Latihan : Tentukan persamaan garis a. Melalui (3, 0) dan (0, 6) b. Melalui (0, –1) dan (4, 0) y c. x
–3
–9
3. Hubungan dua buah garis Letak dua buah garis y = m1x + c1 dan y = m2x + c2 dalam satu bidang ada 3 kemungkinan : a. Sejajar jika m1 = m2 dan c1 ≠ c2 b. Berimpit jika m1 = m2 dan c1 = c2 c. Berpotongan jika m1 ≠ m2 d. Berpotongan tegak lurus (⊥) jika m1 ≠ m2 dengan m1.m2 = –1
Pada gambar di samping, manakah garisgaris yang sejajar, berimpit, berpotongan, dan berpotongan tegak lurus ?
Contoh : 1. Selidiki hubungan dua buah garis dengan persamaan x + 2y – 5 = 0 dan y = – ½ x + 2
Penyelesaian : Persamaan garis
x + 2y – 5 = 0 2y = –x + 5 y = – ½ x + 2½ Persamaan garis y = – ½ x + 2 Karena m1 = m2 maka kedua garis sejajar
→ m1 = –½ → m2 = –½
2. Selidiki hubungan dua buah garis dengan persamaan 3x + 5y – 4 = 0 dan 5x – 3y + 2 = 0
Penyelesaian : Persamaan garis
3x + 5y – 4 = 0 5y = –3x + 4 y=–
Persamaan garis
3 5
x+
5x – 3y + 2 = 0 3y = 5x + 2 5 3
y= x+ m1 ≠ m2 dan m1 x m2 = –
3 5
x
5 3
= –1
2 3
4 5
→ m1 = –
→ m2 =
3 5
5 3
Jadi kedua garis berpotongan tegak lurus
Latihan : 1. Selidiki hubungan pasangan garis-garis dengan persamaan berikut : a) y = 3x + 7 dan y = –x + 4 b) 3x + 6y – 1 = 0 dan x + 2y + 10 = 0 c) 4x – 2y = 8 dan y = 2x – 4 d) 5x – 2y + 3 = 0 dan 2x – 5y + 3 = 0 e) x – 3y = 6 dan 6x + 2y – 5 = 0 2. Tentukan persamaan garis melalui titik (2, –3) dan sejajar dengan garis dengan persamaan 2x – 3y + 1 = 0 3. Tentukan persamaan garis melalui titik (2, –3) dan tegak lurus dengan garis dengan persamaan 2x – 3y + 1 = 0
4. Sistem Persamaan Linier Sistem persamaan linier terdiri dari beberapa persamaan linier. Contoh : 2x + 3y = 21 dan x + 4y = 23 Dua buah persamaan linier diatas membentuk sebuah sistem yaitu Sistem Persamaan Linier (SPL). Sistem Persamaan Linier di atas juga dapat dituliskan dengan cara lain yaitu : 2x + 3y = 21 x + 4y = 23 Menyelesaikan suatu SPL berarti menentukan nilai variabel-variabelnya (pada contoh di atas adalah variabel x dan y) sehingga memenuhi kedua persamaan. Atau dengan kata lain mencari nilai variabel-variabelnya sehingga kedua persamaan bernilai benar. Secara grafis, menyelesaikan sistem persamaan linier berarti menentukan titik potong kedua garis.
Ada beberapa cara menyelesaikan sistem persamaan linier, diantaranya : a. Substitusi Langkah ini dilakukan dengan menyelesaikan salah satu variabel dari satu persamaan kemudian disubstitusikan ke persamaan yang lain. Contoh : Selesaikan SPL berikut dengan cara substitusi 2x + 3y = 21 x + 4y = 23 Penyelesaian : Pada persamaan kedua yaitu x + 4y = 23, kita peroleh x = 23 – 4y Nilai x ini kita substitusikan ke persamaan pertama sehingga kita peroleh : 2x + 3y = 21 2(23 – 4y) + 3y = 21 46 – 8y + 3y = 21 – 5y = 21 – 46 – 5y = – 25 y=5 Nilai y ini kita substitusikan ke salah satu persamaan semula akan diperoleh : 2x + 3y = 21 atau x + 4y = 23 2x + 3(5) = 21 x + 4(5) = 23 2x + 15 = 21 x + 20 = 23 2x = 6 x=3 Pilih salah satu persamaan saja x=3 Jadi penyelesaian dari SPL di atas adalah x = 3 dan y = 5 b. Eliminasi Cara ini dilakukan dengan cara menghilangkan(mengeliminasi) sementara salah satu variabel sehingga dapat ditentukan nilai variabel yang lain. Contoh : Selesaikan SPL berikut dengan cara eliminasi 2x + 3y = 21 x + 4y = 23 Penyelesaian : Misal kita eliminasi variabel x, maka kita kalikan masing-masing persamaan dengan suatu bilangan (yang berbeda) sehingga koefisien variabel x sama. 2x + 3y = 21 x 1 2x + 3y = 21 Agar variabel x hilang, kita kurangkan x + 4y = 23 x 2 2x + 8y = 46 kedua persamaan –5y = – 25 y=5
(kadang kita lakukan penjumlahan tergantung bentuk persamaan)
Substitusikan ke salah satu persamaan seperti cara sebelumnya dan diperoleh nilai x = 3. Jadi penyelesaian SPL di atas adalah x = 3 dan y = 5.
c. Determinan Jika suatu SPL terdiri dari n persamaan dengan n variabel, maka dengan kedua cara di atas, pekerjaan akan menjadi lebih komplek. Untuk itu ada cara menyelesaikan SPL yaitu dengan determinan. Di bawah ini akan dijabarkan cara penyelesaian SPL untuk dua variabel.
