PENSIUN NORMAL MENGGUNAKAN MODEL TINGKAT BUNGA COX INGERSOLL ROSS Ria Dewi Putri1*, Hasriati2, Harison2 1
Mahasiswa Program S1 Matematika 2 Dosen Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Bina Widya, Pekanbaru 28293, Indonesia *
[email protected] ABSTRACT This article discusses the normal pension for Defined Benefit Pension Plan using the interest rate model of Cox Ingersoll Ross, where the parameter in the model is estimated using maximum likelihood methods. Pension benefits to be received by the pension insurance participants are determined based on the final salary of the participant, and all pension benefits are paid at the time of participants retires. To determine the normal cost to be paid by participants and actuarial liabilities of the Pension Fund is used the Projected Unit Credit. Keywords: Normal pension, Cox Ingersoll Ross models, maximum likelihood method, Projected Unit Credit ABSTRAK Artikel ini membahas tentang pensiun normal untuk Program Pensiun Manfaat Pasti menggunakan model tingkat bunga Cox Ingersoll Ross, yang mana parameter pada model tersebut ditaksir menggunakan metode maksimum likelihood. Manfaat pensiun yang akan diterima oleh peserta asuransi pensiun ditentukan berdasarkan gaji terakhir dari peserta, dan manfaat pensiun tersebut diberikan sekaligus pada saat peserta pensiun. Untuk menentukan iuran normal yang akan dibayar peserta dan kewajiban aktuarial dari Dana Pensiun digunakan Projected Unit Credit. Kata kunci: Pensiun normal, model Cox Ingersoll Ross, metode maksimum likelihood, Projected Unit Credit 1. PENDAHULUAN Kehidupan ini penuh dengan berbagai risiko dan salah satu contoh risiko yang akan dihadapi oleh manusia yaitu risiko hari tua. Hari tua akan menyebabkan ketidakmampuan bagi seseorang untuk memperoleh penghasilan, sehingga akan berakibat kesulitan ekonomi bagi diri sendiri maupun keluarga. Salah upaya yang bisa dilakukan perusahaan untuk mengantisipasi resiko hari tua yang akan dihadapi oleh
Repository FMIPA
1
pekerjanya yaitu dengan mengikutsertakan pekerja pada suatu program asuransi pensiun yang dikelola oleh Dana Pensiun. Program yang terdapat pada asuransi pensiun terbagi atas 2 yaitu Program Pensiun Iuran Pasti dan Program Pensiun Manfaat Pasti. Pada artikel ini program yang digunakan yaitu Program Pensiun Manfaat Pasti, dimana pada program ini besar manfaat pensiun yang akan diterima oleh peserta telah ditentukan pada saat baru mendaftar menjadi peserta asuransi. Winklevoss [6, h. 4] menjelaskan faktor yang menyebabkan diberikannya manfaat pensiun kepada peserta, salah satunya yaitu peserta telah memasuki usia pensiun normal. Selain menentukan besar manfaat pensiun, Dana Pensiun perlu memperhitungkan besar iuran normal (normal cost) dan kewajiban aktuarial (actuarial liability) dari peserta. Aitken [1, h. 30] menjelaskan metode yang bisa digunakan untuk menghitung iuran normal dan kewajiban aktuarial, salah satunya yaitu Projected Unit Credit. Perhitungan terhadap iuran normal dan kewajiban aktuarial dipengaruhi oleh beberapa faktor, diantaranya tingkat bunga, anuitas, peluang hidup dan manfaat pensiun. Barokah [2] melakukan perhitungan terhadap tingkat bunga harian dan harga Zero Coupon Bond menggunakan model tingkat bunga Cox Ingersoll Ross (CIR), dan metode yang digunakan untuk menaksir nilai parameter yang terdapat pada model CIR yaitu Generalized Method of Moment (GMM). Pada artikel ini tingkat bunga CIR digunakan untuk menghitung besar iuran normal dan kewajiban aktuarial, dan untuk menaksir parameter pada model CIR digunakan metode maksimum likelihood. 2. PELUANG HIDUP, ANUITAS DAN MANFAAT PENSIUN Pada bagian ini dibahas mengenai peluang hidup, anuitas dan manfaat pensiun. Pertama-tama dibahas terlebih dahulu mengenai peluang hidup dari peserta asuransi pensiun. Misalkan d menyatakan usia saat terdaftar menjadi peserta asuransi pensiun, x menyatakan usia saat perhitungan pensiun dilakukan dan m menyatakan usia pensiun normal dengan d x m . Peluang hidup untuk peserta berusia x tahun hidup sampai m x tahun yang akan datang dinyatakan dengan [4, h. 34] l x( m x ) l m . (1) m x p x lx lx Anuitas merupakan serangkaian pembayaran dalam jumlah tertentu yang dilakukan dalam jangka tertentu [4]. Anuitas yang dilakukan setiap awal tahun selama peserta masih hidup disebut anuitas awal seumur hidup [4, h. 71]. Nilai tunai anuitas sangat dipengaruhi oleh faktor diskon dan peluang hidup peserta. misalkan v menyatakan faktor diskon dan ax merupakan notasi dari nilai tunai anuitas awal seumur hidup, dengan [4, h. 71] w x 1
ax v t t p x , dengan w usia terakhir.
