PENYELESAIAN MAGIC SQUARE SEBAGAI PERMASALAHAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR (SPL)
RISMANTO FERNANDUS SIRINGO-RINGO
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2011
ABSTRAK RISMANTO FERNANDUS SIRINGO RINGO. Penyelesaian Magic Square Sebagai Permasalahan Sistem Persamaan Linear (SPL). Dibimbing oleh N. K. Kutha Ardana dan Teduh W. M. Magic square adalah suatu susunan bilangan dari 1 sampai 𝑛2 ke dalam kotak-kotak sebanyak n × n sedemikian sehingga jumlah dari tiap kolom, baris, dan diagonalnya sama. Magic square telah dipelajari sejak abad 20 SM dalam sebuah buku catatan dari China bernama Lo Shu. Magic square mulai dipakai dan diartikan dalam berbagai cara hingga dibahas dan dipelajari secara ilmiah sejak tahun 1300. Magic square secara khusus dipelajari dalam tulisan ilmiah ini sebagai sebuah permasalahan Sistem Persamaan Linear (SPL). Solusi dari magic square akan dicari mulai dari magic square berukuran 1 × 1 sampai dengan 5 × 5. Pencarian solusi dilakukan dengan penyederhanaan SPL interpretasi dari magic square oleh operasi baris dasar pada matriks koefisiennya. Dengan bantuan software Mathematica 7.0 pada proses komputasinya, didapatkan seluruh solusi untuk kelima ukuran magic square. Operasi-operasi matriks juga akan digunakan untuk mendapatkan magic square baru dari yang sudah ada. Hasil yang didapatkan kemudian digunakan untuk mencari adanya pola ataupun algoritma yang dapat dibentuk untuk dipakai dalam mencari solusi secara umum. Kata kunci: magic square, matriks, SPL, operasi baris dasar
ABSTRACT RISMANTO FERNANDUS SIRINGO-RINGO. Finding solution for Magic Square as Linear Equation System (LES) Problems. Supervised by N. K. Kutha Ardana and Teduh W. M. Magic square is an arrangement of numbers from 1 to ݊ଶ into n × n squares such that the sum of each rows, columns and diagonals are same. The magic square has been studied for a long time, in a note from China called Lo Shu. The magic square has been used and interpreted into many ways and has been discussed and studied scientifically since 1300. The magic square especially studied in this paper as a Linear Equation System (LES). Solutions for the magic square are searched from magic square sized 1 × 1 to 5 × 5. The solutions were searched by simplifying the LES interpretation of the magic square by basic row operations of the coefficient matrix. All solutions for five size of magic squares were obtained using Mathematica 7.0 sofware in the computational process. The matrix operations also used to obtain new magic square from the existing ones. The results then used for searching pattern or algorithm which can be used to look for the general solutions. Keywords: magic square, matrix, LES, basic row operation.
PENYELESAIAN MAGIC SQUARE SEBAGAI PERMASALAHAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR (SPL)
RISMANTO FERNANDUS SIRINGO-RINGO
Skripsi Sebagai salah satu syarat memperoleh gelar Sarjana Sains pada Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2011
Judul Skripsi : Penyelesaian Magic Square Sebagai Permasalahan Sistem Persamaan Linear (SPL) Nama : Rismanto Fernandus Siringo-ringo NIM : G54103005
Menyetujui, Pembimbing I,
Pembimbing II,
Ir. Ngakan Komang Kutha Ardana, M.Sc NIP. 19640823 198903 1 001
Teduh Wulandari Mas’oed, M.Si NIP. 19740915 199903 2 001
Mengetahui, Ketua Departemen Matematika,
Dr. Dra. Berlian Setiawaty, MS. NIP. 19650505 198903 2 004
Tanggal Lulus :
RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Bandar Lampung pada tanggal 28 Januari 1985 dari bapak Jasman Siringo-ringo dan Ibu Rumiris Tobing. Penulis adalah anak pertama dari tiga bersaudara. Tahun 2003 penulis lulus dari SMA Negeri 2 Bandar Lampung dan pada tahun yang sama lulus seleksi masuk IPB melalui jalur Ujian Seleksi Masuk Institut Pertanian Bogor (USMI). Penulis melanjutkan studi di Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Selama mengikuti perkuliahan, penulis pernah empat kali menjadi asisten dosen untuk mata kuliah Komputasi Terapan baik untuk S1 dan S2. Penulis juga aktif dalam organisasi kampus seperti Tim Pendamping, Gumatika, Kemaki, dan terlibat dalam beberapa kepanitiaan seperti Pesta Sains, Retret, dan menjadi trainer atau peserta dalam beberapa pelatihan. Sejak tahun 2009 penulis menjadi pengajar olimpiade matematika di SMA Negeri 2 Cibinong dan SMA Kosgoro Bogor.
vii
DAFTAR ISI Halaman PENDAHULUAN.................................................................................................................. 1 1.1. Latar Belakang ............................................................................................................... 1 1.2. Tujuan ........................................................................................................................... 1 1.3. Ruang Lingkup............................................................................................................... 1 II LANDASAN TEORI ............................................................................................................. 1 III PEMBAHASAN .................................................................................................................... 2 3.1. Bentuk Umum dari Magic Square, Bilangan Magic, dan Matriks SPL ............................. 2 3.2. Beberapa Operasi Matriks dari Magic Square ................................................................. 2 3.2.1. 𝑘𝑨.......................................................................................................................... 2 3.2.2. 𝑨 + 𝑘Jn .................................................................................................................. 3 3.2.3. 𝑨 + 𝑩 .................................................................................................................... 3 3.2.4. 𝑨𝑩 ......................................................................................................................... 3 3.3. Penyelesaian Magic Square Untuk 𝒏 =1, 2, 3, 4, 5 ......................................................... 3 3.3.1. Penyelesaian untuk 𝑛 = 1 ....................................................................................... 3 3.3.2. Penyelesaian untuk 𝑛 = 2 ....................................................................................... 3 3.3.3. Penyelesaian untuk 𝑛 = 3 ....................................................................................... 4 3.3.4. Penyelesaian untuk 𝑛 = 4 ....................................................................................... 5 3.3.5. Penyelesaian untuk 𝑛 = 5 ....................................................................................... 7 IV SIMPULAN DAN SARAN .................................................................................................. 11 4.1. Simpulan...................................................................................................................... 11 4.2. Saran............................................................................................................................ 11 DAFTAR PUSTAKA ................................................................................................................ 11 LAMPIRAN .............................................................................................................................. 12 I
viii
DAFTAR GAMBAR Gambar 1. Bentuk umum magic square........................................................................................ 2 Gambar 2. Magic square 1 × 1 ..................................................................................................... 3 Gambar 3. Magic square 2 × 2 ..................................................................................................... 3 Gambar 4. Magic square 3 × 3 ..................................................................................................... 4 Gambar 5(a-h). Solusi magic square 3 × 3.................................................................................... 5 Gambar 6. Magic square 4 × 4 ..................................................................................................... 5 Gambar 7. Magic square 5 × 5 ..................................................................................................... 7 Gambar 8(a,b). Contoh magic square berukuran 5 × 5 ............................................................... 10
ix
DAFTAR LAMPIRAN Lampiran 1. Contoh sanggahan untuk jumlah diagonal matriks 𝑪 = 𝑨𝑩 .................................... 13 Lampiran 2. Row reduce menggunakan Mathematica 7.0 ........................................................... 14 Lampiran 3. Sintaks Mathematica 7.0 dalam mencari seluruh solusi magic square berukuran 4 × 4 dari SPL yang sudah disederhanakan. ..................................................... 16
1
I
PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang Magic square telah dipelajari sejak abad 20 sebelum masehi. Catatan pertama sekitar tahun 1000 sebelum masehi terdapat di China yaitu sebuah buku bernama Lo Shu. Pada abad ke-9 sebelum masehi, astrolog Arab menggunakannya dalam menghitung horoskop (Andrews, 1917). Sekitar waktu yang sama di India magic square tidak hanya digunakan dalam konteks matematika misalnya resep pembuatan parfum dan penghitungan kelahiran dalam bidang medis. Pada abad ke-2 sebelum masehi, magic square berukuran 4 × 4 muncul yang sering dihubungkan dengan praktek religius (Ballew, 2006). Magic square mulai tersebar di dunia barat sekitar tahun 1300 setelah masehi. Magic square secara khusus telah menarik perhatian pada matematikawan amatir dan penggemar teka-teki karena konsepnya yang mudah dipahami. Meskipun konsep magic square mudah
dipahami dan telah dipelajari dalam waktu yang lama, sampai saat ini magic square belum ditemukan solusi umumnya atau algoritma umum untuk menyelesaikannya. 1.2. Tujuan Di dalam tulisan ilmiah ini akan dipelajari mengenai magic square sebagai sebuah permasalahan SPL. Kemudian akan dicari magic square baru menggunakan operasi matriks serta keterkaitan setiap ukuran magic square berdasarkan jumlah solusi, pola penyelesaian SPL, dan yang lainnya untuk mengetahui apakah memungkinkan menciptakan suatu algoritma umum penyelesaian magic square berukuran 𝑛 × 𝑛.
1.3. Ruang Lingkup Magic square dapat dikembangkan sampai berukuran berapapun. Dalam tulisan ilmiah ini, penulis membatasi pembahasan dan pencarian pola untuk magic square berukuran sampai dengan 5 × 5.
