Het Ho-Lee rentemodel (Engelse titel: The Ho-Lee interest rate model)

Technische Universiteit Delft Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Delft Institute of Applied Mathematics

Het Ho-Lee rentemodel (Engelse titel: The Ho-Lee interest rate model)

Verslag ten behoeve van het Delft Institute of Applied Mathematics als onderdeel ter verkrijging

van de graad van

BACHELOR OF SCIENCE in TECHNISCHE WISKUNDE

door

ZAZA VAN DER HAVE Delft, Nederland Juli 2012

c 2012 door Zaza van der Have. Alle rechten voorbehouden. Copyright

BSc verslag TECHNISCHE WISKUNDE

“Het Ho-Lee rentemodel” (Engelse titel: “The Ho-Lee interest rate model)”

ZAZA VAN DER HAVE

Technische Universiteit Delft

Begeleider Dr. J.A.M. van der Weide

Overige commissieleden Dr. J.A.M. de Groot

Dr. C. Kraaikamp

Dr. J.G. Spandaw

Dr. ir. L.E. Meester

Juli, 2012

Delft

Inhoudsopgave Voorwoord

7

1

Inleiding

9

2

Obligaties en de forward rate 2.1 Een obligatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 De forward rate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11 11 12

3

Een algemeen binomiaal rentemodel 3.1 Het binomiaal . . . . . . . . . . . . . 3.2 Notatie . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Rentemodel en obligatiemodel . . . . 3.4 Aannames . . . . . . . . . . . . . . .

. . . .

13 13 15 16 17

4

Een arbitragevrij model 4.1 Betekenis arbitrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Arbitragevrij in een model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Wanneer is een binomiaal rentemodel arbitragevrij? . . . . . . . . . . . . . . . . .

19 19 19 22

5

Het Ho-Lee model 5.1 Het model . . . . . . . . . . . . . 5.2 Een directe formule voor de rente 5.3 Het Ho-Lee model is arbitragevrij 5.4 Voorbeeld . . . . . . . . . . . . .

. . . .

25 25 26 29 29

6

Rentederivaten 6.1 Verschillende rentederivaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 De prijs van een rentederivaat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Hedging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31 31 32 33

7

Kalibreren 7.1 Het schatten of berekenen van de obligatieprijzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Het berekenen van de prijs van een cap of een floor . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 Het schatten van de parameters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35 35 35 36

8

Convergentie 8.1 Met samengestelde rente . . . . . 8.2 Convergentie samengstelde rente 8.3 Convergentie Ho-Lee model . . . 8.3.1 Omschrijven f (m, n) . . .

39 39 40 41 41

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . . 5

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

8.3.2

Convergentie van f (m, n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

Samenvatting

51

Literatuur

55

Appendix A Het strippen van obligaties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57 57

Appendix B Interpolatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lineaire interpolatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Polynomiale interpolatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59 59 59 59

Appendix C

61

Bijlage 1 Code van de functionfile voor de berekening van de prijs van een cap . . . . . . . . . . Code van de functionfile voor de berekening van de prijs van een floor . . . . . . . . .

63 63 64

Bijlage 2 Code van de kalibratie in het voorbeeld in hoofdstuk 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . .

65 65

6

Voorwoord Dit verslag is het resultaat van mijn Bachelorproject als onderdeel van de bachelor Technische Wiskunde aan de Technische Universiteit Delft. Dankzij de minor Finance, die ik afgelopen semester heb gevolgd, is bij mij de interesse ontstaan voor financiële wiskunde. Vandaar dat ik heb gekozen voor een project in dit gebied van de wiskunde. Het onderwerp van mijn Bachelorproject is: “Het Ho-Lee rentemodel”. Ik wil mijn begeleider dhr. J.A.M. van der Weide bedanken voor de begeleiding en ondersteuning bij het bestuderen van dit onderwerp en tevens de verslaglegging ervan.

Delft, juli 2012 Zaza van der Have

7

1

Inleiding

In de huidige kredietcrisis, begonnen in 2007, hebben prijzen van sommige aandelen reuzesprongen gemaakt. Ook banken die ‘onverwoestbaar’ werden genoemd, zijn failliet gegaan. Daarom is het, juist in dit soort tijden, van belang om betrouwbare modellen te hebben om financiële processen te simuleren. Zo’n proces is bijvoorbeeld de rentestand. Bij het afsluiten van een hypotheek kan bijvoorbeeld worden gekozen om de rente voor een periode vast te zetten, maar er kan ook gekozen worden voor een variabele rente. Het is belangrijk om een goede berekening te maken wat deze vaste rente zou moeten zijn. Met een betrouwbaar rentemodel zou dit eventueel berekend kunnen worden. In figuur 1 staat een voorbeeld van een rentegrafiek, waarin de impact van de kredietcrisis duidelijk te zien is.

Figuur 1: Rente Dit verslag kijkt naar het Ho-Lee rentemodel, een binomiaal model ontwikkeld in 1986 door Thomas Ho en Sang Bin Lee. Van de bestaande rentemodellen is dit model één van de eenvoudigere. Door in eerste instantie de eigenschappen van een relatief eenvoudig model te bekijken, zal een moeilijker model makkelijker te begrijpen zijn. Vandaar dat in dit project is gekozen om het Ho-Lee model te bestuderen. De rente die gemodelleerd wordt met dit model is een risicoloze rente. Dit betekent dat er in het model geen rekening wordt gehouden met de kans dat een partij niet aan zijn schuld kan voldoen. In theorie klinkt dit heel mooi, maar in de praktijk zal er altijd risico zijn. Een aantal banken, die op de Londense geldmarkt werken, hebben een rente waartegen ze onderling aan elkaar lenen. Deze rente heet de Libor rente. Het risico op deze onderlinge leningen wordt als zeer klein gezien en deze rente is dus vergelijkbaar met de risicoloze rente. De financiële wereld gebruikt de hoogte van de Libor rente vaak om prijzen van andere producten op deze markt te berekenen. Zoals de rente voor een hypotheek, maar ook in het prijzen van opties op aandelen wordt deze rente gebruikt. Daarom is het van belang om een goed rentemodel te hebben voor de risicovrije rente. In het verslag wordt aangenomen dat 0 ∈ N. De opbouw van het verslag is als volgt. In hoofdstuk 2 worden de begrippen obligatie en forward rate uitgelegd. Ook komt de relatie tussen de rente, een obligatie en de forward rate aan bod. Hoofdstuk 3 behandelt hoe een algemeen binomiaal rentemodel eruit ziet. Zo’n model is discreet. Vervolgens komt in hoofdstuk 4 het principe arbitrage aan bod. Arbitrage wordt ook wel “gratis geld verdienen”genoemd en in dit hoofdstuk staat een stelling waaraan een rentemodel moet voldoen om te zorgen dat er geen arbitrage 9

mogelijk is. Het Ho-Lee model wordt in hoofdstuk 5 gedefinieerd. Dit rentemodel is speciaal geval van het in hoodstuk 3 ge¨ıntroduceerde algemene rentemodel. Ook kijkt hoofdstuk 5 of het Ho-Lee model arbitragevrij is. Hoofdstuk 6 geeft een aantal voorbeelden van rentederivaten en van het hedgen hiervan. Het hedgen van een investering is het voorkomen van verlies op de investering. Hoofdstuk 7 laat zien hoe het model gekalibreerd kan worden. Kalibreren is het schatten van de parameters van het model met behulp van marktdata of historische data. In dit hoofdstuk is er voor gekozen om marktdata te gebruiken en geen historische data, omdat in financiële wereld wordt gedacht, dat wat er in het verleden is gebeurd, al in de huidige cijfers in de markt verwerkt is. Historische data hebben dan géén invloed meer op wat er nog zal gebeuren. Terwijl de verwachting van de toekomst wel meegenomen is in actuele marktdata. Het laatste hoofdstuk, hoofdstuk 8, bekijkt de convergentie van het discrete Ho-Lee model als de grootte van de tijdstap naar 0 gaat. Onder bepaalde voorwaarden blijkt het model te convergeren naar een random functie. De literatuur die ik heb gebruikt voor het verslag staat onder het kopje literatuur. In eerste instantie dacht ik [1] nodig te hebben voor hoofdstuk 8. Op pagina 186 van dit boek staat een variant op de centrale limietstelling. Later bleek dat ik voor hoofdstuk 8 de gewone centrale limietstelling kon gebruiken. De stelling in [1] heb ik vervolgens verwerkt in appendix C. [2] en [6] heb ik gebruikt om de basis van rentemodellen onder de knie te krijgen. Ook heb ik [6] gebruikt voor een voorbeeld in hoofdstuk 3 en voor paragrafen 6.1 en 6.2. De methode beschreven in paragraaf 6.3 en het voorbeeld in paragraaf 6.4 heb ik zelf bedacht. [3] is een artikel wat ik gebruikt heb voor een belangrijke stelling in hoofdstuk 3. Ook is hoofdstuk 8 bijna geheel afgeleid uit dit artikel. Het koste me veel moeite om dit artikel te begrijpen en de theorie in dit artikel om te schrijven naar de speciale situatie van het Ho-Lee model. Ook heb ik veel tussenstappen in mijn verslag gezet, zodat u als lezer de berekeningen hopelijk eenvoudig kan nadoen. In [3] wordt verwezen naar [4]. In [4] wordt verder ingegaan op arbitragevrijheid en ik heb dit artikel gebrukt om een beter beeld te vormen van dit begrip. [5] is het artikel waarin Thomas Ho en Sang-Bin Lee het Ho-lee model definiëren. Dit artikel vormt de basis van hoofdstuk 5. De kalibratiemethode in hoofdstuk 7 komt geheel van mijn hand en de matlabprogramma’s hiervoor heb ik zelf geschreven.

10

2

Obligaties en de forward rate

Prijzen van obligaties zijn sterk afhankelijk van de huidige en de toekomstige rente. Dit hoofdstuk legt uit wat obligaties zijn en wat de forward rate is. Dit gebeurt respectievelijk in de paragrafen 1 en 2. Ook de relatie tussen de rente, obligaties en de forward rate komt aan bod. Overal zal, indien niet anders vermeld, de rente geschaald worden naar de nominale rente per jaar.

2.1

Een obligatie

Op het moment dat een overheid geld wil aantrekken, kan zij bijvoorbeeld obligaties uitgeven. Obligaties zijn verhandelbare schuldbewijzen. Diegene die ze uitgeeft heet de schrijver en de koper heet de houder. Op afgesproken momenten betaalt de schrijver rente (coupon) aan de houder en op een afgesproken einddatum lost de schrijver de schuld af door de houder de nominale waarde van de obligatie te betalen. Wanneer de couponbetalingen 0 bedragen, wordt er van een zero coupon obligatie gesproken. Bij uitgifte hebben obligaties in het algemeen een looptijd van één of meer jaar. De houder kan voor het eindtijdstip de obligatie verkopen. Wat hij hiervoor ontvangt is afhankelijk van een aantal verschillende factoren, bijvoorbeeld van de rentestand. Als de marktrente stijgt dan zal de marktprijs van een obligatie dalen en andersom. Indien niet anders vermeld, zal in het vervolg met een obligatie een zero coupon obligatie met nominale waarde 1 euro bedoeld worden. Dit, omdat een zero-coupon obligatie met een nominale waarde van 100 euro gezien kan worden als 100 zero-coupon obligaties met nominale waarde 1 euro. Terwijl een obligatie met coupon bekeken kan worden als de som van zero-coupon obligaties met verschillende looptijden. Dankzij de hierboven vermelde relatie tussen de rente en de waarde van een obligatie kan de totale rente voor de periode tot de einddatum bepaald worden. Hiervoor moet wel de prijs van een obligatie en zijn einddatum bekend zijn. Stel de looptijd van een obligatie is twee jaar en de prijs is 0.92 euro. De totale rente die over deze periode ontvangen wordt is: 1 − 1 ≈ 0.087 = 8.7% 0.92

Dit betekent dat in dit voorbeeld de nominale rente 4.35% per jaar is, waarbij de rente per twee jaar wordt samengesteld. Stel nu dat de rente per jaar wordt samengesteld en dat de rente r voor de komende twee jaar vast staat. Uit de obligatieprijs kan r berekend worden. We kunnen de volgende vergelijking opstellen: (1 + r)2 = 1.087. Hieruit volgt r ≈ 0.0426 = 4.26%. In dit geval is de nominale rente per jaar 4.26%. Stel dat de prijs van de bovenstaande obligatie 0.90 euro is en de rente wordt per twee jaar samengesteld. Dan volgt dat de nominale rente per jaar ongeveer 3.19% is. Dit bevestigt dat de marktrente stijgt als de obligatieprijs daalt en vice versa, zoals eerder in deze paragraaf staat vermeld.

11

2.2

De forward rate

Als we in de toekomst een bedrag opzij willen zetten, kunnen we op dit moment afspreken wat voor rente we hierover ontvangen. Deze rente heet de forward rate. In de inleiding van dit hoofdstuk is verteld dat de prijs van een obligatie niet alleen afhankelijk is van de huidige rentestand, maar ook van de toekomstige rente. De rente is een stochastisch proces en daarom is (in het algemeen) de toekomstige rente onbekend. Uit de prijzen van obligaties kan een verwachting van de toekomstige rente worden berekend: de forward rate. Aan de hand van een voorbeeld laten we zien hoe de forward rate voor een toekomstige periode berekend wordt. Stel een obligatie met een looptijd van een half jaar kost 0.901 euro en een obligatiemet een looptijd van een jaar kost 0.85 euro. We willen over een half jaar 100 euro opzij zetten, voor een periode van een half jaar. Op dit moment, tijdtip 0, kan al worden afgesproken wat het rentepercentage is dat we hierover ontvangen. Dit rentepercentage kan berekend worden door (in theorie) 100 half-jaar-obligaties te verkopen voor 90.10 euro en van dit geld 106 één-jaarobligaties te kopen. Merk op dat we op dit moment niks hoeven te betalen. Vervolgens moeten we over een half jaar, op tijdstip 0.5, 100 euro betalen om de verkochte obligaties af te lossen. Op tijdstip 1, nog een half jaar later, ontvangen we 106 euro voor de gekochte obligaties. Het rentepercentage wat we hebben ontvangen is dan 6% over de periode [0.5,1]. De nominale rente per jaar is daarmee 12%. Deze 12% is de forward rate voor de toekomstige periode [0.5,1] gerekend vanaf tijdstip 0. Dit voorbeeld bevestigt dat tussen obligaties en de forward rate een relatie zit. Een model voor de obligatieprijzen is equivalent aan een model voor de forward rate. Ook is in paragraaf 1 vermeld dat tussen obligaties en de rente een relatie zit. Dankzij deze relaties heeft een model voor de rentestand een relatie met een model voor de obligatieprijzen en daarmee ook een relatie met een model voor de forward rate.

12

3

Een algemeen binomiaal rentemodel

Dit hoofdstuk vertelt wat een binomiaal model is en daarbij wordt gekeken hoe een algemeen binomiaal rentemodel eruit ziet. Een binomiaal model is discreet. Paragraaf 1 vertelt hoe groot de tijdstappen zijn die we nemen en wat het laatste tijdstip is waarop we de rente bekijken binnen het model. Ook geeft deze paragraaf een getallenvoorbeeld van een binomiaal rentemodel. Paragraaf 2 voert notatie in. Deze notatie wordt in paragraaf 3 gebruikt om het rentemodel gedefinieerd in paragraaf 1 verder te specificeren en in paragraaf 4 staan de aannames die we doen voor het model.

