CADANGAN PREMI PENSIUN METODE PROJECTED UNIT CREDIT DAN ASUMSI TINGKAT BUNGA HO LEE

CADANGAN PREMI PENSIUN METODE PROJECTED UNIT CREDIT DAN ASUMSI TINGKAT BUNGA HO LEE Fitri Ramadhanis1*, Hasriati2, Aziskhan2 1

Mahasiswa Program Studi S1 Matematika 2 Dosen Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Bina Widya, Pekanbaru 28293 *

[email protected] ABSTRACT

This article discusses the prospective reserves with interest rate models of Ho-Lee for pension premium reserve of Projected Unit Credit method. Interest rate models of HoLee is a normally distributed no-arbitrage interest rate model and is expressed by stochastic differential equations that follows the Ito’s process. Interest rate models of Ho-Lee has parameters to be estimated is  k  dan  . To determine the parameter estimations is used MLE (maximum likelihood estimation) for  and Svensson models for  k  and then followed by a numerical approach using Newton Raphson method. Keywords: Interest Rate Models of Ho-Lee, Projected Unit Credit Method, Prospective Reserves ABSTRAK Artikel ini membahas tentang cadangan prospektif dengan tingkat bunga model Ho-Lee untuk cadangan premi pensiun metode Projected Unit Credit. Tingkat bunga model HoLee adalah tingkat bunga model no-arbitrage yang berdistribusi normal dan dinyatakan dengan persamaan diferensial stokastik yang mengikuti proses Itô. Tingkat bunga model Ho-Lee mempunyai parameter yang harus diestimasi yaitu  k  dan  . Penentuan estimasi parameter menggunakan MLE (maximum likelihood estimation) untuk  dan model Svensson untuk  k  dan kemudian dilanjutkan dengan pendekatan numerik menggunakan metode Newton Raphson. Kata kunci: Tingkat bunga model Ho-Lee, Metode Projected Unit Credit, cadangan prospektif 1. PENDAHULUAN Setiap orang akan memasuki hari tua, khususnya pekerja yang akan melewati masa pensiun. Saat memasuki masa pensiun produktivitas dari pekerja akan menurun dan mengakibatkan beberapa orang mengalami kesulitan dalam bidang keuangan. Salah satu Repository FMIPA

1

upaya untuk mengatasi resiko hari tua adalah dengan mengikuti program asuransi pensiun. Program asuransi pensiun adalah hak dari pekerja untuk memperoleh penghasilan setelah sekian tahun bekerja. Menurut Futami [6] Salah satu faktor yang menyebabkan seseorang memasuki masa pensiun adalah karena pensiun normal. Pensiun normal adalah pensiun yang diberikan kepada seseorang karena telah memasuki usia pensiun. Usia pensiun normal yang ditetapkan dalam artikel ini adalah 58 tahun. Dalam artikel ini jenis program asuransi pensiun yang dibahas adalah program asuransi pensiun manfaat pasti. Program pensiun manfaat pasti merupakan program asuransi pensiun yang manfaatnya ditetapkan terlebih dahulu setelah itu akan ditentukan nilai iuran normalnya. Iuran normal menurut Djojosoedarso [4] adalah suatu pembayaran dari tertanggung kepada penanggung, sebagai imbal jasa atas pengalihan resiko para penanggung. Besar iuran normal dipengaruhi oleh tingkat bunga dan anuitas. Pada artikel ini tingkat bunga yang akan dibahas adalah tingkat bunga model Ho-Lee. Tingkat bunga model Ho-Lee dikembangkan oleh Thomas Ho dan Sang Bin Lee pada tahun 1986. Futami [5] menyatakan bahwa anuitas merupakan serangkaian pembayaran dalam jumlah tertentu yang dilakukan dalam peroiode waktu yang sama dan jangka waktu tertentu secara berkelanjutan. Penelitian ini merupakan modifikasi dari Anutomo [2] Penelitian anutomo membahas perhitungan iuran normal untuk pensiun karena cacat atau ditunda (Vested) menggunakan Accrued Benefit Cost Method dan tingkat bunga model Ho-Lee. Sementara penelitian ini membahas cadangan pada perusahaan asuransi untuk kasus pensiun karena pensiun normal menggunakan metode Projected Unit Credit dan asumsi tingkat bunga model Ho-Lee dalam menentukan besar iuran normalnya. 2. FUNGSI SURVIVAL DAN NILAI TUNAI ANUITAS Pada bagian ini dibahas nilai tunai anuitas awal seumur hidup dan nilai tunai anuitas awal berjangka. Sebelumnya akan dibahas fungsi survival dari peserta asuransi pensiun. Fungsi survival adalah fungsi kehidupan seseorang yang berusia x tahun bertahan sampai usia t tahun berikutnya yang dinotasikan dengan ST  x  t  , T  x  adalah variabel random yang menyatakan sisa usia dari seorang peserta asuransi. Hubungan fungsi survival dengan fungsi distribusi adalah (1) ST  x  t  1  FT  x  t  Dalam fungsi survival sisa usia seorang peserta yang berusia x tahun tidak dapat ditentukan, tetapi peluang hidup dan peluang meninggalnya dapat ditentukan. Hubungan peluang peserta asuransi yang meninggal t q x dengan fungsi distribusi FT  x  t  yaitu FT  x  t   t q x .