II LANDASAN TEORI Definisi 1 Magic Square dan Bilangan Magic Magic square adalah suatu susunan bilangan-bilangan 1, 2, 3, … , 𝑛2 ke dalam kotak-kotak berjumlah 𝑛 × 𝑛 sedemikian sehingga jumlah bilangan-bilangan di setiap baris, di setiap kolom, dan di kedua diagonal utama berjumlah sama yang disebut bilangan magic. [Weisstein, 1999] Definisi 2 Persamaan Linear dan Sistem Persamaan Linear Suatu persamaan linear dengan n peubah adalah persamaan dengan bentuk 𝑎1 𝑥1 + 𝑎2 𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏 dengan 𝑎1 , 𝑎2 , ... , 𝑎𝑛 , dan b adalah bilanganbilangan real dan 𝑥1, 𝑥2, ... , 𝑥𝑛 adalah peubah. Maka suatu sistem persamaan linear dari m persamaan dengan n peubah merupakan suatu sistem berbentuk 𝑎1,1 𝑥1 + 𝑎1,2 𝑥2 + ⋯ + 𝑎1,𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏1 𝑎2,1 𝑥1 + 𝑎2,2 𝑥2 + ⋯ + 𝑎2,𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏2 ⋮ 𝑎𝑚,1 𝑥1 + 𝑎𝑚,2 𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑚,𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏𝑛 dengan 𝑎𝑖,𝑗 dan 𝑏𝑖 adalah bilangan-bilangan real serta 𝑖 = 1,2, ⋯ , 𝑚 dan 𝑗 = 1,2, ⋯ , 𝑛
Sistem-sistem dengan bentuk seperti ini disebut sebagai sistem persamaan linear 𝑚 × 𝑛. [Leon, 2001] Definisi 3 Operasi Baris Dasar Operasi baris dasar dari matriks A berukuran 𝑚 × 𝑛 yang diperbesar merupakan operasi yang dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem-sistem persamaan linear, yaitu: 1. Kalikan sebuah baris ke-i dari matriks A dengan konstanta k yang tidak sama dengan nol. Operasi ini dinotasikan dengan 𝐸𝑖(𝑘) (𝑨). 2. Pertukarkan baris ke-i dengan baris ke-j dari matriks A, dengan 𝑖 ≠ 𝑗. Operasi ini dinotasikan dengan 𝐸𝑖,𝑗 (𝑨). 3. Tambahkan perkalian dari baris ke-j dengan konstanta 𝑘 ≠ 0, pada baris ke-i dari matriks A. Operasi ini dinotasikan dengan 𝐸𝑖,𝑗(𝑘) (𝑨). dengan 𝑖, 𝑗 = 1,2, ⋯ , 𝑚 dan k adalah bilangan real. [Anton, 2007]
2
III PEMBAHASAN 3.1. Bentuk Umum dari Magic Square, Bilangan Magic, dan Matriks SPL Misalkan elemen dari baris ke-i dan kolom ke-j adalah 𝑎𝑖,𝑗 maka magic squarenya secara umum adalah 𝑎1,1
𝑎1,2
⋯
𝑎1,𝑛
⋮
⋱
⋮
𝑎2,1
𝑎2,2
𝑎𝑛,1
𝑎𝑛,2
⋮
⋯ ⋯
𝑎2,𝑛 𝑎𝑛,𝑛
Gambar 1. Bentuk umum magic square dengan: 𝑎𝑖,𝑗 ∈ {1, 2, 3, … , 𝑛2 } untuk 𝑖, 𝑗 ∈ {1,2,3, … , 𝑛} ...(1) dan 𝑎𝑝,𝑞 = 𝑎𝑟,𝑠 ⟹ 𝑝 = 𝑟 ⋀ 𝑞 = 𝑠 untuk semua 𝑝, 𝑞, 𝑟, 𝑠 ∈ {1,2,3, … , 𝑛} ...(2) Persamaan (2) ini dimaksudkan untuk menjamin tidak ada angka yang terpakai dua kali, sehingga semua bilangan dari 1 sampai dengan 𝑛2 terpakai. Bilangan magic untuk magic square tersebut adalah 𝑚 = ∑𝑛𝑗=1 𝑎1,𝑗 = ∑𝑛𝑗=1 𝑎2,𝑗 = ⋯ = ∑𝑛𝑗=1 𝑎𝑛,𝑗 = ∑𝑛𝑖=1 𝑎𝑖,1 = ∑𝑛𝑖=1 𝑎𝑖,2 = ⋯ = ∑𝑛𝑖=1 𝑎𝑖,𝑛 = ∑𝑛𝑖=1 𝑎𝑖,𝑖 = ∑𝑛𝑗=1 𝑎𝑛−𝑗+1,𝑗 ...(3) Jika seluruh elemen dari magic square dijumlahkan, maka 2 ∑𝑛𝑖=1 ∑𝑛𝑗=1 𝑎𝑖,𝑗 = ∑𝑛𝑘=1 𝑘 ...(4) Dari kedua persamaan (3) dan (4), maka 1 𝑛 × 𝑚 = 2 𝑛2 (𝑛2 + 1) 1
⟺ 𝑚 = 2 𝑛(𝑛2 + 1) ...(5) Dengan menjabarkan persamaan (3), maka bentuk ∑𝑛𝑗=1 𝑎1,𝑗 = 𝑚 ⎧ ∑𝑛𝑗=1 𝑎2,𝑗 = 𝑚 ⎪ ⎪ ⋮ ⎪ ∑𝑛𝑗=1 𝑎𝑛,𝑗 = 𝑚 ⎪ ∑𝑛𝑖=1 𝑎𝑖,1 = 𝑚 ∑𝑛𝑖=1 𝑎𝑖,2 = 𝑚 ⎨ ⎪ ⋮ ⎪ ∑𝑛𝑖=1 𝑎𝑖,𝑛 = 𝑚 ⎪ ∑𝑛𝑖=1 𝑎𝑖,𝑖 = 𝑚 ⎪ 𝑛 …(6) ⎩∑𝑗=1 𝑎𝑛−𝑗+1,𝑗 = 𝑚 adalah sebuah Sistem Persamaan Linear (SPL) dengan 2𝑛 + 2 persamaan dan 𝑛2
peubah. Sistem persamaan (6) dapat diringkas menjadi ∑𝑛𝑗=1 𝑎𝑖,𝑗 = 𝑚; 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 ⎧ ⎪ ∑𝑛𝑖=1 𝑎𝑖,𝑗 = 𝑚; 𝑗 = 1,2, … , 𝑛 ∑𝑛𝑖=1 𝑎𝑖,𝑖 = 𝑚 ⎨ ⎪∑𝑛 𝑎 ⎩ 𝑗=1 𝑛−𝑗+1,𝑗 = 𝑚 Matriks dari SPL ini adalah 𝑲𝑨 = 𝒎 dengan 𝑲 = matriks koefisien berukuran (2𝑛 + 2) × 𝑛2 𝑨 = (𝑎1,1 𝑎1,2 ⋯ 𝑎1,𝑛 𝑎2,1 𝑎2,2 ⋯ 𝑎2,𝑛 ⋯ 𝑎𝑛,1 𝑎𝑛,2 ⋯ 𝑎𝑛,𝑛 )𝑇 𝒎 = vektor kolom berukuran 𝑛2 × 1 dengan seluruh elemennya adalah nilai m.
