1 PERMODELAN MATEMATIS LINTASAN BOLA YANG BERGERAK DENGAN TOP SPIN PADA OLAH RAGA SEPAK BOLA Ridho Muhammad Akbar Jurusan Fisika, Institut Teknologi Bandung, Bandung, Indonesia (15 Juli 2013)
Tujuan dari ditulisnya karya ilmiah ini adalah untuk menyelidiki proses fisis terbentuknya lintasan bola dari sebuah tendangan bebas pada olah raga sepak bola. Permodelan dilakukan dengan menganggap bola bergerak di dalam fluida udara dan memperhitungkan pengaruh arah gerak bola, kecepatan bola, rotasi bola, sudut elevasi arah gerak bola dengan tanah, dan percepatan gravitasi terhadap gaya-gaya aerodinamika seperti drag force dan Magnus Force. Permodelan dilakukan dengan menggunakan Spreadsheet pada Microsoft Excell 2007. Pada akhirnya, hasil dari permodelan ini dapat menjelaskan secara fisis bagaimana seorang Cristiano Ronaldo, pemain sepak bola yang sangat hebat dan terkenal, dapat melakukan tendangan bebas yang sangat spektakuler, bola melambung tinggi melewati pagar betis dan tiba-tiba menukik ke arah gawang.
I. PENDAHULUAN
melewati pagar betis. Pada peninjauan yang ideal tanpa memperhatikan gaya gesek dengan udara seperti yang
Cristiano Ronaldo, salah satu pemain sepak bola
sering dipelajari di sekolah menengah, memberikan
yang sangat terkenal dengan kemampuan bermainnya
kecepatan awal sebesar 100 km/jam atau sekitar 29m/s
yang sangat hebat, khususnya kemampuannya dalam
dengan sudut elevasi lebih dari 15 derajat dan jarak
mengeksekusi tendangan bebas. Bola ditendang dengan
tendangan bebas dari gawang adalah sekitar 20m maka
keras, bahkan kecepatannya dapat melebihi 90 km/jam,
bola akan melambung tinggi di atas gawang.
melambung
tinggi
melewati
dan
Akan tetapi, apabila kita memberikan top spin atau
kemudian menukik tajam masuk ke dalam gawang.
forward spin pada bola, akan timbul gaya ke bawah
Kehebatannya dalam mengeksekusi tendangan bebas
sehingga bola dapat menukik bahkan jika kecepatan
tersebut sampai menimbulkan pertanyaan-pertanyaan
awalnya cukup tinggi sampai 100 km/jam atau bahkan
dan
lebih. (gambar 1.1).
spekulasi-spekulasi
dari
pagar
penjaga,
berbagai
kalangan.
Bagaimana dia dapat membuat bolanya menukik tajam
1
2
3
4
5
6
dalam kecepatan yang tinggi? Dalam melakukan tendangan bebas, ada tiga tantangan yang harus dilalui agar dapat mencetak gol. Pertama adalah bagaimana melewati pagar betis yang jaraknya sekitar 9 meter di depan bola. Kedua adalah bagaimana membuat bola menukik sehingga ketinggian bola pada mulut gawang tidak lebih dari ketinggian gawang. Terakhir, yang ketiga, adalah bagaimana menempatkan bola jauh dari jangkauan penjaga gawang atau menendang bola cukup keras sehingga penjaga gawang tidak dapat menghalau bola dan bola dapat masuk ke dalam gawang. Pada dasarnya, lintasan bola pada tendangan bebas adalah lintasan parabola. Setidaknya dibutuhkan sudut elevasi (launching angle) lebih dari 15 derjat agar dapat
Gambar1.Lintasan bola yang ditendang dengan menambahkan top spin. Terlihat bola mulai menukik dari gambar 3 ke gambar 4. Pada gambar 5 terlihat bola mendarat rendah dan gol pun tercipta.
2
II. TEORI DASAR
A. Magnus Effect dan Top Spin Efek Magnus adalah suatu fenomena fisika dimana muncul suatu gaya aerodinamika pada bola/silinder yang berotasi. Gaya Magnus dirumuskan sebagai
(a)
(b)
berikut;
dan
Gambar 3. Diagram benda bebas bola ketika (a) bola bergerak naik, (b) bola pada ketinggian maksimum, dan (c) bola bergerak turun. dan masing-masing adalah gaya gesek udara, gaya magnus, gaya berat, kecepatan linier, dan kecepatan sudut rotasi bola.
masing-masing adalah vektor kecepatan sudut
(rotasi) dan kecepatan linier bola.