(2)

Dalam aktuaria fungsi survival merupakan peluang hidup seseorang yang berusia x tahun bertahan hingga mencapai usia  x  t  tahun yang dinotasikan dengan t p x dapat dinyatakan dengan (3) S T  x  t   t p x , Repository FMIPA

2

sehingga berdasarkan persamaan (1), (2) dan (3), peluang hidup dari seorang peserta dapat dinyatakan dengan t px  1t qx . Nilai tunai anuitas awal seumur hidup untuk seseorang yang berusia x tahun dinotasikan dengna ax dan dinyatakan dengan [3 h.110] w

ax   v t t p x .

(4)

t 0

Dan nilai tunai anuitas awal berjangka untuk seseorang yang berusia x tahun dengan jangka pembayaran premi selama n tahun dinotasikan dengan ax:n | dan dinyatakan dengan [3, h. 112] n 1

ax:n |   v t t p x ,

(5)

t 0

dan nilai tunai anutas awal berjangka untuk seseorang yang berusia  x  j  dengan jangka waktu pembayaran premi selama  x  j  tahun yaitu ax  j:x  j| 

x  j 1

v t 0

t

t

p x j

dengan v merupakan faktor diskon yang dinyatakan dengan [7, h. 5] 1 . v 1 i

(6)

(7)

3. TINGKAT BUNGA MODEL HO-LEE Tingkat bunga model Ho-Lee merupakan model no-arbitrage pertama yang menggambarkan pergerakan tingkat bunga jangka pendek (short rate). Model noarbitrage merupakan model tingkat bunga yang tidak adanya kesempatan mendapatkan keuntungan dari perbedaan nilai tingkat bunga jangka pendek dalam waktu yang sama tanpa melakukan suatu investasi [9, h. 2]. Tingkat bunga model Ho-Lee adalah tingkat bunga yang berdistribusi normal dan dinyatakan dalam distribusi bersyarat. Tingkat bunga model Ho-Lee dinyatakan dengan dr k    k dk  dW k  , (8) dengan r k  menyatakan tingkat bunga pada waktu k ,  k  menyatakan fungsi deterministik terhadap waktu,  menyatakan standar deviasi yang menunjukkan volatilitas tingkat bunga, W k  menyatakan Proses Wiener dan k menyatakan waktu. Model tingkat bunga Ho-Lee merupakan persamaan diferensial stokastik yang dinyatakan dr k    k    k r k dk   k    k r k dW k  , (9) dengan  k    k ,  k    ,  k    k   0 .