Apa Itu Determinan ? a b Untuk matriks A = � � maka determinan dari A yaitu |A| = ad – bc c d
a b c Untuk matriks A = �d e f � maka : g h i a b c a b �d e f � d e g h i g h
(tambahkan dua kolom pertama)
|A| = (aei + bfg + cdh) – (ceg + afh + bdi)
Cobalah mencari nilai determinan-determinan berikut : 1 2 3 3 5 1) |A| = � 3) |C| = �4 5 6� � 2 4 7 8 9 3 2 0 2 6 2) |B| = � 4) |D| = � 1 −1 4� � −3 4 −2 5 0
Bagaimana penyelesaian SPL dengan Determinan ? ax + by = c px + qy = r
Suatu SPL �
dapat diubah menjadi bentuk matriks menjadi :
a b x c �� � = � � r p q y
a b Jika D = � � maka cari nilai |D| p q
disingkat menjadi D.𝑣𝑣̅ = 𝑠𝑠̅
c b Jika Dx = � � maka cari nilai |Dx| r q
Ganti kolom pertama matriks D dengan 𝑠𝑠̅
a c Jika Dy = �p r� maka tentukan nilai |Dy|
Ganti kolom kedua matriks D dengan 𝑠𝑠̅
Nilai x =
|𝐷𝐷𝑥𝑥 | |𝐷𝐷|
dan nilai y =
|𝐷𝐷𝑦𝑦 | |𝐷𝐷|
Contoh : Selesaikan SPL berikut dengan cara determinan 2x + 3y = 21 x + 4y = 23
Penyelesaian : 2 3 sehingga |D| = 2(4) – 3(1) = 8 – 3 = 5 � 1 4 21 3 Dx = � � sehingga |Dx| = 21(4) – 3(23) = 84 – 69 = 15 23 4 2 21 Dy = � � sehingga |Dy| = 2(23) – 21(1) = 46 – 21 = 25 1 23 D=�
nilai x =
nilai y =
|𝐷𝐷𝑥𝑥 | |𝐷𝐷|
|𝐷𝐷𝑦𝑦 | |𝐷𝐷|
=
15
=
5
=3
25 5
=5
Jadi penyelesaian SPL di atas adalah x = 3 dan y = 5
Catatan : 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏𝑏𝑏 + 𝑐𝑐𝑐𝑐 = 𝑘𝑘 SPL berbentuk � 𝑑𝑑𝑑𝑑 + 𝑒𝑒𝑒𝑒 + 𝑓𝑓𝑓𝑓 = 𝑙𝑙 diubah menjadi matriks D𝑣𝑣̅ = 𝑠𝑠̅ 𝑔𝑔𝑔𝑔 + ℎ𝑦𝑦 + 𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝑚𝑚 𝑐𝑐 𝑥𝑥 𝑘𝑘 𝑓𝑓 � �𝑦𝑦� = � 𝑙𝑙 � 𝑖𝑖 𝑦𝑦 𝑚𝑚
𝑎𝑎 yaitu �𝑑𝑑 𝑔𝑔
𝑏𝑏 𝑒𝑒 ℎ
|𝐷𝐷𝑥𝑥 |
nilai y =
Langkah selanjutnya : Tentukan |D| Tentukan |Dx| (ganti kolom pertama matriks D dengan 𝑠𝑠̅ ) Tentukan |Dy| (ganti kolom kedua matriks D dengan 𝑠𝑠̅ ) Tentukan |Dz| (ganti kolom ketiga matriks D dengan 𝑠𝑠̅ ) Nilai x =
|𝐷𝐷|
|𝐷𝐷𝑦𝑦 | |𝐷𝐷|
dan nilai z =
|𝐷𝐷𝑦𝑦 | |𝐷𝐷|
Latihan : 1. Bentuklah persamaan linier yang garisnya melalui pasangan titik-titik berikut : a. (–1, 4) dan (1, 0) c. (0,0) dan (1, 5) b. (–1, –2) dan (–5, –2) d. (1, 4) dan (2, 3) 2. Bentuklah persamaan linier yang garisnya : a. Melalui (–1, 3) dengan lereng sebesar 2 b. Melalui (0, 4) dengan scope sebesar –3 c. Melalui (2, –5) dengan kemiringan sebesar ½ d. Melalui (3, –1) dengan koefisien arah sebesar 0 3. Diketahui f(x) = 8 – 2x. Hitunglah : a. f(–1) c. f(2) e. f(5) b. f(0) d. f(4) 4. Tentukan scope dan penggal garis (pada sumbu y) dari persamaan-persamaan : a. y = –x c. 3x – y – 7 = 0 b. y = –3 –4x d. –2x + 8y – 3 = 0 5. Tentukan titik potong dari pasangan garis-garis berikut : a. y = –2 + 4x dan y = 2x + 2 c. y = 8 dan y = 2x – 10 b. y = 4x – 2 dan y = 6 d. 2x + y – 10 = 0 dan 2x – y + 2 = 0 6. Selesaikan determinan-determinan berikut : 7 3 2 1 12 −3 1 2 3 a. �4 8 5� b. � 10 7 c. �4 5 6� 6� 6 4 9 −5 4 3 7 8 9
7. Diketahui sistem persamaan 8x = 4 + 4y 2x + 3y – 21 = 0 Selesaikan SPL di atas dengan cara determinan 8. Carilah nilai-nilai a, b, dan c dengan cara determinan jika : a+b+c =3 5a – 9b – 2c = 8 3a + 5b – 3c = 45
