PERHITUNGAN AKTUARIA UNTUK MANFAAT PENSIUN-NORMAL MENGGUNAKAN METODE PROJECTED UNIT CREDIT DAN ENTRY AGE NORMAL
IRMA OKTIANI
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2013
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Perhitungan Aktuaria untuk Manfaat Pensiun-Normal Menggunakan Metode Projected Unit Credit dan Entry Age Normal adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini. Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor. Bogor, Agustus 2013 Irma Oktiani NIM G54090044
ABSTRAK IRMA OKTIANI. Perhitungan Aktuaria untuk Manfaat Pensiun-Normal Menggunakan Metode Projected Unit Credit dan Entry Age Normal. Dibimbing oleh I GUSTI PUTU PURNABA dan RETNO BUDIARTI. Program pendanaan pensiun merupakan suatu upaya untuk mengantisipasi resiko hari tua. Program pendanaan pensiun dibagi atas dua macam, yaitu program pensiun iuran-pasti (contribution-benefit cost) dan program pensiun manfaat-pasti (defined-benefit cost). Penelitian ini membahas program pensiun manfaat-pasti. Program pensiun manfaat-pasti adalah program pensiun yang besar manfaatnya telah ditentukan di awal berdasarkan peraturan Dana Pensiun, sedangkan iurannya ditentukan kemudian. Metode yang digunakan adalah metode Entry Age Normal (EAN) dan Projected Unit Credit (PUC). Tujuan penelitian ini adalah melakukan perhitungan aktuaria yang mencakup perhitungan iuran normal dan kewajiban aktuaria serta menentukan metode terbaik dilihat dari sisi peserta. Perhitungan nilai akhir dibutuhkan untuk dapat menentukan metode mana yang terbaik. Berdasarkan hasil perhitungan, didapatkan bahwa metode EAN lebih baik dari PUC karena total nilai akhirnya lebih kecil untuk manfaat pensiun yang sama. Kata kunci: entry age normal, iuran normal, kewajiban aktuaria, metode pendanaan pensiun, projected unit credit
ABSTRACT IRMA OKTIANI. Actuarial Valuation for Defined-Benefit Cost Using Projected Unit Credit and Entry Age Normal Methods. Supervised by I GUSTI PUTU PURNABA and RETNO BUDIARTI. A pension fund program is an attempt to anticipate the risk in the old days by providing benefit for the retired employees. Pension fund method is devided into two kinds; contribution-benefit cost and defined-benefit cost methods. This research discusses the defined-benefit cost method. A defined benefit cost is a pension plan that all of its benefits have been determined at the beginning, meanwhile the normal cost is being calculated later. The defined-benefit cost method that used in this research are Projected Unit Credit (PUC) and Entry Age Normal (EAN). The objectives of this research are to perform an actuarial valuation which includes the calculation of normal cost and actuarial liability and to obtain the best method that suits for the participants (employees). Calculation of the normal cost final values is normally required to determine which is the best method to apply. Actuarial valuation showed that EAN is better used than PUC because the total value of final dues is smaller than the PUC for the same pension benefits. Keyword: actuarial liability, entry age normal, normal cost, pension funding method, projected unit credit
PERHITUNGAN AKTUARIA UNTUK MANFAAT PENSIUN-NORMAL MENGGUNAKAN METODE PROJECTED UNIT CREDIT DAN ENTRY AGE NORMAL
IRMA OKTIANI
Skripsi sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Departemen Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2013
Judul Skripsi : Perhitungan Aktuaria untuk Manfaat Pensiun-Normal Menggunakan Metode Projected Unit Credit dan Entry Age Normal. Nama : Irma Oktiani NIM : G54090044
Disetujui oleh
Dr Ir I Gusti Putu Purnaba, DEA Pembimbing I
Ir Retno Budiarti, MS Pembimbing II
Diketahui oleh
Dr Berlian Setiawaty, MS Ketua Departemen
Tanggal Lulus: 4 September 2013
PRAKATA Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas segala karunia dan keberkahan-Nya sehingga penelitian ini berhasil diselesaikan. Tema yang dipilih dalam penelitian ini adalah dana pensiun, dengan judul Perhitungan Aktuaria untuk Manfaat Pensiun-Normal Menggunakan Metode Projected Unit Credit dan Entry Age Normal. Terima kasih penulis ucapkan kepada Bapak Dr Ir I Gusti Putu Purnaba, DEA dan Ibu Ir Retno Budiarti, MS selaku pembimbing yang telah bersedia membimbing saya dengan penuh kesabaran serta Bapak Dr Ir I Wayan Mangku, M.Sc selaku penguji. Terima kasih juga penulis ucapkan untuk keluarga yang selalu setia mendo’akan dan mendukung penulis dalam bentuk apapun. Ungkapan terima kasih juga penulis sampaikan kepada Ka Hikmah, teman-teman matematika 46 (Ka Ruhiyat, Putri, Ami, Reni, Amel, Yoyok, Desyi, Dio, Fenny, dan yang lainnya), teman satu in the cost (Indri, Yulia, Kane, Sisil, Yuni) dan teman pengajar Primagama Quantum Kids yang tak pernah lelah untuk menyemangati dan menjadi tempat berbagi selama proses pembuatan penelitian ini. Besar harapan penulis agar penelitian ini tak hanya berguna untuk penulis, melainkan berguna di masyarakat luas. Semoga penelitian ini bermanfaat, karena sesuai firman Allah: “Sebaik-baik manusia adalah yang lebih banyak manfaatnya bagi manusia yang lain”.
Bogor, Agustus 2013 Irma Oktiani
DAFTAR ISI DAFTAR GAMBAR
vi
DAFTAR LAMPIRAN
vi
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Tujuan Penelitian
2
Manfaat Penelitian
2
Pembatasan Masalah
2
TINJAUAN PUSTAKA
2
Fungsi Tingkat Suku Bunga
2
Anuitas Hidup
3
Fungsi Gaji
3
Fungsi Manfaat
3
Iuran Normal
4
Kewajiban Aktuaria
5
KONSEP DASAR PERHITUNGAN MANFAAT-PASTI
5
Manfaat
5
Present Value of Future Benefit
6
Present Value of Future Normal Cost
9
Metode Projected Unit Credit
12
Metode Entry Age Normal
13
Perhitungan Iuran Normal dan Kewajiban Aktuaria dengan Metode PUC dan EAN
15
Tabel Perhitungan
15
Contoh perhitungan
16
SIMPULAN DAN SARAN
21
Simpulan
21
Saran
22
DAFTAR PUSTAKA
22
LAMPIRAN
24
RIWAYAT HIDUP
30
DAFTAR GAMBAR 1. Diagram waktu untuk (PVFB)x saat y ≤ x < r 6 2. Diagram waktu untuk (𝑃𝑉𝐹𝐵)𝑥 saat 𝑥 ≥ 𝑟 3. Diagram waktu untuk (PVFNC)x untuk kasus meninggal sebelum usia pensiun r 4. Diagram waktu untuk (PVFNC)x untuk kasus meninggal setelah usia pensiun r
8 9 9
DAFTAR LAMPIRAN 1. Penjumlahan parsial 24 2. Tabel Mortalita Taspen 2012 (TMT 2012) 25 3. Perhitungan iuran normal dan kewajiban aktuaria menggunakan metode PUC dan EAN dengan 𝑖𝐴 = 𝑖𝐿 = 10%, 𝑘 = 2.5%, dan 𝑠𝑟−1 = 20569200 26
PENDAHULUAN Latar Belakang Karyawan merupakan aset penting bagi suatu perusahaan. Kemajuan dan kemunduran sebuah perusahaan dipengaruhi oleh produktivitas karyawan pada perusahaan tersebut. Perusahaan bertanggung jawab untuk menjamin kesejahteraan karyawan sehingga karyawan tersebut merasa nyaman dan tidak khawatir dengan kesejahteraannya di masa mendatang. Bertambahnya usia merupakan faktor yang mempengaruhi produktivitas kerja seorang karyawan. Kemampuan fisik seseorang dalam bekerja akan menurun dengan bertambahnya usia sedangkan kebutuhan hidup akan terus meningkat. Oleh karena itu, perusahaan harus memiliki sebuah program yang dapat menjamin kesejahteraan karyawan sebagai salah satu bentuk timbal balik atas produktivitas karyawannya. Salah satu program untuk menjamin kesejahteraan karyawan suatu perusahaan adalah program pensiun. Program pensiun merupakan investasi jangka panjang yang mengupayakan manfaat pensiun bagi pesertanya. Di Indonesia badan hukum yang mengelola program pendanaan pensiun adalah Dana Pensiun. Dana Pensiun adalah badan hukum yang mengelola dan menjalankan program yang menjanjikan manfaat pensiun bagi pesertanya. Dana Pensiun bertujuan untuk meningkatkan motivasi dan ketenangan kerja untuk peningkatan produktivitas. Jenis program pensiun dibagi menjadi dua, yaitu program pensiun iuran-pasti (contribution-benefit cost) dan program pensiun manfaat-pasti (defined-benefit cost). Program pensiun iuran-pasti adalah program pensiun yang iurannya ditetapkan dalam peraturan Dana Pensiun dan seluruh iuran serta hasil pengembangannya dibukukan pada rekening masing-masing peserta sebagai manfaat pensiun. Program pensiun manfaat-pasti adalah program pensiun yang manfaatnya ditetapkan dalam peraturan Dana Pensiun, sedangkan iuran berkala ditetapkan berdasarkan perhitungan aktuaris sehingga dana mencukupi untuk membayar manfaat yang telah dijanjikan kepada peserta. Hal tersebut tertuang dalam UU Nomor 11 Tahun 1992. Menurut Winklevoss (1993), manfaat pensiun seorang peserta program pensiun dibagi menjadi beberapa jenis, yaitu manfaat pensiun-normal, cacat, mengundurkan diri, dan kematian. Pensiun-normal adalah pensiun pada saat peserta memasuki usia pensiun-normal. Pensiun-cacat adalah pensiun yang diberikan kepada seseorang yang mengalami cacat permanen akibat kecelakaan atau sebab lain ketika peserta menjalankan program pensiun. Pensiunmengundurkan diri adalah pensiun yang pesertanya mengundurkan diri sebelum usia pensiun-normal, sehingga manfaat yang diberikan ditunda dalam jangka waktu tertentu. Pensiun-kematian adalah pensiun yang diberikan kepada seseorang yang telah meninggal dunia sebelum memasuki usia pensiun-normal. Konsep penting dalam program pensiun adalah metode pembebanan aktuaria (actuarial cost method). Metode pembebanan aktuaria bertujuan untuk menentukan iuran normal dan kewajiban aktuaria. Metode pembebanan aktuaria dibagi menjadi dua kategori besar, yaitu metode accrued benefit cost dan projected benefit cost. Metode accrued benefit cost adalah metode yang menekankan pada manfaat pensiun yang jatuh tempo pada suatu tanggal,
2 sedangkan metode projected benefit cost adalah metode yang menekankan pada proyeksi manfaat pensiun ketika mencapai usia pensiun. Salah satu yang termasuk dalam metode accrued benefit cost adalah metode Projected Unit Credit (PUC), sedangkan yang termasuk dalam metode projected benefit cost adalah metode Entry Age Normal (EAN).
