PENENTUAN PREMI MANFAAT DAN CADANGAN MANFAAT DENGAN MEMPERHITUNGKAN BIAYA PENGELUARAN

PENENTUAN PREMI MANFAAT DAN CADANGAN MANFAAT DENGAN MEMPERHITUNGKAN BIAYA PENGELUARAN

PUJI LESTARI 030501044Y

UNIVERSITAS INDONESIA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM DEPARTEMEN MATEMATIKA DEPOK 2009

Penentuan premi..., Puji Lestari, FMIPA UI, 2009.

PENENTUAN PREMI MANFAAT DAN CADANGAN MANFAAT DENGAN MEMPERHITUNGKAN BIAYA PENGELUARAN

Skripsi diajukan sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains

Oleh: PUJI LESTARI 030501044Y

DEPOK 2009


SKRIPSI

: PENENTUAN PREMI MANFAAT DAN CADANGAN MANFAAT DENGAN MEMPERHITUNGKAN BIAYA PENGELUARAN

NAMA

: PUJI LESTARI

NPM

: 030501044Y

SKRIPSI INI TELAH DIPERIKSA DAN DISETUJUI DEPOK, 24 NOVEMBER 2009

Dra. NETTY SUNANDI M.Si PEMBIMBING I

Tanggal Lulus Ujian Sidang Sarjana: 10 Juli 2009 Penguji I: Dra. Netty Sunandi, M.Si Penguji II: Dra. Ida Fithriani, M.Si Penguji III: Dhian Widya, S.Si, M.Kom


KATA PENGANTAR

Segala puji bagi Allah SWT yang telah memberikan rahmat dan karunia-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini. Shalawat dan salam semoga tercurah kepada baginda Rasulullah Muhammad SAW beserta keluarga, sahabat, dan para pengikutnya, mudah-mudahan kita termasuk golongan yang mendapatkan perlindungan di akhirat kelak. Penulis menyadari bahwa skripsi ini tidak akan selesai tanpa bantuan, dorongan, dan do’a dari orang-orang di sekitar penulis. Oleh karena itu penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu penulis dalam menyelesaikan skripsi ini, khususnya kepada: 1. Ibu Dra. Netty Sunandi, M.Si selaku pembimbing, terima kasih atas kesabarannya , saran dan bimbingannya selama ini. 2. Ibu Dra. Siti Nurrohmah, M.Si. selaku pembimbing akademik penulis, terima kasih atas saran, bimbingan, dan dorongan semangat selama penulis menempuh perkuliahan di matematika. 3. Seluruh dosen matematika UI yang tidak bisa disebutkan satu-persatu. Terima kasih atas bimbingannya sehingga penulis memperoleh pengalaman akan luasnya dunia matematika. 4. Teman-teman yang mengambil skripsi, Anggi, Inul, Om2, Desti, Oneng, Rani, Miranti,Nurma, Yuni, Mia, Maria, Aris, Udin, Nasib, Akmal, Rahanti, Stevani, Avi, Nabung yang telah banyak membantu dan memberikan informasi. i Penentuan premi..., Puji Lestari, FMIPA UI, 2009.

5. Teman-teman 2005 tersayang Ratih, Icha, Syarah, Ranti, Fika, Dia, Mery, Othe, Nisma, Kumel, Jessy, Karlina, Dian, Fia, Ida, May, Amri, Chupz, Rifkos, Uun, Shinta, Vani, Khuri, Wicha, Pute, Atul, Andre, Aini, Gyo, Asep, Daniel, Shally, Trian, Aya, Rara, Dima, Ferry, Hadi, Hairu, Hamdan serta Yanu atas bantuan programnya. 6. Teman-teman 2003, 2004, 2006, 2007, 2008, 2009 atas dukungannya. 7. Terima kasih yang tak ada habisnya untuk mama, bapak, adi, ani, mbah kung, mbah uti dan umi yang telah memberikan doa, dukungan dan motivasi yang sangat berharga. 8. Untuk Abang aq terima kasih atas semua canda, tawa, serta ceriamu. Penulis menyadari bahwa skripsi ini jauh dari sempurna, oleh karena itu kritik dan saran yang membangun sangat diharapkan. Semoga skripsi ini berguna bagi penelitian selanjutnnya.

Penulis 2009

ii Penentuan premi..., Puji Lestari, FMIPA UI, 2009.

ABSTRAK

Pada skripsi akan dibahas penentuan premi manfaat dan cadangan manfaat yang memperhitungkan biaya pengeluaran. Penentuan premi ini menggunakan prinsip ekivalen. Prinsip ekivalen ini merupakan ekspektasi kerugian pada waktu masuk asuransi bernilai nol. Sedangkan ekspektasi kerugian yang memperhitungkan biaya pengeluaran setelah asuransi berjalan dimana pemegang polis pada waktu tersebut masih hidup merupakan cadangan manfaatnya. Kerugian ini merupakan selisih dari nilai saat ini dari uang pertanggungan dengan akumulasi preminya. Kerugian ini juga bergantung pada biaya pengeluaran yang ditetapkan oleh perusahaan asuransi, asuransi jiwa yang dipilih oleh pemegang polis dan jenis premi manfaat yang harus dibayar oleh pemegang polis.

Kata kunci : prinsip ekivalen, kerugian, asuransi jiwa, anuitas, premi manfaat, cadangan manfaat.

viii + 129 hlm; lamp; tab. Bibliografi: 7 (1985-1997)

iii Penentuan premi..., Puji Lestari, FMIPA UI, 2009.

DAFTAR ISI Halaman KATA PENGANTAR .............................................................................

i

ABSTRAK ………………………...……..……………………………….....

iii

DAFTAR ISI …………...............…………………………………………..

iv

DAFTAR TABEL ..................................................................................

vii

DAFTAR LAMPIRAN ...........................................................................

viii

BAB 1 PENDAHULUAN .......................................................................

1

1.1

Latar Belakang …………....................................................

1

1.2

Perumusan Masalah ..........................................................

2

1.3

Tujuan …………................................................................

3

1.4

Pembatasan Masalah …….................................................

3

1.5

Sistematika Penulisan .......................................................

3

BAB II LANDASAN TEORI ...................................................................

5

2.1

Tingkat Bunga … ................................................................

5

2.2

Anuitas ............………………………………….....................

9

2.3

Fungsi Survival ...... ……………………………………..........

11

2.4

Asuransi Jiwa .....................................................................

16

2.4.1 Premi Tunggal Bersih Kontinu ...........................................

16

2.4.2 Premi Tunggal Bersih Diskrit .............................................

18

2.5

Anuitas Hidup ....................................................................

20

2.5.1 Anuitas Hidup Kontinu .................................................. .....

20

2.5.2 Anuitas Hidup Diskrit ...........................................................

24

iv Penentuan premi..., Puji Lestari, FMIPA UI, 2009.

BAB III PENENTUAN PREMI MANFAAT DAN CADANGAN MANFAAT.. 28 3.1

Premi Manfaat ....………………………..................…….....

28

3.1.1 Premi Manfaat Kontinu ..........................……………….....

31

3.1.2 Premi Manfaat Diskrit .............................……………….....

39

3.1.3 Premi Manfaat Campuran ..........................……………….

46

3.1.4 Premi Manfaat Pecahan ..........................……………….....

49

3.2

57

Cadangan Manfaat .............................................................

3.2.1 Cadangan Manfaat Kontinu ...................……………….....

59

3.2.2 Formula Lain untuk Cadangan Manfaat Kontinu…….........

68

3.2.3 Cadangan Manfaat Diskrit .......................……………….....

71

3.2.4 Formula Lain untuk Cadangan Manfaat Diskrit …….......... 74 3.2.5 Cadangan Manfaat Campuran .....................……………..... 81 BAB IV PENENTUAN PREMI MANFAAT DAN CADANGAN MANFAAT DENGAN MEMPERHITUNGKAN BIAYA PENGELUARAN ..……… 4.1

Biaya Pengeluaran .............................................................

4.2

Prinsip Ekivalen dengan Memperhitungkan Biaya Pengeluaran.........................................................................

4.3

84 84

85

Premi Manfaat dengan Memperhitungkan Biaya Pengeluaran........................................................................... 86

4.4

Cadangan Manfaat dengan Memperhitungkan Biaya Pengeluaran........................................................................... 87

v Penentuan premi..., Puji Lestari, FMIPA UI, 2009.

4.5

Penerapan Premi Manfaat dan Cadangan Manfaat yang Memperhitungkan Biaya Pengeluaran................................... 88

4.5.1 Asuransi Dwiguna 30 tahun …………………………………

94

4.5.2 Asuransi Seumur Hidup ……………………………………...

97

BAB V KESIMPULAN .............................................................................. 100 DAFTAR PUSTAKA ................................................................................ 103

vi Penentuan premi..., Puji Lestari, FMIPA UI, 2009.

DAFTAR TABEL

Tabel

Halaman

1

Tabel jenis-jenis biaya pengeluaran. …. .. ………………….........

2

Tabel kerugian yang memperhitungkan biaya pengeluaran dari asuransi dwiguna 3 tahun ....................................................

3

92

Tabel kerugian yang memperhitungkan biaya pengeluaran dari asuransi dwiguna 30 tahun …………………………………..

5

89

Tabel kerugian bersih dan kerugian biaya dari asuransi dwiguna 30 tahun ………………………………………………………………..

4

85

94

Tabel kerugian bersih dan kerugian biaya dari asuransi dwiguna 30 tahun ………………………………………………………………..

96

6

Tabel premi manfaat kontinu ….……..........……..…......................

104

7

Tabel premi manfaat diskrit ….……..........……..….....................

105

8

Tabel premi manfaat campuran …..........……..……………............ 106

9

Tabel cadangan manfaat kontinu ….….....……..……………........... 107

10

Tabel cadangan manfaat diskrit ….……......……..……………......... 108

11

Tabel cadangan manfaat campuran….…….......…..….................

12

Life Table….…….......…..………….................................................. 110

vii


109

DAFTAR LAMPIRAN

Lampiran 1

Halaman

Hubungan ekspektasi nilai saat ini dari uang pertanggungan antara asuransi jiwa kontinu dan asuransi jiwa diskrit sesuai dengan kontrak asuransinya………..……………..............

2

113

Hubungan ekspektasi nilai saat ini dari uang pertanggungan antara asuransi jiwa dari semua sistem asuransi baik kontinu maupun diskrit …………………………..…………….

116

3

Variansi untuk semua sistem asuransi jiwa .................................

118

4

Program perhitungan premi manfaat dan cadangan manfaat yang memperhitungkan biaya pengeluaran dari sistem asuransi dwiguna 30 tahun ........................................................................... 122

5

Program perhitungan premi manfaat dan cadangan manfaat yang memperhitungkan biaya pengeluaran dari sistem asuransi seumur hidup ................................................................................ 126

viii Penentuan premi..., Puji Lestari, FMIPA UI, 2009.

1

BAB I PENDAHULUAN

1.1 LATAR BELAKANG

Saat ini banyak masyarakat yang sudah menyadari akan pentingnya asuransi jiwa yaitu jaminan untuk kehidupan dimasa yang akan datang. Salah satu kegunaannya adalah untuk mengurangi dampak kerugian finansial akibat terjadinya peristiwa yang tidak diinginkan seperti halnya kematian, kecelakaan, bencana dan lain-lain. Pada dasarnya kematian seseorang tidak dapat diketahui kapan terjadinya. Dalam asuransi jiwa, waktu kematian ini merupakan suatu variabel random. Asuransi jiwa biasa dibeli dengan sejumlah pembayaran premi, misalnya premi tahunan dengan besar pembayaran yang sama untuk tiaptiap tahun. Premi ini akan dibayar oleh pemegang polis secara berkala sesuai dengan jenis kontraknya dan akan terhenti apabila ia meninggal dunia atau karena kontrak asuransinya sudah selesai. Kerugian bagi perusahaan asuransi merupakan selisih antara nilai saat ini dari uang pertanggungan dengan nilai saat ini dari akumulasi premi. Untuk menutupi kerugian pada saat tertentu, perusahaan asuransi perlu menyiapkan suatu dana cadangan.

Penentuan premi..., Puji Lestari,1FMIPA UI, 2009.

2

Pada kenyataannya perusahaan asuransi tidak dapat beroperasi jika pemasukannya hanya bersumber dari premi tahunan bersih. Perusahaan asuransi harus mengumpulkan premi tahunan untuk memenuhi semua biaya perusahaan, misalnya: pajak, surat ijin, komisi penjualan polis, biaya pemeliharaan polis, dan biaya-biaya umum lainnya. Kemudian biaya-biaya ini harus dimasukan kedalam premi dan disebut sebagai premi yang memperhitungkan biaya pengeluaran. Kerugian yang memperhitungkan biaya pengeluaran merupakan penjumlahan nilai saat ini dari uang pertanggungan dan biaya pengeluaran dikurangi dengan nilai saat ini dari akumulasi premi yang memperhitungkan biaya pengeluaran. Untuk menutupi kerugian ini pada saat tertentu, perusahaan asuransi perlu menyiapkan suatu dana yang disebut dengan cadangan manfaat yang memperhitungkan biaya pengeluaran.

1.2 PERUMUSAN MASALAH

Bagaimana menentukan premi manfaat dan cadangan manfaat yang memperhitungkan biaya pengeluaran ?


3

1.3 TUJUAN

Menentukan premi manfaat bersih dan premi manfaat yang memperhitungkan biaya pengeluaran serta menentukan cadangan manfaat bersih dan cadangan manfaat yang memperhitungkan biaya pengeluaran.

1.4 BATASAN MASALAH

Premi ditentukan hanya berdasarkan prinsip ekivalen.

1.5 SISTEMATIKA PENULISAN

Dalam penulisan tugas akhir ini terbagi menjadi lima bab yaitu : Bab I : Pendahuluan Pada bab ini dijelaskan tentang latar belakang masalah, rumusan masalah, tujuan penulisan, pembatasan masalah dan sistematika penulisan. Bab II : Landasan Teori Pada bab ini dibahas mengenai tingkat bunga, fungsi survival, asuransi jiwa dan anuitas hidup.


4

Bab III : Premi Manfaat dan Cadangan Manfaat Pada bab ini diberikan pengertian premi manfaat dan cadangan manfaat serta beberapa contoh yang mendukung dalam penulisan ini. Bab IV : Premi Manfaat dan Cadangan Manfaat yang Memperhitungkan Biaya Pengeluaran Pada bab ini akan dibahas mengenai prinsip ekivalen, premi manfaat dan cadangan manfaatnya yang memperhitungkan biaya pengeluaran serta penerapan dari perhitungan premi manfaat dan cadangan manfaat yang memperhitungkan biaya pengeluaran. Bab V : Penutup Pada bab ini berisi tentang kesimpulan yang didapat dalam penulisan tugas akhir ini.


5

BAB II LANDASAN TEORI

Pada bab II ini akan dijelaskan mengenai asuransi jiwa dan anuitas hidup sesuai dengan kontrak asuransinya. Untuk itu, terlebih dahulu akan dibahas mengenai teori dasar tingkat bunga dan anuitas pasti.

2.1 TINGKAT BUNGA

Definisi 2.1.1 

Bunga adalah kompensasi pembayaran dari peminjam suatu modal kepada yang meminjamkan modal tersebut



Nilai pokok adalah sejumlah uang yang diinvestasikan pada saat awal



Nilai akumulasi adalah jumlah total uang yang diterima sesudah periode waktu tertentu



Besar bunga adalah selisih nilai akumulasi sesudah periode waktu tertentu dengan nilai pokok pada saat awal periode

Definisi 2.1.2 Tingkat bunga efektif  i  adalah rasio dari besar bunga yang diperoleh selama periode tertentu terhadap besarnya nilai pokok pada awal periode.

5 Penentuan premi..., Puji Lestari, FMIPA UI, 2009.

6

Definisi 2.1.3 Tingkat diskon efektif

 d  adalah rasio dari besarnya diskonto yang

diperoleh selama periode tertentu terhadap besarnya nilai akumulasi pada akhir periode. Dimana d dapat dinyatakan sebagai

d

i 1 i

(2.1.1)

Definisi 2.1.4 Nilai saat ini adalah investasi sebesar 1 yang akan terakumulasi menjadi 1  i pada akhir periode ke 1. Nilai saat ini juga bisa disebut dengan faktor diskonto yang dinotasikan dengan v dan dapat dinyatakan sebagai

v

1 1 i

(2.1.2)

Definisi 2.1.5

 

Tingkat bunga nominal i  m  adalah tingkat bunga yang dibayar

m kali dalam 1 periode yang dapat dinyatakan sebagai  i m  1  i   1   , m  1 m   m

1  i 

1 m

i  m

dimana

i m  1 m 1    m 1  i  m  1  

m 1 i  adalah tingkat bunga efektif untuk tiap periode dengan m m

m adalah bilangan bulat positif.


(2.1.3)

7

Definisi 2.1.6

 

Tingkat diskon nominal d  m  adalah tingkat diskonto yang membayar

m kali dalam 1 periode yang dapat dinyatakan sebagai  d  m  1  d    1   , m  1 m   m

1

vm  1

d

 m

d  m m

1   m  m 1  v   

(2.1.4)

m 1 d  dimana adalah tingkat diskon efektif untuk tiap periode dengan m m

m adalah bilangan bulat positif.

Definisi 2.1.5 Force of interest  t  adalah tingkat bunga atas h periode ( h kecil) yang dapat dinyatakan sebagai Force of interest = lim h 0

 t  lim h 0



tingkat bunga atas suatu periode interva l kecil h a t  h   a t  a t  h

a t  h   a t  1 lim a  t  h 0 h

d a t  dt  a t 


(2.1.5)

8

dimana a  t  adalah fungsi akumulasi. a  t   1  it untuk fungsi akumulasi dengan bunga sederhana dan a  t   1  i  untuk fungsi akumulasi dengan t

bunga majemuk.  t untuk bunga majemuk ialah konstan. Dari persamaan (2.1.5) dapat diturunkan bentuk  yaitu

d a t   t  dt a t  d t 1  i   dt t 1  i  d ln 1i t e dt  t 1  i  d t ln 1i  e  dt t 1  i  ln 1  i   e  t 1  i 

t ln 1 i 

ln 1  i   1  i   t 1  i 

t

 ln 1  i 

(2.1.6)

Persamaan (2.1.6) didapat  t  ln 1  i  yang bukan fungsi t . Jadi force of interest untuk bunga majemuk adalah   ln 1  i  .


9

2.2 ANUITAS

Anuitas adalah sederetan pembayaran yang sifatnya periodik. Berdasarkan jenisnya anuitas terdiri dari anuitas pasti dan anuitas tidak pasti. Anuitas pasti adalah anuitas yang pembayarannya pasti dilakukan pada periode waktu yang ditentukan sedangkan anuitas tidak pasti adalah anuitas yang pembayarannya tidak pasti. Akan ditentukan beberapa macam anuitas pasti yaitu anuitas biasa, anuitas dimuka, anuitas pecahan dan anuitas kontinu. Anuitas biasa adalah anuitas yang pembayarannya dilakukan pada tiap akhir periode. Nilai saat ini dari anuitas biasa sebesar 1 untuk n periode dinotasikan dengan an , yang dapat ditulis sebagai

an  v  v 2  v3  ...  v n  v 1  v  v 2  ...  v n1 

 1  vn   v   1 v  1  vn  1 1 v



1  vn 1  i 1



1  vn i


(2.2.1)

10

Anuitas dimuka adalah anuitas yang pembayarannya dilakukan pada tiap awal periode. Nilai saat ini dari anuitas dimuka sebesar 1 untuk

n periode dinotasikan dengan an , yang dapat ditulis sebagai an  1  v  v 2  ...  v n1  

1  vn 1 v 1  vn 1 i 1 1 i

1  vn  d

(2.2.2)

Anuitas pecahan adalah anuitas yang pembayarannya dibayar lebih dari satu kali pada awal tiap periodenya. Nilai saat ini dari anuitas pecahan sebesar 1 yang dibayar m kali (tiap pembayaran sebesar

1 ) pada awal tiap m

1 periode untuk n periode dinotasikan dengan an m  , yang dapat ditulis m sebagai

an   m

1 1 m1 1 m2 1  v  v  ...  v n1 m m m m

1 2  1 m m  1  v  v  ...  v n 1  m 

1  vn  1   m 1  v m    

1  vn d  m


(2.2.3)

11

Anuitas kontinu adalah anuitas yang pembayarannya dilakukan secara kontinu. Nilai saat ini dari anuitas kontinu sebesar 1 yang dibayarkan secara kontinu untuk n periode dinotasikan dengan an , yang dapat ditulis sebagai n

an   v t dt 0

  



1 t n v |0 ln v vn 1 ln 1  i 

1

 1  v n 

 ln 1  i 

1  vn



(2.2.4)

2.3 FUNGSI SURVIVAL

Misalkan variabel random kontinu X menyatakan usia saat kematian seseorang yang diukur sejak saat lahir. Fungsi survival dari variabel random kontinu X adalah

S X  x   Pr  X  x  , x  0

(2.3.1)

Artinya, probabilitas seseorang bertahan hidup hingga usia x . Sedangkan fungsi distribusi dari X adalah

FX  x   Pr  X  x  , x  0

(2.3.2)

Artinya, probabilitas seseorang tidak dapat bertahan hidup hingga usia x .