3.2. Beberapa Operasi Matriks dari Magic Square Beberapa operasi matriks diantaranya adalah penjumlahan, perkalian skalar, perkalian vektor, dan invers. Pada bagian ini akan ditunjukkan apakah yang terjadi jika operasi-operasi tersebut dilakukan terhadap magic square. Jika 𝑨 dan 𝑩 adalah magic square, Jn adalah matriks 𝑛 × 𝑛 yang semua elemennya adalah 1, dan 𝑘 adalah suatu bilangan asli, maka akan dicari beberapa bentuk berikut i. 𝑘𝑨 ii. 𝑨 + 𝑘Jn iii. 𝑨 + 𝑩 iv. 𝑨𝑩
3.2.1. 𝑘𝑨 Misalkan 𝑨 adalah magic square berukuran 𝑛 × 𝑛 dengan bilangan magic 𝑚𝐴 . Misalkan 𝑪 = 𝑘𝑨, maka 𝑐𝑖,𝑗 = 𝑘𝑎𝑖,𝑗 dan akibatnya ∑𝑛𝑗=1 𝑐𝑖,𝑗 = ∑𝑛𝑗=1 𝑘𝑎𝑖,𝑗 = 𝑘 ∑𝑛𝑗=1 𝑎𝑖,𝑗 = 𝑘𝑚𝐴 ; untuk 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 ∑𝑛𝑖=1 𝑐𝑖,𝑗 = ∑𝑛𝑖=1 𝑘𝑎𝑖,𝑗 = 𝑘 ∑𝑛𝑖=1 𝑎𝑖,𝑗 = 𝑘𝑚𝐴 ; untuk 𝑗 = 1,2, … , 𝑛 ∑𝑛𝑖=1 𝑐𝑖,𝑖 = ∑𝑛𝑖=1 𝑘𝑎𝑖,𝑖 = 𝑘 ∑𝑛𝑖=1 𝑎𝑖,𝑖 = 𝑘𝑚𝐴 ∑𝑛𝑗=1 𝑐𝑛−𝑗+1,𝑗 = ∑𝑛𝑗=1 𝑘𝑎𝑛−𝑗+1,𝑗 = 𝑘 ∑𝑛𝑗=1 𝑎𝑛−𝑗+1,𝑗 = 𝑘𝑚𝐴 Persamaan-persamaan di atas menunjukkan bahwa 𝑘𝑨 juga merupakan magic square dengan bilangan magic 𝑚𝐶 = 𝑘𝑚𝐴
3
3.2.2. 𝑨 + 𝑘Jn Misalkan 𝑨 adalah magic square berukuran 𝑛 × 𝑛 dengan bilangan magic 𝑚𝐴 . Misalkan 𝑪 = 𝑨 + 𝑘Jn, maka 𝑐𝑖,𝑗 = 𝑎𝑖,𝑗 + 𝑘 dan akibatnya ∑𝑛𝑗=1 𝑐𝑖,𝑗 = ∑𝑛𝑗=1(𝑎𝑖,𝑗 + 𝑘) = ∑𝑛𝑗=1 𝑎𝑖,𝑗 + 𝑛𝑘 = 𝑚𝐴 + 𝑛𝑘; untuk 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 ∑𝑛𝑖=1 𝑐𝑖,𝑗 = ∑𝑛𝑖=1(𝑎𝑖,𝑗 + 𝑘) = ∑𝑛𝑖=1 𝑎𝑖,𝑗 + 𝑛𝑘 = 𝑚𝐴 + 𝑛𝑘; untuk 𝑗 = 1,2, … , 𝑛 ∑𝑛𝑖=1 𝑐𝑖,𝑖 = ∑𝑛𝑖=1(𝑎𝑖,𝑖 + 𝑘) = ∑𝑛𝑖=1 𝑎𝑖,𝑖 + 𝑛𝑘 = 𝑚𝐴 + 𝑛𝑘 𝑛 ∑𝑗=1 𝑐𝑛−𝑗+1,𝑗 = ∑𝑛𝑗=1(𝑎𝑛−𝑗+1,𝑗 + 𝑘) = ∑𝑛𝑗=1 𝑎𝑛−𝑗+1,𝑗 + 𝑛𝑘 = 𝑚𝐴 + 𝑛𝑘 Persamaan-persamaan di atas juga menunjukkan bahwa 𝑨 + 𝑘Jn merupakan magic square dengan bilangan magic 𝑚𝐴 + 𝑛𝑘
3.2.3. 𝑨 + 𝑩 Misalkan 𝑨 dan 𝑩 adalah magic square berukuran 𝑛 × 𝑛 dengan bilangan magic masing-masing 𝑚𝐴 dan 𝑚𝐵 . Misalkan 𝑪 = 𝑨 + 𝑩, maka 𝑐𝑖,𝑗 = 𝑎𝑖,𝑗 + 𝑏𝑖,𝑗 dan akibatnya ∑𝑛𝑗=1 𝑐𝑖,𝑗 = ∑𝑛𝑗=1(𝑎𝑖,𝑗 + 𝑏𝑖,𝑗 ) = ∑𝑛𝑗=1 𝑎𝑖,𝑗 + ∑𝑛𝑗=1 𝑏𝑖,𝑗 = 𝑚𝐴 + 𝑚𝐵; untuk 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 ∑𝑛𝑖=1 𝑐𝑖,𝑗 = ∑𝑛𝑖=1(𝑎𝑖,𝑗 + 𝑏𝑖,𝑗 ) = ∑𝑛𝑖=1 𝑎𝑖,𝑗 + ∑𝑛𝑖=1 𝑏𝑖,𝑗 = 𝑚𝐴 + 𝑚𝐵 ; untuk 𝑗 = 1,2, … , 𝑛 ∑𝑛𝑖=1 𝑐𝑖,𝑖 = ∑𝑛𝑖=1(𝑎𝑖,𝑖 + 𝑏𝑖,𝑖 ) = ∑𝑛𝑖=1 𝑎𝑖,𝑖 + ∑𝑛𝑖=1 𝑏𝑖,𝑖 = 𝑚𝐴 + 𝑚𝐵 𝑛 ∑𝑗=1 𝑐𝑛−𝑗+1,𝑗 = ∑𝑛𝑗=1(𝑎𝑛−𝑗+1,𝑗 + 𝑏𝑛−𝑗+1,𝑗 ) = ∑𝑛𝑗=1 𝑎𝑛−𝑗+1,𝑗 + ∑𝑛𝑗=1 𝑏𝑛−𝑗+1,𝑗 = 𝑚𝐴 + 𝑚𝐵 Persamaan-persamaan di atas menunjukkan bahwa 𝑨 + 𝑩 juga merupakan magic square dengan bilangan magic 𝑚𝐴 + 𝑚𝐵
3.2.4. 𝑨𝑩 Misalkan 𝑨 dan 𝑩 adalah magic square berukuran 𝑛 × 𝑛 dengan bilangan magic masing-masing 𝑚𝐴 dan 𝑚𝐵 . Misalkan 𝑪 = 𝑨𝑩 maka 𝑐𝑖,𝑗 = ∑𝑛𝑘=1 𝑎𝑖,𝑘 𝑏𝑘,𝑗 dan akibatnya ∑𝑛𝑗=1 𝑐𝑖,𝑗 = ∑𝑛𝑗=1 ∑𝑛𝑘=1 𝑎𝑖,𝑘 𝑏𝑘,𝑗 = ∑𝑛𝑘=1�𝑎𝑖,𝑘 ∑𝑛𝑗=1 𝑏𝑘,𝑗 � = ∑𝑛𝑘=1 𝑎𝑖,𝑘 𝑚𝐵 = 𝑚𝐵 ∑𝑛𝑘=1 𝑎𝑖,𝑘 = 𝑚𝐵 𝑚𝐴; untuk 𝑖 = 1,2, … , 𝑛
∑𝑛𝑖=1 𝑐𝑖,𝑗 = ∑𝑛𝑖=1 ∑𝑛𝑘=1 𝑎𝑖,𝑘 𝑏𝑘,𝑗 = ∑𝑛𝑘=1�𝑏𝑘,𝑗 ∑𝑛𝑖=1 𝑎𝑖,𝑘 � = ∑𝑛𝑘=1 𝑏𝑘,𝑗 𝑚𝐴 = 𝑚𝐴 ∑𝑛𝑘=1 𝑏𝑘,𝑗 = 𝑚𝐴 𝑚𝐵 ; untuk 𝑗 = 1,2, … , 𝑛 Contoh sanggahan berikut menunjukkan bahwa jumlah diagonal pada 𝑨𝑩 tidak sama dengan 𝑚𝐴 𝑚𝐵 (contoh lengkap untuk ukuran 3×3, 4×4, 5×5 terdapat pada Lampiran 1). Misalkan 4 9 2 2 7 6 𝑨 = �3 5 7� dan 𝑩 = �9 5 1� 8 1 6 4 3 8 𝑨 dan 𝑩 adalah magic square dengan bilangan magic 𝑚𝐴 = 15 dan 𝑚𝐵 = 15, maka ∑3𝑖=1 𝑐𝑖,𝑖 = ∑3𝑖=1 ∑3𝑘=1 𝑎𝑖,𝑘 𝑏𝑘,𝑖 = 261 ∑3𝑗=1 𝑐3−𝑗+1,𝑗 = ∑3𝑗=1 ∑3𝑘=1 𝑎3−𝑗+1,𝑘 𝑏𝑘,𝑗 = 165 ⟹ tidak sama dengan 𝑚𝐴 𝑚𝐵 = 225 Hal ini mengakibatkan 𝑨𝑩 bukan merupakan magic square tetapi semi magic square yaitu magic square yang jumlah diagonalnya tidak sama dengan bilangan magic. Bilangan magic untuk semi magic square 𝑨𝑩 adalah 𝑚𝐴 𝑚𝐵
3.3. Penyelesaian Magic Square Untuk 𝒏 =1, 2, 3, 4, 5 Mencari penyelesaian magic square adalah mencari solusi dari SPL interpretasi magic square tersebut. Penyelesaian magic square untuk ukuran mulai dari 1 sampai dengan 5 akan dibahas sebagai permasalahan SPL masing-masing.