(2)
t 0
Pada asuransi pensiun, manfaat pensiun merupakan besar uang pertanggungan yang akan diperoleh peserta pada saat memasuki usia pensiun normal. Pada saat berusia d tahun sampai satu tahun sebelum pensiun ( m 1 ), manfaat pensiun dinyatakan dalam manfaat tahunan. Misalkan b x menyatakan manfaat tahunan pada saat berusia x tahun,
Repository FMIPA
2
dan B x menyatakan jumlah dari manfaat tahunan selama usia awal menjadi peserta sampai usia x 1 tahun, dengan [6, h. 40] x 1
B x bt . Jika x m , maka persamaan (3) menjadi
(3)
t d
m 1
Bm bt ,
(4)
t d
dengan Bm merupakan besar manfaat pensiun yang akan diterima oleh peserta saat usia pensiun. Besar manfaat pensiun yang akan diterima oleh peserta ditentukan berdasarkan gaji terakhirnya dan dinyatakan dengan [5] (5) Bm k (m d ) sm1 , dengan k menyatakan proporsi gaji yang dipersiapkan untuk manfaat pensiun, dan s m 1 menyatakan besar gaji terakhir yang diterima oleh peserta sebelum pensiun. Metode perhitungan PUC mengasumsikan bahwa setiap tahunnya peserta mengalami kenaikan gaji. Misalkan s x menyatakan besar gaji yang diterima peserta pada usia x tahun dan f menyatakan persentase kenaikan gaji yang diterima peserta setiap tahunnya, besar gaji yang diterima peserta pada usia x t tahun dengan t 1, 2 ,, m x 1 , dinyatakan dengan [1, h. 28] s xt s x (1 f ) t .
(6)
3. PENSIUN NORMAL MENGGUNAKAN MODEL TINGKAT BUNGA COX INGERSOLL ROSS Model Cox Ingersoll Ross (model CIR) dikemukakan oleh Jhon C Cox, Jonathan E Ingersoll JR dan Stephen A Ross pada maret tahun 1985. Model CIR bersifat mean reversion, artinya tingkat bunga dari model CIR memiliki kecenderungan untuk kembali menuju rata-rata jangka panjang dari tingkat bunga. Bentuk model CIR dinyatakan dengan [2] dr (t ) ( r (t )) dt r (t ) dW (t ) , (7) dengan r (t ) menyatakan tingkat bunga dari model CIR, t menyatakan waktu dengan t 0 , menyatakan rata-rata jangka panjang dari tingkat bunga, menyatakan kecepatan kembali menuju , menyatakan volatilitas, dan W (t ) menyatakan proses Wiener. Dengan menyelesaikan persamaan diferensial pada persamaan (7) diperoleh solusi dari model tingkat bunga Cox Ingersoll Ross yaitu t
t
0
0
r (t ) r (0) ( r ( s)) ds r ( s) dW ( s) .
(8)
Dengan menggunakan persamaan (8), diperoleh ekspektasi dan variansi dari r (t ) yaitu Er (t ) e t r (0) (1 e t ) , (9)
Repository FMIPA
3
dan
Var r (t )
2 2 2 r 0 e t e 2 t 1 e t . 2
(10)
Dengan menggunakan persamaan (9) dan (10), diperoleh fungsi kepadatan peluang dari r (t ) berdistribusi normal, yaitu
r (t ) e t r (t ) (1 e t ) 2 z z 1 . f z r (t z ); , , ˆ (2 ˆ ) exp ˆ2 2 Fungsi likelihood dari persamaan (11) dinyatakan dengan 2
1 2
1 n exp r (t z ) e t r (t z 1 ) (1 e t ) 2 2ˆ z 1 Kemudian kedua pada persamaan (12) dilogaritma naturalkan L , ,ˆ (2ˆ 2 )
n 2
1 n ln L , , ˆ ln (2 ) n ln (ˆ ) 2 2 2ˆ
r (t ) e n
t
z
z 1
(11)
.