12

Misalkan  x  menyatakan seseorang yang saat ini berusia x . Maka T  x  merupakan variabel random kontinu sisa usia  x  yang dapat

dinyatakan sebagai

T  x  X  x

(2.3.3)

Fungsi survival dari variabel random kontinu T  x  adalah ST  x   t   Pr T  x   t   Pr  X  x  t X  x   Pr  X  x  t X  x   

Pr  X  x  t  Pr  X  x 

SX  x  t  SX  x

(2.3.4)

ST  x   t  dapat juga dinotasikan dengan t px . Dimana t px merupakan probabilitas  x  bertahan hidup t tahun kemudian. Misalkan l0 adalah banyak bayi-bayi yang hidup. Maka dapat didefinisikan

lx  l0 SX  x 

, jumlah orang yang hidup hingga usia x

d x  lx  lx 1

, jumlah orang yang meninggal dari usia x hingga x  1

Sehingga t px dapat ditulis sebagai

t

S X  x  t  l0  S X  x  l0 l  x t lx

px 


(2.3.5)

13

Fungsi distribusi dari variabel random kontinu T  x  dapat dinyatakan sebagai

FT  x   t   Pr T  x   t   1  Pr T  x   t   1  t px l  1  x t lx l l  x x t lx

(2.3.6)

FT  x   t  dapat juga dinotasikan dengan t qx . Dimana t qx merupakan probabilitas  x  meninggal dalam t tahun kemudian. Pdf dari variabel random kontinu T  x  dapat dinyatakan sebagai

d F t  dt T  x  d  1  t px  dt d   t px dt

fT  x   t  

(2.3.7)

Variabel random diskrit K  x  adalah banyak tahun diwaktu mendatang yang dijalani  x  sebelum ia meninggal. Variabel random K  x  adalah bilangan bulat terbesar dalam variabel random T  x  , yaitu K  x   T  x 


(2.3.8)

14

Fungsi probabilitas dari variabel random diskrit K  x  dapat dinyatakan sebagai

Pr  K  x   k   Pr  k  T  x   k  1  Pr  k  T  x   k  1

 Pr T  x   k  1  Pr T  x   k 

 k 1 qx  k qx  k px  k 1 px  k px  k px pxk

 k px 1  px k 

 k px qxk  k | qx

(2.3.9)

Fungsi distribusi dari variabel random diskrit K  x  dapat dinyatakan sebagai

FK  x   k   Pr  K  x   k  k

  Pr  K  x   y  y 0 k

 y 0



y

px 

y 1

px 

  0 px  1 px    1 px  2 px   ...   k px  k 1 px   0 px  k 1 px  1  k 1 px  k 1 qx

(2.3.10)

Probabilitas  x  meninggal sesaat dinotasikan dengan

lim Pr  0  T  x   x 

x 0

dengan x adalah selisih waktu yang sangat kecil.   x  adalah force of mortality yaitu


15

Pr  0  T  x   x 

  x   Lim

x Pr  0  X  x  x X  x 

x  0

 Lim

x Pr  x  X  x  x   Lim x  0 Pr  X  x  x x  0



F  x  x   FX  x  1 Lim X 1  FX  x  x 0 x



1 FX1  x  1  FX  x 

d 1  S X  x    dx SX  x

d SX  x dx  SX  x

(2.3.12)

Pdf dari variabel random kontinu T  x  , dapat juga ditulis sebagai

d F t  dt T  x  d  1  ST  x   t  dt d  s x t   1  X  dt  s X  x  

fT  x   t  







d sX  x  t  dt s X  x 

s1X  x  t   sX  x  

s1X  x  t  s X  x  t  sX  x  t  sX  x 

  X  x  t  t px


(2.3.13)

16

2.4 ASURANSI JIWA

Asuransi jiwa merupakan suatu jenis dari kontrak asuransi yang akan dipilih oleh pemegang polis. Asuransi ini dapat dibeli dengan premi yang dibayar sekali pada saat penandatanganan kontrak yang disebut dengan premi tunggal bersih. Premi tunggal bersih ini adalah ekspektasi nilai saat ini dari uang pertanggungannya. Berdasarkan jenisnya premi tunggal bersih dibedakan menjadi dua yaitu premi tunggal bersih kontinu dan premi tunggal bersih diskrit. Akan ditentukan beberapa macam premi tunggal bersih kontinu maupun diskrit sesuai dengan kontraknya yaitu asuransi seumur hidup, asuransi berjangka

n tahun, asuransi pure endowment n tahun dan asuransi dwiguna n tahun.

2.5.1 Premi Tunggal Bersih Kontinu

Premi tunggal bersih kontinu adalah premi yang pembayaran uang pertanggungannya dilakukan pada saat kematian yang dinotasikan dengan

A . Kemudian A ini akan dikembangkan dengan fungsi uang pertanggungan dan fungsi diskonto yang dinotasikan secara berturut-turut dengan bt dan vt sesuai dengan kontrak asuransinya.


17

Asuransi jiwa seumur hidup dengan uang pertanggungan 1 yang dibayar pada saat kematian kepada  x  , dapat dibeli dengan pembayaran premi tunggal bersih kontinu yang dinotasikan dengan Ax . Kemudian dari

bt  1 , t  0 dan vt  vt , t  0 diperoleh Ax 

Ax   vt fT  x   t  dt

(2.4.1)

0

Asuransi jiwa berjangka n tahun dengan uang pertanggungan 1 yang dibayar pada saat kematian kepada  x  , dapat dibeli dengan pembayaran premi tunggal bersih kontinu yang dinotasikan dengan A1x:n . Kemudian dari



v t , t  n 1, t  n dan vt   diperoleh A1x:n bt  0, t  n 0 , t  n

A1x:n   vt fT  x   t  dt n

(2.4.2)

0

Asuransi jiwa pure endowment n tahun dengan uang pertanggungan 1 yang dibayar jika dan hanya jika pemegang polis masih hidup diakhir jangka waktu n tahun, dapat dibeli dengan pembayaran premi tunggal bersih kontinu



yang dinotasikan dengan Ax:n 1 . Kemudian dari bt  0, t  n dan 1, t  n  vt   0n , t  n diperoleh Ax:n 1 v , t  n 

Ax:n 1   v n fT  x   t  dt n



 v n  d   t px  n

 v

n t

px

 n

 v n  0  n px   v n n px


(2.4.3)

18

Asuransi jiwa dwiguna n tahun dengan uang pertanggungan 1 yang dibayar pada saat kematian kepada  x  , dapat dibeli dengan pembayaran premi tunggal bersih kontinu yang dinotasikan dengan Ax:n . Kemudian  t dari bt  1, t  0 dan vt   v n, t  n diperoleh Ax:n v , t  n n



0

n

Ax:n   vt fT  x   t  dt   v n fT  x   t  dt

 A1x:n  Ax:n 1

(2.4.4)

2.5.2 Premi Tunggal Bersih Diskrit

Premi tunggal bersih diskrit adalah premi yang pembayaran uang pertanggungannya dilakukan pada akhir tahun kematian yang dinotasikan dengan A . Kemudian A ini akan dikembangkan dengan fungsi uang pertanggungan dan fungsi diskonto yang dinotasikan secara berturut-turut dengan bk 1 dan vk 1 sesuai dengan kontrak asuransinya. Asuransi jiwa seumur hidup dengan uang pertanggungan 1 yang dibayar pada akhir tahun kematian kepada  x  , dapat dibeli dengan pembayaran premi tunggal bersih diskrit yang dinotasikan dengan Ax . Kemudian dari bk 1  1, k  0, 1,... dan vk 1  vk 1 , k  0, 1,... diperoleh Ax 

Ax   v k 1 Pr  K  x   k  k 0


(2.4.5)

19

Asuransi jiwa berjangka n tahun dengan uang pertanggungan 1 yang dibayar pada akhir tahun kematian kepada  x  , dapat dibeli dengan pembayaran premi tunggal bersih diskrit yang dinotasikan dengan





k 1 A1x:n . Kemudian dari bk 1  1, k  0,1,.., n  1 dan vk 1  v , k  0,1,.., n  1 0, k  n, n  1,... 0 , k  n, n  1,...

diperoleh A1x:n n 1

A1x:n   v k 1 Pr  K  x   k 

(2.4.6)

k 0

Asuransi jiwa pure endowment n tahun dengan uang pertanggungan 1 yang dibayar jika dan hanya jika pemegang polis masih hidup diakhir jangka waktu n tahun, dapat dibeli dengan pembayaran premi tunggal bersih



diskrit yang dinotasikan dengan Ax:1n . Kemudian dari bk 1  0 , k  0,1,.., n  1 1 , k  n, n  1,...  dan vk 1   0n , k  0,1,.., n  1 diperoleh Ax:1n  v , k  n, n  1,... 

Ax:1n   v n Pr  K  x   k  k n

 vn



 Pr  K  x   k  Pr  K  x   n  k n

v

n

(2.4.7)

 v n n px

Dari persamaan (2.4.3) didapat Ax:n 1 sama dengan Ax:1n , maka untuk pembahasan selanjutnya akan digunakan Ax:1n sebagai premi tunggal bersih kontinu untuk asuransi pure endowment n tahun.


20

Asuransi jiwa dwiguna n tahun dengan uang pertanggungan 1 yang dibayar pada akhir tahun kematian kepada  x  , dapat dibeli dengan pembayaran premi tunggal bersih diskrit yang dinotasikan dengan Ax:n .  k 1 Kemudian dari bk 1  1 , k  0,1,... dan vk 1   v n , k  0,1,.., n  1 diperoleh Ax:n  v , k  n, n  1,... n 1



Ax:n   v k 1 Pr  K  x   k    v n Pr  K  x   k  k 0

k n

 A x:n  A 1

(2.4.8)

1 x:n

2.5 ANUITAS HIDUP

Anuitas hidup adalah anuitas yang setiap pembayarannya hanya akan dilakukan jika pemegang polis masih hidup atau dalam jangka waktu yang ditentukan sesuai dengan jenis kontrak asuransinya. Anuitas hidup ini merupakan anuitas yang tidak pasti. Berdasarkan jenisnya anuitas hidup dibedakan menjadi dua yaitu anuitas hidup kontinu dan anuitas hidup diskrit.

2.5.1 Anuitas Hidup Kontinu Anuitas hidup kontinu adalah anuitas hidup yang dibayar secara kontinu sebesar 1 sesuai dengan kontrak asuransinya. Misalkan Y merupakan variabel random nilai saat ini dari anuitas kontinu sebesar 1. Ekspektasi dari variabel random Y ini dinotasikan dengan a sesuai dengan kontrak asuransinya.


21

Anuitas seumur hidup yang kontinu merupakan sederetan pembayaran sebesar 1 dibayar secara terus menerus kepada  x  hingga ia meninggal dunia. Ekspektasi dari variabel random Y , dimana Y  aT  x  , T  x   0 dinotasikan dengan a x . Secara umum a x dapat

dinyatakan sebagai berikut ax  E Y 

 E  aT  x     

  at fT  x   t  dt 0 

  at d   t px  0

 at

t

p

 x 0



  vt t px dt 0



   0  0    vt t px dt 0



  vt t px dt

(2.5.1)

0

a x dapat dihubungkan dengan asuransi jiwa seumur hidup yaitu ax  E Y 

 E  aT  x     T  x 1  v   E     1  E vT  x   





1  Ax

(2.5.2)




22

Anuitas hidup temporary n tahun yang kontinu merupakan sederetan pembayaran sebesar 1 dibayar secara terus menerus kepada  x  .Ekspektasi   a , 0  T  x  n dari variabel random Y , dimana Y   T  x  dinotasikan dengan a , T x  n     n ax:n .Secara umum ax:n dapat dinyatakan sebagai berikut

ax:n  E Y  n

  at fT  x   t  dt  0



a

n

fT  x   t  dt

n



n

  at d   t px   an  d   t px  0

n

n

  at

t

px

n 0



v

t t

px dt  an

t

px

 n

0

n

   an

n

px  a0

0

px    v t

t

px dt  an  0  n px 

0

n

t n px  0   v

  an

t

px dt  an

n

px

0

n

  vt

t

(2.5.3)

px dt

0

ax:n dapat dihubungkan dengan asuransi jiwa dwiguna n tahun dimana

 vT  x  , 0  T  x   n  yaitu Z  n  v , T  x  n

ax:n  E Y  1  Z   E     1  E  Z  





1  Ax:n

(2.5.4)




23

Anuitas seumur hidup yang ditunda n tahun yang kontinu merupakan sederetan pembayaran sebesar 1 dibayar secara terus menerus yang pembayarannya ditunda n tahun kepada  x  . Ekspektasi dari variabel

 , 0  T  x  n 0 random Y , dimana Y   n dinotasikan dengan n| ax . v aT  x n , T  x   n   Secara umum n| ax dapat dinyatakan sebagai berikut n|

ax  E Y  

  v n at  n fT  x   t  dt n



  v n at  n d   t px  n

 v at  n n

p

t

 x n



  v n t px dt n



   0  0    v n t px dt n



  vt t px dt

(2.5.5)

n

n|

ax dapat dihubungkan dengan asuransi jiwa pure endowment n tahun yaitu

n|

ax  E Y  

  v n at n fT  x   t  dt n



 v n  at n

px   x  t  dt

t

n



 v n  as 0

sn



 v n  as 0

 vn

n

px

n



px



0

px   x  s  n  ds

as

s

px n   x  n  s  ds s

px n   x  n  s  ds

 Ax:1n ax n

(2.5.6)


24

2.5.2 Anuitas Hidup Diskrit

Anuitas hidup diskrit adalah anuitas hidup yang dibayar secara berkala tiap tahun polis. Berdasarkan jenisnya anuitas hidup diskrit terdiri dari anuitas hidup diskrit dimuka dan anuitas hidup diskrit biasa. Anuitas hidup diskrit dimuka adalah anuitas hidup yang dibayarkan pada awal tahun polis sedangkan anuitas hidup diskrit biasa adalah anuitas hidup yang dibayarkan pada akhir tahun polis. Pada pembahasan selanjutnya hanya akan dibahas anuitas hidup diskrit dimuka. Misalkan Y merupakan variabel random nilai saat ini dari anuitas dimuka sebesar 1. Maka ekspektasi dari variabel random Y ini dinotasikan dengan a sesuai dengan kontrak asuransinya. Anuitas seumur hidup diskrit dimuka merupakan sederetan pembayaran sebesar 1 dibayar tiap awal tahun kepada  x  hingga ia meninggal dunia. Ekspektasi dari variabel random Y , dimana Y  aK  x 1 , K  x   0 dinotasikan dengan a x . Secara umum a x dapat

dinyatakan sebagai berikut


25

ax  E Y   E  aK  x 1    

  ak 1 Pr  K  x   k  k 0



  ak 1  k px k 0

 ak 1 k px

 0



  k 1 px v k 1 k 0

   0  1  px v  2 px v 2  3 px v3  ...  0 px v0  px v  2 px v 2  3 px v3  ... 

 s 0

s

px v s

(2.5.7)

a x dapat dihubungkan dengan asuransi jiwa seumur hidup yaitu

ax  E Y   E  aK  x 1    1  v K  x 1   E  d  

 

1  E v K  x 1  d 1  Ax d

(2.5.8)

Anuitas hidup temporary n tahun diskrit dimuka merupakan sederetan pembayaran sebesar 1 dibayar tiap awal tahun kepada  x  . Ekspektasi dari , 0  K  x   n 1  a variabel random Y , dimana Y   K  x 1 dinotasikan dengan a , K x  n   n  


26

ax:n . Secara umum ax:n dapat dinyatakan sebagai berikut

ax:n  E Y  n 1



  ak 1 Pr  K  x   k    an Pr  K  x   k  k 0

k n

n 1

  ak 1   k px   an k 0

 Pr  K  x   k  k n

n 1

  ak 1

k

   an 1   an 1



px n

n 0

  v k 1 k 1 px  an Pr  K  x   k  k 0

px  a1

n 1

0

px    v k 1 k 1 px  an k 0

n

px

n

s n p x  1   v s p x  an s 1

n

px

   an  v n  n px  1   v s s px  an n

s 1

  an

n

px  v n

n

n

px

px  v 0 0 px  v px  v 2 2 px  ...  v n 1 n 1 p x  v n

n

p x  an

n

px

 v0 0 px  v px  v 2 2 px  ...  v n1 n1 px n 1

  v k k px

(2.5.9)

k 0

ax:n dapat dihubungkan dengan asuransi jiwa dwiguna n tahun dimana

 v K  x 1 , 0  K  x   n  1  yaitu Z  n , K  x  n  v

ax:n  E Y  1  Z   E  d 

 

1 E Z  d

1  Ax:n

(2.5.10)

d


27

Anuitas seumur hidup yang ditunda n tahun diskrit dimuka merupakan sederetan pembayaran sebesar 1 dibayar tiap tahun kepada  x  . Ekspektasi  , 0  K  x  n 1 0 dari variabel random Y , dimana Y   n dinotasikan v aK  x 1n , K  x   n  

dengan n| ax . Secara umum n| ax dapat dinyatakan sebagai berikut n|

ax  E Y  

  v n ak 1 n Pr  K  x   k  k n



  v n ak 1 n   k px  k n

 v n ak 1 n

 n

px

k

 v n  0  a1

n px 



  v k 1

k 1

k n

 n

px



  v k 1 k n

k 1

px



 v n 1  n px   v k 1 k n

 vn

n

px  v n 1

n 1

k 1

px

px  v n  2

n2

px  ...



  v k k px

(2.5.11)

k n

n|

ax dapat dihubungkan dengan asuransi jiwa pure endowment n tahun yaitu

n|

ax  E Y  

  v n ak 1 n Pr  K  x   k  k n

 vn



a k n

 vn

k 1 n



a

n s

s 1

n

px

s

a

s 1

Pr  K  x  n   s 



a s 0

 vn

px qx  n  s

s 1

s 0

 vn

px qx  k

k



n px

s 0

px  n qx  n  s

 Ax:1n ax  n

(2.5.12)


28

BAB III PENENTUAN PREMI MANFAAT DAN CADANGAN MANFAAT

Pada bab ini akan dibahas pengertian dari premi manfaat dan cadangan manfaat serta analisis dari cadangan manfaat dan juga bagaimana menentukannya sesuai dengan kontrak asuransinya dan cara pembayaran preminya.

3.1 PREMI MANFAAT

Premi adalah sejumlah uang yang dibayar oleh pemegang polis secara berkala (biasanya tahunan) sesuai dengan jenis kontraknya. Besar premi tahunan ini ditentukan dengan menggunakan prinsip ekivalen. Prinsip ekivalen merupakan ekspektasi kerugian dari perusahaan asuransi yang bernilai nol. Artinya, ekspektasi nilai saat ini dari uang pertanggungan yang dibayar oleh perusahaan asuransi sama dengan ekspektasi nilai saat ini dari akumulasi premi yang dibayar oleh pemegang polis. Premi yang ditentukan berdasarkan prinsip ekivalen ini disebut premi manfaat. Kerugian dari perusahaan asuransi dapat dilihat dengan menggunakan prinsip kontribusi. Pada prinsip kontribusi, pengeluaran uang bernilai positif dan penerimaan uang bernilai negatif. Jika kerugian bernilai positif maka perusahaan asuransi mengalami kerugian. Sebaliknya, jika 28


29

kerugian bernilai negatif maka perusahaan asuransi mengalami keuntungan. Secara umum, kerugian dibedakan menjadi dua jenis. Pertama, kerugian kontinu yang dapat dinyatakan sebagai L  bT  x vT  x   PY

(3.1.1)

dimana : L

: kerugian pada saat pemegang polis masuk asuransi

 x

: pemegang polis yang masuk asuransi pada usia x

T  x  : variabel random sisa usia yang kontinu dari  x  bT  x  : besar uang pertanggungan yang dibayar pada saat kematian v

T  x

: nilai saat ini dari uang pertanggungan sebesar 1 pada waktu T  x 

P

: premi yang dibayar secara kontinu sejak masuk asuransi

Y

: nilai saat ini dari anuitas kontinu sebesar 1 .

Kedua, kerugian diskrit dapat dinyatakan sebagai

L  bK  x 1v K  x 1  PY

(3.1.2)

dimana:

K  x  : variabel random sisa usia yang diskrit dari  x 

bK  x 1 : besar uang pertanggungan yang dibayar pada akhir tahun kematian v

K  x  1

: nilai saat ini dari uang pertanggungan sebesar 1 pada waktu K  x   1

P

: premi yang dibayar secara berkala sejak awal tahun polis

Y

: nilai saat ini dari anuitas diskrit sebesar 1.


30

Contoh 3.1.1 : Akan ditentukan premi manfaat P yang dibayar oleh pemegang polis pada awal tiap tahun selama 4 tahun kepada perusahaan asuransi. Dengan tingkat bunga efektif tahunan 0.06 dan fungsi probabilitas

Pr  K  x   k   0.2 , k  0,1, 2,3, 4 dimana uang pertanggungan sebesar $1 dibayar pada akhir tahun kematian kepada pemegang polis. Berdasarkan prinsip ekivalen, didapat premi manfaat, P

E  L  0 E v  4

K  x  1

 v

k 1

k 0

 PaK  x 1   0 

 Pak 1  Pr  K  x   k   0

4  4 k 1   v  P  ak 1  0.2  0 K 0  k 0  4

v

k 1

k 0

4

 P  ak 1  0 K 0

v  v  v  v  v   P a  a  a v 1  v  v  v  v   P  a  a  a v a  P a  a  a  a  a  2

3

4

2

5

P

5

3

1

1

2

3

1

2

3

4

2

3

4

 a4  a5   0  a4  a5 

5

v a5 a1  a2  a3  a4  a5

4.212363786 13.91490645 P  0.30272 P

Jadi, premi manfaat dengan kontrak asuransi berjangka 5 tahun yang dibayar oleh pemegang polis kepada perusahaan asuransi adalah sebesar $0.30272. □


31

Berdasarkan jenisnya, premi manfaat dibedakan menjadi premi manfaat kontinu, premi manfaat diskrit, premi manfaat campuran dan premi manfaat pecahan.

