BAB IV OSILATOR HARMONIS Tinjauan Secara Mekanika Klasik Osilator harmonis terjadi manakala sebuah partikel ditarik oleh gaya yang besarnya sebanding dengan perpindahan posisi partikel tersebut. F(x) = k x (4-1) k = tetapan gaya F(x) = gaya berarah x yang bekerja pada partikel. Jika (4-1) dikorelasikan dengan Hukum Newton kedua, F = m a, maka d 2x m 2 = k x dt atau d 2x m 2+kx=0 dt atau
d2 k / mx = 0 dt
(4-2)
Persamaan (4-2) adalah persamaan diferensial orde kedua, yang persamaan karakteristiknya adalah D2 + k/m = 0 (a = 1, b=0, c=k/m) sehingga akar-akarnya adalah D1,2 = + i (k/m)1/2 Jadi penyelesaian (4-2) ( k / m )1/ 2 t i ( k / m )1 / 2 t x = A1 . e + A2 . e = A1{cos (k/m)1/2t + i sin(k/m)1/2t}+A2{ cos (k/m)1/2t isin(k/m)1/2t } = (A1+A2){ cos (k/m)1/2t }+ i(A1 A2) sin(k/m)1/2t } = (A'){ cos (k/m)1/2t }+ A" sin (k/m)1/2t } (4-3) Untuk t = 0, maka pasti x = 0, jadi: 0 = A' cos 0 + A" sin 0 karena sin 0 = 0, maka A" sin 0 = 0, sehingga A" ≠ 0.
A" sin 0 = 0, maka A' cos 0 = 0. Karena cos 0 = 1, maka A' = 0, sehingga (4-3) ditulis: x = A" sin (k/m)1/2 t Karena A' sudah tidak ada, maka tanda " pada A" boleh tidak ditulis, hingga: x = A sin (k/m)1/2 t (4-4) Karena periode fungsi sinus adalah 2, maka akan mudah penerapannya nanti, jika (k/m)1/2 dinyatakan dalam kelipatan 2= kelipatan periode = n . 2). : (k/m)1/2 = n . 2 jadi n = (1/2)(k/m)1/2 n = banyaknya periode = banyaknya osilasi persatuan waktu, yang dalam bahasa fisik disebut frekuensi dan lazimnya tidak diberi notasi n tetapi . Jadi: (k/m)1/2 = (4-5)
Dengan demikian (4-4) ditulis x = A sin 2t
(4-6)
Selain dapat digunakan untuk menentukan x, (4-1) juga dapat digunakan untuk menentukan energi potensial. Kita tahu bahwa hubungan antara gaya dengan energi potensial menurut persamaan (4-5 bab I) adalah: dV = F(x) = (k x ) = k x dx jadi dV = kx dx diintegralkan V = 1/2 k x2 (4-7) Dengan menggunakan (4-5), maka k = 4m, energi potensial V dapat ditulis: V = 22 2 mx2 (4-8) Selanjutnya bagaimanakah energi kinetik T ? T = 1/2 mv2 dengan v = dx/dt, jadi
T = 1/2 m (dx/dt)2 Dengan menggunakan x pada (4-6) kita peroleh: x = A sin 2 t (4-6) T = 1/2 m (A 2 cos 2t)2 = 2m2 2 A2cos2 2t (4-9) Penentuan E (energi total osilator harmonis, diperoleh dengan menjumlah T dan V, jadi E = T + V = 1/2 m A2 cos2 2t + 1/2 k x2 = 1/2 m22 A2cos2 2t + 1/2 k A2 sin2 2t = 1/2 k A2cos2 2t + 1/2 k A2 sin2 2t = 1/2 k A2( cos2 2t + sin2 2t) Jadi E = 1/2 kA2 = 2 m A2 (4-10)