Tujuan Penelitian Tujuan dari penelitian ini adalah 1 mengonstruksi ulang rumus perhitungan iuran normal dan kewajiban aktuaria menggunakan metode PUC dan EAN, 2 menghitung besarnya iuran normal yang harus dibayarkan peserta dan kewajiban aktuaria yang harus dibayarkan oleh suatu perusahaan, dan 3 membandingkan hasil perhitungan aktuaria menggunakan kedua metode tersebut. Manfaat Penelitian Manfaat penelitian ini adalah untuk memudahkan peserta dan perusahaan dalam menghitung seberapa besar iuran normal dan kewajiban aktuaria yang harus dibayarkan untuk memenuhi manfaat pensiun-normal dengan menggunakan metode PUC dan EAN.
Pembatasan Masalah 1. 2. 3. 4. 5.
Pembatasan masalah dalam penelitian ini dibatasi oleh hal-hal berikut: Semua peserta pensiun pada usia normal. Tingkat bunga atas kewajiban pensiun dan tingkat pengembalian investasi diasumsikan sama. Tingkat kenaikan gaji hanya dipengaruhi oleh masa kerja, sedangkan kebijakan pemerintah dianggap tidak ada. Proporsi dari gaji yang dipersiapkan untuk manfaat pensiun (k) sebesar 2.5% dari gaji selama bekerja. Tabel mortalita yang digunakan adalah Tabel Mortalita Taspen 2012 (TMT 2012) dengan asumsi tingkat suku bunga sebesar 10%.
TINJAUAN PUSTAKA Fungsi Tingkat Suku Bunga Fungsi tingkat suku bunga digunakan untuk mendiskontokan pembayaran yang akan datang pada saat ini. Jika 𝑖 adalah tingkat suku bunga yang diasumsikan pada tahun ke t, dengan t = 1,2,3,…,n, maka nilai sekarang dari satuan uang dalam n tahun ditunjukkan dengan
3 1
v n = (1+i)n
v n adalah nilai sekarang dari pembayaran sebesar 1 satuan yang dilakukan 𝑛 tahun kemudian. Menurut Futami (1994), apabila pembayaran dilakukan 1 tahun lebih cepat, maka besarnya bunga yang hilang adalah 𝑖 𝑑 = 1 − 𝑣 = 1+𝑖. Anuitas Hidup Anuitas hidup adalah serangkaian pembayaran yang dilakukan secara terus menerus atau dalam jangka waktu tertentu (misal, bulanan, tiga bulanan, tahunan) selama orang tersebut masih hidup (Bowers et al. 1986). Berdasarkan jangka waktu pembayarannya, anuitas hidup dibagi menjadi 4 jenis, yaitu: 1 Anuitas seumur hidup Anuitas yang pembayarannya dilakukan selama tertanggung masih hidup dan pembayarannya dapat dilakukan di awal atau akhir periode. 2 Endowment murni Suatu pembayaran yang dilakukan pada akhir suatu jangka waktu tertentu bagi seseorang apabila hidup mencapai jangka waktu tersebut. 3 Anuitas berjangka Anuitas hidup yang pembayarannya dilakukan pada jangka waktu tertentu. 4 Anuitas ditunda Rangkaian pembayaran secara berkala yang ditunda selama jangka waktu tertentu. Fungsi Gaji Gaji saat ini untuk seorang karyawan berusia x dilambangkan dengan 𝑠𝑥 , dan Sx merupakan akumulasi gaji dari usia masuk (𝑦) sampai usia x-1, dimana 𝑥 > 𝑦. Secara matematis dituliskan dengan 𝑥−1
𝑆𝑥 = � 𝑠𝑡 , 𝑡=𝑦
𝑥 > 𝑦.
Apabila karyawan mendapat proporsi kenaikan gaji sebesar s setiap tahun, maka besarnya gaji karyawan pada saat berusia x + t, berdasarkan gaji pada usia 𝑥 adalah 𝑠𝑥+𝑡 = 𝑠𝑥 (1 + 𝑠)𝑡 . Fungsi Manfaat
Fungsi manfaat digunakan untuk menentukan jumlah manfaat yang akan dibayarkan pada saat pensiun. Manfaat tahunan selama tahun usia 𝑟 sampai 𝑟 + 1 tahun dinotasikan dengan 𝑏𝑟 . Beberapa jenis rumus untuk menentukan manfaat pada program pensiun manfaat-pasti antara lain:
4
1. Flat benefit Besarnya manfaat pensiun untuk setiap tahun masa kerja adalah konstan. Formulasi manfaat untuk peserta yang pensiun pada usia r dan masuk kerja usia 𝑦 adalah 𝐵𝑟 = (𝑟 − 𝑦)𝑏𝑟.
2. Rata-rata gaji selama n tahun terakhir Jika n adalah banyaknya tahun terakhir dimana gaji akan dirata-ratakan dan k adalah persentase dari gaji yang diberikan untuk manfaat, maka besarnya manfaat pada usia pensiun r tahun adalah 𝑟−1
1 𝐵𝑟 = 𝑘(𝑟 − 𝑦) � 𝑠𝑡 . 𝑛 𝑡=𝑟−𝑛
3. Rata-rata gaji selama bekerja Besar manfaat pensiun pada usia r adalah 𝐵𝑟 = 𝑘𝑆𝑟−1 . 4. Gaji terakhir Manfaat pensiun pada usia 𝑟 adalah 𝐵𝑟 = 𝑘(𝑟 − 𝑦)𝑠𝑟−1 .
(1)
dengan 𝑠𝑟−1 adalah besarnya gaji pada satu tahun terakhir sebelum pensiun. Iuran Normal
Iuran normal atau normal cost (𝑁𝐶) adalah iuran tahunan yang dibayarkan pada tiap tahun masa kerja peserta aktif. Pada prinsipnya, iuran normal digunakan untuk mencicil present value of future benefit (𝑃𝑉𝐹𝐵) masing-masing peserta. Iuran normal untuk seorang karyawan berusia x yang dihitung dengan menggunakan metode PUC dirumuskan sebagai berikut: (𝑁𝐶)𝑥 =
1 𝐵𝑟 𝑣𝐿𝑟−𝑥 𝑟−𝑥𝑝𝑥 𝑎̈𝑟 , (𝑟 − 𝑦)
𝑦≤𝑥≤𝑟,
Sedangkan yang dihitung dengan menggunakan metode EAN dirumuskan sebagai berikut: 𝑟−𝑦
Br
𝑟−𝑦𝑝𝑦 𝑟−𝑦
𝑣𝐿 𝑎̈ 𝑟
𝑎̈ 𝑦:𝑟−𝑦| ����������
𝐵𝑟 𝑣𝐿 𝑟−𝑦𝑝𝑦 𝑎̈𝑟 (𝑁𝐶)𝑥 = , (𝑎̈ ���������� 𝑦:𝑟−𝑦| )
𝑦 ≤ 𝑥 ≤ 𝑟.
= manfaat pensiun pada usia pensiun-normal 𝑟, = peluang seseorang yang berusia 𝑦 tahun akan tetap hidup hingga usia pensiun r tahun, = asumsi tingkat diskonto yang dikenakan atas kewajiban pensiun, = anuitas hidup diskret awal yang dibayarkan mulai dari usia pensiun 𝑟 tahun, dan = anuitas hidup diskret awal berjangka(𝑟 − 𝑦)tahun yang dibayarkan mulai dari usia masuk kerja y.
5 Kewajiban Aktuaria Kewajiban aktuaria atau actuarial liability (𝐴𝐿) suatu program pensiun pada saat 𝑥 adalah besarnya dana program pensiun yang seharusnya telah terkumpul pada saat 𝑥 untuk pembayaran manfaat pensiun yang akan datang. Kewajiban aktuaria dapat dianalogikan dengan cadangan manfaat. Actuarial liability merupakan nilai dari present value of future benefit dikurangi dengan present value of future normal cost atau dituliskan menjadi (𝐴𝐿)𝑥 = (𝑃𝑉𝐹𝐵)𝑥 − (𝑃𝑉𝐹𝑁𝐶)𝑥
(2)
dengan menggunakan metode PUC, dirumuskan sebagai berikut: (𝐴𝐿)𝑥 =
(𝑥 − 𝑦) 𝐵 𝑣 𝑟−𝑥 𝑝 𝑎̈ (𝑟 − 𝑦) 𝑟 𝐿 𝑟−𝑥 𝑥 𝑟
sedangkan dengan metode EAN, dirumuskan sebagai berikut: (𝐴𝐿)𝑥 = x y r
p r-x x r-y
vL ä �������� x:r-x�
𝐵𝑟 𝑣𝐿𝑟−𝑥 𝑟−𝑥𝑝𝑥 𝑎̈ 𝑟
𝑟−𝑦
𝐵𝑟 𝑣𝐿 𝑟−𝑦𝑝𝑦 𝑎̈ 𝑟 − 𝑎̈ ���������� 𝑥:𝑟−𝑥| . 𝑎̈ ���������� 𝑦:𝑟−𝑦|
= usia saat valuasi, = usia saat masuk kerja, = usia saat pensiun, = peluang seseorang yang berusia x tahun akan tetap hidup hingga usia pensiun r tahun, = asumsi tingkat diskonto yang dikenakan atas kewajiban pensiun, dan = anuitas hidup diskret awal berjangka (r-x) tahun yang dibayarkan mulai dari usia x.