Repository FMIPA

3

Dengan menyelesaikan persamaan diferensial stokastik pada persamaan (9) menggunakan lema Itô untuk kasus pertama  k   0,  k   0 dan r k   U k  dan aturan perkalian lema Itô untuk kasus kedua  t   0 ,  t   0 dan r k   V k  diperoleh solusi dari tingkat bunga model Ho-Lee pada persamaan (8) yaitu 1   k (10) r k   r 0   f 0, k   f 0,0   2 k 2    dW s  . 2   0 Tingkat bunga model Ho-Lee selalu berubah yang bergantung waktu. pembayaran iuran normal dipengaruhi oleh faktor diskon. Faktor diskon yang menggunakan fluktuasi tingkat bunga dinyatakan dengan [7, h. 110] 1 vt  t . (11)  1  r k  k 1

Dengan mensubstitusikan persamaan (10) ke persamaan (11) diperoleh 1 . (12) vt  t   1 2 2 k  1  r 0   f 0, k   f 0,0   k    dW s   2   0 k 1   Pada persamaan (12), f 0, k  merupakan forward rate sesaat yang akan ditentukan dengan model Svensson yang diaproksimasi. Parameter dalam model Svensson akan diaproksimasi dengan menggunakan metode penaksir parameter Ordinary Least Square. Metode penakasir parameter OLS digunakan untuk menghitung  k  k k  k nilai dari exp    untuk setiap k . Misalkan exp    x1 ,   exp    x 2 ,  1   1  1   1  k   k  dan   exp    x3 , maka model Svensson yang diaproksimasi dengan  2   2  menggunakan OLS dinyatakan dengan f 0, k    0  1 x1   2 x2   3 x3 . Mean dan variansi dari solusi tingkat bunga model Ho-Lee yaitu 1  (13) Er k   r u    f 0, k    f 0, u     2 k 2  u 2  , 2  varr k    2 k  u  . (14) Fungsi kepadatan peluang dari tingkat bunga model Ho-Lee dinyatakan dalam bentuk distribusi bersyarat. Sehingga mean dan variansi persamaan (13) dan (14) dalam bentuk ekspektasi dan variansi bersyarat menjadi 1 2 2 E r k1  | r k i 1   r k i 1   f 0, k i   f 0, k i 1    2 k i  k i 1 , 2 2 varr ki  | r ki 1    ki  ki 1  , sehingga fungsi kepadatan peluang untuk distribusi normal bersyarat dinotasikan dengan r (k i ) ~ N Er k i  | r k i 1 , varr k i  | r k i 1  dinyatakan dengan



Repository FMIPA



4

2     r ki   r ki 1   f 0, ki   f 0, ki 1   1  2 ki 2  ki 12     1  2  . f r ki  | r ki 1 ;   exp    2 2 2 dt 2 dt      





(15)

Selanjutnya dari fungsi kepadatan peluang persamaan (15) dapat dibentuk fungsi likelihoodnya yaitu 2     r k i   r k i 1   f 0, k i   f 0, k i 1   1  2 k i 2  k i 1 2   n n      2  . L   2 2 dt 2  exp    2 2 dt i 1      









(16)

Untuk mempermudah perhitungan dari 𝐿(𝜎), maka 𝐿(𝜎) akan dijabarkan dalam bentuk ln 𝐿(𝜎). ln L   



n ln 2 2 dt 2



2    r k i   r k i 1   f 0, k i   f 0, k i 1   1  2 k i 2  k i 1 2   n    2     . 2  2 dt i 1       Selanjutnya untuk memaksimumkan ln L  akan dicari nilai dari  yang merupakan d ln L  solusi dari  0 . Tetapi karena solusi eksplisit dari variabel  sulit diperoleh, d maka akan dilakukan pendekatan numerik metode Newton Raphson untuk menentukan variabel  dengan bantuan software MATLAB Vers 2015.





