PERSAMAAN SCHWARZSCHILD DAN IMPLIKASINYA PADA LINTASAN PARTIKEL. Skripsi

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

PERSAMAAN SCHWARZSCHILD DAN IMPLIKASINYA PADA LINTASAN PARTIKEL Skripsi Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains Program Studi Fisika

Oleh: Dewa Ayu Ratmi Yanti NIM : 013214014

PROGRAM STUDI FISIKA JURUSAN FISIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA 2008


SCHWARZSCIHLD EQUATION AND ITS IMPLICATION ON PARTICLE TRAJECTORY Scription Presented as Partial Fulfillment of the Requirements To Obtain the Sarjana Sains Degree In Physics

By : Dewa Ayu Ratmi Yanti Student Number 013214014

PHYSICS STUDY PROGRAM PHYSICS DEPARTMENT SCIENCE AND TECHNOLOGY FACULTY SANATA DHARMA UNIVERSITY YOGYAKARTA 2008


SKRIPSI

PERSAMAAN SCHWARZSCHILD DAN IMPLIKASINYA PADA LINTASAN PARTIKEL

Oleh : Dewa Ayu Ratmi Yanti Nim : 013214014

Telah disetujui oleh :

Pembimbing

Drs.Drs.Vet.Asan Damanik, M.Si.

tanggal 28 Februari 2008

iii


SKRIPSI PERSAMAAN SCHWARZSCHILD DAN IMPLIKASINYA PADA LINTASAN PARTIKEL Dipersiapkan dan ditulis oleh Dewa Ayu Ratmi Yanti NIM : 013214014 Telah dipertahankan di depan Panitia Penguji Pada tanggal 12 Maret 2008 dan dinyatakan memenuhi syarat Susunan Panitia Penguji

Nama Lengkap

Tanda tangan

Ketua

Dr. Ign. Edi Santosa, MS.

........................

Sekretaris

Drs. Drs. Vet. Asan Damanik, M.Si.

........................

Anggota

Drs. Drs. Vet. Asan Damanik, M.Si.

........................

Anggota

Dr. Agung Bambang Setyo Utomo, SU

........................

Anggota

Dr. Ign. Edi Santosa, MS

........................

Yogyakarta,

Maret 2008

Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Sanata Dharma Dekan,

(Ir. Greg Heliarko, SJ., SS., B.ST., MA., M.Sc) iv



MOTTO DAN PERSEMBAHAN " Apapun yang engkau lakukan, Apapun yang engkau makan, Apapun yang engkau persembahkan atau berikan sebagai sumbangan serta pertapaan dan apapun yang engkau lakukan, lakukanlah kegiatan itu sebagai persembahaan kepada-Ku wahai putra Kunti”

Bhagawad-gita Sloka 9.27

PERSEMBAHAN :

"Skripsi ini aku persembahkan untuk Ayah, Ibu, adik – adikku dan Sinar kekasihku yang selalu memberikan dukungan, semangat, doa, dan kasih sayang sepanjang hidupku"

v


PERSAMAAN SCHWARZSCHILD DAN IMPLIKASINYA PADA LINTASAN PARTIKEL

ABSTRAK Telah dilakukan penelitian tentang implikasi persamaan Schwarzschild pada bentuk lintasan dan perubahan geometri ruang suatu partikel bergerak. Partikel yang bergerak di daerah r > α berada dalam bak-waktu, tetapi kalau partikel di daerah r < α maka partikel berada dalam bak-ruang. Cahaya yang melintas dalam ruang yang mempunyai medan gravitasi akan mengalami pembelokan dengan sudut pembelok θ d .

vi


SCHWARZSCHILD EQUATION AND ITS IMPLICATION ON PARTICLE TRAJECTORY ABSTRACT Research about the Schwarzschild equation implication on trajectory form and space geometry change of the moving particle have been performed. Particles move in the region r > α undergoing time-like but, if particles are in the region r < α , then they undergo space-like. Light pass through the space which having gravitational field would undergo a deflection with deflection angle θ d .

vii


KATA PENGANTAR

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Ida Sang Hyang Widhi Wasa atas segala asung kerta wara nugrahanya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini dengan baik. Skripsi ini berjudul : ”PERSAMAAN SCHWARZSCHILD DAN IMPLIKASINYA PADA LINTASAN PARTIKEL”, yang diajukan sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Program Studi Fisika Universitas Sanata Dharma Yogyakarta. Penulis mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu penulis baik berupa waktu, tenaga, bimbingan, dorongan, dan sumbang saran yang penulis butuhkan dalam penyelesaian skripsi ini. Pada kesempatan ini penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada: 1. Bapak Drs. Drs. Vet. Asan Damanik, M.Si. selaku dosen pembimbing yang

telah

banyak

meluangkan

waktu

untuk

membimbing,

mendampingi, memberikan dorongan dan semangat dalam pengerjaan tugas akhir ini. 2. Ayah dan Ibuku tercinta yang tanpa henti memberikan dukungan, dorongan,

doa,

dan

kasih

sayang

sehingga

penulis

dapat

menyelesaikan skripsi ini. 3. Adik - adikku tercinta Jegek dan Dewi yang selalu memberikan semangat dan doanya pada waktu penulis mengerjakan skripsi ini.

viii


4. Sinar yang selama ini selalu menemaniku, memberikan dorongan, semangat dan doanya pada waktu pengerjaan tugas akhir ini. 5. Om mift dan Ninik Cuyak terimakasih atas semua dorongan dan dukungannya. 6. Temen-teman Bali, Ketut, Wawan, Sidi, Gde, Wandi, Andika, yang selalu memberikan semangat dan menjadi sahabat yang baik bagiku serta menemaniku mengerjakan skripsi. 7. Temen-teman fisika, Manggar, Frida, Ratna, Nari, Vemby, Toni, yang selama bertahun-tahun selalu berjuang bersamaku. 8. Ir.Sri Agustini Sulandari, M.Si selaku dosen pendamping akademik yang sudah banyak memberikan pendampingan selama menjadi mahasiswa. 9. Seluruh Staff Pengajar Jurusan Fisika yang telah memberikan pengajaran dan pendampingan. 10. Teman-teman yang rela menunggu giliran pada saat bimbingan, Minto, Kia, Danang terimakasi sudah mau bersabar. 11. Semua pihak yang tidak dapat disebutkan satu demi satu. Terimakasih atas segala bantuannya. Penulis menyadari bahwa dalam penulisan ini masih banyak kekurangan, oleh karena itu penulis sangat mengharapkan saran dan kritik yang sangat membangun dari berbagai pihak.

ix


Akhirnya penulis berharap semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi dunia pendidikan dan khususnya pembaca.