3.1

Het binomiaal model

We schalen de rente overal naar de nominale rente per jaar. De rentestand modelleren we op verschillende momenten tot en met eindtijdstip T jaar. De tijd wordt verdeeld in N + 1 perioden T 1 elk met een lengte van ∆ = N jaar. Als bijvoorbeeld ∆ = 12 , dan bekijken we iedere maand de hoogte van de rente. We stellen dat aan het eind van iedere periode rentebetaling plaats vindt. De rente wordt daarom samengesteld per periode en de rente die geldt op tijdstip t is de nominale rente per jaar die over de periode [t, t + ∆] gerekend wordt. We modelleren ook de rente die geldt op tijdstip T , dit is de rente die gerekend wordt over [T, T + ∆], vandaar dat er N + 1 perioden bekeken worden. In de rest van dit verslag bekijken we een model met eindtijdstip T en N + 1 perioden ter lengte ∆. In een binomiaal rentemodel geldt het volgende: als de hoogte van de rente op tijdstip 0 bekend ´ de rente stijgt met is, zijn er precies twee mogelijkheden voor de rentestand op tijdstip ∆. Of ´ de rente een bepaalde factor, ookwel de upfactor u genoemd, met kans q, waarbij 0 < q < 1. Of daalt met een bepaalde factor, ookwel de downfactor d genoemd, met kans p = 1 − q. Deze kansen q en p en de factoren d en u kunnen afhangen van het tijdstip waarop we kijken en de toestand van de rente op dat moment. Er wordt hier aangenomen dat p ∈ / {0, 1}, omdat er dan maar één mogelijkheid is voor de rente op tijdstip ∆. In paragraaf 2.1 staat vermeld dat als de rente daalt, de waarde van een obligatie met eenzelfde resterende looptijd stijgt en andersom. De prijs van een obligatie met een bepaalde eindtijdstip stijgt in het algemeen na iedere tijdstap, omdat de resterende looptijd korter is geworden. Vandaar dat er gekeken wordt naar het stijgen of dalen van de verdisconteerde obligatieprijs. Dit betekent dat de rente van de nieuwe prijs wordt afgetrokken, om zo de twee prijzen eerlijk te kunnen vergelijken. Eerder in deze paragraaf hebben we gesteld dat de rente stijgt met kans q en daalt met kans p. Hieruit volgt dat de kans op stijgen van de verdisconteerde obligatieprijs gelijk is aan p en de kans op dalen van deze verdisconteerde prijs is dan q.

13

De toestand waarin de rente zich na een aantal perioden bevindt hangt af van het aantal maal dat de rente is gestegen. Voor de toestand waarin de rente zich bevindt maakt het niet uit of de rente eerst daalt en vervolgens stijgt of dat de rente eerst stijgt en vervolgens daalt. In figuur 3.2 is te zien hoe zo’n renteboom eruit ziet.

Figuur 3.2: Voorbeeld van een binomiale boom Op tijdstip 0, bevindt de rente zich in toestand 0. En na n perioden zijn er n + 1 toestanden mogelijk voor de rentestand. De rente op tijdstip n∆ is in toestand 0 als de rente n keer achter elkaar gestegen is. Zij 0 ≤ i ≤ n. Als de rente i keer gedaald is en n − i keer gestegen is, dan bevindt de rente zich na n perioden in toestand i. Merk hierbij op dat een binomiale boom recombinerend is. Als de toestand van de rente zich op een willekeurige knoop in de boom bevindt, dan vormen de knopen die vanaf deze toestand bereikt kunnen worden een nieuwe, kleinere binomiale boom. Voorbeeld Het binomiaal model van de rente aan de hand van een voorbeeld. Stel de jaarlijkse nominale rente op dit moment is bekend en is 4% en rente wordt samengesteld per maand. Wat zou de rente over een maand zijn? Met het algemene model kan bijvoorbeeld de binomiale boom gemaakt worden weergeven in figuur 3.3.

Figuur 3.3: Getallenvoorbeeld van een binomiale boom Op dit moment, op tijdstip 0, is de rente 4% per jaar. Na 1 maand, op tijdstip 1, kan de rente met kans p = 0.4 dalen met factor d = 0.75 naar 3% per jaar. Of de rente kan met kans q = 0.6 stijgen met factor u = 1.25 naar 5% per jaar. Er zijn dus twee toestanden mogelijk op tijdstip ∆, de onderste toestand wordt toestand 0 genoemd en de bovenste toestand wordt toestand 1 genoemd.

14

3.2

Notatie

Beschouw de tijdstippen m jaar en n jaar, willekeurig maar vast, zodanig dat geldt: m n 0 ≤ m < n ≤ T + ∆ en , ∈N ∆ ∆ n Noem m = m ∆ en n = ∆ . Kies nu i ∈ {0, 1, ..., m}, willekeurig maar vast. Notatie voor de rente De rente bevindt zich op tijdstp m in toestand i als tussen de tijdstippen 0 en m, de rente i keer gedaald is en m − i keer gestegen is. Als de rente r zich op tijdstip m in toestand i bevindt, wordt dit genoteerd als: ri (m) Dit is de rente die over de periode [m, m + ∆] gerekend wordt, geschaald naar de nominale rente per jaar. Waarbij r(0) = r0 (0), de rente op tijdstip 0 is. Notatie voor de obligatieprijs De prijs van een obligatie op tijdstip m met resterende looptijd n − m, dus tijdstip van expiratie n, bevindt zich in toestand i als de rente in de periode [0,m] i keer gedaald is en m − i keer gestegen is. Hieruit volgt dat tussen de tijdstippen 0 en m de obligatieprijs met eindtijdstip n, verdisconteerd naar het tijdstip 0, i keer gestegen is en m − i keer gedaald is. Als de prijs van een obligatie op tijdstip m, met resterende looptijd n − m, zich in toestand i bevindt, wordt dit genoteerd als: Pi (m, n) Dankzij de relatie beschreven in paragraaf 2.1 geldt: 1 ri (m) = − 1 /∆ Pi (m, m + ∆)

(3.1)

Merk op dat een obligatie met resterende looptijd 0 altijd 1 euro kost. Hieruit volgt: Pi (m, m) = 1 Notatie voor de forward rate Op tijdstip 0 wordt de forward rate voor tijdstip n als volgt genoteerd: f (0, n) Dit is een rente die op tijdstip 0 kan worden afgesproken. Deze rente is geschaald naar de nominale rente per jaar en wordt gerekend over de periode [n, n + ∆]. De waarde hiervan kan uit de obligatieprijzen worden uitgerekend, op de volgende manier: P (0, n) f (0, n) = − 1 /∆ P (0, n + ∆) Als de forward rate op tijdstip m voor tijdstip n zich in toestand i bevindt, wordt als volgt genoteerd: fi (m, n) Waarbij nog steeds geldt dat m ≤ n. Analoog aan de berekening van f (0, n) volgt: Pi (m, n) fi (m, n) = − 1 /∆ Pi (m, n + ∆)

(3.2)

Merk op dat uit vergelijkingen (3.1) en (3.2) volgt: ri (m) = fi (m, m) 15

(3.3)

3.3

Rentemodel en obligatiemodel

In paragraaf 3.2 is notatie ingevoerd. Hiermee kunnen we het algemeen rentemodel, gedefinieerd in paragraaf 3.1, verder specificeren. Beschouw opnieuw de tijdstippen m en n, willekeurig maar vast, zodanig dat geldt: 0≤m
en

m n , ∈N ∆ ∆

Kies i ∈ {0, 1, ..., m ∆ }, willekeurig maar vast en stel dat de obligatieprijs Pi (m, n) en de rente ri (m) bekend zijn. In paragraaf 3.1 is vertelt dat de up- en downfactor van de rente afhankelijk zijn van de tijd en de toestand van de rente. Het renteproces ziet er als volgt uit: ri (m + ∆) = uri (m)ri (m) ri+1 (m + ∆) = dri (m)ri (m) De upfactor uri (m) en de downfactor dri (m) zijn bekend en zijn afhankelijk van i en m. In hoofdstuk 2 is vertelt dat een model voor de obligatieprijzen in relatie staat tot een rentemodel. Belangrijk is op te merken dat als de rente daalt, de verdisconteerde obligatieprijs stijgt en andersom. Dit resulteert in de volgende vergelijkingen: Pi (m + ∆, n) = dPi (m, n)Pi (m, n) Pi+1 (m + ∆, n) = uPi (m, n)Pi (m, n) De upfactor uPi (m, n) en de downfactor dPi (m, n) zijn bekend. Deze factoren hangen niet alleen van de tijd en de toestand van de rente af, maar ook van de looptijd van de obligatie. Ook zal altijd gelden: 0 < dPi (m, n) ≤ uPi (m, n). Er is alleen gelijkheid als m + ∆ = n, omdat P (m + ∆, m + ∆) = 1. In figuur is de bijbehorende binomiale boom te zien met enerzijds de rente en anderzijds de obligatieprijs.

Figuur 3.4: Binomiale boom van de rente en de obligatieprijs Een obligatiemodel modelleert alle obligatieprijzen Pi (m, n). Waarbij de rente ri (m) met behulp van vergelijking (3.1) kan worden uitgerekend met Pi (m, m + ∆). Het obligatiemodel modelleert dus meer dan alleen het renteproces. Hieruit volgt dat een renteproces eventueel ook gemodelleerd kan worden met een obligatiemodel en uit paragraaf 2.2 volgt nu dat dit ook kan met een forward rate model. 16

3.4

Aannames

Een aantal belangrijke aannames voor het model: • Alle obligaties en de forward rate hebben betrekking op dezelfde risicovrije rente. De rente is risicovrij als de kans dat een partij niet aan zijn verplichtingen kan voldoen altijd gelijk is aan 0. • Rente kan nooit negatief of oneindig zijn. • De obligatiemarkt is frictieloos, dit wil zeggen dat op tijdstip a obligaties met resterende looptijd b vrij gekocht en/of verkocht kunnen worden voor de prijs P (a, a + b). Dit voor alle a ∈ {0, ∆, 2∆, ..., T } en voor alle b ∈ {∆, 2∆, ..., T + ∆ − a}. In een frictieloze markt zijn er geen transactiekosten of belastingen. • We kunnen niet alleen obligaties kopen (en later verkopen) voor de marktprijs, maar we kunnen ook obligaties, die we niet in bezit hebben, verkopen tegen deze prijs. Dit kan door zelf obligaties uit te schrijven. We bezitten dan een negatief aantal obligaties.

17

4

Een arbitragevrij model

Hoofdstuk 4 behandelt het begrip arbitrage en de betekenis van arbitragevrijheid binnen een model. In paragraaf 1 staat een korte definitie van het bergip arbitrage en een voorbeeld om deze definitie te verduidelijken. Vervolgens vertelt paragraaf 2 wat arbitragevrijheid in een model betekent. In deze paragraaf komt ook een belangrijke stelling aanbod. Met deze stelling kunnen we kijken of een binomiaal rentemodel arbitragevrij is. Tot slot komt paragraaf 3 met een aantal voorwaarden waaraan een binomiaal rentemodel moet voldoen om arbitragevrij te zijn.

4.1

Betekenis arbitrage

Een arbitrage strategie is een mogelijkheid om risicoloos meer winst te maken in een periode dan de risicovrije rente over die periode is. Arbitrage wordt ookwel ”gratis geld verdienen” genoemd. De betekenis hiervan volgt uit het volgende voorbeeld: Stel de prijs van een obligatie die na één jaar afloopt is 0.75 euro en die van een obligatie die na anderhalf jaar afloopt is 0.90 euro. Dan is er de volgende arbitrage strategie: 1) We schrijven 100 obligatie met een looptijd van anderhalf jaar uit en ontvangen hiervoor 90 euro. 2) We kopen 120 obligaties met een looptijd van een jaar en betalen hiervoor 90 euro. 3) Na één jaar, op tijdstip 1, incasseren we 120 euro (van de gekochte obligaties in punt 2) en we bewaren dit geld. 4) Op tijdstip 1.5 moeten we vervolgens 100 euro (voor de uitgeschreven obligaties in punt 3). In totaal is er na één jaar met zekerheid 20 euro winst gemaakt, terwijl de inzet 0 euro was.

4.2

Arbitragevrij in een model

Een arbitragevrij model rekent met risiconeutrale kansen op stijgen en dalen van de rente. Deze kansen kunnen in het model berekend worden. Als deze kansen voor iedere mogelijke toestand van de rente bestaan, is het model arbitragevrij. De risiconeutrale kans op stijgen hoeft niet gelijk te zijn aan de echte kansen op stijgen. Evenzo hoeven de risiconeutrale en de echte kans op dalen niet gelijk te zijn aan elkaar. De echte kans op dalen van de rente, en dus stijgen van de verdisconteerde obligatieprijs, is 0 < p < 1 en de risiconeutrale kans hierop is 0 < p˜ < 1. Deze kansen kunnen afhangen van het tijdstip en de toestand van de rente, dat wil zeggen dat ze afhangen van de plaats in de binomiale boom waarin de rente zich bevindt. Bij het berekenen van een risiconeutrale verwachting gebruiken we de risiconeutrale kansen. Om aan te geven dat het een risiconeutrale verwachting betreft, staat er bovenop de E een tilde. In een binomiaal rentemodel betekent arbitragevrij: De prijs van een derivaat, met de rente als onderliggende waarde, kan met de risiconeutrale kansen worden uitgerekend en heet de eerlijke prijs. Dat wil zeggen dat er geen arbitrage strategie bestaat, waarbij er alléén in dit derivaat en de obligatiemarkt belegd wordt. Onder de risiconeutrale verwachting stijgt de waarde dit derivaat altijd met de rente. Het verkopen of kopen van dit derivaat kan binnen het model gerepliceerd worden met een portfolio van obligaties met verschillende looptijden. Dit portfolio wordt in principe na iedere tijdstap aangepast. Deze aanpassing hangt alleen af van de renteverandering in de laatste tijdstap. Dit noemt men hedgen. Hoofdstuk 5 behandelt dit principe. In ditzelfde hoofdstuk staan voorbeelden van derivaten met als onderliggende waarde de rente. Ook behandelt hoofdstuk 5 hoe de koop of verkoop van zo’n derivaat gehedged kan worden.

19

Voorbeeld van een arbitragevrij model We bekijken een één-periode aandelenmodel. [6] definieert dit model en de voorwaarde waaraan het model moet voldoen om arbitragevrij te zijn. Dit model bekijken we om het begrip arbitragevrijheid en hedgen te verduidelijken, zodat we dit kunnen toepassen op het binomiale rentemodel. We nemen aan dat het toegestaan is om aandelen te verkopen die we niet bezitten (short selling). Ook is het mogelijk om een fractie van een aandeel te kopen/verkopen. Dit mag, omdat we kleine transacties beschouwen, maar in het echt gebeuren zulke transacies in hondervoud of meer. Op tijdstip 0 is de prijs van het aandeel is S(0). De upfactor u is de factor waarmee de prijs stijgt en de downfactor d is de dalingsfactor, waarbij d < u. Een aandeel kan geen negatieve waarde hebben dus geldt: 0 ≤ d. De rente over de periode [0,1] is r. Als de prijs van aandeel stijgt is de prijs van het aandeel na één jaar, op tijdstip 1, S1 (1) = u · S(0). De prijs bevindt zich dan in toestand 1. Als de prijs daalt bevindt de prijs zich na één jaar in toestand 0 en is de prijs S0 (1) = d · S(0). In figuur 4.5 staat de binomiale boom van dit voorbeeld gegeven.

