menjadi

Green untuk keadaan vakum.

 1 1  N0  Dqt  exp  dt mq 2  m2q2  Jq 2   2 ................................................. (20)

Untuk

menghitung

Z J  ,

mula-mula uji numerator persamaan (17) di bawah ini

 N   Dq e 

i S  dtJ t  q  t 

Dengan

1

 dt  2 mq

S 2



Kemudian

melakukan

integral

lintasan terhadap variabel baru q’

. ............... (19)

(dimana q t   qc t   q ' t  , dan qc

adalah aksi osilator

adalah solusi klasik) sebagai berikut:

1 1  1 2 2  m2 q2  J   qt    dt  mqcJ t   q' t   m 2 qcJ t   q' t   2 2  2 J  qcJ t   q' t 

72


1 1    dt  mq c2 t   m 2 qc2  J t  qc t    dt mq cJ t q ' t   m 2 qc t q' t   J t  q ' t   2 2   1 1  2 2 2  dt  2 mq ' t   2 m q ' t  .





Karena suku kedua ruas kanan

dan q' t  , maka dapat dituliskan

persamaan ini mengandung qc t 

sebagai berikut:

 dt mq t q ' t   m q t q ' t   J t  q ' t     dt  mq t   m 2

cJ

c

2

cJ



qcJ t   J t  q ' t .

Karena persamaan ini memenuhi

(1), maka nilainya akan menjadi nol,

persamaan gerak osilator harmonik

seperti di bawah ini,





  dt  mqcJ t   m 2 q cJ t   J t  q ' t     dt 0 q ' t   0 Selanjutnya persamaan (20) dapat

ditulis sebagai berikut:

 1 1 1  1  N 0   Dq exp   dt  mqc2  m 2 qc2  J t qc t    dt  mq '2  m 2 q ' 2  2 2 2  2    e iSEc qc  Dalam

 Dy exp  dt

persamaan

ini

1 1 2 2 2  mq '  m q'  2 2  integral

terhadap variabel q’ adalah konstan

S0 J 

1 dt J t qc t . ............. (21) 2

(karena bebas dari J ) sebut saja C,

Dengan

sehingga numerator dapat dituliskan:

bahwa qc t  adalah sesuai dengan

N 0  CeiS0 J qc  ,

mengunakan

kenyataan

persamaan gerak osilator harmonik.

dimana

Solusi persamaan gerak ini bisa

1 1  S 0 J   dt  mq c2  m 2 q c2  Jq c  2 2  1 1    dt q c  mqc  m 2 q c  J . 2 2 

dinyatakan

Dengan gerak

mengingat osilator

persamaan

harmonik

mq  m 2 q 2   J , maka

adalah

dalam

bentuk

fungsi

Green, untuk ini ambil G t ,t ' yang merupakan solusi dari  d2  m  2   2 G t , t '    t  t ' .. (22)  dt 

Dari persamaan ini dapat dituliskan

qc   dt ' G t , t 'J t ' ................. (23)


Dengan

mensubtitusi

persamaan

(23) ke dalam persamaan (21),



G t , t ' 



1 dk 1 e ik t t '  .(27) 2  m  2 k   2

Karena di dalam ruang momentum

Sehingga numerator menjadi



1  N 0  C exp  dtdt ' J t G t , t 'J t ' (24) 2 

membagi



2





1 dt J t  dt ' Gt , t 'J t ' . 2

Dengan

1 m k 2

 ik t t ' 



maka akan diperoleh

S0 J 

dk

 2 e

73

numerator

ini

 t  t ' 

dk

 2 e

 ik t  t ' 



dan

 d2   2   2    k 2   2 , dan  dt 

fungsional pembangkit Z J  sebagai

dari

persamaan (27) ini terlihat

berikut:

bahwa

1  Z J   exp  dtdt ' J t G t , t 'J t ' ..(25) 2 

 d2   2   2  mempunyai nilai eigen  dt 

dengan C maka akan didapatkan

Untuk merumuskan fungsi Green dari

persamaan

dengan

(25),

dilakukan

merubah persamaan (22)

k

2





operator



2 .

