PERBANDINGAN MODEL FUNGSI TRANSFER DAN ARIMA STUDI KASUS MODEL ANTARA CURAH HUJAN DENGAN KELEMBABAN UDARA
Skripsi Sebagai Salah Satu Syarat Untuk Memperoleh Gelar Sarjana Sains Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri Syarif Hidayatullah Jakarta
Oleh: Catur Aprialis 106094003178
PROGRAM STUDI MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SYARIF HIDAYATULLAH JAKARTA 2010M/1431H
i
PENGESAHAN UJIAN
Skripsi berjudul “Perbandingan Model Fungsi Transfer dan ARIMA Studi Kasus Model Antara Curah Hujan dengan Kelembaban Udara” yang ditulis oleh Catur Aprialis, NIM 106094003178 telah diuji dan dinyatakan lulus dalam sidang Munaqosyah Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri Syarif Hidayatullah Jakarta pada tanggal 31 Agustus 2010, skripsi ini telah diterima sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana strata satu (S1) Program Matematika.
Menyetujui :
Penguji 1,
Penguji 2,
Taufik Edy Sutanto, M.Sc.Tech NIP. 19790530 200604 1 002
Gustina Elfiyanti, M.Si NIP. 19820820 200901 2 006
Pembimbing 1,
Pembimbing 2,
Hermawan Setiawan, M.Kom NIP. 19740623 199312 1 001
Suma’inna, M.Si NIP. 150 408 699 Mengetahui :
Dekan Fakultas Sains dan Teknologi,
Ketua Program Studi Matematika,
Dr. Syopiansyah Jaya Putra, M. Sis NIP. 19680117 200112 1 001
Yanne Irene, M.Si NIP. 19741231 200501 2 018
ii
PERNYATAAN
DENGAN INI SAYA MENYATAKAN BAHWA SKRIPSI INI BENARBENAR HASIL KARYA SENDIRI YANG BELUM PERNAH DIAJUKAN SEBAGAI SKRIPSI PADA PERGURUAN TINGGI ATAU LEMBAGA MANAPUN.
Jakarta, 31 Agustus 2010
Catur Aprialis 106094003178
iii
PERSEMBAHAN
Skripsi ini aku persembahkan untuk Kedua orang tuaku, Papa dan Mama tercinta, Mbaku, Masku, Adikku, Keponakanku dan Keluarga besarku tersayang, serta Pacarku (“tercinta, tersayang, tercantik dan terbaik”) dan Keluarganya untuk do’a, kasih sayang, dukungan dan semangat tiada henti yang membuat aku bertahan hingga sejauh ini... Sahabat-sahabat dan Keluarga besar Program Studi Matematika terhebat yang selalu mendampingi dan berjuang bersama dalam semangat persahabatan dan persaudaraan... MOTTO
Firman Allah Subhanahu Wa Ta’ala : …” dan katakanlah: Ya Tuhanku, tambahkanlah kepadaku ilmu pengetahuan” [QS Thaha : 114]
Sabda Nabi Muhammad Shalallahu Alaihi Wasallam : “Ya Allah, aku mohon kepada-Mu ilmu yang bermanfaat, rizki yang halal dan amalan yang diterima.” [HR Ahmad] “ Barang siapa yang menempuh jalan untuk mencari ilmu, niscaya Allah SWT memudahkan baginya jalan ke surga. Dan sesungguhnya malaikat sungguh meletakkan sayapnya terhadap orang yang mencari ilmu karena ridho tentang apa yang ia perbuat..” ( HR. Abu Daawud – At Turmudzi )
iv
ABSTRAK CATUR APRIALIS, Perbandingan Model Fungsi Transfer dan ARIMA Studi Kasus Model Antara Curah Hujan dengan Kelembaban Udara. Di bawah bimbingan Hermawan Setiawan, M.Kom dan Suma’inna, M.Si. Informasi tentang banyaknya curah hujan adalah salah satu unsur penting dan besar pengaruhnya terhadap segala macam aktifitas, seperti produksi pertanian, perkebunan, perikanan, penerbangan, dan sebagainya. Prakiraan curah hujan dengan segala bentuk analisis dan informasi yang dihasilkan besar dampaknya guna membantu dan menunjang kegiatan sosial ekonomi di Indonesia. Banyak metode dalam statistika yang dapat digunakan dalam melakukan peramalan suatu deret waktu, seperti ARIMA dan Model Fungsi Transfer Pada skripsi ini dilakukan perbandingan antara kedua metode tersebut dalam meramalkan curah hujan bulanan dari tahun 1998 sampai dengan 2007. Pada Model Fungsi Transfer menggunakan kelembaban udara yang berpengaruh dalam meramalkan curah hujan.Hasil peramalan dengan menggunakan ARIMA diperoleh nilai MAPE sebesar 123,32 sedangkan pada Model Fungsi Transfer diperoleh nilai MAPE sebesar 106,82. Berdasarkan nilai tersebut, dengan nilai MAPE yang lebih kecil, dapat dikatakan untuk data curah hujan Model Fungsi Transfer lebih baik dari ARIMA dalam melakukan peramalan curah hujan. Kata Kunci : Curah Hujan, ARIMA, Model Fungsi Transfer
v
ABSTRACT CATUR APRIALIS, Comparison Transfer Function Models and ARIMA Case Study Between Rain Fall with Air Humidity under direction of Hermawan Setiawan, M.Kom and Suma’inna, M.Si. The development of todays industry services motivated the company to control their quality of services. The control of quality should be done continually and in a long time period to mantain service qualities. There are lots of variabels used in this reaserch and Multivariate Statistical Process Control (MSPC) is one of the method that can be used in this kind of problem. This reaserch done by first applying Principal Component Analysis method to reduce variable dimension and then analyse the resulting variables to make a standard of the service at Laboratory of Syarif Hidayatullah Hospital. This quality control is important currently the hospital does not have yet quality control departement at the time reserch. This reserch use 100 random samples from outpatient patient. The Analysis shows, some problems appear from the process, the main problems happened when registration process. The main cause of these problems are the undercomunication problem is utilization of registration technology and the information for patient, therefore in order to increase the service quality, the Hospital need to updates their facilities and make better information socialization to patients. Key Words : MSPC, PCA, Quality Control, Standardization.
vi
KATA PENGANTAR
Segala puji bagi Allah SWT, Yang Maha Mulia, Sumber Cahaya Ilmu, yang senantiasa melimpahkan rahmat kepada hamba-Nya. Berkat anugrah dan ridho-Nya, penulis dapat menyelesaikan skripsi “Perbandingan Model Fungsi Transfer dan ARIMA Studi Kasus Model Antara Curah Hujan dengan Kelembaban Udara”. Shalawat dan salam teruntuk Baginda Nabi Muhammad saw, panutan paling hak di bumi ini, beserta keluarga dan para sahabatnya. Skripsi ini dimaksudkan untuk memenuhi salah satu syarat menempuh ujian Sarjana Sains pada Program Studi Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Islam Negeri Syarif Hidayatullah Jakarta. Pada penulisan skripsi ini, penulis mendapat bimbingan dan bantuan dari berbagai pihak, sehingga pada kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih kepada: 1.
Dr. Syopiansyah Jaya Putra, M. Sis, Dekan Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri Syarif Hidayatullah.
2.
Yanne Irene, M.Si, Ketua Program Studi Matematika dan selaku Penguji I.
3.
Suma’inna, M.Si, Sekretaris Program Studi Matematika dan selaku Pembimbing II.
4.
Taufik Edy Sutanto, M.Sc.Tech, selaku Penguji I.
5.
Gustina Elfiyanti, M.Si, selaku Penguji II.
6.
Seluruh Dosen Program Studi Matematika, terima kasih atas pengajaran dan ilmu bermanfaat yang telah diberikan kepada penulis.
vii
7.
Kedua Orang tua, Papa dan Mama tercinta, Mba Rini, Mas Didit, Mas Yitno, Mba Nur, Mas Puji, Mba Citra, Ari, Vano, Bita dan Tsakib serta seluruh keluarga besar yang sudah mendampingi dan memberikan dukungan moral dan materil.
8.
Sweetheartku, Niken Putri Pradanayanti yang selalu ada disampingku dalam memberikan semangat dan do’a selama ini, “ I love you”.
9.
Bapak Abdullah Riva’i dan sekeluarga yang selalu membantu penulis.
10.
Sahabat yang sudah lulus, Anas, Reza, Mahmudi, Dwi, Ulfah, Vivi dan Ella. Sahabat satu perjuangan, Ramdhan, Farrah dan Epo. Sahabat yang belum lulus kalian harus tetap semangat, Arya, Zikri, Iben, Yayan, Rohmat, Indra, Arif, Sayuti, Jemy, Anty, Firda, Iif, Iis dan Jaka. Terima kasih untuk persahabatan, kasih sayang, dan dukungan kalian, gud luck guys!.