3.3.1. Penyelesaian untuk 𝒏 = 1 Untuk 𝑛 = 1 dengan jelas dapat langsung diketahui magic square-nya adalah 1 Gambar 2. Magic square 1 × 1 dan 𝑚 = 1. Secara otomatis, magic square di atas adalah satu-satunya solusi untuk 𝑛 = 1. 3.3.2. Penyelesaian untuk 𝒏 = 2 Untuk 𝑛 = 2 , magic square-nya adalah 𝑎1,1
𝑎2,1
𝑎1,2
𝑎2,2
Gambar 3. Magic square 2 × 2
4
1
dan nilai 𝑚 = 2 2 (22 + 1) = 5 SPL dari magic square ini adalah 𝑎1,1 + 𝑎1,2 = 5 ⎧ 𝑎 2,1 + 𝑎2,2 = 5 ⎪ ⎪ 𝑎1,1 + 𝑎2,1 = 5 ⎨ 𝑎1,2 + 𝑎2,2 = 5 ⎪ ⎪ 𝑎1,1 + 𝑎2,2 = 5 ⎩ 𝑎2,1 + 𝑎1,2 = 5 Dalam bentuk matriks: 1 1 0 0 5 𝑎1,1 0 0 1 1 5 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 1 0 1 0 � 𝑎1,2 � 5 =⎜ ⎟ ⎜ ⎜0 1 0 1⎟ ⎟ 𝑎2,1 ⎜5⎟ 𝑎2,2 1 0 0 1 5 ⎝0 1 1 0⎠ ⎝5⎠ Bentuk ringkasnya adalah 1 1 0 0 5 0 0 1 1 5 ⎛ ⎞ 1 0 1 0�5 ⎜ ⎜0 1 0 1 � 5⎟ ⎟ 1 0 0 1 5 ⎝0 1 1 0 5⎠ Dengan melakukan beberapa operasi baris dasar pada matriks di atas, didapatkan bentuk eselon baris 1 0 0 0 5⁄2 0 1 0 0 5⁄2 ⎛ ⎞ � ⎜ 0 0 1 0 5⁄2 ⎟ ⎜ 0 0 0 1 �5⁄2 ⎟ 0 0 0 0 0 ⎝0 0 0 0 0 ⎠ Hasil ini jika diterjemahkan kembali ke dalam bentuk SPL adalah ⎧𝑎1,1 = 5⁄2 ⎪𝑎1,2 = 5⁄2 ⎨𝑎2,1 = 5⁄2 ⎪𝑎 = 5⁄2 ⎩ 2,2 SPL ini kontradiksi dengan persamaan (2) bahwa tidak boleh ada elemen yang sama, sehingga untuk 𝑛 = 2, magic square tidak memiliki solusi. 3.3.3. Penyelesaian untuk 𝒏 = 3 Untuk 𝑛 = 3, magic square-nya adalah 𝑎1,1
𝑎2,1 𝑎3,1
𝑎1,2
𝑎2,2 𝑎3,2
𝑎1,3
𝑎2,3 𝑎3,3
Gambar 4. Magic square 3 × 3 1
dan nilai 𝑚 = 2 3 (32 + 1) = 15
SPL dari magic square ini adalah 𝑎1,1 + 𝑎1,2 + 𝑎1,3 = 15 ⎧ 𝑎2,1 + 𝑎2,2 + 𝑎2,3 = 15 ⎪ ⎪ 𝑎3,1 + 𝑎3,2 + 𝑎3,3 = 15 ⎪ 𝑎1,1 + 𝑎2,1 + 𝑎3,1 = 15 ⎨ 𝑎1,2 + 𝑎2,2 + 𝑎3,2 = 15 ⎪ 𝑎1,3 + 𝑎2,3 + 𝑎3,3 = 15 ⎪ ⎪ 𝑎1,1 + 𝑎2,2 + 𝑎3,3 = 15 ⎩ 𝑎1,3 + 𝑎2,2 + 𝑎3,1 = 15 Dalam bentuk matriks: 1 0 ⎛ 0 ⎜ ⎜1 ⎜0 ⎜0 1 ⎝0
1 0 0 0 1 0 0 0
1 0 0 0 0 1 0 1
0 1 0 1 0 0 0 0
0 1 0 0 1 0 1 1
0 1 0 0 0 1 0 0
0 0 1 1 0 0 0 1
0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0
0 0 1 0 1 0 0 0
𝑎1,1 0 15 𝑎 0 ⎛ 𝑎1,2 ⎞ 15 1,3 ⎛ ⎞ ⎞ 1 ⎜𝑎 ⎟ 15 ⎜ ⎟ ⎟ 2,1 0⎟ ⎜ 𝑎 ⎟ ⎜ 15 ⎟ 2,2 = 0⎟ ⎜ 𝑎 ⎟ ⎜ 15 ⎟ ⎜ 2,3 ⎟ 1⎟ ⎜ 𝑎3,1 ⎟ ⎜ 15 ⎟ 1 15 𝑎3,2 0⎠ ⎝ 𝑎3,3 ⎠ ⎝ 15 ⎠
Bentuk ringkasnya adalah 1 1 1 0 0 0 0 0 0 15 0 0 0 1 1 1 0 0 0 15 ⎛ ⎞ 0 0 0 0 0 0 1 1 1 � 15 ⎜ ⎟ ⎜1 0 0 1 0 0 1 0 0 � 15⎟ ⎜0 1 0 0 1 0 0 1 0 15⎟ ⎜0 0 1 0 0 1 0 0 1 � 15⎟ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 15 ⎝0 0 1 0 1 0 1 0 0 15⎠ Dengan melakukan beberapa operasi baris dasar pada matriks di atas, didapatkan bentuk eselon baris 1 0 ⎛0 ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎜0 0 ⎝0
0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 1 10 0 1 0 10 0 −1 −1 � −5 ⎞ ⎟ 0 −1 −2 −10 ⎟ � 0 0 0 5 ⎟ 0 1 2 � 20 ⎟ 1 1 1 15 0 0 0 0 ⎠
Hasil ini jika diterjemahkan kembali ke dalam bentuk SPL adalah 10 a1,1 + a3,3 = 10 a1,2 + a3,2 = a −a −a = −5 1,3 3,2 3,3 −10 a2,1 − a3,2 − 2a3,3 = 5 a2,2 = a2,3 + a3,2 + 2a3,3 = 20 a +a +a = 15 3,3 3,1 3,2 Dari SPL yang sudah disederhanakan di atas, langsung didapatkan nilai untuk 𝑎2,2 yaitu 5. Hal ini berarti kotak tengah dari solusi untuk magic square berukuran 3 × 3, haruslah diisi dengan angka 5.
5
Dari SPL tersebut pula didapatkan 6 persamaan berikut a1,1= 10 − a3,3 a1,2= 10 − a3,2 a =−5 + a + a 1,3 3,2 3,3 a = −10 + a3,2 + 2a3,3 2,1 a2,3 =20 − a3,2 − 2a3,3 a3,1 =15 − a3,2 − a3,3 …(7) Keenam persamaan ini menunjukkan enam peubah yang bergantung pada peubah lain yaitu 𝑎1,1 , 𝑎1,2 , 𝑎1,3 , 𝑎2,1 , 𝑎2,3 , 𝑎3,1 dan dua parameter yaitu 𝑎3,2 dan 𝑎3,3 . Perhatikan bahwa dari kedelapan peubah ini, haruslah ada 4 bilangan ganjil, dan 4 bilangan genap, dan hal ini hanya diberikan oleh pasangan 𝑎3,2 ganjil dan 𝑎3,3 genap. Perhatikan juga bahwa 1 ≤ 𝑎3,1 ≤ 9 dan 𝑎3,1 + 𝑎3,2 + 𝑎3,3 = 15 mengakibatkan 6 ≤ 𝑎3,2 + 𝑎3,3 ≤ 14. Dengan demikian �𝑎3,2 , 𝑎3,3 � yang pasangan-pasangan memungkinkan memberikan solusi untuk magic square berukuran 3 × 3 adalah (1,6), (1,8), (3,4), (3,6), (3,8), (7,2), (7,4), (7,6), (9,2), dan (9,4). Dari kesepuluh pasangan ini, yang memenuhi sistem persamaan (7) hanyalah pasangan-pasangan (1,6), (1,8), (3,4), (3,8), (7,2), (7,6), (9,2), dan (9,4). Kedelapan solusi tersebut dalam bentuk tabel adalah: �𝑎3,2 , 𝑎3,3 � 𝑎1,1 𝑎1,2 𝑎1,3 𝑎2,1 𝑎2,3 𝑎3,1 (1,6) 4 9 2 3 7 8 (1,8) 2 9 4 7 3 6 (3,4) 6 7 2 1 9 8 (3,8) 2 7 6 9 1 4 (7,2) 8 3 4 1 9 6 (7,6) 4 3 8 9 1 2 (9,2) 8 1 6 3 7 4 (9,4) 6 1 8 7 3 2 Kedelapan magic square tersebut adalah 4
9
2
2
9
4
3
5
7
7
5
3
8
1
6
6
1
8
(a)
(b)
6
7
2
2
7
6
1
5
9
9
5
1
8
3
4
4
3
8
(c)
(d)
8
3
4
4
3
8
1
5
9
9
5
1
6
7
2
2
7
6
(e)
(f)
8
1
6
6
1
8
3
5
7
7
5
3
4
9
2
2
9
4
