ANALISIS DAYA TAHAN DEBITUR MENGGUNAKAN PERLUASAN MODEL COX DAN COX STRATIFIKASI
IWAN KURNIAWAN
SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2016
PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis berjudul Analisis Daya Tahan Debitur Menggunakan Perluasan Model Cox dan Cox Stratifikasi adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini. Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor. Bogor, Februari 2016 Iwan Kurniawan NIM G151130051
RINGKASAN IWAN KURNIAWAN. Analisis Daya Tahan Debitur Menggunakan Perluasan Model Cox dan Cox Stratifikasi. Dibimbing oleh ANANG KURNIA dan BAGUS SARTONO. Perluasan model Cox dan Cox stratifikasi adalah model Cox yang digunakan untuk mengatasi ketidakterpenuhinya asumsi hazard proporsional pada peubah penjelas. Perluasan model Cox adalah pengembangan model Cox hazard proporsional yang dibangun dengan menambahkan interaksi peubah yang tidak proporsional dengan durasi daya tahan terhadap model dasar Cox. Adapun model Cox stratifikasi yang dibangun dari peubah-peubah yang tidak memenuhi asumsi hazard proporsional dibuat menjadi strata sehingga di setiap strata memenuhi asumsi keproporsionalan. Model yang lebih kompleks tidak menjamin hasil pendugaan akan lebih akurat, oleh karena itu penelitian ini mencoba memodelkan serta mengkaji kesesuaian dan kebaikan dari Perluasan Model Cox dan Cox Stratifikasi untuk mengatasi masalah asumsi hazard yang tidak proporsional. Penelitian ini menggunakan data sekunder yang diperoleh dari salah satu cabang perusahaan pembiayaan konsumen berupa pembelian kredit motor. Data pembelian kredit motor diambil selama 42 bulan dari bulan Januari tahun 2008 sampai Juni 2011. Keseluruhan debitur terdiri dari 22737 nasabah dengan 16 karakteristik dari masing-masing debitur pada pembelian kredit motor ini. Pengaruh waktu daya tahan debitur melaksanakan kewajibannya yang berkaitan dengan karakteristik masing-masing debitur dapat dilihat dari efek rasio hazard-nya. Rasio hazard ini bergantung pada perbandingan nilai fungsi hazard satu individu dengan individu lainnya. Rasio hazard ini menjelaskan seberapa besar dampak yang ditimbulkan dari setiap faktor masing-masing debitur terhadap risiko gagal bayar. Hasil penelitian ini menunjukkan bahwa dengan metode Kaplan-Meier menghasilkan penurunan fungsi daya tahan yang curam terjadi pada 10 bulan pertama dan setelahnya penurunannya lebih lambat. Sementara itu, hasil lainnya menunjukkan risiko gagal bayar yang menggunakan pemodelan regresi Cox hazard proporsional tidak memenuhi asumsi hazard proporsional. Untuk itu, pengembangan model yang digunakan pada penelitian ini adalah perluasan model Cox dan Cox stratifikasi. Kedua pengembangan model tersebut menghasilkan nilai AIC yang cenderung berbeda dan model Cox stratifikasi lebih baik daripada perluasan model Cox. Pada penelitian ini, strata yang digunakan pada model Cox stratifikasi terdiri dari 783 strata. Faktor-faktor yang paling mempengaruhi durasi daya tahan debitur untuk melaksanakan kewajibannya berdasarkan model Cox stratifikasi adalah tipe motor, kepemilikan telepon(tetap/tidak tetap), jenis pekerjaan, status pernikahan, tanggungan keluarga, dan besar angsuran. Kata kunci: kredit motor, perluasan model Cox, Cox stratifikasi, rasio hazard.
SUMMARY IWAN KURNIAWAN. Survival Analysis of Debtor Using Extended Cox Model and Stratification Cox. Supervised by ANANG KURNIA and BAGUS SARTONO. Extended Cox Model and Stratification Cox are the models used to solving proportional hazard asumption violated. Extended Cox models is the development model of Cox proportional hazard models were built by adding interaction of variables that are nonproportional with the survival time to Cox model. The stratified Cox models constructed of variables that do not meet the proportional hazards assumption was made into strata so that in every strata satisfy the proportional assumptions. A more complex model does not guarantee the results will be more accurate estimation. Therefore, the purpose of this research is to model and assess the appropriateness and the goodness of the Extended Model Cox and Cox Stratification to resolve the problem of assumption a nonproportional hazard. This research uses secondary data obtained from one of the branches of consumer finance company in the form of the purchase of motorcycle credit. Data purchases of motorcycle credit taken during the 42 months from January 2008 to June 2011. Overall debtors consist of 22737 customers with 16 characteristics of an each debtor on this purchase of motorcycle credit. To influence of survival time debtors can do its obligations with many of the characteristics seen from its effects hazard ratio. The hazard ratio depends on the hazard function value comparison from individual to others. The hazard ratio describes how much impact each factor against the risk of default to pay. The results of this research indicate that the Kaplan-Meier method produces a decrease rapidly in survival function occurred in the first 10 months and after decrease more slowly. Meanwhile, other results showed the default risk to pay using Cox proportional hazard regression modeling does not meet the assumption of proportional hazards. For that, the development model used in this research is the extended Cox model and Cox stratification. Both the development of the model produces a value AIC rather different and stratified Cox models better than the expansion of Cox models. In this research, the strata used in stratified Cox models consists of 783 strata. The factors that most influence the survival time of the debtor doing its obligations based on stratified Cox models are the type of motor, phone ownership (fixed/not fixed), occupation, marital status, amenability of family, and installment payment.
Keywords: motor credit, Extended Cox Model, Stratification Cox, hazard ratio.
© Hak Cipta Milik IPB, Tahun 2016 Hak Cipta Dilindungi Undang-Undang Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan atau menyebutkan sumbernya. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan, penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik, atau tinjauan suatu masalah; dan pengutipan tersebut tidak merugikan kepentingan IPB Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya tulis ini dalam bentuk apa pun tanpa izin IPB
ANALISIS DAYA TAHAN DEBITUR MENGGUNAKAN PERLUASAN MODEL COX DAN COX STRATIFIKASI
IWAN KURNIAWAN
Tesis sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains pada Program Studi Statistika
SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2016
Penguji Luar Komisi pada Ujian Tesis: Dr. I Made Sumertajaya, MSi
Judul Tesis : Analisis Daya Tahan Debitur Menggunakan Perluasan Model Cox dan Cox Stratifikasi Nama : Iwan Kurniawan NIM : G151130051
Disetujui oleh Komisi Pembimbing
Dr Anang Kurnia, MSi Ketua
Dr Bagus Sartono, MSi Anggota
Diketahui oleh
Ketua Program Studi Statistika
Dekan Sekolah Pascasarjana
Dr Kusman Sadik, MSi
Dr Ir Dahrul Syah, MScAgr
Tanggal Ujian: 12 Februari 2016
Tanggal Lulus:
PRAKATA Puji dan syukur penulis ucapkan kehadirat Allah Subhanahu wa ta‟ala atas segala karunia-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan tesis ini. Shalawat serta salam semoga senantiasa tercurah kepada junjungan kita Nabi Muhammad SAW beserta keluarga Beliau, para Sahabat, serta para penerus perjuangan Beliau hingga akhir zaman. Penelitian ini berjudul “Analisis Daya Tahan Debitur Menggunakan Perluasan Model Cox Dan Cox Stratifikasi”. Penulisan karya ilmiah ini tidak lepas dari bantuan, bimbingan, dan petunjuk dari berbagai pihak. Oleh karena itu, penulis menyampaikan penghargaan dan ucapan terima kasih khususnya kepada: 1. Dr Anang Kurnia, MSi selaku pembimbing I dan Dr Bagus Sartono, MSi selaku pembimbing II yang dengan kesabaran telah banyak memberi bimbingan, arahan, serta saran kepada penulis selama penyusunan tesis ini. 2. Dr I Made Sumertajaya, MSi selaku penguji luar komisi yang telah memberikan masukan dan arahan yang sangat membangun dalam penyusunan tesis ini. 3. Seluruh staf pengajar dan administrasi pascasarjana Departemen Statistika IPB yang telah banyak memberikan ilmu dan arahan selama perkuliahan sampai dengan penyusunan karya ilmiah ini. 4. Kedua orang tua serta seluruh keluarga yang berada di Bandung dan Bogor atas do‟a, dukungan, dan kasih sayang yang diberikan. 5. Teman-teman statistika angkatan 2013 atas kebersamaan, kekompakannya, bantuan dan masukannya selama bersama-sama menempuh kuliah. 6. Direktorat Pendidikan Tinggi (DIKTI) sebagai sponsor pemberi beasiswa BPPDN yang mendukung kelanjutan studi S2 penulis. 7. Prof Dr Ir Achmad, MS selaku pembina spiritual atas nasehat dan perhatiannya dalam meluruskan tujuan penulis selama menuntut ilmu agar mendapatkan kebahagiaan dunia dan akhirat. 8. Seluruh pihak yang namanya tidak dapat disebutkan satu per satu. Atas segala bantuan yang diberikan, penulis hanya bisa berdoa dengan harapan semoga semua kebaikan yang penuh keikhlasan tersebut dicatat sebagai amal ibadah dan mendapatkan balasan berupa pahala disisi Allah Subhanahu wa ta‟ala. Aamiin Ya Rabbal „Alamin. Semoga karya ilmiah ini bermanfaat serta dapat menambah wawasan bagi para pembaca.
Bogor, Februari 2016 Iwan Kurniawan
DAFTAR ISI DAFTAR TABEL
vi
DAFTAR GAMBAR
vi
DAFTAR LAMPIRAN
vi
1 PENDAHULUAN Latar Belakang Tujuan Penelitian
1 1 2
2 TINJAUAN PUSTAKA Analisis Daya Tahan Fungsi Daya Tahan (Survival Function) Fungsi Hazard Metode Kaplan-Meier Regresi Hazard Proporsional (Model Cox) Pendugaan Parameter Asumsi Hazard Proporsional Pengujian Penduga Parameter Interpretasi Koefisien Perluasan Model Cox Pemodelan Cox Stratifikasi Pemilihan Model Terbaik
3 3 3 4 6 6 6 9 9 10 10 11 12
3 METODE Data Prosedur Analisis Data
13 13 14
4 HASIL DAN PEMBAHASAN Deskripsi dan Eksplorasi Data Pemodelan Gagal Bayar Menggunakan Regresi Hazard Proporsional Pengembangan Model Untuk Mengatasi Ketidakproporsionalan Fungsi Hazard Perluasan Model Cox Model Cox Stratifikasi Evaluasi Model Interpretasi Model Cox Stratifikasi
15 15 20
5 SIMPULAN DAN SARAN Simpulan Saran
25 25 25
DAFTAR PUSTAKA
26
LAMPIRAN
27
RIWAYAT HIDUP
50
21 21 22 23 24
DAFTAR TABEL 1 2 3 4
Nilai α dan taraf nyata Peubah-peubah penjelas yang digunakan Sisaan Schoenfeld Nilai AIC setiap model
12 13 21 23
DAFTAR GAMBAR 1 2 3 4 5
6
7 8 9 10
Jenis sensor titik Grafik fungsi kumulatif peluang 𝐹(𝑡) Grafik teoritis fungsi daya tahan S(𝑡) Sebaran debitur berdasarkan status pembayaran Persentase debitur yang mengalami lunas/lancar (sensor) dan gagal bayar pada peubah penjelas tipe motor (a), telepon tetap (b), kepemilikan telepon (c), uang muka (d), jangka waktu pinjaman (e), jenis kelamin (f), pendapatan (g), dan pendapatan total (h). Persentase debitur yang mengalami lunas/lancar (sensor) dan gagal bayar pada peubah penjelas jumlah angsuran (a), kepemilikan tempat tinggal (b), status pernikahan (c), jumlah tanggungan (d), tingkat pendidikan (e), pekerjaan (f), jenis pendapatan (g), dan usia (h). Fungsi daya tahan Fungsi hazard Fungsi daya tahan (uang muka) Grafik –ln(-ln S(t)) untuk peubah jangka waktu pinjaman
3 4 4 15
16
17 18 18 18 21
DAFTAR LAMPIRAN 1 Peubah-peubah penjelas yang digunakan beserta peubah boneka yang dibentuk 2 Diagram alir penelitian 3 Grafik fungsi daya tahan metode Kaplan-Meier untuk setiap peubah penjelas 4 Hasil analisis regresi hazard proporsional model Cox 5 Grafik -ln(-ln 𝑆(𝑡)) untuk setiap peubah penjelas 6 Hasil analisis perluasan model Cox 7 Hasil analisis perluasan model Cox setelah direduksi 8 Hasil analisis model Cox stratifikasi 9 Hasil analisis model Cox stratifikasi setelah direduksi 10 Pemeriksaan rasio hazard perluasan model Cox pada data validasi dibandingkan dengan selang kepercayaan rasio hazard pada data pemodelan 11 Pemeriksaan rasio hazard model Cox stratifikasi pada data validasi dibandingkan dengan selang kepercayaan rasio hazard pada data pemodelan
28 31 32 35 37 40 42 44 46
47
49
1
1 PENDAHULUAN Latar Belakang Motor merupakan alat transportasi pribadi yang sering digunakan masyarakat. Keefektifan dan keefisienan motor ini menjadikan daya tarik tersendiri untuk masyarakat memilikinya. Motor dipilih karena harganya yang bisa dijangkau oleh hampir semua kalangan masyarakat. Persyaratan pengajuan kredit yang mudah juga membuat sebagian masyarakat mengambil keputusan untuk membeli motor. Perusahaan pembiayaan kredit atau lebih dikenal dengan leasing merupakan badan usaha di luar bank dan lembaga keuangan bukan bank yang khusus didirikan untuk melakukan kegiatan usaha diantaranya: sewa guna usaha, anjak piutang, atau pembiayaan konsumen (Oktaputra 2014). Usaha pembiayaan konsumen ini memberikan fasilitas pinjaman berupa kredit kepada pembeli motor, namun proses kredit ini tidak terbebas dari risiko. Risiko yang dimaksud adalah kegagalan debitur dalam memenuhi kewajiban membayar pinjaman kepada pemberi pinjaman atau kreditur. Debitur adalah perorangan, perusahaan atau badan yang memperoleh satu atau lebih fasilitas penyediaan dana. Risiko kredit dapat diminimumkan dengan cara selektif terhadap debitur yang akan melakukan kredit. Penggunaan model merupakan salah satu alternatif untuk mengetahui faktor-faktor yang mempengaruhi debitur mengalami kegagalan dalam memenuhi kewajibannya untuk melakukan pembayaran. Menurut Prasetya (2006) faktor-faktor yang diduga mempengaruhi kegagalan debitur dalam memenuhi kewajibannya adalah karakteristik demografi dan pinjaman debitur. Karakteristik debitur ini dapat dimodelkan dengan menggunakan analisis daya tahan untuk melihat pengaruh gagal bayar debitur. Analisis daya tahan adalah salah satu teknik statistika yang digunakan untuk menganalisis waktu daya tahan debitur dapat melaksanakan kewajibannya. Analisis daya tahan dikembangkan pertama kali oleh astronom Inggris, yaitu Edmund Halley (16561742) (Armitage 1973, Johnson dan Johnson 1980, Miller 1981, Kuzma 1984). Seiring berkembangnya ilmu statistik, analisis daya tahan menjadi salah satu alat penting bagi ilmu lainnya seperti di bidang kesehatan, aktuaria serta ilmu lainnya. Beberapa metode dipakai dalam analisis daya tahan diantaaranya metode nonparametrik seperti metode Kaplan-Meier, parametrik dengan sebaran tertentu seperti Weibull dan Eksponensial, dan semiparametrik seperti model Cox. Metode statistik yang sering dipakai dalam analisis daya tahan adalah metode semiparametrik regresi Cox. Beberapa alasan regresi Cox ini digunakan diantaranya: dapat menduga hazard ratio tanpa perlu diketahui fungsi hazard dasar; dapat menduga fungsi hazard dasar, fungsi hazard, dan fungsi daya tahan walaupun baseline hazard function tidak spesifik; model cox adalah robust yang hampir sama dengan hasil model parametrik (Kleinbaum dan Klein 2012). Namun, model regresi Cox ini tetap dapat memberikan informasi yang berguna berupa hazard ratio. Hazard ratio adalah perbandingan nilai hazard atau risiko gagal bayar antara satu individu dengan individu lainnya yang bersifat konstan dan tidak dipengaruhi oleh waktu sehingga bersifat proporsional. Oleh sebab itu,
2 model regresi Cox juga dikenal dengan nama model regresi Cox hazard proporsional. Model regresi Cox mempunyai asumsi hazard proporsional yang harus dipenuhi. Namun, masalah terjadi ketika asumsi ini dilanggar sehingga terjadi perubahan hazard ratio seiring berjalannya waktu dan menjadikan tidak proporsional. Akibatnya, jika asumsi hazard proporsional tidak terpenuhi maka model yang dihasilkan tidak sesuai yang diharapkan dan mengakibatkan interpretasi model tidak sesuai. Berdasarkan penelitian yang dilakukan Yohanes (2011) pada data pecandu heroin, tidak semua nilai hazard dengan peubah penjelas dalam pemodelan Cox memenuhi asumsi proportional hazard. Penelitian pada data debitur pembelian motor ini juga menemukan hal yang sama yaitu terdapat nilai hazard dengan beberapa peubah penjelas yang tidak memenuhi asumsi proporsional hazard. Hal ini akan menjadi kesalahan dalam menginterpretasikan faktor-faktor yang mempengaruhi waktu debitur hingga pinjamannya menjadi macet. Dengan keterbatasan asumsi ini, penelitian ini mengkaji alternatif pemodelan pada regresi Cox yaitu diantaranya stratifikasi dan perluasan model Cox (Kleinbaum dan Klein 2012).