11.
Kak Dennis, Kak Bambang, Kak Sopi, Pandu, Yanna, Peppi, Acong dan seluruh Keluarga besar Matematika Fakultas Sains dan Teknologi.
12.
B 6041 CAD yang selalu setia mengiringi langkahku dalam menempuh panas dan hujan selama 4 tahun. Pada akhirnya penulis berharap skripsi ini dapat bermanfaat bagi pembaca
pada umumnya. Penulis menyadari masih banyak kekurangan dalam penulisan skripsi ini, sehingga penulis mengharapkan saran dan kritik yang konstruktif.
Jakarta, 31 Agustus 2010
Penulis
viii
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL .................................................................................. i PENGESAHAN UJIAN ............................................................................. ii PERNYATAAN ......................................................................................... iii PERSEMBAHAN DAN MOTTO ............................................................. iv ABSTRAK
............................................................................................... v
ABSTRACT ............................................................................................... vi KATA PENGANTAR ................................................................................ vii DAFTAR ISI .............................................................................................. ix DAFTAR TABEL ...................................................................................... xii DAFTAR GAMBAR .................................................................................. xiii BAB I PENDAHULUAN ......................................................................... 1 1.1. Latar Belakang ...................................................................... 1 1.2. Perumusan Masalah .............................................................. 2 1.3. Pembatasan Masalah ............................................................. 2 1.4. Tujuan Penelitian .................................................................. 3 1.5. Manfaat Penelitian ................................................................ 3 BAB II LANDASAN TEORI .................................................................... 4 2.1. Curah Hujan ........................................................................... 4 2.2. ARIMA .................................................................................. 5 2.3. Fungsi Transfer ..................................................................... 6 2.3.1 Bentuk Dasar Model Fungsi Transfer .......................... 7
ix
2.3.2 Identifikasi Model Dasar Fungsi Transfer ................... 9 2.3.3 Penaksiran Parameter-parameter Model ...................... 12 2.3.4 Pemeriksaan Diagnostik Pada Model .......................... 13 2.3.5 Peramalan Menggunakan Model Fungsi Transfer........ 14 BAB III METODOLOGI PENELITIAN .................................................. 16 3.1. Metode Pengumpulan Data ................................................... 16 3.2. Metode Pengolahan Data ....................................................... 16 3.3. Alur Penelitian ...................................................................... 18 BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN ..................................................... 20 4.1. Eksplorasi Data ..................................................................... 20 4.2. Mempersiapkan
Deret
Output
dan
Deret
Input
(Penstasioneran Data) ............................................................ 20 4.3. Identifikasi Model ARIMA .................................................. 22 4.3.1. Kelembaban Udara ....................................................... 22 4.3.2. Curah Hujan.................................................................. 23 4.4. Prewhitening Deret Input dan Output .................................... 25 4.5. Menghitung Korelasi Silang ................................................... 25 4.6. Identifikasi Awal Model Fungsi Transfer ............................... 25 4.7. Identifikasi Model Sisaan ....................................................... 27 4.8. Pendugaan Akhir Parameter Model Fungsi Transfer ............... 27 4.9. Peramalan Model Fungsi Transfer .......................................... 28 BAB V KESIMPULAN DAN SARAN ..................................................... 31 5.1. Kesimpulan ........................................................................... 31
x
5.2. Saran ..................................................................................... 31 DAFTAR PUSTAKA ................................................................................. 32 LAMPIRAN
xi
DAFTAR TABEL
Tabel 4.1 Nilai SBC dan AIC Kandidat Model ARIMA X t ........................ 23 Tabel 4.2 Nilai SBC dan AIC Kandidat Model ARIMA Y t ........................ 24 Tabel 4.3 Rekapitulasi Identifikasi Awal Model Fungsi Transfer ................. 26 Tabel 4.4 Perbandingan Peramalan Model Funsi Transfer dengan ARIMA ... 29
xii
DAFTAR GAMBAR
Gambar 3.1 Alur Penelitian .......................................................................... 18 Gambar 4.1 Plot Yt Stasioner ........................................................................ 21 Gambar 4.2 Plot X t Stasioner......................................................................... 21 Gambar 4.3 Plot ACF Deret Input x t ............................................................ 22 Gambar 4.4 Plot PACF Deret Input x t ........................................................... 22 Gambar 4.5 Plot ACF Deret Output y t................................................................................................. 23 Gambar 4.6 Plot PACF Deret Output y t ........................................................ 24 Gambar 4.7 Plot Hasil Fungsi Transfer, ARIMA dan Aktual......................... 30
xiii
BAB I PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang Negara Indonesia merupakan negara dengan iklim tropis dan memiliki dua musim, musim kemarau dan musim penghujan. Musim penghujan berperan dalam menunjang berlangsungnya proses kehidupan masyarakat Indonesia, seperti produksi
pertanian, perkebunan, perikanan, penerbangan, dan sebagainya.
Informasi tentang banyaknya curah hujan adalah salah satu unsur penting dan besar pengaruhnya terhadap segala macam aktifitas tersebut. Curah hujan adalah endapan atau deposit air dalam bentuk cair maupun padat yang berasal dari atmosfer. Curah hujan mencangkup tetes hujan, salju, batu es, dan embun. Salah satu faktor yang mempengaruhi curah hujan adalah kelembaban udara. Kelembaban udara adalah ukuran banyaknya uap air di udara [3]. Prakiraan curah hujan dengan segala bentuk analisis dan informasi yang dihasilkan besar dampaknya guna membantu dan menunjang kegiatan sosial ekonomi di Indonesia. Banyak metode dalam statistika yang dapat digunakan dalam melakukan peramalan suatu deret waktu, salah satunya adalah fungsi transfer. Model fungsi transfer merupakan salah satu cara untuk menyelesaikan masalah bila terdapat lebih dari satu data deret waktu dan terdapat hubungan sebab akibat. Model fungsi transfer adalah suatu model peramalan deret waktu berganda yang
1
1
menggabungkan beberapa karakteristik model-model ARIMA univariat dengan beberapa karakteristik analisis regresi [4]. Berdasarkan
uraian
diatas
maka
penulis
mengambil
judul
PERBANDINGAN MODEL FUNGSI TRANSFER DAN ARIMA STUDI KASUS MODEL ANTARA CURAH HUJAN DENGAN KELEMBABAN UDARA.
1.2. Perumusan Masalah Berdasarkan latar belakang permasalahan di atas, maka dapat dirumuskan permasalahan sebagai berikut: 1.
Bagaimana model peramalan curah hujan berdasarkan kelembaban udara dengan menggunakan model fungsi transfer?
2.
Berapa besar ramalan curah hujan berdasarkan model yang telah diperoleh?
3.
Bagaimana perbandingan hasil peramalan model fungsi transfer dengan model ARIMA?
1.3. Pembatasan Masalah Permasalahan pada skripsi ini dibatasi pada pembuatan model peramalan curah hujan berdasarkan kelembaban udara dengan menggunakan model fungsi transfer. Dengan pembuatan model fungsi transfer ini diharapkan dapat diketahui besarnya ramalan curah hujan berdasarkan model yang telah diperoleh selama 12 bulan, di Stasiun Klimatologi Pondok Betung.
2
1.4. Tujuan Penelitian Tujuan dari penelitian ini adalah: 1.
Mendapatkan model peramalan curah hujan berdasarkan kelembaban udara dengan menggunakan model fungsi transfer.
2.
Memperoleh ramalan curah hujan berdasarkan model yang telah diperoleh.
3.
Mendapatkan hasil perbandingan peramalan model fungsi transfer dengan model ARIMA.
1.5. Manfaat Penelitian Berikut adalah beberapa manfaat dari pemecah masalah yang dibahas dalam skripsi ini : 1.
Memberikan sumbangan pemikiran bagi BMKG dalam memprediksikan curah hujan di suatu daerah.
2.
Bagi penulis sangat bermanfaat dalam menerapkan ilmu pengetahuan yang selama ini dipelajari dalam perkuliahan dan tentunya juga dapat menambah wawasan terutama dalam penggunaan statistika di bidang peramalan.
3.
Memberikan informasi curah hujan kepada masyarakat tentang keadaan suatu daerah.