Figuur 4.5: De binomiale boom van de aandelenprijs De voorwaarde waaraan dit model moet voldoen om arbitragevrij te zijn is: d<1+r
(4.4)

Als het model aan deze voorwaarde voldoet kunnen de risiconeutrale kansen van het model berekend worden. In [6] staan deze formules gegeven. De risiconeutrale kans op het stijgen van de aandelenprijs is p˜ en we kunnen deze kans op de volgende manier berekenen: 1+r−d u−d De risiconeutrale kans op het dalen van de aandelenprijs is nu 1 − p˜. p˜ =

(4.5)

Stel S0 = 4, u = 2, d = 0.5 en r = 0.25. Dit betekent dat S1 (1) = 8 en S0 (1) = 2. In figuur 4.6 staat de bijbehorende binomiale boom.

Figuur 4.6: De binomiale boom van de aandelenprijs Dit model voldoet aan de voorwaarde gegeven in (4.4) en is dus arbitragevrij. We kunnen nu met (4.5) de risiconeutrale kans op het stijgen van de aandelenprijs uitrekenen: p˜ = 0.5. Op het moment dat we een derivaat met als onderliggende waarde de aandelenprijs verkopen (of kopen) tegen een eerlijke (arbitragevrije) prijs kunnen we deze verkoop hedgen.

20

Stel een Europese call-optie met een looptijd van 1 jaar en strike 5 euro kunnen we verkopen. De koper, houder, van deze call-optie koopt het recht, maar niet de plicht, om over één jaar een aandeel van ons te kopen voor 5 euro. Als de aandelenprijs stijgt naar 8 euro zal de houder de optie uitoefenen. We moeten een aandeel aan hem verkopen voor 5 euro. De houder zal dit aandeel meteen weer verkopen voor 8 euro. De call-optie is dan 3 euro waard. Indien de aandelenprijs daalt naar 2 euro doet de houder niks, omdat de aandelenprijs lager is dan de strike. De call-optie is in dat geval waardeloos. Laat V de waarde van de call-optie zijn. Dan is: V1 (1) = 3 euro, de houder mag voor 5 euro een aandeel kopen en deze vervolgens voor 8 euro verkopen. V0 (1) = 0 euro, de call-optie is waardeloos. Wat is nu de eerlijke prijs, V (0), van deze call-optie op het begintijdstip? Dit kan berekend worden door de verkoop van een call-optie in theorie te hedgen. Stel we hebben geen geld en we verkopen een call-optie en ontvangen hiervoor V (0) euro. We beleggen dit bedrag in een portfolio van aandelen en de geldmarkt, waarbij het toegestaan is om een fractie van een aandeel te kopen. De totale waarde van dit portfolio is X en we willen: X1 (1) = V1 (1) = 3 euro. X0 (1) = V0 (1) = 0 euro. In [6] is een formule gegeven hoe we het aantal A aandelen dat we kopen kunnen berekenen: A=

V1 (1) − V0 (1) = 0.5 S1 (1) − S0 (1)

We kopen 0.5 aandeel voor 2 euro en zetten dus [V (0) − 2] euro op de bank. Ons portfolio is op het begintijdstip: (banksaldo,aandelen)=([V (0) − 2], 6). Er geldt X(0) = V0 . We willen dat: X1 (1) = (V (0) − 2) · 1.25 + 0.5 · 8 = 3 en X0 (1) = (V (0) − 2) · 1.25 + 0.5 · 2 = 0. Oplossen geeft: V (0) = 1.20 euro. Merk op dat bovenstaand portfolio uniek is. Het is de enige mogelijke manier om in aandelen en de geldmarkt te beleggen, zodat X(0) = V (0), X1 (1) = V1 (1) en X0 (1) = V0 (1). Dit portfolio heet het replicerend portfolio van de optie. En de gevonden V (0) heet de eerlijke prijs van de optie. Voor iedere andere prijs kan er namelijk zo in de geldmarkt, in call-opties en in aandelen belegd worden dat er arbitrage is. Door de call-optie te verkopen voor 1.20 euro en dit op de bovenstaande manier te hedgen hebben we na 1 jaar met zekerheid 0 euro. We begonnen ook met 0 euro, dus we hebben geen “gratis geld verdient”. De prijs van de optie kan ook met de volgende risiconeutrale verwachting uitgerekend worden: V (1) 1 ˜ V (0) = E0 = [˜ pV1 (1) + (1 − p˜)V0 (1)] (4.6) 1+r 1+r Dit is de conditionele verwachting van de waarde van de optie, verdisconteerd naar het tijdstip 0, gegeven alle informatie tot en met tijdstip 0 . In ons voorbeeld volgt uit (4.6): V (0) = 1.20, de al gevonden eerlijke prijs voor de optie. Het is duidelijk dat deze berekening een stuk vlotter gaat dan het opstellen van het replicerend portfolio. Hiervoor dienen de risiconeutrale kansen bekend te zijn.

21

4.3

Wanneer is een binomiaal rentemodel arbitragevrij?

Deze paragraaf geeft als eerste de definitie van en martingaal en de notatie van de verdisconteringsfactor. Vervolgens komt er een stelling, waarmee aangetoond kan worden of een binomiaal rentemodel arbitragevrij is. Definitie martingaal Zij M0 , M1 , M2 , ... een rij stochasten. Dit proces heet een martingaalproces als voor alle n ∈ N geldt: E[Mn ] < ∞ En [Mn+1 ] = Mn Met En de conditionele verwachting, waarbij alle informatie tot en met n bekend is. Voorbeeld Een voorbeeld van een martingaalproces om de definitie te verduidelijken. Zij X1 , X2 , ... een rij onafhankelijke, identiek verdeelde stochasten met: Xn =

+1 met kans 0.5 −1 met kans 0.5

Voor alle n ∈ N>0 geldt: E[Xn ] = 0 En zij M0 , M1 , M2 , ... een rij stochasten met: M0 = 0 Mn = Mn−1 + Xn

voor n = 1, 2, ...

Dit is een martingaalproces, voor alle n ∈ N geldt namelijk:  E [Mn ] = E M0 +

n X

 Xi  = M0

j=1

En [Mn+1 ] = Mn + En [Xn ] = Mn + E[Xn ] = Mn

We beschouwen opnieuw het algemene binomiale rentemodel, gedefinieerd in hoodstuk 3. Waarbij de rente tot en met tijdstip T gezocht wordt en er N + 1 perioden zijn elk met een lengte T van ∆ = N . Notatie verdisconteringsfactor D Zij m ∈ {0, ∆, ..., T + ∆} willekeurig, maar vast. Noem m = factor D: m−1 Y 1 D(m) = (1 + r(j∆)∆)

m ∆.

Definieer de verdisconterings(4.7)

j=0

Zij m ≤ n dan is P (m, n) de prijs van een obligatie op tijdstip m met resterende looptijd n − m. Dan is D(m)P (m, n) de obligatieprijs verdisconteerd naar het tijdstip 0. 22

Stelling 4.3.1 Zij m ∈ {0, ∆, 2∆, ..., T −∆} willekeurig, maar vast. Een rentemodel is arbitragevrij als er op tijdstip m een risiconeutrale kans p˜(m) ∈ (0, 1) bestaat zodanig dat de prijs van een obligatie, verdisconteerd naar het tijdstip 0, met eindtijdstip n een martingaal is. Waarbij p˜(m) de risiconeutrale kans is op stijgen van deze prijs. Dit moet gelden voor alle n ∈ {m + 2∆, m + 3∆, ..., T + ∆}. Dit wil zeggen: ˜ m [D(m + ∆)P (m + ∆, n)] = D(m)P (m, n) E ˜ m de conditionele risiconeutrale verwachting, waarbij alle informatie tot en met tijdstip Met E m bekend is. Opmerking: P (m + ∆, m + ∆) = 1, vandaar dat het niet nodig is dat de risiconeutrale verwachting voor n = m + ∆ bekeken wordt. Bewijs. Uit (11.a) en (11.b) in propositie 1 in [3] volgt dat als Z(m, n) een martingaal is onder de risiconeutrale kans p˜(m) dat het rentemodel arbitragevrij is. Waarbij p˜(m) de risiconeutrale kans op stijging van de verdisconteerde obligatieprijs is en 1 − p˜(m) de risiconeutrale kans op daling is. Hierbij geldt in door ons gekozen notatie: Z(m, n) = D(m)P (m, n) En dit is weergeven in bovenstaande stelling. Stelling 4.3.1 heeft betrekking op de obligatieprijzen. Dit betekent dat in het beschouwde rentemodel de obligatieprijzen en de upfactoren en de downfactoren van de obligatieprijzen bekend moeten zijn. Daarmee kunnen we controleren of er aan de, in de stelling beschreven, martingaaleigenschap wordt voldaan. Beschouw de tijdstippen m en n, willekeurig maar vast, zodanig dat geldt: 0≤m
en

m n , ∈N ∆ ∆

Kies i ∈ {0, 1, ..., m ∆ }, willekeurig maar vast en neem aan dat de obligatieprijs Pi (m, n) en de rente ri (m) bekend zijn. Aan welke voorwaarden moet voldaan worden zodat dit model arbitragevrij is? Uit stelling 4.3.1 volgt dat een obligatiemodel arbitragevrij is als: p˜i (m)uPi (m, n)Pi (m, n) + (1 − p˜i (m))dPi (m, n)Pi (m, n) = Pi (m, n) 1 + ri (m)∆

Oplossen van p˜i (m) uit deze vergelijking geeft: p˜i (m) =

1 + ri (m)∆ − dPi (m, n) uPi (m, n) − dPi (m, n)

23

Omdat dPi (m, n) < uPi (m, n) en p˜i (m) ∈ (0, 1) volgt: dPi (m, n) < 1 + ri (m)∆ < uPi (m, n)

Omdat m, i en n willekeurig gekozen zijn, moet dit gelden voor alle m, i en n. Dit resulteert in lemma 4.3.1. Lemma 4.3.1 Een binomiale rente model is arbitragevrij als voor alle m ∈ {0, ∆, ..., T − ∆} en i ∈ {0, 1, ..., m ∆} geldt:

dPi (m, n) < 1 + ri (m)∆ < uPi (m, n) voor alle n ∈ {m + 2∆, ..., T + ∆} 1 + ri (m)∆ − dPi (m, n + ∆) 1 + ri (m)∆ − dPi (m, n) = ii) uPi (m, n) − di (m, n) uPi (m, n + ∆) − dPi (m, n + ∆) voor alle n ∈ {m + 2∆, ..., T } i)

Deel (ii) van het lemma volgt direct uit het feit dat p˜i (m) onafhankelijk moet zijn van n.

24

5

Het Ho-Lee model

Een bijzonder geval van het in hoofdstuk 3 gedefinieerde rentemodel is het Ho-Lee model. Het Ho-Lee model is een model voor de obligatieprijzen. Paragraaf 1 legt het model uit. In paragraaf 2 wordt een directe formule voor de rente gezocht. Deze formule staat in stelling 5.2.4. Door de aannames gedaan in paragraaf 3.4 volgt een extra voorwaarde voor het Ho-Lee model. Deze voorwaarde staat in lemma 5.2.5. In paragraaf 3 wordt vervolgens bewezen dat het model arbititragevrij is. Tot slot bevat paragraaf 4 een rekenvoorbeeld van het model.

5.1

Het model

Beschouw opnieuw de tijdstippen m en n, willekeurig maar vast, zodanig dat geldt: 0≤m
m ∆

en n =

n ∆.

en

m n , ∈N ∆ ∆

Kies nu i ∈ {0, 1, ..., m}, willekeurig maar vast.

Het Ho-Lee model modelleert de obligatieprijzen. De prijs Pi (m, n) kan met het model berekend worden. In paragraaf 3.4 is aangenomen dat de obligatiemarkt frictieloos is, daarom zijn de prijzen P (0, ∆), ..., P (0, T + ∆) bekend. We stellen dat de kans dat de verdisconteerde obligatieprijs stijgt onafhankelijk is van m en i dus: p = pi (m), waarbij 0 < p < 1. Er worden twee parameters ge¨ıntroduceerd: δ en π, waarbij δ, π ∈ (0, 1). Als de prijs Pi (m, n) bekend is kunnen met het Ho-Lee model en de twee parameters, δ en π, de prijzen Pi (m+∆, n) en Pi+1 (m+∆, n) berekend worden op de volgende manier: Definieer twee functies h(x) en h∗ (x), met de volgende eigenschappen: • h, h∗ : N −→ R>0 • h(x)∗ ≤ 1 ≤ h(x) • h(0) = h∗ (0) = 1 Deze functies zijn:

h(x) = h∗ (x) =

1 π + (1 − π)δ x δx π + (1 − π)δ x

(5.8) (5.9)

Hiermee kunnen de prijs Pi+1 (m + ∆, n) en Pi (m + ∆, n) recursief worden berekend:

Pi+1 (m + ∆, n) = Pi (m + ∆, n) =

Pi (m, n) h (n − (m + 1)) Pi (m, m + ∆) Pi (m, n) h∗ (n − (m + 1)) Pi (m, m + ∆) 25

(5.10) (5.11)

Dit is een bijzonder geval van het in paragraaf 3.3 gedefinieerde obligatiemodel. Waarbij:

uPi (m, n) = dPi (m, n) =

5.2

1 h (n − (m + 1)) Pi (m, m + ∆) 1 h∗ (n − (m + 1)) Pi (m, m + ∆)

Een directe formule voor de rente

De prijzen P (0, ∆), ..., P (0, T + ∆) zijn bekend. Hieruit kan, door het (herhaaldelijk) toepassen van de recursieve formules (5.10) en (5.11), Pi (m, m + ∆) berekend worden en daarmee de rente ri (m). Hoe groter m is hoe meer rekenwerk dit zal zijn. Vandaar dat we een directe formule voor Pi (m, m + ∆), en daarmee ri (m), zoeken. Lemma 5.2.1 Er geldt voor alle x ∈ {1, 2, ..., i}: Pi (m, n) =

Pi−x (m − x∆, n) h(n − m)h(n − m + 1) · · · h(n − m + x − 1) Pi−x (m − x∆, m) h(1)h(2) · · · h(x − 1)

Bewijs. (met volledige inductie) Voor x = 1 klopt de vergelijking, want uit vergelijking (5.10) volgt: Pi (m, n) =

Pi−1 (m − ∆, n) h (n − m) Pi−1 (m − ∆, n)

Inductieveronderstelling: Voor x = j, met j ∈ {1, 2, ..., i − 1} willekeurig (vast), geldt: Pi (m, n) =

Pi−j (m − j∆, n) h(n − m)h(n − m + 1) · · · h(n − m + j − 1) Pi−j (m − j∆, m) h(1)h(2) · · · h(j − 1)

Voor x = j + 1 volgt dan met behulp van vergelijking (5.10): Pi−j (m − j∆, n) =

Pi−(j+1) (m − (j + 1)∆, n) h(n − m + j) Pi−(j+1) (m − (j + 1)∆, m − j∆)