Yogyakarta, Februari 2008

Penulis

x


PERNYATAAN KEASLIAN KARYA

Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa skripsi yang saya tulis ini adalah karya saya dan tidak memuat karya atau bagian karya orang lain, kecuali yang telah disebutkan dalam kutipan dan daftar pustaka, sebagaimana layaknya suatu karya ilmiah.

Yogyakarta, Februari 2008

Penulis

Dewa Ayu Ratmi Yanti

xi


DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL………………………..............................................

i

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING……………………….....

iii

HALAMAN PENGESAHAN .…………………………………………..

iv

HALAMAN MOTO PERSEMBAHAN …………......………………….

v

ABSTRAK ……………………………………………………………….

vi

ABSTRACT ……………………………………………………………..

vii

KATA PENGANTAR …………………………………………………...

viii

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA………………………………….

xi

DAFTAR ISI …………………………………………………………….

xii

BAB I. PENDAHULUAN……………………………………………….

1

1.1. Latar Belakang ………………………………………………….

1

1.2. Perumusan Masalah …………………………………………….

3

1.3. Batasan Masalah ………………………………………………..

4

1.4. Tujuan dan Manfaat Penelitian …………………………………

4

1.4.1. Tujuan Penelitian ………………………………………...

4

1.4.2. Manfaat Penelitian ……………………………………….

5

1.5. Sistematika Penulisan …………………………………………...

6

BAB II. DASAR TEORI ………………………………………………...

7

BAB III. METODA PENELITIAN…………………….........................

xii

16


3.1. Jenis Penelitian ………………………………………………….

16

3.2. Sarana Penelitian ………………………………………………..

16

3.3. Langkah-Langkah Penelitian ……………………………………

16

BAB IV. HASIL PEMBAHASAN...……………….................................

17

4.1. Orbit Planet ................................................……………………...

17

4.2. Perubahan Geometri dan Sifat Fisis Ruang .............…………….

19

4.3. Lintasan Cahaya dan Panjang Fokus ............................................

22

BAB V. PENUTUP............…………………………………………........

28

5.1. Kesimpulan ...............................................……………………...

28

5.2. Saran ............................................................................................

29

DAFTAR PUSTAKA ……………………………………………………

30

LAMPIRAN ...............................................................................................

31

xiii


BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Pada tahun 1916, sebulan setelah Einstein mempublikasikan teori relativitas umum, seorang ahli astronomi dari Jerman yang bernama Schwarzschild menemukan penyelesaian persamaan medan gravitasi Einstein. (Lawrie, 1998)

⎛1 ⎞ Rμυ − ⎜ R − Λ ⎟ g μυ = kTμυ ⎝2 ⎠

(1.1)

Dengan Rμυ tensor Ricci (yang digambarkan terikat dengan dua indeks dari tensor Riemann), R merupakan skalar kelengkungan Ricci (R = gμυRμυ), Λ tetapan kosmologi, gμυ tensor orde dua kovarian, k kopling antara geometri dan materi yang menunjukan kuat gaya gravitasi dan Tμυ adalah tensor tekanan. Penyelesaian sederhana persamaan medan Einstein yang menggambarkan bagaimana ruang waktu (space-time) mengkerut akibat medan gravitasi suatu bintang yang sangat besar dan padat (massive) yang telah menjadi lubang hitam (Black Hole). Jadi secara singkat dapat dinyatakan bahwa lubang hitam memiliki percepatan gravitasi dan kerapatan (massa jenisnya) sangat besar. Dengan percepatan gravitasi yang sangat besar tersebut, semua benda (materi) akan ditarik oleh lubang hitam, dan tidak ada benda atau materi yang mampu melepaskan diri dari lubang hitam. Sebagai contoh, jika ada sebuah benda yang memiliki kerapatan sama dengan kerapatan matahari dan jari-jari benda itu 500 kali

1


2

jari-jari matahari, maka suatu partikel yang ingin melepaskan diri dari permukaan benda itu haruslah mempunyai kecepatan yang lebih besar dari kecepatan cahaya (c). (Will, 1989) Lubang hitam memiliki beberapa sifat-sifat fisis yang sangat menarik, antara lain lintasan partikel (cahaya) dalam medan gravitasi lubang hitam tidak lurus, melainkan melengkung. Hal ini dikarenakan lubang hitam memiliki medan (percepatan) gravitasi yang sangat besar sehingga lintasan cahaya akan melengkung. Dalam hal ini bentuk lintasan suatu partikel ditentukan oleh kuat atau besar medan gravitasi didalam ruang dimana partikel tersebut melintas. Dengan menggunakan koordinat bola sferis (r , θ , φ ) , elemen lintasan (ds) sebuah partikel dalam medan gravitasi yang sangat lemah (lintasannya berbentuk garis lurus, karena medan gravitasinya kecil) diberikan oleh (Lord,1979) ds 2 = c 2 dt 2 − dr 2 − r 2 (dθ 2 + sin 2 θdφ 2 )

(1.2)

Jika ada medan gravitasi yang sangat besar maka, elemen lintasan (ds) sebuah partikel (lintasannya melengkung, karena medan gravitasinya sangat besar) diberikan oleh (Lawrie, 1998) ⎛ 2GM ds 2 = ⎜1 − 2 c r ⎝

2

dr ⎞ 2 2 ⎟c dt − ⎛ 2GM ⎠ ⎜1 − 2 c r ⎝

⎞ ⎟ ⎠

− r 2 (dθ 2 + sin 2 θdφ 2 )

(1.3)

