Percobaan Bernoulli 5
Percobaan terdiri dari 1 usaha S k Sukses Usaha Gagal Peluang sukses p
Peluang gagal 1-p Misalkan
1, jika terjadi sukses X 0, jika terjadi tidak sukses (gagal) edited 2011 by UM
Distribusi Bernoulli 6
X
berdistribusi Bernoulli, p x (1 p )1 x , x 00,1 1 P( X x) ber ( x; p ) , x lainnya 0
Rataan
: E[X] = µx = p
Va Variansi a s
: Va Var(X)= ( ) x2 = p( p(1-p) p) edited 2011 by UM
Percobaan Binomial 7
n
usaha yang berulang. berulang Tiap usaha memberi hasil yang dapat dikelompokkan menjadi sukses atau gagal. Peluang sukses tidak berubah dari usaha yang satu ke yang berikutnya. Tiap Ti usaha h saling li bebas. b b
edited 2011 by UM
Distribusi Binomial 8
Distribusi binomial, parameter n dan p
Notasi X ~ B(n,p)
F.m.p:
n x P( X x) b( x; n, p ) p (1 p) n x x
Koefisien binomial : n n! x x !(( n x))!
n! = n.(n n (n-1) 1).(n (n-2) 2) … 1 untuk x = 0,1, … , n
o
Rataan
: E[X] = µx = np
o
Variansi
2 = np(1-p) : var(X)= Xedited 2011 by UM
Percobaan Poisson 13
Memiliki 2 keluaran hasil : SUKSES dan GAGAL. GAGAL Terdefinisi pada : (yang membedakan dari percobaan b Bi Binomial) i l) Panjang selang waktu Luas daerah/area Contoh : - Banyak mobil yang masuk lewat gerbang utama t ITB pada d pukul k l 08.00 08 00 09.00 09 00 - Banyak merk laptop yang ditemukan di suatu toko tertentu di BEC. edited 2011 by UM
Proses Poisson 14
Selang S l g waktu kt atau t daerahnya d h saling li g bebas. b b Peluang pada Proses Poisson tergantung pada selang waktu dan besarnya daerah. Peluang untuk selang yang pendek atau daerah yang sempit dapat diabaikan.
edited 2011 by UM
Distribusi Poisson 15
Peubah acak X berdistribusi Poisson
X~P(t) F.m.p :
P( X x)
e
t
t x!
x
, x 0,1, 2,...
e = tetapan t t E l (2 Euler (2.71828…) 71828 ) o o
Rataan : E[X] = X = t Variansi : var(X) var(X)= X2 = t edited 2011 by UM
Bukti : 16
Akan ditunjukkan bahwa rataan adalah t, tulis = t.
EX x x 0
e
x
x!
e x e x 1 x x! x 1 x 1 x 1 !
Definisi fungsi peluang l untuk t k p.a. Poisson
Misalkan y = x – 1, diperoleh
e E X y! y 0
e y 1 ! y y y 0
t
edited 2010 by UM
Hubungan distribusi Bernoulli, Binomial, Poisson dan Normal 21
Mi lk p.a X Misalkan
Distribusi Bernoulli X ~ Ber (1, (1 p)
n >1 Distribusi Normal 2) X ~ N(μ, σ N( μ = np, σ2 = np(1- p)
n >>>
μ = , σ2 =
Distribusi Binomial X ~ Bin (n, p)
n >>>, p <<<
n >>> DLP
edited 2011 by UM
Distribusi Poisson X ~ POI (t) = np = np(1np(1 p)
22
Beberapa distribusi diskrit lainnya
Distribusi Multinomial Distribusi Hipergeometrik Distribusi Binomial Negatif Distribusi Geometri
edited 2011 by UM
Distribusi Multinomial 23
Bila suatu usaha tertentu dapat menghasilkan k macam hasil E1, E2, …, Ek dengan peluang p1, p2, …, pk, maka di t ib i peluang distribusi l peubah b h acak k X1, X2, …, Xk yang menyatakan banyak terjadinya E1, E2, …, Ek dalam n usaha bebas ialah,