Osilator Harmonis Dalam Tinjauan Mekanika Kuantum
Persamaan Schrodinger satu dimensi bebas waktu untuk osilator harmonis adalah seperti persamaan (5-1 Bab I) tetapi V dimasukkan 1/2 kx2 (Ingat, bahwa V tidak bergantung pada momentum angular p. Semua besaran fisik yang tidak bergantung pada p, operator kuantumnya sama dengan nilainya dalam mekanika klasik). Jadi d 2 ( x ) 2m + 2 (E T ) ( x) 0 2 dx d 2 ( x ) 2m + (E 2 m x ) ( x) 0 (4-11) 2 2 dx atau d 2 ( x ) 2 2 2 + (2mE 4 m x ) ( x) 0 (4-12) 2 dx Agar praktis 2 m/ = sehingga (4-12) menjadi
d 2 ( x ) dx
2
+ (2mE 2 2 x ) ( x) 0
(4-13)
atau:
' ' (x) + (2mE 2 2 x ) ( x) 0
(4-14) Untuk ∞ maka harga 2mE 2 boleh diabaikan sehingga (x) = x 2 merupakan penyelesaian dari (1.2-3). e x 2
Berapapun harga , tetapi yang jelas (x) pasti mengandung faktor e , dan dengan demikian kita boleh memisalkan penyelesaian (1.2-3) adalah: x 2 (x) = e . f(x) (4-15) Jadi x 2 ''(x) = e (f '' 2 x f ' f + 2 x2 f) (4-16) Jika (4-16) dan (4-15) dimasukkan ke dalam (4-13) maka akan diperoleh: f '' 2 x f ' + (2mE 2 ) f = 0 (4-17)
Persamaan differensial orde dua di atas (4-17) tidak dapat diselesaikan secara konvensional karena koefisien f' masih mengandung x. Untuk itu penyelesaiannya menggunakan metode deret. Untuk itu kita misalkan: 2
n
f = c0 + c1 x + c2 x . . .cn x =
n c x n
(4-18)
n 0
jadi
1
n1
f ' = 0 + c1 + c2 x . . ncn x
= n cn x n 1
(4-19)
n 1
dan f '' = c2 + . . n (n1) xn2
= n(n 1)cn x n 2 n2
=
n ( n 1 )( n 2 ) c x n2 n 0
(4-20)
Substitusi (4-18) , (4-19) dan (4-20) ke dalam (1.2-6) menghasilkan:
(n 1)(n 2)cn 2 x
n
2x
n 0
n cn x
n 1
+(2mE
2
)
n 1
n c x n
=0
n 0
atau
(n 1)(n 2)cn 2 x n 0
n
2
n cn x
n
+(2mE
n 1
2
)
n c x n
=0
n 0
atau
(n 1)(n 2)cn 2 2ncn + (2mE
2
) cn x n = 0
n 0
Karena xn tidak mungkin nol, maka koefisiennya pasti nol, jadi (n 1)(n 2)cn 2 2 n cn + (2mE 2 ) cn = 0 Sehingga diperoleh: 2n 2mE 2 cn 2 = cn (n 1) (n 2)
(4-21)
Dengan persamaan (4-21), yang disebut relasi rekursi, kita dapat menghitung c3 , c5 . . . . dan seterusnya, jika kita tahu c1. Kita juga dapat menghitung c2 , c4 , . . . . dan seterusnya, jika c0 diketahui. Jika kita set c1 = 0, maka c3, c5 . . . dan seterusnya pasti nol, sehingga fungsi gelombang osilator harmonis menjadi: (x)
=e
x 2 / 2
. f(x) = e
x 2 / 2
n c x n
n 0 , 2, 4, . . .
= e
2
x /2
2p c x 2p
(4-22)
p 0
Jika c0 dibuat nol maka c2 , c4 , c6 . . . . dan seterusnya semua nol sehingga diperoleh penyelesaian lain: (x)
=e =e
x 2 / 2
x 2 / 2
n c x n
n 1 , 3 , 5 . . .