Tujuan Penelitian 1. 2. 3.
Tujuan dari penelitian ini antara lain: Memberikan gambaran umum mengenai debitur yang melakukan kredit motor pada salah satu cabang perusahaan leasing. Memodelkan risiko kredit dengan regresi hazard proposional perluasan model Cox dan model Cox stratifikasi. Mengidentifikasi faktor-faktor yang mempengaruhi waktu seorang debitur hingga pinjamannya menjadi macet.
3
2 TINJAUAN PUSTAKA Analisis Daya Tahan Analisis daya tahan adalah suatu metode statistika yang digunakan untuk analisis data pada durasi daya tahan (Kleinbaum dan Klein 2012). Durasi daya tahan(survival time) adalah jangka waktu yang dicapai suatu objek dari waktu awal (waktu pemberian perlakuan) sampai terjadinya suatu peristiwa (event). Peristiwa ini dapat berupa pengembangan penyakit, respon terhadap pengobatan, kambuh, atau kematian (Lee dan Wang 2003). Waktu dari setiap individu tidak harus sama dan satuannya dapat berupa tahun, bulan, minggu atau hari. Durasi daya tahan tidak semua dapat diamati secara lengkap. Hal ini bisa disebabkan oleh berakhirnya masa pengamatan, individu yang diamati menghilang dalam masa pengamatan, meninggal dunia atau sebab lain diluar penelitian (Kleinbaum dan Klein 2012). Apabila durasi daya tahan dapat diamati selama masa pengamatan maka disebut data lengkap, sedangkan bila tidak dapat diamati secara lengkap maka disebut data tersensor. Menurut Leung et al. (1997) secara lebih rinci, tipe-tipe data tersensor dibagi dalam lima jenis seperti yang ditunjukkan pada Gambar 1, yaitu: 1. Sensor kanan: - Sensor kanan jenis 1, tersensor karena tidak mengalami kejadian sampai akhir pengamatan (objek A). - Sensor kanan jenis 2, tersensor karena tidak dapat mengikuti hingga akhir pengamatan akibat kejadian lain di luar penelitian (objek B). 2. Sensor kiri, yaitu waktu awal di luar masa pengamatan dan kejadian terjadi dalam periode pengamatan (objek C). 3. Sensor kiri dan kanan, yaitu waktu awal terjadi sebelum masa pengamatan dan waktu kejadian terjadi setelah masa pengamatan (objek D). 4. Sensor kanan secara lengkap, yaitu waktu awal dan waktu kejadian terjadi setelah akhir pengamatan (objek E). 5. Sensor kiri secara lengkap, yaitu waktu awal dan waktu kejadian terjadi sebelum awal masa pengamatan (objek F). A B C D F
E
Gambar 1 Jenis sensor titik Fungsi Daya Tahan (Survival Function) Fungsi yang dapat memberi ciri sebaran durasi daya tahan adalah fungsi daya tahan atau survival. Fungsi daya tahan merupakan fungsi yang menyatakan peluang suatu individu dapat bertahan hingga lebih dari waktu t. Fungsi daya tahan (𝑡) merupakan komplemen dari fungsi sebaran kumulatif (𝑡) (Gambar 2).
4 Misalkan 𝑇 adalah peubah acak tidak negatif pada interval [0, ∞) untuk durasi daya tahan, maka fungsi daya tahan didefinisikan sebagai S(t) = P(T > t) (Lawless 2007). Dari definisi fungsi sebaran kumulatif dari T, fungsi daya tahan dapat dinyatakan juga sebagai berikut S (t ) 1 P(T t ) 1 F (t ) F (t ) 1 S (t ) d F (t ) d (1 S (t )) dt dt d ( S (t )) f (t ) S '(t ). dt Hubungan kepekatan peluang dan fungsi sebaran kumulatif dari T dengan fungsi daya tahan yaitu f (t ) F '(t ) S '(t ). Fungsi daya tahan adalah suatu fungsi monoton tak naik seperti ditunjukkan pada Gambar 3.
Gambar 2 Grafik fungsi peluang kumulatif 𝐹(𝑡)
Gambar 3 Grafik teoritis fungsi daya tahan 𝑆(𝑡)
Fungsi Hazard Fungsi hazard adalah fungsi yang menyatakan limit dari peluang suatu individu mengalami kejadian pada selang waktu yang pendek (Δ𝑡 → 0) dengan syarat bahwa individu itu telah bertahan hingga waktu t, fungsinya sebagai berikut, P(t T (t t ) | T t ) h(t ) lim . t 0 t Jika T adalah suatu peubah acak kontinu dan misalkan f(t) adalah fungsi kepekatan peluang pada waktu t, maka dari persamaan h(t) sebelumnya diperoleh: P(t T (t t ) | T t ) h(t ) lim . t 0 t
5
P((t T (t t )) (T t )) P(T t ).t P(t T (t t )) lim t 0 S (t ).t P(t T (t t )) 1 . lim t S (t ) t 0 f (t ) . S (t ) Karena diketahui bahwa S(t) = 1 - F(t), maka d F (t ) d (1 S (t )) d ( S (t )) f (t ) F '(t ) S '(t ) dt dt dt dan f (t ) S '(t ) d (ln S (t )) d ( S (t )) d (ln S (t )) h(t ) S '(t ). . S (t ) S (t ) d (S (t )) dt d (S (t )) d (ln S (t )) h(t ) ...(1). dt Dari beberapa persamaan (1) diperoleh t t d (ln S ( x)) h x dx ( ) 0 0 dx lim
t 0
t
t
0
0
h( x)dx
d ln S ( x)dx dx
t
h( x)dx ln S ( x) 0 t
0 t
h( x)dx ln S (t ) ln S (0)...(2). 0
Karena S(0) = 1, ln S(0) = 0, sehingga persamaan (2) menjadi t
h( x)dx ln S (t ) 0
t S (t ) exp h( x)dx . 0 Dari uraian di atas, diperoleh hubungan antara S(t), h(t), dan f(t), yaitu sebagai berikut: a. f (t ) S '(t ) f (t ) b. h(t ) S (t ) t c. S (t ) exp h( x)dx . 0
6 Metode Kaplan-Meier Metode Kaplan-Meier merupakan salah satu metode nonparametrik yang dapat digunakan untuk menduga fungsi daya tahan tanpa mengikutsertakan peubah penjelas. Metode ini tidak memerlukan asumsi sebaran tertentu. Metode Kaplan-Meier mengelompokkan data ke dalam suatu selang, dalam setiap selang memuat satu kejadian. Misal t1, t2, …, tn adalah durasi daya tahan dari n individu dalam pengamatan. Durasi daya tahan tersebut diurutkan dari yang terkecil hingga yang terbesar. Misal 𝑡𝑘 adalah durasi daya tahan ke-k, dengan 𝑡1 < 𝑡2 < ⋯ < 𝑡𝐷 D adalah banyaknya durasi daya tahan yang berbeda dengan D ≤ n. Peluang kejadian d dalam setiap selang k diduga dengan k dan peluang bertahannya diduga dengan nk n dk pk k nk dengan dk adalah banyaknya kejadian pada setiap selang k, dan nk adalah banyaknya individu pada awal selang k. Penduga fungsi daya tahan dengan menggunakan metode Kaplan-Meier adalah sebagai berikut Sˆ (k ) pˆ1 pˆ 2 pˆ 3 ... pˆ k
k 1 pˆ k . D
Regresi Hazard Proporsional (Model Cox) Regresi hazard proporsional atau yang lebih dikenal dengan model Cox dapat menerangkan pengaruh karakteristik yang dimiliki responden secara simultan. Asumsi untuk model ini adalah memiliki hazard yang bersifat proporsional. Secara umum tingkat hazard untuk suatu individu ke-i adalah sebagai berikut p
h(t | x) h0 (t ).exp( j xij ) j 1
h0 (t ).exp(b ' x) dengan, 𝑡 ℎ0(𝑡)
= waktu hingga terjadinya suatu peristiwa = fungsi hazard dasar (baseline hazard function) j = koefisien model regresi Cox peubah ke-j 𝑥𝑖𝑗 = peubah penjelas ke-j untuk individu ke-i. b = vektor koefisien peubah penjelas x = vektor peubah penjelas. Fungsi hazard dasar adalah nilai tingkat hazard ketika seluruh peubah penjelasnya bernilai nol (Cox 1972). Pendugaan Parameter Pendugaan parameter dapat dicari melalui fungsi kemungkinan parsial yang didasarkan pada peluang bersyarat(Cox dan Oakes 1984). Misalkan tk adalah waktu kejadian ke-k,dengan t1< t2 < ⋯ < tD , D adalah banyaknya waktu kejadian
7 yang berbeda. X(𝑘)𝑗 adalah peubah penjelas ke-j dari individu dengan waktu kejadian 𝑡𝑘 dan 𝑅(𝑡𝑘) adalah himpunan individu yang memiliki risiko pada waktu 𝑡𝑘. Peluang Cox individu ke-i dengan peubah X mengalami kejadian pada waktu 𝑡𝑘 adalah: hi (tk | X ( k ) j ) P ( X k mengalami kejadiantk ) l(β) = P( R tk mengalami kejadiantk ) hi (tk | X (m) j ) mR ( tk )
exp[ j 1 j X ( k ) j ] p
exp[ j 1 j X ( m ) j ] p
mR ( tk )
...(3).
Dengan mengambil hasil peluang bersyarat (3), membentuk fungsi kemungkinan parsial seperti berikut,
exp[ j 1 j X ( k ) j ] p
D
L(β) =
k 1
mR ( tk )
. p exp[ j 1 j X ( m ) j ]
Misalkan logaritma natural dari L(𝛽) adalah ln L(𝛽). Pendugaan parameter 𝛽 dilakukan dengan memaksimumkan L(𝛽) yang diperoleh dari turunan pertama L(𝛽) terhadap 𝛽𝑗 = 0, untuk j=1,2,…, p (Klein dan Moeschberger 2003). p D exp[ j 1 j X ( k ) j ] ln L(β) = ln p X ] k 1 exp[ j 1 j ( m ) j mR ( tk )
n = j X ( k ) j ln exp k 1 j 1 mR (tk ) p
dan
X j 1 j ( m ) j
p
ln L( ) 0 j
p p exp X X (k ) j j ( m ) j j 1 n p j 1 X ( k ) j mR (tk ) 0...(4). p k 1 j 1 exp j 1 j X ( m ) j mR ( tk ) Persamaan (4) dapat diselesaikan secara numerik yaitu dengan iterasi menggunakan metode Newton-Raphson. Hasil turunan kedua dari ln L(β) terhadap β adalah negatif sehingga fungsi logaritma kemungkinan menjadi maksimum.
2 p p exp p j X ( m ) j X ( k ) j X ( k ) j exp p j X ( m ) j j 1 j 1 2 n ln L( ) mR ( tk ) j 1 mR (tk ) j 1 2 p ( j ) 2 i 1 exp j 1 j X ( m ) j p exp X mR ( tk ) j 1 j ( m) j m R ( tk )
2
Analisis data daya tahan biasanya menggunakan prosedur Newton-Raphson dalam memaksimalkan fungsi partial likelihood. Misalkan L(β) merupakan fungsi
8 partial likelihood p dimensional vektor β = (β1, β2,...,β3)t. Misalkan U(β) merupakan vektor berukuran p dari turunan parsial pertama L(β) maka U(β) = U1 (β), ..., Up (β)
dengan U j ( )
t
ln L( ) , j 1, 2,..., p. j
Misalkan I(β) ( Iij ( )); i, j 1,..., p dengan 𝐼𝑖𝑗 𝛽 = −
2 ln L( ) (1 ) 2 2 ln L( ) 2 1 I(β) 2 ln L( ) p 1
2 ln L( ) 1 2
2 ln L( ) ( 2 ) 2
2 ln L( ) p 2
2 ln L( )
i j
maka
2 ln L( ) 1 p 2 ln L( ) 2 p . 2 ln L( ) ( p ) 2
Algoritma metode Newton-Raphon yaitu sebagai berikut. βc+1 =βc -I-1 βc .U(βc ) dengan memisalkan c = 0, 1, 2, ... dan I-1 βc merupakan invers dari I(βc ). Langkah-langkah iterasi dengan metode Newton Raphson sebagai berikut. 1. Menentukan nilai awal, βˆ 0 0 2. βˆ βˆ I 1 βˆ U βˆ 1
0
0
0
3. Iterasi dilakukan sampai memperoleh nilai konvergen, βˆ c 1 βˆ c . Ragam dan simpangan baku dari ˆ dapat didefinisikan sebagai berikut j
Var ( ˆ ) = I 1 ˆ dan SE ˆ Var ˆ I 1 ˆ . Simpangan baku diatas dapat digunakan untuk mencari selang kepercayaan βj yaitu (1-α) 100% selang kepercayaan untuk β𝑗 (Hosmer et al 2008) sebagai berikut ˆ j Z SE ( ˆ ). 1
2
Pendugaan parameter ini sering terdapat ties. Ties adalah dua atau lebih individu mengalami kejadian pada saat waktu yang sama. Hal ini akan menjadi masalah terhadap pendugaan parameternya. Pendugaan parameter ini digunakan pendekatan Breslow. X(k)+ adalah jumlah peubah penjelas pada kasus ties dan dk adalah banyak kasus ties pada waktu tk. p exp[ j 1 j X ( k ) j ] l β dk p exp[ j 1 j X ( m ) j ] mR (tk ) dan
9 D
L( ) k 1
exp[ j 1 j X ( k ) j ] p
p exp[ j 1 j X ( m ) j ] m R t ( ) k
dk
.