KONSEP DASAR PERHITUNGAN MANFAAT-PASTI Perhitungan aktuaria adalah langkah awal untuk mengetahui besarnya manfaat yang akan diterima oleh peserta program pensiun. Oleh karena itu, perhitungan aktuaria yang meliputi perhitungan iuran normal dan kewajiban aktuaria harus dihitung terlebih dahulu. Ada banyak metode yang dapat digunakan untuk perhitungan aktuaria. Metode perhitungan aktuaria yang digunakan dalam penelitian ini adalah metode Projected Unit Credit (PUC) dan Entry Age Normal (EAN). Konsep dasar yang digunakan dalam perhitungan pensiun manfaat-pasti antara lain: Manfaat Manfaat pensiun adalah manfaat yang akan diterima seorang peserta pada saat telah memasuki usia pensiun yang merupakan fungsi dari kontribusi (hasil
6 investasi) selama periode pensiun (Aitken 1994). Manfaat pensiun pada program pensiun manfaat-pasti merupakan besaran yang telah ditetapkan di awal berdasarkan peraturan Dana Pensiun. Besaran tersebut akan menjadi dasar perhitungan aktuaria untuk menentukan iuran normal dan kewajiban aktuaria yang harus dibayarkan. Present Value of Future Benefit Present value of future benefit adalah nilai sekarang dari manfaat pensiun berkala yang akan diterima peserta program pensiun di masa yang akan datang. Besaran tersebut harus dapat memenuhi manfaat pensiun yang akan dibayarkan di masa datang. Nilai sekarang dari pembayaran manfaat pensiun secara berkala sebesar 𝐵𝑟 yang dibayarkan di awal dari seseorang yang berusia x, masuk program pensiun saat berusia 𝑦, dan pensiun pada saat berusia r adalah (𝑃𝑉𝐹𝐵)𝑥 . Menurut Winklevoss (1993), secara matematis (𝑃𝑉𝐹𝐵)𝑥 dirumuskan sebagai berikut: (𝑃𝑉𝐹𝐵)𝑥 = �
𝐵𝑟 𝑣𝐿𝑟−𝑥 𝑎̈ 𝑟 𝑟−𝑥𝑝𝑥 , 𝑦 ≤ 𝑥 < 𝑟 𝐵𝑟 𝑎̈ 𝑥 , 𝑥 ≥ 𝑟.
Bukti diperolehnya rumus tersebut yaitu (Irhamni 2011): 1. Dilihat sebelum usia 𝑟 (𝑦 ≤ 𝑥 < 𝑟).
Gambar 1 Diagram waktu untuk (PVFB)x saat y ≤ x < r
Jika 𝑍 adalah peubah acak yang menyatakan nilai sekarang dari anuitas diskret awal sebesar 𝐵𝑟 yang baru dibayarkan setelah usia pensiun selama seorang peserta program pensiun masih hidup, dilihat pada usia 𝑥 . Peubah acak 𝑊 menyatakan banyaknya tahun di masa mendatang yang akan dijalani oleh seseorang yang berusia 𝑥, sebelum meninggal (curtate future life table). Secara matematis 𝑍 dapat dinyatakan sebagai berikut: 0, 𝑍 = �𝐵 𝑣 𝑟−𝑥 𝑎̈ ������������������ 𝑟 𝐿 𝑊+1−(𝑟−𝑥)| ,
𝑊 = 0,1,2,…,𝑟 − 𝑥 − 1 𝑊 = 𝑟 − 𝑥, 𝑟 − 𝑥 + 1, …
(selanjutnya untuk penyederhanaan ambil 𝑛 = 𝑟 − 𝑥)
7 Nilai harapan dari peubah acak 𝑍 dinotasikan dengan (𝑃𝑉𝐹𝐵)𝑥 , yaitu: (𝑃𝑉𝐹𝐵)𝑥 = 𝐸(𝑍) ∞
= � 𝐵𝑟 𝑣𝐿𝑛 𝑎̈ ������������ 𝑤+1−𝑛| 𝑃𝑟(𝑊 = 𝑤) 𝑤=𝑛 ∞
= � 𝐵𝑟 𝑣𝐿𝑛 𝑎̈ ������������ 𝑤+1−𝑛| 𝑤𝑝𝑥 𝑞𝑥+𝑤 𝑤=𝑛
∞
= 𝐵𝑟 𝑣𝐿𝑛 � 𝑎̈ ������������ 𝑤+1−𝑛| 𝑤𝑝𝑥 𝑞𝑥+𝑤. 𝑤=𝑛
Ambil 𝑗 = 𝑤 − 𝑛 maka 𝑤 = 𝑗 + 𝑛, sehingga (𝑃𝑉𝐹𝐵)𝑥 =
𝐵𝑟 𝑣𝐿𝑛
=
𝐵𝑟 𝑣𝐿𝑛
=
𝐵𝑟 𝑣𝐿𝑛
∞
� 𝑎̈ ������ 𝚥+1| 𝑗+𝑛𝑝𝑥 𝑞𝑥+(𝑗+𝑛) 𝑗=0 ∞
� 𝑎̈ ������ 𝚥+1| � 𝑗=0 ∞
𝑠(𝑥 + 𝑗 + 𝑛) � 𝑞𝑥+(𝑗+𝑛) 𝑠(𝑥)
𝑠(𝑥 + 𝑛) 𝑠(𝑥 + 𝑗 + 𝑛) � 𝑎̈ ������ . � 𝑞𝑥+(𝑗+𝑛) 𝚥+1| � 𝑠(𝑥) 𝑠(𝑥 + 𝑛) 𝑗=0 ∞
= 𝐵𝑟 𝑣𝐿𝑛 � 𝑎̈ ������ 𝚥+1| 𝑛𝑝𝑥 𝑗 𝑝𝑥+𝑛 𝑞𝑥+(𝑗+𝑛) = karena n = r-x, maka 𝐵𝑟
𝑗=0
𝐵𝑟 𝑣𝐿𝑛 𝑛𝑝𝑥
∞
� 𝑎̈ ������ 𝚥+1| 𝑗 𝑝𝑥+𝑛 𝑞(𝑥+𝑛)+𝑗 𝑗=0
= 𝐵𝑟 𝑣𝐿𝑛 𝑛𝑝𝑥 𝑎̈ 𝑥+𝑛
(PVFB)x = Br vLr-x r-xpx ä r.
(3)
= manfaat pensiun berkala yang dibayarkan kepada seorang peserta setelah peserta tersebut pensiun pada usia 𝑟, 𝑝 = peluang seorang peserta berusia 𝑥 tetap bertahan hidup sampai usia 𝑟−𝑥 𝑥 pensiun 𝑟, 𝑣𝐿 = tingkat diskonto yang dikenakan atas kewajiban pensiun, dan 𝑎̈ 𝑟 = anuitas hidup diskret awal yang dibayarkan mulai dari usia pensiun 𝑟.
8 2.
Dilihat setelah usia r (x ≥ r).
Gambar 2 Diagram waktu untuk (𝑃𝑉𝐹𝐵)𝑥 saat 𝑥 ≥ 𝑟
Secara matematis Z dapat dituliskan sebagai berikut: 𝑍 = 𝐵𝑟 𝑎̈ ������� 𝑊+1| ,
𝑊 = 0,1,2,…
Nilai harapan dari Z dinotasikan (𝑃𝑉𝐹𝐵)𝑥 , yang dapat dirumuskan sebagai berikut: (𝑃𝑉𝐹𝐵)𝑥 = 𝐸(𝑍) ∞
= � 𝐵𝑟 𝑎̈ 𝑤+1| Pr(𝑊 = 𝑤) 𝑤=0 ∞
= � 𝐵𝑟 𝑎̈������� 𝑤+1| 𝑤 𝑝𝑥 𝑞𝑥+𝑤 𝑤=0
∞
= 𝐵𝑟 � 𝑎̈ ������� 𝑤+1| 𝑤𝑝𝑥 𝑞𝑥+𝑤 𝑤=0
= 𝐵𝑟 𝑎̈𝑥
(4)
dengan 𝑎̈𝑥 adalah anuitas seumur hidup di awal periode yang dibayarkan mulai dari usia 𝑥. Jadi, dari persamaan (3) dan (4) maka dapat disimpulkan bahwa (𝑃𝑉𝐹𝐵)𝑥 = �
𝐵𝑟 𝑣𝐿𝑟−𝑥 𝑎̈ 𝑟 𝑟−𝑥𝑝𝑥 , 𝑦 ≤ 𝑥 < 𝑟 𝐵𝑟 𝑎̈ 𝑥 , 𝑥 ≥ 𝑟.
∎
9 Present Value of Future Normal Cost Present value of future normal cost adalah nilai sekarang dari iuran berkala yang dibayarkan peserta program pensiun. Present value of normal cost dari seseorang yang berusia 𝑥 masuk program pensiun saat berusia 𝑦, dan pensiun pada saat berusia 𝑟 dinotasikan dengan (𝑃𝑉𝐹𝑁𝐶)𝑥 . Menurut Winklevoss (1993), secara matematis (𝑃𝑉𝐹𝑁𝐶)𝑥 dirumuskan sebagai berikut: 𝑟−1
(𝑃𝑉𝐹𝑁𝐶)𝑥 = �(𝑁𝐶)𝑡 𝑣𝐿𝑡−𝑥 𝑡−𝑥𝑝𝑥 . 𝑡=𝑥
Bukti diperolehnya rumus tersebut yaitu (Irhamni 2011): (𝑃𝑉𝐹𝑁𝐶)𝑥 dapat dijelaskan melalui gambar berikut 1. Dilihat pada usia 𝑥.
Gambar 3 Diagram waktu untuk (PVFNC)x untuk kasus meninggal sebelum usia pensiun r
Misal 𝑌 adalah peubah acak yang menyatakan nilai sekarang dari iuran berkala seorang peserta pensiun usia 𝑟 sebesar (𝑁𝐶)𝑡 yang diterima setiap awal periode berjangka (𝑟 − 𝑥) tahun. Peubah acak 𝑊 menyatakan sisa usia diskret, maka secara matematis 𝑌 dapat dituliskan sebagai berikut: 𝑊
𝑗
𝑌 = �(𝑁𝐶)𝑥+𝑗 𝑣𝐿 ,
2. Dilihat pada usia 𝑥.
𝑗=0
𝑊 = 0, 1, 2, … , 𝑟 − 𝑥 − 1.
(5)
Gambar 4 Diagram waktu untuk (PVFNC)x untuk kasus meninggal setelah usia pensiun r
10 Secara matematis, 𝑌 dapat dituliskan sebagai berikut: 𝑟−𝑥−1
𝑗
𝑌 = � (𝑁𝐶)𝑥+𝑗 𝑣𝐿 , 𝑗=0
𝑊 = 𝑟 − 𝑥, 𝑟 − 𝑥 + 1 , …
(6)
Dari persamaan (5) dan (6) dapat disimpulkan bahwa Y adalah 𝑊
𝑌=
⎧�(𝑁𝐶) 𝑣 𝑗 , 𝑥+𝑗 𝐿 ⎪
𝑊 = 0, 1, 2, …, 𝑟 − 𝑥 − 1
𝑗=0 𝑟−𝑥−1
⎨ 𝑗 ⎪ � (𝑁𝐶) 𝑥+𝑗 𝑣𝐿 , ⎩ 𝑗=0
𝑊 = 𝑟 − 𝑥, 𝑟 − 𝑥 + 1 , …
Nilai harapan dari peubah acak 𝑌 dinotasikan (𝑃𝑉𝐹𝑁𝐶)𝑥 , yang dapat dirumuskan sebagai berikut: (𝑃𝑉𝐹𝑁𝐶)𝑥
= 𝐸(𝑌) =
𝑟−𝑥−1
𝑤
𝑗 � ��(𝑁𝐶)𝑥+𝑗 𝑣𝐿 � Pr(𝑊 𝑤=0 𝑗=0
∞
𝑟−𝑥−1
𝑤=𝑟−𝑥
𝑗=0
Bagian pertama ruas kanan pada persamaan (7) 𝑟−𝑥−1
𝑤
𝑤=0
𝑗=0
𝑗
= 𝑤) + � � � (𝑁𝐶)𝑥+𝑗 𝑣𝐿 � Pr(𝑊 = 𝑤) .