Dengan G tetapan gravitasi universal, M massa benda yang memiliki medan gravitasi yang sangat besar (lubang hitam), dan c kecepatan cahaya. Perbedaan antara persamaan (1.2) dan (1.3) adalah jika pada persamaan (1.2) lintasan berada dalam


3

ruang tanpa medan gravitasi. Sedangkan pada persamaan (1.3) lintasan berada dalam ruang yang memiliki medan gravitasi yang sangat besar. Konstanta 2GM

c2

pada persamaan (1.3)disebut jari-jari Schwarzschild (α ) ,

atau

α=

2GM c2

(1.4)

sehingga persamaan (1.3) dapat dituliskan kembali menjadi 1 ⎛ α⎞ ds 2 = ⎜1 − ⎟c 2 dt 2 − dr 2 − r 2 (dθ 2 + sin 2 θdφ 2 ) r⎠ ⎛ α⎞ ⎝ ⎜1 − ⎟ r⎠ ⎝

(1.5)

1.2. Perumusan Masalah

Sebagaimana diuraikan pada latar belakang masalah bahwa lubang hitam memiliki sifat-sifat fisis yang berbeda dengan alam yang memiliki medan gravitasi lemah, menyebabkan penelitian sifat-sifat fisis dan geometri lubang hitam merupakan penelitian yang sangat menarik. Dari persamaan (1.5) kalau r = α maka ds2 menjadi tak berhingga (singularitas). Jika r < α , maka suku-suku yang memuat koordinat ruang (r , θ , φ ) mendominasi ds2 agar diperoleh lintasan yang berniali real. Jadi antara titik r = α dan r < α terjadi perubahan fisis dan geometri. Demikian juga bentuk lintasan partikel atau cahaya yang melintas dekat lubang hitam akan melengkung menyebabkan adanya semacam titik fokus lubang hitam. Oleh karena itu yang menjadi permasalahan dalam penelitian ini adalah:


4

1. Perubahan fisis dan geometri apa yang terjadi, jika sebuah partikel melintas dari r > α ke r < α melewati titik singular r = α . 2. Menentukan ”titik fokus” lubang hitam sebagai fungsi α dan besar fisis terkait.

1.3. Batasan Masalah

Penelitian ini dibatasi pada masalah : 1. Perubahan fisis dan geometri apa yang terjadi jika sebuah partikel melewati titik α = r . 2. Penentuan ”titik fokus” lubang hitam, kalau lubang hitam tersebut berperilaku sebagai sebuah lensa positif.

1.4. Tujuan dan Manfaat Penelitian 1.4.1. Tujuan Penelitian

Tujuan dari penelitian ini adalah untuk : 1. Mengetahui perubahan fisis dan geometri apa yang terjadi pada suatu lubang hitam, jika sebuah partikel melintas dari r > α melewati r = α menuju daerah r < α 2. Menentukan ”titik fokus” suatu benda dengan percepatan gravitasi yang sangat besar (lubang hitam).


5

1.4.2. Manfaat Penelitian

Penelitian ini bermanfaat untuk pengembangan ilmu pengetahuan khususnya pengetahuan tentang sifat-sifat fisis lubang hitam dan konsekuensinya.


6

1.5. Sistematika Penulisan

Hasil penelitian ditulis dengan sistematika sebagai berikut : BAB I. PENDAHULUAN Pada Bab I dijelaskan mengenai latar belakang masalah, rumusan masalah, batasan masalah, tujuan dan manfaat penelitian, dan sistematika penulisan. BAB II. DASAR TEORI Dalam Bab II dijabarkan tentang persemaan Schwarzschild dan lintasan partikel dalam medan gravitasi yang sangat besar (lubang hitam). BAB III. METODOLOGI PENELITIAN Pada Bab III dijelaskan tentang jenis penelitian, sarana penelitian, dan langkah-langkah penelitian. BAB IV. HASIL DAN PEMBAHASAN Pada Bab IV ditampilkan hasil penelitian serta pembahasannya. BAB V. KESIMPULAN DAN SARAN Pada Bab V disajikan kesimpulan dan saran.


BAB II DASAR TEORI Jarak antara dua titik dalam ruang diberikan oleh (Lawrie, 1998) : ds 2 = g μυ dx μ dx υ

(2.1)

dengan gμυ adalah metrik tensor orde dua kovarian dalam sistem koordinat kartesian, untuk ruang tiga dimensi jarak dua titik dalam ruang, yaitu titik A dan titik B (Gambar 2.1) diberikan oleh ds 2 = dx 2 + dy 2 + dz 2 2 ⎛ 1 0 0 ⎞⎛ dx ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ 0 1 0 ⎟⎜ dy 2 ⎟ ⎜ 0 0 1 ⎟⎜ dz 2 ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠

sehingga metrik tensornya

g μυ

⎛1 0 0⎞ ⎟ ⎜ = ⎜ 0 1 0⎟ ⎜0 0 1⎟ ⎠ ⎝

(2.2)

z

B (x2 , y2 , z2)

y A (x1,y1,z1) x

Gambar 2.1 7


8

Jika digunakan koordinat bola sferis (r,θ, φ ), maka panjang lintasan (elemen garis) antara dua titik diberikan oleh ds 2 = dr 2 + r 2 dθ 2 + r 2 sin 2 θ dφ 2 ⎛1 0 ⎜ = ⎜0 r2 ⎜0 0 ⎝

2 ⎞⎛ dr ⎞ ⎜ ⎟ ⎟ 2 0 d θ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ 2 2 2 r sin θ ⎟⎠⎝ dφ ⎟⎠

⎛1 0 ⎜ = ⎜0 r 2 ⎜0 0 ⎝

⎞ ⎟ 0 ⎟ 2 2 r sin θ ⎟⎠

0

(2.3)

sehingga diberikan

g μυ

0

Dalam ruang dimensi 4 (ruang Minkowski) tanpa gravitasi, elemen garis ds didapat dari ds 2 = c 2 dt 2 − dx 2 − dy 2 − dz 2 0 0 ⎞⎛ c 2 dt 2 ⎞ ⎛1 0 ⎟ ⎟⎜ ⎜ 2 0 1 0 0 − dx ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ =⎜ ⎜ 2 ⎟ ⎟ 0 0 −1 0 dy ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎟ ⎜0 0 ⎜ 0 − 1⎠⎝ dz 2 ⎟⎠ ⎝