Asumsi Hazard Proporsional Regresi hazard proporsional memiliki asumsi yang cukup kuat yaitu memiliki hazard yang bersifat proporsional antara satu individu dan individu lainnya. Dengan kata lain, rasio tingkat hazard antar dua kelompok individu (misal individu i dan i’) harus konstan sepanjang waktu (Therneau dan Grambsch 2000) h(t | xi ) h0 (t ).exp( ' xi ) exp( ' xi ) . h(t | xi ' ) h0 (t ).exp( ' xi ' ) exp( ' xi ' ) Kleinbaum dan Klein (2012) menyebutkan bahwa ada beberapa pendekatan yang dapat dilakukan untuk pemeriksaan asumsi hazard proporsional, yaitu dengan pendekatan grafik –ln(-ln S(t)) dan pengujian kesesuaian model (goodness of-fit test) yaitu residual Schoenfeld. Residual Schoenfeld didasarkan pada kontribusi individu dengan turunan dari log kemungkinan parsial (Hosmer dan Lemeshow 1999), x' x e j Lp ( ) n jR ( ti ) jk x'j ci xik x' k i 1 jR (ti ) e j dimana x wi k jR (ti ) x jkxe' n jR (ti ) e j ci xik x wi k . i 1
Hosmer dan Lemeshow (1999) menunjukkan, penduga sisaan Schoenfeld untuk subjek ke-i pada kovariat ke-k kemudian diperoleh dengan mengganti penduga parsial likelihood koefisien 𝛽 ,
Si k ci xik x wi k . Kemudian, dibuat peubah peringkat urutan waktu kegagalan. Subjek yang terjadi pertama (awal) kejadian mendapat nilai 1, berikutnya mendapat nilai 2, dan seterusnya. Setelah itu, uji korelasi antara sisaan Schoenfeld dan peringkat urutan kegagalan. H0 yang digunakan bahwa korelasi antara sisaan Schoenfeld dan peringkat waktu kegagalan adalah nol ( = 0). Statistik uji yang digunakan adalah uji-t yaitu r n2 t . 1 r2 Besar α yang digunakan adalah 0.05. Jika p-value kurang dari α = 0.05, maka H0 ditolak, artinya terdapat korelasi yang menunjukkan ada hubungan peubah penjelas dengan waktu daya tahan sehingga tidak memenuhi asumsi (Kleinbaum dan Klein 2012). Pengujian Penduga Parameter Pengujian penduga parameter dilakukan untuk memeriksa peranan peubahpeubah penjelas dalam model Cox. Pengujian parameter model (𝛽) secara simultan dilakukan menggunakan statistik uji-G, sedangkan pengujian secara
10 parsial menggunakan statistik uji Wald. Statistik uji-G adalah uji rasio kemungkinan yang digunakan untuk menguji peranan variabel penjelas di dalam model secara bersama-sama. Hipotesis yang diuji adalah: H0 : 𝛽1 = 𝛽2 = ... = 𝛽𝑝 = 0 H1 : minimal ada satu 𝛽𝑗 ≠ 0, j = 1, 2, ..., p. Rumus umum statistik uji-G sebagai berikut: L G 2 ln[ 0 ] Lp dengan L0 adalah fungsi kemungkinan tanpa peubah penjelas dan L𝑝 adalah fungsi kemungkinan dengan p peubah penjelas. Statistik uji G menyebar khi-kuadrat dengan derajat bebas p. Apabila nilai G lebih besar dari nilai tabel khi-kuadrat pada α=5% mengindikasikan bahwa terdapat minimal satu peubah penjelas yang pengaruhnya signifikan terhadap durasi daya tahan debitur. Statistik uji Wald digunakan untuk menguji penduga parameter 𝛽𝑗 secara parsial. Hipotesis yang diuji adalah: H0 : 𝛽𝑗 = 0 H1 : 𝛽𝑗 ≠ 0 dengan j = 1, 2, ..., p. Rumus umum statistik uji Wald sebagai berikut: 2
2 ,1
j W . SE ( j ) Secara teori, statistik uji Wald ini mengikuti sebaran khi-kuadrat. Jika W > maka H0 ditolak pada taraf nyata α = 5% (Collet 2003).
Interpretasi Koefisien Interpretasi koefisien pada regresi hazard proporsional dapat dilihat melalui rasio tingkat hazard. Jika dua individu dengan peubah X dan X*, maka rasio tingkat hazardnya adalah: p h0 (t ) exp[ j 1 j X ij ] h(t , X ) h(t , X *) h0 (t ) exp[ p j X ij *] j 1
exp[ j 1 j ( X ij X ij *)]. p
Persamaan di atas merupakan risiko relatif dari suatu individu dengan faktor risiko X mengalami kejadian dibanding individu lainnya dengan faktor risiko X* (Klein dan Moeschberger 2003).
Perluasan Model Cox Berbeda dengan persamaan regresi Cox proportional hazard, persamaan perluasan model regresi Cox dengan penambahan peubah terikat-waktu adalah sebagai berikut (Kleinbaum dan Klein 2012): p p h(t , X (t )) h0 (t ) exp[i 11 i X i j 2 1 j X j (t )]
11 dengan X(t)=(X1 ,X2 ,…,Xp1 ,X1 t , X2 t , Xp2 t ) , peubah X1 , X 2 ,..., X p1 adalah peubah penjelas yang tidak terikat-waktu, dan X1 (t ), X 2 (t ),..., X p 2 (t ) adalah peubah penjelas yang terikat-waktu. Hazard ratio dalam perluasan model Cox tersebut ditunjukkan dengan perbandingan dua individu peubah penjelas X* dan X ditambahkan dengan terikat-waktu sehingga didapat X*(t) dan X(t) , secara matematis dapat dituliskan sebagai berikut: h(t , X *(t )) HR h(t , X (t )) h0 (t ) exp( i 11 i X i j 2 1 j X j (t )] p
p
h0 (t ) exp( i 11 i X i j 2 1 j X j (t )] p
p
p2 p1 exp ˆi [ X i * X i ] ˆ j [ X j (t ) X j (t )] . j 1 i 1 Notasi adalah parameter dari peubah penjelas terikat-waktu yang berlaku untuk setiap t dan merupakan parameter dari peubah penjelas tidak terikatwaktu. Untuk menilai bahwa model regresi hazard proposional, fungsi hazard ini tepat memenuhi asumsi hazard proposional pada peubah tidak terikat-waktu, kita dapat menggunakan fungsi waktu gi (t ) , sehingga model ini dapat dituliskan sebagai: p p h(t , X (t )) h0 (t ) exp[i 1 i X i i 1 i X i gi (t )]
dengan nilai parameter 𝛿𝑖 akan berbeda-beda pada setiap peubah penjelas yang terikat oleh waktu dan parameter 𝛿𝑖 ini mengartikan pengaruh keseluruhan dari hubungan antara peubah penjelas terikat-waktu dengan melihat semua waktu pada peubah yang digunakan dalam penelitian. Apabila nilai parameter 𝛿𝑖 < 0 maka hazard ratio akan turun bersamaan dengan naiknya waktu dan begitu juga sebaliknya. Ini mengakibatkan tidak konstannya hazard ratio yang juga berarti bahwa asumsi proportional hazard tidak terpenuhi untuk perluasan model Cox ini. Pilihan fungsi waktu gi(t) yang biasa digunakan dalam penggunan perluasan model Cox (Kleinbaum dan Klein 2012) adalah: 1. gi(t) = 0 2. gi(t) = t 3. gi(t) = ln t 4. gi(t) adalah fungsi heaviside.
Pemodelan Cox Stratifikasi Model stratifikasi Cox adalah model yang diperoleh dengan memodifikasi model Cox proportional hazard. Modifikasi dilakukan dengan mengontrol peubah penjelas yang tidak memenuhi asumsi hazard proporsional. Peubah penjelas yang tidak memenuhi asumsi ini tidak dimasukkan ke dalam model tetapi peran dari peubah penjelas tersebut tetap ada. Peubah-peubah penjelas yang tidak memenuhi asumsi dibentuk kelas atau kategorik sehingga banyaknya kombinasi kelas dari setiap peubah merupakan strata. Misalkan Z1, Z2, ..., Zp merupakan peubah-
12 peubah yang tidak memenuhi asumsi dan memiliki kelas sebanyak k1, k2, ..., kp. Kombinasi yang dihasilkan adalah sebanyak 𝑘 ∗ = 𝑘1 × 𝑘2 × … × 𝑘𝑝 . Bentuk umum model cox stratifikasi adalah sebagai berikut: hg (t , X ) h0 g (t ) exp 1 X1 2 X 2 ... k X k ; g 1, 2,..., k * dimana g : jumlah strata h0g(t) : baseline hazard function untuk setiap strata β : koefisien regresi. Pada model tersebut, g menyatakan strata ke-g. Sebagai catatan, peubah Z tidak dimasukkan ke dalam model, tetapi variabel-variabel X yang memenuhi asumsi dimasukkan ke dalam model. Pada model Cox stratifikasi, nilai fungsi h0g(t) dapat berbeda untuk strata yang berbeda sehingga fungsi hazard akan berbeda. Jadi, efek strata tetap dapat terlihat melalui komponen h0g(t). Namun, koefisien β1, β2,...., βk adalah sama untuk semua strata. Oleh karena itu rasio hazard akan sama untuk semua strata.
Pemilihan Model Terbaik Serupa dengan analisis regresi klasik, analisis regresi Cox juga perlu dilakukan pemilihan model terbaik. Hal ini dilakukan untuk mengidentifikasi peubah penjelas yang berpotensi masuk dalam komponen linier model regresi Cox. Drapper dan Smith (1981) menyebutkan beberapa cara yang digunakan dalam pemilihan model terbaik seperti prosedur seleksi maju (forward selection), eliminasi langkah mundur (backward elimination prosedure) dan prosedur bertatar (stepwise procedure). Model terbaik memiliki skor Akaike‟ Informations Criterion (AIC) terkecil: AIC 2log Lˆ q 𝐿 = nilai maksimum fungsi likelihood model regresi Cox q = banyaknya peubah penjelas dalam model regresi Cox α = predetermined constant. Predetermined constant sama dengan taraf nyata 2 ≤ α ≤ 6, α=3 sepadan dengan taraf nyata 5%. Collet (2003) menyarankan α=10% dalam penentuan peubah penjelas yang masuk dalam model regresi Cox agar banyak peubah penjelas yang masuk dalam model tidak terlalu sedikit. Penentuan nilai α untuk taraf nyata tertentu disajikan pada Tabel 1. Tabel 1 Nilai α dan taraf nyata α Taraf nyata (%) 2 3.3 3 5.0 4 6.7 5 8.3 6 10.0
13
3 METODE Data Data yang digunakan merupakan data sekunder yang diperoleh dari salah satu perusahaan pembiayaan kredit motor di Indonesia. Data terdiri dari 22737 nasabah kredit pemilikan motor atau debitur pada salah satu cabang yang diamati dari periode Januari 2008 sampai dengan Juni 2011 (42 bulan). Seorang debitur dikatakan macet kreditnya bila tidak membayar angsuran dalam waktu 30 hari setelah jatuh tempo. Data penelitian ini berstatus data lengkap dan data tersensor. Berstatus data lengkap apabila debitur mengalami gagal bayar dalam masa pengamatan. Berstatus data tersensor (sensor kanan) bila debitur mampu melunasi utangnya sebelum akhir masa pengamatan atau debitur masih lancar kreditnya hingga akhir masa pengamatan. Tabel 2 Peubah-peubah penjelas yang digunakan No 1 2 3 4 5
Peubah X1 X2 X3 X4 X5
6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
X6 X7 X8 X9 X10 X11 X12 X13 X14 X15 X16
Keterangan Kelas tipe motor yang dikredit oleh debitur Kelas kepemilikan nomor telepon dari debitur Kelas kepemilikan telepon yang dimiliki oleh debitur Kelas uang muka yang diambil oleh debitur (persen) Kelas jangka waktu pinjaman yang diambil oleh debitur dalam pelunasan kredit motor (bulan) Kelas jenis kelamin Kelas pendapatan debitur (juta rupiah) Kelas pendapatan total (juta rupiah) Kelas besar angsuran dalam per bulan (juta rupiah) Kelas status kepemilikan tempat tinggal debitur Kelas status pernikahan debitur Kelas jumlah tanggungan (orang) Kelas tingkat pendidikan terakhir debitur Kelas pekerjaan Kelas jenis pendapatan debitur (tetap/ tidak tetap) Kelas umur debitur pada awal melakukan kredit motor (tahun)
Data terdiri dari 16 peubah penjelas dan satu peubah respon. Peubah respon yang digunakan adalah durasi daya tahan seorang debitur hingga menjadi macet kreditnya (bulan). Peubah-peubah penjelas bersifat kontinu dibentuk menjadi beberapa kelas atau kategori dengan menggunakan peubah boneka. Daftar peubah-peubah penjelas yang digunakan dapat dilihat pada Tabel 2 dan rinciannya terdapat pada Lampiran 1.