Pi−j (m − j∆, m) =

Pi−(j+1) (m − (j + 1)∆, m) h(j) Pi−(j+1) (m − (j + 1)∆, m − j∆)

Dit invullen in de inductieveronderstelling geeft: Pi (m, n) =

Pi−(j+1) (m − (j + 1)∆, n) h(n − m)h(n − m + 1) · · · h(n − m + j) Pi−(j+1) (m − (j + 1)∆, m) h(1)h(2) · · · h(j)

Lemma 5.2.2 Voor alle x ∈ {1, 2, ..., m} geldt: P0 (m, n) =

P0 (m − x∆, n) h∗ (n − m)h∗ (n − m + 1) · · · h∗ (n − m + x − 1) P0 (m − x∆, m) h∗ (1)h∗ (2) · · · h∗ (x − 1) 26

Bewijs. (met volledige inductie) Voor x = 1 klopt de vergelijking, want uit vergelijking (5.11) volgt: P0 (m, n) =

P0 (m − ∆, n) ∗ h (n − m) P0 (m − ∆, m)

Inductieveronderstelling: Voor x = j, met j ∈ {1, 2, ..., m − 1} willekeurig (vast), geldt: P0 (m, n) =

P0 (m − j∆, n) h∗ (n − m)h∗ (n − m + 1) · · · h∗ (n − m + j − 1) P0 (m − j∆, m) h∗ (1)h∗ (2) · · · h∗ (j − 1)

Voor x = j + 1 volgt dan met behulp van vergelijking (5.11): P0 (m − j∆, n) = P0 (m − j∆, m)) =

P0 (m − (j + 1)∆, n) h∗ (n − m + j) P0 (m − (j + 1)∆, m − j∆) P0 (m − (j + 1)∆, m) h∗ (j) P0 (m − (j + 1)∆, m − j∆)

Dit invullen in de inductieveronderstelling geeft: P0 (m, n) =

P0 (m − (j + 1)∆, n) h∗ (n − m)h∗ (n − m + 1) · · · h∗ (n − m + j) P0 (m − (j + 1)∆, m) h∗ (1)h∗ (2) · · · h∗ (j)

Lemma 5.2.3: Er geldt: Pi (m, m + ∆) =

P (0, m + ∆) h (m) δ (m−i) P (0, m)

Bewijs. Uit lemma 5.2.1 volgt: Pi (m, m + ∆) =

P0 (m − i∆, m + ∆) h(1) · · · h(i) P0 (m − i∆, m + ∆) = h(i) P0 (m − i∆, m) h(1) · · · h(i − 1) P0 (m − i∆, m)

Uit lemma 5.2.2 volgt: P (0, m + ∆) h∗ (i + 1) · · · h∗ (m) P (0, m − i∆) h∗ (1) · · · h∗ (m − i − 1) P (0, m) h∗ (i) · · · h∗ (m − 1) P (0, m − i∆) h∗ (1) · · · h∗ (m − i − 1)

P0 (m − i∆, m + ∆) = P0 (m − i∆, m) = Samenvoegen geeft: Pi (m, m + ∆) = = =

P (0, m + ∆) h∗ (m) h(i) P (0, m) h∗ (i) P (0, m + ∆) h(m)δ (m) h(i) P (0, m) h(i)δ i P (0, m + ∆) h (m) δ (m−i) P (0, m)

27

Stelling 5.2.4 Er geldt: ri (m) =

! P (0, m) π + (1 − π)δ m − 1 /∆ P (0, m + ∆)δ (m−i)

(5.12)

Bewijs. In Lemma 5.2.3 staat de directe formule voor Pi (m, m+∆). Met (3.1) en (5.10) volgt de stelling. Dit is de gezochte directe formule voor de rente in het Ho-Lee model. Lemma 5.2.5: De volgende ongelijkheid geldt:  1     P (0,(x+1)∆) − π x  P (0,x∆)  δ ≥ max   1≤x≤N  1−π   Bewijs. Zij m ∈ {0, ∆, ..., T } en i ∈ {0, 1, ..., m} willekeurig maar vast. In paragraaf 3.4 hebben we aangenomen dat: ri (m) ≥ 0 Daaruit volgt: Pi (m, m + ∆) =

1 ≤1 1 + ri (m)∆

Lemma 5.2.3 geeft: P (0, m + ∆) h(m)δ (m−i) ≤ 1 P (0, m) Met behulp van (5.8) volgt: P (0, m + ∆) δ (m−i) ≤1 P (0, m) π + (1 − π)δ (m) Omschrijven geeft: P (0, m + ∆) π + (1 − π)δ (m) ≤ P (0, m) δ (m−i) Omdat δ < 1 en i ∈ {0, 1, ..., m} willekeurig gekozen is volgt: ( ) P (0, m + ∆) π + (1 − π)δ (m) ≤ min = π + (1 − π)δ m i P (0, m) δ (m−i) Omschrijven geeft:  δ≥

P (0,m+∆)  P (0,m)

1−π

−π

1/m 

Omdat m willekeurig gekozen is zodanig dat m ∈ {0, ∆, ..., T }, is hiermee het lemma bewezen.

28

5.3

Het Ho-Lee model is arbitragevrij

In paragraaf 4.3 staat wanneer een rentemodel arbitragevrij is. In deze paragraaf zal bewezen worden dat het Ho-Lee model arbitragevrij is. Stelling 5.3.1 Het Ho-Lee model is arbitragevrij. Bewijs. Zij m ∈ {0, ∆, ..., T − ∆} en n ∈ {m + 2∆, ..., T + ∆} willekeurig maar vast. We zoeken de risiconeutrale kans p˜ op dalen van de rente. Dit is dan ook de risiconeutrale kans op stijgen van de verdisocnteerde obligatieprijs. Deze kans is π en we controleren of onder deze kans aan de martingaaleigenschap van stelling 4.3.1 wordt voldaan. Bij deze controle gebruiken we vergelijkingen (3.1), (4.7), (5.8), (5.9), (5.10) en (5.11): ˜ Em [D(m)P (m + ∆, n)] = D(m) πh(n − m − 1) +

P (m, n) P (m, m + ∆) P (m, n) ∗ (1 − π)h (n − m − 1) P (m, m + ∆)

P (m, n) = D(m) P (m, m + ∆)

π (1 − π)δ (n−m−1) + π + (1 − π)δ (n−m−1) π + (1 − π)δ (n−m−1)

P (m, n) P (m, m + ∆) = D(m)P (m, n)(1 + r(m)∆)

= D(m)

= D(m − ∆)P (m, n) Uit stelling 4.3.1 volgt nu dat het Ho-Lee model arbitragevrij is.

5.4

Voorbeeld

Beschouw een model met tijdstappen van één jaar. Omdat ∆ een jaar is en de rente per jaar bekeken wordt, geldt ∆ = 1. Neem aan: P (0, 1) = 0.9346 P (0, 2) = 0.8735 P (0, 3) = 0.8162 π = 0.5 en N = 2. Uit lemma 5.2.5 volgt:   1    0.5   P (0,3)   P (0,2) − 0.5  P (0,(x+1)) − π x   − 0.5 P (0,x)) P (0,1) P (0,2)       max = max ,    1≤x≤N  1−π 1 − 0.5 1 − 0.5   ≈ max{0.8692, 0.9321} = 0.9321 Daarmee geldt: 0.9321 ≤ δ < 1.

29

!

Neem aan δ = 0.95. Nu volgt met vergelijkingen (5.8) en (5.9) en lemma 5.2.3: 1 h(1) = π+(1−π)δ = 40 39 1 800 h(2) = π+(1−π)δ = 2 761 P1 (1, 2) = P0 (1, 2) = P2 (2, 3) = P1 (2, 3) = P0 (2, 3) = Dan: r(0) =

P (0,2) P (0,1) h(1) ≈ 0.9586 P (0,2) P (0,1) h(1)δ ≈ 0.9107 P (0,3) P (0,2) h(2) ≈ 0.9823 P (0,3) P (0,2) h(2)δ ≈ 0.9332 P (0,3) 2 P (0,2) h(2)δ ≈ 0.8865

1 P (0,1)

− 1 ≈ 0.07

r1 (1) = r0 (1) =

1 P1 (1,2) 1 P0 (1,2)

− 1 ≈ 0.0432 − 1 ≈ 0.0981

r2 (2) = r1 (2) = r0 (2) =

1 P2 (2,3) 1 P1 (2,3) 1 P0 (2,3)

− 1 ≈ 0.0180 − 1 ≈ 0.0716 − 1 ≈ 0.1280

Dit resulteert in de volgende renteboom: Tijdstip

0

1

2 1.80%

4.32% 7.00%

7.16% 9.81% 12.80%

30

6

Rentederivaten

In hoofdstuk 4 is het al naar voren gekomen: een derivaat met als onderliggende waarde de rente. Zo’n derivaat is een contract dat we kunnen kopen of verkopen voor een bepaalde prijs (soms voor 0 euro). In dit contract is afgesproken dat op een afgesproken tijdstip, of meerdere tijdstippen, in de toekomst één van de partijen een bepaald bedrag zal moeten betalen aan de andere partij. De hoogte van dit bedrag hangt af van de ontwikkeling van de rente tussen het afsluiten van het contract en de betalingsdatum. Het is mogelijk dat dit bedrag 0 euro is. Dit hoofdstuk legt een aantal van deze derivaten uit. Omdat het Ho-Lee model arbitragevrij is, is het mogelijk om een “eerlijke”prijs van zo’n derivaat te bepalen. Dit betekent dat het kopen of verkopen van het derivaat gerepliceerd kan worden met een portfolio van obligaties. Wat dit allemaal betekent, komt aan bod in dit hoofdstuk. In paragraaf 1 staan voorbeelden van rentederivaten. In paragraaf 2 staat hoe de prijs van zo’n derivaat bepaald kan worden en in paragraaf 3 staat vervolgens hoe een replicerend portfolio gemaakt kan worden. We beschouwen opnieuw de tijdstippen m en n, willekeurig maar vast, zodanig dat geldt: 0≤m
6.1

m ∆

en n =

n ∆.

en

m n , ∈N ∆ ∆

Kies nu i ∈ {0, 1, ..., m}, willekeurig maar vast.

Verschillende rentederivaten

Een rente caplet met eindtijdstip m en strike K is een contract dat als uitbetaling Cm = max{r(m − ∆)∆ − K, 0} heeft. Deze uitbetaling vindt plaats op tijdstip m. Een x-periode rente cap is een contract dat C∆ ,C2∆ ,...,Cx∆ respectievelijk op tijdstip ∆,2∆,...,x∆ betaalt. Een rente floorlet met eindtijdstip m en strike K is een contract dat als uitbetaling Fm = max{K − r(m − ∆)∆, 0} heeft. Deze uitbetaling vindt plaats op tijdstip m. Een x-periode rente floor is een contract dat F∆ ,F2∆ ,...,Fx∆ respectievelijk op tijdstip ∆,2∆,...,x∆ betaalt. Beschouw een call-optie met eindtijdstip m, met als onderliggende waarde een obligatie met eindtijdstip n, en strike K. Deze optie geeft de houder het recht om op tijdstip m een obligatie met resterende looptijd n − m te kopen voor K euro. Dit recht zal de houder alleen uitoefenen als P (m, n) hoger is dan K. De call-optie heeft de volgende uitbetaling op tijdstip m: max{P (m, n) − K, 0}. Een put-optie met eindtijdstip m, met als onderliggende waarde een obligatie met eindtijdstip n, en strike K heeft de volgende uitbetaling op tijdstip m: max{K − P (m, n), 0}. Deze optie geeft de houder het recht om op tijdstip m een obligatie met resterende looptijd n − m te kopen voor K euro. De houder zal deze optie alleen uitoefenen als K > P (m, n).

31

6.2

De prijs van een rentederivaat

Het Ho-Le model is arbitragevrij. Met dit model kunnen we een prijs bepalen voor een rentederivaat. Deze prijs wordt berekend met behulp van de risiconeutrale kansen (π en 1 − π) en wordt ook wel de “eerlijke”prijs genoemd met betrekking tot het model. Op het uitbetalingstijdstip kan de uitbetaling per toestand van de rente berekend worden. Deze uitbetaling kan afhankelijk zijn van het pad dat de rente heeft gevolgd. Via de risiconeutrale kans op dit pad en de hoogte van de rente op ieder tijdstip in het pad kan dan, met behulp van een verdisconteringsfactor, worden uitgerekend wat deze uitbetaling op het begintijdstip waard is. Met deze risiconeutraleverwachting van de uitbetaling kan dan de prijs worden bepaald van het derivaat. Via een voorbeeld wordt dit principe verduidelijkt: Voorbeeld Dit voorbeeld is een vervolg op het voorbeeld in paragraaf 5.4. Waarbij de renteboom er alsvolgt uit ziet: Tijdstip

0

1

2 1.80%

4.32% 7.00%

7.16% 9.81% 12.80%

Op ieder punt in de boom is de risiconeutrale kans op dalen van de rente, π, gelijk aan de risiconeutrale kans op stijgen van de rente, deze kans is 0.5. Wat zou nu een eerlijke prijs zijn op tijdstip 0 voor een caplet met eindtijdstip 3 en strike 0.075? Als eerste bekijken we de mogelijke uitbetalingen op tijdstip 3: 0.053 als r(2) = 0.128% 0 als r(2) = 0.0716% 0 als r(2) = 0.018% De eerlijke prijs wordt gegeven door de risiconeutrale verwachting van de verdisconteerde uitbetaling: 0.053 0 + 0.25 1.07 · 1.0981 · 1.128 1.07 · 1.098 · 1.0716 0 0 + 0.25 + 0.25 1.07 · 1.0432 · 1.0716 1.07 · 1.0432 · 1.018 ≈ 0.009997

˜ D(3)(r(2) − 0.075)+ = 0.25 E

De prijs van deze caplet is dus 1 eurocent.

Op eenzelfde manier kunnen de prijzen van andere derivaten worden berekend. Belangrijk is om te zien dat de verdisconteringsfactor padafhankelijk is. Als de betalingen verder in de toekomst liggen, zal het aantrekkelijker worden om met de computer de prijzen te berekenen. Hieronder zal een recursieve methode worden gegeven hoe de prijs van een call-optie met als onderliggende 32

waarde een obligatie met eindtijdstip n berekend kan worden. Het eindtijdstip van deze calloptie is m. De prijs van deze calloptie V (0) wordt, net als in het bovenstaande voorbeeld, bepaald met behulp van de risiconeutrale kansen. Bereken Vi (m) = (Pi (m, n) − K)+ voor i = 0, 1, 2, ..., m. En Vi (j) = Pi (j, j +∆)(πVi+1 (j +1)+(1−π)Vi (j)) voor alle j = 0, ∆, ..., m−∆ en i = 0, 1, 2, ..., j. Dan is de prijs van de calloptie gelijk aan V0 (0). Op een analoge manier kunnen we de prijzen van de andere derivaten gedefinieerd in paragraaf 6.1 op en recursieve wijze uitrekenen. Waarbij een x-periode cap (of floor) gezien kan worden als een som van x caplets. De prijs van deze cap is de som van de prijzen van de caplets.

