PERSAMAAN KUADRAT. Nama Anggota Kelompok 4 : 1. Krisna Bani Putri Puspita Azah Elvana Eni Lestari

PERSAMAAN KUADRAT Jumlah dan Hasil Kali Akar-akar Persamaan Kuadrat dan Menyusun Persamaan Kuadrat Makalah ini disusun untuk memenuhi tugas mata kuliah Kajian Matematika SMA Dosen Pengampu: Padrul Jana, M.Sc

Nama Anggota Kelompok 4 :

1. Krisna Bani Putri Puspita

14144100106

2. Azah Elvana

14144100139

3. Eni Lestari

14144100145

Kelas V A4

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS PGRI YOGYAKARTA 2016

Persamaan Kuadrat Bentuk umum persamaan kuadrat 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, dengan 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑅 dan 𝑎 ≠ 0. Perhatikan contoh berikut ini:

1. 3𝑥 + 4 = 0

Bukan merupakan persamaan kuadrat karena pangkat tertinggi bagi peubah 𝑥 dari persamaan tersebut bukan 2, melainkan 1 (lihat 3𝑥). Bentuk persamaan seperti ini biasa disebut persamaan linear.

2. 𝑥 2 + 6𝑥 + 8 = 0

Merupakan persamaan kuadrat karena pangkat tertinggi bagi peubah 𝑥

dari persamaan tersebut adalah 2 lihat 𝑥 2 . Bentuk persamaan ini sering disebut persamaan kuadrat biasa.

3. 𝑥 2 − 9 = 0

Merupakan persamaan kuadrat karena pangkat tertinggi bagi peubah 𝑥 dari persamaan 2 walaupun konstanta 𝑏 bernilai 0. Bentuk persamaan

kuadrat seperti ini sering disebut persamaan kuadrat sempurna. 4. 𝑥 2 − 3𝑥 = 0

𝑥 2 − 3𝑥 = 0, merupakan persamaan kuadrat karena pangkat tertinggi

bagi peubah 𝑥 dari persamaan tersebut 2 walaupun konstanta 𝑐 bernilai 0.

Bentuk persamaan kuadrat seperti ini sering disebut persamaan kuadrat tak lengkap.

A. Jumlah dan Hasil Kali Akar-akar Persamaan Kuadrat Jika 𝑥1 dan 𝑥2 adalah akar-akar persamaan kuadrat 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 dengan

a ≠ 0 , jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat itu ditentukan dengan rumus; 𝑏

𝑐

𝑥1 + 𝑥2 = − 𝑎 dan 𝑥1 . 𝑥2 = 𝑎 Bukti:

Akar-akar persamaan kuadrat 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 adalah: 𝑥1 =

−𝑏+√𝑏2 −4𝑎𝑐 2𝑎

atau 𝑥2 =

−𝑏−√𝑏2 −4𝑎𝑐 2𝑎

1

Maka jumlah akar-akar persamaan kuadrat itu adalah: −𝑏 + √𝑏 2 − 4𝑎𝑐 −𝑏 − √𝑏 2 − 4𝑎𝑐 𝑥1 + 𝑥2 = + 2𝑎 2𝑎

−𝑏 + √𝑏 2 − 4𝑎𝑐 − 𝑏 − √𝑏 2 − 4𝑎𝑐 2𝑎 −2𝑏 𝑏 𝑥1 + 𝑥2 = =− 2𝑎 𝑎 𝑥1 + 𝑥2 =

Dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat itu adalah: 𝑥1 . 𝑥2 = �

−𝑏 + √𝑏 2 + 4𝑎𝑐 −𝑏 − √𝑏 2 − 4𝑎𝑐 �� � 2𝑎 2𝑎

(−𝑏) − �√𝑏 2 − 4𝑎𝑐� 𝑥1 . 𝑥2 = (2𝑎)2

𝑥1 . 𝑥2 =

𝑏 2 − (𝑏 2 − 4𝑎𝑐) 4𝑎2

𝑏 2 − 𝑏 2 + 4𝑎𝑐 4𝑎2 4𝑎𝑐 𝑐 𝑥1 . 𝑥2 = 2 = 4𝑎 𝑎

𝑥1 . 𝑥2 = Contoh 1:

2

Jika 𝑥1 , 𝑥2 akar-akar persamaan kuadrat 𝑥 2 − 2𝑥 + 4 = 0, tentukan 𝑥1 + 𝑥2 , 𝑥1 . 𝑥2 , 𝑑𝑎𝑛 𝑥12 + 𝑥22 Penyelesaian: a)

Koefisien-koefisien dari persamaan kuadrat 𝑥 2 − 2𝑥 + 4 = 0 adalah

𝑎 = 1, 𝑏 = −2 dan 𝑐 = 4 sehingga jika koefisien-koefisien tersebut

disubtitusikan ke dalam rumus jumlah akar-akar menjadi: 𝑥1 + 𝑥2 = −

𝑏 (−2) =− =2 𝑎 1

b) Demikian pula jika koefisien-koefisien tersebut disubtitusi kedalam rumus hasil kali akar-akar kuadrat menjadi;

c)

𝑥1 . 𝑥2 =

𝑐 4 = =4 𝑎 1

Untuk menyelesaikan bentuk 𝑥12 + 𝑥22 perlu diubah menjadi bentuk penjumlahan dan hasil kali akar-akar kuadrat sebagai berikut:

2

Ingat kembali bentuk umum dari (𝑥1 + 𝑥2 )2 = (𝑥1 + 𝑥2 )(𝑥1 + 𝑥2 )

(𝑥1 + 𝑥2 )2 = 𝑥1 2 + 2𝑥1 𝑥2 + 𝑥2 2

(𝑥1 + 𝑥2 )2 − 2𝑥1 𝑥2 = 𝑥1 2 + 2𝑥1 𝑥2 + 𝑥2 2 − 2𝑥1 𝑥2 (𝑥1 + 𝑥2 )2 − 2𝑥1 𝑥2 = 𝑥1 2 + 𝑥2 2

𝑥12 + 𝑥22 = (𝑥1 + 𝑥2 )2 − 2𝑥1 𝑥2

Dengan bentuk ini dapat kita peroleh hasil: 𝑥12 + 𝑥22 = (2)2 − 2(4) = 4 − 8 = −4

Jadi nilai dari 𝑥12 + 𝑥22 dari persamaan kuadrat 𝑥 2 − 2𝑥 + 4 = 0

2T

yang mempunyai akar-akar 𝑥1 dan x2 adalah -4. 2T

Contoh 2: Jika 𝛼 dan 𝛽 adalah akar-akar persamaan kuadrat dari x 2 − 6x + 9 = 0.

Tentukan nilai dari α3 + β3! Penyelesaian:

a) Koefisien-koefisien dari persamaan kuadrat

x 2 − 6x + 9 = 0.adalah

𝑎 = 1, 𝑏 = −6 dan 𝑐 = 9 sehingga jika koefisien-koefisien tersebut disubtitusikan ke dalam rumus jumlah akar-akar menjadi: 𝛼+𝛽 =−

𝑏 (−6) =− =6 𝑎 1

Demikian pula jika koefisien-koefisien tersebut disubtitusi kedalam rumus hasil kali akar-akar kuadrat menjadi; 𝛼𝛽 =

𝑐 9 = =9 𝑎 1

b) Untuk menyelesaikan bentuk α3 + β3 perlu diubah menjadi bentuk penjumlahan dan hasil kali akar-akar kuadrat sebagai berikut:

Ingat kembali bentuk umum dari (𝛼 + 𝛽)3 = 𝛼 3 + 3𝛼 2 𝛽 + 3𝛼𝛽 2 + 𝛽 3 (𝛼 + 𝛽)3 = 𝛼 3 + 𝛽 3 + 3𝛼 2 𝛽 + 3𝛼𝛽 2 3