(Spinning
parameter) adalah suatu koefisien yang bergantung dengan dimensi benda dan keadaan fluida tempat benda bergrak. Cross product menunjukkan bahwa arah gaya magnus adalah tegak lurus arah gerak benda dan sumbu rotasi benda.
(c) Dari diagram benda bebas tersebut, persamaan gerak bola menurut hokum Newton II dapat kita tulis sebagai;
Frase ”Top Spin” adalah suatu istilah bagi jenis putaran dimana bola berotasi searah dengan arah gerak bola.
Dengan
sedemikian
berotasi
rupa,
Dimana;
maka
kecepatan alir udara di bagian atas bola menjadi lebih rendah dibandingkan dengan
kecepatan
alir
udara di bagian bawah bola. Akibatnya bola akan mendapatkan beban yang lebih
banyak
di
dan Gambar 2. Jalur udara di sekitar bola yang berotasi dan bergerak ke arah kanan dengan kecepatan .
bagian
atasnya daripada di bagian bawahnya
dan koefisien magnus force. Akan lebih mudah melakukan perhitungan apabila setiap komponen vektor gaya kita uraikan dalam arah sumbu
sehingga
masing-masing adalah koefisien drag force
dan .
Gaya gesek udara (drag force) didefinisikan sebagai;
timbulah gaya ke arah bawah (gambar 2). Selanjutnya, persamaan (1) dapat juga ditulis menjadi; kita tahu bahwa; Dengan
dan
masing-masing adalah kerapatan
udara, luas penampang bola, koefisien gaya magnus,
sehingga persamaan (5) dapat juga ditulis sebagai;
dan jari-jari bola.
B. Hukum II Newton
dimana;
Ada beberapa gaya yang bekerja pada bola ketika melayang di udara yaitu gaya magnus yang tegak lurus dengan kecepatan bola dan arah sumbu rotasi bola, gaya gesek udara (drag force) yang berlawanan dengan arah gerak bola, serta gaya berat ke arah pusat bumi. Jika kita lukiskan diagram benda bebasnya dalam dua dimensi dengan menganggap bola hanya berotasi ke arah depan, hasilnya adalah sebagai berikut:
Jika kita uraikan terhadap sumbu x, y, dan z, maka persamaannya menjadi;
3 Excel 2007. Sebenarnya akan jauh lebih baik jika digunakan software-software seperti Mathematica atau
Gaya magnus didefinisikan sebagai;
MatLab. Informasi yang bisa didapatkan akan semakin banyak. Akan tetapi karena keterbatasan kemampuan dan sumber daya, program spreadsheetlah yang saya Jika kita uraikan terhadap sumbu x, y, dan z, maka hasilnya menjadi;
gunakan. Lagi pula, dengan spreadsheet pun masih dapat dihasilkan gambaran yang cukup baik mengenai bagaimana lintasan bola dengan efek top spin tersebut. A. Asumsi-asumsi yang Digunakan Sebenarnya
banyak
asumsi-asumsi
yang
saya
gunakan untuk membuat permodelan ini. Akan tetapi berikut Dengan mensubstitusaikan persamaan (10) sampai (15) ke dalam persamaan (3) kita dapat menguraikan
adalah
pengaruhnya
beberapa
cukup
asumsi-asumsi
signifikan
pada
yang
keadaan
sebenarnya;
persamaan (3) ke dalam sumbu x, y, dan z. Jika
Asumsi yang pertama adalah bola tidak berotasi ke
proyeksi lintasan bola pada bidang lapangan adalah
samping. Torsi yang diberikan hanya torsi yang
sumbu x, sumbu yang tegak lurus sumbu x pada
mengakibatkan bola memiliki top spin dan tidak ada
bidang lapangan adalah sumbu y, dan arah vertikal
side spin. Hal ini menjadikan saya tidak salah dalam
adalah arah sumbu z maka persamaan (3) dapat kita
menentukan sumbu x sebagai proyeksi lintasan bola
uraikan menjadi;
pada lapangan karena tidak adanya side spin berarti tidak ada perubahan posisi bola pada arah sumbu y. Karena bola diasumsikan tidak memiliki side spin, maka
(16)
sehingga gaya magnus pada arah sumbu y adalah nol (
). Berarti juga, gaya gesek udara
pada arah sumbu y akan sama dengan nol (
(17)
).