(2.4)

sehingga menghasilkan metrik tensor

g μυ

⎛1 0 0 0 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜0 −1 0 0 ⎟ =⎜ 0 0 −1 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 0 0 − 1⎟ ⎝ ⎠

Kalau digunakan koordinat bola sferis, elemen garis atau lintasan menjadi : ds 2 = c 2 dt 2 − dr 2 − r 2 dθ 2 − r 2 sin 2 θ dφ 2

(2.5)


9

0 ⎛1 0 ⎜ ⎜0 −1 0 =⎜ 0 0 − r2 ⎜ ⎜0 0 0 ⎝

0 ⎞⎛ c 2 dt 2 ⎞ ⎟ ⎟⎜ 2 0 ⎟⎜ dr ⎟ ⎟⎜ dθ 2 ⎟ 0 ⎟ ⎟⎜ − r 2 sin 2 θ ⎟⎠⎜⎝ dφ 2 ⎟⎠

(2.6)

0 ⎛1 0 ⎜ ⎜0 −1 0 =⎜ 0 0 − r2 ⎜ ⎜0 0 0 ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ 0 ⎟ − r 2 sin 2 θ ⎟⎠

(2.7)

yang menghasilkan

g μυ

0 0

Jika ada medan gravitasi, maka elemen garis atau lintasan dalam ruang dapat dituliskan sebagai ds 2 = A(r )c 2 dt 2 − B(r )dr 2 − C (r )r 2 (dθ 2 + sin 2 θ dφ 2 )

(2.8)

dengan A(r), B(r), dan C(r) sebagai fungsi kuat medan gravitasi. Dengan menggunakan transformasi r ′ = rC 1 / 2 dapat diperoleh A(r) = eυ dan B(r) = eλ sedemikian hingga A(r) dan B(r) bernilai mendekati 1 jika r → ∞ . Dengan demikian persamaan (2.8) dapat dituliskan kembali menjadi ds 2 = eυ c 2 dt 2 − e λ dr 2 − r 2 (dθ 2 + sin 2 θ dφ 2 )

(2.9)

Sebagaimana disebutkan bahwa elemen garis atau lintasan dari persamaan (2.9) adalah ⎛ eυ ⎜ ⎜0 ds 2 = ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎝

0 − eλ 0 0

0 0 − r2 0

⎞⎛ c 2 dt 2 ⎞ 0 ⎟ ⎟⎜ 0 ⎟⎜ dr 2 ⎟ ⎟⎜ dθ 2 ⎟ 0 ⎟ ⎟⎜ − r 2 sin 2 θ ⎟⎠⎜⎝ dφ 2 ⎟⎠


10

sehingga metrik tensornya

g μυ

⎛ eυ ⎜ ⎜0 =⎜ ⎜0 ⎜0 ⎝

0 −e 0 0

λ

0 0 − r2 0

⎞ 0 ⎟ 0 ⎟ ⎟ 0 ⎟ − r 2 sin 2 θ ⎟⎠

Nilai υ dan λ dapat ditentukan dengan menggunakan persamaan geodesik (Lord, 1979) dU μ ⎧ μ ⎫ ρ σ + ⎨ ⎬U U = 0 ds ⎩ ρσ ⎭ dengan

Uμ =

(2.10)

⎧μ ⎫ dx μ , dan ⎨ ⎬ adalah lambang Christoffel. Yang didefinisikan ds ⎩ ρσ ⎭

sebagai (Joshi, 1980) ⎧ μ ⎫ 1 ρμ σμ ρσ ⎨ ⎬ = g ∂σ + g ∂ ρ − g ∂ μ ⎩ ρσ ⎭ 2

(

)

(2.11)

atau bisa juga ditulis ⎧μ ⎫ ρσ μυ ⎨ ⎬ = Γυ g ρσ ⎩ ⎭ dengan ρσ υ

Γ

⎛ ∂g λρ ∂g σλ ∂g ρσ 1 = g ρα ⎜ + − ⎜ ∂x ∂x ρ ∂xλ 2 ⎝ α

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

Untuk menghitung lambang Christoffel membutuhkan waktu yang sangat lama. Karena nilai dari lambang Christoffel kebanyakan adalah nol, suatu cara yang labih cepat untuk menghitungnya adalah dengan menggunakan persamaan geodesik.


11

Sehingga persamaan (2.10) sama dengan

[

0 = δ ∫ ds = δ ∫ eν (U 4 ) 2 − e λ (U 1 ) 2 − r 2 (U 2 ) 2 − r 2 sin 2 θ (U 3 ) 2

]

1/ 2

ds

(2.12)

dengan c = 1, dan persamaan (2.12) adalah integran lintasan yang diminimalkan. Persamaan (2.12) menghasilkan d ⎛ ∂F ⎞ ∂F , ⎜ ⎟= ds ⎝ ∂U μ ⎠ ∂x μ

(2.13)

dengan F adalah integran pada persamaan (2.12), persamaan (2.13) identik dengan persamaan (2.10). sehingga dapat dihasilkan simbol Christoffel dari persamaan tersebut. Sebagai contoh, jika ditulis μ = 4(ct = x 4 ) , maka ∂F = 2eυ U 4 4 ∂U ∂F =0 ∂x 4 maka persamaan (2.12) menjadi

(

)

d 2eυ U 4 = 0 ds Dengan menggunakan relasi

(

(2.14)

d d dr , persamaan (2.14) menghasilkan = ds dr ds

)

(

)

d d 2eυ U 4 = 2eυ ct& = 0 ds ds &t&eυ + t& d (eυ ) = 0 ds &t& eυ + t& υ ′ r& eυ = 0


12

&t& + υ ′ r& t& = 0

(2.15)