(12)
(13)
2
r (t z 1 ) (1 e t ) . 2
Untuk mencari nilai taksiran dari parameter , persamaan (13) diturunkan terhadap yang nilainya sama dengan nol, sehingga diperoleh n
n
r (t z ) e t r (t z 1 ) z 1
n (1 e
z 1 t
)
.
(14)
Pada persamaan (14) masih terdapat parameter yang belum diketahui nilainya, sehingga belum bisa dianggap sebagai nilai taksiran dari parameter . Oleh karena itu, dicari terlebih dahulu nilai taksiran dari parameter . Untuk mencari nilai taksiran dari parameter , persamaan (13) diturunkan terhadap yang nilainya sama dengan nol, sehingga diperoleh n n n r (t z ) r (t z 1 ) r (t z ) r (t z 1 ) n 2 1 z 1 z 1 . ˆ ln z 1 (15) n n t 2 2 r t z 1 2 r t z 1 n z 1 z 1 Untuk mempermudah perhitungan dari nilai taksiran dan , dimisalkan bahwa n
r (t z ) o , z 1
n
r (t z 1 ) p , z 1
n
r (t z ) r (t z 1 ) q , dan z 1
n
r z 1
2
(t z 1 ) y ,
sehingga persamaan (14) menjadi
o p e t , n (1 e t )
(16)
dan persamaan (15) menjadi
1 q o p n 2 ˆ . ln t y 2 p n 2 Repository FMIPA
(17)
4
Selanjutnya, dengan mensubstitusikan persamaan (17) ke persamaan (16) diperoleh oy qp . (18) ˆ ny nq op p 2 Persamaan (17) dan (18) merupakan nilai taksiran dari parameter dan . Iuran normal merupakan premi tahunan yang harus dibayar peserta setiap tahunnya sampai satu tahun sebelum pensiun. Iuran normal untuk peserta berusia x tahun yang pensiun pada usia pensiun normal dengan metode perhitungan PUC dinyatakan sebagai berikut [6, h. 80] 1 (19) ( NC ) x Bm v m x m x p x am . (m d ) Selain menentukan besar iuran normal dari peserta, Dana Pensiun perlu memperhitungkan besar dana yang harus dipersiapkan untuk membayar manfaat pensiun kepada peserta yang disebut dengan kewajiban aktuarial, yang mana kewajiban aktuarial saat peserta berusia x tahun dengan metode perhitungan PUC dinyatakan dengan [6, h.82] (x d ) (20) ( AL ) x Bm v m x m x p x am . (m d ) Tingkat bunga pada model CIR merupakan tingkat bunga peubah acak, sehingga faktor diskon menggunakan tingkat bunga CIR dinyatakan dengan [3, h. 638] CIR
v0 1 ,
(21)
dan CIR
m x 1 . v m x t 1 1 E r (t )
(22)
Dengan mensubstitusikan persamaan (8) ke persamaan (22), diperoleh faktor diskon untuk m x tahun yang akan datang menggunakan tingkat bunga CIR yaitu m x 1 . v m x (23) t t r (0) (1 e ) t 1 1 e Berdasarkan persamaan (2), nilai tunai anuitas awal seumur hidup untuk peserta berusia m tahun menggunakan tingkat bunga CIR dinyatakan dengan CIR
CIR
am
w x 1
t 0
CIR t
v t pm .
(24)
Manfaat pensiun yang akan diterima oleh peserta dibayarkan sekaligus pada saat memasuki usia pensiun, sehingga w x 1
t 1
v t pm 0 .