𝑗
� ��(𝑁𝐶)𝑥+𝑗 𝑣𝐿 � Pr(𝑊 = 𝑤) 𝑟−𝑥−1
𝑤
𝑤=0
𝑗=0
𝑗
= � ��(𝑁𝐶)𝑥+𝑗 𝑣𝐿 � 𝑤𝑝𝑥 𝑞𝑥+𝑤 .
Penjumlahan parsial (lihat Lampiran 1) = =
𝑐
𝑗 �(𝑁𝐶)𝑥+𝑗 𝑣𝐿 𝑗=0 𝑟−𝑥
𝑟−𝑥
(− 𝑐𝑝𝑥 )�0
𝑟−𝑥−1
+ � (𝑁𝐶)𝑥+(𝑤+1) 𝑣𝐿𝑤+1 𝑤+1𝑝𝑥 𝑤=0
0 𝑗 �− �(𝑁𝐶)𝑥+𝑗 𝑣𝐿 𝑟−𝑥𝑝𝑥 – �(𝑁𝐶)𝑥+𝑗 𝑗=0 𝑗=0 𝑟−𝑥−1
+ � (𝑁𝐶)𝑥+(𝑤+1) 𝑣𝐿𝑤+1 𝑤+1𝑝𝑥 𝑊=0
𝑗
𝑣𝐿 �− 0𝑝𝑥 ��
(7)
11 𝑟−𝑥
𝑗
= �− �(𝑁𝐶)𝑥+𝑗 𝑣𝐿 𝑟−𝑥𝑝𝑥 – (𝑁𝐶)𝑥+0 𝑣𝐿0 (−1)� 𝑗=0
+�
=
𝑟−𝑥−1
𝑤=0
(𝑁𝐶)𝑥+(𝑤+1) 𝑣𝐿𝑤+1 𝑤+1𝑝𝑥
𝑟−𝑥
𝑗 �− �(𝑁𝐶)𝑥+𝑗 𝑣𝐿 𝑟−𝑥𝑝𝑥 𝑗=0
𝑟−𝑥−1
+ (𝑁𝐶)𝑥 � + � (𝑁𝐶)𝑥+(𝑤+1) 𝑣𝐿𝑤+1 𝑤+1𝑝𝑥 .
Ambil n = w + 1 maka 𝑤 = 𝑛 − 1, sehingga =
= =
𝑟−𝑥
𝑗 − �(𝑁𝐶)𝑥+𝑗 𝑣𝐿 𝑟−𝑥𝑝𝑥 𝑗=0 𝑟−𝑥
𝑗 − �(𝑁𝐶)𝑥+𝑗 𝑣𝐿 𝑟−𝑥𝑝𝑥 𝑗=0 + (𝑁𝐶)𝑟 𝑣𝐿𝑟−𝑥 𝑟−𝑥𝑝𝑥 𝑟−𝑥
𝑗 − �(𝑁𝐶)𝑥+𝑗 𝑣𝐿 𝑟−𝑥𝑝𝑥 𝑗=0 + (𝑁𝐶)𝑟 𝑣𝐿𝑟−𝑥 𝑟−𝑥𝑝𝑥 𝑗=0
𝑟−𝑥
+ (𝑁𝐶)𝑥 + �(𝑁𝐶)𝑥+𝑛 𝑣𝐿𝑛 𝑛𝑝𝑥 𝑛=1
𝑟−𝑥−1
+ (𝑁𝐶)𝑥 + � (𝑁𝐶)𝑥+𝑛 𝑣𝐿𝑛 𝑛𝑝𝑥 𝑛=1
𝑟−𝑥−1
+ � (𝑁𝐶)𝑥+𝑛 𝑣𝐿𝑛 𝑛𝑝𝑥
𝑟−𝑥−1
=− �
𝑤=0
(𝑁𝐶)𝑥+𝑗 𝑣𝐿𝑗 𝑟−𝑥𝑝𝑥
𝑛=0
𝑟−𝑥−1
+ � (𝑁𝐶)𝑥+𝑛 𝑣𝐿𝑛 𝑛𝑝𝑥 . 𝑛=0
Bagian kedua ruas kanan dari persamaan (7) ∞
𝑟−𝑥−1
𝑤=𝑟−𝑥
𝑗=0
𝑗
� � � (𝑁𝐶)𝑥+𝑗 𝑣𝐿 � Pr(𝑊 = 𝑤) ∞
𝑟−𝑥−1
𝑤=𝑟−𝑥
𝑗=0
𝑗
= � � � (𝑁𝐶)𝑥+𝑗 𝑣𝐿 � � 𝑤𝑝𝑥 − 𝑤+1𝑝𝑥 � 𝑟−𝑥−1
=� � 𝑗=0
𝑗 (𝑁𝐶)𝑥+𝑗 𝑣𝐿 � �
∞
� � 𝑤𝑝𝑥 − 𝑤+1𝑝𝑥 ��
𝑤=𝑟−𝑥
(8)
12 𝑟−𝑥−1
𝑗
= � � (𝑁𝐶)𝑥+𝑗 𝑣𝐿 � �� 𝑟−𝑥𝑝𝑥 − 𝑟−𝑥+1𝑝𝑥 � + � 𝑟−𝑥+1𝑝𝑥 − 𝑟−𝑥+2𝑝𝑥 � + ⋯ � 𝑗=0
𝑟−𝑥−1
𝑗
= � � (𝑁𝐶)𝑥+𝑗 𝑣𝐿 � 𝑟−𝑥𝑝𝑥 . 𝑗=0
(9)
Jadi, dari persamaan(8) dan (9) diperoleh 𝑟−𝑥−1
(𝑃𝑉𝐹𝑁𝐶)𝑥 = − �
(𝑁𝐶)𝑥+𝑗 𝑣𝐿𝑗 𝑟−𝑥𝑝𝑥
𝑗=0 𝑟−𝑥−1
𝑗 + � (𝑁𝐶)𝑥+𝑗 𝑣𝐿 𝑟−𝑥𝑝𝑥
𝑟−𝑥−1
+ � (𝑁𝐶)𝑥+𝑛 𝑣𝐿𝑛 𝑛𝑝𝑥 𝑛=0
𝑗=0
𝑟−𝑥−1
= � (𝑁𝐶)𝑥+𝑛 𝑣𝐿𝑛 𝑛𝑝𝑥 . 𝑛=0
Ambil 𝑡 = 𝑛 + 𝑥 maka 𝑛 = 𝑡 − 𝑥, sehingga 𝑟−1
(𝑃𝑉𝐹𝑁𝐶)𝑥 = �(𝑁𝐶)𝑡 𝑣𝐿𝑡−𝑥 𝑡−𝑥𝑝𝑥 . 𝑡=x
Secara khusus, apabila dilihat dari usia masuk y, adalah 𝑟−1
(𝑃𝑉𝐹𝑁𝐶)𝑦 = �(𝑁𝐶)𝑡 𝑣𝐿𝑡−𝑦 𝑡−𝑦𝑝𝑦 .