Dengan demikian lambang Christoffel dapat dihasilkan dari persamaan diatas. Lambang Christoffel yang tidak bernilai nol adalah ⎧4⎫ 1 ⎨ ⎬ = υ′ ⎩14⎭ 2 ⎧1⎫ 1 ⎨ ⎬ = υ′ ⎩14⎭ 2 ⎧ 1 ⎫ 1 υ −λ ⎨ ⎬ = υ ′e ⎩44⎭ 2 ⎧1⎫ 1 ⎨ ⎬ = λ′ ⎩11⎭ 2 ⎧1⎫ −λ ⎨ ⎬ = −e r ⎩22⎭ ⎧1⎫ 2 −λ ⎨ ⎬ = − r sin θ e ⎩33⎭ ⎧2⎫ 1 ⎨ ⎬= ⎩21⎭ r ⎧2⎫ ⎨ ⎬ = − cos θ sin θ ⎩33⎭ ⎧2⎫ ⎨ ⎬ = cot θ ⎩23⎭ ⎧3⎫ 1 ⎨ ⎬= ⎩13⎭ r


13

juga diperlukan relasi (Lord, 1976) ⎧λ ⎫ ⎨ ⎬ = ∂ ρ log − g , ⎩λρ ⎭ dengan g = −eν + λ r 4 sin 2 θ , sehingga log − g =

ν −λ 2

+ 2 log r + log sin θ

(2.16)

Tensor Ricci Rμυ pada persamaan (1.1) dapat juga dituliskan sebagai

(

Rμv = log − g

)

μv

⎧ ρ ⎫⎧ λ ⎫ ⎧ ρ ⎫ ⎧ρ⎫ − ⎨ ⎬ + ⎨ ⎬⎨ ⎬ − ⎨ ⎬(log − g ) . ρ ⎩μv ⎭.ρ ⎩λμ ⎭⎩ ρv ⎭ ⎩μv ⎭

(2.17)

Agar penyelesaian persamaan medan gravitasi Einstein pada persamaan (1.1) linear, nilai Rμυ harus sama dengan nol. Dari persamaan (2.16) yang memberikan nilai nol adalah ⎛ 1 v ′ 2 v ′λ ′ 2v ′ ⎞ ⎟ 0 = R44 = − e v.λ ⎜⎜ v ′ + − + 2 2 2 r ⎟⎠ ⎝ 0 = R11 =

v ′ 2 v ′λ ′ 2λ ′ ⎞ 1⎛ ⎜⎜ v ′′ + ⎟ − − r ⎟⎠ 2⎝ 2 2

⎧ ⎛ v ′ + λ ′ ⎞⎫ 0 = R22 = −⎨1 − (e −λ r )′ + e −λ r ⎜ ⎟⎬ ⎝ 2 ⎠⎭ ⎩

(2.18)

(2.19)

(2.20)

dari R11 = R44 = 0 , diperoleh λ ′ + v ′ = 0 , sehingga λ + v = konstan. Nilai konstanta tersebut adalah nol, karena λ + υ mendekati nol ketika r → ∞ , sehingga

λ = −v

(2.21)


14

Persamaan (2.18) menjadi

2v ′ =0 r

v ′′ + v ′ 2 +

(re )″ = 0 v

yaitu,

(re )′ = konstanta v

(2.22)

Substitusi persamaan (2.21) ke persamaan (2.20) menghasilkan

(re )′ = 1 v

sehingga ev = eλ = 1 −

α

(2.23)

r

dengan α adalah tetapan integrasi. Pernyataan (2.23) adalah g44 yang di identifikasi sebagai 1 + 2φ / c 2 , adalah potensial Newton (untuk suatu pusat massa M, φ = MG / r . Dengan demikian tetapan α pada persamaan (2.23) menjadi (Lord, 1979)

α = 2GM / c 2

(2.24)

yang dikenal sebagai jari-jari Schwarzschild. Substitusikan persamaan (2.24) dan (2.23) ke dalam persamaan (2.9) sehingga akan menghasilkan 2

dr ⎛ 2GM ⎞ ds 2 = ⎜1 − 2 ⎟c 2 dt 2 − c r ⎠ ⎛ 2GM ⎝ ⎜1 − 2 c r ⎝

⎞ ⎟ ⎠

− r 2 (dθ 2 + sin 2 θdϕ 2 )

(2.25)


15

sehingga metrik tensor Schwarzschild

g μυ

⎛ 2GM ⎜1 − 2 c r ⎜ ⎜ 0 =⎜ ⎜ ⎜ 0 ⎜ ⎜ 0 ⎝

0 −

1 2GM 1− 2 c r 0 0

0 0 − r2 0

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ 0 ⎟ ⎟ ⎟ 0 ⎟ 2 2 − r sin θ ⎟⎠ 0

(2.26)

Kalau α = r maka lintasan atau elemen garis dari partikel (materi) tersebut singular, dan dapat dikatakan sebagai lubang hitam.


BAB III METODE PENELITIAN 3.1. Jenis Penelitian

Jenis penelitian yang dilakukan dalam penulisan skripsi ini adalah penelitian studi pustaka. 3.2. Sarana Penelitian

Sarana yang dibutuhkan dalam peyelesaian skripsi ini adalah buku-buku yang berhubungan dengan topik lubang hitam, tensor dan teori relativitas umum. 3.3. Langkah – langkah penelitian

Langkah – langkah yang dilakukan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut: 1. Menelusuri bahan-bahan mengenai lubang hitam, metrik, tensor dan relativitas umum dari buku-buku maupun dari internet. 2. Merumuskan atau mengolaborasi kerangka pemikiran teori dan konsep atau teori yang terkait dengan lubang hitam, metrik, tensor dan relativitas umum dari bahan-bahan yang dikumpulkan. 3. Merumuskan perubahan fisis dan geometri yang terjadi pada suatu lintasan partikel pada lubang hitam, dan menentukan titik fokus suatu lubang hitam sebagai fungsi α secara numerik atau matematik. 4. Menarik kesimpulan dan memberikan saran dari penelitian yang telah dilakukan.