3
BAB II LANDASAN TEORI
2.1. Curah Hujan Curah hujan adalah jumlah air hujan yang jatuh di permukaan tanah selama periode tertentu diukur dalam satuan tinggi di atas permukaan horizontal apabila tidak terjadi penghilangan oleh proses penguapan, pengaliran dan peresapan. Satuan yang digunakan adalah millimeter. Bagi bidang meteorologi pertanian, curah hujan dikumpulkan berdasarkan periode harian atau setiap periode 24 jam yang diukur setiap pagi hari. Dari data harian dapat dihimpun data curah hujan mingguan, sepuluh harian (dasarian), bulanan, tahunan, dan sebagainya [6]. Menurut pengertian klimatologi, satu hari hujan adalah periode 24 jam di mana terkumpul curah hujan setinggi 0.5 mm atau lebih. Kurang dari ketentuan ini hujan dinyatakan nol, meskipun tinggi curah hujannya tetap diperhitungkan. Curah hujan di suatu daerah tidaklah selalu sama dengan di daerah lain. Ada suatu daerah yang pada akhir tahun hujannya mulai meningkat tinggi dan mencapai puncaknya dan pertengahan tahun mencapai titik terendahnya. Sebaliknya, di daerah lain pada akhir tahun hujannya mencapai titik terendah, sedangkan pada pertengahan tahun mencapai titik tertingginya [3]. Rata-rata curah hujan di Indonesia untuk setiap tahunnya tidak sama. Namun masih tergolong cukup banyak, yaitu rata-rata 2000 – 3000 mm/tahun. Begitu pula antara tempat yang satu dengan tempat yang lain rata-rata curah hujannya tidak sama.
4
4
Curah hujan menurut BMKG dibagi menjadi empat kelompok, yaitu: 1.
Curah hujan rendah: 0-20mm, 21-50mm, 51-100mm.
2.
Curah hujan menengah: 101-150mm, 151-200mm, 201-300mm.
3.
Curah hujan tinggi: 301-400mm
4.
Curah hujan sangat tinggi: 401-500mm, >500mm.
2.2. ARIMA Metode ARIMA pertama kali diperkenalkan oleh Box dan Jenkins. Pada model ini terjadi proses Autoregressive (AR) berordo-p atau proses Moving Average (MA) berordo-q atau merupakan kombinasi keduanya. Pembeda berordod dilakukan jika data deret waktu tidak stasioner. Kebanyakan data deret waktu bersifat non stasioner, padahal aspek-aspek AR dan MA dari model ARIMA menghendaki data yang stasioner. Syarat utama dalam membuat model ARIMA adalah data bersifat stasioner, baik dalam rataan maupun ragam. Data dikatakan stasioner jika fluktuasi data berada di sekitar nilai yang konstan (stasioner dalam rataan) dan ragam dari fluktuasi tersebut tetap konstan dari waktu ke waktu (stasioner dalam ragam) [1]. Bentuk umum model ARIMA (p,d,q) adalah sebagai berikut :
φ p ( B)∇ d X t = µ + θ q ( B)et
2.1
dengan:
µ
= konstanta
et
= sisaan pada waktu ke-t
∇d
= operator pembedaan dengan derajat pembeda d
5
φ p ( B) = 1 − φ1 B 1 − φ 2 B 2 − ⋅ ⋅ ⋅ − φ p B p merupakan polinomial karakteristik AR θ q ( B) = 1 − θ1 B 1 − θ 2 B 2 − ⋅ ⋅ ⋅ − θ q B q merupakan polinomial karakteristik MA Memasukkan faktor musiman (S) ke dalam model akan dapat mereduksi besarnya sisaan yang disebabkan oleh fakor musiman. Bentuk umum dari model campuran dengan faktor musiman adalah ARIMA (p,d,q)(P,D,Q)s :
φ p ( B)Φ Ps ( B)∇ d ∇ sD X t = µ + θ q ( B)Θ Qs ( B)et
2.2
dengan:
µ
= konstanta
et
= sisaan pada waktu ke-t
s
= banyaknya pengamatan deret waktu dalam satu musim
∇d
= operator pembedaan dengan derajat pembeda d
φ p ( B) = 1 − φ1 B 1 − φ 2 B 2 − ⋅ ⋅ ⋅ − φ p B p merupakan polinomial karakteristik AR θ q ( B) = 1 − θ1 B 1 − θ 2 B 2 − ⋅ ⋅ ⋅ − θ q B q merupakan polinomial karakteristik MA Φ Ps (B) = merupakan polinomial karakteristik AR musiman Θ Qs (B) = merupakan polinomial karakteristik MA musiman ∇ sD = (1 − B s ) D merupakan operator pembedaan musiman dengan pembedaan
derajat D
2.3. Fungsi Transfer Fungsi Transfer merupakan salah satu metode peramalan yang digunakan pada data deret waktu yang terhubung dengan satu atau lebih deret waktu lainnya.
6
Metode yang digunakan dalam moedel fungsi transfer adalah penggabungan pendekatan deret berkala dengan pendekatan kausal [4]. Deret waktu X t memberikan pengaruhnya kepada deret waktu Yt melalui fungsi transfer, yang mendistribusikan dampak X t melalui beberapa periode yang akan datang. Model yang dihasilkan disebut model fungsi transfer, yang menghubungkan deret output ( Yt ), deret input ( X t ), dan noise ( nt ) [4]. Fungsi transfer digunakan untuk meramal nilai yang akan datang dari suatu deret output ( Yt ) berdasarkan nilai yang lalu dari deret output tersebut dan deret-deret lain yang berhubungan (secara umum disebut deret input ( X t )). Fungsi transfer memetekan deret input X t ke deret output Yt dimana X t merupakan input yang terkendali. Tetapi pada kenyataannya input ini biasanya tidak terkendali. Upaya untuk mengatasi hal ini adalah melakukan pemutihan yaitu penghilangan seluruh pola yang diketahui sehingga yang berpengaruh hanyalah galat acak. Untuk mempertahankan hubungan fungsional fungsi transfer maka transformasi pemutihan yang dilakukan terhadap deret input haruslah dilakukan pula terhadap deret output.
2.3.1. Bentuk Dasar Model Fungsi Transfer Model fungsi transfer bivariat ditulis dalam dua bentuk umum. Bentuk pertama adalah sebagai berikut: Yt = v( B ) X t + N t ,
2.3
dengan:
7
Yt = deret output X t = deret input N t = pengaruh kombinasi dari seluruh faktor yang mempengaruhi Yt (disebut “gangguan”) v(B) = (v0 + v1 B + v 2 B 2 + ... + v k B k ) , v adalah respons impuls di mana k adalah
order fungsi transfer. Deret input dan output harus ditransformasikan dengan tepat (untuk mengatasi varian yang nonstasioner), dibedakan (untuk mengatakan nilai tengah yang nonstasioner) dan mungkin perlu dihilangkan unsur musimannya. Jadi X t dan Yt (dan juga N t ) pada persamaan (2.3) harus diingat sebagai nilai yang telah ditransformasikan bukan dalam bentuk data mentah. Orde dari fungsi transfer adalah k (menjadi orde tertinggi untuk proses pembedaan) dan ini kadang-kadang dapat lebih besar (dan oleh karena itu tidak terlalu dibatasi). Karena alasan-alasan ini, model fungsi transfer juga ditulis sebagai berikut:
ω ( B) x t − b + nt , δ ( B)
2.4
ω ( B) θ ( B) xt −b + at , δ ( B) φ ( B)
2.5
yt = atau
yt = dengan :
ω (B) = ω 0 − ω1 B − ω 2 B 2 − ⋅ ⋅ ⋅ − ω s B s , δ (B) = 1 − δ 1 B − δ 2 B 2 − ⋅ ⋅ ⋅ − δ r B r ,
8
θ (B) = 1 − θ1 B − θ 2 B 2 − ⋅ ⋅ ⋅ − θ q B q ,
φ (B) = 1 − φ1 B − φ 2 B 2 − ⋅ ⋅ ⋅ − φ p B p , y t = nilai Yt yang telah ditransformasikan dan dibedakan xt = nilai X t yang telah ditransformasikan dan dibedakan at = nilai gangguan random, r,s,p,q, dan b konstanta
2.3.2. Identifikasi Model Fungsi Transfer 1.
Mempersiapkan Deret Input dan Output Model ARIMA memperbolehkan pembedaan suatu deret berkala (time
series) sehingga proses AR dan MA dapat didefinisikan sebagai data yang stasioner. Dengan kata lain, apabila data mentah tidak stasioner, maka biasanya data tersebut dibedakan terlebih dahulu untuk menghilangkan ketidakstasioneran. Keadaan ini juga dapat digunakan untuk model umum MARIMA. Jadi, di dalam pemodelan fungsi transfer perlu mentransformasi dan/atau membedakan deretderet input dan output, terutama apabila terdapat ketidakstasioneran [4]. 2.