14 Prosedur Analisis Data Data yang diperoleh berupa data asli yang belum siap diolah. Untuk itu, diperlukan langkah-langkah analisis data yang dilakukan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut: 1. Langkah pertama yang dilakukan sebelum diolah adalah pengaturan data. Pengaturan data dilakukan dengan cara mengubah semua peubah kontinu menjadi kelas-kelas atau kategorik. 2. Melakukan analisis data secara statistik deskriptif dan eksplorasi dengan melihat keseluruhan peubah penjelas menggunakan metode nonparametrik yaitu Kaplan-Meier. Analisis ini digunakan untuk melihat pola daya tahan pada setiap peubah penjelas. 3. Model dibangun dengan data 60% yang digunakan untuk dianalisis daya tahan. Analisis data daya tahan dengan metode semiparametrik, yaitu menggunakan regresi hazard proporsional. Pendugaan parameter β menggunakan fungsi parsial likelihood yang dimaksimumkan dengan pendekatan Breslow. 4. Pemeriksaan asumsi hazard proporsional dengan rasio tingkat hazard antar dua kelompok individu (misal individu i dan i‟) harus konstan sepanjang waktu. Kleinbaum dan Klein (2012) menyebutkan bahwa ada beberapa pendekatan yang dapat dilakukan untuk pemeriksaan asumsi hazard proporsional, yaitu dengan pendekatan grafik –ln(-ln S(t)) dan pengujian kesesuaian model (goodness of-fit test) yaitu residual Schoenfeld. 5. Melakukan pendugaan parameter β dan δ terhadap perluasan model Cox. Pendugaan model ini dilakukan dengan menambahkan peubah terikat-waktu pada peubah yang tidak berpengaruh secara signifikan dalam penelitian. 6. Melakukan pendugaan parameter β terhadap model Cox stratifikasi. Pendugaan model ini dilakukan dengan tidak memasukkan peubah penjelas yang tidak memenuhi asumsi hazard proporsional. Peubah penjelas yang tidak memenuhi asumsi ini dibuat strata. 7. Melakukan pengujian penduga parameter secara simultan dengan statistik ujiG maupun secara parsial dengan statistik uji Wald. Pengujian penduga parameter ini bertujuan untuk melihat apakah peubah penjelas dengan penambahan peubah terikat-waktu berpengaruh signifikan atau tidak terhadap model. Apabila dalam pengujian penduga parameter terdapat peubah penjelas yang terbukti berpengaruh signifikan terhadap peubah respon maka peubah penjelas tersebut dapat dimasukkan ke dalam perluasan model Cox dan Cox stratifikasi. 8. Melakukan evaluasi model yaitu dengan pemilihan model terbaik melalui metode stepwise dan kesesuaian model diukur dari nilai AIC (Collet 2003) serta kestabilan model. Kestabilan model diukur dengan melihat perubahan rasio hazard dengan set data yang berbeda. Pada data pemodelan didapatkan model dan penduga rasio hazard beserta selang kepercayaannya. Data validasi sebanyak 40% juga dilakukan pemodelan untuk mendapatkan nilai rasio hazard. Jika rasio hazard data validasi berada di dalam selang kepercayaan 95% dari hazard ratio pada data pemodelan, maka dapat dikatakan model yang dihasilkan valid. Diagram alir metode penelitian dapat dilihat pada Lampiran 2.
15
4 HASIL DAN PEMBAHASAN Deskripsi dan Eksplorasi Data Secara keseluruhan pada Gambar 4, data kredit motor memiliki persentase debitur yang mampu melunasi cicilan kredit sebesar 34%, kemudian terdapat 41% debitur yang hingga akhir masa pengamatan masih lancar kreditnya dan 25% debitur mengalami gagal bayar.
34% Lancar
41% Lunas 25% Gagal bayar
Gambar 4 Sebaran debitur berdasarkan status pembayaran Deksripsi data untuk masing-masing peubah penjelas dapat dilihat pada Gambar 5 dan Gambar 6. Persentase debitur gagal bayar terbesar pada peubah tipe motor adalah debitur yang mengkredit motor bebek kelas bawah yaitu sebesar 15% (Gambar 5a). Selanjutnya, tipe motor matik berada di posisi kedua dengan 4%. Mayoritas debitur memiliki nomor telepon tidak tetap. Berdasarkan Gambar 5b dapat dilihat bahwa sebanyak 23% debitur yang memiliki telepon tidak tetap mengalami gagal bayar. Hal ini mengindikasikan bahwa risiko kegagalan lebih rentan dialami oleh debitur yang memiliki telepon tidak tetap. Sebagian besar debitur sudah memiliki telepon yaitu sebesar 76% dan hanya 20% yang mengalami gagal bayar. Gambar 5c menunjukkan bahwa persentase debitur gagal bayar terbesar adalah debitur yang tidak memiliki telepon. Persentase gagal bayar pada peubah uang muka menunjukkan bahwa debitur yang membayar uang muka kurang dari 5% memiliki persentase gagal bayar paling besar. Gambar 5d menunjukkan bahwa semakin besar persentase uang muka yang dibayar maka semakin kecil persentase kegagalannya. Persentase gagal bayar terbesar terjadi pada debitur dengan jangka waktu pinjaman 25 sampai 36 bulan. Sebanyak 69% dari seluruh debitur melakukan kredit dengan jangka waktu pinjaman 25 sampai 36 bulan. Terdapat 21% debitur yang mengalami gagal bayar pada jangka waktu tersebut. Berdasarkan diagram batang dapat dilihat bahwa semakin besar jangka waktu pinjaman maka semakin besar persentase kegagalannya (Gambar 5e). Mayoritas debitur yang melakukan kredit motor berjenis kelamin laki-laki, yaitu sebesar 76%. Berdasarkan Gambar 5f dapat dilihat bahwa sebanyak 19% debitur laki-laki mengalami gagal bayar. Dilihat dari segi pendapatan, persentase gagal bayar terbesar terjadi pada debitur dengan penghasilan perbulan terkecil. Gambar 5g menunjukkan bahwa
16 bahwa semakin besar penghasilan debitur maka semakin kecil persentase kegagalannya. Gambar 5h menunjukkan bahwa debitur dengan pendapatan total terendah memiliki persentase kegagalan paling besar. Namun, berbeda hal yang dialami debitur dengan total pendapatan antara 2 sampai 3.5 juta yang mengalami gagal bayar terbesar. % debitur
35% 30% 25% 20% 15% 10% 5% 0%
% debitur
80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 0%
32% 17% 17% 15%
1
4%
4%
2
3
10% 2%
4
% debitur
3
6% 1%
60% 50% 40% 30% 20% 10% 0%
4
19 19 % % 5%
1
18% 17% 8%
2
26%
1
% debitur
9% 2%
2
2
3
1% 4
1% 5
d. Uang muka
34%
1
6%
2%
kelas/kategori
32% 13% 10%
9%
5%
2
c. Kepemilikan telepon 40% 35% 30% 25% 20% 15% 10% 5% 0%
21%
16% 13%
kelas/kategori
% debitur
57 %
30% 25% 20% 15% 10% 5% 0%
58%
1
2
b. Nomor telepon
% debitur 60% 48% 50% 40% 30% 21% 18% 20% 9% 10% 1% 1% 3% 1% 0%
2
23 %
70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 0%
kelas/kategori
a. Tipe motor
% debitur
% debitur
1
kelas/kategori
1
69 %
3
40% 35% 30% 25% 20% 15% 10% 5% 0%
38% 23% 15%
13%
6%
1
5%
2
3
kelas/kategori kelas/kategori
e. Jangka waktu pinjaman
f.
Jenis kelamin
kelas/kategori
g. Pendapatan
kelas/kategori
h. Total pendapatan
sensor gagal bayar Gambar 5 Persentase debitur yang mengalami lunas/lancer (sensor) dan gagal bayar pada peubah penjelas tipe motor (a), telepon tetap (b), kepemilikan telepon (c), uang muka (d), jangka waktu pinjaman(e), jenis kelamin (f), pendapatan (g), dan pendapatan total (h). Besar angsuran per bulan diduga mempengaruhi perilaku debitur dalam membayar utangnya. Berdasarkan Gambar 6a dapat dilihat bahwa persentase debitur gagal bayar terbesar adalah debitur dengan jumlah angsuran perbulan Rp500 000 sampai Rp750 000 yaitu sebanyak 24%. Persentase kegagalan terkecil yaitu debitur dengan jumlah angsuran perbulan lebih dari 1.25 juta rupiah yaitu sebanyak 0.3%. Sebagian besar debitur memiliki rumah sendiri yaitu sebanyak 62%. Persentase gagal bayar pada status rumah tersebut sebanyak 14% (Gambar 6b). Sebanyak 85% debitur memiliki status menikah, 21% diantaranya mengalami gagal bayar. Sementara itu, persentase gagal bayar terkecil terjadi pada debitur berstatus duda atau janda yaitu sebesar 1% (Gambar 6c). Hal ini disebabkan kebutuhan setelah menikah meningkat sehingga menyebabkan gagal bayar.
17 Persentase gagal bayar terbesar pada kategori jumlah tanggungan terjadi pada debitur dengan jumlah tanggungan 2 orang (Gambar 6d). Sementara itu, debitur yang tidak mempunyai tanggungan memiliki persentase kegagalan sebesar 5%. Hal ini disebabkan oleh pengeluaran yang lebih besar untuk debitur dengan jumlah tanggungan 2 orang dibandingkan debitur yang tidak mempunyai tanggungan, sehingga dapat menghambat pembayaran kredit. Mayoritas debitur memiliki pendidikan terakhir SMA yaitu sebanyak 41%. Persentase gagal bayar pada jenis pendidikan tersebut sebanyak 10%. Persentase terbesar gagal bayar terjadi pada debitur dengan pendidikan terakhir SMP dan SD yang memiliki perbedaan persentase hanya 2% (Gambar 6e). % debitur
45% 40% 35% 30% 25% 20% 15% 10% 5% 0%
% debitur
% debitur
42%
18%
60% 50% 40% 30% 20% 10% 0%
16% 12%
6%
2% 3% 0%
1
2
3
48% 14% 14% 7% 5% 3% 6%2% 1
4
2
3
70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 0%
4
a. Besar angsuran
b. Status tempat tinggal
31% 35% 30% 25% 18% 20% 10% 12% 15% 9% 6% 7% 10% 5% 1% 0% 5% 2% 0% 0% 1
2
3
4
5
kelas/kategori
e. Tingkat pendidikan
6
20% 15% 10% 5%
21 % 10 % 3% 2% 1% 2
1
3
c. Status pernikahan
11%
8% 7% 5% 6% 5% 5% 4% 1% 1% 2%
0% 1 2 3 4 5 6 7 kelas/kategori
f. Pekerjaan
2
3
45% 40% 35% 30% 25% 20% 15% 10% 5% 0%
4
5
6
7
kelas/kategori
d. Jumlah tanggungan
% debitur
17% 16% 11%
23% 25% 20% 15% 13% 15% 15% 7% 6% 10% 5% 5% 5% 2% 5% 2% 1%1% 0% 0%
kelas/kategori
% debitur
% debitur
% debitur
1
kelas/kategori
kelas/kategori
64 %
% debitur
41 %
34 %
16 % 9%
1
2
kelas/kategori
g. Jenis pendapatan
30% 25% 20% 15% 10% 5% 0%
27% 21%
8%
20%
9%
7% 6%
0% 0% 1
2
3
4
2%
5
kelas/kategori
h. Usia
sensor gagal bayar Gambar 6 Persentase debitur yang mengalami lunas/lancar (sensor) dan gagal bayar pada peubah penjelas jumlah angsuran (a), kepemilikan tempat tinggal (b), status pernikahan (c), jumlah tanggungan (d), tingkat pendidikan (e), pekerjaan (f), jenis pendapatan (g), dan usia (h). Mayoritas debitur memiliki pekerjaan sebagai pegawai swasta yaitu sebanyak 23%, 6% diantaranya mengalami gagal bayar. Persentase gagal bayar terbesar kedua pada debitur yang memiliki pekerjaan sebagai petani dan pedagang (Gambar 6f). Sementara itu, persentase gagal bayar terendah terjadi pada debitur yang bekerja sebagai pegawai negeri dan guru. Hal ini mungkin disebabkan oleh pendapatan dari jenis pekerjaan pedagang tidak tetap setiap bulan. Sebagian besar debitur sudah memiliki pendapatan tidak tetap, yaitu sebanyak 57%. Persentase gagal bayar pada jenis pendapatan tidak tetap sebanyak 16% mengalami gagal bayar. Nilai ini adalah persentase terbesar gagal bayar pada
18 kategori jenis pendapatan (Gambar 6g). Penghasilan debitur yang tidak tentu tiap bulan dapat mengganggu pembayaran kredit. Gambar 6h menunjukkan bahwa debitur dengan umur 21 sampai 30 dan 31 sampai 40 tahun memiliki persentase kegagalan paling besar. Selanjutnya, dapat dilihat juga bahwa semakin tua usia debitur maka persentase gagal bayar semakin kecil.
Time
Gambar 7 Fungsi daya tahan keseluruhan debitur dengan metode KaplanMeier Grafik fungsi daya tahan pada Gambar 7 menggunakan metode KaplanMeier menunjukkan bahwa penurunan terbesar peluang daya tahan terjadi sekitar 10 bulan pertama, setelah itu penurunannya lebih lambat. Hal ini berarti bahwa terjadinya banyak kegagalan untuk membayar oleh debitur terjadi pada 10 bulan pertama dibandingkan 10 bulan berikutnya. Grafik fungsi hazard dapat dilihat pada Gambar 8. Tingkat hazard dengan metode Kaplan-Meier dari waktu ke waktu tidak sama. Pada periode awal fungsi hazard tinggi kemudian menurun seiring bertambahnya waktu. Fungsi daya tahan mengindikasikan peluang debitur untuk tetap lancar kreditnya, sebaliknya fungsi hazard mengindikasikan potensial kegagalan (macet). Tingkat hazard memiliki nilai yang tinggi pada 10 bulan pertama, kesimpulan yang sama juga diperoleh pada fungsi daya tahan yang penurunannya lebih curam pada 10 bulan pertama.