n x1 x2 xk p p p P ( X 1 x1 , X 2 x2 ,..., X k xk ) 1 2 k x x x , ,..., , , k 1 2 dengan, k
x i 1
i
n
k
dan
p i 1
i
1
Percobaan Binomial menjadi j Multinomial jika setiap percobaan memiliki lebih dari d k dua kemungkinan ki hasil. h il
edited 2011 by UM
Contoh 4 24
Peluang seorang perwakilan datang ke suatu konferensi di suatu kota menggunakan pesawat, bus, mobil pribadi, dan kereta berturut-turut adalah 0.4, 0.2, 0.3, dan 0.1. Hitung peluang dari 9 perwakilan yang datang 3 orang datang menggunakan k pesawat, t 3 orang dengan d bus, b 1 orang dengan d mobil pribadi, dan 2 orang dengan kereta. J Jawab: b Misalkan Xi : banyaknya perwakilan yang datang menggunakan k transportasi t t i i, i i=1,2,3,4 i 1234b berturut-turut t tt t mewakili pesawat, bus, mobil pribadi, dan kereta. 9 3 3 1 2 P( X 1 3, X 2 3, X 3 1, X 4 2) 0.4 0.2 0.3 0.1 3,3,1, 2 9! 0.064 0.08 0.3 0.01 2520 1.536 105 0, 038702 3!3!1!2! edited 2011 by UM
Contoh 6 29
Suatu tes hasil pengelasan logam meliputi proses pengelasan p g sampai p suatu p patahan terjadi. j Pada jjenis pengelasan tertentu, patahan terjadi 80% disebabkan oleh logam itu sendiri dan 20% oleh penyinaran pada pengelasan. Beberapa hasil pengelasan dites. Misalkan X adalah banyak tes yang dilakukan sampai ditemukan patahan pertama pada hasil pengelasan. Hitung peluang pada tes ketiga ditemukan patahan pertama! Jawab : X ~ Geom(0.2)
P ( X 3) g (3;0 (3;0.2) 2) 0.2(0.8) 0 2(0 8) 2 0.128 0 128 edited 2011 by UM
Distribusi Binomial Negatif 30
X ~ b*(k, p) X : banyaknya usaha yang berakhir tepat pada sukses ke-k
dari usaha-usaha saling bebas dengan peluang sukses p dan gagal (1-p).
x 1 k xk (1 ) , P( X x) b *( x; k , p ) p p k 1
x k , k 1, k 2...
Suatu peubah acak Binomial negatif adalah jumlah dari peubah acak acak-peubah peubah acak Geometrik. X = Y1 + Y2 + ... + Yk dimana Y1, Y2, ..., Yk adalah peubah acak saling bebas, masing-masing berdistribusi Geom(p). k k (1 p ) 2 Variansi : Rataan : edited 2011 by UM p p2
Contoh 7 31
Perhatikan Contoh 6. Mi lk X adalah Misalkan d l h banyak b k tes t yang dilakukan dil k k sehingga ditemukan 3 patahan pertama. Hitung peluang bahwa dilakukan 8 tes gg ditemukan 3 p patahan p pertama! sehingga Jawab : 7 3 5 P( X 8) b *(8;3, 0.2) (0.2) (0.8) 0.05505 2
edited 2011 by UM
Referensi 32
Navidi, William., 2008, Statistics for Engineers and
Scientists, 2nd Ed Scientists Ed., New York: McGraw-Hill. McGraw-Hill Walpole, Ronald E. dan Myers, Raymond H., Ilmu Pl Peluang dan d Statistika S i ik untukk Insinyur I i dan d Ilmuwan, Edisi 4, Bandung: Penerbit ITB, 1995. Walpole, Ronald E., et.al, 2007, Statistitic for Scientist and Engineering, 8th Ed., New Jersey: Prentice Hall. Pasaribu, P ib U U.S., S 2007 2007, Catatan C t t Kuliah K li h Biostatistika. Bi t ti tik edited 2011 by UM