6.3

Hedging

Stel we bezitten 0 euro en we verkopen de call-optie van paragraaf 6.2. Deze verkoop willen we hedgen, daarom gaan we een portfolio met obligaties opstellen om de verkoop te repliceren. We willen dat de waarde van dit portfolio plus de waarde van de call-optie op ieder moment gelijk is aan 0 euro. Zodat we op het tijdstip van expiratie van de call-optie met zekerheid geen winst of verlies hebben gemaakt. De waarde van de call-optie op tijdstip j, waarbij de rente zich in toestand i bevindt, wordt genoteerd als Vi (j). Dit voor alle j = 0, ∆, ..., m en i = 0, 1, 2, ..., j. In paragraaf 6.2 staat hoe we deze waarden uit kunnen rekenen. Op ieder tijdstip j ∈ {0, ∆, ..., m − ∆} moeten we bepaalde posities in een aantal obligaties met een verschillende looptijd nemen, zodat aan de volgende voorwaarden wordt voldaan: • Als de obligatieprijs op tijdstip j zich in staat i bevindt dan moet het portfolio Vi (j) waard zijn. • Als de rente daalt en op tijdstip j + ∆ zich in staat i + 1 bevindt moet het portfolio Vi+1 (j + 1) zijn. • Als de rente stijgt en zich op tijdstip j + 1 in staat i bevindt moet het portfolio Vi (j + 1) waard zijn. Om te zorgen dat aan deze drie voorwaarden wordt voldaan, kunnen we drie vergelijkingen opstellen: x1 · Pi (j, j + ∆) + x2 · Pi (j, j + 2∆) + x3 · Pi (j, j + 3∆) = Vi (j) x1 + x2 · Pi+1 (j + ∆, j + 2∆) + x3 · Pi+1 (j + ∆, j + 3∆) = Vi+1 (j + 1) (j+1)

x1 + x2 · Pi (j + ∆, j + 2∆) + x3 · Pi (j + ∆, j + 3∆) = Vi

Deze vergelijkingen zijn onafhankelijk, omdat δ, π ∈ (0, 1), waardoor we de inverteerbare matrix: 

 Pi (j, j + ∆) Pi (j, j + 2∆) Pi (j, j + 3∆) 1 Pi+1 (j + ∆, j + ∆) Pi+1 (j + ∆, j + 2∆)  Hi (j) =  1 Pi (j + ∆, j + ∆) Pi (j + ∆, j + 2∆) kunnen maken.

33

Nu volgt:    Vi (j) x1  x2  = (Hi (j))−1  Vi+1 (j + 1)  Vi (j + 1) x3 

Om de verkoop van de call-optie te repliceren moeten we op ieder tijdstip j zorgen dat ons portfolio bestaat uit x1 obligaties met resterende looptijd ∆, x2 obligaties met resterende looptijd 2∆ en x3 obligaties met resterende looptijd 3∆. Dit betekent dat deze call-optie alleen gerepliceerd kan worden als m ≤ T − ∆, omdat binnen het model de prijzen van obligaties tot en met eindtijdstip T + ∆ bekend zijn. Andere rentederivaten kunnen op een soortgelijke manier gerepliceerd worden. Voorbeeld Stel ∆ = 1 jaar en er geldt: P (0, 1) = 0.95, P (0, 2) = 0.9, P (0, 3) = 0.85, π = 0.5 en δ = 0.99. Dan volgt met behulp van (5.10) en (5.11): P1 (1, 1) = 1 P1 (1, 2) = 0.9521 P1 (1, 3) = 0.9037

P0 (1, 1) = 1 P0 (1, 2) = 0.9426 P0 (1, 3) = 0.8857

Stel we verkopen 100.000 call-optie met looptijd 1 jaar verkopen. Iedere call-optie geeft de houder het recht om een obligatie met resterende looptijd 1 jaar te kopen op tijdstip 1 voor 0.95 euro. De waarde van deze call-opties op tijdstip 1 is dan alsvolgt: V1 (1) = 210 euro. V0 (1) = 0 euro. Met behulp van de methode beschreven in paragraaf 6.2 volgt: V0 (0) = 0.95(0.5 · 210 + 0.5 · 0) = 99.75 De prijs die we vragen voor de call-opties is 99.75 euro en we willen deze verkoop repliceren. Met behulp van de matrixberekening, beschreven eerder in deze paragraaf, volgt dat we op tijdstip 0 de volgende acties moeten ondernemen: • We verkopen 209.895 obligaties met een looptijd van 1 jaar. • We kopen 420.000 obligaties met een looptijd van 2 jaar. • We verkopen 210.000 obligaties met een looptijd van 3 jaar. Ons portfolio met obligaties is dan (1 jaar,2 jaar,3 jaar)=(-209.895,+420.000,-210.000). Op tijdstip 0 is de waarde van dit portfolio is 99.75 euro. Deze waarde is daarmee gelijk aan de waarde van de call-opties. De belegging in dit portfolio en de verkoop van de call-opties kost ons in totaal 0 euro. Na één jaar zijn er twee mogelijke toestanden voor de rente en de obligatieprijzen mogelijk: • De rente is gedaald en bevindt zich in toestand 1. Ons portfolio is waard: −209895 · 1 + 420000 · 0.9521 − 210000 · 0.9037 = 210 euro= V1 (1) • De rente is gestegen en bevindt zich in toestand 0. Ons portfolio is waard: −209895 · 1 + 420000 · 0.9426 − 210000 · 0.8857 = 0 euro= V0 (1) Met behulp van dit portfolio is onze koop gerepliceerd. We kunnen met zekerheid zeggen dat we na één jaar geen winst of verlies hebben gemaakt. Op tijdstip 0 hebben we 0 euro ingelegd, dus dit is eerlijk. 34

7

Kalibreren

Met het kalibreren van een model wordt het schatten van de parameters van het model bedoeld. Dit schatten gebeurd aan de hand van bekende data. Als we het Ho-Lee model kalibreren, schatten we de parameters π en δ. Voor deze schatting is het nodig dat de obligatieprijzen P (0, ∆) tot en met P (0, T + ∆) bekend zijn. Ook zijn prijzen van rentederivaten nodig om een goede schatting te kunnen maken. In paragraaf 1 staat hoe de prijzen van de obligaties gevonden of, indien nodig, geschat kunnen worden uit bekende data. Paragraaf 2 vertelt hoe de prijzen van caps en floors met Matlab berekend kunnen worden, als π en δ bekend zijn. Vervolgens legt paragraaf 3 uit hoe er met Matlab een goede schatting voor π en δ gemaakt kan worden.

7.1

Het schatten of berekenen van de obligatieprijzen

Vaak zijn P (0, ∆) tot en met P (0, T + ∆) niet gegeven. In paragraaf 2.1 staat dat een obligatie met coupon een sommatie is van zero-coupon obligaties met verschillende looptijden. Op het moment dat prijzen van genoeg coupon obligaties bekend zijn, elk met alle betalingsmomenten in de verzameling {0, ∆, ..., T + ∆}, kan daarmee de prijzen van zero-coupon obligaties met verschillende einddata berekend worden. Dit heet het strippen van obligaties en dit principe wordt in appendix A uitgelegd. Als er niet voldoende gegevens beschikbaar zijn om voor iedere looptijd de obligatieprijs te berekenen, dan kan met behulp van interpolatie (of eventueel extrapolatie) de obligatieprijs geschat worden. In appendix B staan twee verschillende methodes om zo’n schatting te doen beschreven. Eis voor de schatting(en) Bij het schatten en berekenen van de obligatieprijzen moet erop gelet worden dat altijd geldt: 1 = P (0, 0) ≥ P (0, ∆) ≥ ... ≥ P (0, T + ∆) > 0 Dit moet gelden omdat de rente nooit negatief of oneindig kan zijn en er geen arbitrage strategie mag bestaan. Stel P (0, i∆) < P (0, (i + 1)∆), dan is er de volgende arbitrage strategie: We verkopen een obligatie met een looptijd van (i + 1)∆ voor P (0, (i + 1)∆) euro. We kopen van dit bedrag P (0,(i+1)∆) obligaties met een looptijd van i∆. Dit kost ons in totaal 0 euro. P (0,i∆) euro . Vervolgens ontvangen we na i tijdstappen P (0,(i+1)∆) P (0,i∆) Na i + 1 tijdstappen moeten we 1 euro betalen. Op tijdstip (i + 1)∆ hebben we met zekerheid PP(i+1) (i) − 1 euro , terwijl we niks hebben ingelegd.

7.2

Het berekenen van de prijs van een cap of een floor

Stel P (0, ∆) tot en met P (0, T + ∆), π en δ zijn bekend. Hoe kan dan de prijs van een cap of een floor, die uitbetaalt op één of meerdere van de volgende tijdstippen: ∆, 2∆, ..., T + ∆, berekend worden? In paragraaf 6.2 is al verteld hoe we dit kunnen doen, maar hoe langer het duurt voordat de uitbetalingen plaats vinden, hoe beter het is om het rekenwerk met de computer te doen. In bijlage 1 is de code van twee functionfiles van Matlab te vinden. In deze paragraaf wordt uitgelegd hoe deze functionfiles werken en wat er berekend wordt.

35

Een cap heeft de uitbetalingstijdstippen x0 , x1 , ..., xj , met x0 < x1 < ... < xj en xh ∈ {0, ∆, ..., T + ∆}, voor h = 1, 2, ..., j. De strike van de cap is K. Met behulp van de eerste functionfile kunnen we de prijs van deze cap berekenen. Dit kan door cap([x1 , ..., xj ], [π, δ], K, [P (0, ∆), ..., P (0, T + ∆)]) op te roepen. De functionfile doet dan het volgende: Met π, δ en P (0, ∆) tot en met P (0, T + ∆) wordt een binomiale boom berekend. In deze boom staan de prijzen van een obligatie met resterende looptijd ∆. Deze berekeningen gebeuren met lemma 5.2.3. Vervolgens wordt op ieder tijdstip xh de mogelijke uitbetalingen berekend. Deze uitbetalingen worden, met behulp van de boom en de risiconeutrale kans π, teruggerekend naar de verdisconteerde risiconeutrale verwachting op tijdstip 0. De uitkomsten hiervan worden bij elkaar opgeteld. Deze waarde wordt gereturnd en is de prijs van de cap. Op het moment dat de prijs van een cap met verschillende strikes wordt gezocht, kan dit gezien worden als een som van verschillende caps met één strike. De tweede functionfile werkt op een analoge manier. Dit programma berekend de prijs van een floor met uitbetalingstijdstippen xh en strike K. Deze prijs wordt gereturnd op het moment dat floorr([x1 , ..., xj ], [π, δ], K, [P (0, ∆), ..., P (0, T + ∆)]) opgeroepen wordt.

7.3

Het schatten van de parameters

Hoe kunnen π en δ geschat worden als ze niet bekend zijn? Hiervoor zijn prijzen van derivaten met als onderliggende waarde de rente nodig. Bijvoorbeeld de prijzen van caps en floors. Alle uitbetalingen van deze derivaten dienen plaats te vinden op één of meerdere van de volgende tijdstippen: 0, ∆, ..., T + ∆. De prijs van een cap of floor hangt, zoals in de vorige paragraaf staat vermeld, af van π, δ en de obligatieprijzen. Op het moment dat de obligatieprijzen bekend zijn, moeten er minimaal twee prijzen van caps en/of floors bekend zijn om hieruit π en δ te kunnen schatten. Een manier om dit te doen staat beschreven in het volgende voorbeeld. Voorbeeld: De obligatieprijzen met een looptijd van 1 maand, 2 maanden tot en met 12 maanden zijn bek1 end. Er geldt ∆ = 12 . Deze prijzen zijn alsvolgt: 1 5 P (0, 12 ) = 0.9962, P (0, 61 ) = 0.9920, P (0, 14 ) = 0.9876, P (0, 13 ) = 0.9832, P (0, 12 ) = 0.9788, 1 7 2 3 P (0, 2 ) = 0.9745, P (0, 12 ) = 0.9704, P (0, 3 ) = 0.9663, P (0, 4 ) = 0.9623, P (0, 65 ) = 0.9581, P (0, 11 12 ) = 0.9537, P (0, 1) = 0.9487. En noem: P = [0.9962, 0.9920, 0.9876, 0.9832, 0.9788, 0.9745, 0.9704, 0.9663, 0.9623, 0.9581, 0.9537, 0.9487]. Ook is de prijs van een cap bekend. Deze cap betaalt na elke maand i: n o max r(i−1) − 0.002, 0 = max

(

1 − 1.002 i i+1 P ( 12 , 12 )

)

De prijs van deze cap is 0.0287. De prijs van een floor, die na 2, 4, 6, 8, 10 en 12 maanden een uitbetaling doet en strike 0.007 heeft, is 0.0154. Het is bekend dat 0 < π < 1 en 0 < δ < 1. Ook staan in lemma 5.2.5 een vergelijking tussen π en δ waaraan voldaan moet worden. We willen met deze gegevens de parameters π en δ schatten. Hiervoor is een Matlabprogramma geschreven die in bijlage 2 gegeven wordt, dit programma 36

werkt als volgt: Als eerste wordt er een for-loop gemaakt, iedere π tussen 0.01 en 0.99 wordt bekeken met tussenstappen van 0.01. Vervolgens wordt met lemma 5.2.5 bekeken wat de minimale δ moet zijn op drie decimalen nauwkeurig. Hierbij ronden we naar boven af. Als deze minimale δ groter of gelijk is aan 1 stopt het prgramma voor die π en kijken we naar de volgende π. Als de minimale δ < 1 dan worde alle positieve δ’s tussen de minimale δ en 0.999 bekeken met tussenstappen van 0.001. Voor iedere δ en π wordt de som van |cap([1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12], [π, δ], 0.002, P )−0.0287| en |floorr([2, 4, 6, 8, 10, 12], [π, δ], 0.007, P ) − 0.0154| bekeken. Op het moment dat deze som kleiner is dan bij alle vorige bekeken combinaties van π en δ, worden deze π en δ en de som opgeslagen. Als alle mogelijke combinaties van π en δ zijn doorlopen, dan hebben we één δ en één π opgeslagen. Voor deze combinatie is de fout het kleinste. Dit vormt de schatting voor de parameters. In dit voorbeeld geldt: π b = 0.8 en b δ = 0.998 De totale fout is ongeveer 0.00006. Omdat de prijzen van de cap en floor op 3 decimalen zijn afgerond is dit nauwkeurig genoeg. Op het moment dat de schatting niet nauwkeurig genoeg gevonden wordt, kunnen alle π’s en δ’s met kleinere tussenstappen bekeken worden. Bij dit voorbeeld kunnen we een hele nauwkeurige schatting doen voor de parameters. Als er bijvoorbeeld meer prijzen bekend zijn van caps en floors, kan het zijn dat we geen hele nauwkeurige schatting meer kunnen doen. Toch kan er dan met de bovenstaande methode de parameters geschat worden met de kleinste totale fout en waarbij er geen negatieve rente mogelijk is.

37

8

Convergentie

Wat zou er gebeuren met het Ho-Lee model als ∆ heel klein is? Dit hoofdstuk bekijkt de convergentie in het Ho-Lee model van de forward rate, f (m, n), als ∆ → 0. In paragraaf 3.2 is al afgeleid dat r(m) = f (m, m). Als er een continu model voor de forward rate is gevonden, is daarmee automatisch een continu model voor de rente gevonden. Paragraaf 1 behandelt de convergentie als er gewerkt wordt met samengestelde rente. Dit blijkt niet handig te zijn. Paragraaf 2 bekijkt hoe de convergentie van samengestelde rente eruit ziet. Hierdoor kan in paragraaf 3 opnieuw de convergentie van de forward rate bekeken worden, waarbij er makkelijkere vergelijkingen gevonden worden.