2 p 1 c x 2 p1 p 0
(4-23)
Bentuk umum penyelesaian persamaan Schrodinger bebas waktu untuk osilator harmonis satu dimensi adalah kombinasi linear dari (4-22) dan (423) yaitu:
(x) = A e
x 2 / 2
c2 p x p 0
2p
+B
e
x 2 / 2
2 p 1 c x 2 p1
(4-24)
p 0
dengan A dan B adalah tetapan sembarang. Dengan memperhatikan (4-24) maka terlihat bahwa akan cenderung tak terhingga jika x tak terhingga dan ini tidak diijinkan. Salah satu syarat fungsi matematik dapat diterima sebagai fungsi gelombang adalah mempunyai harga yang tertentu, berapapun harga x nya. Untuk memenuhi syarat ini, maka deret (4-24) harus berhenti pada suku tertentu, misal suku ke v. Jika deret berhenti di suku v, ini berarti koefisien cv harus nol. Dengan menggunakan (4-21) dan indek n diganti v maka (4-21) boleh ditulis:
cv 2 =
2v 2mE 2 (n 1) (n 2)
cj
Jika cv harus nol maka c j 2 juga harus nol, sehingga:
2v 2mE 2 (n 1) (n 2)
cj = 0
atau + 2 v 2 m E 2 = 0, :: jadi
2 E= (2 j 1) 2m
(4-25)
Dengan menggunakan harga = 2m/ , maka diperoleh: E=(v+ ½)h
(4-26)
atau Ev = ( v + ½ ) h v = 0, 1, 2, 3 . . . .
(4-27)
Ev = energi level osilator harmonis, v = bilangan kuantum vibrasi, h = tetapan Planck dan = frekuensi vibrasi. Ada perbedaan antara bilangan kuantum partikel dalam box dengan bilangan kuantum vibrasi. Bilangan kuantum vibrasi mengijinkan harga nol, sedang bilangan kuantum partikel dalam box tidak mengijinkan harga nol. Energi ground state pada gerak vibrasi (osilator) adalah harga E untuk v = 0, yaitu Eo = ½ h dan ini disebut zero point energy (Awas harga zero point energi tidak nol tetapi ½ h). Zero point energi ini adalah energi masing-masing osilator harmonis yang merupakan bagian dari sekelompok osilator harmonis, pada temperatur nol absolut.
Substitusi (4-27) ke dalam (4-21) menghasilkan relasi rekursi yang baru, yaitu: 2 n v (4-28) cn cn 2 = n 1n 2
Fungsi Genap dan fungsi Ganjil Jika f(x) mengikuti bentuk: f (x) = f (x)
(4-29)
maka f(x) adalah fungsi genap dari x. 2
Jadi pada f(x) = x dan f(x) = e b ( x) 2 b x 2 (x) e =e .
b x 2
keduanya adalah fungsi genap karena
Grafik fungsi genap adalah simetris terhadap sumbu x. Selanjutnya untuk fungsi genap berlaku:
a
a
f (x) dx = 2 f (x) dx
a
(4-30)
0
Jika g(x) mengikuti: g(x) = g(x) maka g(x) adalah fungsi ganjil dari x. x2
Contoh fungsi ganjil misalnya adalah x, 1/x, x e . Grafik fungsi ganjil dicerminkan oleh sumbu y kemudian dicerminkan lagi oleh sumbu x. Untuk fungsi ganjil berlaku: a
g (x) dx = 0
(4-31)
a
Hasil kali dua buah fungsi genap atau dua buah fungsi ganjil adalah fungsi genap, sedang hasil kali fungsi genap dengan fungsi ganjil adalah fungsi ganjil.
Menentukan Fungsi Gelombang Dengan Relasi Rekursi Marilah kita lihat kembali persamaan (4-23) dan (4.24) (x) = e (x) = e
x 2 / 2
x 2 / 2
2p c x 2p
(4-23)
2 p 1 c x 2 p1
(4-24)
p 0 p 0
Kedua fungsi itu adalah fungsi gelombang osilator harmonis genap dan ganjil. Persamaan (4-23) dan (4-24) berturut- turut dapat ditulis: x 2 / 2 (x) = e (c0 + c2 x2 + c4 x4 . . . . . . ) x 2 / 2 (x) = e (c1x + c3 x3 + c5 x5 . . . . . )
(4-32) (4-33)
Akan berhenti sampai dimana deret tersebut, ternyata ditentukan oleh bilangan kuantum v.