16


BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN 4.1. Orbit Planet

Gerak suatu planet yang mengorbit pada matahari yang memiliki massa yang sangat berat dapat diperoleh dengan menyelesaikan persamaan Schwarzschild, pada persamaan (2.25). Jika diambil θ = π

2

, maka persamaan (2.9) menjadi

ds 2 = eυ c 2 dt 2 − e −υ dr 2 − r 2 dφ 2

(4.1)

kalau persaman (4.1) dibagi ds2 dihasilkan 1 = eυ c 2 t&2 − e −υ r& 2 − r 2φ& 2

(4.2)

Dari persamaan (2.15) dapat diperoleh d υ& e t =0 ds

( )

(4.3)

eυ t& = k (konstanta)

(4.4)

sehingga

substitusi persamaan (4.4) ke dalam persamaan (4.2) menghasilkan r& 2 + r 2φ& 2 −

α r

= k 2 − 1 + α r φ& 2

(4.5)

Persamaan gerak orbit Newton hanya pada suku terakhir persamaan (4.5). Jika persamaan (4.5) dikalikan dengan 2

⎛ ds ⎞ r4 ⎟⎟ = 2 ⎜⎜ h ⎝ dϕ ⎠

17


18

diperoleh 2

4 ⎛ dr ⎞ ⎞r ⎛α 2 2 ⎟⎟ = − r + ⎜ + k − 1⎟ 2 + α r ⎜⎜ ⎠h ⎝r ⎝ dϕ ⎠

Dengan mengganti variabel radial r = 2

(4.6)

du ⎞ 1 ⎛ ⎜ dr = − 2 ⎟ persamaan (4.6) menjadi u ⎝ u ⎠

⎛ du ⎞ ⎟⎟ = −u 2 + uα + k 2 − 1 / h 2 + α u 3 ⎜⎜ d ϕ ⎠ ⎝

(

)

(4.7)

Jika persamaan (4.7) dideferensialkan terhadap φ , maka diperoleh 3α u 2 d 2u α u = − + + 2 dϕ 2 2h 2

(4.8)

Kalau diambil u = u0 + ε

(4.9)

Dengan u0 adalah penyelesaian umum untuk persamaan orbit planet Newton dan ε adalah suatu gangguan kecil. Substitusi persamaan (4.9) ke (4.8) menghasilkan

d 2 u 0 d 2ε 3α (u 0 + ε ) α + = −(u 0 + ε ) + 2 + 2 2 2 dϕ dϕ 2h = −u 0 − ε + Karena u 0 =

α 2h

2

α

2

3 3 2 + α u 0 + 3εα u 0 + αε 2 2 2 2h 2

(4.10)

, dan kalau ε sangat kecil suku ε2 dapat diabaikan sehingga

persamaan diferensial untuk ε dapat dituliskan 3 d 2ε 2 = (3αu 0 − 1)ε + αu 0 2 2 dϕ

(4.11)


19

Penyelesaian persamaan (4.11) dapat dituliskan sebagai

ε = A cos(ζϕ ) + B

(4.12)

dengan A, B, dan ζ adalah konstanta (lihat Lampiran). Jika ζ = 1, maka dihasilkan orbit lingkaran. Dengan mendeferensialkan persamaan (4.12) terhadap φ kemudian menyamakannya dengan nol, maka diperoleh

ϕ=

2nπ

ζ

(4.13)

Substitusi persamaan (4.12) ke dalam (4.11) dapat menghasilkan nilai ζ, yaitu

ζ 2 = 1 − 3αu 0

(4.14)

sehingga lintasan planet terjadi pada

φ=

± 2nπ

⎛ 3 ⎞ ~ ±2nπ ⎜1 + αu 0 ⎟, 1 − 3αu 0 ⎝ 2 ⎠

ϕ ~ ...(− 2π − 3παu 0 ), 0, (2π + 3παu 0 ), (4π + 6παu 0 )...

4.2. Perubahan Geometri dan Sifat Fisis Ruang

Ditinjau perubahan geometri dan sifat fisis ruang yang dialami oleh sebuah partikel bergerak dari kedudukan atau posisi r > α ke posisi r < α . Dari persamaan (2.25), jika r > α , maka nilai koefisien eυ = e λ > 0 (positif) sehingga suku yang mengandung waktu (t) haruslah bernilai lebih besar dari suku-suku yang lain agar ds 2 > 0 . Dengan kata lain, partikel yang melintas dalam medan gravitasi yang ditimbulkan oleh massa M pada daerah r > α berada dalam ruang bak-waktu (time-


20

like). Secara skematis lintasan partikel dalam ruang bak-waktu diperlihatkan pada Gambar 4.1 Lintasan partikel Masa depan Waktu

Sekarang

Masa lalu Gambar 4.1. Geometri ruang bak-waktu dan lintasan partikel Jika partikel berada pada posisi r = α , maka ds2 menjadi tidak terdefinisi (singular). Pada kondisi atau keadaan r = α partikel tidak berada dalam ruang bakwaktu maupun dalam ruang bak-ruang (space-like). Secara fisis, pada keadaan r = α , partikel tidak tunduk pada hukum-hukum fisika dan ruang yang dikenal selama ini dalam teori-teori fisika. Jika partikel berada pada posisi r < α , maka koefisien eυ = e λ < 0 . Jadi pada keadaan seperti itu kalau ds 2 > 0 , nilai dari suku-suku yang tidak mengandung waktu (t) pada persamaan (2.25) harus lebih besar dari nilai suku yang mengandung t. Secara fisis partikel yang berada pada daerah r < α berada dalam ruang yang disebut


21

bak-ruang. Geometri bak-ruang dan lintasan partikel di dalamnya diperlihatkan pada Gambar 4.2. Bak - cahaya

Lintasan partikel

Gambar 4.2. Geometri bak-ruang dan lintasan partikel Jadi partikel yang melintas dari posisi r > α menuju r < α dalam suatu medan gravitasi yang sangat besar (misalnya Black Hole) akan mengalami geometri dan sifat-sifat fisisyang berbeda didaerah r < α dan r > α . Perubahan geometri ruang yang di alami partikel terjadi dari bak-waktu ke bak-ruang. Secara skematis, perubahan ruang tersebut dapat digambarkan seperti pada Gambar 4.3.


