Osilator Harmonik (Bagian 2)

Osilator Harmonik (Bagian 2)

Osilator harmonik mekanika kuantum Tinjau osilator harmonik 1-dimensi:

Hˆ = Ekin + E pot 2

konstanta gaya

2

1 2  d ˆ H   kx 2 2m dx 2

E pot

1 2  kx 2

massa

perpindahan

1 2 V ( x)  kx 2

Tingkat energi osilator harmonik Tingkat energi osilator harmonik dipisahkan oleh kelipatan bilangan bulat dari frekuensi. Keradaan energi terendah memiliki energi lebih besar dari nol.

E

1 E   (  n) 2

n6 n5

11  2

n4

9  2 

n3 n2

n 1 n0

7  2  5  2  3  2  1   2  x

Fungsi gelombang osilator harmonik Kita dapatkan solusi dalam bentuk:

 ( x)  N  ( polynomial in x)  (bell  shaped Gaussian function)  y2   n ( x)  N n exp   H n ( y )  2 Dengan:

y  x / 1/ 4

    =   mk  2

Nn 

1 1 2

 2 n! n

Solusi Umum  y2   v ( x)  N v exp   H v ( y ) ; y = x/  2

Nn 

1 1 2

 2 n! n

Sehingga : 2  1 y   n ( x)  exp   H n ( y ) 1 2  2 n  2 n!

bell  shaped Gaussian function

Grafik fungsi Gaussian: f(x) = exp(-x2)

Polinom Hermite

_________________________ n Hn _________________________ 0 1 1 2y 2

4 y2  2

3

8 y3 12y

4

16y4  48y2+12

5

32y5 160y3+120y

6 64y6  48y4+72y2 120 ______________________

Untuk n ganjil (1,3,5,7,…), Polinom Hermite merupakan fungsi ganjil:

H v ( y ) = - H v ( y ) Untuk n genap (0,2,4,6,…), Polinom Hermite merupakan fungsi genap:

H v ( y ) = H v ( y )

Sifat-sifat polinom Hermite:

H  2 yH  2vH v  0 " v

' v

H n1  2 yH n  2nH n1 (recursion formula ) 

H ' H e v v 

 y2



1 2

dy   2 n! nn' 2

Dengan:

d Hv H  dy 2 " v

n

dH v H  dy ' v

Fungsi Gelombang  y2   n ( x)  exp   H n ( y ) 1 2  2 n  2 n! 1

Untuk n  0 :  y2   o ( x)  exp   H 0 ( y ) 1 2  2  1

 y2   exp   1 2  2  1

Diagram arsiran

Fungsi gelombang yang dinormalisasi dan distribusi probabilitas untuk keadaan energi terendah (ground state) osilator harmonik

Fungsi Gelombang  y2   n ( x)  exp   H n ( y ) 1 2  2 n  2 n! 1

Untuk n = 1 :

 y2   1 ( x)  2 exp   y 1 2  2  2 1

Fungsi gelombang yang dinormalisasi dan distribusi probabilitas untuk keadaan tereksitasi pertama dari osilator harmonik

Fungsi Gelombang  y2   n ( x)  exp   H n ( y ) 1 2  2 n  2 n! 1

Fungsi gelombang yang dinormalisasi untuk lima keadaan pertama dari osilator harmonik. Jumlah node = n dan fungsi gelombangnya bergantian simetris atau antisimetris terhadap y = 0.

Partikel dapat ditemukan di luar daerah klasik

 y2   n ( x )  N n exp   H n ( y)   2 

 y2   n ( x)  exp   H n ( y ) 1 2  2 n  2 n! 1

Distribusi probabilitas untuk lima keadaan pertama dari osilator harmonik dinyatakan dengan diagram kerapatan arsiran. Daerah dengan probabilitas tertinggi bergeser menuju titik balik gerak klasik untuk n yang terus meningkat.

Tingkat Energi Energi Potensial meningkat lebih tiba - tiba untuk partikel dalam kotak

V0

1 2 V  kx 2

Partikel terjebak dalam Partikel terjebak dalam kotak

potensial osilator harmonik

Tingkat Energi E

Perbandingan n2 2 E= 8mL2 n  1,2,3,...