Jika v = 0, berarti fungsi genap dan berhenti sampai suku c0, sehingga fungsi gelombang osilatornya adalah: x 2 / 2 x 2 / 2 = e . c0 atau 0 = c0 e Jika v = 1, berarti fungsi ganjil dan berhenti sampai suku c1x, sehingga fungsi gelombang osilatornya adalah x 2 / 2 x 2 / 2 = e . c1x atau 1 = c1 x e Jika v = 2, berarti fungsi genap dan berhenti sampai suku c2x2 , sehingga fungsi gelombang osilatornya adalah: x 2 / 2 = e . ( c0 + c2x2 ) atau 2 x 2 / 2 x 2 / 2 2 = c0 e + c2 x e Selanjutnya kita akan memperhatikan 0 yang juga disebut fungsi ground state. Telah kita tahu bahwa: x 2 / 2 0 = c0 e (4-34) Harga c0 dapat diperoleh melalui normalisasi, yaitu:
2 o dx = 1
atau
(4-35)
1
=
c
2 o
e
x
2
dx = 2 c e 2 o
0
2 1 = 2 co 2
1/ 2
x
2
dx = 2 c
2 o
e
dx
0
x e 0
x 2
1 dx = 2
1/ 2
2
2 C0 =
1/ 2
Dengan menggunakan teknik error function, kita peroleh: c0 = ( / )1/4
(4-36)
Sehingga fungsi gelombang ground state untuk osilator harmonis adalah: 1/4 x 2 / 2 0 = ( / ) e (4-37) Ingat = 2m/ .
Fungsi gelombang (3-37) di atas juga disebut fungsi Gauss (Gaussian Function) yang grafiknya dapat dilihat pada gambar (4-1a). Selanjutnya dengan cara yang sama, kita dapat akan membahas 1, yaitu: x 2 / 2 1 = c1x. e (4-38) Dengan cara yang sama dengan cara menentukan c0, kita peroleh: c1 = (4 3 / )1/ 4 (4-39) sehingga diperoleh 1 yaitu: 3 1/4 x 2 / 2 1 = (4 / ) x e
(4-40)
Setelah harga c0 dan c1 diketahui maka kita dapat menghitung c2, c3, c4 dan seterusnya dengan menggunakan (1.2-15). Misal kita akan menentukan 2 . Pertama kita gunakan bentuk umum genap, yaitu x 2 / 2 (x) = e (c0 + c2 x2 + c4 x4 . . . . . )
(4-33)
Untuk 2 deret dihentikan pada suku x2, jadi:
x
x
(a) v = 0
(b) v = 1
x
(c) v = 2
x
(d) v = 3
Gambar 4-1: Fungsi Gelombang Osilator Harmonis
x 2 / 2
2 = e (c0x + c2 x2 ) atau 2 x 2 / 2 2 = (c0x + c2 x ) e Dengan menggunakan (1.2-15), maka c2 dapat dihitung, yaitu: 2 (n - v) cn+2 = cn n 1n 2 dengan memasukkan memasukkan n = 0 dan v = 2, maka: 2 0 - 2 c2 = c0 (0 1) 0 2 c2 = 2 c0 Jadi 2 x 2 / 2 2 = (c0 2c0 x ) e 2 x 2 / 2 2 = c0 (1 2 x ) e Ingat harga c0 pada 0 ≠ harga c0 pada 2.
Harga c0 dicari dengan normalisasi (Tidak menggunakan c0 pada persamaan (4-36)), dan diperoleh: 2 x 2 / 2 2 = ( (2 x 1) e
Menentukan Fungsi Polinomial Hermite
Gelombang
Osilator
Harmonis
Dengan
Ada cara lain untuk menentukan yaitu dengan memanfaatkan polinomial Hermit. x 2 / 2
Perlu diingat bahwa sebagian dari faktor e pada fungsi gelombang osilator harmonis polinomial Hermite yang sudah kita kenal di matematika. Hubungan antara fungsi gelombang osilator harmonis dengan polinomial Hermite adalah: j
(x) = 2 v . v !