8.1

Met samengestelde rente

Beschouw de tijdstippen m en n, willekeurig maar vast, zodanig dat geldt: 0≤m
m ∆

en n =

en

m n , ∈N ∆ ∆

n ∆.

In paragraaf 3.2 staat: f (m, n) =

P (m, n) − P (m, n + ∆) P (m, n + ∆)

/∆

(8.13)

Uit (8.13) volgt: P (m, n) =

P (m, n − ∆) 1 + f (m, n − ∆)∆

En hieruit volgt: P (m, n) =

P (m, n − 2∆) (1 + f (m, n − ∆)∆)(1 + f (m, n − 2∆)∆)

Dit resulteert in de volgende vergelijking: P (m, n) = Qn−m j=1

P (m, m) (1 + f (m, n − j∆)∆)

= Qm−n j=1

1 (1 + f (m, n − j∆)∆)

(8.14)

Ook kan de totale rente, B, ontvangen vanaf het begintijdstip tot en met tijdstip m gedefinieerd worden als: m−1 m−1 Y Y 1 B(m) = = (1 + r(j∆)∆) = (1 + f (j∆, j∆)∆) (8.15) D(m) j=0

j=0

De prijs P (m, n) en de rente B(m) zijn afhankelijk van wat er op alle voorgaande stappen is gebeurd. Ditzelfde geldt voor f (m, n). Dit wordt weergeven in de volgende vergelijking: f (m, n) = f (0, n) +

m X (aj [u(j∆, n) − v(j∆, n)] + v(j∆, n)) j=1

39

(8.16)

Met aj =

1 met kans p ∈ (0, 1) 0 met kans 1 − p

Waarbij p de kans is dat de rente op tijdstip j∆ (de rente over de periode [j∆, (j + 1)∆]) lager is dan op tijdstip (j − 1)∆. Deze kans p is onafhankelijk van de tijd en hangt daarom niet van j af. Dit hebben we in het Ho-Lee model aangenomen. En u : [0, T ]×[0, T ] → R, v : [0, T ]×[0, T ] → R zijn random functies, die op tijdstip m, afhangen van de informatie tot en met tijdstip m. Definieer nu: Z(m, n) =

P (m, n) 1 = Qn−m Qm−1 B(m) j=1 (1 + f (m, n − j∆)∆) j=0 (1 + f (j∆, j∆)∆)

(8.17)

Invullen van (8.16) in (8.17) geeft:  ! n−m m Y X 1 = 1 + f (0, n − j∆)∆ + (ai [u(i∆, n − j∆) − v(i∆, n − j∆)] + v(i∆, n − j∆))∆ · Z(m, n) j=1

m−1 Y j=0

i=1

1 + f (0, j∆)∆ +

j X

! (ai [u(i∆, j∆) − v(i∆, j∆)] + v(i∆, j∆))∆ 

i=1

Het werken met sommen in producten is lastig. We bekijken in paragraaf 2 of dit voorkomen kan worden.

8.2

Convergentie samengestelde rente

We starten op tijdstip 0 met een bedrag van 1 euro. Na iedere periode wordt er rente ontvangen. Ook ontvangen we rente over rente, ookwel samengestelde rente genoemd. Op tijdstip m is dit bedrag dan gegroeid tot B(m). Als ∆ kleiner wordt, wordt er op meer momenten rente ontvangen. Deze paragraaf bekijkt de totale rente tot en met tijdstip m als ∆ → 0. Wat is: lim

∆→0

m−1 Y

(1 + r(j∆)∆)?

i=0

In paragraaf 3.4 hebben we aangenomen dat rente nooit negatief of oneindig is. Er volgt dat als ∆ heel klein is, dan is r(j∆)∆ ook heel klein.

De Taylorreeks van exp(x) rond 0 is: exp(x) =

∞ X xn n=0

n!

Hieruit volgt: exp(x) = 1 + x + o(x2 ) Waarbij: o(x2 ) lim =0 x→0 x2

40

Op het moment dat x heel dicht bij 0 zit geldt: exp(x) ≈ 1 + x

Er geldt: exp(r(j∆)∆) + o(∆) = 1 + r(j∆)∆ Hieruit kan worden geconcludeerd:

B(m) = lim

∆→0

m−1 Y

(1 + r(j∆)∆) = lim

∆→0

j=0



m−1 Y





(exp(r(j∆)∆) + o(∆)) = lim exp 

(r(j∆)∆)

m−1 X

∆→0

j=0

j=0



Z m x−1 X m m = exp r(x)dx r j x→∞ x x 0

= exp  lim

j=0

Het limiet in de exponent zetten mag, omdat de exponentiële functie een continue positieve functie is. De laatste stap volgt uit de definitie van de Riemann integraal. We willen de convergentie van de forward rate bekijken als ∆ → 0. Nu kunnen we met continue rente rekenen in plaats van met samengestelde rente. Dit zal onze berekeningen vereenvoudigen.

8.3 8.3.1

Convergentie Ho-Lee model Omschrijven f (m, n)

Beschouw opnieuw de tijdstippen m en n, willekeurig maar vast, zodanig dat geldt: 0≤m
m ∆

en n =

en

m n , ∈N ∆ ∆

n ∆.

De rente wordt continu betaald. Voor de forward rate geldt dan: exp(f (m, n)∆) − 1 =

P (m, n) − P (m, n + ∆) P (m, n + ∆)

Hieruit volgt: f (m, n) = ln

P (m, n) P (m, n + ∆)

/∆

Dit resulteert in de volgende vergelijking voor de forward rate: P (m, n + ∆) f (m, n) = − ln /∆ P (m, n) Uit vergelijking (8.18) volgt voor alle j ∈ {0, 1, ..., n − m − 1}: P (m, n − j∆) = exp(−f (m, n − (j + 1)∆)P (m, n − (j + 1)∆) En er geldt: P (m, m) = 1 41

(8.18)

Dit resulteert in de volgende vergelijking:  P (m, n) = exp −

n−1 X

 f (m, j∆)

(8.19)

j=m

Uit paragraaf 8.2 volgt dat de totale rente B vanaf het begintijdstip tot tijdstip m, met continue rente, wordt weergeven als:   m−1 X r(j∆)∆ B(m) = exp  (8.20) j=0

De prijs P (m, n) en de totale rente B(m) zijn afhankelijk van wat er tussen tijdstip 0 en tijdstip m is gebeurd. Ditzelfde geldt voor de forward rate: f (m, n). Dit wordt weergeven in de volgende vergelijking:

f (m, n) = f (0, n) +

m X

(aj [u(j∆, n) − v(j∆, n)] + v(j∆, n))

(8.21)

j=1

Met aj =

1 met kans p ∈ (0, 1) 0 met kans 1 − p

Waarbij p de kans is dat de rente op tijdstip j∆ lager is dan op tijdstip (j − 1)∆. Deze kans p is onafhankelijk van de tijd en hangt dus niet af van j, omdat het Ho-Lee model dit aanneemt. En u : [0, T ] × [0, T ] → R, v : [0, T ] × [0, T ] → R zijn random functies, die op tijdstip m, afhangen van de informatie vanaf tijdstip 0 tot en met tijdstip m. Herinner r(m) = f (m, m). Uit vergelijking (8.21) volgt dan direct:

r(m) = f (0, m) +

m X

(aj [u(j∆, m) − v(j∆, m)] + v(j∆, m))

(8.22)

j=1

Definieer Z(m, n) = P (m, n)/B(m), invullen van vergelijkingen (8.19) en (8.20) geeft:  Z(m, n) = exp −

n−1 X

f (m, j∆)∆ −

j=m

m−1 X j=0

42

 f (j∆, j∆)∆

(8.23)

Met vergelijking (8.21) volgt: n−1 X

f (m, j∆) = f (m, m) + f (m, m + ∆) + ... + f (m, n − ∆)

j=m

= f (0, m) +

m X

(ai [u(i∆, m) − v(i∆, m)] + v(i∆, m))

i=1 m X

+ f (0, m + ∆) +

+ f (0, n − ∆) +

=

(ai [u(i∆, m + ∆) − v(i∆, m + ∆)] + v(i∆, m + ∆))

i=1 m X

(ai [u(i∆, n − ∆) − v(i∆, n − ∆)] + v(i∆, n − ∆))

i=1 n−1 m XX

n−1 X

f (0, j∆) +

j=m

(ai [u(i∆, j∆) − v(i∆, j∆)] + v(i∆, j∆))

j=m i=1

Op een analoge manier volgt uit (8.22): m−1 X

f (j∆, j∆) =

m−1 X

j=0

f (0, j∆) +

j m−1 XX

j=0

(ai [u(i∆, j∆) − v(i∆, j∆)] + v(i∆, j∆))

j=1 i=1

Het bovenstaande invullen in (8.23) resulteert in:  n−1 X  Z(m, n) = exp − f (0, j∆)∆ j=0

−

n−1 m XX

(ai [u(i∆, j∆) − v(i∆, j∆)] + v(i∆, j∆))∆

(8.24)

j=m i=1

−



j m−1 XX

(ai [u(i∆, j∆) − v(i∆, j∆)] + v(i∆, j∆))∆

j=1 i=1

Omschrijven van vergelijking (8.24) geeft:   n−1 m n−1 X X X f (0, j∆)∆ − (ai [u(i∆, j∆) − v(i∆, j∆)] + v(i∆, j∆))∆ (8.25) Z(m, n) = exp − j=0

i=1 j=i

Uit vergelijking (8.25) volgt de volgende relatie tussen Z(m, n) en Z(m, n − ∆):   n−1 X Z(m, n) = Z(m − ∆, n) · exp − (am [u(m, j∆) − v(m, j∆)] − v(m, j∆))∆

(8.26)

j=m

Het Ho-Lee model is arbitragevrij met π is de risiconeutrale kans op dalen van de rente en 1 − π is de risiconeutrale kans op stijgen van de rente. Uit stelling 4.3.1 volgt nu dat: ˜ m−∆ [Z(m, n)] = Z(m − ∆, n) E 43

Onder de risiconeutrale kans geldt: am = 1 met kans π en am = 0 met kans 1 − π. Hieruit volgt dat:  π exp −

n−1 X





u(m, j∆)∆ + (1 − π) exp −

j=m

n−1 X

 v(m, j∆)∆ = 1

(8.27)

j=m

We nemen aan: varm−∆ (f (m, n) − f (m − ∆, n)) = σ 2 ∆

(8.28)

Waarbij σ > 0 constant is en varm−∆ de conditionele variantie is waarbij de informatie tot tijdstip m − ∆ bekend is.

Op tijdstip (m − ∆) is f (m − ∆, n) bekend en deze kan in de conditionele verwachting in vergelijking (8.28) daarom als constante worden beschouwd: varm−∆ (f (m, n) − f (m − ∆, n)) = varm−∆ (f (m, n)) Toch is het handig bij de berekening van de variantie om f (m − ∆, n) erin te laten staan. Door invullen van vergelijking (8.21) volgt namelijk: Em−∆ [f (m, n)−f (m−∆, n)] = Em−∆ [am [u(m, n)−v(m, n)]+v(m, n)] = p(u(m, n))+(1−p)v(m, n) en Em−∆ [(f (m, n) − f (m − ∆, n))2 ] = Em−∆ [(am [u(m, n) − v(m, n))2 ] + v(m, n)] = p(u(m, n))2 + (1 − p)v(m, n)2 Dus: varm−∆ (f (m, n) − f (m − ∆, n)) = Em−∆ [(f (m, n) − f (m − ∆, n))2 ] − (Em−∆ [f (m, n) − f (m − ∆, n)])2 = p(1 − p)(u(m, n) − v(m, n))2 Het bovenstaande invullen in de aanname in (8.28) geeft: √ σ ∆ u(m, n) − v(m, n) = p p(1 − p)

(8.29)

Omdat σ, ∆ en p onafhankelijk zijn van de keus voor n en n zo is gekozen dat n ≥ m volgt:

−

n−1 X j=m

u(m, j∆)∆ = −

n−1 X

"

√ σ ∆

#

v(m, j∆)∆ + p ∆ p(1 − p) j=m √ n−1 X σ∆ ∆ = − v(m, j∆)∆ − (n − m) p p(1 − p) j=m 44

(8.30)

Substitutie van vergelijking (8.30) in vergelijking (8.27) geeft:     √ n−1 n−1 X X σ∆ ∆  π exp − v(m, j∆)∆ − (n − m) p + (1 − π) exp − v(m, j∆)∆ = 1 p(1 − p) j=m j=m Omschrijven geeft: !# √ σ∆ ∆ v(m, j∆)∆ = ln 1 − π + π exp (m − n) p p(1 − p) j=m n−1 X

"

(8.31)

Merk op:   n n−1 X X v(j∆, n) =  v(j∆, i∆)∆ − v(j∆, i∆)∆ /∆ i=j

i=j

Invullen van vergelijking (8.31) geeft: "

!# √ σ∆ ∆ v(j∆, n) = ln 1 − π + π exp (j − n − 1) p /∆ p(1 − p) " !# √ σ∆ ∆ − ln 1 − π + π exp (j − n) p /∆ p(1 − p)

Hieruit kan worden geconcludeerd: !# √ σ∆ ∆ v(j∆, n) = ln 1 − π + π exp (j − n − 1) p p(1 − p) j=1 j=1 " !#! √ σ∆ ∆ /∆ − ln 1 − π + π exp (j − n) p p(1 − p)

m X

m X

"

Dit is een zogeheten telescoopsom. Bij het uitsommeren valt bijna alles tegen elkaar weg. Wat over blijft is: " !# √ m X σ∆ ∆ v(j∆, n) = ln 1 − π + π exp −n p /∆ (8.32) p(1 − p) j=1 " !# √ σ∆ ∆ − ln 1 − π + π exp (m − n) p /∆ p(1 − p) We substitueren vergelijkingen (8.29) en (8.32) in (8.21) en merken op dat m = f (m, n) = f (0, n) +

m X

aj [u(j∆, n) − v(j∆, n)] +

j=1 m X

m X

m ∆

en n =

v(j∆, n)

(8.33)

j=1

"

√ σ ∆

#

"

√ σ ∆

+ ln 1 − π + π exp −n p aj p p(1 − p) p(1 − p) " !# √ σ ∆ − ln 1 − π + π exp (m − n) p /∆ p(1 − p) = f (0, n) +

j=1

45

n ∆:

!# /∆

8.3.2

Convergentie van f (m, n)

√ Zij w constant. De taylorexpansie van exp(w ∆) is: √ √ w2 ∆ exp(w ∆) = 1 + w ∆ + + o(∆) 2 Waarbij: lim

∆→0

o(∆) =0 ∆

De taylorexpansie van ln(1 + x): 1 ln(1 + x) = x − x2 + o(x2 ) 2 Hieruit volgt: √ √ πw2 ∆ = ln 1 + πw ∆ + + o(∆) ln 1 − π + π exp(w∆ ∆) 2 2 √ √ πw2 ∆ 1 πw2 ∆ − πw ∆ + = πw ∆ + + o(∆) 2 2 2 √ πw2 ∆ π 2 w2 ∆ − + o(∆) = πw ∆ + 2 2 Hieruit volgt: √ σ ∆