4. CADANGAN PREMI METODE PROJECTED UNIT CREDIT DAN ASUMSI TINGKAT BUNGA MODEL HO-LEE Cadangan premi diperoleh dari sejumlah pembayaran premi yang dilakukan secara teratur oleh perserta asuransi pensiun kepada pihak perusahaan asuransi. Terlebih dahulu akan dibahas premi. Premi adalah serangkaian pembayaran dalam jumlah tertentu yang dibayarkan oleh peserta asuransi kepada pihak perusahaan asuransi. Premi yang dibayarkan oleh seseorang yang mengikuti program asuransi pensiun disebut dengan iuran normal (normal cost). Iuran normal adalah iuran tahunan yang dibayarkan pada tiap tahun selama peserta aktif bekerja [8, h. 14]. Akan dilakukan perhitungan manfaat pensiun dari seorang peserta yang berusia x tahun untuk menentukan besarnya iuran normal yang harus dibayarkan oleh peserta dengan menggunakan asumsi gaji terkahir. Manfaat pensiun adalah manfaat yang akan diterima seorang peserta pada saat telah memasuki usia pensiun 58 tahun yang merupakan fungsi dari kontribusi selama periode pensiun [1, h. 3]. Akumulasi besar gaji peserta asuransi pensiun pada saat berusia  x  j  tahun adalah Repository FMIPA

5

(17) s x j  s x 1  c  Berdasarkan asumsi gaji terakhir, besar nilai manfaat pensiun untuk peserta asuransi pensiun yang berusia x tahun, yang dinotasikan dengan Br [9, h. 66], dapat dinyatakan Br  as r 1 r  u  , dengan Br menyatakan besar nilai manfaat pensiun normal, a menyatakan persentase gaji yang diberikan untuk manfaat pensiun, r menyatakan usia pensiun normal dari peserta asuransi pensiun, u meyatakan usia awal seorang peserta yang berusia 𝑥 tahun menjadi pegawai dan s r 1 menyatakan gaji terakhir peserta dana pensiun yang berusia 𝑥 tahun. nilai tunai anuitas awal pada persamaan (4) dan (6) untuk peserta asuransi pensiun yang telah memasuki usia pensiun normal, diperoleh j

ar 

ax  j:r  x  j| 

w r 1

v

t

t

t 0

px ,

(18)

r  x  j 1

v t 0

t

t

p x j .

(19)

Metode yang akan digunakan untuk perhitungan iuran normal adalah metode Projected Unit Credit, yaitu metode pembebanan aktuaria yang akan menekankan pendanaan pada suatu tahun tertentu t , atas manfaat pensiun yang menjadi hak peserta pada tahun t tersebut [8, h. 22]. Iuran normal menggunakan metode Projected Unit Credit, yang dinotasikan dengan PUC NC x adalah PUC NC x  1 Br ar v r  x r  x p x , (20) r  u  dengan Br ar menyatakan nilai sekarang dari manfaat pensiun yang telah jatuh tempo,. Dengan mensubsitusikan persamaan (12) ke persamaan (18) dan (19), nilai tunai anuitas peserta pensiun menjadi     , t pr ar    t   k 1 2 2  t 0  1  r 0   f 0, k   f 0,0   k   0 dW s   2    k 1      r  x  j 1 t p x j  , ax  j:r  x  j|   t   k 1  2 2 t 0  1  r 0   f 0, k   f 0,0   k   0 dW s   2    k 1  w  r 1

(21)

(22)

sehingga iuran normal persamaan (120) berdasarkan persamaan (21) dan (22) dan dengan menggunakan tingkat bunga model Ho-Lee menjadi

Repository FMIPA

6

PUC

NC x

    Br  rx px   r  u   r  x 1  r 0   f 0, k   f 0,0  1  2 k 2   k dW s       0 2    k 1      w     t pr   t  k 1  t 0  1  r 0    f 0, k   f 0,0    2 k 2   dW s     0  2    k 1 

(23)