(𝛼 + 𝛽)3 = (𝛼 3 + 𝛽 3 ) + 3𝛼𝛽(α + β)

(𝛼 + 𝛽)3 − 3𝛼𝛽(α + β) = (𝛼 3 + 𝛽 3 ) + 3𝛼𝛽(α + β) − 3𝛼𝛽(α + β) (𝛼 + 𝛽)3 − 3𝛼𝛽(α + β) = (𝛼 3 + 𝛽 3 ) (6)3 − 3(9)(6) = (𝛼 3 + 𝛽 3 ) 216 − 162 = (𝛼 3 + 𝛽 3 ) 54 = (𝛼 3 + 𝛽 3 )

Jadi nilai dari α3 + β3dari persamaan kuadrat x 2 − 6x + 9 = 0

yang mempunyai akar-akar 𝛼 dan 𝛽 adalah 54 B. Menyusun Persamaan Kuadrat

1. Dengan cara faktor (apabila diketahui kedua akar-akarnya) Perhatikan langkah berikut ini: x 2 − 5x + 6 = 0 (persamaan kuadrat)

(x − 2)(x − 3) = 0 (persamaan kuadrat)

x = 2, x = 3 (akar-akar persamaan kuadrat)

Persamaan kuadrat x 2 − 5x + 6 = 0 mempunyai akar-akar 2 dan 3.

Persamaan kuadrat (x − 2)(x − 3) = 0 mempunyai akar-akar 2 dan 3.

Persamaan kuadrat yang akar-akarnya 2 dan 3 adalah (x − 2)(x − 3) = 0. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya α dan β adalah (x − α)(x − β) = 0

Contoh soal: i.

Susunlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya 3 dan 4!

ii.

Jika α dan β akar-akar persamaan kuadrat x 2 − 2x − 6 = 0

Penyelesaian: i.

Persamaan kuadrat yang akar-akarnya 3 dan 4 adalah (x − 3)(x − 4) = 0

ii.

x 2 − 7x + 12 = 0 α

dan

β

adalah

akar-akar

x 2 − 2x − 6 = 0, maka: 4

persamaan

kuadrat

dari

α+β=

−b a

c

= 2 dan α∙β= a =-6

Persamaan kuadrat yang akar-akarnya 2α dan 2β adalah: (x − 2α)(x − 2β) = 0

x 2 − 2(α + β)x + 4αβ = 0 x 2 − 2(2)x + 4(−6) = 0 x 2 − 4x − 24 = 0

2. Menyusun persamaan kuadrat dengan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar. Perhatikan uraian berikut ini: ax 2 + bx + c = 0

b c x2 + x + = 0 a a b c x 2 − �− � x + = 0 a a x 2 − jx + k = 0

b

j = − a adalah jumlah akar-akar persamaan dan c

k = a adalah hasil kali akar-akar persamaan Jadi :

Persamaan kuadrat yang jumlah akar-akarnya j dan hasil kali akar-akarnya k adalah x 2 − jx + k = 0 Contoh : 1. Susunlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya 3 dan 4! 2. Jika α dan β akar-akar persamaan kuadrat x 2 − 2x − 6 = 0 susunlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya 2α dan 2β ! Penyelesaian:

1. Disususn persamaan kuadrat yang akar-akarnya 3 dan 4, maka j = 3 + 4 dan k = 3 ∙ 4 = 12

Persamaan kuadratnya adalah :

5

x 2 − jx + k = 0

x 2 − 7x + 12 = 0

2. α dan β akar-akar persamaan kuadrat x 2 − 2x − 6 = 0, maka α+β=

−b a

c

= 2 dan α ∙ β = a = −6.

Disusun persamaan kuaddrat yang skar-akarnya 2α dan 2β. j = 2α + 2β = 2(α + β) = 2(2) = 4

k = (2α)(2β) = 4αβ = 4(−6) = −24 Persamaan kuadrat yang dicari adalah : x 2 − jx + k = 0

x 2 − 4x + 24 = 0

6