CIR t
(25)
Kemudian substitusi persamaan (21), (24) dan (1) dengan x m ke persamaan (23), sehingga diperoleh CIR am 1 . (26)
Repository FMIPA
5
Berdasarkan persamaan (19), iuran normal menggunakan tingkat bunga CIR dinyatakan dengan 1 CIR (27) ( NC ) x Bm CIR v m x m x p x CIR am . (m d ) Berdasarkan persamaan (20), kewajiban aktuarial menggunakan tingkat bunga CIR dinyatakan dengan (x d ) CIR (28) ( AL ) x Bm CIR v m x m x p x CIR am (m d ) Selanjutnya, dengan mensubstitusikan persamaan (1), (23) dan (26) ke persamaan (27) diperoleh m x lm 1 1 CIR . ( NC ) x Bm (29) t t (m d ) t 1 1 e r (0) (1 e ) l x
Dengan mensubstitusikan persamaan (1), (23) dan (26) ke persamaan (28) diperoleh (x d ) CIR (30) ( AL ) x Bm CIR v m x m x p x CIR am . (m d ) Berikut ini diberikan contoh dari penerapan perhitungan pensiun normal menggunakan model tingkat bunga CIR. Dalam menentukan peluang hidup dari peserta pensiun digunakan data yang terdapat pada Tabel Mortalita Indonesia tahun 1999 berjenis kelamin laki-laki, dan untuk mempermudah perhitungannya digunakan program Microsoft Excel. Contoh Bapak Hasan adalah seorang pekerja suatu perusahaan swasta. Ia terdaftar menjadi peserta Program Pensiun Manfaat Pasti pada usia 25 tahun. Perusahaan tempatnya bekerja menetapkan usia pensiun normal pekerjanya yaitu pada usia 56 tahun dan proporsi gaji yang dipersiapkan untuk manfaat pensiun sebesar 3%. Perhitungan asuransi pensiun dari bapak Hasan dilakukan saat berusia 30 tahun dan besar gaji yang diterimanya dalam satu tahun pada usia 30 tahun yaitu sebesar Rp 20.400.000,00. Setiap tahunnya, bapak Hasan memperoleh kenaikan gaji sebesar 2%. Lakukanlah perhitungan terhadap pensiun normal dari bapak Hasan menggunakan model tingkat bunga CIR. Dari contoh soal diatas, diketahui bahwa usia terdaftar menjadi peserta pensiun yaitu d 25 tahun, usia perhitungan pendanaan pensiun x 30 tahun, usia pensiun normal m 56, proporsi gaji yang dipersiapkan untuk manfaat pensiun yaitu k 0,03 dan gaji pada usia 30 tahun yaitu s30 Rp 20.400.000,00 serta kenaikan gaji setiap tahunnya sebesar f 0,02. Dengan menggunakan persamaan (6) untuk t m x 1 , diperoleh s55 = Rp. 33.468.362,29, artinya taksiran gaji yang akan diperoleh bapak Hasan saat berusia satu tahun sebelum pensiun yaitu sebesar Rp. 33.468.362,29. Selanjutnya menggunakan persamaan (5) diperoleh manfaat pensiun yang akan diterima bapak Hasan saat pensiun yaitu
B56 Rp 31.125.576,93.
Repository FMIPA
6
Pada contoh soal ini, untuk menaksir parameter dari model tingkat bunga CIR digunakan data dari tingkat bunga Indonesia tahun 2006 sampai 2014 yang disajikan pada Tabel 1. Tabel 1. Tingkat bunga Indonesia tahun 2006-2014 Tahun 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014
Tingkat bunga Indonesia 0,1275 0,0950 0,0800 0,0875 0,0650 0,0675 0,0600 0,0575 0,0750
Sumber: Bank Indonesia dan Bursa Efek Indonesia Dari data tingkat bunga yang terdapat pada Tabel 1 dengan r (0) 0,1275 dan t 1 , diperoleh o 0,5875 , p 0,64 q 0,0486 , dan y 0,055 . Untuk mencari nilai taksiran dari digunakan persamaan (18), sehingga diperoleh ˆ 0,00146 . Selanjutnya dengan menggunakan persamaan (17) diperoleh ˆ 0,12714 . Kemudian dengan menggunakan persamaan (23), diperoleh faktor diskon selama 26 tahun yang akan datang yaitu CIR 26 v 0,4040468. Dengan menggunakan persamaan (29), diperoleh iuran normal dari bapak Hasan saat berusia 30 tahun yaitu sebesar CIR (NC ) 30 Rp 368.101,80. Selanjutnya dengan menggunakan persamaan (30), diperoleh kewajiban aktuarial saat bapak Hasan berusia 30 tahun yaitu sebesar CIR
(AL) 30 Rp 1.840.508,99.
Perhitungan terhadap besar iuran normal dan kewajiban aktuarial dari bapak Hasan menggunakan model tingkat bunga CIR secara lengkap disajikan pada Tabel 2.