!!

ln 1 − π + π exp −n p p(1 − p) √ σ ∆ σ2∆ σ2∆ = − πn p − π 2 n2 + o(∆) + πn2 2p(1 − p) 2p(1 − p) p(1 − p) √ σ ∆

!!

ln 1 − π + π exp (m − n) p p(1 − p) √ σ ∆ σ2∆ σ2∆ = π(m − n) p + π(m − n)2 − π 2 (m − n)2 + o(∆) 2p(1 − p) 2p(1 − p) p(1 − p) Het bovenstaande invullen in vergelijking (8.33) geeft: " # √ m X σ ∆ aj p f (m, n) = f (0, n) + p(1 − p) j=1 σ σ2 σ2 − πn p + πn2 − π 2 n2 2p(1 − p) 2p(1 − p) ∆p(1 − p) σ σ2 σ2 o(∆) − π(m − n) p − π(m − n)2 + π 2 (m − n)2 + (8.34) 2p(1 − p) 2p(1 − p) ∆ ∆p(1 − p) " # √ m X σ ∆ = f (0, n) + aj p p(1 − p) j=1 − πm p

σ ∆p(1 − p)

+ (mn −

m2 σ2 o(∆) )π(1 − π) + 2 p(1 − p) ∆ 46

We splitsen de functie f (m, n) in vier delen gesplitst, zodat we van elk deel de convergentie kunnen bekijken als ∆ → 0. o(∆) ∆ σ + (p − π)m p ∆p(1 − p)

f (m, n) = f (0, n) +

(8.35)

m2 σ2 + (mn − )π(1 − π) 2 p(1 − p) " # √ m X σ ∆ σ + aj p − pm p p(1 − p) ∆p(1 − p) j=1 Convergentie van deel 1: Het is bekend dat:

o(∆) =0 ∆→0 ∆ lim

Hieruit volgt: lim f (0, n) +

∆→0

o(∆) = f (0, n) ∆

(8.36)

Convergentie van deel 2: Omdat m, σ en p allen positief en constant zijn geldt: mσ p > 0 en constant p(1 − p) Nu volgt:  als p = π  0 σ +∞ als p > π lim (p − π)m p = ∆→0 ∆p(1 − p)  −∞ als p < π

(8.37)

Alleen als de kans op dalen van de rent, p, gelijk is aan de risiconeutrale kans hierop, π, convergeert het de forward rate. Vanaf nu wordt aangenomen dat p = π, om zo tot convergentie te komen.

Convergentie van deel 3: Er geldt: p = π. Nu volgt: m2 σ2 m2 mn − π(1 − π) = mn − σ2 2 p(1 − p) 2 Deze formule is onafhankelijk van ∆.

47

(8.38)

Convergentie van deel 4: De centrale limietstelling zal worden gebruikt bij de convergentie van deel 4 van de formule: Centrale limietstelling Zij X1 , X2 , ... een rij identieke, onafhankelijk verdeelde stochasten. Met E[Xi ] = µ en var(Xi ) = σ 2 < ∞. Als n → ∞, dan:

n X d (Xi − µ) − → N (0, σ 2 ) i=1

Er geldt: √ σ ∆

√ σ ∆

E[ai p ] = pp p(1 − p) p(1 − p) √ σ ∆ var[ai p ] = σ2∆ < ∞ p(1 − p) Uit de centrale limietstelling volgt nu als m → ∞: √

Pm

− p) √σ ∆ p(1−p) d √ − → N (0, σ 2 ) = σN (0, 1) m∆

j=1 (aj

Omdat m =

m ∆

volgt: m X

σ d − → σN (0, m) (aj − p) p p(1 − p) j=1

Hieruit kunnen we concluderen: lim

m X

∆→0

(aj − p) p

j=1

√ σ ∆ p(1 − p)

= σW (m)

(8.39)

Waarbij W (m) het wienerproces is. Conclusie Samenvoegen van vergelijkingen (8.36), (8.37), (8.38) en (8.39) geeft: m2 lim f (m, n) = f (0, n) + mn − σ 2 + σW (m) ∆→0 2

(8.40)

Voor de rente op ieder tijdstip m volgt nu: lim r(m) = lim f (m, m) = f (0, m) +

∆→0

∆→0

Waarbij moet gelden p = π en σ > 0 is constant.

48

m2 2 σ + σW (m) 2

(8.41)

Het Wienerproces is als volgt gedefinieerd: • W(0)=0. • W(m) is bijna zeker continu. • W(m) heeft onafhankelijke aangroeiingen. Dit betekent dat W (m2 ) − W (m1 ) en W (m4 ) − W (m3 ) onderling onafhankelijk zijn als 0 ≤ m1 < m2 ≤ m3 < m4 ≤ n. • W (m2 ) − W (m1 ) is N (0, m2 − m1 ) verdeeld. Opmerkingen: Voor het forward rate proces hebben we gezegd dat het laatste deel van de formule naar het Wienerproces (maal σ) convergeert. Voor dit deel van de formule moet het bovenstaande gelden. In woorden proberen we punt 1, 3 en 4 duidelijk te maken. We nemen aan dat punt 2 waar is. Op tijdstip 0 is de rentestand bekend en dus niet stochastisch. Dus klopt het dat W (0) = 0. De (mogelijke) aangroeiing van de rente tussen tijdstip m3 en m4 is alleen afhankelijk van de obligatieprijzen op tijdstip m3 en niet van vorige obligatieprijzen. Omdat de binomiale boom recombinerend is kan op tijdstip m1 opnieuw de convergentie van het forward rate proces bekeken worden. Dan zal tot de conclusie gekomen worden dat het laatste deel van de formule tot σN (0, m2 − m1 ) convergeert. Het Ho-Lee model neemt aan dat p(m) onafhankelijk is van de tijd (p(m) = p), maar stel dat de kans op dalen van de rente afhangt van de tijd. Dan kunnen we de centrale limietstelling niet gebruiken om de convergentie van het model te bekijken. In appendix C staat hoe we dan tot convergentie kunnen komen. Hierbij wordt een variant van de centrale limietstelling gebruikt. Stel varm−∆ (f (m, n) − f (m − ∆, n)) = σ(m, n)2 ∆. Met σ(m, n) > 0 hangt af van m en n. In [3] staat hoe er in dat geval tot convergentie gekomen kan worden. Dit artikel bekijkt de convergentie van de forward rate in een algemeen discreet model, waarbij er vier, drie of twee mogelijke toestanden zijn voor de rente na één periode. Bij het Ho-Lee model zijn dit twee toestanden en dit model is een bijzonder geval van het algemene model beschreven in [3].

49

Samenvatting Met een rentemodel kan een renteproces gesimuleerd worden. Met behulp van rentesimulaties kunnen prijzen van financiële producten, zoals de hypotheekrente of de prijs van een optie op een aandeel, berekend worden. De rente beschouwd in dit verslag is een risicovrije rente. Hierbij is er geen kans dat een partij niet aan zijn schuld kan voldoen. Dit verslag kijkt naar het Ho-Lee rentemodel, een binomiaal model ontwikkeld in 1986 door Thomas Ho en Sang Bin Lee. Het Ho-Lee model is een binomiaal rentemodel. De tijd wordt onderverdeeld in N + 1 stappen ter grootte van ∆. De rente kan na iedere stap of omhoog of omlaag zijn gegaan ten op zichte van de vorige stap. Omdat het een binomiaal model is kan de rente zich na n stappen in n + 1 toestanden bevinden. In figuur 7 is een binomiale boom met drie tijdstappen weergeven.

Figuur 7: Een binomiale boom Zij m, n ∈ {0, ∆, ..., (N + 1)∆} willekeurig maar vast, zodanig dat m ≤ n. De rente bevindt zich op tijdstip m in toestand i. Dit betekent dat in de periode [0,m] de rente i keer is gedaald en m ∆ − i maal is gestegen. De rente wordt nu als volgt genoteerd: ri (m). Dit is de rente die gerekend wordt over de periode [m, m + ∆] en de rente wordt uitbetaalt op tijdstip m + ∆. Deze rente is geschaald naar de nominale rente per jaar en er wordt dus met samengestelde rente gerekend. Obligaties zijn verhandelbare schuldbewijzen. Deze worden verkocht door een schrijver en gekocht door een houder. Een zero-coupon obligatie is een obligatie waarbij de schrijver op een afgesproken tijdstip, het tijdstip van expiratie, een afgesproken bedrag betaald aan de houder. Dit bedrag heet de nominale waarde van de obligatie. Als de prijs van een obligatie, zijn looptijd en zijn nominale waarde bekend zijn kan de totale rente voor de gehele looptijd van de obligatie berekend worden. In het vervolg wordt met obligatie een zero-coupon obligatie met nominale waarde 1 euro bedoeld. De prijs van een obligatie op tijdstip m in toestand i met resterende looptijd n − m wordt genoteerd als: Pi (m, n). Met de prijs van een obligatie kan de rente op de volgende manier berekend worden: 1 ri (m) = − 1 /∆ Pi (m, n)

Met de prijzen van obligaties met verschillende looptijden kan berekend worden wat de forward rate op tijdstip m in toestand i is over de periode [n, n + ∆]. Deze forward rate is de rente die we op tijdstip m kunnen afspreken weertegen we een bedrag tussen tijdstippen n en n + ∆ 51

kunnen lenen of opzij kunnen zetten. De forward rate kan berekend worden door (in theorie) een obligatie op tijdstip m met resterende looptijd n − m uit te schrijven voor Pi (m, n) en te kijken hoeveel obligaties met resterende looptijd n + ∆ − m hiervoor gekocht kunnen worden. i (m,n) Dit zijn er PiP(m,n+∆) . Op tijdstip m wordt er 0 euro ingelegd. Op tijdstip n moet er 1 euro worden betaald om de obligatie af te lossen. Vervolgens wordt er op tijdstip n + ∆ het bedrag Pi (m,n Pi (m,n+∆) ontvangen. Met deze theoretische cashflows kan de forward rate berekend worden en we schalen deze rente naar de nominale rente per jaar. De notatie voor de forward rate is fi (m, n). En de volgende vergelijking geeft de berekening van fi (m, n): fi (m, n) =

Pi (m, n) − Pi (m, n + ∆) Pi (m, n + ∆)

/∆

Merk op: ri (m) = fi (m, m)

Arbitrage is een principe in de financiële wereld dat ookwel “gratis geld verdienen”wordt genoemd. Op het moment dat er een arbitrage strategie is, is het mogelijk om zonder risico een hoger rendement te behalen dan de risicovije rente. Als er zo’n arbitrage strategie bestaat, zal iedereen die dit ziet deze mogelijkheid gebruiken om extra geld te verdienen. Door de werking van vraag en aanbod zal zo’n arbitrage strategie hierdoor vanzelf verdwijnen. Dit gebeurt heel snel en daarom moet een model ervan uitgaan dat er helemaal geen arbitrage mogelijk is. In het Ho-Lee model is arbitrage niet mogelijk en dit heet ookwel arbitragevrij. Het Ho-Lee model is een model dat obligatieprijzen modelleert. Hiervoor zijn prijzen van obligaties op het begintijdstip nodig: de waarden P (0, ∆), P (0, 2∆,..., P (0, (N +1)∆) moeten bekend zijn. Ook introduceert het Ho-lee model twee parameters π en δ, waarbij π, δ ∈ (0, 1). Met de volgende directe formule kan dan de rente voor tijdstip m in toestand i berekend worden:  ri (m) = 

m P (0, m) π + (1 − π)δ ∆ m

P (0, m + ∆)δ ( ∆ −i)

 − 1 /∆

Een rentederivaat is een financieel product. De waarde van dit derivaat hangt af van de rente. Omdat het Ho-Lee model arbitragevrij is, is het mogelijk om het kopen of verkopen van zo’n rentederivaat binnen het model te hedgen. Dit betekent dat door op een bepaalde manier in obligaties te beleggen de belegging “te niet”kan worden gedaan. De totale winst, van het derivaat en het portfolio, is dan met zekerheid gelijk aan de risicovrije rente. Hierbij worden transactiekosten buiten beschouwing gehouden. Bij het toepassen van het Ho-Lee model zijn de waarden van de parameters π en δ nodig. Deze waarden kunnen geschat worden door middel van kalibreren. Met marktdata van huidige prijzen van obligaties en rentederivaten kunnen deze parameters geschat worden. Naarmate de looptijd van de derivaten langer is kunnen deze berekeningen beter met de computer gedaan worden, bijvoorbeeld met Matlab. Bij het kalibreren van het model wordt dus gebruik gemaakt van huidige marktdata, maar het is ook mogelijk om met historische data te kalibreren. Toch worden marktdata eerder gebruikt voor kalibratie dan historische data. Dit, vanwege de snelle veranderingen op de financiële markt.

52

Op het moment dat de tijdstappen van het discrete model steeds kleiner worden gemaakt ontstaat er een continu model. Onder bepaalde voorwaarden convergeert het Ho-Lee rentemodel naar de volgende random functie: lim r(m) = lim f (m, m) = f (0, m) +

∆→0

∆→0

m2 2 σ + σW (m) 2

Waarbij W (m) het Wienerproces is, ookwel bekend onder de naam Brownse beweging. En σ > 0 is constant. Het Ho-Lee model berust op twee parameters, π en δ. Van de bestaande rentemodellen is dit model één van de eenvoudigere. Door in eerste instantie de eigenschappen van een relatief eenvoudig model te bekijken, zal een moeilijker model makkelijker te begrijpen zijn. Rente is een ingewikkeld stochastisch proces en zal natuurlijk niet te modelleren zijn met een model die gebruik maakt van (slechts) twee parameters. Het Ho-Lee model is daarom niet heel realistisch. Rente is in principe altijd positief en de hoogte van de rente zit vaak in een bepaald gebied. Bijvoorbeeld tussen 0 en 10 procent. Stel we willen de rente over 1000 perioden modelleren met het Ho-Lee model, dan kan de rente zich na 1000 perioden in 1001 mogelijke toestanden bevinden. Het uitrekenen van deze mogelijke toestanden zal vrij snel gaan met de computer, mits alle obligatieprijzen op het begintijdstip bekend zijn. Tussen deze mogelijke toestanden van de rente zullen ook negatieve rentes en rentes van meer dan 40% zitten. Deze grote verschillen tussen de mogelijke toestanden van de rente is een groot nadeel van het Ho-Lee rentemodel. Een zogeheten mean-reversion model zal een stuk realistischer zijn. Zo’n model modelleert de rente, waarbij er wordt aangenomen dat de rente rond een bepaald evenwichtspunt fluctueert. Kortom het Ho-Lee rentemodel is geen realistisch model, maar dit model is wel aan te raden om te bestuderen als je weinig kennis hebt over rentemodellen.