Time
Gambar 8 Fungsi hazard debitur dengan Gambar 9 Fungsi daya tahan (uang metode Kaplan-Meier muka)
19 Metode Kaplan-Meier juga dapat menghasilkan pola daya tahan untuk setiap peubah penjelas. Grafik fungsi daya tahan pada peubah uang muka menunjukkan bahwa debitur yang membayar uang muka kurang dari 5% memiliki fungsi daya tahan terendah, atau yang paling cepat untuk menjadi macet kreditnya. Gambar 9 menunjukkan bahwa semakin besar persentase uang muka yang dibayar maka semakin tinggi fungsi daya tahannya atau risiko untuk menjadi debitur macet semakin kecil. Selain itu, fungsi daya tahan pada kategori uang muka kurang dari 5% dan 5-10% terlihat lebih curam dibandingkan kategori uang muka lainnya. Hal ini menunjukkan bahwa risiko pada kategori tersebut sangat besar. Hasil analisis daya tahan menggunakan metode Kaplan-Meier pada masingmasing peubah penjelas dapat dilihat pada Lampiran 2. Untuk peubah tipe motor, debitur yang mengkredit motor bebek kelas bawah memiliki fungsi daya tahan yang rendah, atau yang paling cepat untuk menjadi gagal bayar. Kategori yang memiliki fungsi daya tahan tertinggi adalah tipe motor sport dan motor bebek kelas atas. Kedua kategori tersebut mempunyai fungsi daya tahan yang hampir sama. Fungsi daya tahan pada peubah jenis kelamin terdapat perbedaan antara debitur laki-laki dan perempuan. Debitur laki-laki memiliki fungsi daya tahan yang lebih rendah dibandingkan dengan debitur perempuan. Berdasarkan pendapatan per bulan dan total pendapatan, debitur dengan pendapatan terendah memiliki risiko kredit terbesar, hal ini bisa dilihat dari grafik fungsi daya tahan yang paling rendah dibandingkan kategori penghasilan lainnya. Selanjutnya, dapat dilihat juga bahwa semakin besar penghasilan per bulan maka semakin tinggi fungsi daya tahan debitur. Dilihat dari karakteristik debitur dengan kepemilikan tempat tinggal yang berbeda, debitur berstatus tempat tinggal sewa atau kontrak memiliki fungsi daya tahan terendah, sedangkan debitur yang memiliki rumah sendiri memiliki fungsi daya tahan yang paling tinggi. Fungsi daya tahan pada peubah status pernikahan menunjukkan bahwa debitur dengan status duda atau janda merupakan debitur yang paling cepat untuk menjadi gagal bayar. Debitur yang belum menikah dan sudah menikah memiliki fungsi daya tahan tertinggi. Fungsi daya tahan pada kedua kategori tersebut berhimpit yang menunjukkan bahwa keduanya memiliki daya tahan yang hampir sama. Ditinjau dari segi tingkat pendidikan, debitur dengan tingkat pendidikan Pascasarjana memiliki fungsi daya tahan tertinggi, sedangkan yang paling cepat gagal bayar adalah debitur berpendidikan tidak bersekolah/SD dan SMP. Kategori SMP dibandingkan dengan kategori SD memiliki fungsi daya tahan yang lebih rendah, walaupun perbedaannya tidak terlalu besar. Jumlah tanggungan debitur diduga mempengaruhi durasi daya tahan debitur. Risiko gagal bayar terbesar terjadi pada debitur yang memiliki jumlah tanggungan lebih dari lima orang. Hal ini ditunjukkan dengan fungsi daya tahan yang lebih curam dibandingkan kategori jumlah tanggungan lainnya. Fungsi daya tahan pada kategori jumlah tanggungan 0, 1, 2, 3, dan 4 terlihat berhimpit yang menunjukkan bahwa keduanya memiliki daya tahan yang hampir sama. Debitur memiliki pekerjaan yang berbeda-beda. Debitur yang bekerja sebagai pedagang memiliki risiko paling tinggi untuk menjadi gagal bayar dibandingkan dengan kategori lainnya. Debitur yang bekerja sebagai pegawai
20 negeri dan guru memiliki fungsi daya tahan tertinggi. Fungsi daya tahan pada kedua kategori tersebut berhimpit yang menunjukkan bahwa keduanya memiliki daya tahan yang hampir sama. Fungsi daya tahan pada peubah umur menunjukkan bahwa debitur yang berumur kurang dari 21 tahun merupakan debitur yang paling cepat untuk menjadi gagal bayar. Debitur yang berumur 41 sampai 50 tahun dan lebih dari 50 tahun memiliki fungsi daya tahan tertinggi. Fungsi daya tahan pada kedua kategori tersebut menunjukkan bahwa keduanya memiliki daya tahan yang hampir sama.
Pemodelan Gagal Bayar Menggunakan Regresi Hazard Proporsional Sebelumnya telah dibuat kategorisasi terhadap seluruh peubah penjelas dengan menggunakan peubah boneka. Jika suatu peubah penjelas memiliki k buah kategori maka peubah boneka yang terbentuk sebanyak k-1 buah. Peubah boneka yang dibentuk dapat dilihat pada Lampiran 1. Analisis daya tahan ini menggunakan model regresi Cox hazard proporsional dan dapat dilihat pada Lampiran 4. Analisis ini dilakukan dengan memasukkan seluruh peubah penjelas ke dalam model. Pengujian parameter secara simultan dengan uji-G didapatkan nilai statistik uji khi-kuadrat sebesar 1837.57 dan nilai-p <0.0001, artinya minimal ada satu peubah penjelas yang berpengaruh terhadap durasi daya tahan debitur. Pengujian parameter secara parsial dilakukan dengan Uji Wald. Peubah-peubah penjelas berpengaruh nyata terhadap durasi daya tahan debitur pada alpha 5% antara lain peubah tipe motor, nomor telepon, kepemilikan telepon, uang muka, jangka waktu pinjaman (1 vs 4), jenis kelamin, besar angsuran (1 vs 2) dan (1 vs 3), status pernikahan, jumlah tanggungan (1 vs 2) dan (1 vs 3), tingkat pendidikan(1 vs 4), dan pekerjaan. Regresi hazard proporsional dapat menjelaskan pengaruh karakteristik debitur terhadap durasi daya tahan secara simultan. Regresi hazard proporsional menggunakan model Cox yang mana setiap peubah penjelas diregresikan untuk melihat pengaruhnya terhadap risiko kegagalan bayar debitur yaitu hazard ratio. Namun, hazard ratio dalam model Cox ini tidak dipengaruhi oleh waktu dan konstan sehingga bersifat proporsional. Untuk itu, hasil model Cox perlu dilakukan pemeriksaan asumsi hazard proporsional. Asumsi hazard proposional adalah asumsi yang memiliki hazard bersifat proporsional antara satu individu dan individu lainnya. Pemeriksaan asumsi dilakukan dengan membuat dugaan dari kurva -ln(-ln S(t))untuk semua kategori dalam peubah penjelas dan melakukan uji sisaan Schoenfeld. Jika kurva -ln(-ln S(t))untuk setiap peubah penjelas menunjukkan bahwa kurva yang dihasilkan paralel antar kategori maka hal tersebut memenuhi asumsi proposional hazard begitu juga sebaliknya jika kurva -ln(-ln S(t)) untuk setiap peubah penjelas menunjukkan bahwa kurva yang dihasilkan terjadi perpotongan maka hal tersebut tidak memenuhi asumsi (Gambar 10). Asumsi ini juga didukung juga dengan sisaan Schoenfeld. Berdasarkan hasil uji sisaan Schoenfeld pada tabel 3 untuk masing-masing peubah penjelas dan kurva -ln(-ln S(t)) pada Lampiran 5 dapat disimpulkan bahwa ada peubah penjelas yang tidak memenuhi asumsi hazard proporsional yaitu peubah uang muka, jangka waktu pinjaman, jenis kelamin, pendapatan total, lulusan tingkat pendidikan terakhir, dan jenis pendapatan.
21 Tabel 3 Sisaan Schoenfeld Pearson Correlation Coefficients, N = 3934 Prob > |r| under H0: Rho=0 RX1
RX2 RX3
RX4
RX5
RX6
RX7
RX8
t.r. 0.01 0.022 0.02 0.13 -0.06 0.05 0.019 0.04 R V 0.33 0.181 0.90 <.01* 0.002* 0.02* 0.255 0.01*
Pearson Correlation Coefficients, N = 3934 Prob > |r| under H0: Rho=0 RX9 RX10 RX11 RX12 RX13 RX14
Gambar 10 Grafik –ln(-ln S(t)) untuk peubah jangka waktu pinjaman
t.r. 0.005 0.76 R V
-0.01 -0.02 0.68 0.18
RX15 RX16
0.02 0.04 0.004 0.047 0.14 0.01* 0.77 0.005*
0.01 0.48
* nyata pada α = 0.05
Pengembangan Model Untuk Mengatasi Ketidakproporsionalan Fungsi Hazard Model Cox digunakan pada analisis daya tahan untuk mengetahui hubungan antara peubah penjelas terhadap peubah terikat yang memuat waktu kejadian dan data tersensor. Model regresi Cox ini dapat memberikan informasi yang berguna, berupa hazard ratio yang tidak bergantung pada baseline hazard. Hazard ratio pada model Cox untuk dua individu yang memiliki nilai peubah penjelas yang berbeda dan tidak dipengaruhi oleh waktu. Dengan kata lain, hazard untuk satu individu bersifat proporsional dengan hazard individu lainnya yang keproporsionalannya konstan. Namun, keadaan sebenarnya dimungkinkan bahwa peubah-peubah penjelas ini dipengaruhi oleh waktu seperti data debitur pada risiko kredit motor ini. Akibatnya, interpretasi hazard ratio ini akan menyimpang dari keadaan yang sebenarnya sehingga asumsi proporsional hazard tidak terpenuhi. Untuk mengatasi hal tersebut, dilakukan analisis dengan menggunakan perluasan model Cox dan Cox Stratifikasi. Perluasan Model Cox Perluasan model Cox adalah model regresi Cox dengan penambahan peubah terikat-waktu pada peubah yang tidak memenuhi asumsi hazard proposional. Peubah terikat-waktu tersusun dari peubah yang tidak memenuhi asumsi dan fungsi waktu. Fungsi waktu yang digunakan pada penambahan peubah terikatwaktu adalah t. Penambahan peubah terikat-waktu pada peubah X4, X5, X6, X8 X13 dan X15 yaitu uang muka, jangka waktu pinjaman, jenis kelamin, pendapatan total, dan tingkat pendidikan terakhir, dan jenis pendapatan. Hasil analisis dengan perluasan model Cox dapat dilihat pada Lampiran 6. Pengujian penduga parameter secara simultan dengan uji-G didapatkan nilai statistik uji khi-kuadrat sebesar 1972.321 dan nilai p <0.0001, artinya minimal ada peubah penjelas yang berpengaruh terhadap durasi daya tahan debitur. Pengujian penduga parameter secara parsial dilakukan dengan uji Wald. Peubah yang berpengaruh nyata terhadap durasi daya tahan debitur pada alpha 5% antara lain
22 peubah tipe motor, nomor telepon tetap, kepemilikan telepon, uang muka, jangka waktu pinjman, jenis kelamin, besar angsuran, status pernikahan, jumlah tanggungan, tingkat pendidikan, dan pekerjaan. Peubah terikat-waktu yang berpengaruh waktu terhadap durasi daya tahan debitur pada alpha 5% yaitu diantaranya uang muka, jangka waktu pinjaman, jenis kelamin, dan jenis pendapatan. Untuk mencari model terbaik dilakukan penyeleksian peubah penjelas dengan metode stepwise. Hasil seleksi tersebut direduksi menjadi beberapa peubah penjelas yang diikutsertakan ke dalam pemodelan. Hasil analisis perluasan model Cox yang direduksi dapat dilihat pada Lampiran 7. Model yang diperoleh memiliki nilai AIC sebesar 60431.072 dengan statistik uji-G sebesar 1956.2102 dan nilai-p <0.0001. Hal ini menunjukkan minimal ada satu peubah penjelas yang berpengaruh nyata terhadap durasi daya tahan debitur. Pengujian penduga parameter secara parsial menunjukkan bahwa seluruh peubah yang masuk kecuali usia dalam model reduksi berpengaruh nyata terhadap durasi daya tahan debitur pada taraf nyata alpha 5%. Model Cox Stratifikasi Model Cox Stratifikasi diawali dengan membentuk strata berdasar kategori peubah penjelas yang tidak memenuhi asumsi risiko proporsional. Banyak strata bergantung pada kombinasi kategori pada setiap peubah penjelas. Pada analisis daya tahan, debitur yang melakukan kredit motor terdapat enam peubah penjelas tidak memenuhi asumsi. Masing-masing enam peubah penjelas tersebut memiliki kategori yang berbeda sehingga didapatkan sebanyak 783 strata dengan rincian pada Lampiran 8 dan diasumsikan setiap strata memenuhi asumsi hazard proporsional. Model Cox stratifikasi tidak memasukkan peubah penjelas yang tidak memenuhi asumsi hazard proporsional, sehingga hanya ada sepuluh peubah penjelas yang masuk dalam model yaitu diantaranya tipe motor, nomor telepon tetap, kepemilikan telepon, pendapatan, besar angsuran, status kepemilikan tempat tinggal, status pernikahan, jumlah tanggungan, pekerjaan, dan usia. Model Cox stratifikasi memiliki baseline hazard function, h0s (t) berbeda untuk setiap stata. Namun, baseline hazard tidak dijelaskan secara spesifik pada penelitian ini. Penduga parameter β yang dihasilkan oleh model Cox stratifikasi yang menjadi tolak ukur untuk mencari nilai hazard ratio. Hasil analisis dengan model Cox stratifikasi dapat dilihat pada lampiran 9. Pengujian penduga parameter secara simultan dengan uji-G didapatkan nilai statistik uji khi-kuadrat sebesar 249.8261 dan nilai p <0.0001, artinya minimal ada peubah penjelas yang berpengaruh terhadap durasi daya tahan debitur. Pengujian penduga parameter secara parsial dilakukan dengan uji Wald. Peubah yang berpengaruh nyata terhadap durasi daya tahan debitur pada alpha 5% antara lain peubah tipe motor, nomor telepon tetap, kepemilikan telepon, besar angsuran, status kepemilikan tempat tinggal, status pernikahan, jumlah tanggungan, dan pekerjaan. Sama halnya dengan perluasan model Cox, untuk mencari model terbaik dilakukan penyeleksian peubah penjelas dengan metode stepwise. Hasil seleksi Cox sratifikasi tersebut direduksi menjadi beberapa peubah penjelas yang diikutsertakan ke dalam pemodelan. Hasil analisis model Cox stratifikasi yang
23 direduksi dapat dilihat pada Lampiran 9. Model yang diperoleh memiliki nilai AIC sebesar 60431.072 dengan statistik uji-G sebesar 1956.2102 dan nilai-p <0.0001. Hal ini menunjukkan minimal ada satu peubah penjelas yang berpengaruh nyata terhadap durasi daya tahan debitur. Pengujian penduga parameter secara parsial menunjukkan bahwa seluruh peubah yang masuk kecuali usia dalam model reduksi berpengaruh nyata terhadap durasi daya tahan debitur pada taraf nyata alpha 5%.