Sekarang kita dapat membuat model lintasan bola dua dimensi. Hal ini cukup tepat dengan keadaan nyata dimana khas tendangan bebas Cristiano Ronaldo adalah keras dan lurus ke arah gawang. Pada kenyataannya, sulit bagi seorang pemain
dimana;
sepak bola untuk memberikan top spin saja tanpa side spin pada bola. Hal ini dikarenakan bola ditendang dari Ketiga
persamaan
itu
lah
yang
merupakan
atas tanah sehingga sulit untuk mendapatkan titik
persamaan diferensial dari gerak dari bola hasil
kontak yang tepat antara kaki dengan bola agar bola
tendangan bebas pada pertandingan sepak bola. Solusi
hanya mendapatkan top spin.
persamaan diferensial tersebut sulit untuk ditentukan secara
analitik
karena
merupakan
Kedua, saya anggap bahwa besar kecepatan rotasi
persamaan
bola tetap. Pada kenyataannya, seharusnya kecepatan
diferensial non linier. Akan tetapi, solusinya tidak
rotasi bola berkurang dikarenakan adanya gaya gesek
terlalu sulit ditemukan jika dikerjakan secara numerik
dengan udara.
dengan menggunakan software seperti Mathematica, MatLab, atau spreadsheet.
Ketiga, saya mengasumsikan tidak ada angin atau kecepatan angin sangat kecil sehingga pengaruhnya pada lintasan bola dapat diabaikan. Pada keadaan
III. PERMODELAN
sebenarnya, pengaruh angin cukup signifikan dalam merubah arah gerak bola. Ditambah lagi bola hanya
Permodelan
dilakukan
dengan
menggunakan
program aplikasi spreadsheet pada Microsoft Office
berotasi ke arah depan sehingga perubahan arah gerak
4 karena adanya angin samping dapat sewaktu-waktu
Jangan dilupakan bahwa;
terjadi. Keempat, koefisien gaya gesek udara (
) saya
Dimana
,
,
, dan
masing-masing adalah besar
anggap konstan. Kenyataannya, koefisien ini dapat
kecepatan awal, besar kecepatan awal dalam arah
berubah-ubah seiring dengan perubahan kecepatan
sumbu x, besar kecepatan awal dalam arah sumbu z,
bola.
dan sudut elevasi saat bola meninggalkan tanah.
Koefisien magnus (
) juga saya anggap konstan
Ketika kecepatan berubah, posisi bola juga akan
Pada kenyataannya, koefisien magnus juga berubah-
berubah. Kita tahu bahwa perubahan posisi bola dalam
ubah seiring perubahan kecepatan linier dan kecepatan
selang waktu tertentu sama dengan kecepatan rata-rata
rotasi bola. Dalam permodelan ini, saya mengambil
bola dalam selang waktu tersebut. Dalam hal ini,
nilai rata-rata koefisian gaya gesek udara serta koefisien
kecepatan rata-rata bola dalam selang waktu
magnus untuk bola yang digunakan dalam olah raga
dengan;
sepak bola yaitu
dan
sama
.
Itulah beberapa asumsi yang saya gunakan dalam permodelan ini. Asumsi-asumsi tersebut akan perlu diperiksa
kembali
pada
kesempatan
lain
untuk dari persamaan (24), posisi bola pada waktu
mendapatkan hasil permodelan yang lebih akurat.
adalah; B. Solusi Numerik Seperti yang telah dikatakan sebelumnya bahwa persamaan diferensial dari lintasan bola ini akan sulit untuk diselesaikan secara analitik. Akan tetapi kita dapat menggunakan spreadsheet untuk menyelesaikan persamaan-persamaan tersebut secara numerik. Karena gaya-gaya pada sumbu y sama dengan nol, maka percepatan pada arah sumbu y juga nol. Kita hanya perlu menyelesaikan persamaan gerak pada sumbu x dan sumbu vertikal atau sumbu z.
Persamaan (19) sampai (26) lah yang harus dimasukkan ke dalam formula di spreadsheet. Massa jenis udara adalah sekitar 1,225
adalah 0,111408 meter, massa bola untuk pertandingan professional adalah sekitar 0,43 kg. Koefisien gaya gesek udara untuk bola sepak sekitar 0,2 dan koefisien magnus
Percepatan pada arah sumbu x dinyatakan dengan;
, jari-jari bola
sekitar
1.