3.1.1 Premi Manfaat Kontinu

Premi manfaat kontinu adalah premi yang dibayar secara terus menerus setiap satu periodenya. Akan ditentukan beberapa macam premi manfaat kontinu sesuai dengan kontrak asuransinya. Untuk lebih jelasnya, dapat dilihat pada tabel 6. Asuransi seumur hidup dengan uang pertanggungan sebesar 1 yang dibayar pada saat kematian kepada  x  , dapat dibayar dengan akumulasi premi manfaat kontinu. Premi ini dinotasikan sebagai P  Ax  . Dengan menggunakan prinsip ekivalen didapat P  Ax 

E  L   0  E vT  x   P  Ax  aT  x    0    E vT  x    P  Ax  E  aT  x    0    E vT  x    P  Ax  E  aT  x      Ax  P  Ax  ax  P  Ax  

Ax ax


(3.1.3)

32

Berdasarkan persamaan (2.5.2) ax 

1  Ax



, P  Ax  juga dapat dinyatakan

dalam asuransi jiwa yaitu

P  Ax  

 Ax

(3.1.4)

1  Ax

Asuransi seumur hidup dengan uang pertanggungan sebesar 1 yang dibayar pada saat kematian kepada  x  , juga dapat dibayar dengan akumulasi premi manfaat kontinu dengan masa pembayaran premi h tahun. Premi ini dinotasikan sebagai h P  Ax  . Dengan prinsip ekivalen didapat h

P  Ax 

h

P  Ax  ax:h  Ax  h P  Ax  

Ax ax:h

(3.1.5)

Asuransi berjangka n tahun dengan uang pertanggungan sebesar 1 yang dibayar pada saat kematian kepada  x  , dapat dibayar dengan akumulasi premi manfaat kontinu dengan masa pembayaran premi n tahun. Premi ini dinotasikan sebagai P  A1x:n  . Dengan prinsip ekivalen didapat

P  A1x:n 

PA

1 x:n

a

x:n

A

1 x:n

 PA

1 x:n

A1x:n

 a

x:n


(3.1.6)

33

Asuransi pure endowment n tahun dengan uang pertanggungan sebesar 1 yang dibayar pada saat kematian kepada  x  , dapat dibayar dengan akumulasi premi manfaat kontinu dengan masa pembayaran premi

n tahun. Premi ini dinotasikan sebagai P  Ax:1n  . Dengan prinsip ekivalen didapat P  Ax:1n 

PA

1 x:n

a

x:n

A

1 x:n

 PA

1 x:n

Ax:1n

 a

(3.1.7)

x:n

Asuransi dwiguna n tahun dengan uang pertanggungan sebesar 1 yang dibayar pada saat kematian kepada  x  , dapat dibayar dengan akumulasi premi manfaat kontinu dengan masa pembayaran premi n tahun. Premi ini dinotasikan sebagai P  Ax:n  . Dengan prinsip ekivalen didapat

P  Ax:n 

P  Ax:n  ax:n  Ax:n  P  Ax:n  

Berdasarkan persamaan (2.5.4) ax:n 

1  Ax:n



Ax:n ax:n

(3.1.8)

, P  Ax:n  juga dapat dinyatakan


P  Ax:n  

 Ax:n 1  Ax:n


(3.1.9)

34

Asuransi dwiguna n tahun dengan uang pertanggungan sebesar 1 yang dibayar pada saat kematian kepada  x  , juga dapat dibayar dengan akumulasi premi manfaat kontinu dengan masa pembayaran premi h tahun

 h  n .

Premi ini dinotasikan sebagai h P  Ax:n  . Dengan prinsip ekivalen

didapat

h

P  Ax:n 

h

P  Ax:n  ax:h  Ax:n  h P  Ax:n  

Ax:n ax:h

(3.1.10)

Asuransi anuitas seumur hidup yang ditunda n tahun dengan sederetan pembayaran sebesar 1 secara kontinu kepada  x  , dapat dibayar dengan akumulasi premi manfaat kontinu dengan masa pembayaran premi

n tahun. Premi ini dinotasikan sebagai P  n| ax  . Dengan prinsip ekivalen didapat P  n| ax  P  n| ax  ax:n  n| ax  P  n| ax  ax:n  Ax:1n ax n

 P  n| ax  

Ax:1n ax  n ax:n


(3.1.11)

35

Akan dicari variansi dari variable random L dimana L kerugian pada waktu pemegang polis masuk asuransi. Untuk asuransi jiwa seumur hidup yang kontinu dengan uang pertanggungan sebesar 1 berdasarkan persamaan (3.1.1) yaitu

Var  L  Var vT  x   P  Ax  aT  x       1  vT  x     Var vT  x   P  Ax           T x P  Ax  vT  x  P  Ax     Var v            P  Ax   P  Ax   T x    Var v   1            P  Ax    T x   Var v   1         P  Ax    Var vT  x    1        2

2

2  A   1  x   2 Ax   Ax     a x   2

2  a   Ax   2   x   Ax   Ax    a x  2

2  1  2     Ax   Ax   a   x 

2



Ax   Ax 

 ax 

2

2


(3.1.12)

36

dan variansi untuk variable random L dimana L kerugian pada waktu pemegang polis masuk asuransi. Untuk asuransi dwiguna n tahun yang kontinu dengan uang pertanggungan sebesar 1 dimana T  x   v , 0  T  x  n  aT  x  , 0  T  x   n dan Z   n serta Var  Z  yang Y  an , T  x   n v , T  x  n    

terdapat pada lampiran 3 yaitu

Var  L  Var  Z  P  Ax:n  Y    1  Z   Var  Z  P  Ax:n         P  Ax:n  Z P  Ax:n     Var  Z          P  A   P  A  x:n x:n    Var  Z 1             P  A   x:n   Var  Z 1          PA  x:n  Var  Z   1       2

 A  1  x:n  a  x:n 

2

 2   Ax:n   Ax:n  

 a   Ax:n   x:n  a  x:n   1  a   x:n 2



2

  2

 2   Ax:n   Ax:n  

  2

2

 2 2   Ax:n   Ax:n     

Ax:n   Ax:n 

 ax:n  

2

2


(3.1.13)

37

Contoh 3.1.2 : Akan dihitung premi manfaat kontinu dari asuransi seumur hidup, P  Ax  dan variansi kerugiannya, dengan uang pertanggungan sebesar $1, asumsi force of mortality (  ) 0.04 dan force of interest (  ) 0.06. Terlebih dahulu akan dicari premi tunggal bersih kontinu dari asuransi jiwa seumur hidup Ax  E vT  x   , 2 Ax  E v 2T  x   dan ekspektasi nilai saat ini dari anuitas kontinu a x sebagai berikut : 

Ax   vt 0 

t

px   x  t  dt

  e  t e  t  dt 0



   e  t     dt 0

   t      e |0      0  1   



  

0.04 0.06  0.04  0.4 

2

Ax 



2   0.04  2  0.06  0.04  0.25


38

ax 

1  Ax



1  0.4 0.06  10 

Dari persamaan (3.1.3) dan (3.1.12) didapat

P  Ax  

Ax ax

0.4 10  0.04 

Var  L  

2

Ax   Ax 

2

 a x  2 0.25   0.4   2  0.06 10  2

 0.25 Jadi, premi manfaat kontinu dari asuransi seumur hidup yang harus dibayar pemegang polis sebesar $0.04 dan variansi kerugian pada waktu nol yang harus ditanggung oleh perusahaan asuransi sebesar $0.25.

□

3.1.2 Premi Manfaat Diskrit

Premi manfaat diskrit adalah premi yang dibayar secara berkala sejak masuk asuransi pada tiap awal tahun polis. Akan ditentukan beberapa macam premi manfaat diskrit sesuai dengan kontrak asuransinya. Untuk lebih jelasnya, dapat dilihat pada tabel 7.


39

Asuransi seumur hidup dengan uang pertanggungan sebesar 1 yang dibayar pada akhir tahun kematian kepada  x  , akan dibayar dengan akumulasi premi manfaat diskrit yang dibayar secara berkala tiap awal tahun dengan masa pembayaran premi seumur hidup. Premi ini dinotasikan sebagai P  Ax  . Dengan prinsip ekivalen didapat P  Ax 

E  L   0  E v 

 P  Ax  aK  x 1   0  K x 1  E v     P  Ax  E  aK  x 1   0   K  x  1    P  Ax  E  a  E v   K  x 1   Ax  P  Ax  ax K  x  1

 P  Ax  

Berdasarkan persamaan (2.5.8) ax 

Ax ax

(3.1.14)

1  Ax , P  Ax  dapat dinyatakan dalam d

asuransi jiwa yaitu

P  Ax  

dAx 1  Ax

(3.2.15)

Asuransi seumur hidup dengan uang pertanggungan sebesar 1 yang dibayar pada akhir tahun kematian kepada  x  , juga bisa dibayar dengan akumulasi premi manfaat diskrit yang dibayar h kali dengan masa pembayaran premi h  1 tahun. Premi ini dinotasikan sebagai h P  Ax  . Dengan prinsip ekivalen didapat h P  Ax 

h

P  Ax  ax:h  Ax  h P  Ax  

Ax ax:h


(3.1.16)

40

Asuransi berjangka n tahun dengan uang pertanggungan sebesar 1 yang dibayar pada akhir tahun kematian kepada  x  , akan dibayar dengan akumulasi premi manfaat diskrit yang dibayar n kali dengan masa pembayaran premi n  1 tahun. Premi ini dinotasikan sebagai P  A1x:n  . Dengan prinsip ekivalen didapat P  A1x:n 

P A

1 x:n

a

x:n

A

1 x:n

 PA

1 x:n

A1x:n

 a

(3.1.17)

x:n

Asuransi pure endowment n tahun dengan uang pertanggungan sebesar 1 yang dibayar pada akhir tahun kematian kepada  x  , akan dibayar dengan akumulasi premi manfaat diskrit yang dibayar n kali dengan masa pembayaran premi n  1 tahun. Premi ini dinotasikan sebagai P  Ax:1n  . Dengan prinsip ekivalen didapat P  Ax:1n 

P  Ax:1n  ax:n  Ax:1n  P  Ax:1n  

Ax:1n ax:n

(3.1.18)

Asuransi dwiguna n tahun dengan uang pertanggungan 1 yang dibayar pada akhir tahun kematian kepada pemegang polis yang masuk asuransi pada usia x , akan dibayar dengan akumulasi premi manfaat diskrit yang dibayar n kali dengan masa pembayaran premi n  1 tahun. Premi ini dinotasikan sebagai P  Ax:n  . Dengan prinsip ekivalen didapat P  Ax:n 

P  Ax:n  ax:n  Ax:n  P  Ax:n  

Ax:n ax:n


(3.1.19)

41

Berdasarkan persamaan (2.5.10) ax:n 

1  Ax:n

, P  Ax:n  dapat dinyatakan

d


P  Ax:n  

dAx:n

(3.1.20)

1  Ax:n

Asuransi dwiguna n tahun dengan uang pertanggungan sebesar 1 yang dibayar pada akhir tahun kematian kepada  x  , juga bisa dibayar dengan akumulasi premi manfaat diskrit yang dibayar h kali dengan masa pembayaran premi h  1 tahun  h  n  . Premi ini dinotasikan sebagai h

P  Ax:n  . Dengan prinsip ekivalen didapat h P  Ax:n 

h


Ax:n ax:h

(3.1.21)

Anuitas seumur hidup yang ditunda n tahun dengan sederetan pembayaran sebesar 1 pertahun kepada  x  , akan dibayar dengan akumulasi premi manfaat diskrit dengan masa pembayaran premi n  1 tahun. Premi ini dinotasikan sebagai P( n| ax ) . Dengan prinsip ekivalen didapat P( n| ax ) P  n| ax  ax:n  n| ax  P  n| ax  ax:n  Ax:1n ax n

 P  n| ax  

Ax:1n ax  n ax:n


(3.1.22)

42

Akan dicari variansi dari variable random L dimana L kerugian pada waktu pemegang polis masuk asuransi. Untuk asuransi jiwa seumur hidup yang diskrit dengan uang pertanggungan sebesar 1 berdasarkan persamaan (3.1.2) yaitu

Var  L  Var v K  x 1  P  Ax  aK  x 1      1  v K  x 1    Var v K  x 1  P  Ax     d      K  x 1 P  Ax  v K  x 1 P  Ax    Var v    d d     P  Ax   P  Ax    Var v K  x 1 1    d d       P  Ax     Var v K  x 1 1   d    

 P  Ax   K  x  1   1   Var v  d   2

2

 A  2  1  x   2 Ax   Ax      ax d  2

 a d  Ax  2 2  x   Ax   Ax    ax d  2

 1  2 2    Ax   Ax    ax d  2



Ax   Ax 

 ax d 

2

2


(3.1.23)

43

dan variansi dari variable random L dimana L kerugian pada waktu pemegang polis masuk asuransi. Untuk asuransi dwiguna n tahun yang diskrit dengan uang pertanggungan sebesar 1 dimana K  x  1   , 0  K  x   n 1  aK  x 1 , 0  K  x   n  1 v dan Z   n serta Var  Z  Y  an , K  x  n v , K  x  n    

yang terdapat pada lampiran 3 yaitu

Var  L  Var  Z  P  Ax:n  Y    1  Z   Var  Z  P  Ax:n     d  

 P  Ax:n  Z P  Ax:n     Var  Z   d d      P A   P A  x:n x:n    Var  Z 1   d d         P  A   x:n   Var  Z 1    d      PA   x:n  Var  Z   1    d   2

2

 A   1  x:n   2 Ax:n   Ax:n  a d  x:n    a d  Ax:n   x:n  a d x:n 

2

2



Ax:n   Ax:n 

 ax:n d 

2

 2   Ax:n   Ax:n  

 1  2  A  A   a d   x:n  x:n  x:n  2

    2

  2

2

2


(3.1.24)

44

Contoh 3.1.3 : Akan dihitung premi manfaat diskrit dari asuransi seumur hidup P  Ax  dan variansi dari kerugiannya Var  L  dengan uang pertanggungan sebesar $1. Dengan fungsi probabilitas

Pr  K  x   k   c (0.96)k 1 , K  x   0,1, 2,... dimana c 

0.04 dan bunga efektif tahunan i  0.06 . 0.96

Akan dicari dahulu premi tunggal bersih diskrit dari asuransi jiwa seumur 2 K  x  1  dan ekspektasi nilai saat hidup yang diskrit Ax  E v K  x 1  , 2 Ax  E v   

ini dari anuitas diskrit a x 

Ax   v k 1 Pr  K  x   k  k 0 

  1  i 

 k 1

c  0.96 

k 1

k 0 

  1.06 

 k 1

k 0



 0.04 1.06 

0.04 k  0.96  0.96 0.96  k 1

 0.96 

k

k 0

k

0.04   0.96    1.06 k 0  1.06  2 3  0.04   0.96  0.96   0.96     1      ... 1.06   1.06  1.06   1.06    0.04 1   1.06 1  0.96 1.06  0.4




45



2

2 k  x  1 Ax   v  Pr  K  x   k  k 0

c



 k 0

 0.96   2  1  i   

0.04  0.96

 k 0

k 1

 0.96   2  1.06  

k

0.96

1.06 

2

2   0.04  0.96  0.96    1    ... 2  2 2 1.06   1.06   1.06    0.04 1   2 0.96 1.06  1  2 1.06 

 0.2444987775 1  Ax d 1  0.4  0.06 1.06  10.6

ax 

Dari persamaan (3.1.14) dan (3.1.23) didapat

Ax ax 0.4  10.6  0.0377

P  Ax  

Var  L   

2

Ax   Ax 

 ax d 

2

2

0.2444987775   0.4   0.06  10.6    1.06 

2

2

 0.2347


46

Jadi, premi manfaat diskrit dari asuransi seumur hidup yang harus dibayar pemegang polis sebesar $0.0377 dan variansi kerugian pada waktu nol yang harus ditanggung oleh perusahaan asuransi sebesar $0.2347.

□

3.1.3 Premi Manfaat Campuran

Pada kenyataannya, asuransi jiwa dibayar pada saat kematian namun premi manfaat dibayar secara berkala pada tiap awal tahun polis yang disebut dengan premi manfaat campuran. Akan ditentukan beberapa macam premi manfaat campuran sesuai dengan kontrak asuransinya. Untuk lebih jelasnya, dapat dilihat pada tabel 8. Asuransi seumur hidup dengan uang pertanggungan sebesar 1 yang dibayar pada saat kematian kepada  x  , dapat dibayar dengan akumulasi premi manfaat campuran yang dibayar tiap awal tahun polis. Premi ini dinotasikan sebagai P  Ax  . Dengan prinsip ekivalen didapat P  Ax 

P  Ax  ax  Ax  P  Ax  

Ax ax

(3.1.25)

Dari hubungan ekspektasi nilai saat ini dari uang pertanggungan antara asuransi seumur hidup kontinu dan asuransi seumur hidup diskrit Ax 

i



Ax ,

yang terdapat pada lampiran 1. P  Ax  juga dapat dinyatakan dalam P  Ax  . P  Ax  

i Ax i  P  Ax   P  Ax   ax 


(3.1.26)

47

Asuransi seumur hidup dengan uang pertanggungan sebesar 1 yang dibayar pada saat kematian kepada  x  , juga dapat dibayar dengan akumulasi premi manfaat campuran yang dibayar h kali tiap awal tahun polis dengan masa pembayaran premi h  1 tahun. Premi ini dinotasikan sebagai h

P  Ax  . Dengan prinsip ekivalen didapat h P  Ax 

h

P  Ax  ax:h  Ax  h P  Ax  

Ax ax:h

(3.1.27)

Asuransi berjangka n tahun dengan uang pertanggungan sebesar 1 yang dibayar pada saat kematian kepada  x  , dapat dibayar dengan akumulasi premi manfaat campuran yang dibayar n kali tiap awal tahun polis dengan masa pembayaran premi n  1 tahun. Premi ini dinotasikan sebagai

P  A1x:n  . Dengan prinsip ekivalen didapat P  A1x:n 

P A

1 x:n

a

x:n

A

1 x:n

 PA

1 x:n

A1x:n

 a

(3.1.28)

x:n

Dari hubungan ekspektasi nilai saat ini dari uang pertanggungan antara asuransi berjangka n tahun kontinu dan asuransi berjangka n tahun diskrit

A1x:n 

i



A1x:n , yang terdapat pada lampiran 1. P  A1x:n  dapat dinyatakan

dalam P  A1x:n  yaitu

P  A1x:n  

1 i A x:n i  P  A1x:n   P  Ax1:n   ax:n 


(3.1.29)

48

Asuransi dwiguna n tahun dengan uang pertanggungan sebesar 1 yang dibayar pada saat kematian kepada  x  , dapat dibayar dengan akumulasi premi manfaat campuran yang dibayar n kali tiap awal tahun polis dengan masa pembayaran premi n  1 tahun. Premi ini dinotasikan sebagai

P  Ax:n  . Dengan prinsip ekivalen didapat P  Ax:n  P  Ax:n  ax:n  Ax:n  P  Ax:n  

Ax:n ax:n

(3.1.30)

Dari hubungan ekspektasi nilai saat ini dari uang pertanggungan antara asuransi dwiguna n tahun kontinu dan asuransi dwiguna n tahun diskrit

Ax:n 

i



Ax1:n  Ax:1n , yang terdapat pada lampiran 1. P  A1x:n  dapat dinyatakan

dalam P  A1x:n  dan P  Ax:1n  yaitu

P  Ax:n  

Ax:n ax:n i

  

A1x:n  Ax:1n ax:n

1 1 i Ax:n Ax:n   ax:n ax:n

i



P  A1x:n   P  Ax:1n 

(3.1.31)

Asuransi dwiguna n tahun dengan uang pertanggungan sebesar 1 yang dibayar pada saat kematian kepada  x  , juga dapat dibayar dengan akumulasi premi manfaat campuran yang dibayar h kali tiap awal tahun polis dengan masa pembayaran premi h  1 tahun  h  n  . Premi ini dinotasikan


49

sebagai h P  Ax:n  . Dengan prinsip ekivalen didapat h P  Ax:n 

h


Ax:n ax:h

(3.1.32)

3.1.4 Premi Manfaat Pecahan

Sering kali perusahaan asuransi jiwa tidak hanya menjual polisnya dengan premi tahunan, tetapi diadakan pula pembayaran premi yang lebih dari sekali dalam setahun, misalnya premi semesteran, kwartalan, atau bulanan. P m adalah premi manfaat tahunan yang dibayar m kali dalam 1 tahun polis yaitu tiap pembayaran preminya sebesar

1  m P yang disebut m

premi manfaat pecahan. Apabila terjadi klaim kematian, uang pertanggungan akan dibayar sepenuhnya meskipun pemegang polis meninggal dalam tahun dimana baru membayar premi pecahan yang pertama. Premi manfaat tahunan ini dibedakan atas uang pertanggungannya yaitu dibayar pada akhir tahun kematian dan dibayar pada saat kematian. Akan ditentukan beberapa macam premi manfaat pecahan dengan uang pertanggungan sebesar 1 dibayar pada akhir tahun kematian sesuai dengan kontrak asuransinya.