1 / 2
x 2 .Hv e 1/ 4
2
Dengan H v adalah polinomial Hermite, yaitu: j 2 d j z z2 H v = 1 e e j dz dengan z = 1/ 2 x Dengan cara ini, fungsi gelombang lebih mudah dapat diturunkan. Tentang Harga x yang Mungkin Dalam Osilator Harmonis Jika kita melihat solusi mekanika kuantum untuk osilator harmonis, maka tampak bahwa berapapun harga x harga dapat diperoleh, artinya bahwa peluang keberadaan partikel ada di sembarang harga x mulai dari x = sampai x = + . Padahal dalam mekanika klasik partikel hanya dibatasi berada pada daerah yang energi potensialnya tidak melebihi energi partikel (yaitu antara a sampai + a pada gambar 4-2), sebab dalam mekanika klasik energi kinetik negatif tidak dikenal. Ini berarti bahwa secara tinjauan kuantum partikel dapat berada di daerah terlarangnya mekanika klasik, atau dalam mekanika kuantum bisa saja
terjadi energi potensial V > E atau dapat saja terjadi energi kinetik bernilai negatif. Kasus V > E ini sudah pernah kita bahas pada bab II. V
E
-a
a
x
Gambar 4-2: Daerah yang diijinkan ( x < a) dan daerah terlarang ( untuk osilator harmonis mekanika klasik
x
> a)
V
x
Gambar 4-3: Energi Potensial untuk vibrasi molekul (Kurva garis tak terputus-putus) dan untuk osilator harmonis (kurva titik-titik)
Vibrasi Molekul Diatomik Dalam molekul diatomis terdapat dua partikel dengan massa masingmasing m1 dan m2 maka m dalam persamaan Schrodinger diganti atau massa tereduksi dengan = m1m2/(m1+m2). Diperkirakan bahwa harga energi level vibrasi Evib sangat mendekati harga energi level osilator harmonis yang sudah kita kenal, yaitu: Evib (v + ½ ) h e v = 0, 1, 2, 3, . . . . . (4-41) 1/ 2
1 k e = ; 2 m1 . m2 = ; m1 m 2
d 2U k= dR 2
(4-42) R Re
e disebut frekuensi vibrasi (harmonis) ekuilibrium. Aproksimasi di atas sangat bagus untuk energi level yang rendah. Untuk energi level yang tinggi, energi potensial vibrasi semakin menyimpang dibandingkan dengan energi potensial osilator harmonis (Gambar 4-3). Aproksimasi yang lebih akurat dalam rangka mengantisipasi penyimpangan dari keharmonisan adalah: Evib = (v + ½ ) h e (v + ½ )2 h e xe (4-43) e xe disebut tetapan ketidakharmonisan yang untuk hampir semua kasus harganya positif. Dengan menggunakan persamaan Schrodinger bergantung waktu, kita dapat menentukan bahwa transisi vibrasi yang paling mungkin jika molekul diatomik diekspose ke dalam radiasi elektromagnet adalah v berubah dengan + 1; selanjutnya agar dapat terjadi absorpsi dan emisi dari elektromagnet (foton) maka vibrasi harus mengubah momen dipole molekul.
Oleh karena itu, maka molekul-molekul diatomik (H2 , N2 dan lain-lain yang sejenis) tidak mungkin dapat mengalami transisi hanya dengan mengemisi atau mengabsorpsi radiasi (Artinya transisi hanya dapat terjadi melalui tumbukan intermolekuler) Jika terjadi transisi dari energi level tinggi E2 ke energi level rendah E1 maka akan diemisi foton yang relasinya dinyatakan dengan: Efoton = E2 E1 (4-44) Karena Efoton = h maka: foton = (E2 – E1) / h
(4-45)
Jika kita menggunakan aproksimasi (4-41) maka:
foton = (E2–E1)/h(v2+½)he (v1+½)he}/h = (v2–v1) e
Karena perubahan v yang paling mungkin adalah 1, maka foton = Jika aproksimasi energi kita gunakan yang lebih akurat yaitu aproksimasi (4-43) maka akan diperoleh:
foton = e 2 e xe ( v1 + 1)
(4-47)
dengan v1 adalah bilangan kuantum vibrasi yang rendah dan j = 1. Populasi relatif dari dua buah energi level molekul dinyatakan oleh distribusi Boltzmann yaitu: N1 g1 (E1 E 2 ) / k T (4-48) e N2 g2 N1 = jumlah molekul yang berada pada energi level E1, N2 = jumlah molekul yang berada pada energi level E2 , g1 dan g2 = degenerasi masing-masing molekul. Jika molekulnya non degenerate, maka g = 1. Dalam unit SI, satuan untuk frekuensi adalah hertz (Hz) dengan definisi 1 Hz = 1s1. Pada absorpsi infra merah, orang sering menggunakan istilah bilangan gelombang yaitu banyaknya gelombang persatuan panjang, yang didefinisikan: = 1/ = / c (4-49)
= panjang gelombang dalam vakum, c = laju cahaya adalah frekuensi foton. = bilangan gelombang Contoh: Gelombang infra merah terkuat dari molekul 12C 16O (CO) terjadi pada = 2143 cm1 . Tentukan tetapan gaya untuk molekul tersebut ? Jawab: Yang ditanyakan adalah k = 4 2 e2 Infra merah terkuat terjadi pada hubungan v = 0 1. Ini berarti transisi pada level rendah, sehingga kita boleh menggunakan (4-46) untuk menghitung e , tidak usah dengan (4-47). e = . Menurut (4-49), = . c jadi: e = . c
= ( 2142 cm1 ) (2,9979 . 1010 cm . s1) = 6,424 . 1013 s1 .