Dengan
memasukkan
besar
kecepatan awal, sudut elevasi saat bola meninggalkan tanah, dan nilai selang waktu, maka komputer dapat memplot titik-titik pada setiap selang waktu dan
sedangkan pada sumbu z dinyatakan dengan;
memberikan gambaran lintasan bola sampai pada waktu tertentu. Pada dasarnya, percepatan akan selalu berubah seiring dengan perubahan kecepatan setiap waktunya. Akan tetapi pada selang waktu
yang sangat sempit,
perubahan itu akan sangat kecil sehingga bisa kita anggap
konstan.
Dengan
IV. HASIL DAN PEMBAHASAN
demikian,
kita
dengan kecepatan awal 130 km/jam, yang merupakan
mengetahui kecepatan dan posisi bola pada suatu
kecepatan awal rata-rata yang diberikan Cristiano
waktu
Ronaldo ketika mengeksekusi tendangan bebas, sudut
maka dengan asumsi bahwa
jika
Grafik 1 menunjukkan lintasan bola yang ditendang
,
kita dapat menentukan kecepatan dan posisi bola pada waktu
.
Pada waktu
elevasi 18 derajat, dan kecepatan rotasi 9 rps. Pada grafik terlihat bahwa bola yang diberikan top
, kecepatan pada arah sumbu x
dan y akan berubah menjadi;
spin akan mampu mempertahankan ketinggiannya agar tidak terlalu jauh di atas mistar gawang. Dengan demikian, akurasi tendangan pun akan jauh lebih terjaga jika dibandingkan dengan tendangan tanpa top spin yang terlihat melambung tinggi.
5
Grafik 1. Terlihat bahwa bola yang diberikan top spin (biru) akan dapat mempertahankan ketinggiannya di bawah 3 meter sementara bola yang ditendang tanpa spin apapun (merah) akan melambung tinggi.
Pada jarak sekitar 9 meter, ketinggian bola berada
menempuh jarak sejauh 30 meter di lapangan.
pada sekitar 1,8 sampai 2,2 meter. Hal ini menjadikan
Sementara pada saat yang sama, bola yang tidak
bola memiliki ketinggian yang cukup untuk melewati
diberikan top spin masih berada pada ketinggian 5
pagar betis tim lawan jika rata-rata tinggi pemain sepak
meter.
bola adalah 170 cm. Pada jarak 20 meter sampai 30
Pada grafik 2 juga terlihat bahwa pada detik ke 0,4
meter, bola bergerak turun dan berada pada ketinggian
bola mencapai ketinggian maksimumnya. Artinya,
kurang dari 2,5 meter. Ketinggian gawang sekitar 2,44
dalam selang waktu 0,4 detik, bola berubah dari
meter menjadikan teknik top spin free kick ini menjadi
keadaan bergerak ke atas menjadi bergerak ke bawah.
sangat efektif untuk mencetak gol melalui tendangan
Ini yang menggambarkan efek menukik tiba-tiba pada
bebas baik untuk jarak dekat, jarak menengah, maupun
tendangan bebas Cristiano Ronaldo. Kemudian bola
jarak jauh.
membutuhkan waktu 0,6 detik untuk mencapai tanah
Grafik 2 dan grafik 3 menunjukkan ketinggian dan
kembali (mencapai gawang). Artinya, seorang penjaga
jarak tempub bola dari waktu ke waktu. Terlihat bahwa
gawang hanya memiliki waktu kurang dari 0,6 detik
bola yang diberikan top spin hanya butuh waktu 1 detik
untuk
untuk mendarat di tanah. Pada saat itu bola telah
menjangkau bola.
bereaksi
kemudian
melompat
sampai
Pada grafik 3, kedua kurva (merah dan biru)
berimpit.
Berarti,
waktu
yang
dibutuhkan kedua jenis bola (dengan atau tanpa top spin) untuk mencapai jarak horizontal tertentu hampir sama. Dengan Grafik 2. Pengaruh gaya magnus pada perubahan ketinggian bola dari waktu ke waktu terlihat sangat signifikan.
kata lain, keberadaan gaya magnus tidak terlalu mempengaruhi kecepatan bola pada arah
horizontal
akan
tetapi
sangat
mempengaruhi kecepatan bola dalam arah vertikal seperti yang ditunjukkan oleh grafik 2. Hal ini dikarenakan besar gaya magnus pada kasus bola dengan top spin Grafik 3. Pengaruh gaya magnus pada perubahan posisi horizontal bola dari waktu ke waktu tidak terlalu besar dikarenakan sudut elevasi yang diberikan kecil ( ).
berbanding lurus dengan nilai sinus sudut elevasi
(gambar
3)
dan
pada
sebuah
tendangan bebas di pertandingan sepak bola, sudut elevasi yang diberikan hanya berkisar 15 – 25 derajat. Akan tetapi, tentu saja pada sudut elevasi yang lebih besar (>30 derajat) maka pengaruh gaya magnus pada kecepatan pada arah horizontal akan terlihat lebih besar dan pada sudut elevasi lebih dari 45 derajat pengaruhnya pada kecepatan horizontal akan lebih besar pada kecepatan vertikal.