Pemutihan Deret Input Tahap pemutihan deret input merupakan proses transformasi deret yang
berkorelasi menuju perilaku white noise yang tidak berkorelasi. Proses pemutihan ini menggunakan model ARIMA untuk deret input. Oleh karena itu, sebelum proses pemutihan, dibangun terlebih dahulu model ARIMA bagi xt .
9
Misalkan jika deret input xt dimodelkan sebagai proses ARIMA (p x ,0,q x ), maka deret ini memiliki model:
φ x ( B) xt = θ x ( B)α t
2.6
Di mana φ x (B) adalah operator autoregresif, θ x (B) adalah operator moving average dan α t adalah kesalahan random, yaitu white noise. Dengan demikian deret input yang telah mengalami pemutihan ( α t ) adalah:
αt =
φ x ( B) xt θ x ( B)
2.7
dengan:
αt
= Deret input yang diputihkan
φ x (B) = Operator Autoregresif
θ x (B) = Operator Moving Avarage xt 3.
= Deret input yang stasioner Pemutihan Deret Output Fungsi transfer merupakan proses pemetaan xt terhadap y t . Sehingga
apabila diterapkan suatu proses pemutihan terhadap xt , maka transformasi yang sama juga harus diterapkan y t agar dapat mempertahankan integritas hubungan fungsional. Sehingga deret output yang telah ditransformasi ( β t ) adalah:
βt =
φ x ( B) yt . θ X ( B)
2.8
dengan:
10
βt
= Deret input yang diputihkan
φ x (B) = Operator Autoregresif
θ x (B) = Operator Moving Avarage yt 4.
= Deret output yang stasioner Penghitungan Korelasi Silang antara Deret Input dan Output yang Telah Diputihkan Fungsi korelasi antara α t dan β t pada lag ke-k adalah: rαβ (k ) =
Cαβ (k ) Sα S β
, k = 0,±1,±2,±3,....
2.9
dengan: rα t β t (k ) = korelasi silang antara α t dan β t pada lag ke-k
Cα t β t (k ) = kovarian antara α t dan β t pada lag ke-k Sα
= simpangan baku deret α t
Sβ
= simpangan baku deret β t
5.
Menentukan nilai b, s, r Konstanta b, r, dan s ditentukan berdasarkan pola fungsi korelasi silang
antara α t dan β t . Cara menentukan nilai b, s, dan r adalah : a. Korelasi silang berbeda nyata dengan nol untuk pertama kalinya pada lag ke-b. b. Untuk s dilihat dari lag berikutnya yang mempunyai pola yang jelas atau lama x mempengaruhi y setelah nyata yang pertama. c. Nilai r mengindikasikan berapa lama deret output (yt) berhubungan dengan nilai yang terdahulu dari deret output itu sendiri.
11
2.3.3. Penaksiran Parameter-parameter Model 1.
Pendugaan awal parameter δ dan ω Penduga awal parameter fungsi transfer yaitu δˆ = (δ 1 , δ 2 ,..., δ r ) dan
ωˆ = (ω 0 , ω1 ,..., ω s ) dicari dengan memanfaatkan persamaan berikut ini: vj = 0
untuk j < b ,
v j = δ 1v j −1 + ⋅ ⋅ ⋅ + δ r v j − r + ω 0
untuk j = b ,
v j = δ 1v j −1 + ⋅ ⋅ ⋅ + δ r v j − r − ω j −b
untuk j = b + 1,..., b + s ,
v j = δ 1v j −1 + ⋅ ⋅ ⋅ + δ r v j − r
untuk j > b + s .
Taksiran awal model dilakukan dengan melihat pola korelasi silang antara
α t dan β t . Sehingga identifikasi awal dari model fungsi transfer adalah : y t = v0 xt + v1 xt −1 + v 2 xt − 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + v g xt − g + nt
2.10
dengan: nt =deret noise v g = bobot respon impuls
xt =deret input yang stasioner y t =deret output yang stasioner 2.
Identifikasi Model Deret Gangguan Taksiran
bobot
impuls
yang
diperlihatkan
memungkinkan
untuk
menghitung taksiran awal komponen noise dari model fungsi transfer. nt = y t − v0 xt − v1 xt −1 − v 2 xt − 2 − ⋅ ⋅ ⋅ − v g xt − g
2.11
12
Sesudah menggunakan persamaan 2.11 untuk mengukur deret gangguan, kemudian nilai-nilai n t dianalisis dengan cara ARIMA biasa untuk menentukan apakah terdapat model ARIMA (p, 0, q), untuk mendapatkan
φ n ( B ) nt = θ n ( B ) a t 3.
2.12
Taksiran Akhir Parameter Model Fungsi Transfer Taksiran awal parameter merupakan nilai awal pada logaritma pendugaan
kuadrat terkecil nonlinier untuk membentuk penduga akhir parameter model yang dilakukan secara iteratif. Proses diulang sampai kekonvergenan dicapai. Iterasi akan berhenti jika jumlah kuadrat galatnya mencapai nilai minimum. Pada prosedur SAS, pendugaan akhir parameter ini menggunakan Metode Kuadrat Terkecil (Least Squares Methods).
2.3.4. Pemeriksaan Diagnostik Pada Model Pemeriksaan kesesuian model dilakukan dengan melihat perilaku sisaan (a t ) dan korelasi silang contoh (SCC) antara a t dan α t (sisaan dan input). Keacakan sisaan serta tidak adanya nilai SCC yang berbeda nyata dengan nol menunjukkan model sudah sesuai. Uji statistik Q Box-Pierce dapat diaplikasikan untuk menguji kebebasan sisaan dan tidak adanya korelasi antara input dan sisaan, dengan rumus sebagai berikut: m
χ (2df ) = n∑ r 2 (k ),
2.13
k −1
13
dengan:
n
= jumlah pengamatan
m
= waktu tunda terbesar yang diperhatikan
r (k ) = autokorelasi untuk waktu tunda k df
= derajat bebas = m − p − q
2.3.5. Peramalan Menggunakan Model Fungsi Transfer Peramalan dihitung dengan menggunakan persamaan: yt =
θ q ( B) ω s ( B) xt −b + at δ r ( B) φ p ( B)
dengan memasukkan nilai-nilai parameter fungsi transfer dan nilai deret input dan output yang didapat dari langkah-langkah sebelumnya. Kriteria pemilihan model biasanya menggunakan Schwarz’s Bayesian Criterion (SBC) atau disebut juga Bayesian Information Criterion (BIC) adalah kriteria untuk memilih model. SBC merupakan kriteria pemilihan model berdasarkan fungsi kemungkinan maksimum. SBC didefinisikan sebagai : n ln(σˆ a2 ) + M ln n , dimana σˆ a2 adalah penduga dari σ a2 , M banyaknya parameter
dalam model, dan n banyaknya sisaan yang dapat dihitung dari suatu deret. Model terbaik adalah model dengan nilai SBC minimum [7]. SBC dibentuk untuk menyeleksi model dan memilih nilai parameter yang sebenarnya setepat mungkin. Sementara Akaike Information Criterion (AIC) cenderung dari SBC, dimana AIC dapat didefinisikan sebagai : n ln σˆ a2 + 2 M . Untuk data yang besar SBC lebih baik serta lebih konsisten.
14
Setelah melakukan peramalan, ketepatan peramalan dapat dicari dengan menghitung MAPE (Mean Absolute Percentage Error), dengan rumus sebagai berikut : n
MAPE =
∑ t −1
xt − f t xt n
× 100
2.14
dengan x t adalah pengamatan pada waktu ke-t dan f t adalah ramalan pada waktu ke-t. Semakin kecil nilai MAPE menunjukkan data hasil peramalan semakin mendekati nilai aktual [9].
15
BAB III METODOLOGI PENELITIAN
3.1
Metode Pengumpulan Data Data yang penulis gunakan dalam penulisan Skripsi ini merupakan data
sekunder, yakni data tentang jumlah curah hujan dan kelembaban udara pada Stasiun Klimatologi Pondok Betung periode 1997 – 2008. Penelitian ini dilaksanakan selama 1 bulan, dimulai pada tanggal 2 Februari 2009 sampai dengan 2 Maret 2009. Penelitian berlokasi di kantor Balai Besar Meteorologi, Klimatologi, dan Geofisika Wilayah II, Jl. Kp. Bulak Raya No. 5 Cempaka Putih
Ciputat
Kabupaten Tangerang. Data yang diperoleh tepatnya berasal dari Sub Bidang Manajemen Data.