Dapat

diferensial

dilihat

bahwa

fungsi Green yang didapat dengan transformasi Fourier sama dengan

menjadi:  d2  m  2   2  G t , t '    t  t ' dt   ,

fungsi

Green

yang

dirumuskan

dengan metode integral lintasan.

atau G t , t '   

dan

 t  t ' ............. (26)  d2  m  2   2  dt  

dengan

tranformasi

menggunakan

Fourier dalam ruang

momentum,

maka

fungsi

Green

Penerapan Fungsi Green untuk Menghitung Energi Sistem Osilator Harmonik Tinjau osilator persamaan

persamaan

harmonik (1),

gerak

sederhana

dengan

solusi

umumnya adalah sebagai berikut:

osilator harmonik menjadi:

q t  

1 2



 dt



J t '  e  ik t  t '   2  m  2 dk    mk 

dengan



 G t , t 'J ' t ' dt ',



Kemudian

1 dk e  ik t t '  Gt , t '   . m  2 k 2   2 

dengan

mengevaluasi

G t ,t ' ini, maka dapat dituliskan

74


sebagai

1 e  ik t  t '  dk (28)  2m   k  k1 k  k 2  

G t , t ' 

k1  

dimana Kemudian

dan

untuk

C

sepanjang

akses

samapai

k 2   .

yaitu +K

suatu

lintasan

real

yang

dari

–K

berbentuk

setengah lingkaran yang berjari-jari

mempermudah

pengerjaan integral ini mula-mula

K. Gambar 1 menunjukkan t  t '  0 ,

meninjau persamaan (28) sebagai

sedangkan

jika

t  t'  0 ,

daerah

ditunjukkan

oleh

kontur

dari

suatu

integral

permukaan dalam bidang-k. Kontur

setengah

yang sesuai, misalkan dilabelkan

bidang

akan tertutup

atasnya

yang

dirumuskan sebagai berikut:

1 e ik t t 'dk 1 e ik t t '   dk 2m C k  k1 k  k2  2m K k  k1 k  k2  K

I

i

1 e ik t t 'e  iKei d 2m K Kei  k1 Kei  k 2 K





......................

(29)



Gambar 1. Kontur yang digunakan untuk mengevaluasi fungsi Green untuk sistem osilator harmonik. Dalam bentuk pertama pada sebelah kanan

persamaan

diambil

sepanjang

ini,

integral

akses

real,

sedangkan bentuk kedua diambil integral

sepanjang

setengah

lingkaran dengan jari-jari K, yang mana k  Kei dan dk  iKe i d ,

e  ik t t ' dk C k  k k  k  1 2

2mI  Lim  K 

 e  ik1 t t ' e ik2 t t '   2i   . k 2  k1   k1  k 2 Dengan memasukkan nilai k1 dan

k 2 , didapatkan sin  t  t ' . m

 dan dievaluasi mulai dari   0

I 

sampai    . Dari persamaan

Karena

(29) didapatkan

pertama

pada

K , sebelah

bentuk kanan


persamaan (29) tidak lain menjadi

Gt ,t ' persamaan (28), sehingga sin  t  t '  Gt , t '  Lim R , K  m dimana i

1 e  ik t t ' e R iKei d i i  2m  K Ke  k1 Ke  k 2 K







Tetapi integral ini menghilang karena

75

Kemudian dapat diringkas,

sin  t  t ' ................ (32) m

G t , t ' 

Dan solusi umumnya akan menjadi:

sin  t  t 'J t 'dt ' , t0 m

q t   

t

dimana t0 adalah kondisi awal yang dipakai.

