Permodelan Sistem. Melalui Identifikasi Parameter. Ir. Rusdhianto EAK, MT. Pelatihan PC-Based Control

Permodelan Sistem Melalui Identifikasi Parameter

Ir. Rusdhianto EAK, MT

Pelatihan PC-Based Control

Pengertian

Adalah sekumpulan metode yang digunakan untuk mendapatkan/menentukan parameter model pendekatan dari sistem melalui evaluasi data pengukuran input output Secara umum ada 2 cara untuk mendapatkan model pendekatan sistem, yaitu melalui Pendekatan Respon Waktu dan Pendekatan Respon Frekuensi Pelatihan PC-Based Control

Pendekatan Respon Waktu

Respon waktu kontinyu : - sinyal uji berupa step - model pendekatan yang digunakan: Y ( s) K - orde I = X ( s)

- orde II

τs + 1

Y ( s) K = 1 2 2ζ X (s) s + s +1 2

ωn

- orde tinggi

ωn

Y (s) e −τ 1s = X ( s ) (τ 2 s + 1) N Pelatihan PC-Based Control

Pendekatan Respon Waktu

Respon Waktu Diskrit - sinyal uji berupa sinyal random untuk proses offline atau sinyal kontrol (online) - model pendekatan struktur diskrit


Pendekatan Respon Frekuensi

Sinyal uji sinusoida dengan magnitude konstan dan frekuensi variabel Model pendekatan struktur kontinyu


Struktur Model Pendekatan

Suatu sistem dengan masukan tersampling u(k), keluaran y(k)dan noise µ(k) dapat digambarkan dengan diagram blok : µ(k)

u(k)

Sistem


y(k)

Struktur Model Pendekatan

Sistem tersebut dapat didekati dengan model umum : q − d B(q −1 ) C (q −1 ) y (k ) = u (k ) + η (k ) −1 −1 A(q )

A(q )

dimana d : faktor delay B(q −1 ) = b0 + b1q −1 + ... + bnb q − nb

A(q −1 ) = 1 + a1q −1 + ... + ana q − na C (q −1 ) = c0 + c1q −1 + ... + cnc q − ne q −i y (k ) = y (k − i ) ; q −1u (k ) = u (k − i ) Pelatihan PC-Based Control

Berbagai Bentuk Struktur Pendekatan

Struktur Deterministik (tanpa noise) (semua ci = 0; i = 0,1,…,nc)

Struktur Stokastik (dengan noise) (terdapat ci ≠ 0, i = 0,1,…,nc)


Struktur Deterministik

Jika b0 ≠ 0; bi=0, i=1,..,nb, aj ≠ 0; j=1,..,na disebut struktur AR (Auto Regressive)

Jika bi ≠ 0, aj = 0; j=1,..,na disebut struktur MA (Moving Average)

Jika bi ≠ 0 dan aj ≠ 0, i=0,..,nb,; j=1,..,na disebut struktur ARMA Pelatihan PC-Based Control

Struktur Stokastik

Jika b0 ≠ 0, bi=0; i=1,..,nb; aj ≠ 0; j=1,..,na disebut sebagai ARX (Auto Regressive Exogeneous)

Jika bi ≠ 0, aj = 0; j=1,..,na disebut sebagai MAX

Jika bi ≠ 0, aj ≠ 0; i=0,..,nb; j=1,..,na disebut sebagai struktur ARMAX (atau struktur lengkap) Pelatihan PC-Based Control

Catatan

Jika hanya ada c0 noise pada pengukuran Jika terdapat ci ≠ 0, i =1,..,nc noise pada state


Metode Identifikasi Parameter

Metode Penyelesaian Persamaan Linier Simultan Metode Gradient Metode Least Square


Metode Penyelesaian Pers Linier Simultan

Menemukan Parameter Rata-rata (P2SPR) Menemukan Parameter Total (P2SPT)


Metode Gradient

Gradient Constant Step (GCS) Gradient Steppest Descent (GSD) Gradient Binary Step (GBS)