53

Literatuur [1] [2] [3]

[4] [5] [6]

Breiman, L., Probability. Reading (Massachusetts): Addison-Wesley, 1968 Elliot, R.J. en Hoek, J. van der, Binomial models in finance. New York: Springer: 2006 Heath, D., Jarrow, R. en Morton, A., ‘Bond pricing and the term structure of interest rates: A discrete time approximation’. Journal of Financial and Quantitative Analysis, Vol. 25, No. 4, (December, 1990), p. 419-440 Harrison, J.M. en Pliska, S.R., ‘Martingales and stochastoc integrals in the theory of continuous trading’. Stochastic Processes and Their Applications, 11, (1981), p. 215-260 Ho, T.S.Y. en Lee, S.B., ‘Term structure movements and pricing interest rate contingent claims’. The Journal of Finance, Vol. 41, No. 5, (December, 1986), p. 1011-1029 Shreve, S.E., Stochastic calculus for finance I: The binomial asset pricing model. New York: Springer, 2004

55

Appendix A Het strippen van obligaties Een obligatie met coupon kan bekeken worden als een portfolio van zero-coupon obligaties met verschillende tijden van expiratie. Op het moment dat de prijzen van verschillende obligaties met coupon bekend zijn, is het mogelijk om vergelijkingen op te stellen met als onbekenden de prijzen van zero-coupon obligaties met verschillende (resterende) looptijden. Indien we net zoveel onafhankelijke vergelijkingen kunnen opstellen als dat er onbekenden zijn, kunnen we deze onbekenden oplossen. Voorbeeld: Er zijn drie obligatieprijzen bekend. Elke obligatie betaalt één keer per jaar coupon en heeft een nominale waarde van 100 euro: -Een obligatie met looptijd 1 jaar en 6% coupon kost 100.70 euro. -Een obligatie met looptijd 2 jaar en 5% coupon kost 99.25 euro. -Een obligatie met looptijs 3 jaar en 6% coupon kost 100.14 euro. In dit voorbeeld geldt dat ∆ een jaar is, dus ∆ = 1. Er kunnen drie vergelijkingen worden opgesteld: 100.70 = 106P (0, 1) 99.25 = 5P (0, 1) + 105P (0, 2) 100.14 = 6P (0, 1) + 6P (0, 2) + 106P (0, 3) Oplossen geeft P (0, 1) = 0.95, P (0, 2) = 0.9 en P (0, 3) = 0.84.

57

Appendix B Interpolatie We beschouwen het Ho-Lee rente model met N + 1 tijdstappen, waarbij elke tijdstap lengte ∆ heeft. Bij dit model is het nodig dat, op tijdstip 0, de prijzen van obligaties met uitbetalingstijdstippen ∆, 2∆,..., N ∆ en (N + 1)∆ bekend zijn. Dit betekent dat de waarden P (0, ∆) tot en met P (0, (N + 1)∆) bekend moeten zijn. Het kan voorkomen dat een aantal van deze waarden, maar niet alle, bekend zijn. Met behulp van interpolatie kunnen dan de onbekende waarden geschat worden. Stel P (0, i∆) is onbekend, voor een zekere i ∈ {1, 2, ..., N }.

Lineaire interpolatie Stel P (0, j∆) en P (0, h∆) zijn bekend. Waarbij geldt j ∈ {0, 1, ..., i − 1} en h ∈ {i + 1, i + 2, ..., N + 1}. Dan kan met behulp van lineaire interpolatie P (0, i∆) geschat worden: i − j Pb(0, i∆) = P (0, j∆) + (P (0, h∆) − P (0, j∆)) h−j In het algemeen kiezen we j en h zo dicht mogelijk bij i.

Polynomiale interpolatie Stel P (0, j∆) is bekend voor m − 1 verschillende waarden uit {1, 2, ..., N }. Noem deze bekende waarden x1 , ..., xm−1 , zodanig dat 0 < x1 < x2 < ... < xm−1 ≤ N . Neem aan dat we de waarde P (0, (N + 1)∆ ook weten. Er geldt P (0, 0) = 1 en noem x0 = 0 en xm = N + 1. Nu kan er een uniek interpolatie polynoom f (x) gemaakt worden met de volgende eisen: f (x) = c0 + c1 x + ... + cm xm ,

c0 , ..., cm ∈ R voor alle i ∈ {0, 1, ..., m}

f (xi ) = P (0, xi ∆)

Dankzij deze eisen volgen m + 1 vergelijkingen, waaruit we de coëfficiënten c0 , c1 , ..., cm kunnen oplossen.

Ook met de methode van Lagrange kan de polynoom f (x) gevonden worden. Hoe groter m is hoe efficiënter het is om deze methode te gebruiken en in plaats van dat we de coëfficiënten oplossen uit de m + 1 vergelijkingen. De methode van Lagrange werkt op de volgende manier. Schrijf: f (x) =

m X

f (xi )Lim (x)

i=0

Met: Lim =

(x − x0 )...(x − xi−1 )(x − xi+1 )...(x − xm ) (xi − x0 )...(xi − xi−1 )(xi − xi+1 )...(xi − xm )

Nu kan P (0, i∆) geschat worden met de waarde f (i). Opmerking: Op het moment dat bijvoorbeeld P (0, (N + 1)∆) onbekend is, kan de waarde hiervoor geschat worden met extrapolatie. Dit gaat vrijwel op analoge wijze als interpolatie. 59

Voorbeeld interpolatie: Stel P (0, ∆) = 0.95 en P (0, 3∆) = 0.84. Hoe kan P (0, 2∆) nu geschat worden? Met lineaire interpolatie: Pb(0, 2∆) = 0.5(0.95 + 0.84) = 0.895. Bij polynomiale interpolatie wordt de volgende functie gezocht: f (x) = c0 + c1 x + c2 x2 Zodanig dat: f (0) = P (0, 0) = 1 f (1) = P (0, ∆) = 0.95 f (3) = P (0, 3∆) = 0.84 Oplossen met Lagrange: 1 (x − 1)(x − 3) 3 1 L12 (x) = − (x)(x − 3) 2 1 x(x − 1) L22 (x) = 6 L02 (x) =

Hiermee volgt: f (x) = L02 (x) + 0.95L12 (x) + 0.84L22 (x) = 1 − We schatten: Pb(0, 2∆) = f (2) ≈ 0.897

60

29 1 2 x− x 600 600

Appendix C We bekijk paragraaf 8.3 opnieuw en we stellen dat de kans p(m) afhankelijk is van de tijd (van m). Noem pj = p(j∆) en er geldt: 1 met kans pj aj = 0 met kans 1 − pj

Dan wordt het vierde deel van de formule van f (m, n): " # √ m X σ ∆ (aj − pj ) p pj (1 − pj ) j=1 Waarbij m =

m ∆

De volgende stelling zal worden gebruikt bij de convergentie van deze formule: Theorem 9.2 (p. 186 in [1]) Zij X1 , X2 , ... onafhankelijke stochasten. E[Xj ] = 0, E[Xj2 ] = φ2j < ∞ P E[|Xj3 |] < ∞ en s2n = nj=1 φ2j Als

n 1 X lim E[|Xj |3 ] = 0 n→∞ s3 n j=1

Dan

X1 + ... + Xn d − → N (0, 1) Sn

als

n→∞

Voor onze formule geldt dan: # " √ σ ∆ E (aj − pj ) p =0 pj (1 − pj )  !2  √ σ ∆  = σ2∆ < ∞ E  (aj − pj ) p pj (1 − pj ) s2n

=

m X

σ 2 ∆ = mσ 2 < ∞

j=1

 !3  √ √ σ ∆ σ3∆ ∆ 2 3 4   p E (aj − pj ) p = pj − 3pj + 4pj − 2pj <∞ pj (1 − pj ) pj (1 − pj ) pj (1 − pj ) Ook geldt:  3  √ σ ∆  = E  (aj − pj ) p pj (1 − pj ) =

√ σ3∆ ∆ p pj (1 − pj )3 + p3j (1 − pj ) pj (1 − pj ) pj (1 − pj ) √ σ3∆ ∆ p ((1 − pj )2 + p2j ) pj (1 − pj ) 61

Omdat m = m ∆:   # " √ √ m 3 3 ∆ X 1 σ ∆ ∆ 1 mσ 2 2 2 2 p √ p (1 − p) + p =0 lim  ((1 − pj ) + pj ) = lim m→∞ s3 ∆→0 m mσ 3 pj (1 − pj ) p(1 − p) n j=1

Uit de stelling volgt nu: Pm

√

√σ ∆ j=1 (aj − pj ) p (1−p ) j j d √ − → N (0, 1) mσ

Hieruit kunnen we concluderen: √ m X σ ∆ lim (aj − pj ) p = σW (m) ∆→0 p (1 − p ) j j j=1

62

Bijlage 1 Code van de functionfile voor de berekening van de prijs van een cap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28

f u n c t i o n V = cap ( n , x , K, P) %Een cap met %De e l e m e n t e n van v e c t o r n z i j n de u i t b e t a l i n g s t i j d s t i p p e n %K i s de s t r i k e %P i s v e c t o r met o b l i g a t i e p r i j z e n op h e t b e g i n t i j d s t i p %x i s de v e c t o r [ pi , d e l t a ] N=l e n g t h (P) ; Boom=z e r o s (N) ; Boom(N, 1 )=P( 1 ) ; %C o n s t r u e r e n 1− p e r i o d e o b l i g a t i e p r i j s b o o m f o r i =1:N−1 f o r j =0: i Boom(N−j , i +1)=P( i +1)∗x ( 2 ) ˆ ( i −j ) / (P( i ) ∗ ( x ( 1 ) +(1−x ( 1 ) ) ∗x ( 2 ) ˆ i ) ) ; end end h=l e n g t h ( n ) ; W=z e r o s (N) ; %U i t b e t a l i n g e n i n een boom z e t t e n f o r i =1:h W(N−n ( i ) +1:N, n ( i ) )=max ( 1 . / Boom ( (N−n ( i ) +1) : N, n ( i ) )−K−1 ,0) . ∗ Boom ( (N−n ( i ) +1) : N, n ( i ) ) ; end ;

%A l l e u i t b e t a l i n g e n t e r u g r e k e n e n naar t i j d s t i p 0 f o r i =(n ( h ) −1) : −1:1 W( ( n ( h )− i +1) : n ( h ) , i )=W( ( n ( h )− i +1) : n ( h ) , i )+Boom ( (N−i +1) : N, i ) . ∗ ( x ( 1 ) . ∗W( ( n ( h )− i ) : ( n ( h ) −1) , i +1)+(1−x ( 1 ) ) . ∗W( ( n ( h )− i +1) : n ( h ) , i +1) ) ; 29 end 30 31 V=W(N, 1 ) ; 32 %Dan i s V de p r i j s van d e z e cap op t i j d s t i p 0

63

Code van de functionfile voor de berekening van de prijs van een floor 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28

f u n c t i o n V = f l o o r r ( n , x , K, P) %Een f l o o r met %De e l e m e n t e n van v e c t o r n z i j n de u i t b e t a l i n g s t i j d s t i p p e n %K i s de s t r i k e %P i s v e c t o r met o b l i g a t i e p r i j z e n op h e t b e g i n t i j d s t i p %x i s de v e c t o r [ pi , d e l t a ] N=l e n g t h (P) ; Boom=z e r o s (N) ; Boom(N, 1 )=P( 1 ) ; %C o n s t r u e r e n 1− p e r i o d e o b l i g a t i e p r i j s b o o m f o r i =1:N−1 f o r j =0: i Boom(N−j , i +1)=P( i +1)∗x ( 2 ) ˆ ( i −j ) / (P( i ) ∗ ( x ( 1 ) +(1−x ( 1 ) ) ∗x ( 2 ) ˆ i ) ) ; end end h=l e n g t h ( n ) ; W=z e r o s (N) ; %U i t b e t a l i n g e n i n een boom z e t t e n f o r i =1:h W(N−n ( i ) +1:N, n ( i ) )=max(K+1−1./Boom ( (N−n ( i ) +1) : N, n ( i ) ) , 0 ) . ∗ Boom ( (N−n ( i ) +1) : N, n ( i ) ) ; end ;

%A l l e u i t b e t a l i n g e n t e r u g r e k e n e n naar t i j d s t i p 0 f o r i =(n ( h ) −1) : −1:1 W( ( n ( h )− i +1) : n ( h ) , i )=W( ( n ( h )− i +1) : n ( h ) , i )+Boom ( (N−i +1) : N, i ) . ∗ ( x ( 1 ) . ∗W( ( n ( h )− i ) : ( n ( h ) −1) , i +1)+(1−x ( 1 ) ) . ∗W( ( n ( h )− i +1) : n ( h ) , i +1) ) ; 29 end 30 31 V=W(N, 1 ) ; 32 %Dan i s V de p r i j s van d e z e cap op t i j d s t i p 0

64

Bijlage 2 Code van de kalibratie in het voorbeeld in hoofdstuk 7 1 %Bekend z i j n cap met u i t b e t a l i n g na 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 1 0 , 11 en 12 maand ( en ) met K=0.002 , de p r i j s i s 0 . 0 2 8 7 2 %En f l o o r met u i t b e t a l i n g na 2 , 4 , 6 , 8 , 10 en 12 maanden met K=0.007 , de p r i j s i s 0.0154 3 L=100; %Beginwaarde f o u t 4 P= [ 0 . 9 9 6 2 , 0 . 9 9 2 0 , 0 . 9 8 7 6 , 0 . 9 8 3 2 , 0 . 9 7 8 8 , 0 . 9 7 4 5 , 0 . 9 7 0 4 , 0 . 9 6 6 3 , 0 . 9 6 2 3 , 0 . 9 5 8 1 , 0.9537 , 0.9487]; 5 %o b l i g a t i e p r i j z e n op h e t b e g i n t i j d s t i p 6 N=l e n g t h (P) ; 7 H=P ( 2 :N) . / P ( 1 : N−1) ; 8 %H i s n o d i g om t e k i j k e n o f e r aan Lemma 1 wordt v ol d aa n 9 10 f o r p i = 0 . 0 1 : 0 . 0 1 : 0 . 9 9 %A l l e p i s nagaan 11 12 f o r i =1:N−1 13 B( i ) =((H( i )−p i ) /(1− p i ) ) ˆ ( 1 / i ) ; 14 end 15 16 M=max(B) ; 17 %B e k i j k e n wat d e l t a minimaal moet z i j n v o l g e n s Lemma 1 18 M= c e i l (M∗ 1 0 0 0 ) / 1 0 0 0 ; 19 %Deze minimale d e l t a a f r o n d e n op z o v e e l d e c i m a l e n a l s dat de d e l t a bekeken g a a t worden . Er moet wel naar boven a f g e r o n d worden , omdat h e t een minimale d e l t a i s . 20 21 i f M<1 %K i j k e n o f e r m o g e l i j k e d e l t a s z i j n , e r moet g e l d e n d e l t a <1. 22 M=max(M, 0 ) %Ook moet g e l d e n d e l t a >0. 23 24 f o r d e l t a = M: 0 . 0 0 1 : 0 . 9 9 9 %A l l e m o g e l i j k e d e l t a ’ s nagaan 25 C=abs ( capnieuw ( [ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 1 0 , 1 1 , 1 2 ] , [ pi , d e l t a ] , 0 . 0 0 2 , P) −0.0287) ; 26 C=C+abs ( f l o o r r ( [ 2 , 4 , 6 , 8 , 1 0 , 1 2 ] , [ pi , d e l t a ] , 0 . 0 0 7 , P) −0.0154) ; 27 %C i s t o t a l e a b s o l u t e f o u t b i j de bekeken p i en d e l t a 28 29 i f C
65

Het Ho-Lee rentemodel (Engelse titel: The Ho-Lee interest rate model)

Recommend Documents