Evaluasi Model Evaluasi model dilakukan pada data debitur dengan dua cara yaitu kebaikan model dan kestabilan rasio hazard-nya. Kebaikan model dapat dilihat dari nilai AIC setiap model yang dibangun sedangkan kestabilan rasio hazard dilihat dari hasil rasio hazard kedua model dengan data pemodelan (60% data) dan validasi (40% data). Berdasarkan Tabel 4 dan terlampir juga pada Lampiran 4, 7, dan 9, nilai AIC yang paling kecil adalah model Cox stratifikasi. Dengan demikian, model Cox stratifikasi merupakan model yang terbaik dibandingkan dengan model Cox dan perluasan model Cox. Tabel 4 Nilai AIC setiap model Nilai AIC Model Cox Perluasan Model Cox Model Cox Stratifikasi 60498.659 60431.072 27315.304
Model dibangun dengan menggunakan 60% dari keseluruhan data, sedangkan sisanya digunakan untuk validasi model. Validasi model perlu dilakukan untuk mengevaluasi kestabilan rasio hazard-nya. Hasil pemeriksaan rasio hazard pada data validasi dibandingkan dengan selang kepercayaan rasio hazard pada data pemodelan baik itu perluasan model Cox atau Cox stratifikasi dapat dilihat pada Lampiran 10 dan 11. Hasil validasi perluasan model Cox menunjukkan bahwa ada beberapa peubah yang memiliki rasio hazard di dalam interval. Peubah-peubah tersebut antara lain: uang muka (1 vs 2); tipe motor (1 vs 3); pekerjaan (1 vs 4), (1 vs 5), dan (1 vs 6); jangka waktu pinjaman; besar angsuran (1 vs 4); status pernikahan; jumlah tanggungan (1 vs 2), (1 vs 3), (1 vs 4), dan (1 vs 6); umur (1 vs 2), (1 vs 3), dan (1 vs 4); jenis kelamin; status kepemilikan tempat tinggal; kepemilikan telepon; uang muka-terikat waktu; jangka waktu pinjaman-terikat waktu (2 vs 1); jenis kelamin-terikat waktu (2 vs 1). Walaupun terdapat peubah-peubah lain yang berada dalam luar selang perbedaan jaraknya tidak terlalu besar sehingga masih bisa ditoleransi. Oleh karena itu, dapat disimpulkan bahwa model yang dihasilkan cukup baik. Seperti halnya perluasan model Cox juga, hasil validasi model Cox stratifikasi menunjukkan bahwa ada beberapa peubah yang memiliki rasio hazard di dalam interval. Peubah-peubah tersebut antara lain tipe motor (1 vs 3); usia; kepemilikan telepon; pekerjaan; status pernikahan; jumlah tanggungan (1 vs 2), (1 vs 3), (1 vs 4), (1 vs 6), dan (1 vs 7); besar angsuran (1 vs 4).
24 Berdasarkan hasil validasi kedua model, peubah-peubah yang cenderung stabil dimiliki oleh model Cox stratifikasi. Sebagian besar peubah-peubah penjelas pada model Cox stratifikasi lebih banyak masuk dalam selang dibandingkan perluasan model Cox. Pembentukan model Cox stratifikasi yang telah dibangun dan dievaluasi dapat ditulis sebagai berikut: hs (t , X ) h0 s (t ).exp(0.29 X1(bka ) 0.27 X1( matik ) 0.18 X1( sport ) 0.03 X16(2130)
0.17 X 16(3140) 0.33 X 16(4150) 0.31X 16( 50) 0.24 X 3( tdk .telpon) 0.34 X 14( petani ) 0.48 X 14( pedagang ) 0.31X 14( pns ) 0.24 X 14( guru / pendidik ) 0.36 X 14( jasa ) 0.34 X 14( buruh, dll ) 0.2 X 11( blm.mnikah) 0.43 X 11( duda / janda ) 0.24 X 12(1) 0.19 X 12(2) 0.11X 12(3) 0.15 X 12(4) 0.13 X 12(5) 0.28 X 12( 5) 0.17 X 9(0.50.75) 0.24 X 9(0.751.25) 0.42 X 9( 1.25) 0.21X 2(tlp.tetap ) ) Interpretasi Model Cox Stratifikasi Membangun model Cox stratifikasi diawali dengan pembentukan strata. Pembentukan strata berdasarkan kategori peubah penjelas yang tidak memenuhi asumsi. Banyak strata yang dibentuk merupakan kombinasi kategori setiap peubah penjelas yang ada. Terdapat enam peubah penjelas yang tidak memenuhi asumsi hazard proporsional. Kombinasi strata yang terbentuk sebanyak 783 strata. Setiap strata yang terbentuk diasumsikan telah memenuhi asumsi hazard proporsional. Interpretasi koefisien pada regresi hazard proporsional pada model Cox stratifiksi dapat dilihat melalui rasio tingkat hazard-nya. Rasio hazard adalah risiko relatif suatu individu pada suatu kategori mengalami kejadian dibandingkan dengan kategori lainnya. Nilai rasio hazard yang dihasilkan dengan analisis regresi hazard proporsional dapat dilihat pada Lampiran 9. Berdasarkan model Cox stratifikasi yang terbentuk, peubah tipe motor yang berpengaruh signifikan terhadap waktu terjadinya gagal bayar dalam pelunasan kredit motor yaitu tipe motor kelas atas dan matik. Hal ini dapat dibuktikan dari pvalue untuk tipe motor kelas atas dan matik kurang dari alpha 0.05 dengan kategori motor bebek kelas bawah sebagai referensi. Peubah tipe motor memiliki hazard ratio sebesar 0.744 untuk tipe bebek kelas atas dan hazard ratio sebesar 0.759 untuk tipe matik. Hal ini menunjukkan fungsi hazard tipe motor kelas atas dan matik lebih kecil dibandingkan fungsi hazard tipe motor kelas bawah yang artinya debitur yang mengkredit tipe motor kelas atas mempunyai risiko gagal bayar sebesar 0.744 kali dibandingkan tipe motor kelas bawah dan debitur yang mengkredit tipe motor matik mempunyai risiko gagal bayar sebesar 0.759 kali dibandingkan tipe motor kelas bawah. Interpretasi yang sama ditunjukkan oleh faktor kepemilikan telepon, pekerjaan, status pernikahan, jumlah tanggungan, besar angsuran dan nomor telepon tetap karakteristik yang sama dengan tipe motor.
25
5 SIMPULAN DAN SARAN Simpulan Data daya tahan debitur diamati selama 42 bulan dari bulan Januari tahun 2008 sampai Juni 2011. Keseluruhan debitur terdiri dari 22737 nasabah dengan 16 faktor yang diukur dan diduga penyebab kegagalan bayar. Persentase debitur yang mampu melunasi cicilan kredit sebesar 34%, kemudian terdapat 41% debitur yang hingga akhir masa pengamatan masih lancar kreditnya, dan 25% debitur mengalami gagal bayar. Berdasarkan tujuan dari penelitian ini maka dapat diambil kesimpulan sebagai berikut: 1. Gambaran umum debitur mengalami kenaikan gagal bayar pada 10 bulan pertama. 2. Model terbaik untuk mengatasi hazard tidak proporsional pada kasus daya tahan debitur adalah model Cox stratifikasi. 3. Membandingkan selang rasio hazard pada data pemodelan dan rasio hazard data validasi pada kedua pengembangan model Cox, model Cox stratifikasi lebih stabil untuk hazard ratio di setiap peubah daripada perluasan model Cox. 4. Untuk model Cox stratifikasi peubah-peubah yang tidak memenuhi asumsi tidak dimasukkan ke dalam model tetapi dijadikan strata. Strata yang dihasilkan pada model Cox stratifikasi sebanyak 783 strata. Faktor-faktor yang paling mempengaruhi durasi daya tahan debitur untuk melaksanakan kewajibannya berdasarkan model Cox stratifikasi adalah tipe motor, kepemilikan telepon(tetap/tidak tetap), jenis pekerjaan, status pernikahan, tanggungan keluarga, dan besar angsuran.
Saran 1. Pada penelitian ini pendekatan Breslow digunakan untuk menduga parameter pada pemodelan hazard proporsional untuk mengatasi kasus kejadian bersama (ties). Beberapa pendekatan lain dapat dijadikan bahan kajian lanjutan untuk mengevaluasi model terbaik pada pemodelan hazard proporsional seperti Efron, Exact, dan Diskrit. 2. Peluang daya tahan tidak selalu akan bersifat monoton turun seperti kejadian daya tahan berulang. Kasus kejadian daya tahan berulang dapat mempengaruhi peluang daya tahan dan ketergantungan waktu seperti kambuhnya suatu penyakit, pembayaran kredit, dan lainnya. Kajian mengenai kejadian daya tahan berulang dapat menjadi bahan kajian lanjutan terhadap penggunaan perluasan model Cox dan model Cox stratifikasi. 3. Evaluasi masih perlu dilanjutkan pada model Cox stratifikasi baik melalui simulasi maupun kajian teori terutama terkait jumlah strata yang dihasilkan pada penelitian ini masih cukup besar.
26
DAFTAR PUSTAKA Armitage P .1973. Statiscal Methods in Medical Research. New York : John Wiley and Sons. Cox D. 1972. Regression Models and Life-Tables. Journal of the Royal Statistical Society. Series B (Methodological), Vol. 34, No. 2. (1972), pp. 187-220. Cox D, Oakes D. (1984). Analysis of Survival Data. London: Chapman & Hall Collet D .2003. Modelling Survival Data in Medical Research. 2nd ed. London: Chapman. and Hall. Drapper N, Smith H. 1981. Applied Regression Analysis. John Willey. New York. Hosmer DW, Lemeshow S. 1999. Applied Survival Analysis: Regression Modeling of Time to Event Data. Wiley, Inc., New York. Hosmer DW, Lemeshow S, May S 2008. Applied Survival Analysis: Regression Modelling of Time to Event Data. New Jersey: John Wiley. Johnson RCE, Johnson ML .1980. Survival Models and Data Analysis. John Willey & Sons. New York. Kleinbaum DG, Klein M. 2012. Survival Analysis A Self-Learning Text. Third Edition. New York: Springer. Klein JP, Moeschberger ML. 2003. Survival Analysis: Techniques for Censored and Truncated Data. Second Edition. New York: Springer-Verlag. Kuzma JW. 1984. Basic Statistics for The Health Sciences. California : Mayfield Publishing Company. Lawless, J. F. 2007. The Statistical Analysis of Recurrent Event. USA: Springer Science +Business Media, INc. Lee ET, Wang JW. 2003. Statistical Methods for Survival Data Analysis. Third Edition. New York: John Wiley & Son, Inc. Leung KM, Elashoff RM, Afifi AA. 1997. Censoring Issues in Survival Analysis. Annu. Rev. Public Heath 18:83-104. Miller Jr RG .1981. Survival Analysis. John Willey & Sons. Inc. waterloo. Ontario: Canada. Oktaputra AW. 2014. Sistem Pendukung Keputusan Kelayakan Pemberian Kredit Motor Menggunakan Metode Simple Additive Weighting pada Perusahaan Leasing HD Finance. Semarang: Program Studi Sistem Informasi, Universitas Dian Nuswantoro. Prasetya L. 2006. Penerapan Metode Survival Analysis dalam KPR (Studi Kasus pada PT. Bank ABC Tbk). Tesis. Jakarta: Program Studi Magister Manajemen, Universitas Indonesia. [SAS Inc]. SAS Institute Inc. (US) . 2011. SAS 9.3. Help and Documentation. Therneau TM, Grambsch PM. 2000. Modelling Survival Data: Extending the Cox Model. New York : Springer-Verlag. Yohanes RT. 2011. Pengecekan Asumsi Proportional Hazard pada Model Cox PH. Skripsi. Depok: Program Studi Sarjana Matematika, Universitas Indonesia.
27
LAMPIRAN
28 Lampiran 1 Peubah-peubah penjelas yang digunakan beserta peubah boneka yang dibentuk No 1
2
3
Peubah Tipe motor yang dikredit oleh debitur
Keterangan X1
Kepemilikan nomor telepon tetap dari debitur
X2
Kepemilikan telepon yang dimiliki oleh debitur
X3
Bebek Kelas Bawah Bebek Kelas Atas Motor Matik Motor Sport Telepon tidak tetap Telepon tetap Memiliki Tidak memiliki
Kategori 1 2
(2) (3) (4) 0 0 0 1
0
0
0 0 (2) 1 0
1 0
0 1
3 4
2
1 (2) 1 0 2 1
4
Uang muka yang diambil oleh debitur(persen)
X4
<5 5 - 10 10 – 15 15 - 20 >20
1 2 3 4 5
5
Jangka waktu pinjaman yang diambil oleh debitur dalam pelunasan kredit motor(bulan)
X5
<13 13 – 24 25 – 36 >36
1 2 3 4
6
Jenis kelamin
X6
Laki-laki Perempuan
1 2
7
Pendapatan debitur(juta rupiah)
X7
<2 2 – 3.5 ≥3.5
1 2 3
8
Pendapatan X8 Lampiran 1total (lanjutan) (juta rupiah)
<2 2 – 3.5 ≥3.5
1 2 3
9
Besar angsuran dalam per bulan yang dibayarkan oleh debitur (juta rupiah)
<0.5 0.5 – 0.75 0.75 – 1.25 ≥1.25
1 2 3 4
X9
Peubah boneka
(2) (3) (4) (5) 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 (2) (3) (4) 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 (2) 0 1 (2) (3) 0 0 1 0 0 1 (2) (3) 0 0 1 0 0 1 (2) (3) (4) 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1
29 No 10
11
Peubah Status kepemilikan tempat tinggal debitur
Status pernikahan debitur
Keterangan
Kategori
X10 Rumah sendiri Rumah keluarga Sewa/kontrak Rumah dinas, kredit, kost, dan lainnya
1 2
X11 Menikah Belum menikah Duda/janda
3 4
3
Jumlah tanggungan (orang)
X12 0 1 2 3 4 5 >5
1 2 3 4 5 6 7
13
Tingkat pendidikan terakhir debitur
X13 Tidak bersekolah/SD SMP SMA Diploma S1 Pascasarjana
1
Pekerjaan
X14 Pegawai Swasta Petani Pedagang Lampiran 1 (lanjutan) Pegawai negeri Guru/pendidik Jasa Buruh, dll
15
Jenis pendapatan debitur
16
Umur debitur pada awal melakukan kredit motor (tahun)
Tidak tetap Tetap X16 <21 21 – 30 31 – 40 41 – 50 >50
(2) (3) (4) 0 0 0 1 0 0 0 0
1 0
0 1
(2) (3) 1 0 0 2 1 0
12
14
Peubah boneka
0 1 (2) (3) (4) (5) (6) (7) 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 (2) (3) (4) (5) (6) 0 0 0 0 0
2 3 4 5 6
1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 (2) (3) (4) (5) (6) (7) 1 0 0 0 0 0 0 2 3 4 5 6 7 1 2 1 2 3 4 5
1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 1 (2) (3) (4) (5) 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 1
30
Lampiran 2 Diagram alir penelitian
Data
Manajemen Data
Eksplorasi Data
Data Pemodelan
Data Validasi
31
Pemodelan Menggunakan Keplan-Meier
Pemodelan Menggunakan Hazard Proposional Cox
Pendugaan Parameter
Model Cox Stratifikasi
Tidak
Asumsi PH terpenuhi?
Tidak
Perluasan Model Cox
Ya Pemeriksaan Model
Interpretasi Koefisien
Keterangan: Data pemodelan yang digunakan untuk dibuat pemodelan sebanyak 60% dari keseluruhan data dan data validasi yang digunakan sebanyak 40%.