6 Grafik 4. Ketika bola bergerak ke atas kecepatan kedua bola hampir sama. Akan tetapi, ketika bola bergerak turun, bola dengan top spin memiliki kecepatan yang lebih tinggi. Ini menjelaskan efek menukik pada tendangan bebas Cristiano Ronaldo
Grafik 4 menggambarkan jejak resultan kecepatan
Seorang pitcher pada olah raga base ball sering
bola dari waktu ke waktu. Terlihat bahwa pada detik 0
menggunakan teknik ini untuk mengecoh batter. Dalam
sampai 0,4 bola yang bergerak dengan top spin akan
base ball, teknik pemberian top spin pada lemparan
bergerak sama cepat dengan bola yang bergerak tanpa
dikenal dengan sebutan knuckle ball. Petenis lapangan
top spin. Sementara pada detik 0,4 dan seterusnya, bola
dan meja pun sering menggunakan teknik seperti ini
yang bergerak dengan top spin memiliki kecepatan
untuk mengecoh lawannya. Dengan pemberian rotasi
yang lebih besar.
pada bola maka lintasan bola akan menjadi rumit dan
Telah dibahas sebelumnya bahwa pengaruh gaya
merepotkan lawan.
magnus pada kecepatan horizontal pada kasus ini
Ada satu hal yang unik dalam penggunaan teknik
tidaklah terlalu besar (grafik 3). Dengan kata lain,
top spin ini pada sepak bola. Jika pada olah raga lain,
kecepatan pada arah vertikal bola yang memiliki top
pemberian top spin pada bola tidak terlalu sulit
spin meningkat seiring berjalannya waktu atau dapat
dikarenakan bola berada di udara ketika mengalami
kita katakana bahwa bola yang memiliki top spin akan
kontak
menukik dengan kecepatan cukup tinggi. Program
memukul
yang saya buat menyatakan bahwa bola yang diberikan
memberikan sedikit gaya ke arah atas. Akan tetapi,
kecepatan awal sebesar 130 km/jam dengan sudut
pada
elevasi 18 derajat dan kecepatan sudut 9 rotasi per detik
khususnya, bola ditendang pada posisi di atas tanah.
akan memiliki kecepatan rata-rata sebesar 100,04
Hal ini menyulitkan pemain untuk mencari titik kontak
km/jam.
yang tepat agar bola bergerak dengan top spin. Gerakan
dengan bola
olah
raga
pemain. sedikit
Pemain di
sepak
hanya
bagian
bola,
tinggal
bawah
tendangan
dan
bebas
kaki pun menjadi hal yang sangat penting dalam teknik V. KESIMPULAN
ini.
Itulah
mengapa
orang
tidak
ragu
ketika
mengatakan bahwa Cristiano Ronaldo adalah pemain Kesimpulannya,
bola
yang
ditendang
dengan
sepak bola yang sangat hebat.
memberikan top spin akan mengalami gaya magnus ke arah
bawah
sepanjang
lintasannya
sehingga
VII. DAFTAR PUSTAKA
mengakibatkan bola tidak akan melayang terlalu tinggi. Pemberian top spin juga dapat mempertahankan
Ahmad, Mohammad. 2011. Bend It Like Magnus:
kecepatan bola sejak bola meninggalkan tanah sampai
Simulating Soccer Physics. Ohio. The College of
bola berada di mulut gawang sehingga memungkinkan
Wooster.
seorang pemain sepak bola untuk mengeksekusi tendangan bebas dengan kekuatan tinggi dan tetap terarah.
Sport Technology Institute. Analyzing Top Spin Free Kick. Loughborough University. United Kingdom. https://en.wikipedia.org/wiki/Magnus_effect https:// http://en.wikipedia.org/wiki/Topspin
VI.PENUTUP
Pada akhirnya, tendangan bebas yang sangat hebat dari Cristiano Ronaldo pun telah berhasil dimodelkan secara sederhana. Sebenarnya teknik pemberian top spin pada bola juga dilakukan di olah raga-olah raga lain.
https://www.soccerballworld.com/Sizes.htm