Cadangan yang ada pada perusahaan asuransi akan digunakan untuk pembayaran uang pertanggungan yang telah disepakati bila terjadi klaim. Perhitungan cadangan premi dilakukan secara prospektif dan asumsi premi bersih. Besar cadangan pensiun pada masa pembayaran premi [6, hal 147], dinyatakan dengan  r  x  j r  x  j p x  j  PUC NC x ax  j:r  x  j| , (24) j V x  Br a r v substitusikan persamaan (20) ke persamaan (24), sehingga diperoleh  1   r  x  j r  x  j p x  j   Br ar v r  x r  x p x ax  j:r  x  j| j V x  Br a r v  r  u  

 x  j:r  x  j|  v j j px a  .   (25) V  B a v p 1  r  x  j j x r r x j    r  u   Berdasarkan persamaan (21), (22) dan (23), besar cadangan pensiun menggunakan metode Projected Unit Credit pada masa pembayaran premi (25) dengan tingkat bunga model Ho-Lee adalah     Br   j Vx  r  x  j p x  j  r  x  j  k 1 2 2    1  r 0   f 0, k   f 0,0   k   0 dW s   2    k 1  r  x j

    w     t pr   t  k 1    t 0  1  r 0  f 0, k   f 0,0    2 k 2  dW s     0  2    k 1          p  j x        j  1 2 2 k     1  r 0    f 0, k   f 0,0   2  k   0 dW s     1  k 1      1  r  u        r  x  j 1   t px  j      t      k 1   t 0  1  r 0    f 0, k   f 0,0    2 k 2    dW s        2   0  k 1    

Repository FMIPA

(26)

7

Contoh Naomi masuk menjadi karyawan saat berusia 23 tahun dengan gaji pokok yang diterima pada tahun pertama kerja sebesar Rp.7.161.400,00 per tahun, kenaikan gaji 5% per tahun dan mulai mengikuti program asuransi pensiun saat berusia 38 tahun dengan pertanggungan 20 tahun dan pensiun pada saat berusia 58 tahun. Maka akan ditentukan besar premi yang harus dibayarkan dan cadangan premi yang dipersiapkan perusahaan asuransi a. Perhitungan besar nilai manfaat pensiun berdasarkan asumsi gaji terakhir b. Perhitungan cadangan premi Metode Projected Unit Credit c. Perhitungan cadangan premi Metode Projected Unit Credit dengan tingkat bunga model Ho-Lee Diketahui besar gaji pertama dari Naomi s 23  Rp.7.161.400 dengan kenaikan gaji sebesar c  5% per tahun, usia Naomi saat menjadi pegawai u  23 tahun, usia Naomi saat mengikuti program asuransi pensiun x  38 tahun dan usia pensiunn r  58 . a. Besar nilai manfaat pensiun berdasarkan asumsi gaji terakhir Dengan menggunakan persamaan (17), akumulasi besar gaji Naomi hingga usia 57 tahun diperoleh 34 s57  s 23 1  0,05 = Rp.7.161.400 1 0,0534 =Rp. 37.621.326,15 Sehingga besar nilai manfaat pensiun dengan a  2,5% dengan menggunakan asumsi gaji terakhir, diperoleh B58  2,5%37.621.326,1558  23 B58  Rp 32.918.660 Jadi, besarnya manfaat pensiun yang akan diterima oleh Naomi pada saat pensiun adalah sebesar Rp.32.918.660. b. Perhitungan cadangan premi metode Projected Unit Credit konstan Dengan menggunakan tingkat bunga konstan, i  10% akan ditentukan nilai faktor diskonnya dengan menggunakan persamaan (2.15), diperoleh 1 v 1 i 1  1  0,1 v  0,909091 Pada Tabel Mortalita Indonesia 1999 untuk peserta perempuan memiliki usia tertinggi   103 tahun. perhitungan nilai tunai anuitas awal seumur hidup untuk peserta usia pensiun 58 tahun dengan menggunakan persamaan (3.35), diperoleh dengan 44

a58   v t t p 58 t 0

a58  1  v11 p58  v 2 2 p58  v 3 3 p58    v 44 44 p58 a58  9,122182 Selanjutnya akan ditentukan besar iuran normal pensiun dengan menggunakan persamaan (20), sehingga diperoleh