22

Waktu Lintasan partikel

Lintasan partikel

(a)

(b)

Ruang

Gambar 4.3. (a) Lintasan partikel dalam bak-waktu untuk r > α , dan (b) Lintasan partikel dalam ba-ruang untuk r < α .

4.3. Lintasan Cahaya dan Panjang Fokus

Lintasan cahaya mengikuti lintasan geodesik nol atau ds 2 = 0 . Jika dipilih

θ = π 2 , maka persamaan (4.1) menjadi eυ t&2 − e −υ r& 2 − r 2φ& 2 = 0

(4.15)

Dengan menggunakan eυ t& = k , persamaan (4.15) dapat ditulliskan menjadi r& 2 + r 2φ& 2 = k 2 + α r φ& 2

(4.16)


23

4 jika persamaan (4.16) dikalikan φ& 2 = r

h2

, dan variabel radial (r) diatas menjadi

1⎞ ⎛ u ⎜ r = ⎟ , maka persamaan (4.16) menjadi u⎠ ⎝ 2

⎛ du ⎞ k2 2 3 ⎜⎜ ⎟⎟ + u = α u + 2 h ⎝ dϕ ⎠

(4.17)

Kalau persamaan (4.17) dideferensialkan terhadap φ, maka 3 ⎞ d 2u ⎛ = −u + β u 2 , ⎜ β = α ⎟ 2 2 ⎠ dϕ ⎝

(4.18)

Jika suku β u2 diabaikan, maka penyelesaian persamaan (4.18) diberikan oleh u = A cos(φ + δ )

(4.19)

dengan A adalah tetapan, δ Lintasan cahaya yang diperoleh dari persamaan (4.19) adalah r=

1 1 = u A cos(φ + δ )

(4.20)

yang merupakan garis lurus r = konstan untuk φ + δ konstan. Jika penyelesaian persamaan (4.18) dipilih berbentuk

u = A cos φ + ε

(4.21)

dengan ε fungsi φ , maka diperoleh

d 2ε = −ε + β A 2 cos 2 ϕ 2 dϕ = −ε +

β A2 2

(1 + cos 2ϕ )

(4.22)


24

Dengan mengandaikan penyelesaian (4.22) berbentuk

ε = a + b cos 2φ

(4.23)

yang kalau dimasukkan ke (4.22) diperoleh a=

βA 2 2

dan b =

βA 2

(4.24)

6

Jadi penyelesaian persamaan (4.23) dapat dituliskan

ε=

βA 2 ⎛

⎜1 + 2 ⎝

cos 2φ ⎞ ⎟ 3 ⎠

(4.25)

Dengan demikian, persamaan (4.21) menjadi u = A cos φ −

βA 2 3

cos 2 φ +

2 βA 2 3

(4.26)

jika diambil r → ∞ , maka u → 0 . Untuk r → ∞ persamaan (4.26) menjadi 0 = A cos φ −

βA 2 3

cos 2 φ +

2 2 βA 3

(4.27)

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

(4.28)

Nilai cos φ dapat diperoleh dari (4.27), yaitu 3r cos φ = 0 2β

2 ⎛ ⎜1 ± 1 + 8 β 2 ⎜ 9r0 ⎝

dengan r0 adalah jarak lintasan cahaya ke pusat gravitasi (Gambar 4.4)


25

ϕ2 ϕ1

α r0

r0

Gambar 4.4. Pembelokan cahaya dalam medan gravitasi Pada persamaan (4.28) nilai cos φ adalah antara -1 sampai +1, mengharuskan nilai

r0

β >> 1 . Dengan demikian diperoleh cos φ ~ − 2 β

3r0

= −α

r0

(4.29)

Dari Gambar 4.4. terlihat bahwa sudut pembelokan cahaya pada medan gravitasi sebesar

θd =

2α 4GM = 2 r0 c r0

(4.30)

Jika cahaya yang melintasi medan gravitasi dibelokkan dengan sudut belok θd , maka suatu massa yang mempunyai medan gravitasi memiliki semacam titik fokus f. Panjang titik fokus (f) untuk suatu benda bermassa M sebagai fungsi θ dapat dibentuk dengan menggunakan trigonometri dan skema pada Gambar 4.5.


26

θd r0 • M f

Gambar 4.5. Skema lintasan cahaya dalam medan gravitasi Dari Gambar 4.5. diperoleh tan θ d =

r0 f

(4.31)

sehingga panjang fokus f suatu benda bermassa M diberikan f =

r0 tan θ d

(4.32)

Sebagai contoh dihitung panjang fokus (f) untuk benda-benda planet dalam tata surya kalau planet-planet itu dianggap sebagai lubang hitam dengan r0 = 10 4 m , disajikan pada Tabel 4.1.


27

Tabel 4.1. Panjang fokus (f) untuk planet-planet di dalam tata surya kalau planet itu dianggap sebagai lubang hitam untuk r0 = 10 4 m No

Planet

M(kg)

θ

f (m)

1

Matahari

1,9.1030

0,0563

1773049,65

2

Merkurius

3,30.1023

9,78.10-9

1,023.1013

3

Venus

4,87.1024

1,4.10-7

7,143.1011

4

Bumi

5,98.1024

1,8.10-7

5,556.1011

5

Mars

6,42.1023

1,9.10-8

5,263.1012

6

Jupiter

1,90.1027

5,63.10-5

17,762.108

7

Saturnus

5,66.1026

1,68.10-5

59,524.108

8

Uranus

8,68.1026

2,57.10-5

38,911.108

9

Neptunus

1,02.1026

3.10-6

3,333.1010

10

Pluto

1,27.1022

3,76.10-10

2,659.1014


BAB V PENUTUP 5.1. Kesimpulan

Berdasarkan keseluruhan proses yang telah dilakukan dalam penelitian ini dapat diperoleh kesimpulan sebagai berikut : 1. Lintasan atau orbit suatu planet dapat diperoleh dari penyelesaian persamaan Schwarzschild. Dengan memilih θ = π . 2 2. Perubahan geometri dan sifat fisis ruang yang dialami oleh suatu partikel yang bergerak dari daerah r > α ke daerah r < α dalam medan gravitasi yang ditimbulkan oleh massa M, yaitu pada daerah r > α partikel berada dalam bak-waktu dan pada daerah r < α

partikel berada dalam bak-ruang. 3. Lintasan cahaya mengikuti persamaan godesik ds 2 = 0 , dengan

θ = π 2 . Panjang suatu titik fokus (f) suatu benda bermassa M dalam ruang dapat dinyatakan sebagai fungsi θ dan r0.

