PENYELESAIAN MAGIC SQUARE SEBAGAI PERMASALAHAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR (SPL)
RISMANTO FERNANDUS SIRINGO-RINGO
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2011
ABSTRAK RISMANTO FERNANDUS SIRINGO RINGO. Penyelesaian Magic Square Sebagai Permasalahan Sistem Persamaan Linear (SPL). Dibimbing oleh N. K. Kutha Ardana dan Teduh W. M. Magic square adalah suatu susunan bilangan dari 1 sampai ݊ଶ ke dalam kotak-kotak sebanyak n × n sedemikian sehingga jumlah dari tiap kolom, baris, dan diagonalnya sama. Magic square telah dipelajari sejak abad 20 SM dalam sebuah buku catatan dari China bernama Lo Shu. Magic square mulai dipakai dan diartikan dalam berbagai cara hingga dibahas dan dipelajari secara ilmiah sejak tahun 1300. Magic square secara khusus dipelajari dalam tulisan ilmiah ini sebagai sebuah permasalahan Sistem Persamaan Linear (SPL). Solusi dari magic square akan dicari mulai dari magic square berukuran 1 × 1 sampai dengan 5 × 5. Pencarian solusi dilakukan dengan penyederhanaan SPL interpretasi dari magic square oleh operasi baris dasar pada matriks koefisiennya. Dengan bantuan software Mathematica 7.0 pada proses komputasinya, didapatkan seluruh solusi untuk kelima ukuran magic square. Operasi-operasi matriks juga akan digunakan untuk mendapatkan magic square baru dari yang sudah ada. Hasil yang didapatkan kemudian digunakan untuk mencari adanya pola ataupun algoritma yang dapat dibentuk untuk dipakai dalam mencari solusi secara umum. Kata kunci: magic square, matriks, SPL, operasi baris dasar
ABSTRACT RISMANTO FERNANDUS SIRINGO-RINGO. Finding solution for Magic Square as Linear Equation System (LES) Problems. Supervised by N. K. Kutha Ardana and Teduh W. M. Magic square is an arrangement of numbers from 1 to ݊ଶ into n × n squares such that the sum of each rows, columns and diagonals are same. The magic square has been studied for a long time, in a note from China called Lo Shu. The magic square has been used and interpreted into many ways and has been discussed and studied scientifically since 1300. The magic square especially studied in this paper as a Linear Equation System (LES). Solutions for the magic square are searched from magic square sized 1 × 1 to 5 × 5. The solutions were searched by simplifying the LES interpretation of the magic square by basic row operations of the coefficient matrix. All solutions for five size of magic squares were obtained using Mathematica 7.0 sofware in the computational process. The matrix operations also used to obtain new magic square from the existing ones. The results then used for searching pattern or algorithm which can be used to look for the general solutions. Keywords: magic square, matrix, LES, basic row operation.
PENYELESAIAN MAGIC SQUARE SEBAGAI PERMASALAHAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR (SPL)
RISMANTO FERNANDUS SIRINGO-RINGO
Skripsi Sebagai salah satu syarat memperoleh gelar Sarjana Sains pada Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2011
Judul Skripsi : Penyelesaian Magic Square Sebagai Permasalahan Sistem Persamaan Linear (SPL) Nama : Rismanto Fernandus Siringo-ringo NIM : G54103005
Menyetujui, Pembimbing I,
Pembimbing II,
Ir. Ngakan Komang Kutha Ardana, M.Sc NIP. 19640823 198903 1 001
Teduh Wulandari Mas’oed, M.Si NIP. 19740915 199903 2 001
Mengetahui, Ketua Departemen Matematika,
Dr. Dra. Berlian Setiawaty, MS. NIP. 19650505 198903 2 004
Tanggal Lulus :
RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Bandar Lampung pada tanggal 28 Januari 1985 dari bapak Jasman Siringo-ringo dan Ibu Rumiris Tobing. Penulis adalah anak pertama dari tiga bersaudara. Tahun 2003 penulis lulus dari SMA Negeri 2 Bandar Lampung dan pada tahun yang sama lulus seleksi masuk IPB melalui jalur Ujian Seleksi Masuk Institut Pertanian Bogor (USMI). Penulis melanjutkan studi di Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Selama mengikuti perkuliahan, penulis pernah empat kali menjadi asisten dosen untuk mata kuliah Komputasi Terapan baik untuk S1 dan S2. Penulis juga aktif dalam organisasi kampus seperti Tim Pendamping, Gumatika, Kemaki, dan terlibat dalam beberapa kepanitiaan seperti Pesta Sains, Retret, dan menjadi trainer atau peserta dalam beberapa pelatihan. Sejak tahun 2009 penulis menjadi pengajar olimpiade matematika di SMA Negeri 2 Cibinong dan SMA Kosgoro Bogor.
vii
DAFTAR ISI Halaman PENDAHULUAN..................................................................................................................1 1.1. Latar Belakang...............................................................................................................1 1.2. Tujuan ...........................................................................................................................1 1.3. Ruang Lingkup...............................................................................................................1 II LANDASAN TEORI .............................................................................................................1 III PEMBAHASAN ....................................................................................................................2 3.1. Bentuk Umum dari Magic Square, Bilangan Magic, dan Matriks SPL.............................2 3.2. Beberapa Operasi Matriks dari Magic Square .................................................................2 3.2.1. ݇..........................................................................................................................2 3.2.2. + ݇Jn ..................................................................................................................3 3.2.3. + ....................................................................................................................3 3.2.4. .........................................................................................................................3 3.3. Penyelesaian Magic Square Untuk =1, 2, 3, 4, 5 .........................................................3 3.3.1. Penyelesaian untuk ݊ = 1.......................................................................................3 3.3.2. Penyelesaian untuk ݊ = 2.......................................................................................3 3.3.3. Penyelesaian untuk ݊ = 3.......................................................................................4 3.3.4. Penyelesaian untuk ݊ = 4.......................................................................................5 3.3.5. Penyelesaian untuk ݊ = 5.......................................................................................7 IV SIMPULAN DAN SARAN ..................................................................................................11 4.1. Simpulan......................................................................................................................11 4.2. Saran............................................................................................................................11 DAFTAR PUSTAKA ................................................................................................................11 LAMPIRAN..............................................................................................................................12 I
viii
DAFTAR GAMBAR Gambar 1. Bentuk umum magic square........................................................................................2 Gambar 2. Magic square 1 × 1.....................................................................................................3 Gambar 3. Magic square 2 × 2.....................................................................................................3 Gambar 4. Magic square 3 × 3.....................................................................................................4 Gambar 5(a-h). Solusi magic square 3 × 3....................................................................................5 Gambar 6. Magic square 4 × 4.....................................................................................................5 Gambar 7. Magic square 5 × 5.....................................................................................................7 Gambar 8(a,b). Contoh magic square berukuran 5 × 5...............................................................10
ix
DAFTAR LAMPIRAN Lampiran 1. Contoh sanggahan untuk jumlah diagonal matriks = .................................... 13 Lampiran 2. Row reduce menggunakan Mathematica 7.0 ........................................................... 14 Lampiran 3. Sintaks Mathematica 7.0 dalam mencari seluruh solusi magic square berukuran 4 × 4 dari SPL yang sudah disederhanakan...................................................... 16