Metode Least Square

Metode Standard Least Square (SLS), (Unity forgetting factor least square) Metode Extended Least Square (ELS)


Metode Penyelesaian Pers Linier Suatu sistem dimodelkan dengan struktur ARMA dengan d=1 sbb: y (k ) = −a1 y (k − 1) − a2 y (k − 2) − ... − ana y (k − na) + b0 µ (k − 1) + b1µ (k − 2) + ... + bnb µ (k − nb − 1)

Jika terdapat sejumlah pengukuran k=0 s/d k=N, selalu dapat disusun sejumlah pers linier yang valid dengan parameter sebagai nilai yang akan dicari. Pelatihan PC-Based Control

P2SR (Penyelesian Pers Linier Simultan – Parameter Rata-rata

Mulai k=na s/d k=na+m-1 dapat disusun M buah persamaan linier simultan yang memiliki satu penyelesaian linier. y ( na )  − y (na − 1)... y0 u (na − 1)...u (0)  a1       ana       =      b0   k = na + m + 1 − y (na + m − 2)... y (m − 1) u (m − 1)  b   y (n + m + 1) nb  a  44  14444444 4244444444 3 1 2 3 1 2 4 4 3 P k = na

θ

θ (1) = P −1Y


Y

P2SR

Demikian pula untuk k=na+1s/d k=na+m-1 θ(2) = P-1Y Sehingga dapat disusun Formulasi Parameter Rata-rata 1 M θ = ∑ θ (i ) M i =1

M : Jumlah semua solusi yang mungkin m : Jumlah persamaan/parameter yang diperlukan untuk mendapatkan satu solusi. Pelatihan PC-Based Control

P2ST (Penyelesaian Persamaan Linier Simultan Parameter Total)

Sama dengan P2SR, dengan melibatkan semua persamaan linier secara total. Mulai k=na s/d k=N (N:jumlah pengukuran), dapat disusun sejumlah persamaan linier simultan yang dapat dituliskan dalam format matrix.


P2ST k = na  − y (na − 1)... y0 u (na − 1)...u (na − nb )  a1   y (na )   ana    .    =    .   b0    k = N − y ( N − 1)... y ( N − na ) u ( N − 1)...u ( N − nb )   b   y ( N )  nb  424  2 1444444442444444443 1 1 3 3 Q kxm

Qkxmθ mx1 = Ymx1

K = jumlah semua pers linier

Nilai θ dapat dirumuskan sbb:

θ = (QT Q) −1 QT Y Pelatihan PC-Based Control

θ mx1

Ymx1

Metode Gradient

Suatu sistem dimodelkan dengan struktur ARMA dengan d=1 sbb: y (k ) = − a1 y (k − 1) − a2 y (k − 2) − ... − ana y (k − na) + b0 µ (k − 1) + b1µ (k − 2) + ... + bnb µ (k − nb − 1)

Atau dalam format perkalian vektor :

y (k ) = ϕ T ( k − 1)θ dimana

ϕ (k − 1) = [− y (k − 1)... y (k − na ) u (k − 1)...u (k − nb )]T θ

= [a1...ana b0 ...bnb ]T Pelatihan PC-Based Control

Metode Gradient

Jika θ dinyatakan dalam hasil estimasi dari data pengukuran ke k

yˆ (k ) = ϕ (k − 1)θˆ(k ) T

Sehingga dapat dituliskan error estimasi kuadrat adalah

J = [ y (k ) − yˆ (k )]

2

1 2


Metode Gradient

Metode gradient adalah metode yang diturunkan melalui kriteria error estimasi kuadrat minimum.

{

min J = min 12 [ y (k ) − ϕ T (k − 1)θ (k )]2

}

Dengan menggunakan gradien perubahan θ(k) pada sepanjang kurva J menuju error kuadrat paling minimum dapat disusun algoritma metode gradien. Pelatihan PC-Based Control

Algoritma GCS (Gradient Constant Step) 1. 2.