3.2
Metode Pengolahan Data Pengolahan data dilakukan dengan menggunakan metode fungsi transfer
untuk mendapatkan hasil peramalan curah hujan, dengan tahapan pengolahan sebagai berikut: a. Mempersiapkan deret output dan deret input (penstasioneran data). Tahap ini mengidentifikasikan apakah deret input dan deret output sudah stasioner baik dalam rataan maupun dalam ragam. Jika data tidak stasioner maka dilakukan pembedaan dan transformasi untuk menghilangkan ketidakstasioneran,
16
16
Yt : Curah hujan (deret output) X t : Kelembaban udara (deret input) b. Identifikasi model ARIMA untuk seluruh peubah. Identifikasi model ARIMA dilakukan dengan memperhatikan beberapa nilai awal dan periode musiman dari korelasi diri dan korelasi diri parsialnya yang tidak nol, serta pola dari plot ACF dan plot PACFnya. c. Prewhitening deret input (kelembaban udara) dan deret output (curah hujan). Prewhitening/pemutihan deret input dan deret output maksudnya adalah untuk menghilangkan seluruh pola yang diketahui supaya yang tertinggal hanya white noise. d. Menghitung korelasi silang antara Deret Input dan Deret Output. Menghitung korelasi silang antara deret input dan deret output maksudnya adalah untuk mencari hubungan antara kelembaban udara dengan curah hujan. e. Identifikasi awal model fungsi transfer. Identifikasi awal model dilakukan dengan melihat pola korelasi silang antara α t (pemutihan deret input) dan β t (pemutihan deret output). f. Identifikasi model sisaan. Identifikasi model sisaan dilakukan dengan melihat plot ACF dan PACF dari identifikasi awal model fungsi transfer. g. Identifikasi Akhir Parameter Model Fungsi Transfer. Identifikasi akhir parameter model fungsi transfer dilakukan dengan mengkombinasikan model awal dengan sisaannya. h. Meramalkan jumlah Curah Hujan dengan menggunakan model terbaik. i. Membandingkan hasil peramalan model fungsi transfer dengan model ARIMA
17
3.3
Alur Penelitian Alur penelitian dijelaskan pada Gambar 3.1 berikut: Deret waktu Xt dan Yt Transformasi dan Pembedaan (xt dan yt)
Model ARIMA yt
Model ARIMA xt Prewhitening xt (αt) Prewhitening yt (βt) Korelasi Silang αt dan βt Identifikasi awal nilai b, r, dan s Identifikasi awal model sisaan Pendugaan Parameter Fungsi Transfer Diagnostik Model
Parameter nyata & asumsi terpenuhi?
Tidak
Ya Peramalan Transfer
Peramalan ARIMA yt
Gambar 3.1 Alur Penelitian
18
Gambar 3.1 merupakan gambar alur penelitian yang menjelaskan proses alur penelitian yang dapat dijelaskan sebagai berikut : Data deret waktu yang telah diperoleh berupa variabel input atau X t yaitu kelembaban udara dan variabel output atau Yt yaitu curah hujan. Tahap pertama terlebih dahulu mempersiapkan deret input dan deret output, setelah itu deret input dan output dilakukan transformasi ataupun pembedaan untuk mendapatkan data yang stasioner. Setelah deret input telah stasioner (x t ), lalu tentukan model ARIMA dan pemutihan atau prewhitening (α t ). Hal serupa juga dilakukan terhadap deret output yang telah stasioner (y t ). Deret output yang telah di prewhitening(β t ) lalu dikorelasi silang terhadap deret input yang telah di prewhitening (α t ). Selanjutnya, penerapan korelasi silang dari hasil prewhitening dari kedua variabel tersebut, untuk menentukan nilai r, s, dan b yang berguna dalam identifikasi model awal sisaan. Berikutnya adalah menduga parameter untuk model fungsi transfer sebelum dilakukan tahap diagnostik model. Jika parameter dan asumsi telah terpenuhi, maka selanjutnya dapat dilakukan peramalan dengan menggunakan Model Fungsi Transfer yang telah diperoleh [4]. Sementara itu setelah dapat model ARIMA untuk deret output dan telah memenuhi semua asumsinya, maka deret output bisa dilakukan peramalan. Setelah itu hasil peramalan dari Model Fungsi Transfer dan ARIMA dibandingkan untuk mendapatkan peramalan terbaik.
19
BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN
Setelah dilakukan pengumpulan data, maka pada bab ini dilakukan pengolahan dan analisa terhadap data tersebut. Pengolahan dan analisa dilakukan dengan pendefinisian variabel terdahulu. Pengolahan dan analisa dijabarkan sebagai berikut: 4.1
Eksplorasi Data Data yang digunakan adalah data curah hujan bulanan tahun 1998 sampai
dengan 2008 dan data kelembaban udara bulanan tahun 1998 sampai dengan 2007 Stasiun Klimatologi Pondok Betung (Lampiran 1). Berdasarkan Lampiran 2, ternyata curah hujan dan kelembaban udara memiliki nilai-p korelasi sebesar 0.736, menunjukkan bahwa kelembaban udara memilki hubungan yang kuat dengan curah hujan. Curah hujan tertinggi terdapat pada bulan Februari 2007 mencapai 831.40 mm dan terendah pada bulan September 2006 mencapai 0.20 mm. Sedangkan kelembaban udara tertinggi pada bulan Februari 2002 mencapai 89.13% dan terendah pada bulan September dan Oktober 2006 mencapai 65.33% (Lampiran 3).
4.2
Mempersiapkan Deret Output dan Deret Input (Penstasioneran Data) Data deret waktu memerlukan transformasi dan pembedaan untuk mencapai
kestasioneran data. Transformasi diperlukan agar stasioner dalam ragam,
20
20
sedangkan pembedaan agar deret stasioner dalam rataan. Plot data asli pada Lampiran 4 dan plot ACF serta PACF pada Lampiran 5 menunjukkan bahwa data tidak stasioner. Berikut ini adalah gambar plot yang telah stasioner: Time Series Plot of Differencing Curah Hujan
Differencing Curah Hujan
500
250
0
-250
-500 1
12
24
36
48
60 Index
72
84
96
108
120
Gambar 4.1 Plot y t Stasioner. Gambar 4.1 menunjukkan bahwa dengan pembedaan satu kali pada musiman (D=12) telah dapat menghasilkan deret output curah hujan yang stasioner y t . Time Series Plot of Differencing Kelembaban Udara
Differencing Kelembaban Udara
10
5
0
-5
-10
-15 1
12
24
36
48
60 Index
72
84
96
108
120
Gambar 4.2 Plot xt Stasioner. Gambar 4.2 juga menunjukkan bahwa dengan pembedaan satu kali pada musiman (D=12) telah dapat menghasilkan deret input kelembaban udara yang stasioner
xt .
21
4.3
Identifikasi Model ARIMA Identifikasi model ARIMA dilakukan dengan memperhatikan beberapa nilai
awal dan periode musiman dari korelasi diri dan korelasi diri parsialnya yang tidak nol, serta pola dari plot ACF dan plot PACFnya. 4.3.1 Kelembaban Udara Plot ACF dan PACF dari deret input x t yang telah stasioner, dapat dilihat pada Gambar 4.3 dan 4.4. Autocorrelation Function for Differencing Kelembaban Udara (with 5% significance limits for the autocorrelations)
1.0 0.8
Autocorrelation
0.6 0.4 0.2 0.0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1.0 2
4
6
8
10
12
14 Lag
16
18
20
22
24
26
Gambar 4.3 Plot ACF Deret Input x t . Partial Autocorrelation Function for Differencing Kelembaban Udara (with 5% significance limits for the partial autocorrelations)
1.0
Partial Autocorrelation
0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1.0 2
4
6
8
10
12
14 Lag
16
18
20
22
24
26
Gambar 4.4 Plot PACF Deret Input x t . Gambar 4.3 dan 4.4 mununjukkan bahwa Plot ACF dan PACF dari deret input x t yang telah stasioner, masing-masing nyata pada lag 1 dan 12.
22
Pengecekan dengan beberapa nilai α menghasilkan kandidat model pada Tabel 4.1. Tabel 4.1 Nilai SBC dan AIC Kandidat Model ARIMA X t Model ARIMA (1,0,0)(0,1,1)12 ARIMA (0,0,1)(1,1,0)12 ARIMA (1,0,1)(0,1,0)12 ARIMA (0,0,0)(1,1,1)12
SBC 592.6676 603.8456 629.193 606.9392
AIC 587.3033 598.4813 623.8287 601.5754
Tabel 4.1 menunjukkan bahwa model ARIMA (1,0,0)(0,1,1)12 merupakan model terbaik karena memiliki nilai AIC dan SBC terkecil dibandingkan dengan model ARIMA lainnya dan seluruh koefisien parameternya nyata (Lampiran 6). Selain itu, pengujian Box-Pierce menunjukkan bahwa nilai korelasi diri sisaan tidak nol (α = 0,05) untuk semua lagnya. Hal ini berarti sisaan tidak saling berkorelasi.