50

Asuransi seumur hidup dengan uang pertanggungan sebesar 1 yang dibayar pada akhir tahun kematian kepada  x  , dapat dibayar dengan akumulasi premi manfaat yang dibayar m kali dalam 1 tahun polis. Premi ini dinotasikan sebagai P m  Ax  . Dengan prinsip ekivalen didapat P m  Ax 

P m  Ax  ax  m  Ax  P m  Ax  

Ax ax  m 

(3.1.33)

dimana ax  m  adalah anuitas seumur hidup diskrit dimuka yang dibayar m kali dalam setahun dan besarnya tiap kali pembayarannya adalah

1 yang akan m

dibayarkan selama tertanggung masih hidup yaitu

ax  m     m  a x    m 

(3.1.34)

id i d  m

(3.1.35)

dengan

  m   s1 m a1 m 

dan

  m 

s1   1 m

d

m



 m

i  i  m m i  d   m

(3.1.36)

Asuransi seumur hidup dengan uang pertanggungan sebesar 1 yang dibayar pada akhir tahun kematian kepada  x  , juga dapat dibayar dengan akumulasi premi manfaat yang dibayar m kali dalam 1 tahun polis dengan masa pembayaran premi h  1 tahun. Premi ini dinotasikan sebagai h

P m  Ax  . Dengan prinsip ekivalen didapat h P m  Ax 

h

P

m

 Ax  axm:h  Ax  h P m  Ax  

Ax axm:h


(3.1.35)

51

dimana a xm:h adalah anuitas hidup temporary h tahun diskrit dimuka yang dibayar m kali dalam setahun dan besarnya tiap kali pembayarannya adalah

1 yang akan dibayarkan selama tertanggung masih hidup yaitu m axm:h    m  ax:h    m  1  Ax:1h 

(3.1.36)

Asuransi berjangka n tahun dengan uang pertanggungan sebesar 1 yang dibayar pada akhir tahun kematian kepada  x  , dapat dibayar dengan akumulasi premi manfaat yang dibayar m kali dalam 1 tahun polis dengan masa pembayaran premi n  1 tahun. Premi ini dinotasikan sebagai

P m  A1x:n  . Dengan prinsip ekivalen didapat P m  A1x:n  P

 m

A  a 1 x:n

 m x:n

 A x:n  P 1

 m

A   1 x:n

A1x:n ax:n m

(3.1.37)

Asuransi dwiguna n tahun dengan uang pertanggungan sebesar 1 yang dibayar pada akhir tahun kematian kepada  x  , dapat dibayar dengan akumulasi premi manfaat yang dibayar m kali dalam 1 tahun polis dengan masa pembayaran premi n  1 tahun. Premi ini dinotasikan sebagai

P m  Ax:n  . Dengan prinsip ekivalen didapat P m  Ax:n 

P m  Ax:n  axm:n  Ax:n  P m  Ax:n  

Ax:n

axm:n


(3.1.38)

52

Asuransi dwiguna n tahun dengan uang pertanggungan sebesar 1 yang dibayar pada akhir tahun kematian kepada  x  , juga dapat dibayar dengan akumulasi premi manfaat yang dibayar m kali dalam 1 tahun polis dengan masa pembayaran premi h  1 tahun  h  n  . Premi ini dinotasikan sebagai h P m  Ax:n  . Dengan prinsip ekivalen didapat h P m  Ax:n  h

P m  Ax:n  axm:h  Ax:n  h P m  Ax:n  

Ax:n

axm:h

(3.1.39)

Sedangkan beberapa macam premi manfaat pecahan dengan uang pertanggungan sebesar 1 dibayar pada saat kematian sesuai kontraknya. Asuransi seumur hidup dengan uang pertanggungan sebesar 1 yang dibayar pada saat kematian kepada  x  , dapat dibayar dengan akumulasi premi manfaat yang dibayar m kali dalam 1 tahun polis. Premi ini dinotasikan sebagai P m  Ax  . Dengan prinsip ekivalen didapat P m  Ax  P

m

A  a  x

x

m

 Ax  P

m

 A   aA  x m

x

(3.1.40)

x

Asuransi seumur hidup dengan uang pertanggungan sebesar 1 yang dibayar pada saat kematian kepada  x  , juga dapat dibayar dengan akumulasi premi manfaat yang dibayar m kali dalam 1 tahun polis dengan masa pembayaran premi h  1 tahun. Premi ini dinotasikan sebagai h

P m  Ax  . Dengan prinsip ekivalen didapat h P m  Ax 

h

P m  Ax  axm:h  Ax  h P m  Ax  

Ax axm:h


(3.1.41)

53

Asuransi berjangka n tahun dengan uang pertanggungan sebesar 1 yang dibayar pada saat kematian kepada  x  , dapat dibayar dengan akumulasi premi manfaat yang dibayar m kali dalam 1 tahun polis dengan masa pembayaran premi n  1 tahun. Premi ini dinotasikan sebagai

P m  A1x:n  . Dengan prinsip ekivalen didapat P m  A1x:n 

P

 m

A  a 1 x:n

 m x:n

A

1 x:n

P

 m

A1x:n

 A   a 1 x:n

(3.1.42)

m

x:n

Asuransi dwiguna n tahun dengan uang pertanggungan sebesar 1 yang dibayar pada saat kematian kepada  x  , dapat dibayar dengan akumulasai premi manfaat yang dibayar m kali dalam 1 tahun polis dengan masa pembayaran premi n  1 tahun. Premi ini dinotasikan sebagai

P m  Ax:n  . Dengan prinsip ekivalen didapat P m  Ax:n 

P m  Ax:n  axm:n  Ax:n  P m  Ax:n  

Ax:n

ax:n m

(3.1.43)

Asuransi dwiguna n tahun dengan uang pertanggungan sebesar 1 yang dibayar pada saat kematian kepada  x  , juga dapat dibayar dengan akumulasi premi manfaat yang dibayar m kali dalam 1 tahun polis dengan masa pembayaran premi h  1 tahun  h  n  . Premi ini dinotasikan sebagai h

P m  Ax:n  . Dengan prinsip ekivalen didapat h P m  Ax:n 

h

P m  Ax:n  axm:h  Ax:n  h P m  Ax:n  

Ax:n

ax:h


m

(3.1.44)

54

Contoh 3.1.4 : Asuransi dwiguna 20 tahun dengan uang pertanggungan sebesar $10,000 dibayar pada akhir tahun kematian kepada pemegang polis yang masuk asuransi pada usia 50 tahun dan tingkat bunga tahunan efektif tahunan 0.06. Akan dihitung premi manfaat tahunan yang dibayar semesteran. Dari persamaan (3.1.36) akan dicari dahulu i  2 dan d  2 untuk mendapatkan

a1 2 dan s1 2 yaitu : 1   i  2  2 1  i  2  1   1    2 1.06  2  1    0.0591260282 1   d  2  2 1  1  d  2    1   2 0.06      2 1  1    1.06      0.05742827529

Lalu didapat a1  dan s1  sebagai berikut : 2

2

1 v d  2 1 1  1.06   0.05742827529  0.9856429311 1  i   1  i  2 0.06  0.0591260282  1.014781507

a1 2 

s1

2


55

Dari persamaan (3.1.35) dan (3.1.36) didapat :

  2   s1 2 a1 2

 1.014781507  0.9856429311  1.000212219

  2 

s1   1 2

d  1.014781507  1  0.05742827529  0.2573907526 2

Dari tabel 12 didapat l50  89509.00 , l70  66161.54 , A50  0.2490475 dan

A70  0.5149481 untuk mendapatkan A50:20 . 1 A50:20  A50:20  A50:120

 A50  A50:120 A70  A50:120

 A70  1 20 p50  A70  1

 A50  A50:120  A50  v 20

 A50  v 20 1  i 

l l50

20 70

 0.2490475  1.06 

20

 A70  1 66161.54  0.5149481  1 89509.00

 0.360839263  2 Karena sudah didapat A50:20 ,   2  dan   2  maka a50:20 dapat dihitung  2 a50:20    2  a50:20    2  1  A50:120 

 1  A50:20  1   2      2  1  A50:20  d    1.000212219 11.29183969  0.2573907526  1  0.2304738173  11.09616711


56

Sehingga diperoleh 10, 000 P 2  A50:20  dan P 2  A50:20  sebagai berikut:

10, 000 P  2  A50:20   10, 000  10, 000

A50:20

 2 a50:20

0.360839263 11.09616711

 325.1927

10, 000 P  2  A50:20   10, 000  10, 000

A50:20

 2 a50:20

1 A50:20  A50:120

 2 a50:20

i  10, 000 

 10, 00 0

1 A50:20  A50:120

 2 a50:20

i 1 A50:20  A50:120 ln 1  i   2 a50:20

0.06 0.1303654457  0.2304738173 ln 1.06   10, 000 11.09616711  328.6831

Jadi, premi manfaat semesteran yang harus dibayar oleh pemegang polis tiap awal semester adalah sebesar $325.1927 untuk uang pertanggungan yang dibayar pada akhir tahun polis dan sebesar $328.6831 untuk uang pertanggungan yang dibayar pada saat kematian.


□

57

3.2 CADANGAN MANFAAT

Cadangan manfaat pada waktu tertentu merupakan ekspektasi kerugian pada waktu tersebut bagi perusahaan asuransi dimana pada waktu itu pemegang polis masih hidup. Kerugian dalam hal ini berbeda dari kerugian yang sebelumnya. Kerugian yang sebelumnya hanya melihat pada waktu pemegang polis masuk asuransi, sedangkan kerugian dalam hal ini berlaku setelah asuransi berjalan. Kerugian pada waktu tertentu merupakan nilai saat ini pada waktu tersebut dari kerugian yang akan datang bagi perusahaan asuransi. Seperti yang sebelumnya, kerugian ini juga dibedakan menjadi dua jenis. Pertama, kerugian kontinu yang dapat dinyatakan sebagai t

L  bT  x t vT  x t  PY

(3.2.1)

dimana t L adalah kerugian kontinu pada waktu t dan Y adalah nilai saat ini pada waktu t dari anuitas kontinu. Kedua, kerugian diskrit yang dapat dinyatakan sebagai k

dimana

k

L  b K  x k 1v

K  x   k  1

 PY

(3.2.2)

L adalah kerugian diskrit pada waktu k dan Y adalah nilai saat ini

pada waktu k dari anuitas diskrit. Jadi, cadangan manfaat pada waktu tertentu dapat dinyatakan sebagai E  t L | T  x   t  untuk yang kontinu dan E  k L | K  x   k , k  1,... untuk yang diskrit.


58

Contoh 3.2.1: Dari contoh 3.1.1, akan ditentukan cadangan manfaat bagi perusahaan asuransi pada waktu 1 tahun setelah pemegang polis masuk asuransi. Terlebih dahulu akan dicari probabilitas bersyarat dari pemegang polis yang masih hidup 1 tahun setelah masuk asuransi,

Pr  K  x   k | K  x   1  

Pr  K  x   k  Pr  K  x   1

Pr  K  x   k 

1  Pr  K  x   0 

0.2 0.8  0.25 ,k  1, 2,3, 4 

Kerugian bagi perusahaan asuransi akan dilihat dari table dibawah ini, Nilai saat ini dari kewajiban yang akan datang K Perusahaan Pemegang Polis P  0.30272 Asuransi 1 v  0.9433962262 Pa1  0.30272

Kerugian

0.64068

0.25

2

v2  0.88999644

Pa2  0.588304906

0.30169

0.25

3

v3  0.839619283

Pa3  0.857724628

-0.01811

0.25

4

v4  0.7920936632

Pa4  1.111894177

-0.31980

0.25

4

0.25 v k =0.86628 k 1

4

0.25P  ak =0.71517 k 1

v k  Pak

Probabilitas bersyarat

0.25  v k  Pak  =0.15111 4

k 1

Maka, cadangan manfaat pada waktu 1 tahun setelah pemegang polis masuk asuransi yaitu :


59

E  1 L | K  x   1  E v   4

K  x  1 1

 Pa K



  x 11



| K  x   1 

  v k 11  Pa k 11 Pr  K  k | K  1 k 1 4

   v k  Pak  0.25 k 1

4

4

k 1

k 1

 0.25 v k  0.25  0.30272 ak  0.86628  0.71517  0.15111

karena 0.15111 bernilai positif yang berarti terjadi kerugian pada waktu 1 maka perusahaan asuransi harus menutupi kerugian tersebut dengan cadangan.

□

Berdasarkan jenisnya, cadangan manfaat dibedakan menjadi cadangan manfaat kontinu, cadangan manfaat diskrit dan cadangan manfaat campuran.

3.2.1 Cadangan Manfaat Kontinu

Cadangan manfaat kontinu pada waktu t merupakan ekspektasi kerugian kontinu pada waktu tersebut bagi perusahaan asuransi dimana pada waktu itu pemegang polis masih bertahan hidup yang dinyatakan dengan tV . Dimana tV merupakan cadangan manfaat kontinu dengan uang pertanggungan sebesar 1 yang dibayar pada saat kematian dan premi manfaat kontinu secara umum dari berbagai kontrak asuransi. Akan


60

ditentukan beberapa macam cadangan manfaat kontinu sesuai dengan kontrak asuransinya. Untuk lebih jelasnya, dapat dilihat pada tabel 9. Pada asuransi seumur hidup dengan P  Ax  , perusahaan asuransi perlu menyiapkan cadangan manfaat kontinu pada waktu tertentu yang dinyatakan sebagai tV  Ax 

V  Ax   E  t L | T  x   t 

t

 E vT  x t  P  Ax  aT  x t | T  x   t     E vT  x t | T  x   t   P  Ax  E  aT  x t | T  x   t     E vT  x t    P  Ax  E  aT  x t      Ax t  P  Ax  ax t

(3.2.3)

Pada asuransi seumur hidup dengan h P  Ax  , perusahaan asuransi juga perlu menyiapkan cadangan manfaat kontinu pada waktu tertentu yang dinyatakan sebagai th V  Ax  h t

V  Ax   Ax t  h P  Ax  ax t:ht

(3.2.4)

Pada asuransi berjangka n tahun dengan P  A1x:n  , perusahaan asuransi perlu menyiapkan cadangan manfaat kontinu pada waktu tertentu yang dinyatakan sebagai tV  A1x:n  V  A1x:n   Ax1t:nt  P ( Ax1:n ) ax t:n t

t


(3.2.5)

61

Pada asuransi pure endowment n tahun P  Ax:n 1  , perusahaan asuransi perlu menyiapkan cadangan manfaat kontinu pada waktu tertentu yang dinyatakan sebagai tV  Ax:n 1  V  Ax:n 1   Ax t:nt 1  P  Ax:n 1  ax t:h t

t

(3.2.6)

Pada asuransi dwiguna n tahun dengan P  Ax:n  , perusahaan asuransi perlu menyiapkan cadangan manfaat kontinu pada waktu tertentu yang dinyatakan sebagai tV  Ax:n  V  Ax:n   Ax t:nt  P  Ax:n  ax t:n t

t

(3.2.7)

Pada asuransi dwiguna n tahun dengan h P  Ax:n  , perusahaan asuransi perlu menyiapkan cadangan manfaat kontinu pada waktu tertentu yang dinyatakan sebagai th V  Ax:n  h t

V  Ax:n   Ax t:nt  h P  Ax:n  ax t:h t

(3.2.8)

Pada asuransi anuitas seumur hidup yang ditunda n tahun dengan

P  n| ax  , perusahaan asuransi perlu menyiapkan cadangan manfaat kontinu pada waktu tertentu yang dinyatakan sebagai tV  n| ax  yaitu : V  n| ax  

t

n t |

ax t  P  n| ax  ax t:nt


(3.2.9)

62

Akan dicari variansi dari variable random L kerugian kontinu pada waktu t dari asuransi seumur hidup sebagai berikut :

Var  t L | T  x   t   Var vT  x t  P  Ax  aT  x t | T  x   t    T x  t   1  v     Var vT  x t  P  Ax    |T  x  t      

 T x t P  Ax  P  Ax  vT  x t   Var v     | T  x  t         P  Ax   P  Ax   Var vT  x t 1  | T  x  t          P  Ax   T x t  1   Var v   T  x   t     2

 P  Ax   T x t  1   Var v       2

 P  Ax    1     

2

 2 A   A 2  x t  x t 

(3.2.10)

Contoh 3.2.2 : Berdasarkan hukum De Moivre dengan lx  100  x dan i  0.06 . Akan dihitung premi manfaat kontinu P  A35  , cadangannya tV  A35  dan variansinya Var  t L | T  x   t  untuk t  0,10, 20,...,60 dari asuransi seumur hidup kepada

pemegang polis yang masuk asuransi pada usia 35 tahun. Dari persamaan (3.1.4), akan dicari dahulu A35 yaitu :


63



Ax   v t fT  t  dt 0



 d    v t   t px  dt  dt  0   d lx t   vt    dt lx 0

  dt 





1 t d  v  lx t  dt  lx 0  dt 



1 100  x

 

1 100  x 1 100  x

100  x

 0

d  v t  100  x  t   dt  dt 

100  x



v t dt

0

100  x



t

eln v dt

0



1 v t |1000 x 100  x  ln v



1 v100 x  1  100  x  ln v

A35 

1 65ln 1.06 

1

1.06

65



1

 0.2580469373

Maka didapat premi manfaat kontinu P  A35  yaitu :

P  A35   

 A35 1  A35 ln(1  i ) A35 1  A35

ln(1.06)  0.25805 1  0.25805  0.02027 

Jadi premi manfaat kontinu yang dibayar oleh pemegang polis sebesar $ 0.02026558557 . Untuk mendapatkan cadangan manfaat kontinu pada


64

waktu t , tV  A35  dimana t  0,10, 20,...,60 , dari persamaan (3.2.1) akan dicari dahulu A35 , A45 , A55 , A65 , A75 , A85 dan A95 sebagai berikut :

Ax 

1 v100 x  1  100  x  ln v



1 e  (100 x )  1   100  x  ln e



1 e  (100 x )  1   100  x  

1  e65ln(1.06)  1  0.2580469373 65ln(1.06) 1 A45  e 55ln(1.06)  1  0.2993745593  55ln(1.06) 1 A55  e 45ln(1.06)  1  0.3536667631  45ln(1.06) 1 A65   e35ln(1.06)  1  0.4265420002 35ln(1.06) 1 A75  e25ln(1.06)  1  0.5265253077  25ln(1.06) 1 A85   e15ln(1.06)  1  0.6667191338 15ln(1.06) 1 A95  e5ln(1.06)  1  0.8675015039  5ln(1.06) A35 

Maka didapat cadangan manfaat kontinu tV  A35  untuk t  0,10, 20,...,60 yaitu:

1  A35  V  A35   A35  P  A35        1  0.25805   0.25805  0.02027    ln(1.06) 

0

 0.0000


65

1  A45  V  A35   A45  P  A35        1  0.29937   0.29937  0.02027    ln(1.06) 

10

 0.05570 1  A55  V  A35   A55  P  A35        1  0.35367   0.35367  0.02027    ln(1.06) 

20

 0.12888 1  A65  V  A35   A65  P  A35        1  0.42654   0.42654  0.02027    ln(1.06) 

30

 0.22710 1  A75  V  A35   A75  P  A35        1  0.52653   0.52653  0.02027    ln(1.06) 

40

 0.36185 1  A85  V  A35   A85  P  A35        1  0.66672   0.66672  0.02027    ln(1.06) 

50

 0.55081

1  A95  V  A35   A95  P  A35        1  0.86750   0.86750  0.02027    ln(1.06) 

60

 0.82142


66

Dan untuk mendapatkan variansi dari kerugian kontinu Var  t L | T  x   t  untuk t  0,10, 20,...,60 , dari persamaan (3.2.8) akan dicari dahulu 2

A35 , 2 A45 , 2 A55 , 2 A65 , 2 A75 , 2 A85 dan 2 A95 sebagai berikut :

2

Ax 

1  e(100 x )2  1  100  x  2

1 e 130ln(1.06)  1  0.1319461904  130 ln(1.06) 1 2 A45   e110ln(1.06)  1  0.1557597067 110 ln(1.06) 1 2 A55  e 90ln(1.06)  1  0.1896803399  90 ln(1.06) 1 2 A65  e 70ln(1.06)  1  0.2410186701  70 ln(1.06) 1 2 A75   e50ln(1.06)  1  0.3246024917 50 ln(1.06) 1 2 A85  e 30ln(1.06)  1  0.4724588668  30 ln(1.06) 1 2 A95  e 10ln(1.06)  1  0.7578745463  10 ln(1.06) 2

A35 

Maka didapat variansi dari kerugian kontinu Var  t L | T  x   t  untuk t  0,10, 20,...,60 yaitu :

 P  A35   2 2 var  0 L | T  35   0   1    A35   A35        2

2

 0.02027   2  1  0.13195   0.25805       ln(1.06)   0.11873


67

 P  A35   2 2 Var  10 L | T  35   10   1    A45   A45        2

2

 0.02027   2  1  0.15576   0.29938       ln(1.06)   0.12014  P  A35   2 2 Var  20 L | T  35   20   1    A55   A55        2

2

 0.02027   2  1  0.18968   0.35367       ln(1.06)   0.11735  P  A35   2 2 Var  30 L | T  35   30   1    A65   A65        2

2

 0.02027   2  1  0.24102   0.42654      ln(1.06)    0.10732  P  A35   2 2 Var  40 L | T  35   40   1    A75   A75        2

2

 0.02027   2  1  0.32460   0.52651      ln(1.06)   0.08606  P  A35   2 2 Var  50 L | T  35   50   1    A85   A85        2