mC .mO Selanjutnya kita hitung = mC mO mC = massa 1 atom C = 12 amu = 12 x 1,661 x 1027 kg = 19.932 . 1027 kg = 1,9932 . 1026 kg mO = 15,9949 amu = 15,9949 x 1,661 . 1027 kg = 26.5675289 . 1027 kg = 2,65675 . 1026 kg jadi
k
= (1,9932.1026 kg x 2,65675.1026 kg )/(1,9932 .1026 kg + 2,65675 .1026 kg 52 2 26
= (5.2954341 . 10 kg ) / ( 4.64995 . 10 = 1.1388144 . 1026 kg = 4 2 e2
)
= 4 2 (6,424 . 1013 s1 )2 1.1388144 . 1026 kg = 1854 kg. s2 = 1854 N/m
Soal-soal Bab 4 1. Mana di antara fungsi-fungsi berikut yang merupakan fungsi genap ? Mana yang merupakan fungsi ganjil ? a) sin x; b) cos x; c) tan x; d) e x ; e) 2 2 x; f) ( 3 + x ) ( 3 x ) 2. Buktikan bahwa (a) hasil kali fungsi genap dengan fungsi genap adalah fungsi genap (b) hasil kali fungsi ganjil dengan fungsi ganjil adalah fungsi genap (c) hasil kali fungsi genap dengan fungsi ganjil adalah fungsi ganjil 3. Tentukan fungsi gelombang untuk v = 2: a ) dengan relasi rekursi b) dengan polinomial Hermite 4. Tentukan fungsi gelombang untuk v = 4:
a) dengan relasi recursi b) dengan polinomial Hermite 5. Sebutkan perbedaan-perbedaan antara fungsi gelombang satu dimensi untuk partikel dalam box dan untuk partikel dalam osilator harmonis. 6. Untuk fungsi gelombang osilator harmonis dengan v = 1, tentukan harga x yang paling mungkin. 7. Dengan analogi bahwa untuk sistem satu dimensi nilai eigen energinya adalah E = ( v + ½ ) h, bagaimanakah energi levelnya jika sistemnya 3 dimensi ?. Dalam sistem 3 dimensi tersebut, tentukan derajad degenerasi mulai energi level terendah sampai ke empat ? 8. Jika Hj adalah polinomial Hermite, tentukan H0 ; H1 ; H2 ; H3 dan H4 ! 9. Untuk osilator harmonis dengan bilangan kuantum v, berapakah rentang x yang diijinkan oleh mekanika klasik ? 10. (a) Spektrum absorpsi infra merah dari 1H35Cl mempunyai berkas terkuat pada 8,65 x 1013 Hz. Hitunglah tetapan gaya dari ikatan molekul tersebut.
(b) Tentukan zero point energi vibrasi untuk 1H35Cl (c) Prediksilah frekuensi infra merah terkuat untuk molekul 2H35Cl Massa isotop 1H = 1,00783 amu 2 H= 2,01410 amu 35 Cl = 34,968853 amu 1 amu = 1,661 . 1024 gram 11. (a) Buktikan persamaan (4-47) dari (4-43) (b) Turunkan persamaan sejenis untuk transisi dari v = 0 v2 12. (a) Transisi v = 0 1 untuk LiH terjadi pada 1359 cm1 . Hitunglah ratio populasi v = 0 terhadap v = 1, pada temperatur 200o C (b) lakukan persis seperti (a) tetapi untuk molekul ICl yang transisi terkuatnya terjadi pada 381 cm1.