∎ (10)
𝑡=𝑦
Metode Projected Unit Credit Metode Projected Unit Credit (PUC) merupakan metode pembebanan aktuaria berdasarkan Pernyataan Standar Akuntansi Keuangan (PSAK) Nomor 24 Revisi 2004. Metode ini adalah metode pembebanan aktuaria yang akan menekankan pendanaan pada suatu tahun tertentu t, atas manfaat pensiun yang menjadi hak peserta pada tahun t, yang menetapkan: 1. Manfaat pensiun dialokasikan ke dalam satuan unit manfaat tahunan (benefit accrual function) yang sama setiap tahun masa kerja. 2. Iuran normal (𝑁𝐶 ) dari seorang peserta berusia 𝑥 dan pensiun pada usia 𝑟 didefinisikan sebagai nilai sekarang dari manfaat yang akan datang (𝑃𝑉𝐹𝐵)𝑥 dan menyebar secara merata untuk tiap-tiap masa kerja (𝑟 − 𝑦). Iuran normal dirumuskan dengan 1 (𝑁𝐶)𝑥 = 𝐵 𝑣 𝑟−𝑥 𝑎̈ 𝑟 𝑟−𝑥𝑝𝑥 , 𝑦 ≤ 𝑥 ≤ 𝑟. (𝑟 − 𝑦) 𝑟 𝐿
13 Bukti diperolehnya rumus tersebut yaitu: Berdasarkan definisi iuran normal pada metode PUC dan persamaan (3), didapatkan (𝑃𝑉𝐹𝐵)𝑥 (𝑁𝐶)𝑥 = (𝑟 − 𝑦) 𝐵𝑟 𝑣𝐿𝑟−𝑥 𝑎̈ 𝑟 𝑟−𝑥𝑝𝑥 (𝑁𝐶)𝑥 = (𝑟 − 𝑦) 1 (𝑁𝐶)𝑥 = 𝐵𝑟 𝑣𝐿𝑟−𝑥 𝑎̈ 𝑟 𝑟−𝑥𝑝𝑥 . ∎ (𝑟 − 𝑦) 3. Menggunakan asumsi tingkat kenaikan gaji. 4. Manfaat pensiun peserta usia 𝑥 dihitung dengan manfaat pensiun yang akan datang pada usia pensiun-normal 𝑟 tahun, manfaat pada usia pensiun-normal ini dialokasikan secara merata untuk setiap tahun masa kerja (pro rated). Manfaat pensiun pada usia 𝑥 didefinisikan sebagai berikut: 𝐵𝑥 =
(𝑥 − 𝑦) 𝐵 (𝑟 − 𝑦) 𝑟
dengan 𝑟 adalah usia pensiun-normal, 𝑥 adalah usia saat valuasi, 𝑦 adalah usia saat masuk kerja, dan 𝐵𝑟 adalah manfaat yang akan diterima oleh peserta program pensiun setelah berusia 𝑟 tahun. 5. Kewajiban aktuaria (𝐴𝐿) didefinisikan sebagai nilai sekarang dari akumulasi manfaat pada masa kerja sebelum perhitungan. Kewajiban aktuaria dirumuskan dengan (𝑥 − 𝑦) (𝐴𝐿)𝑥 = 𝐵 𝑣 𝑟−𝑥 𝑝 𝑎̈ , 𝑦 ≤ 𝑥 ≤ 𝑟. (𝑟 − 𝑦) 𝑟 𝐿 𝑟−𝑥 𝑥 𝑟 Bukti diperolehnya rumus tersebut yaitu: Berdasarkan penjelasan pada point (4) dan (5) pada metode PUC, maka (𝐴𝐿)𝑥 =
(𝑃𝑉𝐹𝐵)𝑥 (𝑥 − 𝑦). (𝑟 − 𝑦)
Dari persamaan (3), maka persamaan diatas menjadi (𝐴𝐿)𝑥 = (𝐴𝐿)𝑥 =
𝐵𝑟 𝑣𝐿𝑟−𝑥 𝑟−𝑥𝑝𝑥 𝑎̈ 𝑟 (𝑥 − 𝑦) (𝑟 − 𝑦)
(𝑥 − 𝑦) 𝐵 𝑣 𝑟−𝑥 𝑝 𝑎̈ . (𝑟 − 𝑦) 𝑟 𝐿 𝑟−𝑥 𝑥 𝑟
∎
Metode Entry Age Normal Konsep dasar metode Entry Age Normal (EAN) adalah nilai sekarang manfaat pensiun yang akan datang sama dengan nilai sekarang iuran normal yang akan datang pada titik usia masuk (usia 𝑦 tahun). Besarnya manfaat yang akan diterima peserta setelah mencapai usia pensiun didasarkan pada: 1. Gaji peserta di masa datang 2. Gaji terakhir peserta sebelum pensiun
14 3. Gaji rata-rata peserta selama masa kerja Iuran normal (𝑁𝐶 ) diterima dari peserta dimulai dari usia masuk kerja, bukan usia masuk program pensiun. Iuran normal pada metode ini merupakan sejumlah uang yang besarnya sama setiap tahunnya, yaitu (𝑁𝐶) t = (𝑁𝐶) untuk semua t dan harus dapat mencukupi pembayaran manfaatdi masa datang. Besarnya iuran normal untuk seorang peserta program pensiun menggunakan metode EAN dirumuskan dengan R
𝑟−𝑦
𝐵𝑟 𝑣𝐿 𝑟−𝑦𝑝𝑦 𝑎̈ 𝑟 . (𝑁𝐶)𝑥 = 𝑎̈ ���������� 𝑦:𝑟−𝑦|
Bukti diperolehnya rumus tersebut, yaitu: Pada prinsipnya, iuran normal digunakan untuk mencicil (𝑃𝑉𝐹𝐵) setiap peserta, sehingga didapat hubungan antara (𝑃𝑉𝐹𝑁𝐶) dan (𝑃𝑉𝐹𝐵), yaitu present value of normal contribution pada saat peserta berusia 𝑦 harus sama dengan present value of future benefit peserta tersebut saat usia 𝑦. Hal tersebut merupakan konsep dasar pada metode EAN yang dapat dirumuskan sebagai berikut: (𝑃𝑉𝐹𝑁𝐶)𝑦 = (𝑃𝑉𝐹𝐵)𝑦
karena manfaat pensiun adalah manfaat pensiun-normal dengan r-y
(PVFB)y = Br vL ä r r-ypy ,
y≤x≤ r
(11)
dan berdasarkan persamaan (10) dan (11), maka 𝑁𝐶 dapat dirumuskan seperti berikut: 𝑟−1
(𝑃𝑉𝐹𝑁𝐶)𝑦 = (𝑃𝑉𝐹𝐵)𝑦 𝑡−𝑦
𝑡−𝑦𝑝𝑦
= 𝐵𝑟 𝑣𝐿
𝑡−𝑦
𝑡−𝑦𝑝𝑦
= 𝐵𝑟 𝑣𝐿
𝑡−𝑦
𝑡−𝑦𝑝𝑦
= 𝐵𝑟 𝑣𝐿
� (𝑁𝐶)𝑡 𝑣𝐿 𝑡=𝑦
𝑟−1
�(𝑁𝐶) 𝑣𝐿 𝑡=𝑦
𝑟−1
𝑁𝐶 � 𝑣𝐿 𝑡=𝑦
𝑁𝐶 =
𝑟−𝑦
𝑟−𝑦𝑝𝑦 𝑎̈ 𝑟
𝑟−𝑦
𝑟−𝑦𝑝𝑦 𝑎̈ 𝑟
𝑟−𝑦
𝑟−𝑦𝑝𝑦 𝑎̈ 𝑟
𝑟−𝑦
𝐵𝑟 𝑣𝐿
𝑟−1 ∑𝑡=𝑦
𝑟−𝑦𝑝𝑦 𝑎̈ 𝑟 𝑡−𝑦 𝑣𝐿 𝑡−𝑦𝑝𝑦
𝑟−𝑦
𝐵𝑟 𝑣𝐿 𝑟−𝑦𝑝𝑦 𝑎̈ 𝑟 . 𝑁𝐶 = 𝑎̈ ���������� 𝑦:𝑟−𝑦|
∎
15 Sedangkan Actuarial Liability (𝐴𝐿) dirumuskan dengan (𝐴𝐿)𝑥 =
𝐵𝑟 𝑣𝐿𝑟−𝑥 𝑎̈ 𝑟 𝑟−𝑥𝑝𝑥
−
𝑟−𝑦
𝐵𝑟 𝑣𝐿
𝑟−𝑦𝑝𝑦
𝑎̈ ���������� 𝑦:𝑟−𝑦|
𝑎̈𝑟
Bukti diperoleh rumus tersebut yaitu: Berdasarkan persamaan (2), (3) dan (10), didapatkan
𝑎̈ ���������� 𝑥:𝑟−𝑥| .
(𝐴𝐿)𝑥 = (𝑃𝑉𝐹𝐵)𝑥 − (𝑃𝑉𝐹𝑁𝐶)𝑥 𝑟−1
(𝐴𝐿)𝑥 =
𝐵𝑟 𝑣𝐿𝑟−𝑥 𝑎̈ 𝑟 𝑟−𝑥𝑝𝑥
− �(𝑁𝐶)𝑡 𝑣𝐿𝑡−𝑥 𝑡−𝑥𝑝𝑥
(𝐴𝐿)𝑥 =
𝐵𝑟 𝑣𝐿𝑟−𝑥 𝑎̈ 𝑟 𝑟−𝑥𝑝𝑥
− 𝑁𝐶 � 𝑣𝐿𝑡−𝑥 𝑡−𝑥𝑝𝑥
(𝐴𝐿)𝑥 =
𝐵𝑟 𝑣𝐿𝑟−𝑥 𝑎̈ 𝑟 𝑟−𝑥𝑝𝑥
𝑡=𝑥
𝑟−1 𝑡=𝑥
(𝐴𝐿)𝑥 = 𝐵𝑟 𝑣𝐿𝑟−𝑥 𝑎̈ 𝑟 𝑟−𝑥𝑝𝑥 − (𝑁𝐶)𝑎̈ ���������� 𝑥:𝑟−𝑥| 𝐵𝑟
𝑟−𝑦𝑝𝑦
𝑣𝐿 𝑎̈ 𝑟
𝑎̈ ���������� 𝑦:𝑟−𝑦|
R
−
𝑟−𝑦
𝐵𝑟 𝑣𝐿
𝑟−𝑦𝑝𝑦
𝑎̈ ���������� 𝑦:𝑟−𝑦|
𝑎̈𝑟
𝑎̈ ���������� 𝑥:𝑟−𝑥| .
∎
= proyeksi manfaat pensiun, = peluang seseorang yang berusia y akan tetap hidup sampai usia pensiun 𝑟, = asumsi tingkat diskonto yang dikenakan atas kewajiban pensiun, = anuitas hidup diskret awal yang dibayarkan mulai dari usia pensiun 𝑟, dan = anuitas hidup diskret awal berjangka (𝑟 − 𝑦) tahun yang dibayarkan mulai dari usia masuk kerja 𝑦. Perhitungan Iuran Normal dan Kewajiban Aktuaria dengan Metode PUC dan EAN Tabel Perhitungan
Tabel perhitungan dibuat untuk memudahkan perhitungan pembiayaan pensiun. Tabel perhitungan disusun berdasarkan tabel mortalita. Tabel mortalita yang digunakan dalam penelitian ini adalah Tabel Mortalita Taspen 2012 (TMT 2012). TMT 2012 merupakan tabel mortalita terbaru yang dibuat oleh PT. Taspen (Persero) dan Biro Pusat Aktuaria.Tabel tersebut diharapkan dapat meningkatkan kualitas dan akurasi yang tinggi dalam perhitungan aktuaria (Tabel disajikan pada Lampiran 2).
16 Contoh perhitungan Seorang karyawan (pegawai negeri sipil golongan II A) berjenis kelamin laki-laki, mulai menjadi peserta program pensiun pada usia 19 tahun (𝑦 = 19), terhitung pensiun pada usia 56 tahun (𝑟 = 56), dan gaji terakhir yang diterima selama setahun terakhir (𝑠𝑟−1 ) sebesar Rp. 20569200,-. Perhitungan (valuasi) pada saat berusia 24 tahun dengan tingkat suku bunga sebesar 10% dan k sebesar 2.5% adalah a. Berdasarkan persamaan (1), besar manfaat pensiun berdasarkan gaji terakhir adalah 𝐵𝑟 = 𝑘(𝑟 − 𝑦)𝑠𝑟−1 𝐵56 = 2.5%(56 − 19)20569200 = 19026510
Jadi, besarnya manfaat pensiun yang akan diterima pada saat pensiun dalam setahun sebesar Rp. 19026510. b. Berdasarkan persamaan (3), perhitungan nilai sekarang manfaat pensiun adalah (𝑃𝑉𝐹𝐵)𝑥 = 𝐵𝑟 𝑣𝐿𝑟−𝑥 𝑎̈ 𝑟 𝑟−𝑥𝑝𝑥 56-24
(𝑃𝑉𝐹𝐵)24 = 𝐵56 𝑣𝐿
𝑎̈ 56 56-24𝑝24
𝑙24+56-24 𝑁56 = (19026510)(0.047362441) � �� � 𝑙24 𝐷56
902.0301628 26.52721817 = (19026510)(0.047362441) � �� � 997.5984618 26.52721817 = (19026510)(0.047362441)(0.904201637)(1) = 814814.033
Jadi, besarnya nilai sekarang manfaat pensiun pada saat berusia 24 tahun sebesar Rp. 814814.033,c. Perhitungan iuran normal 1) Metode PUC 1 (𝑁𝐶)𝑥 = 𝐵 𝑣 𝑟−𝑥 𝑎̈ 𝑟 𝑟−𝑥𝑝𝑥 (𝑟 − 𝑦) 𝑟 𝐿 1 (𝑁𝐶)24 = 𝐵 𝑣 56−24 𝑎̈ 56 56−24𝑝24 (56 − 19) 56 𝐿 1 (𝑁𝐶)24 = (𝑃𝑉𝐹𝐵)24 (56 − 19) 1 (𝑁𝐶)24 = (814814.033) (56 − 19) (𝑁𝐶)24 = 22022.00092
Jadi, iuran normal yang harus dibayarkan selama setahun pada usia 24 tahun menggunakan metode PUC sebesar Rp. 22022.00092.