2

 0.02027   2  1  0.47246   0.66672      ln(1.06)    0.05076  P  A35   2 2 Var  60 L | T  35   60   1    A95   A95        2

2

 0.02023   2  1  0.75787   0.86750       ln(1.06)   0.00966


□

68

3.2.2 Formula Lain untuk Cadangan Manfaat Kontinu

Sejauh ini telah didefinisikan cadangan manfaat untuk satu metode yaitu metode prospektif, yang melihat cadangan manfaat sebagai selisih antara ekspektasi nilai saat ini dari uang pertanggungan yang dibayar oleh perusahaan asuransi dengan ekspektasi nilai saat ini dari akumulasi premi manfaat yang dibayar oleh pemegang polis. Dari metode prospektif ini, dapat dibangun tiga formula umum untuk polis asuransi dengan uang pertanggungan dan premi manfaat yang tetap. Untuk asuransi dwiguna n tahun 

Formula akumulasi dari beda premi manfaat kontinu V  Ax:n   Ax t:n t  P  Ax:n  ax t:n t

t

A    x t:n t  P  Ax:n   ax t:n t  ax t:n t 

  P  Ax t:nt   P  Ax:n  ax t:n t 

(3.2.11)

Formula asuransi berjangka n  t kontinu V  Ax:n   Ax t:n t  P  Ax:n  ax t:n t

t

  a  1  P  Ax:n  x t:n t  Ax t:n t Ax t:n t    P  Ax:n    Ax t:n t  1   P  Ax t:n t  


(3.2.12)

69



Formula retrospektif untuk t  n  s ,

V  Ax:n   Ax  s:n  s  P  Ax:n  ax  s:n  s

s

 Ax1 s:t  Ax  s:1t Ax  s t:n  s t  P  Ax:n   ax  s:t  Ax  s:1t ax  s t:n  s t 

V  Ax:n   Ax1 s:t  Ax  s:1t Ax  s t:n  s t  P  Ax:n  ax  s:t  P  Ax:n  Ax  s:1t ax  s t:n  s t

t

 Ax1 s:t  P  Ax:n  ax  s:t  Ax  s:1t Ax  s t:n  s t  P  Ax:n  Ax  s:1t ax  s t:n  s t  Ax1 s:t  P  Ax:n  ax  s:t  Ax  s:1t  Ax  s t:n  s t  P  Ax:n  ax  s t:n  s t   Ax1 s:t  P  Ax:n  ax  s:t  Ax  s:1t

 Ax1 s:t  Ax  s:1t



V  Ax:n

s t



V  Ax:n   P  Ax:n  ax  s:t

s t

(3.2.13)

Formula anuitas hidup temporary kontinu V  Ax:n   Ax t:n t  P  Ax:n  ax t:n t

t

 1   ax t:n t 

Ax:n ax:n

ax t:n t

 1   ax:n   1   ax t:n t    ax t:n t  a x:n   a  1   ax t:n t  x t:n t   ax t:n t ax:n

 1 

ax t:n t

(3.2.14)

ax:n

Formula premi manfaat kontinu

V  Ax:n   Ax t:n t  P  Ax:n  ax t:n t

t

A    x t:n t  P  Ax:n   ax t:n t  ax t    P  Ax t:n t   P  Ax:n   



P  Ax t:n t   P  Ax:n 

Ax t:n t

1   ax t:n t

ax t:n t

P  Ax t:n t   


(3.2.15)

70



Formula asuransi berjangka kontinu

V  Ax:n   1 

t

 1  1



ax t:n t ax:n

 ax t:n t  ax:n 1  Ax t:n t 1  Ax:n

Ax t:n t  Ax:n

(3.2.16)

1  Ax:n

Untuk asuransi seumur hidup 

Formula anuitas hidup kontinu

V  Ax   Ax t  P  Ax  ax t

t

 1   ax t 

Ax ax t ax

 1   ax   1   ax t    ax t  ax  a  1   ax  t  x  t   ax  t ax a  1  x t ax 

(3.2.17)

Formula premi manfaat kontinu

V  Ax   Ax t  P  Ax  ax t

t

A    x t  P  Ax   ax t  ax t    P  Ax t   P  Ax  



P  Ax t   P  Ax 

1 Ax t   ax t ax t

P  Ax t   


(3.2.18)

71



Formula asuransi seumur hidup kontinu

V  Ax   1 

t

ax t ax

 1

 ax t  ax

 1

1  Ax t 1  Ax



Ax t  Ax 1  Ax

(3.2.19)

3.2.3 Cadangan Manfaat Diskrit

Cadangan manfaat diskrit pada waktu k merupakan ekspektasi kerugian diskrit pada waktu tersebut bagi perusahaan asuransi dimana pada waktu itu pemegang polis masih bertahan hidup yang dinyatakan dengan kV .

V merupakan cadangan manfaat diskrit dengan uang pertanggungan

k

sebesar 1 yang dibayar pada akhir tahun kematian dan premi manfaat diskrit secara umum dari berbagai kontrak asuransi. Akan ditentukan beberapa macam cadangan manfaat diskrit sesuai dengan kontrak asuransinya. Untuk lebih jelasnya, dapat dilihat pada tabel 10. Pada asuransi seumur hidup dengan P  Ax  , perusahaan asuransi perlu menyiapkan cadangan manfaat diskrit pada waktu tertentu yang dinyatakan sebagai kV  Ax 


72

V  Ax   E  k L | K ( x )  k , k  1,...

k

 E v ( K  x  k ) 1  P  Ax  a( K  x  k ) 1 | K ( x)  k , k  1,...    E v ( K  x  k ) 1 | K ( x)  k , k  1,...  P  Ax  E  a( K  x  k ) 1 | K ( x)  k , k  1,...   K x  k 1  E v     P  Ax  E  aK  x  k 1     Ax k  P  Ax  ax k (3.2.20)

Pada asuransi seumur hidup dengan h P  Ax  , perusahaan asuransi juga perlu menyiapkan cadangan manfaat diskrit pada waktu tertentu yang dinyatakan sebagai hk V  Ax  h k

V  Ax   Ax k  h P  Ax  ax k:hk

(3.2.21)

Pada asuransi berjangka n tahun dengan P  A1x:n  , perusahaan asuransi perlu menyiapkan cadangan manfaat diskrit pada waktu tertentu yang dinyatakan sebagai kV  A1x:n  V  A1x:n   A1x k:nk  P  Ax1:n  ax k:n k

k

(3.2.22)

Pada asuransi pure endowment n tahun dengan P  Ax:1n  , perusahaan asuransi perlu menyiapkan cadangan manfaat diskrit pada waktu tertentu yang dinyatakan sebagai kV  Ax:1n  V  Ax:1n   Ax k:1nk  P  Ax:1n  ax k:n k

k

(3.2.23)

Pada asuransi dwiguna n tahun dengan P  Ax:n  , perusahaan asuransi perlu menyiapkan cadangan manfaat diskrit pada waktu tertentu yang dinyatakan sebagai kV  Ax:n  V  Ax:n   Ax k:nk  P  Ax:n  ax k :n k

k


(3.2.24)

73

Pada asuransi dwiguna n tahun dengan h P  Ax:n  , perusahaan asuransi juga perlu menyiapkan cadangan manfaat diskrit pada waktu tertentu yang dinyatakan sebagai hk V  Ax:n  h k

V  Ax:n   Ax k:nk  h P  Ax:n  ax k:h k

(3.2.25)

Pada anuitas seumur hidup yang ditunda n tahun dengan P( n| ax ) , perusahaan asuransi perlu menyiapkan cadangan manfaa diskrit pada waktu tertentu yang dinyatakan sebagai kV ( n| ax ) V ( n| ax ) 

k

nk |

ax k  P  n| ax  ax k:nk

(3.2.26)

Akan dicari variansi dari variable random kerugian pada waktu t dari asuransi seumur hidup diskrit dengan uang pertanggungan sebesar 1

Var  k L | K  x   k , k  1,...  Var v ( K  x  k ) 1  P  Ax  a( K  x  k ) 1 | K  x   k , k  1,...     1  v ( K  x  k ) 1   Var v ( K  x  k ) 1  P  Ax    | K  x   k , k  1,... d      ( K  x  k ) 1 P  Ax  P  Ax  v ( K  x  k ) 1   Var v   | K  x   k , k  1,... d d      P  Ax   P  Ax   Var v ( K  x  k ) 1 1  | K  x   k , k  1,...  d  d     P  Ax   ( K  x   k ) 1  1  K  x   k , k  1,...  Var v d   2

 P  Ax   K  x  k  1   1   Var v  d   2

 P  Ax   2 2  1    Ax  k   Ax  k   d   2


(3.2.27)

74

3.2.4 Formula Lain untuk Cadangan Manfaat Diskrit

Dari metode prospektif dapat dibangun tiga formula umum cadangan manfaat diskrit untuk polis asuransi dengan uang pertanggungan tetap dan manfaat premi yang tetap. Untuk asuransi dwiguna n tahun 

Formula akumulasi dari beda premi manfaat diskrit V

k x:n

 Ax  k :n k  P  Ax:n  ax  k :n k A    x  k :n k  P  Ax:n   ax  k :n k  ax  k :n k    P  Ax  k:nk   P  Ax:n   ax k:nk



(3.2.28)

Formula asuransi berjangka diskrit V

k x:n

 Ax  k :n k  P  Ax:n

a

x  k :n  k

  a  1  P  Ax:n  x  k :n k  Ax  k :n k Ax  k :n k    P  Ax:n    Ax  k :n k  1   P  Ax  k :n k  



(3.2.29)

Formula retrospektif untuk h  n  j ,

V

j x:n

 Ax  j:n  j  Px:n ax  j:n  j  A1x  j:h  Ax  j:1h Ax  j  h:n  j  h  P  Ax:n  A1x  j:h  Ax  j:1h Ax  j  h:n  j  h  P  Ax:n

 a a

x  j:h

x  j:h

 Ax  j:1h ax  j  h:n  j h  

 P  Ax:n  Ax  j:1h ax  j  h:n  j  h

 A1x  j:h  P  Ax:n  ax  j:h  Ax  j:1h  Ax  j  h:n  j  h  P  Ax:n  ax  j  h:n  j  h    1 1  Ax  j:h  P  Ax:n  ax  j:h  Ax  j:h j hVx:n (3.2.30)


75



Formula anuitas hidup temporary diskrit

V

k x:n

 Ax  k :n k  P  Ax:n  ax  k :n k  1  d ax  k :n k 

Ax:n ax:n

ax  k :n k

 1  d ax:n  1  d ax  k:n k    a x:n  a  1  x  k:n k ax:n



  ax  k :n k 

(3.2.31)

Formula premi manfaat berjangka diskrit

V

k x:n

 Ax  k :n k  P  Ax:n

a

x  k :n  k

A    x  k :n  k  P  Ax:n   ax  k :n k  ax  k    P  Ax  k :n k   P  Ax:n  

Ax  k :n k

1  d ax  k :n k

ax  k :n k

 

Px  k:n k  Px:n Px  k:n k  d

(3.2.32)

Formula asuransi berjangka diskrit

V

k x:n

 1

ax  k :n  k

 1

d ax  k :n  k

 1

1  Ax  k:n k



ax:n d ax:n

1  Ax:n

Ax  k :n k  Ax:n 1  Ax:n


(3.2.33)

76

Untuk asuransi seumur hidup 

Formula anuitas seumur hidup diskrit

V  Ax  k  Px ax  k

k x

 1  d ax  k 

Ax ax  k ax

 1  d ax   1  d ax  k    ax  k  ax  a  1  xk ax 

(3.2.34)

Formula asuransi seumur hidup diskrit

V  1

k x

d ax  k d ax

1  Ax  k 1  Ax A  Ax  xk 1  Ax  1



(3.2.36)

Formula Premi manfaat seumur hidup diskrit

V  Ax k  Px ax k

k x

A    x  k  Px  ax  k  ax  k    Px  k  Px 



1 Ax t  d ax  k ax  k

Px  k  Px Px  k  d


(3.2.35)

77

Contoh 3.2.3: Dengan tingkat bunga efektif tahunan 0.06, akan ditentukan cadangan manfaat dari asuransi berjangka 5 tahun dengan uang pertanggungan sebesar $1,000 yang dibayar pada akhir tahun polis untuk masing-masing pemegang polis yang berusia 50 tahun pada waktu masuk asuransi. Misalnya  adalah premi manfaat diskrit dari asuransi berjangka 5 tahun 1 dengan uang pertanggungan sebesar $1,000 yaitu :   1, 000 P50:5 . Dari tabel

12 dengan tingkat bunga efektif tahunan 0.06 dapat dicari

l50  89,509.00, l51  88,979.11, l52  88, 407.68, l53  87,791.26, l54  87,126.20, l55  86, 408.60 dan A51  0.2596073, A52  0.2704988, A53  0.2817206, A54  0.2932700, A55  0.3051431. Berdasarkan persamaan (3.1.17) akan 1 dicari dahulu A50:5 sebagai berikut 1 A50:5  A50  A50:15 A55

 A50  v5

5

p50 A55

 0.2490475  1.06 

5

86, 408.60 0.3051431 89,509.00

 0.02892497232 Maka premi manfaat diskrit dapat dihitung


78

1   1, 000 P  A50:5 

 1, 000  1, 000

1 dA50:5

1  A50:5 1 A50:5

1 1   A50:5  A50:15 

0, 06 0.02892497232 1, 06  1, 000 1  0, 7502997229  6.556911363 Dari persamaan (3.2.22), maka dicari dahulu A51:14 , A52:13 , A53:12 , A54:11 dan A55:10 1 1 1 1 1 , A52:3 , A53:2 , A54:1 dan A55:0 untuk menperoleh A51:4 yaitu :

A51:14  v 4

4

p51  (1.06) 4

l55 86408.60  (1.06) 4  0.7692109362 l51 88979.11

A52:13  v3

3

p52  (1.06) 3

l55 86408.60  (1.06) 3  0.8206337592 l52 88407.68

A53:12  v 2

2

p53  (1.06) 2

l55 86408.60  (1.06) 2  0.8759795267 l53 87791.26

A54:11  v1 1 p54  (1.06) 1 A55:10  v 0

0

p55  1

l55 86408.60  (1.06) 1  0.9356261052 l54 87126.20

l55 1 l55

Maka didapat : 1 A51:4  A51  A51:14 A55  0.2596073  0.7692109362  0.3051431  0.02488789037 1 A52:3  A52  A52:13 A55  0.2704988  0.8206337592  0.3051431  0.02008807075 1 A53:2  A53  A53:12 A55  0.2817206  0.8759795267  0.3051431  0.01442149169 1 A54:1  A54  A54:11 A55  0.2932700  0.9356261052  0.3051431  0.007770149818 1 A55:0  A55  A55:10 A55  0.3051431  1 0.3051431  0


79

1 1 1 1 1 Setelah diperoleh A51:4 maka dapat dihitung , A52:3 , A53:2 , A54:1 dan A55:0

cadangan manfaat untuk k  1, 2, 3, 4 dan 5 dari asuransi berjangka 5 tahun dengan uang pertanggungan sebesar $1,000 yaitu 1 1 1 k  1, 1, 000 1V50:  1, 000( A51:4  P  A50:5  a51:4 ) 5

 1  1  A  1  1, 000  A51:4  P  A50:5   d 51:4        1   0.02489  0.76921   1, 000 0.02489  0.00656  0.06   1.06    1.03656 1 1 1 k  2, 1, 000 2V50:  1, 000( A52:3  P  A50:5  a52:3 ) 5

 1  1  A  1  1, 000  A52:3  P  A50:5   d 52:3        1   0.02009  0.82063   1, 000 0.02009  0.00656  0.06   1.06    1.63749 1 1 1 k  3, 1, 000 3V50:  1, 000( A53:2  P  A50:5  a53:2 ) 5

 1  1  A  1  1, 000  A53:2  P  A50:5   d 53:2        1   0.01442  0.87597    1, 000 0.01442  0.00656  0.06   1.06    1.72568


80

1 1 1 k  4, 1, 000 4V50:  1, 000( A54:1  P  A50:5  a54:1 ) 5

 1  1  A  1  1, 000  A54:1  P  A50:5   d 54:1        1   0.00777  0.93563   1, 000 0.00777  0.00656  0.06   1.06    1.21324 1 1 1 k  5, 1, 000 5V50:  1, 000( A55:0  P  A50:5  a55:0 ) 5

 1  1 A 1  1, 000  A55:0  P  A50:5   d 55:0      1   0  1   1, 000  0  0.00656 0.06    1.06   0

  

□

Contoh 3.2.4: Dengan tingkat bunga efektif tahunan 0.06, akan ditentukan cadangan manfaat dari asuransi dwiguna 5 tahun dengan uang pertanggungan sebesar $1,000 yang dibayar pada akhir tahun polis untuk masing-masing pemegang polis yang berusia 50 tahun pada waktu masuk asuransi. Dari contoh (3.2.5) telah didapat A50:5  0.750299729 dan dari persamaan (3.2.33), maka dapat dihitung cadangan manfaatnya untuk k  1, 2, 3, 4 dan 5 k  1, 1, 000 1V50:5  1, 000

A51:4  A50:5 1  A50:5

0.7940988266  0.750299729 1  0.750299729  175.4066883  1, 000


81

k  2 , 1, 000 2V50:5  1, 000

A52:3  A50:5 1  A50:5

0.84072183  0.750299729 1  0.750299729  362.1225585  1, 000

k  3, 1, 000 3V50:5  1, 000

A53:2  A50:5 1  A50:5

0.8904010184  0.750299729 1  0.750299729  561.0780118  1, 000

k  4, 1, 000 4V50:5  1, 000

A54:1  A50:5 1  A50:5

0.943396255  0.750299729 1  0.750299729  839.543042  1, 000

k  5, 1, 000 5V50:5  1, 000

 1, 000

A55:0  A50:5 1  A50:5 1  0.750299729 1  0.750299729

 1, 000

3.2.5 Cadangan Manfaat Campuran

Seperti premi tahunan campuran, cadangan manfaat campuran yang dimaksud adalah uang pertanggungannya dibayar pada saat kematian namun premi manfaatnya dibayar secara berkala yaitu tiap awal tahun polis. Akan ditentukan beberapa macam cadangan manfaat campuran sesuai dengan kontrak asuransinya. Untuk lebih jelasnya,dapat dilihat pada tabel11.


82

Pada asuransi seumur hidup dengan P  Ax  , perusahaan asuransi perlu menyiapkan cadangan manfaat campuran pada waktu tertentu yang dinyatakan sebagai

V  Ax 

k

V  Ax   E  k L | K  x   k , k  1,...

k

 E v K  x k 1  P  Ax  aK  x k 1 | K  x   k , k  1,.    E v K  x k | K  x   k , k  1,...  P  Ax  E  aK  x k 1 | K  x   k , k  1,...   K  xk     P  Ax  E  a  E v   K  xk   (3.2.37)  Ax  k  P  Ax  ax k Pada asuransi seumur hidup dengan h P  Ax  , perusahaan asuransi juga perlu menyiapkan cadangan manfaat campuran pada waktu tertentu yang dinyatakan sebagai hk V  Ax  h k

V  Ax   Ax k  h P  Ax  ax k:hk

(3.2.38)

Pada asuransi berjangka n tahun dengan P( Ax1:n ) , perusahaan asuransi perlu menyiapkan cadangan manfaat campuran pada waktu tertentu yang dinyatakan sebagai kV  A1x:n  yaitu : V  A1x:n   Ax1 k:nk  P( Ax1:n ) ax k:n k

k

(3.2.39)

Pada asuransi pure endowment n tahun dengan P  Ax:n 1  , perusahaanasuransi perlu menyiapkan cadangan manfaat campuran pada waktu tertentu yang dinyatakan sebagai kV  Ax:n 1  V  Ax:n 1   Ax k:nk 1  P  Ax:n 1  ax k:n k

k


(3.2.40)

83

Pada asuransi dwiguna n tahun dengan P  Ax:n  , perusahaan asuransi perlu menyiapkan cadangan manfaat campuran pada waktu tertentu yang dinyatakan sebagai kV  Ax:n  V  Ax:n   Ax k:nk  P  Ax:n  ax k:nk

k

(3.2.41)

Pada asuransi dwiguna n tahun dengan h P  Ax:n  , perusahaan asuransi perlu menyiapkan cadangan manfaat campuran pada waktu tertentu yang dinyatakan sebagai hk V  Ax:n  h k

V  Ax:n   Ax k:nk  h P  Ax:n  ax k :n k

(3.2.42)

Pada asuransi anuitas seumur hidup yang ditunda n tahun dengan P  n| ax  , perusahaan asuransi perlu menyiapkan cadangan manfaat

campuran pada waktu tertentu yang dinyatakan sebagai kV  n| ax  V  n| ax  

k

nk |

ax k  P  n| ax  ax k:nk


(3.2.43)

84

BAB IV PENENTUAN PREMI MANFAAT DAN CADANGAN MANFAAT DENGAN MEMPERHITUNGKAN BIAYA PENGELUARAN

Pada bab ini akan ditentukan premi manfaat dan cadangan manfaat dengan memperhitungkan biaya pengeluaran yang diperlukan oleh perusahaan asuransi. Premi manfaat dengan memperhitungkan biaya pengeluaran ini akan ditentukan dengan prinsip ekivalen yang memperhitungkan biaya pengeluaran.