Initialisasi Tentukan struktur model dan orde sistem Tentukan kondisi awal dari • ϕ (k − 1) = [0...0]T • θ (k − 1) = [0...0]T = [a1...bnb ]

3.

untuk proses offline untuk proses ONline

Tentukan gain estimasi (step) ∆θ = λI ; λ = bilangan sembarang Pelatihan PC-Based Control

Algoritma GCS 1.

2.

Proses Iterasi/Rekursive Ukur input output plant u(k), y(k) - untuk proses offline u(k): masukan random - untuk proses ONline u(k): sinyal kontrol Rekonstruksi matrix ϕ(k-1) ϕ (k − 1) = [− y (k − 1)... − y (k − na )u (k − 1)...u (k − nb )]T


Algoritma GCS 3. Hitung estimasi parameter sistem θˆ(k ) = θˆ(k − 1) + ∆θ Sign { [ y (k ) − ϕ T (k − 1)θ (k − 1)] ϕ (k − 1)}

4. Jika selesai, tampilkan nilai θ. Jika belum, ulangi langkah 1 untuk pengukuran selanjutnya.


Algoritma GSD (Gradient Steppest Descent) 1. 2.

Initialisasi Tentukan struktur model dan orde sistem Tentukan kondisi awal dari • ϕ (k − 1) = [0...0]T

• θ (k − 1) = [0...0]T = [a1...bnb ] 3.


Tentukan gain estimasi (step) ∆θ = λI ; λ = bilangan sembarang Pelatihan PC-Based Control

Algoritma GSD 1.

2.

Proses Iterasi/Rekursive Ukur input output plant u(k), y(k) - untuk proses offline u(k): masukan random - untuk proses ONline u(k): sinyal kontrol Rekonstruksi matrix ϕ(k-1) ϕ (k − 1) = [− y (k − 1)... − y (k − na )u (k − 1)...u (k − nb )]T Pelatihan PC-Based Control

Algoritma GSD 3. Hitung estimasi parameter sistem θˆ(k ) = θˆ(k − 1) + ∆θ { [ y (k ) − ϕ T (k − 1)θ (k )] ϕ (k − 1)}

4. Jika selesai, tampilkan nilai θ. Jika belum, ulangi langkah 1 untuk pengukuran selanjutnya.


Algoritma GBS (Gradient Binary Step) Initialisasi (4 tahap) 1. Tentukan struktur model dan orde sistem 2. Tentukan kondisi awal dari

• ϕ (k − 1) = [0...0]T • ϕ (k − 1) = [0...0]T = [a1...bnb ]


3. Tentukan gain estimasi (step) ∆θ = λI ; λ = bilangan sembarang Pelatihan PC-Based Control

Algoritma GBS Inisialisasi 4. Tetapkan Sign awal

s1T = [1...1]1xm


Algoritma GBS Proses Iterasi/Rekursive 1. Ukur input output plant u(k), y(k) - untuk proses offline u(k): masukan random - untuk proses ONline u(k): sinyal kontrol 2. Rekonstruksi matrix ϕ(k-1)

ϕ (k − 1) = [− y (k − 1)... − y (k − na )u (k − 1)...u (k − nb )]T


Algoritma GBS Proses Iterasi 3. Hitung S 2 = Sign { [y(k ) − ϕ T (k − 1)θ (k − 1)]ϕ (k − 1} 4. Hitung S = 14 ( s1 − s2 )T ( s1 − s2 ) 5. Hitung ∆θ (k ) = ∆θ (k − 1)(1 − 12 s) 6. Hitung θˆ(k ) = θˆ(k − 1) + ∆θ .s2 7. Jika selesai, stop. Jika belum buat s1 = s2 dan ulangi langkah 1.


Metode Least Square

Merupakan pengembangan dari metode gradient dengan kriteria yang diminimumkan melibatkan semua pengukuran, yaitu: 1 k 2  min J = min  2 ∑ e (i )  i =0 

Atau:

(

)

2 1 k T ˆ min J = min  2 ∑ y (i ) − ϕ (i − 1)θ (i )   i =0 


Metode Least Square

1. 2.