2  25 8mL 2  n=5

n=4

E  2 (2n  1) 8mL2

n=3 n=2 n=1

2 16  2  8mL 2  9  8mL2 2  4 2  8mL 2 8 mL 2 

Particle-in-box

11 2 v=5 9  2  v=4

7  2  v=3 5  2  v=2 3   2 v=1 1  2  v=0

1 E = (  n) 2 n  0,1,2,3,... Spacing : E  

Harmonic oscillator

Zero-point Energy

Menghitung Nilai Ekspektasi

Sifat - sifat solusi osilator harmonik Nilai ekspektasi : 

   n* ( x) n ( x)dx

 y2   v ( x )  N v exp   H v ( y ); y = x/  2

-



x   n* ( x) x n ( x)dx -



y2 y2  N  exp[ ]H n ( y ) x exp[ ]H n ( y )dx 2 2 - 2 n



2 2 y x y   x  N n2 2  exp[ ]H n ( y )  exp[ ]H n ( y )d   2 2     -



y2 y2  N   exp[ ]Hn ( y) y exp[ ]Hn ( y)dy 2 2 - 2 n

2



 Nn2 2  exp[ y2 ]Hn ( y) yHn ( y)dy -

Sifat - sifat solusi osilator harmonik 

x  N n2 2  exp[ y 2 ]H n ( y ) yH n ( y )dy -

H n1  2 yH n  2nH v1 1 yH n  H n1  nH v1 2 

1 2 N  exp[  y ]H n ( y )H n1 ( y )dy  2 - 2 n

gunakan Sifat - sifat polinom Hermite :

2



 N n2 2 n  exp[ y 2 ]H n ( y )H n1 ( y )dy -

  n,n+1 +  n,n-1 = 0 + 0 x =0

H n"  2 yH n'  2nH n  0 H n1  2 yH n  2nH n1 (recursion formula ) 

1 2

y n H ' H e dy   2 n! nn'  n n 2



Sifat - sifat solusi osilator harmonik Dapat ditunjukkan bahwa: 

x

2

  ( x) x  n ( x)dx * n

2

-

 1  (  n) k 2 < x  meningkat dengan n 2

< x  menurun dengan k 2

Sifat - sifat solusi osilator harmonik 

Maka:

1 1 2 V  k x = k  n* ( x) x 2 n ( x)dx 2 2 - 1 1 1 1 1 1  k (n  )   (n  )  E 2 2 k 2 2 2

Energi kinetik rata - rata : 1 1 V  T  E  E T E  T  E 2 2 2 ˆ E p 1 2 x ˆ ˆ  pˆ x  ; jadi < T > = Juga didapat T = 2m 2 2m 1 atau  pˆ x2  = 2mE;  pˆ x2  = 2m (  n) 2

atau : < px  = 0

Teorema Virial Untuk potensial umum : V=axb dapat ditunjukkan bahwa : b T  V 2 2 V  E b+2 b T  E b+2

" Teorema Virial"

Contoh aplikasi dalam model molekul

Spektroskopi, Keadaan Vibrasional ekspansi Taylor 0 0  dV  V ( R)  V ( Re )    Re  dR 

kecil

1  d 2V  1  d 3V  2 3       2  Re   3  Re  ... 2  dR  8  dR 

Memberikan aproksimasi:

1  d 2V  1 2 2   V ( R)   2  Re  kRe ; 2  dR  2

 d 2V   2   k  dR 

1  d 2V  1 2 2 V ( R)   2  Re  kRe ; 2  dR  2

 d 2V   2   k  dR  Konstanta pegas merupakan ukuran kelengkungan energi potensial di dekat kesetimbangan dari ikatan. Sumur yang sempit (berbelok tajam) terkait dengan nilai k yang besar (ikatan yang kaku).

Terdapat hubungan antara energi ikat D; urutan ikatan serta konstanta pegas k

Molekul bervibrasi; dalam pengaruh energi potensial osilator harmonik

Model vibrasi molekul CO2 Mode stretching (memelar) yang tidak bebas, jika satu grup CO tereksitasi, grup lainnya mulai bervibrasi pula. Mode memelar simetrik dan antisimetrik yang bebas; salah satu grup dapat tereksitasi tanpa mempengaruhi yang lain: mode normal.

Gerak membengkok (bending) tegak lurus juga merupakan mode normal

Vibrasi Molekul Tiga mode normal molekul H2O

Mode ν2 adalah pembengkokan (bending) dan terjadi pada bilangan gelombang yang lebih kecil daripada dua mode lainnya.