Sehingga model ARIMA kelembaban udara yang diperoleh adalah:
(1 − 0,38143B)(1 − B 12 ) X t = (1 − 0,62866 B 12 )α t 4.3.2 Curah Hujan Berikut ini merupakan Gambar Plot ACF dan PACF dari deret output y t yang telah stasioner. Autocorrelation Function for Differencing Curah Hujan (with 5% significance limits for the autocorrelations)
1.0 0.8
Autocorrelation
0.6 0.4 0.2 0.0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1.0 2
4
6
8
10
12
14 Lag
16
18
20
22
24
26
Gambar 4.5 Plot ACF Deret Output y t .
23
Partial Autocorrelation Function for Differencing Curah Hujan (with 5% significance limits for the partial autocorrelations)
1.0
Partial Autocorrelation
0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1.0 2
4
6
8
10
12
14 Lag
16
18
20
22
24
26
Gambar 4.6 Plot PACF Deret Output y t . Gambar 4.5 dan 4.6 mununjukkan bahwa Plot ACF dan PACF dari deret output
y t yang telah stasioner, masing-masing nyata pada lag 12. Pengecekan dengan beberapa nilai α menghasilkan kandidat model pada Tabel 4.2. Tabel 4.2 Nilai SBC dan AIC Kandidat Model ARIMA Yt Model ARIMA (0,0,0)(1,1,0)12 ARIMA (0,0,0)(0,1,1)12 ARIMA (1,0,0)(0,1,0)12 ARIMA (0,0,1)(0,1,0)12
SBC 1356.536 1348.831 1391.734 1391.734
AIC 1353.854 1346.149 1389.052 1389.052
Tabel 4.2 menunjukkan bahwa model ARIMA (0,0,0)(0,1,1)12 merupakan model terbaik karena memiliki nilai AIC dan SBC terkecil dibandingkan dengan model ARIMA lainnya dan seluruh koefisien parameternya nyata (Lampiran 7). Selain itu, pengujian Box-Pierce menunjukkan bahwa nilai korelasi diri sisaan tidak nol (α = 0,05) untuk semua lagnya. Hal ini berarti sisaan tidak saling berkorelasi.
Sehingga model ARIMA curah hujan yang diperoleh adalah :
(1 − B 12 )Yt = (1 − 0,72649 B 12 )α t
24
4.4
Prewhitening Deret Input dan Output Tahap prewhitening dilakukan berdasarkan model ARIMA untuk data
kelembaban udara (deret input). Dalam tahap ini digunakan unsur white noise model tersebut. Dengan demikian model prewhitening untuk deret input x t adalah :
αt = Prewhitening deret
(1 − 0,38143B) xt (1 − 0,62866 B 12 )
yt
output
diperoleh dengan cara melakukan
transformasi yang sama dengan deret input x t , sehingga model prewhitening untuk deret output y t adalah :
βt = 4.5
(1 − 0,38143B) yt (1 − 0,62866 B 12 )
Menghitung Korelasi Silang Peubah output dan peubah input yang telah melalui proses prewhitening
untuk memperoleh α t dan β t dihitung korelasi silangnya. Korelasi silang menunjukkan hubungan antara kelembaban udara dengan curah hujan. Dari pola korelasi silang yang dihasilkan akan digunakan untuk mengidentifikasi model fungsi transfer (b, s, r ). Hasil korelasi silang antara α t dan β t dapat dilihat pada Lampiran 8.
4.6
Identifikasi Awal Model Fungsi Transfer Identifikasi awal model dilakukan dengan melihat pola korelasi silang
antara α t dan β t . Untuk nilai b ditentukan berdasarkan lag yang nyata pertama
25
kali pada pola korelasi silangnya, sehingga nilai b=0. Selanjutnya untuk mendapatkan nilai s dilihat berapa lama nilai x t mempengaruhi y t setelah nyata yang pertama. Berdasarkan keterangan diatas, identifikasi awal model fungsi transfer memiliki nilai b=0, s=1, dan r=1. Untuk mendapatkan model yang terbaik dilakukan pemeriksaan kandidat model lainnya. Berdasarkan Tabel 4.3, dapat diketahui model nomor 1, 2 dan 3 menunjukkan bahwa seluruh koefisien parameternya tidak nol. Nilai AIC dan SBC terkecil terdapat pada model nomor 3 dengan nilai b=0, s=1, dan r =0. Sehingga identifikasi awal dari model fungsi transfer adalah:
y t = (22,79758 − 0,26893B 1 ) x t + nt hasil pemodelan tersebut dapat dilihat pada Lampiran 9. Tabel 4.3 Rekapitulasi identifikasi awal model fungsi transfer No 1
Nilai b,s dan r (0,0,0)
2
(0,0,1)
3
(0,1,0)
4
(0,1,1)
5
(0,2,1)
6
(0,1,2)
7
(0,2,2)
Parameter ω0 ω0 ω1 ω0 ω1 ω0 ω1 δ1 ω0 ω1 ω2 δ1 ω0 ω1 δ1 δ2 ω0
Nilai-t 8,64 8,85 -2,21 8,86 2,6 8,72 0,72 0,04 8,53 0,19 -0,12 0,13 8,88 -0,78 -1,31 -1,68 8,16
SBC 1297,072
AIC 1294,418
1284,946
1279,658
1284,29
1279,001
1288,932
1280,999
1282,152
1271,613
1281,157
1270,618
1285,481
1272,307
26
ω1 ω2 δ1 δ2
4.7
-0,33 -0,83 -0,81 -1,59
Identifikasi Model Sisaan Model yang didapatkan dari identifikasi awal model fungsi transfer yaitu:
y t = (22,79758 − 0,26893B) x t + nt , sehingga untuk memperoleh nilai nt adalah:
nt = y t − 22,79758 x t + 0,26893Bxt Identifikasi awal model fungsi transfer menghasilkan plot ACF dan PACF sisaan (Lampiran 10). Dari plot ACF dan PACF terindikasi lag turun secara cepat mendekati nol. Akan tetapi setelah dilakukan proses pencocokan model, diperoleh bahwa model ARIMA (0,0,0)(0,0,1)12 (Lampiran 11). Sehingga identifikasi awal untuk model sisaan adalah:
nt = (1 − θ 1 B 12 )a t
4.8
Pendugaan Akhir Parameter Model Fungsi Transfer Hasil pendugaan akhir model fungsi transfer dapat dilihat pada Lampiran
11. Plot ACF sisaan dan PACF sisaan tidak berbeda nyata dengan nol (Lampiran 12) mengindikasikan bahwa sisaan model saling bebas. Berdasarkan nilai korelasi diri sisaan (Lampiran 13), nilai sisaan dari model fungsi transfer saling bebas karena nilai korelasi diri sisaannya tidak berbeda nyata dengan nol (α = 0,05) .
27
Nilai korelasi silang antara input dengan sisaan juga tidak berbeda nyata dengan nol (α = 0,05) (Lampiran 14). Dengan pertimbangan uji parameter, korelasi diri sisaan, dan korelasi antara deret input dan sisaan, maka ditetapkan bahwa model akhir fungsi transfer adalah
y t = ω 0 x t −b − ω1 Bxt −b + (1 − θ 1 B 12 )a t y t = 20,54692 x t − 0,39602 Bxt + (1 − 0,63675 B 12 )a t
y t = 20,54692 x t − 0,39602 x t −1 + a t − 0,63675a t −12 Model fungsi transfer ini memiliki makna bahwa curah hujan dipengaruhi oleh kelembaban udara. Interaksi pengaruh acak kelembaban udara dan curah hujan dua belas bulan sebelumnya ikut menentukan periode mendatang. Model ini menunjukkan hubungan positif antara kelembaban udara dan curah hujan.
4.9
Peramalan Model Fungsi Transfer Untuk mengetahui keakuratan dan keefektifan perkiraan curah hujan
berdasarkan model yang diperoleh, dilakukan validasi model. Konsep dari validasi model adalah membandingkan antara data aktual dengan data peramalan yang diperoleh dari model yang dihasilkan. Perbandingan hasil peramalan antara model fungsi transfer, model ARIMA curah hujan dengan data aktual. Nilai MAPE hasil peramalan dengan model fungsi transfer adalah 106,82 sedangkan pada model ARIMA sebesar 123,32. Hasil peramalan selengkapnya dapat dilihat pada Tabel 4.4.