Dengan metode yang sama seperti metode gradient dapat disusun Algoritma untuk mendapatkan nilai estimasi parameter θˆ(k ) yaitu : Algoritma SLS/RLS Algoritma ELS


Algoritma SLS Initialisasi 1. Tentukan struktur model dan orde sistem 2. Tentukan kondisi awal dari

• ϕ (k − 1) = [0...0]T • θ (k − 1) = [0...0]T = [a1...bnb ]


3. Tentukan gain estimasi awal F ( k ) = λI Pelatihan PC-Based Control

Algoritma SLS 1. 2.

Proses Iterasi Ukur input output plant u(k), y(k) T ϕ (k − 1) Rekonstruksi ϕ T (k − 1) = [− y (k − 1)... − y (k − na )u (k − 1)...u (k − nb)]

3.

Hitung estimasi parameter θˆ(k ) = θˆ(k − 1) + F (k ){y (k ) − ϕ T (k − 1)θ (k − 1)}ϕ (k − 1)


Algoritma SLS Proses Iterasi 4. Revisi nilai F(k+1) untuk proses iterasi selanjutnya

F (k )ϕ (k − 1)ϕ T (k − 1) F (k ) F (k + 1) = F (k ) − 1 + ϕ T (k − 1) F (k )ϕ (k − 1)

5. Jika selesai tampilkan θ, jika belum ulangi langkah 1.


Algoritma ELS Initialisasi 1. Tentukan struktur model dan orde sistem 2. Tentukan kondisi awal dari

• ϕ (k − 1) = [0...0]T • ϕ (k − 1) = [0...0]T = [a1...bnb ]


3. Tentukan gain estimasi awal F ( k ) = λI Pelatihan PC-Based Control

Algoritma ELS Proses Iterasi 1. Ukur input output plant u(k), y(k) T ϕ (k − 1) 2. Rekonstruksi

ϕ T (k − 1) = [− y (k − 1)... − y (k − na )u (k − 1)...u (k − nb)]

3. Hitung estimasi parameter θˆ(k ) = θˆ(k − 1) + F (k ){y (k ) − ϕ T (k − 1)θ (k − 1)}ϕ (k − 1)


Algoritma ELS

Proses Iterasi

4. Update:

1  F (k )ϕ (k − 1)ϕ T (k − 1) F (k )  F (k + 1) =  F (k ) − λ1  λ2 1 + ϕ T (k − 1) F (k )ϕ (k − 1) 

(

λ1 dan λ2 dipilih dengan berbagai cara. - λ1 bilangan konstan < 1, λ2 = 1 - λ1 =1 dan λ2 bilangan konstan > 1 - λ1 = f(k), λ2 = 1 - λ1 = 1; λ2 = f(k) - λ2 = 1; λ1 dipilih agar : - nilai Eigen F, tetap - nilai Trace F tetap - determinan F tetap Pelatihan PC-Based Control

)

Algoritma ELS Proses Iterasi 5. Jika selesai tampilkan θ, jika belum ulangi langkah 1.


Validasi Model

Adalah suatu proses untuk melihat seberapa dekat model hasil identifikasi dengan plant asal


Beberapa Cara Validasi 1.

2. 3.

Melalui kedekatan Respon Waktu uji dengan input step Melalui kedekatan respon frekuensi Melalui perhitungan error estimasi dari data pengukuran untuk masukan random


Latihan

Suatu plant: u(t)

s + 12 s 3 + 8s 2 + 8s + 16

y(t)

Lakukan identifikasi plant melalui berbagai pendekatan. Lakukan validasi model melalui: - Respon step - Respon Frekuensi - Kriteria Error Pelatihan PC-Based Control

Permodelan Sistem. Melalui Identifikasi Parameter. Ir. Rusdhianto EAK, MT. Pelatihan PC-Based Control

Recommend Documents