Jika

dimisalkan

bentuk

sumber eksternal adalah:

K   , oleh karena itu

J t   J 0e t ,

sin  t  t ' G t , t '  , t  t' . m

yang dimulai pada saat t  0 , dan

Singularitas

sistem diasumsikan akan berhenti

dalam

konturnya,

pada posisi kesetimbangan pada

sehingga,

G t , t '  0, t t ' .

t  0 , maka persamaan (33) menjadi

sin  t  t 'e t dt ' J 0 sin t    J   2 0 2 e t 2 2 0 m m     

q t   J 0 

dimana tan  

t

 , dengan  dalam 

kuadran pertama atau dalam kuadran kedua. sebagai catatan bahwa kondisi

batas

(30)

E  T V 

1 1 mq 2  m 2 q 2 2 2

2



J0 2m  2   2





q 0   0 , q 0   0 ,

dipenuhi. Ketika waktu menjadi sangat besar, maka didapatkan solusi gerak dari osilator harmonik yaitu sebagai berikut:

J sin t    . .............. (35) q t   0 m  2   2 Dari hasil ini dapat dihitung energi akhir dari sistem sebagai berikut:

KESIMPULAN Fungsi

Green

merupakan

suatu metode untuk mengkontruksi solusi persamaan deferensial tak homogen. Dari pembahasan yang telah dikerjakan bahwasanya fungsi Green

dapat

diturunkan

dengan

menggunakan dua metode yaitu metode transformasi Fourier dan metode integral lintasan. Perumusan

(31)

Sekarang jik

76


fungsi Green dengan menggunakan

DAFTAR PUSTAKA

metode transformasi Fourier adalah

Arthur, Beiser. 1987. Konsep Fisika Modern. Erlangga: Jakarta

diawali dengan mendefinisikan gaya

J k 

eksternal

dalam

ruang

momentum, dari definisi ini, dicari solusi dari persamaan gerak osilator harmonik

dengan

menggunakan

transformasi fourier dan sifat-sifat integral. Dan selanjutnya mencari solusi

umum

osilator

persamaan

harmonik

selanjutnya

yang

gerak didapat

mendefinisikan fungsi

Greennya. Sedangkan

perumusan

fungsi Green dengan menggunakan metode

integral

dimulai

lintasan

dengan

adalah

mendefinisikan

fungsi Green secara umum dalam mekanika

kuantum.

Kemudian

menyesuaikan integral lintasan yang telah ada dengan fungsi Green tersebut

dan

mencari

integral

fungsionalnya. Dengan menggunakan integral lintasan ini, diperoleh rumusan

fungsi

Green

dalam

mekanika kuantum. Dari pembahasan juga terlihat bahwa rumusan fungsi Green yang diperoleh

kedua

metode

adalah

sama yaitu sebagai berikut: 

G t , t ' 

1 dk 1 e ik t t ' . 2  m  2 k   2

Boas, L. Mary. 1983. Mathematical Methods In The Physical Sciences, 2nd Edition. New York : John Wiley & Son. B. Bornales, Jinky. 2000. Feynman’s Path Integral Formulation : A Short Introduction. MSU-Iligan Institute of Technology : Iligan City Gasiorowicz, S. 1974. Quantum Physics. Singapore: John Wiley & Sons. Inc. Greiner, W., Reinhardt, J. 1986. Field Quantization. Berlin: Springer-Verlag. Ismail. 2000. Propagator Photon untuk Kondisi Gauge FockSchwinger hingga Orde-2. Bandung: Jurusan Fisika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Teknologi Bandung. Resnick, Halliday. 1978. Fisika Universitas Jilid I. Erlangga : Jakarta Ryder, H. Lewis. 1985. Quantum Field Theory. New York: Cambridge University Press. Sakita, B. 1982. Quantum Theory Of Many-Variable Systems and Field. New York: World Scientific. Sakurai, J. J. 1985. Modern Quantum Mechanics. California: The Benjamin/Cummings Publishing Company, Inc. Menlo Park, W.

Bryan, Frederick. 1970. Mathematics Of Classical And Quantum Physics. Daver Publication : New York.


Yariv, Amnon. 1982. An Introduction to Theory and Application of Quantum Mechanics. John Wiley and Sons, Inc : New York.

77

http://en.wikipedia.org/wiki/Green%2 7s_functin http://pk.ut.ac.id/jmst/jurnal_2005.1/p andiangan.htm

Perumusan Fungsi Green Sistem Osilator Harmonik dengan Menggunakan Metode Integral Lintasan (Path Integral)

Recommend Documents