28
Tabel 4.4 Perbandingan Peramalan Model Fungsi Transfer dan Model ARIMA
Bulan
Peramalan Transfer
Data Aktual ARIMA
Januari
282.49
299.25
239.90
Februari
492.58
454.75
592.40
Maret
182.48
207.46
174.20
April
220.95
216.27
206.60
Mei
183.43
190.66
113.20
Juni
68.91
73.33
99.90
Juli
80.74
97.40
9.10
Agustus
56.28
59.43
53.10
September
90.66
92.64
68.50
Oktober
134.71
141.21
41.00
November
197.03
191.86
370.20
Desember
329.81
298.12
99.70
MAPE
106,82
123,32
Berdasarkan Tabel 4.4, diketahui bahwa data aktual curah hujan sangat berfluktuasi antar bulan sepanjang tahun 2008. Berdasarkan hasil MAPE yang diperoleh, dapat diketahui bahwa hasil peramalan model fungsi transfer lebih baik dibandingkan dengan model ARIMA curah hujan, dengan nilai MAPE yang lebih kecil.
29
Grafik hasil perbandingan peramalan model fungsi transfer dengan ARIMA dapat dilihat pada Gambar 4.7. 700 600 500 400 Transfer
300
ARIMA
200
Aktual
100 0
Gambar 4.7 Plot Hasil Transfer, ARIMA dan Aktual Gambar 4.7 memperlihatkan juga bahwa dengan model fungsi transfer lebih mendekati data aktual dibandingkan dengan model ARIMA. Perbedaan pola ini disebabkan karena pada model ARIMA curah hujan tidak ada unsur kelembaban udara dan interaksi pengaruh acak antara curah hujan dan kelembaban udara. Selain itu, model ARIMA hanya didasarkan pada satu pengamatan dalam suatu periode tertentu. Hal ini berarti dapat dikatakan model fungsi transfer lebih tepat digunakan sebagai peramalan curah hujan dari pada model ARIMA.
30
BAB V KESIMPULAN DAN SARAN
5.1
Kesimpulan Hasil
akhir
menunjukkan
bahwa
model
fungsi
transfer
y t = 20,54692 xt − 0,39602 xt −1 + at − 0,63675at −12 dapat menjelaskan hubungan curah hujan dengan kelembaban udara. Berdasarkan hasil MAPE yang diperoleh, dapat diketahui bahwa hasil peramalan model fungsi transfer lebih baik dibandingkan dengan model ARIMA curah hujan, dengan nilai MAPE yang lebih kecil.
5.2
Saran Penulis menyarankan untuk penelitian selanjutnya agar menggunakan lebih
banyak lagi variable input yang merupakan faktor-faktor berpengaruh terhadap curah hujan, sehingga dapat diperoleh model yang lebih baik. Penulis juga menyarankan untuk mengkaji kembali hubungan antara curah hujan dengan kelembaban udara dengan menggunakan metode deret waktu lainnya seperti metode VAR. Tidak terlepas kemungkinan diperoleh model baru yang lebih mampu menjelaskan hubungan keduanya.
31
31
DAFTAR PUSTAKA
[1]
Bowerman BL, Richard T.O’Connell. Forecasting and Time Series : an applied approach. 3rd edition. California : Wadsworth. 1993.
[2]
Cryer, JD. Time Series Analysis. Boston : Duxbury Press. 1986.
[3]
Effendy Manan, Moh. dkk. Alat Pengukur Cuaca di stasiun Klimatologi. Jurusan Geofisika dan Meteorologi FMIPA-IPB : Bogor.1986.
[4]
Makridaskis S, SC Wheelwright, VE Megee. Metode dan Aplikasi Peramalan. Erlangga : Jakarta.1999.
[5]
Montgomery DC, LA Johnson, JS Gardiner. Forecasting and Time Series Analysis. 2nd edition. Singapore : McGraw Hill. 1990.
[6]
Nasrulloh. Analisis Trend Curah Hujan Tahunan di Wilayah Bogor Jawa Barat [PKL]. UIN : Jakarta. 2009.
[7]
SAS Institute Inc. SAS/ETS User’s Guide, Version 9, First Edition. Cary, NC : SAS Institute Inc. 1988.
[8]
Surtono, Bagus. Kecenderungan Peranan Statistika di Masa Depan. IPB : Bogor. 2002.
[9]
ARIMA,http://www.wahana-statistika.com/analisis/analisis-timeseries/112-..., 28 Agustus 2010, Pukul 02.50 WIB.
32
32
LAMPIRAN 1. Data Curah Hujan Bulanan Tahun 1998 s.d 2008 Stasiun Klimatologi Pondok Betung (dalam mm)
Januari
1998 184,50
1999 279,80
2000 424,50
2001 272,20
2002 737,53
2003 177,00
2004 385,50
2005 329,40
2006 396,80
2007 140,50
2008 239,90
Februari
450,50
261,70
313,90
218,20
424,80
447,80
316,60
211,00
287,70
831,40
592,40
Maret
363,60
448,40
81,90
270,51
287,40
265,00
333,92
269,50
157,90
83,30
174,20
April
312,20
90,10
221,50
207,60
268,40
123,10
182,80
103,00
256,50
265,80
206,60
Mei
251,70
281,80
198,10
240,10
124,10
169,10
290,30
204,30
132,30
179,40
113,20
Juni
157,80
173,80
82,60
209,60
72,10
9,00
26,60
24,05
88,20
78,40
99,90
Juli
186,80
111,30
73,70
187,20
156,10
0,70
228,60
225,30
47,80
0,50
9,10
Agustus
150,90
112,50
110,60
11,10
4,00
5,20
23,00
157,30
6,20
65,40
53,10
September
156,30
67,00
37,10
98,70
16,30
231,90
27,00
143,30
0,20
128,80
68,50
Oktober
249,60
247,20
94,30
270,20
54,30
224,90
26,80
240,30
5,00
181,50
41,00
Nopember
77,30
193,00
241,10
149,20
175,80
254,50
220,80
206,70
98,90
250,80
370,20
Desember
142,90
252,00
119,70
165,70
275,20
262,30
207,20
126,40
336,00
484,80
99,70
Data Kelembaban Udara Bulanan Tahun 1998 s.d 2007 Stasiun Klimatologi Pondok Betung (dalam persen % )
Januari Februari Maret April Mei Juni Juli Agustus September Oktober Nopember Desember
1998 81,23 86,92 83,92 85,16 81,84 84,97 84,09 77,80 76,25 82,95 78,46 79,14
1999 88,02 88,08 82,86 77,53 82,69 78,93 77,19 72,06 69,63 80,25 83,22 84,87
2000 87,82 86,28 81,81 82,18 83,81 79,78 77,04 76,89 73,08 77,17 85,08 77,06
2001 85,11 86,88 86,57 85,39 82,12 81,92 79,17 73,98 78,02 83,65 83,44 76,61
2002 87,31 89,13 82,85 83,95 80,52 77,57 77,03 70,81 70,14 70,64 78,12 80,91
2003 78,23 87,28 85,23 79,43 78,31 72,97 70,88 69,76 72,17 77,44 82,09 85,06
2004 85,12 86,09 82,51 79,73 82,60 74,28 79,36 71,15 71,67 69,04 80,05 82,98
2005 85,45 84,86 83,19 78,78 78,08 82,41 76,19 76,18 74,58 78,77 79,76 83,19
2006 85,81 84,65 82,58 81,54 79,02 75,74 73,69 69,24 65,33 65,33 72,06 83,44
2007 76,70 85,71 80,53 83,96 80,03 78,54 72,13 69,47 69,94 75,22 78,08 84,52
LAMPIRAN 2. Korelasi Curah Hujan dengan Kelembaban Udara
Kelembaban_Udara Curah_Hujan Kelembaban_Udara
Pearson Correlation
.736**
1
Sig. (2-tailed)
.000
N Pearson Correlation Sig. (2-tailed) N
Curah_Hujan
120 .736** .000 120
120 1 120
LAMPIRAN 3. Statistik Deskriptif
Kelembaban_Udara Curah_Hujan Valid N (listwise)
N 120 120 120
Minimum Maximum 65.33 89.13 .20 831.40
Mean 795.503 194,02
LAMPIRAN 4. Plot Data Asli Curah Hujan dan Kelembaban Udara Time Series Plot of Curah Hujan 900 800 700
Curah Hujan
600 500 400 300 200 100 0 1
12
24
36
48
60 Index
72
84
96
108
120
96
108
120
Time Series Plot of Kelembaban Udara 90
Kelembaban Udara
85
80
75
70
65 1
12
24
36
48
60 Index
72
84
Std. Deviation 542.321 13.741.206
LAMPIRAN 5. Plot ACF dan PACF Data Asli Curah Hujan dan Kelembaban Udara Autocorrelation Function for Curah Hujan
Partial Autocorrelation Function for Curah Hujan (with 5% significance limits for the partial autocorrelations)
1.0
1.0
0.8
0.8
0.6
0.6