(g) (h) Gambar 5(a-h). Solusi magic square 3 × 3 Perhatikan bahwa kedelapan solusi magic square ini adalah tidak unik. Semuanya adalah permutasi dari refleksi atau rotasi dari 1 buah solusi. Sehingga pada dasarnya magic square berukuran 3 × 3 memiliki 1 solusi unik. 3.3.4. Penyelesaian untuk 𝒏 = 4 Untuk 𝑛 = 4, magic square-nya adalah 𝑎1,1
𝑎1,2
𝑎1,3
𝑎1,4
𝑎2,1
𝑎2,2
𝑎2,3
𝑎2,4
𝑎4,1
𝑎4,2
𝑎4,3
𝑎4,4
𝑎3,1
𝑎3,2
𝑎3,3
𝑎3,4
Gambar 6. Magic square 4 × 4 1
dan nilai 𝑚 = 2 4 (42 + 1) = 34
SPL dari magic square ini adalah 𝑎1,1 + 𝑎1,2 + 𝑎1,3 + 𝑎1,4 = 34 ⎧ 𝑎 + 𝑎2,2 + 𝑎2,3 + 𝑎2,4 = 34 ⎪ 2,1 ⎪𝑎3,1 + 𝑎3,2 + 𝑎3,3 + 𝑎3,4 = 34 ⎪𝑎4,1 + 𝑎4,2 + 𝑎4,3 + 𝑎4,4 = 34 ⎪ 𝑎1,1 + 𝑎2,1 + 𝑎3,1 + 𝑎4,1 = 34 ⎨𝑎1,2 + 𝑎2,2 + 𝑎3,2 + 𝑎4,2 = 34 ⎪𝑎1,3 + 𝑎2,3 + 𝑎3,3 + 𝑎4,3 = 34 ⎪𝑎1,4 + 𝑎2,4 + 𝑎3,4 + 𝑎4,4 = 34 ⎪ ⎪𝑎1,1 + 𝑎2,2 + 𝑎3,3 + 𝑎4,4 = 34 ⎩𝑎4,1 + 𝑎3,2 + 𝑎2,3 + 𝑎1,4 = 34
6
Dalam bentuk matriks
1 0 ⎛ 0 ⎜ ⎜0 ⎜1 ⎜0 ⎜0 ⎜0 1 ⎝0
1 0 0 0 0 1 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 1 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0 1 0 1
0 1 0 0 1 0 0 0 0 0
Bentuk ringkasnya adalah 1 1 1 0 0 0 ⎛ 0 0 0 ⎜ ⎜0 0 0 ⎜1 0 0 ⎜0 1 0 ⎜0 0 1 ⎜0 0 0 1 0 0 ⎝0 0 0
Dengan melakukan baris 1 0 0 0 1 0 ⎛ 0 0 1 ⎜ ⎜0 0 0 ⎜0 0 0 ⎜0 0 0 ⎜0 0 0 ⎜0 0 0 0 0 0 ⎝0 0 0
0 1 0 0 0 1 0 0 1 0
0 1 0 0 0 0 1 0 0 1
0 1 0 0 0 0 0 1 0 0
0 1 0 0 0 1 0 0 1 0
0 0 1 0 1 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 1 0 0 1
0 0 1 0 0 1 0 0 0 1
0 1 0 0 0 0 0 1 0 0
0 0 1 0 0 0 1 0 1 0
0 0 1 0 1 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0 1 0 0
0 0 1 0 0 1 0 0 0 1
0 0 0 1 1 0 0 0 0 1
0 0 1 0 0 0 1 0 1 0
0 0 0 1 0 1 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 1 0 0 1 0 0 0
0 0 0 1 1 0 0 0 0 1
𝑎1,1 𝑎1,2 ⎛𝑎1,3 ⎞ 0 ⎜𝑎1,4 ⎟ 34 0 ⎜𝑎2,1 ⎟ 34 ⎟ ⎞⎜ 0 ⎜𝑎2,2 ⎟ ⎛34⎞ ⎟ 1⎟ ⎜𝑎2,3 ⎟ ⎜34⎟ ⎜ ⎟ 0⎟ ⎜𝑎2,4 ⎟ ⎜34⎟ = 0⎟ ⎜𝑎3,1 ⎟ ⎜34⎟ 0⎟ ⎜𝑎3,2 ⎟ ⎜34⎟ 1⎟ ⎜𝑎3,3 ⎟ ⎜34⎟ 34 1 ⎜𝑎3,4 ⎟ 0⎠ ⎜𝑎4,1 ⎟ ⎝34⎠ ⎜𝑎4,2 ⎟ 𝑎4,3 ⎝𝑎4,4 ⎠
1 0 0 0 0 0 0 1 0 1
0 1 0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 1 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 1 0 0 0
0 34 0 34 ⎞ 0 � 34 ⎟ 1 34⎟ 0 34⎟ � 0 34⎟ 0 34⎟ 1 � 34⎟ 1 34 0 34⎠
0 0 0 0 0 1 0 0 0 0
0 −1 0 0 0 −1 0 −1 −1 −1 −34 0 −1 0 1 −1 −1 0 0 −1 −2 −34 ⎞ 0 1 0 −1 1 1 0 1 2 2 � 68 ⎟ 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 34 ⎟ 0 1 0 −1 −1 0 0 0 0 0 0 ⎟ � 0 1 0 0 1 1 0 1 1 2 68 ⎟ 1 −1 0 1 0 −1 0 −1 −1 −2 −34⎟ 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 � 34 ⎟ 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 34 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎠
beberapa operasi baris dasar pada matriks di atas, didapatkan bentuk eselon 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
Hasil ini jika diterjemahkan kembali ke dalam bentuk SPL adalah a1,1 − a2,4 − a3,4 − a4,2 − a4,3 − a4,4 a1,2 − a2,4 + a3,2 − a3,3 − a3,4 − a4,3 − 2a4,4 a + a − a + a + a + a + 2a + 2a 2,4 3,2 3,3 3,4 4,2 4,3 4,4 1,3 a1,4 + a2,4 + a3,4 + a4,4 a2,1 + a2,4 − a3,2 − a3,3 a2,2 + a2,4 + a3,3 + a3,4 + a4,2 + a4,3 + 2a4,4 a2,3 − a2,4 + a3,2 − a3,4 − a4,2 − a4,3 − 2a4,4 a3,1 + a3,2 + a3,3 + a3,4 a 4,1 + a4,2 + a4,3 + a4,4
= −34 = −34 68 = 34 = 0 = 68 = = −34 = 34 = 34
7
SPL ini ekivalen dengan a1,1 a1,2 a 1,3 a1,4 a2,1 a2,2 a2,3 a 3,1 a4,1
= a2,4 + a3,4 + a4,2 + a4,3 + a4,4 − 34 = a2,4 − a3,2 + a3,3 + a3,4 + a4,3 + 2a4,4 − 34 = −a2,4 + a3,2 − a3,3 − a3,4 − a4,2 − 2a4,3 − 2a4,4 + 68 = −a2,4 − a3,4 − a4,4 + 34 = −a2,4 + a3,2 + a3,3 = −a2,4 − a3,3 − a3,4 − a4,2 − a4,3 − 2a4,4 + 68 = a2,4 − a3,2 + a3,4 + a4,2 + a4,3 + 2a4,4 − 34 = −a3,2 − a3,3 − a3,4 + 34 = −a4,2 − a4,3 − a4,4 + 34
1
dan nilai 𝑚 = 2 5 (52 + 1) = 65
Dari SPL tersebut terlihat bahwa terdapat 9 peubah yang bergantung pada peubah lain (𝑎1,1 , 𝑎1,2, 𝑎1,3 , 𝑎1,4 , 𝑎2,1 , 𝑎2,2 , 𝑎2,3 , 𝑎3,1 , dan 𝑎4,1 ) dan terdapat 7 parameter (𝑎2,4 , 𝑎3,2 , 𝑎3,3 , 𝑎3,4 , 𝑎4,2 , 𝑎4,3 , dan 𝑎4,4 ). Semua permutasi untuk nilai-nilai parameter ini diuji dengan menggunakan software Mathematica 7.0 dengan pengujinya adalah persamaan (2) yaitu tidak ada elemen yang bernilai sama. Sintaks dari program tersebut terdapat pada Lampiran 3 dengan banyaknya solusi 7040.
SPL dari magic square ini adalah 𝑎 + 𝑎1,2 + 𝑎1,3 + 𝑎1,4 + 𝑎1,5 = 65 ⎧ 1,1 𝑎2,1 + 𝑎2,2 + 𝑎2,3 + 𝑎2,4 + 𝑎2,5 = 65 ⎪ ⎪𝑎3,1 + 𝑎3,2 + 𝑎3,3 + 𝑎3,4 + 𝑎3,5 = 65 ⎪𝑎4,1 + 𝑎4,2 + 𝑎4,3 + 𝑎4,4 + 𝑎4,5 = 65 ⎪𝑎 + 𝑎 + 𝑎 + 𝑎 + 𝑎 = 65 5,2 5,3 5,4 5,5 ⎪ 5,1 𝑎1,1 + 𝑎2,1 + 𝑎3,1 + 𝑎4,1 + 𝑎5,1 = 65 ⎨𝑎1,2 + 𝑎2,2 + 𝑎3,2 + 𝑎4,2 + 𝑎5,2 = 65 ⎪𝑎1,3 + 𝑎2,3 + 𝑎3,3 + 𝑎4,3 + 𝑎5,3 = 65 ⎪𝑎1,4 + 𝑎2,4 + 𝑎3,4 + 𝑎4,4 + 𝑎5,4 = 65 ⎪𝑎 + 𝑎 + 𝑎 + 𝑎 + 𝑎 = 65 2,5 3,5 4,5 5,5 ⎪ 1,5 ⎪𝑎1,1 + 𝑎2,2 + 𝑎3,3 + 𝑎4,4 + 𝑎5,5 = 65 ⎩𝑎1,5 + 𝑎2,4 + 𝑎3,3 + 𝑎4,2 + 𝑎5,1 = 65
3.3.5. Penyelesaian untuk 𝒏 = 5 Untuk 𝑛 = 5, magic square-nya adalah 𝑎1,1
𝑎1,2
𝑎1,3
𝑎1,4
𝑎1,5
𝑎2,1
𝑎2,2
𝑎2,3
𝑎2,4
𝑎2,5
𝑎4,1
𝑎4,2
𝑎4,3
𝑎4,4
𝑎4,5
𝑎3,1
𝑎3,2
𝑎5,1
𝑎3,3