Lampiran 3 Grafik fungsi daya tahan metode Kaplan-Meier untuk setiap peubah penjelas
32 X1: Tipe motor yang dikredit oleh debitur
X2: Kepemilikan nomor telepon tetap dari debitur
X3: Kepemilikan telepon yang dimiliki oleh X4: debitur
Uang muka debitur(%)
yang
diambil
X5: Jangka waktu pinjaman(bulan)
X6: Jenis kelamin
X7: Pendapatan (juta rupiah)
X8: Pendapatan total (juta rupiah)
Lampiran 3 (lanjutan)
oleh
33
X9: Besar angsuran dalam per bulan yang X10: Status kepemilikan tempat tinggal dibayarkan oleh debitur (juta rupiah)
X11: Status pernikahan debitur
X12: Jumlah tanggungan(orang)
Lampiran 3 (lanjutan)
X13: Lulusan tingkat pendidikan terakhir debitur
X14: Pekerjaan
34
X15: Jenis pendapatan debitur
X16: Umur debitur pada awal kredit motor(tahun)
Lampiran 4 Hasil analisis regresi hazard proporsional model Cox
1 vs 2 1 vs 3 1 vs 4 1 vs 2
-0.28693 -0.30169 0.20818 -0.21594
0.05453 0.05158 0.08651 0.07945
27.6855 34.2154 5.7916 7.3867
<.0001* <.0001* 0.0161* 0.0066*
Hazard Ratio 0.751 0.740 1.231 0.806
1 vs 2
0.26403
0.03910
45.6073
<.0001*
1.302
1 vs 2
-0.44800
0.04606
94.6008
<.0001*
0.639
𝜷
Peubah
Tipe motor (X1)
Nomor telepon tetap(X2) Kepemilikan telepon (X3) Uang muka (X4)
SE(𝜷)
Chi-Square Pr > ChiSq
35
1 vs 3 1 vs 4 1 vs 5 1 vs 2
-0.94837 -1.40026 -1.98811 0.03725
0.06838 0.10309 0.09903 0.16952
192.3264 184.4824 403.0245 0.0483
<.0001* <.0001* <.0001* 0.8261
Hazard Ratio 0.387 0.247 0.137 1.038
1 vs 3 1 vs 4 1 vs 2 1 vs 2 1 vs 3 1 vs 2 1 vs 3
0.16109 1.09453 -0.14822 0.00427 0.01927 0.04721 0.01660
0.18239 0.20991 0.04905 0.04690 0.08818 0.05227 0.07273
0.7801 27.1892 9.1292 0.0083 0.0477 0.8158 0.0521
0.3771 <.0001* 0.0025* 0.9274 0.8271 0.3664 0.8195
1.175 2.988 0.862 1.004 1.019 1.048 1.017
1 vs 3 1 vs 4 1 vs 2
0.16897 0.19780 0.43140 0.08764
0.04443 0.10037 0.23217 0.05383
14.4644 3.8840 3.4527 2.6506
0.0001* 0.0487* 0.0631 0.1035
1.184 1.219 1.539 1.092
1 vs 3 1 vs 4 1 vs 2
0.15751 0.06194 -0.22666
0.05499 0.06813 0.08922
8.2041 0.8264 6.4546
0.0042* 0.3633 0.0111*
1.171 1.064 0.797
1 vs 3 1 vs 2
0.44821 -0.22543
0.10829 0.07914
17.1304 8.1139
<.0001* 0.0044*
1.566 0.798
1 vs 3 1 vs 4 1 vs 5 Lampiran 4 (lanjutan) 1 vs 6 1 vs 7 Tingkat pendidikan 1 vs 2 1 vs 3 (X13) 1 vs 4 1 vs 5 1 vs 6 1 vs 2 Pekerjaan(X14) 1 vs 3 1 vs 4 1 vs 5 1 vs 6 1 vs 7
-0.18108 -0.07556 -0.11240 0.16027 0.23774 -0.03267 -0.07975 -0.27022 -0.12874 -8.03736 0.31273 0.44647 -0.35057 -0.19446 0.30195 0.28602
0.07728 0.08187 0.09573 0.12401 0.16281 0.05288 0.04779 0.08916 0.09275 94.27931 0.12728 0.12605 0.08838 0.09444 0.13565 0.10964
5.4905 0.8519 1.3786 1.6702 2.1323 0.3816 2.7851 9.1859 1.9266 0.0073 6.0365 12.5452 15.7345 4.2400 4.9547 6.8051
0.0191* 0.3560 0.2403 0.1962 0.1442 0.5368 0.0951 0.0024* 0.1651 0.9321 0.0140* 0.0004* <.0001* 0.0395* 0.0260* 0.0091*
0.834 0.927 0.894 1.174 1.268 0.968 0.923 0.763 0.879 0.000 1.367 1.563 0.704 0.823 1.352 1.331
𝜷
Peubah
Jangka waktu pinjaman (X5)
Jenis kelamin (X6) Pendapatan (X7)
Total pendapatan (X8) Besar angsuran (X9) 1 vs 2
Status kepemilikan tempat tinggal (X10)
Status pernikahan (X11) Jumlah tanggungan (X12)
SE(𝜷)
Chi-Square Pr > ChiSq
36 𝜷
Peubah
Jenis pendapatan (X15) Usia(X16)
1 vs 2
0.16047
1 vs 2 1 vs 3 1 vs 4 1 vs 5
0.12357 -0.05933 -0.23490 -0.21156
SE(𝜷)
1.9455
Hazard Ratio 0.1631 1.174
0.2960 0.0668 1.0227 0.7982
0.5864 0.7960 0.3119 0.3716
Chi-Square Pr > ChiSq
0.11505
0.22713 0.22954 0.23227 0.23680 Uji-G Rasio likelihood = 1837.57 P-value = <.0001 Kebaikan Model -2 LOG L = 60404.659 AIC = 60498.659
*nyata pada α = 0.05
Lampiran 5 Grafik -ln(-ln 𝑆(𝑡)) untuk setiap peubah penjelas
1.132 0.942 0.791 0.809
37
X1: Tipe motor yang dikredit oleh debitur
X2: Kepemilikan nomor telepon tetap dari debitur
X3: Kepemilikan telepon yang dimiliki oleh X4: debitur
X5: Jangka waktu pinjaman(bulan)
Uang muka debitur(%)
X6: Jenis kelamin
yang
diambil
oleh
38 Lampiran 5 (lanjutan)
X7: Pendapatan (juta rupiah)
X8: Pendapatan total (juta rupiah)
X9: Besar angsuran dalam per bulan yang dibayarkan oleh debitur (juta rupiah)
X10: Status kepemilikan tempat tinggal
X11: Status pernikahan debitur
X12: Jumlah tanggungan(orang)
39 Lampiran 5 (lanjutan)
X13: Lulusan tingkat pendidikan terakhir debitur
X14: Pekerjaan
X15: Jenis pendapatan debitur
X16: Umur debitur pada awal kredit motor(tahun)
40 Lampiran 6 Hasil analisis perluasan model Cox
1 vs 2 1 vs 3 1 vs 4 1 vs 2
-0.27919 -0.29692 0.20086 -0.21981
0.05455 0.05158 0.08658 0.07951
26.1963 33.1408 5.3821 7.6427
<.0001* <.0001* 0.0203* 0.0057*
Hazard Ratio 0.756 0.743 1.222 0.803
Kepemilikan telepon (X3)
1 vs 2
0.26730
0.03912
46.6821
<.0001*
1.306
Uang muka (X4)
1 vs 2 1 vs 3 1 vs 4 1 vs 5 1 vs 2 1 vs 3 1 vs 4
-0.49976 -1.23183 -1.73841 -2.89901 -0.71227 0.08506 0.77636
0.07914 0.12052 0.18566 0.18070 0.35189 0.35056 0.38846
39.8813 104.4633 87.6710 257.3742 4.0971 0.0589 3.9942
<.0001* <.0001* <.0001* <.0001* 0.0430* 0.8083 0.0457*
0.607 0.292 0.176 0.055 0.491 1.089 2.174
Jenis kelamin (X6) 1 vs 2
-0.33211
0.07997
17.2487
<.0001*
0.717
1 vs 2 1 vs 3 1 vs 2 1 vs 3
0.0006462 0.02530 0.01060 -0.06751
0.04688 0.08840 0.07797 0.10538
0.0002 0.0819 0.0185 0.4103
0.9890 0.7747 0.8918 0.5218
1.001 1.026 1.011 0.935
1 vs 2 1 vs 3 1 vs 4 Status kepemilikan 1 vs 2 1 vs 3 tempat tinggal 1 vs 4
0.16614 0.22817 0.38249 0.08432 0.15937 0.06540
0.04446 0.10089 0.23846 0.05384 0.05500 0.06812
13.9640 5.1149 2.5728 2.4531 8.3958 0.9218
0.0002* 0.0237* 0.1087 0.1173 0.0038* 0.3370
1.181 1.256 1.466 1.088 1.173 1.068
1 vs 2 1 vs 3
-0.21925 0.44364
0.08922 0.10830
6.0394 16.7812
0.0140* <.0001*
0.803 1.558
Jumlah tanggungan 1 vs 2 1 vs 3 (X12)
-0.21369 -0.17600 -0.07493 -0.11367 0.15638 0.23768 -0.03435 -0.05872
0.07913 0.07726 0.08183 0.09571 0.12405 0.16287 0.08894 0.07769
7.2933 5.1890 0.8383 1.4106 1.5890 2.1297 0.1492 0.5712
0.0069* 0.0227* 0.3599 0.2350 0.2075 0.1445 0.6993 0.4498
0.808 0.839 0.928 0.893 1.169 1.268 0.966 0.943
𝜷
Peubah
Tipe motor (X1)
Nomor telepon tetap(X2)
Jangka waktu pinjaman (X5)
Pendapatan (X7) Total pendapatan (X8) Besar angsuran (X9)
(X10)
Status pernikahan (X11)
1 vs 4 1 vs 5 1 vs 6 1 vs 7 Tingkat pendidikan 1 vs 2 1 vs 3
SE(𝜷)
Chi-Square Pr > ChiSq
41 Lampiran 6 (lanjutan)
1 vs 4 1 vs 5 1 vs 6 1 vs 2 1 vs 3 1 vs 4 1 vs 5 1 vs 6 1 vs 7 1 vs 2
-0.41320 -0.18641 -7.28787 0.32004 0.45081 -0.35966 -0.20862 0.31634 0.29354 0.04806
0.15025 0.15518 117.931 0.12727 0.12605 0.08865 0.09474 0.13567 0.10965 0.12808
7.5628 1.4431 0.0038 6.3241 12.7907 16.4600 4.8496 5.4365 7.1671 0.1408
0.0060* 0.2296 0.9507 0.0119* 0.0003* <.0001* 0.0277* 0.0197* 0.0074* 0.7075
Hazard Ratio 0.662 0.830 0.001 1.377 1.570 0.698 0.812 1.372 1.341 1.049
1 vs 2 1 vs 3 1 vs 4 1 vs 5 1 vs 2 1 vs 3 1 vs 4 1 vs 5 1 vs 2 1 vs 3 1 vs 4
0.10935 -0.06878 -0.24153 -0.21839 0.00564 0.02632 0.03035 0.07382 0.04770 -0.01919 0.00134
0.22717 0.22957 0.23228 0.23681 0.00625 0.00835 0.01247 0.01060 0.04474 0.04415 0.04554
0.2317 0.0898 1.0813 0.8505 0.8153 9.9336 5.9281 48.5158 1.1370 0.1890 0.0009
0.6303 0.7645 0.2984 0.3564 0.3666 0.0016* 0.0149* <.0001* 0.2863 0.6638 0.9764
1.116 0.934 0.785 0.804 1.006 1.027 1.031 1.077 1.049 0.981 1.001
1 vs 2
0.01795
0.00580
9.5652
0.0020*
1.018
1 vs 2
0.00343
0.00569
0.3642
0.5462
1.003
0.00793 0.00715 0.0003273 0.00726 -0.00149 0.00620 0.01278 0.01063 0.00525 0.01113 0.03022 11.12491 0.01213 0.00552
1.2293 0.0020 0.0576 1.4452 0.2220 0.0000 4.8343
0.2675 0.9640 0.8104 0.2293 0.6375 0.9978 0.0279*
1.008 1.000 0.999 1.013 1.005 1.031 1.012
𝜷
Peubah
(X13)
Pekerjaan(X14)
Jenis pendapatan (X15) Usia(X16)
t*Uang muka (t*X4)
t*Jangka waktu pinjaman (t*X5) t*Jenis kelamin(t*X6) t*Total pendapatan(t*X8) t*Tingkat pendidikan(t*X13)
t*Jenis pendapatan(t*X15)
1 vs 3 1 vs 2 1 vs 3 1 vs 4 1 vs 5 1 vs 6 1 vs 2
SE(𝜷)
Chi-Square Pr > ChiSq
Uji-G Rasio likelihood = 1972.3213 P-value = <.0001 Kebaikan Model -2 LOG L = 60326.961 AIC = 60452.961 *nyata pada α = 0.05
42
Lampiran 7 Hasil analisis perluasan model Cox setelah direduksi Hazard Ratio
𝜷
SE(𝜷)
-0.44372 -1.22596 -1.73788 -2.88529 0.33019 0.43929 -0.41471 -0.29882 0.29688 0.27950 -0.28391 -0.30924 0.20135 -0.68892 0.14100 0.79866
0.04612 0.11916 0.18466 0.17883 0.07379 0.07181 0.08546 0.08669 0.08777 0.06775 0.05432 0.05096 0.08625 0.21008 0.20275 0.22132
92.5795 105.8464 88.5691 260.3277 20.0212 37.4183 23.5462 11.8805 11.4412 17.0188 27.3229 36.8223 5.4504 10.7534 0.4837 13.0224
<.0001* <.0001* <.0001* <.0001* <.0001* <.0001* <.0001* 0.0006* 0.0007* <.0001* <.0001* <.0001* 0.0196* 0.0010* 0.4868* 0.0003*
0.642 0.293 0.176 0.056 1.391 1.552 0.661 0.742 1.346 1.322 0.753 0.734 1.223 0.502 1.151 2.223
1 vs 2 0.27105
0.03881
48.7785
<.0001*
1.311
1 vs 2 1 vs 3 1 vs 4 1 vs 5 1 vs 2 1 vs 3
0.10983 -0.07028 -0.23462 -0.20106 -0.24389 0.45071
0.22698 0.22928 0.23178 0.23618 0.08800 0.10696
0.2341 0.0940 1.0246 0.7247 7.6806 17.7555
0.6285 0.7592 0.3114 0.3946 0.0056* <.0001*
1.116 0.932 0.791 0.818 0.784 1.569
1 vs 2 1 vs 3 1 vs 4 1 vs 5 1 vs 6 1 vs 7 Jenis kelamin 1 vs 2 (X6) Nomor 1 vs 2 telepon tetap(X2) Besar 1 vs 2 angsuran (X9) 1 vs 3 1 vs 4 Status 1 vs 2
-0.21701 -0.17293 -0.07032 -0.11159 0.15952 0.24487 -0.36165
0.07903 0.07718 0.08171 0.09555 0.12381 0.16256 0.07674
7.5400 5.0207 0.7407 1.3640 1.6600 2.2689 22.2087