17 2) Metode EAN 𝑟−𝑦 𝐵𝑟 𝑣𝐿 𝑎̈ 𝑟 𝑟−𝑦𝑝𝑦 (𝑁𝐶)𝑥 = 𝑎̈ ���������� 𝑦:𝑟−𝑦| (𝑁𝐶)24 =
(𝑁𝐶)24 =
𝐵56 𝑣𝐿56-19 𝑎̈56 56-19𝑝19 𝑎̈ ������������ 19:56-19|
(190265510)(0.029408349)(0.902030163)(1) 10.58512783
(𝑁𝐶)24 = 47682.02932
Jadi, iuran normal yang harus dibayarkan selama setahun pada usia 24 tahun menggunakan metode EAN sebesar Rp. 47682.02932. d. Perhitungan nilai akhir iuran normal 1) Metode PUC 56
𝐴 = �(𝑁𝐶)𝑖 56−𝑖𝑝𝑖 (1 + 𝑖)56−𝑖 𝑖=19
= (𝑁𝐶)19 𝑝19 (1 + 0.1)56-19 + (𝑁𝐶)20 𝑝20 (1 + 0.1)56-20 + ⋯ + (𝑁𝐶)56 𝑝56 (1 + 0.1)56-56
= (𝑁𝐶)19 𝑝19 (1 + 0.1)37 + (𝑁𝐶)20 𝑝20 (1 + 0.1)36 + ⋯ + (𝑁𝐶)56 𝑝56 (1 + 0.1)0
= (13641.091)(0.902)(34.004) + (15011.234)(0.902)(30.913) + ⋯ +(514230)(1)(1)
= 418407.567 + 418744.102 + ⋯ + 514230 = 16864065.114
Jadi, total nilai akhir iuran normal yang didapatkan dengan metode PUC adalah Rp. 16864065.114 selama masa kepesertaan. 2) Metode EAN 56
𝐵 = �(𝑁𝐶)𝑖 56−𝑖𝑝𝑖 (1 + 𝑖)56−𝑖 𝑖=19
= (𝑁𝐶)19 𝑝19 (1 + 0.1)56-19 + (𝑁𝐶)20 𝑝20 (1 + 0.1)56-20 + ⋯ + (𝑁𝐶)56 𝑝56 (1 + 0.1)56-56
= (𝑁𝐶)19 𝑝19 (1 + 0.1)37 + (𝑁𝐶)20 𝑝20 (1 + 0.1)36 + ⋯ +(𝑁𝐶)56 𝑝56 (1 + 0.1)0
= (47682.030)(0.902)(34.004) + (47682.030)(0.902)(30.913) + ⋯ +(47682.030)(1)(1)
18 = 1462531.224 + 1330108.437 + ⋯ + 47682.030 = 15800419.255
Jadi, total nilai akhir iuran normal yang didapatkan dengan metode EAN adalah Rp. 15800419.255 selama masa kepesertaan. e) Perhitungan kewajiban aktuaria 1) Metode PUC (𝑥 − 𝑦) (𝐴𝐿)𝑥 = 𝐵 𝑣 𝑟−𝑥 𝑎̈ 𝑟 𝑟−𝑥𝑝𝑥 (𝑟 − 𝑦) 𝑟 𝐿 (𝐴𝐿)𝑥 =
(𝐴𝐿)24 =
(24 − 19) (𝑃𝑉𝐹𝐵)24 (56 − 19)
5 (814814.033) 37 = 110110.0045
(𝐴𝐿)24 =
(𝐴𝐿)24
(𝑥 − 𝑦) (𝑃𝑉𝐹𝐵)𝑥 (𝑟 − 𝑦)
Jadi, kewajiban aktuaria pada usia 24 tahun menggunakan metode PUC sebesar Rp. 110110.0045. 2) Metode EAN (𝐴𝐿)𝑥 = (𝐴𝐿)24 =
𝐵56 𝑣𝐿56−24 𝑎̈ 56 56−24𝑝24
−
𝑟−𝑦
𝐵𝑟 𝑣𝐿
𝐵𝑟 𝑣𝐿𝑟−𝑥 𝑎̈ 𝑟 𝑟−𝑥𝑝𝑥
𝑎̈ 𝑟 𝑟−𝑦𝑝𝑦
𝑎̈ ���������� 𝑦:𝑟−𝑦|
𝑎̈ ���������� 𝑥:𝑟−𝑥|
𝐵56 𝑣𝐿56−19 𝑎̈ 56 56−19𝑝19 − 𝑎̈ ������������� 24:56−24| 𝑎̈ ������������� 19:56−19|
(𝐴𝐿)24 = (𝑃𝑉𝐹𝐵)24 − (𝑁𝐶)24 𝑎̈������������� 24:56−24|
(𝐴𝐿)24 = (814814.033) − (47682.02932)(10.36204772)
(𝐴𝐿)24 = 320730.5698
Jadi, kewajiban aktuaria pada usia 24 tahun menggunakan metode EAN sebesar Rp. 320730.5698. Jika dilihat dari pembiayaan tiap tahunnya adalah (Selengkapnya disajikan dalam Lampiran 3).
19 1. Iuran Normal (𝑁𝐶). Hasil perhitungan 𝑁𝐶 dilihat melalui grafik, hasilnya adalah:
600000 500000 400000
NC PUC
300000
NC EAN 200000 100000 0 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55
Gambar 5
Grafik antara besar iuran normal ( 𝑁𝐶 ) yang dihitung dengan metode Projected Unit Credit (PUC) dan Entry Age Normal (EAN) pada tiap-tiap tahun
Grafik garis pada Gambar 5 menunjukkan hubungan antara besarnya iuran normal yang dihitung dengan dua metode berbeda. Perhitungan tersebut dilakukan pada tiap-tiap tahun kepesertaan. Grafik dengan garis berwarna biru merupakan iuran normal yang dihitung menggunakan metode PUC, sedangkan garis yang berwarna merah merupakan iuran normal yang dihitung menggunakan metode EAN. Dari gambar tersebut terlihat bahwa besarnya iuran normal yang dihitung dengan menggunakan metode PUC, sejak awal masa kepesertaan sampai mendekati pertengahan masa kepesertaan adalah lebih kecil dibandingkan dengan besar iuran normal yang dihitung menggunakan metode EAN. Setelah pertengahan masa kepesertaan, iuran normal yang didapat dari metode PUC lebih besar dan terus meningkat dibanding dengan iuran normal yang dihitung dengan metode EAN. Besarnya iuran normal yang dihitung menggunakan metode EAN (ditunjukkan dengan garis berwarna merah) adalah tetap setiap tahunnya. Secara analitik, hal tersebut terjadi karena pada rumus iuran normal metode EAN, besarnya iuran normal tidak terpengaruh oleh usia saat valuasi (perhitungan). Artinya, peserta harus membayar iuran normal yang lebih kecil dengan menggunakan PUC dibandingkan dengan menggunakan metode EAN sejak awal kepesertaan hingga pertengahan kepesertaan. Setelah itu, besarnya iuran normal yang harus dibayarkan peserta tiap tahunnya dengan menggunakan metode PUC terus meningkat sampai akhir masa kepesertaan untuk manfaat pensiun yang sama.
20 Untuk menentukan metode mana yang lebih baik diantara metode PUC dan EAN, maka dicarilah nilai akhir yang didapatkan dari kedua metode tersebut. Hasilnya adalah 1600000 1400000 1200000 1000000 Nilai Akhir NC PUC
800000 600000
Nilai Akhir NC EAN
400000 200000 0 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55
Gambar 6 Grafik antara besar nilai akhir iuran normal yang dihitung menggunakan metode Projected Unit Credit (PUC) dan Entry Age Normal (EAN) padatiap-tiap tahun Grafik garis pada Gambar 6 menunjukkan hubungan antara nilai akhir yang dihitung menggunakan metode PUC dan EAN pada tiap-tiap tahunnya. Nilai akhir dihitung untuk melihat metode yang terbaik dari kedua metode tersebut untuk manfaat yang sama. Grafik dengan garis yang berwarna biru merupakan nilai akhir iuran normal yang dihitung menggunakan metode PUC. Nilai tersebut meningkat setiap tahunnya, namun tidak signifikan. Grafik dengan garis berwarna merah merupakan nilai akhir iuran normal yang dihitung menggunakan metode EAN.Nilai tersebut menurun setiap tahunnya. Pada awal hingga pertengahan periode kepesertaan, nilai akhir iuran normalnya lebih besar dibandingkan nilai akhir yang didapatkan dari metode PUC. Setelah pertengahan hingga akhir masa kepesertaan, nilai akhir iuran normal tersebut lebih kecil dibanding dengan nilai akhir yang didapatkan dari metode PUC. Total nilai akhir yang didapatkan dari metode PUC adalah 16864065.114, sedangkan yang didapatkan dari metode EAN adalah 15800419.255 (Selengkapnya disajikan pada Lampiran 3). Nilai akhir iuran normal yang didapatkan dari metode EAN lebih kecil dibandingkan dengan nilai akhir iuran normal yang didapatkan dari metode PUC untuk manfaat pensiun yang sama. Artinya, jumlah iuran normal yang harus dibayarkan oleh peserta dengan menggunakan metode EAN lebih sedikit dibandingkan dengan menggunakan metode PUC untuk manfaat pensiun yang sama. Oleh karena itu, metode EAN lebih baik dibandingkan dengan metode PUC.