𝑎5,2
𝑎3,4
𝑎5,3
𝑎3,5
𝑎5,4
𝑎5,5
Gambar 7. Magic square 5 × 5
Bentuk ringkasnya adalah 1 ⎧0 ⎪0 ⎪ ⎪0 ⎪0 1 ⎨0 ⎪0 ⎪0 ⎪0 ⎪1 ⎩0
1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1
0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0
0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1
0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0
0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1
0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1
0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0
0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0
0 65 0 65⎫ 0 � 65⎪ ⎪ 0 65⎪ 1 � 65⎪ 0 65 0 65⎬ 0 � 65⎪ 0 65⎪ 1 � 65⎪ 1 65⎪ 0 65⎭
8
Dengan melakukan beberapa operasi baris dasar pada matriks di atas, didapatkan bentuk eselon baris ⎧1 ⎪ ⎪0 ⎪ ⎪0 ⎪0 ⎪ ⎪0 0 ⎨ ⎪ ⎪0 ⎪0 ⎪ ⎪0 ⎪0 ⎪0 ⎩0
0 0 0
0 0 0
0 1 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 0 0 1 0 0
1 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0
0 1 0
0 0 1
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
1 2 1 − 2 1 0 0 1 2 1 2 0 0 0 0 0
−
0 0
0 0 0
0 0
1 0 0 0 0
1 1 1 − −1 0 2 2 2 1 1 1 − − −1 0 2 2 2 0 1 0 0 0 0 −1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 3 1 − − − 0 0 2 2 2 1 1 1 1 0 2 2 2 0 1 0 −1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
−1 0 − −1 0 0 1 1
1 1
0 0 0
0 0
−1 0 0 1 0 0 0 0 0 0
1 2 1 1 − 2 0 1 −1 0 0 0 1 −1 − 2 1 0 2 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0
−
195 ⎫ −1 0 −1 −1 −1 −1 − 2 ⎪ � 195⎪ −1 −1 0 0 −1 −1 −2 − 2 ⎪ 0 0 0 0 1 0 0 � 65 ⎪ 1 1 0 1 1 2 2 130 ⎪ ⎪ 0 1 0 0 0 0 1 65 ⎪ 65 −1 0 0 0 0 0 0 � − 2 ⎬ 325 ⎪ 1 1 0 1 1 1 2 ⎪ � 2 0 −1 0 −1 −1 −1 −2 −65 ⎪ ⎪ 0 0 0 0 0 0 0 65 ⎪ 1 1 0 0 0 0 0 � 65 ⎪ 0 0 1 1 1 1 1 65 ⎪ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎭ 0
Hasil ini jika diterjemahkan kembali ke dalam bentuk SPL adalah a1,1 − 12 a2,3 − a2,5 − 12 a3,2 + 12 a3,3 − 12 a3,4 − a3,5 − 12 a4,3 − a4,5 − a5,2 − a5,3 − a5,4 − a5,5 a − 1 a − a + 1 a − 1 a − 1 a − a + a − 1 a − a − a − a − a − 2a 2,5 3,5 4,2 4,4 4,5 5,3 5,4 5,5 2 3,2 2 3,3 2 3,4 2 4,3 1,2 2 2,3 a1,3 + a2,3 + a3,3 + a4,3 + a5,3 a1,4 + a2,5 − a3,3 + a3,4 + a3,5 − a4,2 + a4,4 + a4,5 + a5,2 + a5,3 + 2a5,4 + 2a5,5 a1,5 + a2,5 + a3,5 + a4,5 + a5,5 3 1 1 a a a a a + + − − − 12 a3,4 − a4,2 − 12 a4,3 − a4,4 2,1 2,5 2 2,3 2 3,2 2 3,3 1 1 1 1 1 a2,2 + 2 a2,3 + a2,5 + 2 a3,2 + 2 a3,3 + 2 a3,4 + a3,5 + 2 a4,3 + a4,4 + a5,2 + a5,3 + a5,4 + 2a5,5 a2,4 − a2,5 + a3,3 − a3,5 + a4,2 − a4,5 − a5,2 − a5,3 − a5,4 − 2a5,5 a3,1 + a3,2 + a3,3 + a3,4 + a3,5 a4,1 + a4,2 + a4,3 + a4,4 + a4,5 a5,1 + a5,2 + a5,3 + a5,4 + a5,5
= − 195 2 = − 195 2 65 = 130 = 65 = = − 652 325 = 2 = −65 = 65 = 65 = 65
SPL di atas ekivalen dengan a1,1 = 12 a2,3 + a2,5 + 12 a3,2 − 12 a3,3 + 12 a3,4 + a3,5 + 12 a4,3 + a4,5 + a5,2 + a5,3 + a5,4 + a5,5 − 195 2 a = 1 a + a − 1 a + 1 a + 1 a + a − a + 1 a + a + a + a + a + 2a − 195 1,2 2,3 2,5 3,2 3,3 3,4 3,5 4,2 4,3 4,4 4,5 5,3 5,4 5,5 2 2 2 2 2 2 a a a a a 65 = − − − − + 1,3 2,3 3,3 4,3 5,3 a1,4 = −a2,5 + a3,3 − a3,4 − a3,5 + a4,2 − a4,4 − a4,5 − a5,2 − a5,3 − 2a5,4 − 2a5,5 + 130 −a2,5 − a3,5 − a4,5 − a5,5 + 65 a1,5 = 3 65 1 1 1 1 a = 2,1 − 2 a2,3 − a2,5 + 2 a3,2 + 2 a3,3 + 2 a3,4 + a4,2 + 2 a4,3 + a4,4 − 2 a = − 12 a2,3 − a2,5 − 12 a3,2 − 12 a3,3 − 12 a3,4 − a3,5 − 12 a4,3 − a4,4 − a5,2 − a5,3 − a5,4 − 2a5,5 + 325 2 2,2 2 65 a a a a a a a a a a = − + − + + + + + − 2,4 2,5 3,3 3,5 4,2 4,5 5,2 5,3 5,4 5,5 a3,1 = −a3,2 − a3,3 − a3,4 − a3,5 + 65 a = −a4,2 − a4,3 − a4,4 − a4,5 + 65 4,1 −a5,2 − a5,3 − a5,4 − a5,5 + 65 a5,1 = SPL ini memperlihatkan bahwa terdapat 11 peubah yang bergantung pada peubah lain (𝑎1,1 , 𝑎1,2 , 𝑎1,3 , 𝑎1,4 , 𝑎1,5 , 𝑎2,1, 𝑎2,2 , 𝑎2,4 , 𝑎3,1 , 𝑎4,1 , dan 𝑎5,1 ) dan terdapat 14 parameter (𝑎2,3 , 𝑎2,5 , 𝑎3,2 , 𝑎3,3 , 𝑎3,4 , 𝑎3,5 , 𝑎4,2 , 𝑎4,3 , 𝑎4,4 , 𝑎4,5 , 𝑎5,2 , 𝑎5,3 , 𝑎5,4 , dan 𝑎5,5 ). Parameter sebanyak 14 ini tidak memungkinkan dilakukan pengujian untuk semua permutasi dari nilai-nilainya.
H.B. Meyer (2010) melakukan proses yang sama dan berusaha mendapatkan banyaknya solusi untuk magic square berukuran 5 × 5. Hasil dari pereduksian SPL yang dilakukannya ditampilkan dalam Teorema 1 berikut
9
Teorema 1: a1,5 = 65 − a1,1 − a1,2 − a1,3 − a1,4 a =65 − a − a − a − a 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 a3,5 =65 − a3,1 − a3,2 − a3,3 − a3,4 a4,2 = 2a1,1 + a1,2 + a1,3 + a1,4 + a2,1 − a2,4 + a3,1 − a3,3 + a4,1 − 65 a4,3 =325 − 4a1,1 − 2a1,2 − 2a1,3 − 2a1,4 − 2a2,1 − 2a2,2 − a2,3 − 2a3,1 − a3,2 − a3,3 − a3,4 − 2a4,1 − 2a4,4 a4,5 = 2a1,1 + a1,2 + a1,3 + a1,4 + a2,1 + 2a2,2 + a2,3 + a2,4 + a3,1 + a3,2 + a3,3 + a3,4 + a4,4 − 195 a5,1 = 65 − a1,1 − a2,1 − a3,1 − a4,1 a5,2 = 130 − 2a1,1 − 2a1,2 − a1,3 − a1,4 − a2,1 − a2,2 + a2,4 − a3,1 − a3,2 − a3,3 − a4,1 a5,3 = 4a1,1 + 2a1,2 + a1,3 + 2a1,4 + 2a2,1 + 2a2,2 + 2a3,1 + a3,2 + a3,4 + 2a4,1 + 2a4,4 − 260 a =65 − a − a − a − a 1,4 2,4 3,4 4,4 5,4 a5,5 = 65 − a1,1 − a2,2 − a3,3 − a4,4 Dalam proses pencarian solusi ini, Meyer (2010) juga mendapatkan beberapa batasan tambahan yang digunakan untuk mengurangi panjangnya proses komputasi, yaitu: Teorema 2: 55 ≤ 3�𝑎1,1 + 𝑎2,2 � + 2�𝑎1,2 + 𝑎2,1 � ≤ 205