0.0060* 0.0250* 0.3894 0.2429 0.1976 0.1320 <.0001*
0.805 0.841 0.932 0.894 1.173 1.277 0.697
-0.24299
0.07876
9.5190
0.0020*
0.784
0.16681 0.23404 0.37974 0.07284
0.04436 0.10073 0.23687 0.05345
14.1417 5.3983 2.5700 1.8575
0.0002* 0.0202* 0.1089 0.1729
1.182 1.264 1.462 1.076
Peubah
1 vs 2 1 vs 3 1 vs 4 1 vs 5 Pekerjaan 1 vs 2 (X14) 1 vs 3 1 vs 4 1 vs 5 1 vs 6 1 vs 7 Tipe motor 1 vs 2 (X1) 1 vs 3 1 vs 4 Jangka waktu 1 vs 2 pinjaman (X5) 1 vs 3 1 vs 4 Uang muka (X4)
Kepemilikan telepon (X3) Usia(X16)
Status pernikahan (X11) Jumlah tanggungan (X12)
Chi-Square Pr > ChiSq
43 Lampiran 7 (lanjutan) 𝜷
Peubah
kepemilikan tempat tinggal (X10) t*Uang muka (t*X4)
SE(𝜷)
Chi-Square Pr > ChiSq
Hazard Ratio
1 vs 3 0.15137 1 vs 4 0.07222
0.05476 0.06771
7.6421 1.1375
0.0057* 0.2862
1.163 1.075
1 vs 3 1 vs 4 1 vs 5 1 vs 2 1 vs 3
0.00816 0.01233 0.01037 0.01413 0.01126
9.5728 5.7491 49.1023 10.5451 4.2125
0.0020* 0.0165* <.0001* 0.0012* 0.0401*
1.026 1.030 1.075 1.047 0.977
0.00561
12.5584
0.0004*
1.020
0.00447
9.1731
0.0025*
1.014
0.02523 0.02956 0.07267 0.04587 -0.02310
t*Jangka waktu pinjaman (t*X5) t*Jenis 1 vs 2 0.01988 kelamin(t*X6) t*Jenis 1 vs 2 0.01353 pendapatan(t* X15)
Uji-G Rasio likelihood = 1956.2102 P-value = <.0001 Kebaikan Model -2 LOG L = 60343.072 AIC = 60431.072 *nyata pada α = 0.05
44 Lampiran 8 Hasil analisis model Cox stratifikasi Strata
Stratum X4 X5 X6 X8 X13 X15 Total Event 1 2
1 1
1 1
1 1
1 2
3 1
2 2
2 1
0 1
3
1
1
1
2
2
1
1
0
4 : 782
1
1
2
3
4
2
4
1 : 2
1
5
1 : 2
3
1 : 1
783 Total
5
4
2
3
2
1
1 13644
0 3378
Kumulati f Baseline Hazard 0 0.96 1 0.74 5 0
Cens
% Cens 2 0
100.00 0.00
1
100.00
0
0.91
2
0.00 : 66.67
0
1 10266
100.00 75.24
2
𝜷
Peubah
SE(𝜷)
Chi-Square Pr > ChiSq
Hazard Ratio
Tipe motor (X1) 1 vs 2 1 vs 3 1 vs 4 Nomor telepon 1 vs 2 tetap(X2) Kepemilikan 1 vs 2 telepon (X3) Pendapatan (X7) 1 vs 2 1 vs 3 Besar angsuran 1 vs 2 (X9) 1 vs 3 1 vs 4 Status 1 vs 2 kepemilikan 1 vs 3 tempat tinggal 1 vs 4 (X10) 1 vs 2 Status 1 vs 3 pernikahan (X11)
-0.29955 -0.27447 0.18037 -0.21031
0.05667 0.05377 0.09363 0.08380
27.9444 26.0563 3.7115 6.2991
<.0001* <.0001* 0.0540 0.0121*
0.741 0.760 1.198 0.810
0.25150
0.04061
38.3588
<.0001*
1.286
0.02958 0.04539 0.17477 0.24762 0.41748 0.09144 0.13323 0.05285
0.04947 0.09707 0.04584 0.10830 0.30448 0.05564 0.05721 0.07197
0.3576 0.2186 14.5358 5.2281 1.8801 2.7003 5.4238 0.5393
0.5499 0.6401 0.0001* 0.0222* 0.1703 0.1003 0.0199* 0.4627
1.030 1.046 1.191 1.281 1.518 1.096 1.143 1.054
-0.22519 0.41455
0.09329 0.11725
5.8265 12.5003
0.0158* 0.0004*
0.798 1.514
1 vs 2 1 vs 3 1 vs 4
-0.24120 -0.18848 -0.10708
0.08191 0.07984 0.08466
8.6719 5.5731 1.5997
0.0032* 0.0182* 0.2059
0.786 0.828 0.898
Jumlah tanggungan
45 Peubah
8 (lanjutan) 1 vs 5 (X12Lampiran ) 1 vs 6 1 vs 7 Pekerjaan(X14) 1 vs 2 1 vs 3 1 vs 4 1 vs 5 1 vs 6 1 vs 7 Usia(X16) 1 vs 2 1 vs 3 1 vs 4 1 vs 5
*nyata pada α = 0.05
𝜷
-0.13988 0.13706 0.29706 0.38080 0.48792 -0.29762 -0.22419 0.37825 0.35548 0.04033 -0.15272 -0.30831 -0.27948
SE(𝜷)
Chi-Square Pr > ChiSq
0.09855 2.0144 0.12849 1.1379 0.16648 3.1841 0.13469 7.9933 0.13220 13.6216 0.09590 9.6312 0.10863 4.2593 0.14223 7.0720 0.11649 9.3125 0.23202 0.0302 0.23450 0.4241 0.23737 1.6871 0.24206 1.3331 Uji-G Rasio likelihood = 249.8261 P-value = <.0001 Kebaikan Model -2 LOG L = 27256.529 AIC = 27318.529
0.1558 0.2861 0.0744 0.0047* 0.0002* 0.0019* 0.0390* 0.0078* 0.0023* 0.8620 0.5149 0.1940 0.2483
Hazard Ratio
0.869 1.147 1.346 1.463 1.629 0.743 0.799 1.460 1.427 1.041 0.858 0.735 0.756
46
Lampiran 9 Hasil analisis model Cox stratifikasi setelah direduksi 𝜷
Peubah
SE(𝜷)
Chi-Square Pr > ChiSq
Hazard Ratio
1 vs 2 1 vs 3 1 vs 4 1 vs 2 1 vs 3 1 vs 4 1 vs 5
-0.29541 -0.27522 0.18120 0.03559 -0.17200 -0.33594 -0.31099
0.05660 0.05361 0.09362 0.23186 0.23407 0.23661 0.24116
27.2440 26.3523 3.7461 0.0236 0.5399 2.0159 1.6629
<.0001* <.0001* 0.0529 0.8780 0.4625 0.1557 0.1972
0.744 0.759 1.199 1.036 0.842 0.715 0.733
1 vs 2
0.24728
0.04055
37.1852
<.0001*
1.281
1 vs 2 1 vs 3 1 vs 4 Pekerjaan(X14) 1 vs 5 1 vs 6 1 vs 7 Status 1 vs 2 pernikahan (X11) 1 vs 3 1 vs 2 1 vs 3 Jumlah 1 vs 4 tanggungan 1 vs 5 (X12) 1 vs 6 1 vs 7 1 vs 2 Besar angsuran 1 vs 3 (X9) 1 vs 4 Nomor telepon 1 vs 2 tetap(X2)
0.34913 0.48528 -0.31475 -0.24580 0.36974 0.34512 -0.20473 0.43003 -0.24435 -0.19485 -0.11433 -0.15193 0.13413 0.28811 0.17550 0.24670 0.42524
0.13276 0.13150 0.09523 0.10801 0.14194 0.11612 0.09144 0.11662 0.08188 0.07975 0.08447 0.09830 0.12847 0.16632 0.04582 0.10825 0.30459
6.9155 13.6180 10.9231 5.1787 6.7859 8.8327 5.0130 13.5979 8.9059 5.9699 1.8322 2.3890 1.0899 3.0008 14.6713 5.1938 1.9492
0.0085* 0.0002* 0.0009* 0.0229* 0.0092* 0.0030* 0.0252* 0.0002* 0.0028* 0.0146* 0.1759 0.1222 0.2965 0.0832 0.0001* 0.0227* 0.1627
1.418 1.625 0.730 0.782 1.447 1.412 0.815 1.537 0.783 0.823 0.892 0.859 1.144 1.334 1.192 1.280 1.530
-0.21509
0.08366
6.6102
0.0101*
0.806
Tipe motor (X1)
Usia(X16) Kepemilikan telepon (X3)
Uji-G Rasio likelihood = 243.0512 P-value = <.0001 Kebaikan Model -2 LOG L = 27263.304 AIC = 27315.304 *nyata pada α = 0.05
47
Lampiran 10 Pemeriksaan rasio hazard perluasan model Cox pada data validasi dibandingkan dengan selang kepercayaan rasio hazard pada data pemodelan HR Model (b.bawah)
Peubah Uang muka(X4)
Tipe motor(X1)
Pekerjaan(X14)
Terikat waktuUang muka(t*X4) Kepemilikan telepon(X3) Jangka waktu pinj aman(X5) Terikat waktuJangka waktu pinjaman(t*X5) Besar angsuran (X9) Umur(X16)
Status
Rasio Hazard validasi
HR Model (b. atas)
1 vs 2 1 vs 3 1 vs 4 1 vs 5 1 vs 2 1 vs 3 1 vs 4 1 vs 2 1 vs 3 1 vs 4 1 vs 5 1 vs 6 1 vs 7 1 vs 3 1 vs 4 1 vs 5 1 vs 2
0.586 0.232 0.122 0.039 0.677 0.664 1.033 1.204 1.348 0.559 0.626 1.133 1.158 1.009 1.005 1.054
0.681* 0.208 0.111 0.092 0.610 0.687* 0.905 1.118 1.266 0.760* 0.698* 1.242* 1.074 1.039* 1.055* 1.068*
0.702 0.371 0.253 0.079 0.837 0.811 1.448 1.608 1.786 0.781 0.879 1.598 1.510 1.042 1.055 1.097
1.215
1.332*
1.415
1 vs 2 1 vs 3 1 vs 4 1 vs 2
0.333 0.774 1.440
0.665* 1.663* 2.139*
0.758 1.713 3.430
1.018
1.018*
1.076
1.083 1.037 0.919 0.715 0.595 0.502 0.515 0.659
1.365 1.770 1.919* 0.774* 0.592* 0.518* 0.494 0.788*
1.289 1.540 2.326 1.741 1.461 1.246 1.299 0.931
1 vs 2 1 vs 3 1 vs 4 1 vs 2 1 vs 3 1 vs 4 1 vs 5 1 vs 2
48 HR Model (b.bawah)
Peubah
Lampiran 10 (lanjutan) pernikahan(X11) Jenis kelamin(X6) Jumlah tanggungan (X12)
Terikat waktu-Jenis kelamin(t*X6) Telepon tetap(X2) Terikat waktu-Jenis pendapatan(t*X15) Status kepemilikan tempat tinggal(X10)
Rasio Hazard validasi
HR Model (b. atas)
1 vs 3 1 vs 2 1 vs 2 1 vs 3 1 vs 4 1 vs 5 1 vs 6 1 vs 7 1 vs 2
1.273 0.599 0.689 0.723 0.794 0.742 0.920 0.929
1.536* 0.644* 0.931* 0.960* 0.952* 1.166 1.197* 1.784
1.935 0.810 0.940 0.979 1.094 1.079 1.495 1.757
1.009
1.025*
1.031
1 vs 2 1 vs 3
0.672
0.933
0.915
1.005
0.999
1.023
1 vs 2 1 vs 3 1 vs 4
0.969 1.045 0.941
1.054* 1.076* 1.032*
1.194 1.295 1.227
*rasio hazard berada di dalam selang
49
Lampiran 11 Pemeriksaan rasio hazard model Cox stratifikasi pada data validasi dibandingkan dengan selang kepercayaan rasio hazard pada data pemodelan
1 vs 2 1 vs 3 1 vs 4 1 vs 2 1 vs 3 1 vs 4 1 vs 5
HR Model (b.bawah) 0.666 0.684 0.998 0.658 0.532 0.449 0.457
Rasio Hazard validasi 0.642 0.730* 0.868 0.774* 0.583* 0.522* 0.477*
HR Model (b. atas) 0.832 0.844 1.440 1.632 1.332 1.136 1.175
1 vs 2
1.183
1.303*
1.386
1.093 1.256 0.606 0.633 1.096 1.125 0.681 1.223 0.667 0.704 0.756 0.709 0.889 0.963 1.089 1.035 0.842
1.306* 1.420* 0.857* 0.821* 1.436* 1.181 0.758* 1.551* 0.858* 0.922* 0.902* 1.140 1.121* 1.666* 1.324 2.002 2.771*
1.839 2.102 0.880 0.966 1.912 1.773 0.975 1.932 0.920 0.962 1.053 1.042 1.471 1.848 1.304 1.582 2.779
0.685
0.996
0.950
Peubah
Tipe motor (X1)
Usia(X16)
Kepemilikan telepon (X3)
1 vs 2 1 vs 3 1 vs 4 Pekerjaan(X14) 1 vs 5 1 vs 6 1 vs 7 1 vs 2 Status pernikahan (X11) 1 vs 3 1 vs 2 1 vs 3 Jumlah tanggungan 1 vs 4 (X12) 1 vs 5 1 vs 6 1 vs 7 1 vs 2 Besar angsuran 1 vs 3 (X9) 1 vs 4 Nomor telepon 1 vs 2 tetap(X2) *rasio hazard berada di dalam selang
50
RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Bandung, Jawa Barat pada tanggal 13 Maret 1989, sebagai anak tunggal dari pasangan Joni Gunawan dan Melyawaty. Pendidikan sekolah menengah ditempuh di SMA Negeri 7 Bandung dengan Program IPA, lulus pada tahun 2007. Pada tahun 2007 penulis diterima sebagai mahasiswa di Jurusan Pendidikan Matematika Universitas Pendidikan Indonesia dan lulus mendapatkan gelar Sarjana Pendidikan pada tahun 2011. Selama jenjang S1 Penulis aktif sebagai pengurus Organisasi Kemahasiswaan dan Kemasyarakatan yaitu Himatika Identika UPI dan Muhammadiyah. Penulis juga pernah menjadi asisten guru mata pelajaran Matematika. Penulis pernah melakukan praktik lapangan di SMA Negeri 23 di Bandung pada Januari sampai Juni 2011. Pada tahun 2013, Penulis melanjutkan jenjang pendidikan S2 di program studi Statistika Sekolah Pascasarjana Institut Pertanian Bogor. Penulis ikut berpartisipasi dalam pembentukan Himpunan Profesi Statistika Pascasarjana pada tahun 2014 sebagai anggota tim formatur. Penulis telah menghasilkan karya ilmiah yang telah dipresentasikan dan dipublikasikan pada International Graduate Student Seminar and Workshop (IGSSW) pada 15 September 2015 di Institut Pertanian Bogor.