28


29

5.2. Saran

Karena yang diteliti dalam penelitian ini hanyalah masalah orbit planet, perubahan geometri dan sifat fisis partikel yang bergerak dari r > α menuju r < α , dan pembelokan lintasan cahaya dalam medan gravitasi yang ditimbulkan oleh massa M yang dianggap sebagai lubang hitam menggunakan persamaan Schwarzschild, maka disarankan untuk meneliti konsekuensi-konsekuensi yang lain dari persamaan Schwarzschild. Pada saat partikel melintasi titik r = α partikel itu tidak berada dalam bak-waktu maupun bak-ruang. Oleh sebab itu disarankan untuk meneliti jenis ruang yang ditempati partikel itu.


DAFTAR PUSTAKA Joshi, A. W., 1980, “Matrics and Tensor in Physics”, New Delhi Banglore Bombay Calcuta : Wiley Eastern Limited. Lord, E. A., 1976, Tensor Relativity and Cosmology, United Kingdom: University of Edinburgh Scotland. Lawire, I. D., 1998, “A unified Grand Tour of Theoritical Physics”, Philadelphia: Institut of Physics Publishing. Will, C., 1989, The New Physics, New York: Canbridge University. William, J. K., 1973, “Relativity and Cosmology”, New York : Harper & Row Publishers

30


LAMPIRAN

Persamaan diferensial pada persamaan (4.11) mempunyai penyelesaian ε sebagai fungsi φ, dengan menggunakan metoda operator D =

d dϕ

d 2ε 3 2 = (3αu 0 − 1)ε + αu 0 2 2 dϕ dengan ζ 2 = 3αu 0 − 1 , dan u 0 =

ζ 2 +1 . Sehingga persamaan (4.11) menjadi 3α

d 2ε 1 = ζ 2ε + (ζ 2 + 1) 2 2 6α dϕ dimana

1 (ζ 2 + 1) 2 = K (tetapan) , sehingga dapat dituliskan menjadi 6α d 2ε − ζ 2ε = K 2 dϕ

jika ( D − i ζ ) ( D + iζ ) ε = K dengan ( D + iζ )ε = u , maka ( D − iζ ) − u = K Persamaan diatas dapat juga dituliskan menjadi d2y +α 2 y = β 2 dt (D 2 + α 2 ) y = β ( D + iα ) ( D − iα ) y = β

31

(4.11)


32

( D + iα )u = β

D u + iα u = β

β

u=

D + iα

du + iα u = β dt Jika persamaan di atas dideferensialkan terhadap dt maka,

(

)

du iαt e u = β e iα t dt integralkan persamaan di atas

∫ d (e

i αt

u ) = ∫ β e iαt dt

hasilnya adalah e i αt u = β

1 i αt e +k iα

u = e − iαt ∫ β e iαt dt + k u=

β + k e − i αt iα

sehingga ( D − iα ) y = e −iαt ∫ β e iαt dt + k Apabila persamaan ini digunakan untuk menyelesaikan persamaan (4.11), maka akan menjadi ( D − iζ )u = K


33

du − iζ u = K dϕ d −iζϕ du (e u ) = −iζ e −iζϕ u + e −iζϕ dϕ dϕ ⎛ du = ⎜⎜ − iζ ⎝ dϕ

⎞ u ⎟⎟e −iζϕ ⎠

d −iζϕ (e u ) = K dϕ

e iζϕ

d −iζϕ (e u ) = e −iζϕ K dϕ d (e − iζϕ u ) = e −iζϕ K dϕ

∫ d (e

− iζϕ

u ) = ∫ K e −iζϕ dϕ

e −iζϕ u = ∫ K e −iζϕ dϕ u = e iζϕ ∫ K e −iζϕ dϕ Dengan demikian dapat dituliskan menjadi ( D + iζ )ε = u = e iζϕ ∫ K e − iζϕ dϕ

e −iζϕ

d iζϕ (e ε ) = e iζϕ ∫ K e −iζϕ dϕ dϕ

d iζϕ (e ε ) = e 2iζϕ ∫ K e −iζϕ dϕ dϕ d (e iζϕ ε ) = (e 2iζϕ ∫ K e −iζϕ dϕ ) dϕ

(

)

e iζϕ ε = ∫ e 2iζϕ ∫ K e −iζϕ dϕ dϕ


34

(

)

ε = e −iζϕ ∫ e 2iζϕ ∫ Ke −iζϕ dϕ dϕ dengan

∫ Ke

−iζϕ

dϕ =

K −iζϕ e + C , maka menghasilkan − iζ ⎛ Ke iζϕ ⎞ + C e 2iζϕ ⎟⎟dϕ iζ ⎝ ⎠

ε = e −iζϕ ∫ ⎜⎜ −

⎤ ⎡ K C 2iζϕ = e −iζϕ ⎢− 2 2 e iζϕ + + C2 ⎥ e 2iζ ⎣ i ζ ⎦

Ce iζϕ = 2 + + C 2 e −iζϕ 2iζ ζ K = 2 + C e iζϕ + e −iζϕ K

[

ζ

]

Apabila (e iζϕ + e −iζϕ ) = 2 cos(ζϕ ) , sehingga akan menghasilkan

ε=

ε=

dimisalkan

K

ζ2

K

ζ2 K

ζ2

+ C (2 cos(ζϕ ))

+ 2C cos(ζϕ )

= B dan 2C = A , dengan demikian hasilnya adalah (pada persamaan

(4.12))

ε = B + A cos(ζϕ )

PERSAMAAN SCHWARZSCHILD DAN IMPLIKASINYA PADA LINTASAN PARTIKEL. Skripsi

Recommend Documents