21 2. Kewajiban Aktuaria(𝐴𝐿) Hasil perhitungan 𝐴𝐿 yang dilihat melalui grafik, hasilnya adalah:
20000000 18000000 16000000 14000000 12000000 10000000
AL PUC
8000000
AL EAN
6000000 4000000 2000000 0 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55
Gambar 7 Grafik antara besar kewajiban aktuaria (𝐴𝐿) yang dihitung dengan metode Projected Unit Credit (PUC) dan Entry Age Normal (EAN) pada tiap-tiap tahun Grafik garis pada Gambar 7 menunjukkan hubungan antara besarnya kewajiban aktuaria pada tiap-tiap tahun yang dihitung dengan menggunakan dua metode yang berbeda. Grafik dengan garis yang berwarna biru merupakan besar kewajiban aktuaria yang didapat dengan metode PUC, sedangkan yang berwarna merah merupakan besarnya kewajiban aktuaria yang didapat dengan metode EAN. Dari gambar terlihat bahwa besarnya kewajiban aktuaria pada awal dan akhir kepesertaan adalah sama. Pada masa kepesertaan, besarnya kewajiban aktuaria yang didapat dengan menggunakan metode EAN lebih tinggi dibanding dengan menggunakan metode PUC setiap tahunnya. Artinya, perusahaan harus menyiapkan dana cadangan lebih besar setiap tahunnya jika menggunakan metode EAN dibandingkan dengan menggunakan metode PUC untuk manfaat pensiun yang sama.
SIMPULAN DAN SARAN Simpulan Iuran normal dan kewajiban aktuaria dihitung menggunakan metode PUC dan EAN. Pada tingkat bunga pengembalian investasi dan tingkat bunga atas kewajiban pensiun yang diasumsikan sama, maka nilai sekarang dari iuran normal yang akan datang sama dengan nilai sekarang dari manfaat pensiun yang akan datang. Dari hasil perhitungan, didapatkan bahwa iuran normal yang dihitung
22 dengan menggunakan metode EAN adalah konstan dibanding dengan iuran normal yang dihitung menggunakan metode PUC. Iuran normal yang dihitung menggunakan metode PUC besarnya meningkat setiap tahun dan setelah pertengahan tahun kepesertaan, nilainya lebih besar dari iuran normal yang didapat dengan metode EAN. Perhitungan nilai akhir iuran normal dibutuhkan untuk mengetahui metode manakah yang lebih baik dari kedua metode yang digunakan. Nilai akhir iuran normal yang didapatkan dengan menggunakan metode EAN lebih kecil dibandingkan dengan nilai akhir iuran normal yang didapatkan dengan metode PUC untuk manfaat pensiun yang sama. Oleh karena itu, metode EAN lebih baik dibandingkan dengan metode PUC dilihat dari sisi peserta. Kewajiban aktuaria merupakan nilai sekarang dari manfaat pensiun yang akan datang dikurangi dengan nilai sekarang iuran normal yang akan datang. Besarnya kewajiban aktuaria yang dihitung menggunakan metode PUC lebih kecil dari besarnya kewajiban aktuaria yang dihitung menggunakan metode EAN. Artinya, cadangan manfaat yang harus disediakan perusahaan dengan metode PUC lebih kecil dibandingkan dengan metode EAN.
Saran Asumsi yang digunakan pada penelitian ini belum sepenuhnya sesuai dengan kondisi yang sebenarnya. Pada kondisi yang sebenarnya, tingkat suku bunga atas kewajiban pensiun dan tingkat suku bunga pengembalian investasi tidak sama. Oleh karena itu, penelitian yang menggunakan perbedaan tingkat asumsi atas kewajiban pensiun dan tingkat suku bunga pengembalian investasi yang berbeda dapat dilakukan untuk menyempurnakan hasil yang didapat pada penelitian ini. Hal tersebut bertujuan untuk mendapatkan hasil yang lebih sesuai dengan kondisi sebenarnya. Di samping kesesuaian asumsi, perusahaan juga dapat memilih metode pandanaan pensiun lain yang lebih baik. Banyak metode pendanaan pensiun yang dapat digunakan. Perusahaan yang belum memiliki peraturan sendiri, aturan mengenai program pendanaan pensiun pada perusahaannya disesuaikan dengan undang-undang dana pensiun yang berlaku. Perusahaan yang memiliki aturan dana pensiun tersendiri, dapat memilih metode pendanaan pensiun yang lebih sesuai untuk diaplikasikan pada perusahaannya.
DAFTAR PUSTAKA Aitken WH. 1994. A Problem Solving Approach to Pension Funding and Valuation. Ed ke-2. Winsted: ACTEX Publications. Bowers NL, Gerber HU, Hickman JC, Jones DA, dan Nesbitt CJ. 1986. Actuarial Mathematics. Schaumburg (DE): The Society of Actuaries. Futami T. 1994. Matematika Asuransi Jiwa Bagian II. Herliyanto G, penerjemah. Tokyo (JP): Oriental Life Insurance Cultural Development Center. Terjemahan dari: Seimei Hoken Sugaku, Gekan (“92 Revision).
23 Irhamni F. 2011. Metode spreading gains and loses pada pendanaan program pensiun manfaat-pasti [skripsi]. Depok (ID): Universitas Indonesia. Winklevoss HE. 1993. Pension Mathematics with Numerical Illustration. Ed ke-2. Philadelphia (US): University of Pennsylvania Press.
24 Lampiran 1 Penjumlahan parsial ∆[𝑓(𝑥)] = 𝑓(𝑥 + 1) − 𝑓(𝑥)
∆[𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)] = 𝑓(𝑥 + 1)𝑔(𝑥 + 1) − 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)
= 𝑓(𝑥 + 1)𝑔(𝑥 + 1) − 𝑓(𝑥 + 1)𝑔(𝑥) + 𝑓(𝑥 + 1)𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)
= 𝑓(𝑥 + 1)[𝑔(𝑥 + 1) − 𝑔(𝑥)] + 𝑔(𝑥)[𝑓(𝑥 + 1) − 𝑓(𝑥)] = 𝑓(𝑥 + 1) ∆[𝑔(𝑥)] + 𝑔(𝑥)∆[𝑓(𝑥)].
Kemudian, kedua ruas pada persamaan tersebut dijumlahkan dari 0 sampai 𝑛 − 1: 𝑛−1
𝑛−1
� ∆[𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)] = �(𝑓(𝑥 + 1) ∆[𝑔(𝑥)] + 𝑔(𝑥)∆[𝑓(𝑥)]) 𝑥=0
𝑥=0
𝑛−1
𝑛−1
𝑥=0
𝑥=0
= � 𝑓(𝑥 + 1)∆[𝑔(𝑥)] + � 𝑔(𝑥)∆[𝑓(𝑥)].
(12)
Ruas kiri pada persamaan (12) dapat dijabarkan sebagai berikut: 𝑛−1
� ∆[𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)] 𝑥=0
= ∆[𝑓(0)𝑔(0)] + ∆[𝑓(1)𝑔(1)] + ⋯ + ∆[𝑓(𝑛 − 1)𝑔(𝑛 − 1)]
= [𝑓(1)𝑔(1) − 𝑓(0)𝑔(0)] + [𝑓(2)𝑔(2) − 𝑓(1)𝑔(1)] + [𝑓(3)𝑔(3) − 𝑓(2)𝑔(2)] + ⋯ + [𝑓(𝑛)𝑔(𝑛) − 𝑓(𝑛 − 1)𝑔(𝑛 − 1)] = [𝑓(𝑛)𝑔(𝑛) − 𝑓(0)𝑔(0)] = 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)|𝑛0 .
(13)
Substitusikan persamaan (12) ke persamaan (13): 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)|𝑛0
𝑛−1
𝑛−1
𝑥=0
𝑥=0
= � 𝑓(𝑥 + 1) ∆[𝑔(𝑥)] + � 𝑔(𝑥)∆[𝑓(𝑥)].