Repository FMIPA

8

NC 58 

1 B a v 5838 5838 p56 58  23 58 58 PUC NC 58 =Rp 1.187.455 Jadi, besarnya iuran normal yang harus dibayarkan setiap tahun oleh Naomi yang masuk menjadi pegawai pada usia 23 tahun dan mengkuti program asuransi pensiun pada usia 38 tahun adalah Rp. 1.187.455. Setelah diketahui premi pensiun, maka dapat ditentukan besar nilai cadangan premi asuransi pensiun untuk setiap tahunnya. Dengan menggunakan persamaan (24) dan j  1 , besar nilai cadangan untuk pensiun normal dengan i  10% , yaitu PUC

 381:58381|  v11 p38a     V  B a v p 1  58  38  1 1 38 58 58 381    58  23   1V38 = Rp 45.599.446,17 Jadi, besar cadangan premi yang harus dimiliki perusahaan asuransi pensiun adalah Rp. 45.599.446,17. c. Perhitungan cadangan premi metode Projected Unit Credit dengan tingkat bunga model Ho-Lee Untuk mengestimasi parameter dari tingkat bunga model Ho-Lee akan digunakan konversi tahunan tingkat bunga Sertifikat Bank Indonesia (SBI) dengan interval 1 tahun dari tahun 2005 sampai 2015. Estimasi parameter 𝑓(0, 𝑘) dilakukan dengan menggunakan model Svensson, sedangkan untuk estimasi parameter 𝜎 dilakukan dengan metode Newton Raphson dengan pemilihan taksiran awal 0,1. Pada Penelitian ini untuk implementasi model Svensson dan metode Newton Raphson akan digunakan bantuan software matlab Vers. 2015. Setelah aproksimasi tingkat bunga dilakukan, dengan menggunakan model Svensson untuk parameter Forward Rate sesaat f 0, k  diperoleh taksiran parameter dari ˆ . ˆ  3,8654 , ˆ  0,0001 , ˆ  0,3629 dan ˆ  0,2443 . Selanjutnya 58381

0

1

2

3

taksiran parameter  untuk mencari solusi eksplisit dari fungsi likelihood pada persamaan (16) dengan taksiran awal 0,01 dan toleransi maksimum 10-6 diperoleh ˆ  0,0404 . Nilai tunai anuitas awal seumur hidup peserta usia pensiun 58 tahun untuk tingkat bunga model Ho-Lee dengan menggunakan persamaan (21) dan r (0)  0,1275 , diperoleh dengan       t p 58 58   t a   k 1   2 2 t 0  1  r 0   f 0, k   f 0,0   k   0 dW s   2    k 1  58  0,692955  0,687512  0,681568    0,002156 a 58  16,02543 a w

Repository FMIPA

9

Setelah nilai tunai anuitas awal seumur hidup diperoleh, selanjutnya ditentukan besar iuran normal pensiun metode Projected Unit Credit dengan menggunakan persamaan (23), sehingga diperoleh     p B PUC a 20 38  58 NC 38   58 k 1 2 2 35  20    1  r 0    f 0, k   f 0,0    k   0 dW s   2    k 1    0,93110368 6 32918660 PUC  16,02543 NC 38  35  0,997331 1,001715 1,000473  1,020043   PUC

NC 38 =Rp 2.882.134,2

Jadi, besarnya iuran normal yang harus dibayar setiap tahun oleh Naomi adalah Rp. 2.882.134,2. Dengan menggunakan tingkat bunga model Ho-Lee Besar nilai cadangan premi pensiun setiap tahunnya dapat ditentukan dengan menggunakan persamaan (26), diperoleh dengan