karena 𝑎1,2 , 𝑎2,1 ≥ 1 dan 𝑎1,2 , 𝑎2,1 ∈ {1,2, ⋯ ,25} dan 𝑎1,2 ≠ 𝑎2,1 maka 3 ≤ 𝑎1,2 + 𝑎2,1 dan dari Teorema 2 58 ≤ 55 + 𝑎1,2 + 𝑎2,1 ≤ 3�𝑎1,1 + 𝑎1,2 + 𝑎2,1 + 𝑎2,2 � 58 ≤ 𝑎1,1 + 𝑎1,2 + 𝑎2,1 + 𝑎2,2 3 Karena 𝑎1,1 , 𝑎1,2 , 𝑎2,1 , 𝑎2,2 ∈ ℤ+ maka 20 ≤ 𝑎1,1 + 𝑎1,2 + 𝑎2,1 + 𝑎2,2 Dan dengan mengganti masing-masing 𝑎𝑖,𝑗 dengan 26 − 𝑎𝑖,𝑗 maka 20 ≤ �26 − 𝑎1,1 � + �26 − 𝑎1,2 � + �26 − 𝑎2,1 � + �26 − 𝑎2,2 � −84 ≤ −𝑎1,1 − 𝑎1,2 − 𝑎2,1 − 𝑎2,2 Akibat 1: 20 ≤ 𝑎1,1 + 𝑎1,2 + 𝑎2,1 + 𝑎2,2 ≤ 84
Teorema 3: 218 ≤ 3�𝑎1,1 + 𝑎2,2 + 𝑎3,3 � + 2�𝑎1,2 + 𝑎1,3 + 𝑎1,5 + 𝑎2,3 + 𝑎3,1 + 𝑎3,2 ) ≤ 328 Teorema 4: (Jumlah pojok) 26 ≤ 𝑎1,1 + 𝑎1,5 + 𝑎5,1 + 𝑎5,5 ≤ 78
Akibat 2: (jumlah “X”) 52 ≤ 𝑎1,1 + 𝑎1,5 + 2𝑎3,3 + 𝑎5,1 + 𝑎5,5 ≤ 104
Karena 𝑎𝑖,𝑗 ∈ {1, 2, 3, … , 𝑛2 } ∀𝑖, 𝑗 ∈ {1,2,3, … , 𝑛} dan 𝑎𝑘,𝑙 = 𝑎𝑚,𝑛 ⟹ 𝑘 = 𝑚 ⋀ 𝑙 = 𝑛 untuk semua 𝑘, 𝑙, 𝑚, 𝑛 ∈ {1,2,3, … , 𝑛} maka 𝑎1,1 2 + 𝑎1,2 2 + ⋯ + 𝑎5,5 2 = 12 + 22 + ⋯ + 252 Dengan menyubtitusikan 𝑎1,5 , 𝑎2,5 , 𝑎3,5 , 𝑎4,2 , 𝑎4,3 , 𝑎4,5 𝑎5,1 𝑎5,2 𝑎5,3 𝑎5,4 dan 𝑎5,5 pada Teorema 1 ke persamaan di atas, didapatkan
Teorema 5: 1 �1495 − 19𝑎1,1 − 9𝑎1,2 − 7𝑎1,3 − 10𝑎1,4 − 9𝑎2,1 − 11𝑎2,2 − 3𝑎2,3 − 2𝑎2,4 − 9𝑎3,1 𝑎4,4 = 12 − 5𝑎3,2 − 5𝑎3,3 − 6𝑎3,4 − 8𝑎4,1 ± √𝐷� dengan D adalah bilangan kuadrat berikut
10
𝐷 = −215𝑎1,1 2 − 111𝑎1,2 2 − 71𝑎1,3 2 − 68𝑎1,4 2 − 87𝑎2,1 2 − 71𝑎2,2 2 − 39𝑎2,3 2 − 68𝑎2,4 2 − 87𝑎3,1 2 − 47𝑎3,2 2 − 95𝑎3,3 2 − 36𝑎3,4 2 − 80𝑎4,1 2 + 𝑎1,1 �−258𝑎1,2 − 190𝑎1,3 − 172𝑎1,4 − 210𝑎2,1 − 134𝑎2,2 − 30𝑎2,3 + 124𝑎2,4 − 210𝑎3,1 − 98𝑎3,2 + 70𝑎3,3 − 12𝑎3,4 − 200𝑎4,1 ) + 𝑎1,2 �−138𝑎1,3 − 132𝑎1,4 − 126𝑎2,1 − 90𝑎2,2 − 18𝑎2,3 + 84𝑎2,4 − 126𝑎3,1 − 78𝑎3,2 + 66𝑎3,3 − 12𝑎3,4 − 120𝑎4,1 ) + 𝑎1,3 �−100𝑎1,4 − 90𝑎2,1 − 62𝑎2,2 − 30𝑎2,3 + 52𝑎2,4 − 50𝑎3,2 + 22𝑎3,3 − 12𝑎3,4 − 90𝑎3,1 − 80𝑎4,1 ) + 𝑎1,4 �−84𝑎2,1 − 44𝑎2,2 − 12𝑎2,3 + 40𝑎2,4 − 84𝑎3,1 − 44𝑎3,2 + 52𝑎3,3 − 24𝑎3,4 − 80𝑎4,1 ) + 𝑎2,1 �−90𝑎2,2 − 42𝑎2,3 + 36𝑎2.4 − 126𝑎3,1 − 54𝑎3,2 + 42𝑎3,3 − 12𝑎3,4 − 120𝑎4,1 ) + 𝑎2,2 �−54𝑎2,3 − 4𝑎2,4 − 66𝑎3,1 − 58𝑎3,2 − 34𝑎3,3 − 12𝑎3,4 − 40𝑎4,1 � + 𝑎2,3 �−36𝑎2,4 − 18𝑎3,1 − 18𝑎3,2 − 42𝑎3,3 − 12𝑎3,4 � + 𝑎2,4 �60𝑎3,1 + 20𝑎3,2 − 76𝑎3,3 − 24𝑎3,4 + 80𝑎4,1 � + 𝑎3,1 �−78𝑎3,2 + 18𝑎3,3 − 36𝑎3,4 − 120𝑎4,1 � + 𝑎3,2 �−22𝑎3,3 − 36𝑎3,4 − 40𝑎4,1 � + 𝑎3,3 �−36𝑎3,4 + 80𝑎4,1 � + 22750𝑎1,1 + 15210𝑎1,2 + 11830𝑎1,3 + 10660𝑎1,4 + 13650𝑎2,1 + 10790𝑎2,2 + 5070𝑎2,3 − 2860𝑎2,4 + 13650𝑎3,1 + 8450𝑎3,2 + 650𝑎3,3 + 3900𝑎3,4 + 10400𝑎4,1 − 791375 Dua magic square berikut ini menunjukkan bahwa 𝑎1,1 , 𝑎1,2 , 𝑎1,3 , 𝑎1,4 , 𝑎2,1 , 𝑎2,2 , 𝑎2,3 , 𝑎2,4 , 𝑎3,1 , 𝑎3,2 , 𝑎3,3 , 𝑎3,4 , dan 𝑎4,1 tidak secara lengkap menentukan magic square, namun oleh Teorema 5 terdapat maksimal 2 magic square yang memiliki kesamaan ini karena hanya ada 2 nilai 𝑎4,4 yang mungkin. 20
1
4
21
10
18
6
25
22 3
13 14
23 2
24
5
17
12
16
11
19
15 (a)
8 9 7
20
1
13
23
22
12
16
15
17
4
21
10
18
6
25
3
14 11
8
2
24
7
19
9 5
(b) Gambar 8(a,b). Contoh magic square berukuran 5 × 5 Dengan batasan-batasan yang diberikan oleh Teorema 1 sampai dengan 5 ini maka terdapat 2,202,441,792 banyaknya solusi untuk magic square berukuran 5 × 5 (Meyer, 2010).
11
IV SIMPULAN DAN SARAN 4.1. Simpulan Magic squre dapat diselesaikan menggunakan metode SPL. Operasi-operasi matriks sperti penjumlahan, perkalian dengan skalar dapat digunakan untuk mencari magic square baru dari yang sudah ada, tetapi perkalian matriks hanya menghasilkan semi magic square. Banyaknya solusi dari magic square berukuran 𝑛 × 𝑛 bertambah dengan sangat cepat seiring dengan bertambahnya n. Banyaknya solusi untuk magic square berukuran 1 × 1, 2 × 2, 3 × 3, 4 × 4, dan 5 × 5 berturut-turut adalah 1, 0, 8, 7.040, dan 2.202.441.792. Barisan ini tidak memperlihatkan adanya pola.
Bentuk-bentuk matriks yang dihasilkan melalui operasi-operasi baris dasar pada setiap ukuran magic square juga tidak memperlihatkan adanya pola yang dapat digunakan untuk mencari solusi magic square berukuran lebih besar. 4.2. Saran Dalam tulisan ilmiah ini belum dibahas mengenai metode-metode yang saat ini popular digunakan untuk mencari contoh solusi untuk magic square berukuran besar. Jika ada penulis selanjutnya yang ingin membahas mengenai magic square dapat mempelajari dan mengembangkan metodemetode tersebut.