4.1 BIAYA PENGELUARAN

Pada kenyataannya perusahaan asuransi tidak dapat beroprasi jika pemasukannya hanya bersumber dari premi manfaat. Perusahaan asuransi harus mengumpulkan premi yang mampu memenuhi semua biaya, misalnya pajak, surat ijin, komisi penjualan polis, biaya penerbitan polis, biaya pemeliharaan polis dan biaya-biaya umum lainnya. Biaya pengeluaran yang dibutuhkan oleh perusahaan asuransi, biasanya ditulis dalam persentase. Tabel 1 di bawah ini merupakan suatu contoh dari biaya pengeluaran pada perusahaan asuransi.


85

Jenis-jenis dari biaya

Tahun pertama

Tahun Berikutnya

pengeluaran

Premi

Konstanta

Premi

Konstanta

Komisi penjualan

10%

-

2%

-

Pajak dan surat ijin

2%

-

2%

-

Biaya penerbitan polis

2%

4

-

-

Pemeliharaan polis

2%

1

2%

1

Biaya-biaya umum

4%

3

-

1

total

20%

8

6%

2

Tabel 1: Jenis-jenis biaya pengeluaran

4.2 PRINSIP EKIVALEN DENGAN MEMPERHITUNGKAN BIAYA PENGELUARAN

Prinsip ekivalen dengan biaya pengeluaran merupakan ekspektasi dari kerugian yang memperhitungkan biaya pengeluaran yang bernilai nol pada waktu pemegang polis masuk asuransi. Bagi perusahaan asuransi, kerugian dengan memperhitungkan biaya pengeluaran akan terjadi jika uang pertanggungan dan biaya pengeluaran yang harus dibayar oleh perusahaan asuransi lebih besar dari akumulasi premi manfaat yang memperhitungkan biaya pengeluaran yang dibayar oleh pemegang polis. Kerugian ini dinotasikan dengan k Le dan dinyatakan sebagai k

Le  b k ( x)k 1v k ( x)k 1  (nilai saat ini pada waktu k dari biaya pengeluaran)  GY

dimana G adalah premi manfaat yang memperhitungkan biaya pengeluaran


86

dan Y adalah nilai saat ini dari anuitas diskrit sebesar 1. Jadi, prinsip ekivalen yang memperhitungkan biaya pengeluaran dapat dinyatakan sebagai E  0 Le   0 yaitu

E bk ( x)1vk ( x)1  (nilai saat ini pada waktu nol dari biaya pengeluaran)  GY   0

4.3 PREMI MANFAAT DENGAN MEMPERHITUNGKAN BIAYA PENGELUARAN

Premi manfaat dengan memperhitungkan biaya pengeluaran adalah premi sebenarnya yang ditentukan oleh perusahaan asuransi kepada pemegang polis agar perusahaan asuransi dapat beroprasi. Premi ini dapat diperoleh dengan menggunakan prinsip ekivalen yang memperhitungkan biaya pengeluaran. Premi manfaat yang dibahas pada bab 3.1 merupakan premi manfaat yang tidak memperhitungkan biaya pengeluaran, yang dapat disebut sebagai premi manfaat bersih. Selisih antara premi manfaat yang memperhitungkan biaya pengeluaran dengan premi manfaat bersih disebut sebagai premi biaya. Premi biaya ini dinotasikan dengan e yaitu e  G 

dimana  merupakan premi manfaat bersih dengan uang pertanggungan yang tidak sama dengan satu.


87

4.4 CADANGAN MANFAAT DENGAN MAMPERHITUNGKAN BIAYA PENGELUARAN

Cadangan manfaat yang memperhitungkan biaya pengeluaran pada waktu tertentu merupakan ekspektasi kerugian yang memperhitungkan biaya pengeluaran pada waktu tersebut dimana pada waktu itu pemegang polis masih hidup. Cadangan manfaat ini dapat dinyatakan sebagai V  E  t Le | T  x   t 

t e

untuk yang kontinu, dimana

V

t e

: cadangan manfaat yang memperhitungkan biaya pengeluaran yang kontinu pada waktu t

Le

t

: kerugian yang memperhitungkan biaya pengeluaran yang kontinu pada waktu t

T  x  : variabel random sisa usia yang kontinu kepada pemegang polis yang masuk asuransi pada usia x . Dan V  E  k Le | K  x   k , k  1,...

k e

untuk yang diskrit, dimana

V

k e

: cadangan manfaat yang memperhitungkan biaya pengeluaran yang diskrit pada waktu k .

k

Le

: kerugian yang memperhitungkan biaya pengeluaran yang kontinu


88

pada waktu k

K  x  : variabel random sisa usia yang diskrit kepada pemegang polis yang masuk asuransi pada usia x . Cadangan manfaat yang dibahas pada bab 3.2 adalah cadangan manfaat yang tidak memperhitungkan biaya pengeluaran, yang dapat disebut sebagai cadangan manfaat bersih. Penjumlahan antara cadangan manfaat bersih dan cadangan biaya menghasilkan cadangan manfaat dengan memperhitungkan biaya pengeluaran. Cadangan biaya pada waktu tertentu merupakan ekspektasi kerugian biaya pada waktu tersebut dimana pada waktu itu pemegang polis masih hidup. Kerugian biaya ini adalah selisih dari nilai saat ini dari biaya pengeluaran dengan akumulasi premi biaya.

4.5 PENERAPAN PREMI MANFAAT DAN CADANGAN MANFAAT YANG MEMPERHITUNGKAN BIAYA PENGELUARAN

Akan dihitung premi manfaat tetap yang memperhitungkan biaya pengeluaran yang dibayar secara berkala selama 3 kali pada tiap awal tahun. Dari asuransi dwiguna 3 tahun dengan uang pertanggungan sebesar $1,000 yang dibayar pada akhir tahun kematian kepada pemegang polis yang masuk asuransi pada usia x tahun. Dengan tingkat bunga efektif tahunan i  0,15


89

dan tingkat kematian qx  Pr T  x   1  0.1 , qx 1  Pr T  x  1  1  0.1111 dan qx  2  Pr T  x  2   1  0.5 serta biaya pengeluaran pada tabel 1. Berdasarkan prinsip ekivalen yang memperhitungkan biaya pengeluaran, akan dicari dahulu 0 Le dari Tabel 2 di bawah ini. Kerugian dengan memperhitungkan biaya pengeluaran pada waktu masuk asuransi  0 Le  Sisa usia

bK  x 1 v K  x 1

Nilai saat ini dari biaya pengeluaran

G aK  x 1

Pr  K  x   k 

K  x  0

1.000v

Ga1

0.1

K  x  1

1.000v 2

Ga2

0.1

K  x  2

1.000v3

 0.20G  8  0.20G  8   0.06G  2 a1  0.20G  8   0.06G  2 a2

Ga3

0.8

Tabel 2 : Kerugian yang memperhitungkan biaya pengeluaran dari asuransi dwiguna 3 tahun dimana probabilitas pada waktu k yaitu :





K  x   0, Pr K  x   0 K  x   0  0 px qx  qx  0.1





K  x   1, Pr K  x   1 K  x   1  px qx 1  1  qx  qx 1  1  0.1 0.1111  0.1

 







K  x   2, Pr  K  x   2   1  Pr K  x   0 K  x   0  Pr K  x   1 K  x   1  1   0.1  0.1  0.8


90

Maka,

E  0 Le | K ( x)  0,1,...  0  1, 000v   0.20G  8   Ga1  0.1  1, 000v 2   0.20G  8    0.06G  2  a1  Ga2  0.1  1, 000v 3   0.20G  8    0.06G  2  a2  Ga3  0.8  0  1, 000v  0.1  1, 000v 2  0.1  1, 000v 3  0.8   0.20G  8   0.1   0.20G  8   0.1   0.20G  8  0.8   0.06G  2  a1  0.1   0.06G  2  a2  0.8  Ga1  0.1  Ga2  0.1  Ga3  0.8  0 1 2 3  1, 000 1.15  0.1  1.15  0.1  1.15  0.8  

  0.20G  8  0.1  0.1  0.8    0.06G  2   a1  0.1  a2  0.8   G 1  0.1  G 1  v   0.1  G 1  v  v 2   0.8  0

 688.58387   0.20G  8    0.06G  2 1.3875236   G  2.3875236   0  0.20G  1.3875236  0.06G  2.3875236G  688.58387  8  2 1.3875236  0  2.104272212G  699.3589173  0 699.3589173 G 2.104272212  G  332.3519235 Jadi, premi manfaat tetap yang memperhitungkan biaya pengeluaran yang dibayar pemegang polis kepada perusahaan asuransi sebesar 332.3519235. Misalkan  adalah premi manfaat bersih dengan uang pertanggungan 1,000 yaitu   1, 000 P  Ax:3  , maka dari persamaan (3.1.20)

P  Ax:n  

dAx:n 1  Ax:n

 dapat ditulis sebagai   1, 000

dAx:3 1  Ax:3


91

Akan dicari Ax:3 yang merupakan penjumlahan dari A1x:3 dan Ax:13 yaitu :

Ax:3  Ax1:3  Ax:13 2

  v k 1 k 0

k

px qx  k  v 3

3

px

 v 0 px qx  v 2 1 px qx 1  v 3

2

px qx  2   v 3 px 2 px 1

 v qx  v 2 px qx 1  v 3 px px 1 qx  2  v 3 px px 1 px  2  v qx  v 2 1  qx  qx 1  v 3 1  qx 1  qx 1  qx  2  v3 1  qx 1  qx 1 1  qx  2   1.15   0.1  1.15 

1  0.1  0.1111  1.15  1  0.11  0.1111  0.5 3 1.15  1  0.11  0.11111  0.5  1



2

3

 0.4255731076  0.2630097806  0.6885828882 Maka didapat premi manfaat tetap yang tidak memperhitungkan biaya pengeluaran yaitu

  1, 000

dAx:3 1  Ax:3

0.15 0.6885828882  1, 000 1  0.15 1  0.6885828882  288.4079131 Jadi, premi biayanya adalah 332.35  288.41  43.94 . Akan dihitung cadangan manfaat yang memperhitungkan biaya pengeluaran dari informasi sebelumnya. Dalam perhitungannya diperlukan nilai saat ini dari biaya pengeluaran tiap tahunnya bagi perusahaan asuransi dimana pemegang polis masih hidup pada waktu tersebut. Dari tabel 2, nilai saat ini pada waktu penandatanganan kontrak asuransi (pada waktu nol) dari biaya pengeluaran pada tahun berikutnya yaitu :


92

K  x   0, K  x   1, K  x   2,

 0, 20G  8  0.2  332.35  8  74.47  0.20G  8   0.06G  2  a1  74.47  (0.06  332.35  2)a1  93.55  0.20G  8   0.06G  2  a2  74.47  (0.06  332.35  2)a2  110.14

nilai saat ini pada waktu 1 tahun setelah masuk asuransi dari biaya pengeluaran pada tahun berikutnya yaitu :

K  x   1, K  x   2,

 0.06G  2  a1  0.06G  2  a2

 21.94  41.02

dan nilai saat ini pada waktu 2 tahun setelah masuk asuransi dari biaya pengeluaran pada tahun berikutnya yaitu :

K  x   2,

 0.06G  2 a1  21.94

Sebelumnya akan dicari dahulu kerugian pada waktu k , k Le pada tabel 3 dimana  =288.41 dan e =43.94. k Le

 0 Le  K  x  0 K  x  1 K  x  2  1 Le  K  x  1 K  x  2  2 Le  K  x  2

Kerugian bersih k ( x )  k  1  a k ( x )k 1 v

b k ( x )k 1

Kerugian biaya Biaya e a k ( x )k 1 pengeluaran

Prob Pr  K  x   k 

869.57

288.41

74.47

43.94

0.1

756.14

539.20

93.55

82.15

0.1

657.52

757.28

110.14

115.37

0.8

869.57

288.41

21.94

43.39

0.1111

756.14

539.20

41.02

82.15

0.8889

869.57

288.41

21.94

43.39

1

Tabel 3 : Kerugian bersih dan kerugian biaya dari asuransi dwiguna 3 tahun


93

Cadangan manfaat dengan memperhitungkan biaya pengeluaran pada waktu k dinotasikan sebagai kVe yang merupakan penjumlah dari cadangan manfaat tanpa biaya dan cadangan biaya yaitu : 0Ve

 E  0 Le | K ( x)  0,1,...  { 869.57  288.41 0.1   756.14  539.20   0.1   657.52  757.28  0.8}  { 74.47  43.94  0.1   93.55  82.15  0.1  110.14  115.37  0.8}  0.00  0.00  0.00

1Ve

 E  1 Le | K ( x)  1, 2,...   869.57  288.41 0.1111   756.14  539.20  0.8889    21.94  43.94  0.1111   41.02  82.15  0.8889 

 257.41  39.00  218.41 2Ve  E  2 Le | K ( x )  2,3,...   869.57  288.41   21.94  43.94   581.16  22.00  559.16 Artinya, cadangan manfaat yang memperhitungkan biaya pengeluaran bagi perusahaan asuransi semakin meningkat tiap tahunnya. Hal ini terjadi, dikarenakan semakin meningkatnya tingkat kematian pemegang polis tiap tahunnya.

Pada kenyataannya perusahaan asuransi menawarkan sistem asuransi dengan jangka yang tidak pendek. Hal ini dikarenakan pemegang polis menginginkan uang pertanggungan dalam jumlah yang besar namun


94

premi yang dibayarkan tiap periodenya kecil. Berikut ini akan ditunjukkan premi manfaat dan cadangan manfaat yang memperhitungkan biaya pengeluaran untuk sistem asuransi jiwa seumur hidup dan asuransi dwiguna 30 tahun.

4.5.1 Asuransi Dwiguna 30 tahun

Asuransi dwiguna 30 tahun dengan uang pertanggungan sesesar $100,000 dibayar pada akhir tahun kematian kepada pemegang polis yang masuk asuransi pada usia 20 tahun. Dimana perusahaan asuransi menetapkan tingkat bunga efektif tahunan 0.06 dan biaya pengeluaran pada tabel 1. Berdasarkan prinsip ekivalen yang memperhitungkan biaya pengeluaran, akan dicari dahulu 0 Le dari Tabel 4 di bawah ini. Kerugian dengan memperhitungkan biaya pengeluaran pada waktu masuk asuransi  0 Le 

Pr  K  x   k 

Sisa usia

bK  x 1 v K  x 1

Nilai saat ini dari biaya pengeluaran

G aK  x 1

K  x  0

100,000 v

Ga1

0

px  1 px

K  x  1

100,000 v 2

Ga2

1

px  2 px

K  x  2

100,000 v 3

 0.20G  8  0.20G  8   0.06G  2 a1  0.20G  8   0.06G  2 a2

Ga3

2

px  3 px

K  x   29

100,000 v 30

 0.20G  8   0.06G  2 a29

Ga30

29

px  30 px

Tabel 4 : Kerugian yang memperhitungkan biaya pengeluaran dari asuransi dwiguna 30 tahun


95

Maka, E  0 Le | K ( x)  0,1,...  0  100, 000v   0.20G  8   Ga1 

 0 px  1 px   100, 000v 2   0.20G  8    0.06G  2  a1  Ga2   1 px  2 px   100, 000v3   0.20G  8    0.06G  2  a2  Ga3   2 px  3 px 

 100,000v30   0.20G  8   0.06G  2  a29  Ga30   29 px  30 px   0 ……(4.1)

dengan

k

px 

lx  k dapat dihitung dari tabel 7. lx

Premi manfaat yang memperhitungkan biaya pengeluaran pada persamaan (4.1) akan sulit diselesaikan bila dilakukan secara manual. Oleh karena itu, penyelesaian akan dilakukan dengan bantuan program Matlab 7 yang terdapat pada Lampiran 4. Dengan menggunakan i  0.06 , diperoleh G = $ 1,396.3. Artinya, pemegang polis harus membayar premi tiap awal tahun selama 29 tahun sebesar $ 1,396.3 Premi manfaat bersih dengan uang pertanggungan sebesar 100,000 yaitu   100, 000 P  A20:30  . Dari persamaan (3.1.20), P  Ax:n  

dAx:n 1  Ax:n

didapat  = $ 1,296.5. Sehingga, premi biaya yang diperoleh dari e  G   sebesar $ 99.8. Selain itu, untuk menentukan cadangan manfaat yang memperhitungkan biaya pengeluaran akan dicari dahulu kerugian pada waktu k , k Le pada tabel 5 dimana  = $ 1,296.5 dan e =$ 99.8.


96

k Le

Kerugian bersih k ( x )  k  1  a k ( x )k 1 v

b k ( x )k 1

Kerugian biaya Biaya e a k ( x )k 1 pengeluaran

 0 Le  K  x  0 K  x  1 K  x  2

94,339.62

1,296.5

35.926

99.8

88,999.64

2,519.61

116.848642

193.9509

83,961.93

3,673.49

193.190756

282.7726

K  x   29

17,411.01

18,916.9

1201.72

1456.15

 1 Le  K  x  1 K  x  2

94,339.62

1,296.5

88,999.64

2,519.61

K  x   29

94,339.62

1,296.5

85.74 166.70 1,235.74

Prob Pr  K  x   k 

99.8 193.9509 2,171.1

0.001001 0.001029 0.00106 0.939573 0.001002 0.00103 0.943918

 29 Le  K  x   29

85.74 1 94,339.62 1,296.5 99.8 Tabel 5 :Kerugian bersih dan kerugian biaya dari asuransi dwiguna 30 tahun. maka penyelesaian secara manual akan cukup menyita waktu. Oleh karena itu akan digunakan program Matlab 7 untuk membantu menyelesaikannya yang ditampilkan pada Lampiran 4. Berdasarkan hasil yang diperoleh pada Lampiran 4, diketahui bahwa


97

V  0.00

0 e

V  2,130.9

10 e

V  1,473.5

11 e

2 e

V  1,549.7

12 e

V  1,626.2

13 e

4 e

V  1,702.4

14 e

V  1,778.2

15 e

V  1.8529

16 e

7 e

V  1,926.2

17 e

V  1,997.4

18 e

V  2,065.9

19 e

1 e

3 e

5 e

6 e

8 e

9 e

V  2,983.4

20 e

V  2,191.6

21 e

V  3, 675.8

V  2,246.9

22 e

V  2,295.8

23 e

V  2,337.0

24 e

V  5, 257.1

V  10,532.4 V  18, 206.4

V  2 ,369.2

25 e

V  2,390.6

26 e

V  2,399.5

27 e

V  2,467.3

28 e

V  2, 753.2

V  34,756.5 V  52,943.2 V  69,246.7

V  87,523.4 V  91,254.3

29 e

Artinya, erusahaan asuransi perlu menyiapkan dana cadangan pada waktu: 

pemegang polis masuk asuransi sebesar $ 0.0000



1 tahun setelah pemegang polis masuk asuransi sebesar $ 1,473.5



2 tahun setelah pemegang polis masuk asuransi sebesar $ 1,549.7



30 tahun setelah pemegang polis masuk asuransi sebesar $ 100,000

4.5.2 Asuransi Seumur Hidup

Asuransi seumur hidup dengan uang pertanggungan sesesar $100,000 dibayar pada akhir tahun kematian kepada pemegang polis yang masuk asuransi pada usia 20 tahun. Dimana perusahaan asuransi menetapkan tingkat bunga efektif tahunan 0.06 dan biaya pengeluaran pada tabel 1.