Sehingga bentuk umum dari penjumlahan parsial adalah: 𝑛−1
� 𝑔(𝑥)∆[𝑓(𝑥)] = 𝑥=0
𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)|𝑛0
𝑛−1
− � 𝑓(𝑥 + 1) ∆[𝑔(𝑥)]. 𝑥=0
25 Lampiran 2 Tabel Mortalita Taspen 2012 (TMT 2012) Usia (𝑥) 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56
TMT 2012 (𝑞𝑥 ) 0.00036884 0.00040192 0.00043797 0.00047724 0.00052004 0.00056667 0.00061748 0.00067285 0.00073318 0.00079892 0.00087055 0.00094860 0.00103364 0.00112630 0.00122727 0.00133728 0.00145714 0.00158774 0.00173003 0.00188506 0.00205398 0.00223801 0.00243850 0.00265694 0.00289492 0.00315417 0.00343661 0.00374428 0.00407945 0.00444455 0.00484225 0.00527544 0.00574727 0.00626117 0.00682086 0.00743039 0.00809417 0.00881699
26
Lampiran 3 Perhitungan iuran normal dan kewajiban aktuaria menggunakan metode PUC dan EAN dengan 𝑖𝐴 = 𝑖𝐿 = 10%, 𝑘 = 2.5%, dan 𝑠𝑟−1 = 20569200. Usia (𝑥)
𝑟
0
19
0.00036884
0.99963116
1000
0.029
1
20
0.00040192
0.99959808
999.598
0.909
908.726
9611.655
10.577
0.902
0.032
30.913
10.548
2
21
0.00043797
0.99956203
999.160
0.826
825.752
8702.930
3
22
0.00047724
0.99952276
998.683
0.751
750.326
7877.177
10.539
0.903
0.036
28.102
10.507
10.498
0.903
0.039
25.548
10.463
4
23
0.00052004
0.99947996
998.164
0.683
681.760
7126.852
10.454
0.904
0.043
23.225
10.415
5
24
0.00056667
0.99943333
997.598
0.621
619.430
6445.092
10.405
0.904
0.047
21.114
10.362
6
25
0.00061748
0.99938252
996.982
7
26
0.00067285
0.99932715
996.312
0.564
562.771
5825.662
10.352
0.905
0.052
19.194
10.305
0.513
511.265
5262.891
10.294
0.905
0.057
17.449
10.242
8
27
0.00073318
0.99926682
995.581
0.467
464.446
4751.626
10.231
0.906
0.063
15.863
10.174
9
28
0.00079892
0.99920108
994.786
0.424
421.886
4287.180
10.162
0.907
0.069
14.421
10.099
10
29
11
30
0.00087055
0.99912945
993.920
0.386
383.199
3865.294
10.087
0.908
0.076
13.110
10.018
0.0009486
0.9990514
992.977
0.350
348.032
3482.095
10.005
0.908
0.084
11.918
9.929
12
31
0.00103364
0.99896636
991.951
0.319
316.066
3134.062
9.916
0.909
0.092
10.835
9.832
13
32
0.0011263
0.9988737
990.833
0.290
287.009
2817.996
9.818
0.910
0.102
9.850
9.726
14
33
0.00122727
0.99877273
989.617
0.263
260.597
2530.987
9.712
0.911
0.112
8.954
9.610
15
34
0.00133728
0.99866272
988.294
0.239
236.590
2270.390
9.596
0.913
0.123
8.140
9.484
16
35
0.00145714
0.99854286
986.854
0.218
214.768
2033.800
9.470
0.914
0.135
7.400
9.346
17
36
0.00158774
0.99841226
985.287
0.198
194.934
1819.032
9.332
0.915
0.149
6.727
9.195
18
37
0.00173003
0.99826997
983.582
0.180
176.906
1624.098
9.181
0.917
0.164
6.116
9.031
𝑙𝑥
1
1000
𝑡=𝑥
10611.655
𝑎̈ 𝑥 =
10.612
=
𝑣 𝑟−𝑥
𝑁𝑥 − 𝑁𝑟 𝐷𝑥
𝑙𝑥 0.902
𝑝𝑥
𝑁𝑥 = � 𝐷𝑡
𝑟−𝑥𝑝𝑥 𝑙𝑟
(1 + 𝑖)𝑟−𝑥
TMT (𝑞𝑥 )
𝐷𝑥 = 𝑣 𝑥 𝑙𝑥
𝑁𝑥 𝐷𝑥
𝑣𝑥
𝑡
34.004
𝑎̈ 𝑥:𝑟−𝑥| ���������� =
10.585
𝑟
𝑎̈ 𝑥
𝑁𝑥 = � 𝐷𝑡
0.164 0.149
𝐷𝑥 = 𝑣 𝑥 𝑙𝑥
160.520 145.628
1447.192 1286.672
9.016 8.835
977.519
0.135
132.093
1141.044
975.136
0.123
119.791
1008.951
0.99734306
972.545
0.112
108.612
0.00289492
0.99710508
969.729
0.102
44
0.00315417
0.99684583
966.671
45
0.00343661
0.99656339
963.348
27
46
0.00374428
0.99625572
28
47
0.00407945
29
48
30
49
31
𝑡
Usia (𝑥)
TMT (𝑞𝑥 )
𝑝𝑥
𝑙𝑥
𝑣
19 20
38 39
0.00188506 0.00205398
0.99811494 0.99794602
981.728 979.712
21
40
0.00223801
0.99776199
22
41
0.0024385
0.9975615
23
42
0.00265694
24
43
25 26
𝑥
𝑁𝑥 = 𝐷𝑥
𝑟−𝑥𝑝𝑥
𝑙𝑟 𝑙𝑥
𝑁𝑥 − 𝑁𝑟 𝐷𝑥
𝑣 𝑟−𝑥
(1 + 𝑖)𝑟−𝑥
0.919 0.921
0.180 0.198
5.560 5.054
8.850 8.653
8.638
0.923
0.218
4.595
8.437
8.423
0.925
0.239
4.177
8.201
889.160
8.187
0.927
0.263
3.797
7.942
98.452
780.548
7.928
0.930
0.290
3.452
7.659
0.092
89.220
682.095
7.645
0.933
0.319
3.138
7.348
0.084
80.830
592.876
7.335
0.936
0.350
2.853
7.007
959.741
0.076
73.207
512.045
6.995
0.940
0.386
2.594
6.632
0.99592055
955.826
0.069
66.280
438.839
6.621
0.944
0.424
2.358
6.221
0.00444455
0.99555545
951.578
0.063
59.987
372.558
6.211
0.948
0.467
2.144
5.768
0.00484225
0.99515775
946.970
0.057
54.269
312.571
5.760
0.953
0.513
1.949
5.271
50
0.00527544
0.99472456
941.975
0.052
49.076
258.302
5.263
0.958
0.564
1.772
4.723
32
51
0.00574727
0.99425273
936.561
0.047
44.358
209.226
4.717
0.963
0.621
1.611
4.119
33
52
0.00626117
0.99373883
930.697
0.043
40.073
164.869
4.114
0.969
0.683
1.464
3.452
34
53
0.00682086
0.99317914
924.349
0.039
36.181
124.796
3.449
0.976
0.751
1.331
2.716
35
54
0.00743039
0.99256961
917.480
0.036
32.648
88.614
2.714
0.983
0.826
1.210
1.902
36
55
0.00809417
0.99190583
910.054
0.032
29.440
55.967
1.901
0.991
0.909
1.100
1
37
56
0.00881699
0.99118301
902.030
0.029
26.527
26.527
1
1
1
1.000
0
𝑡=𝑥
=
𝑎̈ 𝑥:𝑟−𝑥| ���������� =
27
28
0
19
504720.382
13641.091
418407.567
47682.030
1462531.224
(𝐴𝐿)𝑥
1
20
555415.653
15011.234
418744.102
47682.030
1330108.437
15011.234
52471.322
2
21
611224.916
16519.592
419111.138
47682.030
1209719.309
33039.185
110216.959
3
22
672668.432
18180.228
419511.458
47682.030
1100269.919
54540.684
173771.819
4
23
740320.271
20008.656
419948.124
47682.030
1000765.819
80034.624
243725.981
5
24
814814.029
22022.001
420424.473
47682.030
910302.950
110110.004
320730.560
6
25
896849.219
24239.168
420944.161
47682.030
828059.447
145435.008
405504.240
7
26
987198.377
26681.037
421511.198
47682.030
753288.165
186767.260
498840.541
8
27
1086714.972
29370.675
422129.966
47682.030
685309.878
234965.399
601615.921
EAN
(𝑁𝐶)𝑥
Nilai Akhir NC EAN
(𝑃𝑉𝐹𝐵)𝑥
PUC
(𝑁𝐶)𝑥
Nilai Akhir NC PUC
Usia (𝑥)
t
PUC
0
EAN
(𝐴𝐿)𝑥 0
9
28
1196342.251
32333.574
422805.271
47682.030
623507.112
291002.169
714798.813
10
29
1317123.098
35597.922
423542.380
47682.030
567318.527
355979.216
839459.719
11
30
1450211.078
39194.894
424347.069
47682.030
516233.815
431143.834
976782.500
12
31
1596882.787
43158.994
425225.675
47682.030
469789.061
517907.931
1128077.008
13
32
1758551.723
47528.425
426185.159
47682.030
427562.528
617869.524
1294793.268
14
33
1936783.852
52345.510
427233.177
47682.030
389170.825
732837.133
1478537.392
15
34
2133315.077
57657.164
428378.134
47682.030
354265.411
864857.464
1681089.451
16
35
2350070.967
63515.432
429629.282
47682.030
322529.435
1016246.905
1904423.641
17 18
36 37
2589189.023 2853043.776
69978.082 77109.291
430996.817 432491.971
47682.030 47682.030
293674.857 267439.821
1189627.389 1387967.242
2150731.040 2422445.280
38 39
504720.382 555415.653
84980.414
Nilai Akhir NC PUC 434127.139
47682.030
Nilai Akhir NC EAN 243586.285
1614627.857
2722271.686
93670.853
435916.026
47682.030
221897.851
1873417.059
3053220.341
21
40
611224.916
22 23
41 42
672668.432 740320.271
103269.055 113873.642
437873.764 440017.111
47682.030 47682.030
202177.795 184247.283
2168650.164 2505220.121
3418643.567 3822278.783
125594.704
442364.661
47682.030
167943.746
2888678.184
4268297.505
24
43
814814.029
138555.280
444937.047
47682.030
153119.401
3325326.731
4761361.248
25
44
896849.219
152893.059
447757.197
47682.030
139639.904
3822326.480
5306685.795
26
45
987198.377
168762.335
450850.668
47682.030
127383.133
4387820.722
5910115.369
27
46
1086714.972
186336.264
454245.948
47682.030
116238.076
5031079.132
6578207.791
28
47
1196342.251
205809.480
457974.897
47682.030
106103.824
5762665.441
7318333.579
29
48
1317123.098
227401.124
462073.184
47682.030
96888.648
6594632.587
8138790.431
30
49
1450211.078
251358.376
466580.847
47682.030
88509.173
7540751.285
9048936.921
31
50
1596882.787
277960.578
471542.916
47682.030
80889.612
8616777.922
10059348.335
32
51
1758551.723
307524.060
477010.172
47682.030
73961.086
9840769.912
11181999.371
33
52
1936783.852
340407.817
483040.028
47682.030
67660.987
11233457.959
12430478.882
34
53
2133315.077
377020.201
489697.562
47682.030
61932.421
12818686.822
13820242.946
35
54
2350070.967
417826.837
497056.770
47682.030
56723.680
14623939.297
15368914.502
36
55
2589189.023
463360.036
505202.054
47682.030
51987.780
16680961.284
17096639.290
37
56 Total
2853043.776
514230
514230
47682.030
47682.030
19026510
19026510
t 19 20
Usia (𝑥)
(𝑃𝑉𝐹𝐵)𝑥
PUC
(𝑁𝐶)𝑥
16864065.114
EAN
(𝑁𝐶)𝑥
PUC
(𝐴𝐿)𝑥
EAN
(𝐴𝐿)𝑥
15800419.255
29
RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Jakarta pada tanggal 3 Oktober 1991. Penulis merupakan anak pertama dari tiga bersaudara, putri dari pasangan Bapak Irwan Sani dan Ibu Ida Yunita. Pada tahun 2003, penulis menyelesaikan pendidikan sekolah dasar di SDN Mekar Jaya XXVII. Penulis menyelesaikan sekolah menengah pertama pada tahun 2006 di SMP Yaspen Tugu Ibu Depok. Kemudian penulis melanjutkan pendidikan sekolah menengah atas di SMAN 2 Depok dan lulus pada tahun 2009. Setelah lulus sekolah menengah atas, penulis melanjutkan pendidikan S1 di Departemen Matematika, Fakultas matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Pertanian Bogor melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB (USMI). Selama masa kuliah penulis aktif di sejumlah organisasi dan kepanitiaan, diantaranya anggota departemen Komunikasi dan Informasi (Kominfo) Bina Desa BEM KM IPB tahun 2009-2010. Sekretaris Departemen Komunikasi dan Informasi (Kominfo) Bina Desa BEM KM tahun 2010-2011, Panitia Masa Perkenalan Departemen (MPD) tahun 2010, Panitia Ramah Tamah Civitas (Rataci) departemen Matematika tahun 2010 dan tahun 2011, Panitia Seminar Akbar Matematika Cepat Otak Kanan yang diadakan oleh Quantum Kids Primagama seluruh SD se-kota Bogor, Panitia acara #1000IftharHALAL serempak di seluruh Indonesia yang diadakan komunitas @halalcorner, bersinergi dengan komunitas lain.