DAFTAR PUSTAKA Andrews, W. S. 1917. Magic Square and Cubes 2nd edition. Open Court Publishing Company. Anton, H. 1997. Aljabar Linear Elementer. Edisi Kelima. Terjemahan Pantur Silaban & I Nyoman Susila. Erlangga, Jakarta. Ballew, P. 2006. Magic Square Report http://www.pballew.net/MagSqRep.doc [30 Agustus 2010] Leon, S. J. 2001. Aljabar Linear dan Aplikasinya. Edisi Kelima. Terjemahan Alit Bondan. Erlangga, Jakarta
Meyer, H. B. “Some Theory Concerning 5×5 magic squares”, http://www.hbmeyer.de/backtrack/mq5/m ag5the.htm [04 November 2010] Weisstein, Eric W. “Magic Square” from MathWorld-A Wolfram Web Resource http://mathworld.wolfram.com/MagicSqu are.html [25 Juli 2010]
LAMPIRAN
13
Lampiran 1. Contoh sanggahan untuk jumlah diagonal matriks 𝑪 = 𝑨𝑩
Jumlah diagonal 𝑪 adalah ∑𝑛𝑖=1 𝑐𝑖,𝑖 dan ∑𝑛𝑗=1 𝑐𝑛−𝑗+1,𝑗 . Karena 𝑪 = 𝑨𝑩, maka 𝑐𝑖,𝑗 = ∑𝑛𝑘=1 𝑎𝑖,𝑘 𝑏𝑘,𝑗
dan akibatnya
a. Ukuran 3 × 3 Misalkan
∑𝑛𝑖=1 𝑐𝑖,𝑖 𝑛 ∑𝑗=1 𝑐𝑛−𝑗+1,𝑗
= ∑𝑛𝑖=1 ∑𝑛𝑘=1 𝑎𝑖,𝑘 𝑏𝑘,𝑖 = ∑𝑛𝑗=1 ∑𝑛𝑘=1 𝑎𝑛−𝑗+1,𝑘 𝑏𝑘,𝑗
4 9 2 2 7 6 𝑨 = �3 5 7� dan 𝑩 = �9 5 1� 8 1 6 4 3 8
𝑨 dan 𝑩 adalah magic square dengan bilangan magic 𝑚𝐴 = 15 dan 𝑚𝐵 = 15, maka ∑3𝑖=1 𝑐𝑖,𝑖 = ∑3𝑖=1 ∑3𝑘=1 𝑎𝑖,𝑘 𝑏𝑘,𝑖 = 261 ∑3𝑗=1 𝑐3−𝑗+1,𝑗 = ∑3𝑗=1 ∑3𝑘=1 𝑎3−𝑗+1,𝑘 𝑏𝑘,𝑗 = 165
⟹ tidak sama dengan 𝑚𝐴 𝑚𝐵 = 225
b. Ukuran 4 × 4 Misalkan
1 2 15 16 16 14 13 1 12 14 3 5 4 13 15� � dan 𝑩 = � 2 𝑨=� 5 9 8 12 13 7 10 4 11 7 10 6 8 11 6 9
𝑨 dan 𝑩 adalah magic square dengan bilangan magic 𝑚𝐴 = 34 dan 𝑚𝐵 = 34, maka ∑4𝑖=1 𝑐𝑖,𝑖 = ∑4𝑖=1 ∑4𝑘=1 𝑎𝑖,𝑘 𝑏𝑘,𝑖 = 1236 ∑4𝑗=1 𝑐4−𝑗+1,𝑗 = ∑4𝑗=1 ∑4𝑘=1 𝑎4−𝑗+1,𝑘 𝑏𝑘,𝑗 = 1326
⟹ tidak sama dengan 𝑚𝐴 𝑚𝐵 = 1156
c. Ukuran 5 × 5 Misalkan
20 1 13 23 8 17 24 1 8 15 7 14 16⎞ ⎛23 5 ⎛ 4 21 14 2 24⎞ 𝑨=⎜4 6 13 20 22⎟ dan 𝑩 = ⎜ 6 22 12 16 9 ⎟ 10 12 19 21 3 10 18 15 5 17 9⎠ ⎝11 18 25 2 ⎝25 3 11 19 7 ⎠
𝑨 dan 𝑩 adalah magic square dengan bilangan magic 𝑚𝐴 = 65 dan 𝑚𝐵 = 65, maka ∑5𝑖=1 𝑐𝑖,𝑖 = ∑5𝑖=1 ∑5𝑘=1 𝑎𝑖,𝑘 𝑏𝑘,𝑖 = 3875 ∑5𝑗=1 𝑐5−𝑗+1,𝑗 = ∑5𝑗=1 ∑5𝑘=1 𝑎5−𝑗+1,𝑘 𝑏𝑘,𝑗 = 4575
⟹ tidak sama dengan 𝑚𝐴 𝑚𝐵 = 4225
14
Lamp iran 2. Row reduce menggunakan Mathematica 7.0 1.a. row reduce untuk magic square berukuran 1 0 1 RowReduce 0 1 0 5 1 0 0 0
1 0 0 1 0 1
0 1 1 0 0 1
0 1 0 1 1 0
5 5 5 MatrixForm 5 5 5
:
2 5
0 1 0 0
2 5
0 0 1 0
2 5
0 0 0 1
2
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1.b. row reduce untuk magic square berukuran
RowReduce
1 0 0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0
1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0
1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0
1 0 0 0 0 1 0 1
0 1 0 1 0 0 0 0
0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 2 0 0 1 2 1 1 0 0
0 1 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 10 10 5 10 5 20 15 0
0 0 1 0 0 1 1 0
1.c. row reduce untuk magic square berukuran
RowReduce
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0
1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0
1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0
0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0
:
15 15 15 15 MatrixForm 15 15 15 15
0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0
:
0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 2 2 2 0 1 0 0 1 2 1 2 0 0 1 1 0 0
0 34 0 34 0 34 1 34 0 34 MatrixForm 0 34 0 34 1 34 1 34 0 34 34 34 68 34 0 68 34 34 34 0
15
1.d. row reduce untuk magic square berukuran 1 0 0 0 0 1 RowReduce 0 0 0 0 1 0
1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1
0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0
0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1
MatrixForm 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0
2 1 2
0 1 0
2 1
0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0
1
2
2 1 2
0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0
:
0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1
1 2 1 2
0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1
0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0
1 0
0
1 0
1
1 2 1 2
0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0
1 0 0
0 0 0
0 1 1
0 0 0
0 0 0
1 1 0
0 1 0
0 1 1
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 1 0
1
0
1
0 1
3
1
0
0 1 1
0
1
0
1
0
0
1 1 0 0 0
0 0 1 0 0
1 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
2 1 2
0 0 0 0 0
1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
2 1
2 1
2 1
2
2
2
0 1 0 0 0
1 1 0 0 0
0 1 0 0 0
1 0 0 2 1 2
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0
0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0
0
1 0 1 1 1 1
1 1 0
0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0
0
0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0
65 65 65 65 65 65 65 65 65 65 65 65
1 1 2
195 2 195 2
0 1 0
0 1 1
0 0 0
0 1 0
1 1 0
0 2 0
0 2 1
65 130 65
1
0
0
0
0
0
0
65
1
1
0
1
1
1
2
0 0 1 0 0
1 0 1 0 0
2 325 2
0 1 1 1 2 65 0 0 0 0 0 65 0 0 0 0 0 65 1 1 1 1 1 65 0 0 0 0 0 0
16
Lamp iran 3. Sintaks Mathematica 7.0 dalam mencari seluruh solusi magic square berukuran 4 × 4 dari SPL yang sudah disederhanakan. a 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0; b ;
i 0; Forj1 1, j1 17, j1 , a2, 4 j1; Forj2 1, j2 17, j2 , IfMemberQa, j2, 2, Continue, a3, 2 j2; Forj3 1, j3 17, j3 , IfMemberQa, j3, 2, Continue, a3, 3 j3; Forj4 1, j4 17, j4 , IfMemberQa, j4, 2, Continue, a3, 4 j4; Forj5 1, j5 17, j5 , IfMemberQa, j5, 2, Continue, a4, 2 j5; Forj6 1, j6 17, j6 , IfMemberQa, j6, 2, Continue, a4, 3 j6; Forj7 1, j7 17, j7 , IfMemberQa, j7, 2, Continue, a4, 4 j7; a1, 1 a2, 4 a3, 4 a4, 2 a4, 3 a4, 4 34; a1, 2 a2, 4 a3, 2 a3, 3 a3, 4 a4, 3 2 a4, 4 34; a1, 3 a2, 4 a3, 2 a3, 3 a3, 4 a4, 2 2 a4, 3 2 a4, 4 68; a1, 4 a2, 4 a3, 4 a4, 4 34; a2, 1 a2, 4 a3, 2 a3, 3; a2, 2 a2, 4 a3, 3 a3, 4 a4, 2 a4, 3 2 a4, 4 68; a2, 3 a2, 4 a3, 2 a3, 4 a4, 2 a4, 3 2 a4, 4 34; a3, 1 a3, 2 a3, 3 a3, 4 34; a4, 1 a4, 2 a4, 3 a4, 4 34; IfCounta, 1, 2 Counta, 2, 2 Counta, 3, 2 Counta, 4, 2 Counta, 5, 2 Counta, 6, 2 Counta, 7, 2 Counta, 8, 2 Counta, 9, 2 Counta, 10, 2 Counta, 11, 2 Counta, 12, 2 Counta, 13, 2 Counta, 14, 2 Counta, 15, 2 Counta, 16, 2 1,
b Unionb, a; i ; Printi, " ", a;
;
a1, 1 0; a1, 2 0; a1, 3 0; a1, 4 0; a2, 1 0; a2, 2 0; a2, 3 0; a3, 1 0; a4, 1 0; a4, 4 0;
; a4, 3 0;
; a4, 2 0;
; a3, 4 0;
; a3, 3 0;
; a3, 2 0;
; a2, 4 0;
Keluaran dari program in i adalah seluruh solusi solusi magic square berukuran yang cukup panjang, yaitu 7040 baris. Hal ini menunjukkan bahwa banyaknya solusi adalah 7040. Solusi-solusi tersebut dalam bentuk Short adalah
17
Shortb, 10
1, 2, 15, 16, 12, 14, 3, 5, 13, 7, 10, 4, 8, 11, 6, 9, 1, 2, 15, 16, 13, 14, 3, 4, 12, 7, 10, 5, 8, 11, 6, 9, 1, 2, 16, 15, 13, 14, 4, 3, 12, 7, 9, 6, 8, 11, 5, 10, 1, 3, 14, 16, 10, 13, 4, 7, 15, 6, 11, 2, 8, 12, 5, 9, 1, 3, 14, 16, 12, 13, 4, 5, 15, 8, 9, 2, 6, 10, 7, 11, 1, 3, 14, 16, 15, 13, 4, 2, 10, 6, 11, 7, 8, 12, 5, 9, 1, 3, 14, 16, 15, 13, 4, 2, 12, 8, 9, 5, 6, 10, 7, 11,
7026, 16, 14, 3, 1, 2, 4, 13, 15, 5, 9, 8, 12, 11, 7, 10, 6, 16, 14, 3, 1, 2, 4, 13, 15, 7, 11, 6, 10, 9, 5, 12, 8, 16, 14, 3, 1, 5, 4, 13, 12, 2, 9, 8, 15, 11, 7, 10, 6, 16, 14, 3, 1, 7, 4, 13, 10, 2, 11, 6, 15, 9, 5, 12, 8, 16, 15, 1, 2, 4, 3, 13, 14, 5, 10, 8, 11, 9, 6, 12, 7, 16, 15, 2, 1, 4, 3, 14, 13, 5, 10, 7, 12, 9, 6, 11, 8,
16, 15, 2, 1, 5, 3, 14, 12, 4, 10, 7, 13, 9, 6, 11, 8