98

Dengan bantuan program Matlab 7 yang terdapat pada Lampiran 5, diperoleh G = $ 407.4301. Artinya, pemegang polis harus membayar premi tiap awal tahun seumur hidupnya sebesar $ 407.4301. Premi manfaat bersih dengan uang pertanggungan sebesar 100,000 yaitu   100,000 P  A20  . Dari persamaan (3.1.20), P  Ax  

dAx 1  Ax

didapat  = $ 377.1782. Sehingga, premi biaya yang didapat sebesar $ 30.2519. Program Matlab 7 juga membantu menentukan cadangan manfaat yang memperhitungkan biaya pengeluaran yang ditampilkan pada Lampiran 7, hasil yang diperoleh sebagai berikut : 0 e

V  0.00

16 e

V  237

17 e

2 e

V  553

18 e

V  885

19 e

4 e

V  1,233

20 e

V  1,599

21 e

1 e

3 e

5 e

V  7,008

31 e

V  7,646

32 e

V  8,312

33 e

V  9,008

34 e

V  9,732

35 e

V  10,488

36 e

V  1,984

22 e

7 e

V  2,387

23 e

V  2,811

24 e

V  3,255

25 e

6 e

8 e

9 e

48 e

V  23,338

49 e

V  24,570

50 e

V  25,837

51 e

V  27,139

52 e

V  28,473

53 e

V  29,840

54 e

V  31,238

55 e

V  32,667

56 e

V  34,124

57 e

V  35,609

58 e

V  37,119

59 e

V  38,653

60 e

V  12,943

39 e

V  13,826

40 e

V  14,744

41 e

V  15,695

42 e

V  16,681

43 e

V  17,702

44 e

V  18,759

45 e

V  4,718

28 e

V  5,253

29 e

V  5,812

30 e

14 e

V  22,140

38 e

27 e

13 e

47 e

V  12,092

V  4,207

12 e

V  20,977

37 e

26 e

11 e

46 e

V  11,274

V  3,720

10 e

V  19,850

V  40,209

61 e

V  41,784

62 e

V  43,377

63 e

V  44,983

64 e

V  46,602

65 e

V  48,230

66 e

V  49,864

67 e

V  51,501

68 e

V  53,138

69 e

V  54,772

70 e

V  56,399

71 e

V  58,017

72 e

V  59,622

73 e

V  61,210

74 e

V  62,779

75 e

V  6,396

15 e


V  64,325

76 e

V  19,850

V  65,846

77 e

V  67,339

78 e

V  68,799

79 e

V  70,227

80 e

V  71,617

81 e

V  72,969

82 e

V  74,281

83 e

V  75,550

84 e

V  76,775

85 e

V  77,955

86 e

V  79,089

87 e

V  80,176

88 e

V  81,214

89 e

V  82,205

90 e

V  19,850

V  19,850 V  19,850

V  83,147 V  84,041

V  84,885 V  85,680 V  86,424

V  87,114

V  87,742 V  88,289

V  88,708 V  88,888 V  88,926

99

Artinya, erusahaan asuransi perlu menyiapkan dana cadangan pada waktu : 

pemegang polis masuk asuransi sebesar $ 0.0000



1 tahun setelah pemegang polis masuk asuransi sebesar $ 237



2 tahun setelah pemegang polis masuk asuransi sebesar $ 553



90 tahun setelah pemegang polis masuk asuransi sebesar $ 88,926


100

BAB V KESIMPULAN

Premi yang memperhitungkan biaya pengeluaran diperoleh berdasarkan prinsip ekivalen. Prinsip ekivalen ini merupakan ekspektasi kerugian pada waktu masuk asuransi bernilai nol. Kerugian pada waktu nol untuk asuransi seumur hidup dapat dinyatakan sebagai

Le  bK ( x)1v K ( x)1  (nilai saat ini dari biaya pengeluaran)  G aK ( x )1

0

, K  x  0

dan kerugian pada waktu nol untuk asuransi dwiguna n tahun dengan   v K  x 1 , 0  K  x   n  1   aK x 1 , 0  K  x   n  1 dan Z   n dapat Y    an , K  x  n v , K  x  n    

dinyatakan sebagai 0

Le  bK ( x)1 Z  (nilai saat ini dari biaya pengeluaran)  GY

dimana 0

Le

: kerugian yang memperhitungkan biaya pengeluaran pada waktu masuk asuransi

K  x  : variabel random sisa usia yang diskrit dari pemegang polis yang masuk asuransi pada waktu x

bK  x 1 : besar uang pertanggungan yang dibayar pada akhir tahun kematian v

K  x  1

: nilai saat ini dari uang pertanggungan sebesar 1 pada waktu K  x   1 100


101

G

: premi yang memperhitungkan biaya pengeluaran yang dibayar secara berkala sejak awal tahun polis

Y

: nilai saat ini dari anuitas diskrit sebesar 1. Selisih antara premi manfaat yang memperhitungkan biaya

pengeluaran dan premi manfaat bersih disebut premi biaya. Premi biaya ini akan digunakan untuk memperoleh cadangan manfaat yang memperhitungkan biaya pengeluaran. Cadangan manfaat yang memperhitungkan biaya pengeluaran pada waktu tertentu merupakan ekspektasi kerugian pada waktu tersebut dimana pada waktu itu pemegang polis masih hidup. Cadangan manfaat ini dapat dinyatakan sebagai V  E  k Le | K  x   k , k  1,...

k e

dengan k

Le  b k ( x)k 1v k ( x)k 1  (nilai saat ini dari biaya pengeluaran)  GY

dimana

V

k e

: cadangan manfaat yang memperhitungkan biaya pengeluaran yang diskrit pada waktu k

k

Le

: kerugian yang memperhitungkan biaya pengeluaran yang kontinu pada waktu k .


102

Cadangan manfaat yang memperhitungkan biaya pengeluaran adalah jumlah antara cadangan manfaat bersih dan cadangan biaya. Cadangan biaya pada waktu tertentu merupakan ekspektasi kerugian biaya pada waktu tersebut dimana pada waktu itu pemegang polis masih hidup. Kerugian biaya ini adalah selisih dari nilai saat ini dari biaya pengeluaran dengan akumulasi premi biaya.


103

DAFTAR PUSTAKA

Bowers, Greber, Hickman, Jones dan Nesbitt.1997. Actuarial Mathematics 2nd ed. United States of America : The Society Of Actuaries. Stephen G. Kellison. 1991. The Theory of Interest. United States of America.

Kenneth Black, JR dan Harold Skipped, JR. 1994. Life Insurance 12th ed. United States of America. Robert Cissell. 1985. Mathematics of Finance 6th ed. Formerly of Xavier University. Hans U. Gerber. 1997. Life Insurance Mathematics 3th ed. Swiss Association of Actuaries Zurich. Gatot Herliyanto. 1994. Matematika Asuransi Jiwa, Bagian I & II. The Research Institute of Life Insurance Walfare, Japan. Hogg. R. V. dan Craig, A. T. 1995. Introduction to Mathematical Statistics 5th ed. Prentice Hall Inc. New Jersey.


104

Tabel 6 Tabel premi manfaat kontinu dengan uang pertanggungan sebesar bT  x 

Komponen Kerugian Rencana

Asuransi

bT  x  vT  x 

Y

T  x

aT  x  , T  x   0

T  x

aT  x  , T  x   n

Asuransi seumur hidup

1 v

Asuransi berjangka n tahun

1 v 0

Asuransi pure endowment

n tahun

an

Asuransi seumur hidup dengan masa pembayaran

an

, T  x  n

1 v

aT  x  , T  x   n

1 vn

an

T  x

T  x

1 v

T  x

1 v

aT  x 

Manfaat Kontinu

P

, T  x  n

PA

P  Ax:n

, T  x  h

aT  x 

, T  x  h

 

1

Ax ax

A1x:n

 a

x:n

Ax:n 1

 a

P  Ax:n  

h

T  x

E Y 

1 x:n

, T  x  h

ah

E bT  x v

P  Ax  

, T  x  n

aT  x  , T  x   n

0 1 vn

Asuransi dwiguna n tahun

Anuitas

Formula Premi

P  Ax  

x:n

Ax:n ax:n Ax ax:h

premi h tahun Asuransi dwiguna

n tahun dengan masa pembayaran premi h tahun

T  x

1 v

T  x

1 v

ah , h  T  x   n

1 vn

ah , T  n

annuitas seumur hidup yang

0

ditunda n tahun

aT  x  , T  x   n

aT  x n v n

an

, T  x  n


h

P  Ax:n  

P  n| ax  

Ax:n ax:h

Ax:n 1 ax  n ax:n

105

Tabel 7 Tabel premi manfaat diskrit dengan uang pertanggungan sebesar bK  x 1

Komponen Kerugian Asuransi

Rencana

Anuitas

bK  x 1 vK  x 1


1 v


1 v


n tahun

dengan masa pembayaran

aK  x 1 , K  x   0

K  x  1

aK  x 1 , K  x   n

, K  x  n

0 0

aK  x 1 , K  x   n

1 v

1 v Asuransi seumur hidup

K  x  1

an

1 v


Y

1 v

1 v

n

K  x  1

n

K  x  1

an

, K  x  n

aK  x 1 , K  x   n

an

, K  x  n

Formula Premi Manfaat Diskrit P

P A

1 x:n

P A

1 x:n

h

ah

K  x  1

aK  x 1 , K  x   h

K  x  1

ah

Ax ax

A1x:n

 a

x:n

Ax:1n

 a

P  Ax:n  

, K  x  h

K  x  1

E Y 

P  Ax  

aK  x 1 , K  x   h

K  x  1

E bK  x 1v

P  Ax  

x:n

Ax:n ax:n Ax ax:h



1 v 1 v

, h  K  x  n

, K  x  n

1 vn

ah

annuitas seumur hidup yang

0

aK  x 1 , K  x   n

ditunda n tahun

aK  x n 1 v n

an

, K  x  n


h

P  Ax:n  

P  n| ax  

Ax:n ax:h

Ax:1n ax  n ax:n

 

106

Tabel 8 Tabel premi manfaat campuran dengan uang pertanggungan sebesar bT  x 

Komponen Kerugian Rencana

Asuransi

Anuitas

bT  x  vT  x 

T  x

aK  x 1 , K  x   0

T  x

aK  x 1 , K  x   n


1 v


1 v

an

0 Asuransi dwiguna n tahun

Y

T  x

1 v

1 vn


1 v


1 v

T  x

T  x

, K  x  n

aK  x 1 , K  x   n

an

, K  x  n

Formula Premi Manfaat Campuran P

E bT  x v

E Y 

P  Ax  

A1x:n

P  Ax:n  

Ax:n


T  x

T  x

1 v

1 v

ax:n

ax:n

aK  x 1 , K  x   h

ah

, K  x  h h

1 v

Ax ax

P  A1x:n  

P  Ax  


T  x

Ax ax:h

aK  x 1 , K  x   h ah

ah

, h  K  x  n

, K  x  n

n


h

P  Ax:n  

Ax:n ax:h

 

107

Tabel 9 Tabel cadangan manfaat kontinu

Rencana Asuransi seumur hidup Asuransi berjangka n tahun


Notasi t

V  Ax 

Ax t  P  Ax  ax t

, t 0

V  A1x:n 

Ax1t:nt  P  Ax1:n  ax t:n t

,t  n

0

,t  n

t

V  Ax:n 1 

t

n tahun Asuransi dwiguna n tahun


Formula Cadangan Manfaat Kontinu

V  Ax:n 

t

h t

V  Ax 

dengan pembayaran premi

Ax t:nt 1  P  Ax:n 1  ax t:ht , t  n

1

, t n

Ax t:nt  P  Ax:n  ax t:n t

, tn

1

, t n

Ax t  h P  Ax  ax t:ht

, tn

Ax t

, t n

h tahun


h t

V  Ax:n 

dengan pembayaran premi

h tahun Asuransi anuitas seumur hidup yang ditunda n tahun

V  n| ax 

t

Ax t:nt  h P  Ax:n  ax t:h t , t  h  n

Ax t:nt

,h t  n

1

, t n

n t |

ax t  P  n| ax  ax t:nt

ax t


, tn , t n

108

Tabel 10 Tabel cadangan manfaat diskrit

Rencana Asuransi seumur hidup Asuransi berjangka n

Notasi

Formula Cadangan Manfaat Diskrit

V  Ax 

Axk  P  Ax  ax k

V  A1x:n 

A1x  k:n k  P  Ax1:n  ax  k :n k , k  0,1,..., n  1

k

k

, k n

0

tahun Asuransi pure

V  Ax:1n 

k

endowment n tahun Asuransi dwiguna n

V  Ax:n 

tahun Asuransi seumur hidup

h k

V  Ax 

dengan h pembayaran Asuransi dwiguna n

h k

V  Ax:n 

tahun dengan h pembayaran Asuransi anuitas seumur hidup yang

Ax  k:1n k  P  Ax:1n  ax  k :n k , k  0,1,..., n  1 , k n

1

k

V ( n| ax )

k

, k  0,1,...

Ax  k:n k  P  Ax:n  ax  k :n k , k  0,1,..., n  1 1

, k n

Ax  k  h P  Ax  ax  k:h k

, k  0,1,..., h  1

Ax  k

, k  h, h  1,...

Ax  k :n k  h P  Ax:n  ax  k :h k , k  h  n Ax  k :n k

, hk n

1

, k n

nk |

ax  k  P  n| ax  ax  k:n k

ax  k

ditunda n tahun


, k  0,1,..., n  1 , k  n, n  1,...

109

Tabel 11 Tabel cadangan manfaat campuran

Rencana

Notasi

Formula Cadangan Manfaat Campuran

k

V  Ax 

Ax k  P  Ax  ax k

, k  0,1,...

V  A1x:n 

Ax1 k:n k  P( Ax1:n ) ax  k :n k

, k  0,1,..., n  1

0

, k n

Asuransi seumur hidup Asuransi berjangka n tahun


k

V  Ax:n 1 

k

n tahun Asuransi dwiguna n tahun

V  Ax:n 

k


h k

V  Ax 


Ax  k:n k 1  P  Ax:n 1  ax  k :n k , k  0,1,..., n  1 1

, k n

Ax  k:n k  P  Ax:n  ax  k :n k

, k  0,1,..., n  1

1

, k n

Ax  k  h P  Ax  ax  k:h k

, k  0,1,..., n

Ax  k

, k  n  1,...

Ax  k :n k  h P  Ax:n  ax  k :n k

, k hn

Ax  k :n k

, hk n

1

, k n

premi h tahun Asuransi dwiguna n tahun

h k

V  Ax:n 

dengan masa pembayaran premi h tahun asuransi anuitas seumur hidup yang ditunda n tahun

V  n| ax 

k

nk |

ax  k  P  n| ax  ax  k:n k

ax  k


, k  0,1,..., n , k  n  1,...

110

Tabel 12 Life Table

 A

Usia

lx

dx

1,000 qx

1,000 Ax

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

100,000.00 97,957.83 97,826.26 97,706.55 97,596.74 97,495.03 97,399.78 97,309.50 97,222.86 97,138.66

2,042.1700 131.5672 119.7100 109.8124 101.7056 95.2526 90,2799 86.6444 84.1950 82.7816

20.4217 1.3431 1.2237 1.1239 1.0421 0.9770 0.9269 0.8904 0.8660 0.8522

49.0025 32.1781 32.8097 33.5957 34.5264 35.5930 36.7875 38.1031 39.5341 41.0757

25.9210 8.8845 8.6512 8.5072 8.4443 8.4547 8.5310 8.6666 8.8553 9.0917

16.80096 17.09819 17.08703 17.07314 17.05670 17.03786 17.01675 16.99351 16.96823 16.94100

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

97,055.88 96,973.63 96,891.16 96,807.88 96,723.36 96,637.30 96,549.54 96,459.92 96,368.27 96,274.36

82.2549 82.4664 83.2842 84.5180 86.0611 87.7559 89.6167 91.6592 93.9005 96.3596

0.8475 0.8504 0.8594 0.8730 0.8898 0.9081 0.9282 0.9502 0.9744 1.0009

42.7245 44.4782 46.3359 48.2981 50.3669 52.5459 54.8404 57.2558 59.7977 62.4720

9.3712 9.6902 10.0460 10.4373 10.8638 11.3268 11.8295 12.3749 12.9665 13.6080

16.91187 16.88089 16.84807 16.81340 16.77685 16.73836 16.69782 16.65515 16.61024 16.56299

20 21 22 23 24 25 26 27 28 29

96,178.01 96,078.95 95,976.93 95,871.68 95,762.86 95,650.15 95,533.17 95,411.51 95,284.73 95,152.33

99.0569 102.0149 105.2582 108.8135 112.7102 116.9802 121.6585 126.7830 132.3953 138.5406

1.0299 1.0618 1.0967 1.1350 1.1770 1.2330 1.2735 1.3288 1.3895 1.4560

65.2848 68.2423 71.3508 74.6170 78.0476 81.6496 85.4300 89.3962 93.5555 97.9154

14.3034 15.0569 15.8730 16.7566 17.7128 18.7472 19.8657 21.0744 22.3802 23.7900

16.51330 16.46105 16.40614 16.34843 16.28783 16.22419 16.15740 16.08733 16.01385 15.93683

30 31

95,013.79 94,868.53

145.2682 152.6317

1.5289 1.6089

102.4835 107.2676

25.3113 26.9520

15.85612 15.77161


1, 000

2

x

ax

111

32 33 34 35 36 37 38 39

94,715.89 94,555.20 94,385.70 94,206.55 94,016.86 93,815.64 93,601.83 93,374.25

160.6896 169.5052 179.1475 189.6914 201.2179 213.8149 227.5775 242.6085

1.6965 1.7927 1.8980 2.0136 2.1402 2.2791 2.4313 2.5982

112.2754 117.5148 122.9935 128.7194 134.7002 140.9437 147.4572 154.2484

28.7206 30.6259 32.6772 34.8843 37.2574 39.8074 42.5455 45.4833

15.68313 15.59057 15.49378 15.39262 15.28696 15.17666 15.06159 14.94161

40 41 42 43 44 45 46 47 48 49

93,131.64 92,872.62 92,595.70 92,299.23 91,981.47 91,640.50 91,274.25 90,880.48 90,456.78 90,000.55

259.0186 276.9271 296.4623 317.7619 340.9730 366.2529 393.7687 423.6978 456.2274 491.5543

2.7812 2.9818 3.2017 3.4427 3.7070 3.9966 4.3141 4.6621 5.0436 5.4617

161.3242 168.6916 176.3572 184.3271 192.6071 201.2024 210.1176 219.3569 228.9234 238.8198

48.6332 52.0077 55.6199 59.4833 63.6117 68.0193 72.7205 77.7299 83.06242 88.7329

14.81661 14.68645 14.55102 14.41022 14.26394 14.11209 13.95459 13.79136 13.62235 13.44752

50 51 52 53 54 55 56 57 58 59

89,509.00 88,979.11 88,407.68 87,791.26 87,126.20 86,408.60 85,634.33 84,799.07 83,898.25 82,927.11

529.8844 571.4316 616.4165 665.0646 717.6041 774.2626 835.2636 900.8215 971.1358 1,046.3843

5.9199 6.4221 6.9724 7.5755 8.2364 8.9605 9.7538 10.6230 11.5752 12.6181

249.0475 259.6073 270.4988 281.7206 293.2700 305.1431 317.3346 329.8381 342.6452 355.7466

94.7561 101.1469 107.9196 115.0885 122.6672 130.6687 139.1053 147.9883 157.3280 167.1332

13.26683 13.08027 12.88785 12.68960 12.48556 12.27581 12.06042 11.83953 11.61327 11.38181

60 61 62 63 64 65 66 67 68 69

81,880.73 80,754.01 79,541.78 78,238.78 76,839.78 75,339.63 73,733.37 72,016.33 70,184.31 68,233.66

1,126.7146 1,212.2343 1,302.9994 1,399.0010 1,500.1504 1,606.2618 1,717.0334 1,832.0273 1,950.6476 2,072.1177

13.7604 15.0114 16.3813 17.8812 19.5231 21.3203 23.2871 25.4391 27.7932 30.3680

369.1310 382.7858 396.6965 410.8471 425.2202 439.7965 454.5553 469.4742 484.5296 499.6963

177.4113 188.1682 199.4077 211.1318 223.3401 236.0299 249.1958 262.8299 276.9212 291.4559

11.14535 10.90412 10.65836 10.40837 10.15444 9.89693 9.63619 9.37262 9.10664 8.83870

70

66,161.54

2,195.4578

33.1833

514.9481

306.4172

8.56925


112

71 72 73 74 75 76 77 78 79

63,966.08 61,646.62 59,203.93 56,640.51 53,960.80 51,171.51 48,281.81 45,303.60 42,251.62

2,319.4639 2,442.6884 2,563.4258 2,679.7050 2,789.2905 2,889.6965 2,978.2164 3,051.9717 3,107.9833

36.2608 39.6240 43.2982 47.3108 51.6911 56.4708 61.6840 67.3671 73.5589

530.2574 545.5957 560.9339 576.2419 591.4895 606.6460 621.6808 636.5634 651.2639

321.7850 337.5361 353.6443 370.0803 386.8119 403.8038 421.0184 438.4155 455.9527

8.29879 8.02781 7.75683 7.48639 7.21702 6.94925 6.68364 6.42071 6.16101

80 81 82 83 84 85 86 87 88 89

39,143.64 36,000.37 32,845.41 29,704.95 26,607.34 23,582.45 20,660.90 17,872.99 15,247.58 12,810.83

3,143.2679 3,154.9603 3,140.4624 3,097.6146 3,024.8830 2,921.5530 2,787.9129 2,625.4088 2,436.7474 2,225.9244

80.3009 87.6369 95.6134 104.2794 113.6860 123.8867 134.9367 146.8926 159.8121 173.7533

665.7528 680.0019 693.9837 707.6723 721.0431 734.0736 746.7428 759.0320 770.9244 782.4056

473.5861 491.2698 508.9574 526.6012 544.1537 561.5675 578.7956 595.7923 612.5133 628.9163

5.90503 5.65330 5.40629 5.16446 4.92824 4.69803 4.47421 4.25710 4.04700 3.84417

90 91 92 93 94 95 96 97 98 99

10,584.91 8,586.75 6,827.07 5,309.58 4,030.72 2,979.81 2,139.77 1,488.32 999.65 646.17

1,998.1533 1,759.6818 1,517.4869 1,278.8606 1,050.9136 840.0452 651.4422 488.6776 353.4741 245.6772

188.7738 204.9298 222.2749 2240.8589 260.7257 281.9122 304.4456 328.3410 353.5993 380.2041

793.4636 804.0884 814.2726 824.0111 833.3007 842.1408 850.5325 858.4791 865.9853 873.0577

644.9611 660.6105 675.8298 690.5878 704.8565 718.6115 731.8321 744.5010 756.6047 768.1330

3.64881 3.46110 3.28118 3.10914 2.94502 2.78885 2.64059 2.50020 2.36759 2.24265

100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110

400.49 237.05 133.39 71.01 35.58 16.68 7.27 2.92 1.08 0.36 0.11

163.4494 103.6560 62.3746 35.4358 18.9023 9.4105 4.3438 1.8458 0.7163 0.2517 0.0793

408.1188 437.2837 467.6133 498.9935 531.2793 564.2937 597.8266 631.6360 665.4495 698.9685 731.8742

879.7043 885.9341 891.7573 897.1852 902.2295 906.9025 911.2170 915.1860 918.8224 922.1396 925.1507

779.0793 789.4400 799.2147 808.4054 817.0170 825.0563 832.5324 839.4558 845.8386 851.6944 857.0377

2.12522 2.01517 1.91229 1.81639 1.72728 1.64472 1.56850 1.49838 1.43414 1.37553 1.32234


113

Lampiran 1 Hubungan ekspektasi nilai saat ini dari uang pertanggungan antara asuransi jiwa kontinu dan asuransi jiwa diskrit sesuai dengan kontrak asuransinya

Tujuan: Untuk mengetahui hubungan antara asuransi jiwa kontinu dan asuransi jiwa diskrit sesuai dengan kontrak asuransinya diperoleh melalui definisi dari asuransi jiwa itu sendiri.