Repository FMIPA
7
Tabel 2. Iuran Normal dan kewajiban aktuarial Bapak Hasan menggunakan tingkat bunga CIR.
t
x
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31
25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56
v m x 0,3947453 0,3962884 0,3979690 0,3998067 0,4018241 0,4040468 0,4065049 0,4092326 0,4122699 0,4156629 0,4194652 0,4237395 0,4285587 0,4340087 0,4401903 0,4472228 0,4552477 0,4644339 0,4749841 0,4871427 0,5012067 0,5175392 0,5365880 0,5589092 0,5852003 0,6163446 0,6534714 0,6980420 0,7519693 0,8177901 0,8989152 1
px 0,901195023 0,902436517 0,903662830 0,904883153 0,906116129 0,907361849 0,908610999 0,909873024 0,911166933 0,912502469 0,913927556 0,915423923 0,917030568 0,918758242 0,920608285 0,922582137 0,924681344 0,926927138 0,929331428 0,931936172 0,934794416 0,937960806 0,941532323 0,945589297 0,950195386 0,955407773 0,961266796 0,967763274 0,974889217 0,982593608 0,990923869 1 m x
CIR
( NC) x
357183,53 359073,77 361086,60 363243,90 365574,18 368101,80 370851,01 373858,06 377168,39 380829,86 384913,77 389472,59 394593,46 400364,37 406884,45 414271,15 422664,30 432240,29 443205,77 455824,94 470423,14 487397,92 507261,46 530639,39 558307,17 591245,77 630704,93 678275,91 736056,39 806810,37 894364,90 0
CIR
( AL) x
0 359073,77 722173,20 1089731,69 1462296,72 1840508,99 2225106,07 2617006,44 3017347,13 3427468,78 3849137,69 4284198,53 4735121,56 5204736,86 5696382,28 6214067,24 6762628,78 7348084,99 7977703,96 8660673,92 9408462,76 10235356,33 11159752,10 12204706,14 13399372,18 14781144,37 16398328,11 18313449,65 20609578,82 23397500,89 26830947,10 31125576,93
4. KESIMPULAN Kesimpulan yang penulis peroleh dari penulisan skripsi ini yaitu penggunaan model tingkat bunga CIR pada perhitungan asuransi pensiun akan mempengaruhi besar faktor diskonnya, sehingga hal ini juga akan mempengaruhi perhitungan terhadap iuran normal Repository FMIPA
8
dan kewajiban aktuarial. Faktor diskon menggunakan model tingkat bunga CIR pada persamaan (23) dipengaruhi oleh rata-rata jangka panjang dari tingkat bunga ( ) dan kecepatan kembali menuju yaitu . Jika nilai besar, maka faktor diskonnya akan besar, sebaliknya jika nilai kecil maka faktor diskonnya juga kecil. Apabila faktor diskonnya besar, maka iuran normal dan kewajiban aktuarialnya juga besar, sebaliknya apabila faktor diskonnya kecil maka iuran normal dan kewajiban aktuarial juga kecil (sesuai persamaan (29) dan (30)). Sehingga dengan besar manfaat pensiun yang sama, iuran normal menggunakan nilai yang kecil akan menguntungkan peserta dibandingkan menggunakan nilai yang besar. DAFTAR PUSTAKA [1]
Aitken, W. H. 1994. A Problem-Solving Approach to Pension Funding and Valuation, Second Edition. ACTEX Publications, USA.
[2]
Barokah, A. R. 2009. Implementasi Model Cox Ingersoll Ross dalam Mengaproksimasi Tingkat Bunga Harian dan Harga Zero Coupon Bond. Skripsi S1 Matematika FMIPA Universitas Indonesia. Depok, Indonesia.
[3]
Bowers, N. L., H. U. Gerber, J. C. Hickman, D. A. Jones, & C. J. Nesbitt. 1997. Actuarial Matematics. The Society of Actuaries, USA.
[4]
Futami, T. 1993. Matematika Asuransi Jiwa Bagian I. Herliyanto, Gatot, penerjemah. Tokyo: Oriental Life Insurance Cultural Development Center. Terjemahan dari: Seismei Hoken Sugaku, Jokan (“92 Reversion).
[5]
Oktiani, Irma. 2013. Perhitungan Aktuaria Untuk Manfaat Pensiun-Normal Menggunakan Metode Projected Unit Credit dan Entry Age Normal. Skripsi S1 Matematika FMIPA Institut Pertanian Bogor. Bogor, Indonesia.
[6]
Winklevoss, H. E. 1993. Pension Mathematics with Numerical Illustration, Second edition. University of Pennsylvania Press, Philadelphia.
Repository FMIPA
9