Partial Autocorrelation
Autocorrelation
(with 5% significance limits for the autocorrelations)
0.4 0.2 0.0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8
0.4 0.2 0.0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8
-1.0
-1.0 2
4
6
8
10
12
14
16 Lag
18
20
22
24
26
28
30
2
6
8
10
12
14
16 Lag
18
20
22
24
26
28
30
28
30
Partial Autocorrelation Function for Kelembaban Udara
Autocorrelation Function for Kelembaban Udara
(with 5% significance limits for the partial autocorrelations)
(with 5% significance limits for the autocorrelations)
1.0
1.0
0.8
0.8
0.6
0.6
Partial Autocorrelation
Autocorrelation
4
0.4 0.2 0.0 -0.2 -0.4 -0.6
0.4 0.2 0.0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8
-0.8
-1.0
-1.0 2
4
6
8
10
12
14
16 Lag
18
20
22
24
26
28
30
2
4
6
8
10
12
14
16 Lag
18
20
22
24
LAMPIRAN 6. Pendugaan Parameter Kelembaban Conditional Least Squares Estimation Standard Approx Parameter Estimate Error t Value Pr > |t|
Lag
MA1,1 AR1,1
12 1
0.62866 0.38143
0.08205 0.09013
7.66 4.23
Variance Estimate 13.22054 Std Error Estimate 3.636007 AIC 587.3033 SBC 592.6676 Number of Residuals 108
<.0001 <.0001
26
To Lag 6 12 18 24
ChiSquare 5.61 9.36 10.95 22.83
DF 4 10 16 22
Autocorrelation Check of Residuals Pr > ChiSq Autocorrelations 0.2304 -0.074 0.171 0.026 0.099 -0.061 0.028 0.4985 0.040 -0.015 -0.066 0.146 0.004 -0.060 0.8123 -0.025 -0.050 0.021 -0.056 0.017 0.073 0.4112 -0.220 0.152 -0.040 0.100 -0.025 0.066
LAMPIRAN 7. Pendugaan Parameter Curah Hujan
Conditional Least Squares Estimation Standard Parameter MA1,1
Approx
Estimate
Error
t Value
Pr > |t|
Lag
0.72649
0.07837
9.27
<.0001
12
Variance Estimate
15021.73
Std Error Estimate
122.5631
AIC
1346.149
SBC
1348.831
Number of Residuals
108
Autocorrelation Check of Residuals To Lag 6
ChiSquare 7.62
Pr > DF ChiSq 5 0.1787
12
18.50
11
0.0706
-0.021
18
21.81
17
0.1922
0.015
24
25.77
23
0.3117
-0.029
0.067
Autocorrelations 0.189 -0.008 -0.050 -0.149 0.036 -0.190
0.191 -0.100 -0.073
-0.052 -0.116 -0.083 0.104
0.008
0.046
-0.044
0.043 -0.025 0.095
0.078
LAMPIRAN 8. Korelasi Silang Curah Hujan dan Kelembaban Udara Crosscorrelations Lag
Covariance
Correlation
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
81.432793 -111.700 20.435046 -22.548765 -7.177949 -51.389346 57.530664 0.627990 63.218007 -67.169570 296.334 -150.665 88.718258 -45.617149 -11.020000 -49.763951 20.450479 -1.166490 34.661268 -55.304335 76.852552
0.17080 -.23428 0.04286 -.04729 -.01505 -.10778 0.12066 0.00132 0.13259 -.14088 0.62153 -.31600 0.18608 -.09568 -.02311 -.10437 0.04289 -.00245 0.07270 -.11599 0.16119
-1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |
. |***. *****| . . |* . . *| . . | . . **| . . |** . . | . . |***. .***| . . |************ ******| . . |**** . **| . . | . . **| . . |* . . | . . |* . . **| . . |***.
| | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |
LAMPIRAN 9. Pendugaan Awal Model Fungsi Transfer
Parameter SCALE1 NUM1,1
Conditional Least Squares Estimation Standard Approx Estimate Error t Value Pr > |t| Lag 22.79758 2.57307 8.86 <.0001 0 0.26893 0.10344 2.60 0.0107 1
Variance Estimate Std Error Estimate AIC SBC Number of Residuals
12596.39 112.2336 1279.001 1284.29 104
Variable X X
Shift 0 0
LAMPIRAN 10. Plot ACF dan PACF Deret Sisaan
Autocorrelation Plot of Residuals
Lag
Covariance
Correlation
-1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1
Std Error
0
12596.390
1.00000
|
1
-41.954338
-.00333
|
.
|
.
|
0.098058
2
1658.164
0.13164
|
.
|***.
|
0.098059
3
688.049
0.05462
|
.
|*
.
|
0.099744
4
-708.170
-.05622
|
.
*|
.
|
0.100031
5
-314.094
-.02494
|
.
|
.
|
0.100334
6
630.930
0.05009
|
.
|*
.
|
0.100394
7
784.365
0.06227
|
.
|*
.
|
0.100634
8
1056.990
0.08391
|
.
|** .
|
0.101004
9
-365.637
-.02903
|
.
.
|
0.101672
10
847.401
0.06727
|
.
.
|
0.101752
|********************|
*| |*
0
Partial Autocorrelations Lag
Correlation
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-0.00333 0.13163 0.05642 -0.07434 -0.04167 0.06609 0.08238 0.07077 -0.06189 0.04334
-1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 | | | | | | | | | |
. . . . . . . . . .
| . |***. |* . *| . *| . |* . |** . |* . *| . |* .
| | | | | | | | | |
LAMPIRAN 11. Hasil Pendugaan Akhir Model Fungsi Transfer
Parameter MA1,1 SCALE1 NUM1,1
Conditional Least Squares Estimation Standard Approx Estimate Error t Value Pr > |t| Lag 0.63675 0.09635 6.61 <.0001 12 20.54692 2.74687 7.48 <.0001 0 0.39602 0.12064 3.28 0.0014 1
Variable Y X X
Shift 0 0 0
Variance Estimate 9807.586 Std Error Estimate 99.03326 AIC 1253.95 SBC 1261.883 Number of Residuals 104
LAMPIRAN 12. Plot ACF dan PACF Sisaan Model Fungsi Transfer
Autocorrelation Plot of Residuals
Lag
Covariance
Correlation
-1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1
Std Error
0
9807.586
1.00000
|
1
-218.877
-.02232
|
.
|
.
|
0.098058
2
563.786
0.05748
|
.
|*
.
|
0.098107
3
-49.397266
-.00504
|
.
|
.
|
0.098430
4
-636.259
-.06487
|
.
*|
.
|
0.098433
5
-416.499
-.04247
|
.
*|
.
|
0.098843
6
1029.394
0.10496
|
.
|** .
|
0.099018
7
402.667
0.04106
|
.
|*
.
|
0.100082
8
10.001772
0.00102
|
.
|
.
|
0.100244
9
-799.260
-.08149
|
. **|
.
|
0.100244
|********************|
0
10
768.280
0.07834
|
.
|** .
|
0.100879
Partial Autocorrelations Lag
Correlation
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-0.02232 0.05702 -0.00256 -0.06857 -0.04521 0.11202 0.05164 -0.01619 -0.09615 0.09178
-1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 | | | | | | | | | |
. | . |* . | . *| . *| . |** . |* . | . **| . |**
. . . . . . . . . .
| | | | | | | | | |
LAMPIRAN 13. Statistik χ2 Box-Pierce Untuk Menguji Kebebasan Sisaan Model fungsi Transfer
To Lag 6 12 18 24
ChiSquare 2.32 4.83 8.50 10.70
DF 5 11 17 23
Autocorrelation Check of Residuals Pr > ChiSq --------------------Autocorrelations-------------------0.8037 -0.022 0.057 -0.005 -0.065 -0.042 0.105 0.9391 0.041 0.001 -0.081 0.078 -0.077 -0.032 0.9546 0.030 -0.154 -0.029 -0.039 -0.019 0.048 0.9861 0.001 -0.092 -0.040 -0.065 0.005 0.047
LAMPIRAN 14. Statistik χ2 Box-Pierce Untuk Menguji Kebebasan antara Input dan Sisaan
To Lag 5 11
Crosscorrelation Check of Residuals with Input X ChiPr > Square DF ChiSq --------------------Crosscorrelations------------------5.19 4 0.2687 0.042 -0.017 0.103 -0.024 -0.145 -0.125 8.74 10 0.5569 -0.024 -0.061 0.117 -0.023 0.060 -0.110
17 23
14.08 20.71
16 22
0.5925 0.5385
-0.027 -0.007
-0.127 -0.047
0.029 0.181
-0.175 -0.051 -0.048 -0.137
0.021 0.086