(a)

Asuransi Seumur Hidup Dengan asumsi T  K  S , dimana K dan S independent serta S

berdistribusi uniform (0,1) maka didapat :

E v S 1    v s 1 f S  s  ds 1

0

1 1 s v 1 ds v 0 1  v s |10 v ln v 1   v  1 v ln e  1 v  v iv  v i   


114

Dari persamaan diatas didapat hubungan premi tunggal kontinu dan premi tunggal diskrit dari asuransi seumur hidup adalah : Ax  E vT 

 E v K  S   E v K 1 v  S 1   E v K 1  E v  S 1  i  Ax



(b)

Asuransi Berjangka n Tahun Hubungan premi tunggal kontinu dan premi tunggal diskrit dari

asuransi berjangka n tahun adalah :

A1x:1   v t fT  t  dt 1

0

d   t px  dt dt 1 d   v t   1  tqx   dt 0 dt 1

  vt 0

1

  v t qx dt 0

1

 qx  v t dt 0

1 t 1 v 0 ln v 1  qx  v  1 ln e  1  v   qx  qx



 A1x:1  A1x:n 

i



vqx

i

A1x:1

 i



A1x:n


115

(c)

Asuransi Dwiguna n Tahun Hubungan premi tunggal kontinu dan premi tunggal diskrit dari

asuransi dwiguna n tahun adalah :

Ax:n  A1x:n  Ax:n 1  A1x:n  Ax:1n 

i



A1x:1  Ax:1n


116

Lampiran 2 Hubungan ekspektasi nilai saat ini dari uang pertanggungan antara asuransi jiwa dari semua sistem asuransi baik kontinu maupun diskrit

Tujuan : Untuk memudahkan dalam perhitungan premi manfaat dan cadangan manfaat untuk semua sistem asuransi agar bisa didapatkan suatu nilai pada life table dengan tingkat bunga efektif tahunan sebesar 0.06.

Dalam menghitung nilai asuransi jiwa dari suatu sistem asuransi, semua sistem asuransi dapat diubah menjadi asuransi seumur hidup baik yang kontinu maupun diskrit. Berikut adalah proses pembentukkan dari asuransi jiwa berjangka n tahun menjadi asuransi jiwa seumur hidup yang dapat diperoleh dari life table dengan manggunakan tingkat bunga efektif tahunan sebesar 0.06. Dari definisi asuransi jiwa berjangka n tahun yang kontinu maupun diskrit dan dengan menggunakan persamaan (2.3.13) maupun (2.3.9) dapat diperoleh asuransi jiwa berjangka n tahun untuk  x  yang merupakan selisih dari asuransi jiwa seumur hidup untuk  x  dengan perkalian antara asuransi jiwa pure endowmwnt n tahun untuk  x  dan asuransi jiwa seumur hidup untuk  x  n  . Dimana  x  adalah pemegang polis yang berusia x pada waktu masuk asuransi.


117

n

Ax1:n   v t fT  x   t  dt 0





  v fT  x   t  dt 

v

t

0



 Ax 

v

t

fT  x   t  dt

t

n

 X  x  t  t px dt

n



 Ax 

v

X  x  s  n

sn

sn

px ds

0



 Ax 

v

s

vn  X  x  s  n 

n

px

s

px  n ds

0



 Ax  v

n n

px

v

s

 X  x  n  s  s px  n ds

0

 Ax  Ax:1n Ax  n dan n 1

A1x:n   v k 1 Pr  K  x   k  k 0 n 1

  v k 1 k 0

k

px qx  k

k

px qx  k   v k 1



  v k 1 k 0



k n

k

px qx  k



 Ax   v n  s 1 s 0

 Ax  v n



n px

ns

v s 0

px qx  n  s

s 1 s

px  n qx  n  s

 Ax  Ax:1n Ax  n Berdasarkan persamaan yang dihasilkan, diketahui bahwa semua sistem asuransi dapat diubah menjadi asuransi seumur hidup baik yang kontinu maupun diskrit. Untuk asuransi jiwa dwiguna n tahun juga dapat diubah menjadi asuransi jiwa seumur hidup baik yang kontinu maupun diskrit.


118

Lampiran 3 Variansi untuk semua sistem asuransi jiwa

Tujuan : Untuk mengetahui variansi premi manfaat yang kontinu maupun diskrit dari semua sistem asuransi, perlu diketahui variansi dari semua sistem asuransi jiwa baik kontinu maupun diskrit.

Variansi dari asuransi seumur hidup yang kontinu dimana uang pertanggungan sebesar 1 dibayar pada saat kematian, dapat dinyatakan sebagai

Var vT  x    2 Ax   Ax 

2

, T  x  0

dimana

T  x  : variabel random sisa usia yang kontinu v

T  x

Ax

: nilai saat ini dari uang pertanggungan sebesar 1 pada waktu T  x  : ekspektasi dari v

T  x

Variansi dari asuransi berjangka n tahun yang kontinu dimana uang pertanggungan sebesar 1 dibayar pada saat kematian, dapat dinyatakan sebagai

Var  Z B   2 Ax1:n   Ax1:n 

2


119

dimana Ax1:n adalah ekspektasi dari Z B dimana Z B  vT  x  untuk T  x   n . Variansi dari asuransi pure endowmwnt n tahun yang kontinu dimana uang pertanggungan sebesar 1 dibayar pada saat kematian, dapat dinyatakan sebagai

Var  Z PE   2 Ax:n 1   Ax:n 1 

2

dimana Ax:n 1 adalah ekspektasi dari Z PE dimana Z PE  v n untuk T  x   n . Asuransi dwiguna n tahun yang kontinu dimana uang pertanggungan sebesar 1 dibayar pada saat kematian baik pemegang polis meninggal dalam jangka waktu n tahun maupun setelah jangka waktu

n tahun. Dengan Z D merupakan variable random sisa usia pemegang polis yang diukur sejak masuk asuransi, yang dapat dinyatan sebagai  vT  x  , T  x   n  ZD   n , T  x  n  v

Diperoleh variansi dari asuransi dwiguna n tahun sebagai berikut :

Var  Z D   Var  Z B  Z PE   Var  Z B   Var  Z PE   2 cov  Z B , Z PE  2 2  2 A1x:n   A1x:n    2 Ax:n 1   Ax:n 1    2  A1x:n Ax:n 1   





2 2   2 A1x:n  2 Ax:n 1    A1x:n    Ax:n 1   2 A1x:n Ax:n 1   

  2 A1x:n  2 Ax:n 1    A1x:n    Ax:n 1    2 Ax:n   Ax:n 

2

2

dimana Ax:n adalah ekspektasi dari Z D . Ax:n juga merupakan gabungan dari


120

Ax1:n dan Ax:n 1 . Variansi dari asuransi seumur hidup yang diskri dimana uang pertanggungan sebesar 1 dibayar pada akhir tahun kematian, dapat dinyatakan sebagai

Var v

K  x  1

  2 Ax   Ax 2 

, K  x  0

dimana

K  x  : variabel random sisa usia yang diskrit

v

K  x  1

Ax

: nilai saat ini dari uang pertanggungan sebesar 1 pada waktu K  x  : ekspektasi dari v

K  x  1

.

Variansi dari asuransi berjangka n tahun yang diskrit dimana uang pertanggungan sebesar 1 dibayar pada akhir tahun kematian, dapat dinyatakan sebagai

Var  Z B   2 A1x:n   Ax1:n 

2

K x 1 dimana A1x:n adalah ekspektasi dari Z B dimana Z B  v   untuk K  x   n .

Variansi dari asuransi pure endowmwnt n tahun yang diskrit dimana uang pertanggungan sebesar 1 dibayar pada akhir tahun kematian, dapat dinyatakan sebagai

Var  Z PE   2 Ax:1n   Ax:1n 

2

dimana Ax:1n adalah ekspektasi dari Z PE dimana Z PE  v n untuk K  x   n .


121

Asuransi dwiguna n tahun yang diskrit dimana uang pertanggungan sebesar 1 dibayar pada akhir tahun kematian baik pemegang polis meninggal dalam jangka waktu n tahun maupun setelah jangka waktu n tahun. Dengan

Z D merupakan variable random sisa usia pemegang polis yang diukur sejak masuk asuransi, yang dapat dinyatan sebagai K  x  1  , K  x  n v ZD   n , K  x  n  v

Diperoleh variansi dari asuransi dwiguna n tahun sebagai berikut :

Var  Z D   Var  Z B  Z PE   Var  Z B   Var  Z PE   2 cov  Z B , Z PE  

A 2

1 x:n

  2 A1x:n



2 2   A1x:n    2 Ax:1n   Ax:1n    2  A1x:n Ax:1n    2 2  2 Ax:1n    A1x:n    Ax:1n   2 A1x:n Ax:1n   

  2 A1x:n  2 Ax:1n    Ax1:n    Ax:1n    2 Ax:n   Ax:n 

2

2

dimana Ax:n adalah ekspektasi dari Z D . Ax:n juga merupakan gabungan dari

A1x:n dan Ax:1n .


122

Lampiran 4 Program perhitungan premi manfaat dan cadangan manfaat yang memperhitungkan biaya pengeluaran dari sistem asuransi dwiguna 30 tahun

Tujuan: Untuk mengetahui premi manfaat dan cadangan manfaat yang memperhitungkan biaya pengeluaran dari sistem asuransi dwiguna 30 tahun.

Premi manfaat yang memperhitungkan biaya pengeluaran dinyatakan dengan

E  0 Le   0 Dimana 0

Le  bK ( x)1v K ( x)1  (nilai saat ini dari biaya pengeluaran)  GY

dengan 0

Le

: kerugian yang memperhitungkan biaya pengeluaran pada waktu masuk asuransi

bK ( x )1 : besar uang pertanggungan yang dibayar pada akhir tahun kematian v K ( x )1 : nilai saat ini sebesar 1 pada waktu awal K ( x)  1 G

: premi manfaat yang memperhitungkan biaya pengeluaran

Y

: nilai saat ini dari anuitas diskrit sebesar 1.


123

Pencarian premi akan dibantu dengan program Matlab 7. Berikut ini adalah algoritma dari program Matlab 7. clear; data = xlsread('data.xls'); l = data(:,1); A = data(:,2); % Menghitung G syms G; n x i b d

= = = = =

30; 20; 0.06; 100000; i/(1+i);

v = ((ones(n,1) + i*ones(n,1)).^(-1*(1:n)')); a1 = [0; (ones(n-1,1) - v(1:n-1))/i]; a2 = (ones(n,1) - v)/d; Pr = (l(x:x+n-2)/l(x)) - (l(x+1:x+n-1)/l(x)); Pr = [Pr; 1-sum(Pr)]; E = sum((b * v + ((0.20*G*ones(n,1) + 8*ones(n,1)) +... ((0.06*G*ones(n,1) + 2*ones(n,1)) .* a1)) - G*a2).*Pr); G = double(solve(E)); % Menghitung kVe Ax1n = A(x) - (((1 + i)^(-n)) * (l(x+n)/l(x)) * A(x+n)); Axn1 = ((1 + i)^(-n)) * (l(x+n)/l(x)); Axn = Ax1n + Axn1; a2xn = (1-Axn)/d; P = d*Axn/(1-Axn); Pb= b*P; V = zeros(1,n); % Hitung 0Ve Pr = (l(x:x+n-2)/l(x)) - (l(x+1:x+n-1)/l(x)); Pr = [Pr; 1-sum(Pr)]; V(1) = sum(((b * v(1:n)) - (Pb * a2(1:n)) + ((0.20*nG*ones(n,1) + ... 8*ones(n,1)) + ((0.06*nG*ones(n,1) + 2*ones(n,1)) .* a1(1:n))) ... ((nG - Pb) * a2(1:n))) .* Pr); % Hitung kVe, k=1...(n-1) for k=1:n-1 Pr = (l(x+k:x+n-1)/l(x+k)) - (l(x+k+1:x+n)/l(x+k)); V(k+1) = sum(((b * v(1:n-k)) - (Pb * a2(1:n-k)) + ((0.06*nG*ones(n-k,1) +... 2*ones(n-k,1)) .* a2(1:n-k)) - ((nG - Pb) * a2(1:n-k))) .* Pr); end


124

Interpretasi : n adalah jangka waktu dari suatu sistem asuransi yang dipilih oleh



pemegang polis. 

x adalah umur pemegang polis ketika masuk asurasi.



i adalah tingkat bunga efektif tahunan yang ditetapkan oleh perusahaan asuransi.



b adalah besar uang pertanggungan yang dijanjikan



G adalah premi yang memperhitungkan biaya pengeluaran



Pb adalah premi manfaat bersih

Berikut adalah output yang dihasilkan >> G G = 1.3963e+003 >> Pb Pb = 1.2965e+003 >> Ax1n Ax1n = 0.0236 >> Axn1 Axn1 = 0.1628 >> Axn Axn = 0.1864


125

>> a2xn a2xn = 14.3742 >> V' ans = 1.0e+003 * 0.0000 1.4735 1.5497 1.6262 1.7024 1.7782 1.8529 1.9262 1.9974 2.0659

2.1309 2.1916 2.2469 2.2958 2.3370 2.3692 2.3906 2.3995 2.4673 2.7532

2.9834 3.6758 5.2571 10.5324 18.2064 34.7565 52.9432 69.2467 87.5234 91.2543

Berdasarkan output di atas, diperoleh G = 1,396.3,   1,296.5, 1 A20:30 =0.0236, A20:130 = 0.1628, A20:30 = 0.1864, a20:30 = 14.3742, dan

V untuk k  0,1, 2,3,..., 29 yaitu

k e

V  0.00

0 e

V  2,130.9

10 e

V  1,473.5

11 e

2 e

V  1,549.7

12 e

V  1,626.2

13 e

4 e

V  1,702.4

14 e

V  1,778.2

15 e

V  1.8529

16 e

7 e

V  1,926.2

17 e

V  1,997.4

18 e

V  2,065.9

19 e

1 e

3 e

5 e

6 e

8 e

9 e

V  2,983.4

20 e

V  2,191.6

21 e

V  3, 675.8

V  2,246.9

22 e

V  2,295.8

23 e

V  2,337.0

24 e

V  5, 257.1

V  10,532.4 V  18, 206.4

V  2 ,369.2

25 e

V  2,390.6

26 e

V  2,399.5

27 e

V  2,467.3

28 e

V  2, 753.2

V  34,756.5 V  52,943.2 V  69,246.7

V  87,523.4 V  91,254.3

29 e


126

Lampiran 5 Program perhitungan premi manfaat dan cadangan manfaat yang memperhitungkan biaya pengeluaran dari sistem asuransi seumur hidup

Tujuan: Untuk mengetahui premi manfaat yang memperhitungkan biaya pengeluaran dari sistem asuransi seumur hidup yang harus dibayar oleh pemegang polis kepada perusahaan asuransi selama hidupnya. Cadangan manfaat juga dapat diketahui guna mengurangi dampak kerugian bagi perusahaan asuransi.

Pencarian premi akan dibantu dengan program Matlab 7. Berikut ini adalah algoritma dari program Matlab 7. clear; data = xlsread('data.xls'); l = data(:,1); A = data(:,2); % Menghitung G syms G; n x i b d

= = = = =

90; 20; 0.06; 100000; i/(1+i);

v = ((ones(n,1) + i*ones(n,1)).^(-1*(1:n)')); a1 = [0; (ones(n-1,1) - v(1:n-1))/i]; a2 = (ones(n,1) - v)/d; Pr = (l(x:x+n-2)/l(x)) - (l(x+1:x+n-1)/l(x)); Pr = [Pr; 1-sum(Pr)]; E = sum((b * v + ((0.20*G*ones(n,1) + 8*ones(n,1)) +... ((0.06*G*ones(n,1) + 2*ones(n,1)) .* a1)) - G*a2).*Pr);


127

G = double(solve(E)); % Menghitung kVe Ax1n = A(x) - (((1 + i)^(-n)) * (l(x+n)/l(x)) * A(x+n)); Axn1 = ((1 + i)^(-n)) * (l(x+n)/l(x)); Axn = Ax1n + Axn1; a2xn = (1-Axn)/d; P = d*Axn/(1-Axn); Pb= b*P; V = zeros(1,n); % Hitung 0Ve Pr = (l(x:x+n-2)/l(x)) - (l(x+1:x+n-1)/l(x)); Pr = [Pr; 1-sum(Pr)]; V(1) = sum(((b * v(1:n)) - (Pb * a2(1:n)) + ((0.20*nG*ones(n,1) + ... 8*ones(n,1)) + ((0.06*nG*ones(n,1) + 2*ones(n,1)) .* a1(1:n))) ... ((nG - Pb) * a2(1:n))) .* Pr); % Hitung kVe, k=1...(n-1) for k=1:n-1 Pr = (l(x+k:x+n-1)/l(x+k)) - (l(x+k+1:x+n)/l(x+k)); V(k+1) = sum(((b * v(1:n-k)) - (Pb * a2(1:n-k)) + ((0.06*nG*ones(n-k,1) +... 2*ones(n-k,1)) .* a2(1:n-k)) - ((nG - Pb) * a2(1:n-k))) .* Pr); end

Output yang dihasilkan adalah >> G G = 407.4301 >> Pb Pb = 377.1782 >> Ax1n Ax1n = 0.0625 >> Axn1 Axn1 = 1.9736e-008


128

>> Axn Axn = 0.0625 >> a2xn a2xn = 16.5630 >> V' ans = 1.0e+004 * 0.0000 0.0237 0.0553 0.0885 0.1233 0.1599 0.1984 0.2387 0.2811 0.3255

1.7702 1.8759 1.9850 2.0977 2.2140 2.3338 2.4570 2.5837 2.7139 2.8473

0.3720 0.4207 0.4718 0.5253 0.5812 0.6396 0.7008 0.7646 0.8312

2.9840 3.1238 3.2667 3.4124 3.5609 3.7119 3.8653 4.0209 4.1784 4.3377

0.9008 0.9732 1.0488 1.1274 1.2092 1.2943 1.3826 1.4744 1.5695 1.6681

4.4983 4.6602 4.8230 4.9864 5.1501 5.3138 5.4772 5.6399 5.8017 5.9622


6.1210 6.2779 6.4325 6.5846 6.7339 6.8799 7.0227 7.1617 7.2969 7.4281 7.5550 7.6775 7.7955 7.9089 8.0176 8.1214 8.2205 8.3147 8.4041 8.4885 8.5680 8.6424 8.7114 8.7742 8.8289 8.8708 8.8888 8.8926

129

Berdasarkan output di atas, diketahui bahwa untuk pemegang polis yang memilih asuransi seumur hidup harus membayar premi tiap awal tahunnya sebesar 407.43. Perusahaan asuransi perlu menyediakan cadangan untuk menutupi kerugian pada waktu mendatang dimana diketahui   377.18, 1 A20:90 =0.0625, A20:190 = 0.00, A20:90 = 0.0625, a20:90 = 16.56, dan kVe untuk

k  0,1, 2,3,...,90 yaitu 0 e

V  0.00

16 e

V  237

17 e

2 e

V  553

18 e

V  885

19 e

4 e

V  1,233

20 e

V  1,599

21 e

1 e

3 e

5 e

V  7,008

31 e

V  7,646

32 e

V  8,312

33 e

V  9,008

34 e

V  9,732

35 e

V  10,488

36 e

V  1,984

22 e

7 e

V  2,387

23 e

V  2,811

24 e

V  3,255

25 e

6 e

8 e

9 e

48 e

V  23,338

49 e

V  24,570

50 e

V  25,837

51 e

V  27,139

52 e

V  28,473

53 e

V  29,840

54 e

V  31,238

55 e

V  32,667

56 e

V  34,124

57 e

V  35,609

58 e

V  37,119

59 e

V  38,653

60 e

V  12,943

39 e

V  13,826

40 e

V  14,744

41 e

V  15,695

42 e

V  16,681

43 e

V  17,702

44 e

V  18,759

45 e

V  4,718

28 e

V  5,253

29 e

V  5,812

30 e

14 e

V  22,140

38 e

27 e

13 e

47 e

V  12,092

V  4,207

12 e

V  20,977

37 e

26 e

11 e

46 e

V  11,274

V  3,720

10 e

V  19,850

V  40,209

61 e

V  41,784

62 e

V  43,377

63 e

V  44,983

64 e

V  46,602

65 e

V  48,230

66 e

V  49,864

67 e

V  51,501

68 e

V  53,138

69 e

V  54,772

70 e

V  56,399

71 e

V  58,017

72 e

V  59,622

73 e

V  61,210

74 e

V  62,779

75 e

V  6,396

15 e


V  64,325

76 e

V  19,850

V  65,846

77 e

V  67,339

78 e

V  68,799

79 e

V  70,227

80 e

V  71,617

81 e

V  72,969

82 e

V  74,281

83 e

V  75,550

84 e

V  76,775

85 e

V  77,955

86 e

V  79,089

87 e

V  80,176

88 e

V  81,214

89 e

V  82,205

90 e

V  19,850

V  19,850 V  19,850

V  83,147 V  84,041

V  84,885 V  85,680 V  86,424

V  87,114

V  87,742 V  88,289

V  88,708 V  88,888 V  88,926

PENENTUAN PREMI MANFAAT DAN CADANGAN MANFAAT DENGAN MEMPERHITUNGKAN BIAYA PENGELUARAN

Recommend Documents