1

V38  58381

    B58   p381 58381   k 1 2 2    1  r 0    f 0, k   f 0,0    k   0 dW s   2    k 1 

    w     1 p 58   t  k  t 0  1  r 0    f 0, k   f 0,0  1  2 k 2   dW s     0  2    k 1          p    1 38    t   k   1 2 2              1  r 0   f 0, k  f 0,0   k   0 dW s  2    1 k  1     1        58  23    58 3811      1 p 381   t  t 0    1 2 2 k      1  r 0    f 0, k   f 0,0   k    dW s     2   0  k 1     1

V38 =Rp 50.167.426

Jadi, besar cadangan premi yang harus dimiliki perusahaan asuransi pensiun untuk pensiun normal dengan tingkat bunga model Ho-Lee adalah Rp. 50.167.426. 5. KESIMPULAN Nilai tunai anuitas awal seumur hidup dari peserta asuransi pensiun dengan tingkat bunga model Ho-Lee lebih besar daripada nilai tunai anuitas awal seumur hidup suku bunga konstan. Dengan besar nilai manfaat pensiun yang sama Br  diperoleh nilai Repository FMIPA

10

iuran normal metode Projected Unit Credit dengan tingkat bunga model Ho-Lee lebih besar jika dibandingkan dengan menggunakan suku bunga konstan. Oleh karena itu, beban yang harus dibayarkan oleh peserta akan bertambah. Selanjutnya nilai cadangan premi pensiun untuk pensiun normal metode Projected Unit Credit yang dihasilkan dengan tingkat bunga model Ho-Lee lebih besar. Hal ini dikarenakan nilai tingkat bunga model Ho-Lee lebih kecil dari nilai suku bunga konstan dan nilai tunai anuitas berjangka dengan tingkat bunga model Ho-Lee lebih besar. DAFTAR PUSTAKA [1] Aitken WH. 1994. A Problem Solving Approach to Pension Funding and Valuation. Ed ke-2. Winsted: ACTEX Publications. [2] Anutomo. I. G. 2014. Penentuan Iuran Normal Pensiun Vested Menggunakan Accrued Benefit Cost Method dengan Asumsi Tingkat Bunga Model Ho-Lee. Skripsi, Universitas Padjadjaran. [3] Dickson, Hardy and Waters. 2009. Actuarial Mathematics for Life Contingent Risks. Cambridge University Press, Cambridge. [4] Djoosoedarso, Soeisno. 2003. Prinsip – Prinsip Manajemen Risiko dan Asuransi (Edisi 2). Salemba Empat, Jakarta. [5] Futami, T. 1993. Matematika Asuransi Jiwa, Bagian I. Terj. Dari Seimei Hoken Sugaku, Jokan (“92 Revision), oleh G. Herliyanto. Incorporated Foundation Oriental Life Insurance Cultural Development Center. Tokyo, japan. [6] Futami, T. 1994. Matematika Asuransi Jiwa, Bagian II. Terj. Dari Seimei Hoken Sugaku, Gekan (“92 Revision), oleh G. Herliyanto. Incorporated Foundation Oriental Life Insurance Cultural Development Center. Tokyo, Japan. [7] Kellison, G. 1970. The Theory of Interest. Richard D. Irwin Illinois, United State of America. [8] Oktiani, Irma. 2013. Perhitungan Aktuaria untuk Manfaat Pensiun-Normal Menggunakan Metode Projected Unit Credit dan Entry Age Normal. Skripsi, Institut Pertanian Bogor. [9] Stefani. 2009. Aproksimasi Tingkat Bunga dengan Model Ho Lee. Skripsi, Universitas Indonesia. [10] Wardhani, I. G. A. K. K., Widana, I. N., Tastrawati, N. K. T. 2014. Perhitungan Dana Pensiun dengan Metode Projected Unit Credit dan Individual Level Premium. E-Jurnal Matematika 3: 64-74.

Repository FMIPA

11