Het Browns algoritme voor prijsbepaling Parijse optie (Engelse titel: The Browns algorithm for pricing Parisian option)

Technische Universiteit Delft Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Delft Institute of Applied Mathematics

Het Browns algoritme voor prijsbepaling Parijse optie (Engelse titel: The Browns algorithm for pricing Parisian option)

Verslag ten behoeve van het Delft Institute of Applied Mathematics als onderdeel ter verkrijging

van de graad van

BACHELOR OF SCIENCE in TECHNISCHE WISKUNDE

door Mitchell Boelee Delft, Nederland Augustus 2012 Copyright © 2012 door Mitchell Boelee. Alle rechten voorbehouden.

BSc verslag TECHNISCHE WISKUNDE

“Het Browns algoritme voor prijsbepaling Parijse optie” (Engelse titel: “The Browns algorithm for pricing Parisian option”)

Mitchell Boelee

Technische Universiteit Delft

Begeleiders Dr.ir. J.H.M. Anderluh

Dr.ir. L.E. Meester

Overige commissieleden Prof.dr.ir. C.W. Oosterlee

Dr. J.G. Spandaw

Augustus, 2012

Delft

Voorwoord

Voor u ligt het verslag van mijn bachelorproject als onderdeel van de bachelor Technische Wiskunde aan de Technische Universiteit Delft. Dankzij de minor Finance is mijn interesse in het vakgebied “de financiële wiskunde” ontstaan. Het project wat ik gekozen heb, sprak mij vooral aan omdat ik een nieuw algoritme kon ontwikkelen voor de prijsbepaling van de Parijse optie. Via dit voorwoord wil ik mijn beide begeleiders Dr.ir. J.H.M. Anderluh en Dr.ir. L.E. Meester bedanken voor hun inzet en begeleiding met betrekking tot het onderwerp. Tot slot wens ik u veel plezier bij het lezen van het verslag van mijn bachelorproject. Mitchell Boelee Delft, Augustus 2012

4

Inhoudsopgave

1 Introductie in financi¨ ele wiskunde 1.1 Aandelen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Opties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Model voor aandeelpad . . . . . . . . . . . 1.3.1 Brownse beweging . . . . . . . . . 1.3.2 Geometrische Brownse beweging . 1.4 Prijzen van Europese opties . . . . . . . . 1.4.1 Rente . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.2 Optieprijzen als verwachte waarde

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

7 7 8 10 10 11 13 13 13

. . . . . . . . . . . . . . . . optie

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

15 15 16 18 18 18

3 Verandering van kansmaat 3.1 Kansruimte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 De Radon-Nikodym afgeleide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Girsanov transformatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20 21 23 25

4 Eigenschappen van de standaard Brownse beweging 4.1 Eerste raaktijdstip van de barrière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Excursie onder de barrière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28 28 31

5 Het Browns algoritme 5.1 Knock-in gebeurtenis exact vaststellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Aanpassingen Browns algoritme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34 34 38

6 Numerieke resultaten van Browns algoritme 6.1 Kwaliteit Browns algoritme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Optimalisatie Browns algoritme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40 40 45

2 De 2.1 2.2 2.3

Parijse optie Exotische opties . . . . . . . . . . . . . . . De Parijse optie . . . . . . . . . . . . . . . De Monte Carlo methode . . . . . . . . . 2.3.1 Monte Carlo schatter voor α . . . 2.3.2 Monte Carlo algoritme voor Parijse

5

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

INHOUDSOPGAVE

6

7 Conclusie

48

8 Matlab-implementaties

50

Literatuur

55

Hoofdstuk

1

Introductie in financiële wiskunde 1.1

Aandelen

Het begrip aandeel is vaak te horen en te lezen in de media. In de huidige sectie zal betekenis gegeven worden aan dit zeer bekende financiële product. Een aandeel is een risicodragende deelneming in het kapitaal van de onderneming. De waarde van een aandeel is afhankelijk van de onderliggende onderneming. Wanneer een onderneming winst maakt neemt het eigen vermogen toe, als gevolg ook de waarde van de uitstaande aandelen. De uitgifte van aandelen geeft de onderneming extra kapitaal. Deze uitgifte gaat via de nominale waarde van het aandeel. De nominale waarde van een aandeel is het bedrag dat bij uitgifte betaald moet worden. Ieder aandeel geeft de houder een stukje belang in de onderneming. Een aandeelhouder van een onderneming heeft bepaalde rechten. Deze zijn onder andere: • Als de onderneming besluit om een deel van haar winst uit te keren aan de aandeelhouders, dan heeft iedere aandeelhouder recht op een zogenaamde dividenduitkering. De grootte van het dividend hangt samen met de deelname van de aandeelhouder in de onderneming. • De aandeelhouder heeft afhankelijk van het type aandeel ook een inschrijvingsrecht, waardoor hij voorrang krijgt als er eventueel nieuwe aandelen worden uitgegeven. • Vanaf het moment dat je ook maar één enkel aandeel bezit, heb je het recht om de algemene vergadering van de onderneming bij te wonen. Hier krijgen aandeelhouders de toekomstige plannen te horen van de onderneming en mogen over deze beslissingen stemmen. Het rendement van aandelen bestaat uit twee delen: een eventuele waardestijging van het aandeel en de periodieke dividenduitkering. Het aandeel wordt (normaal gesproken) verhandeld op een effectenbeurs voordat een eventuele waardestijging van het aandeel ontvangen kan worden. De aandelen van één bedrijf kunnen op meerdere beurzen tegelijk verhandeld worden. Bijvoorbeeld de aandelen van de Nederlandse bankverzekeraar ING worden verhandeld op de beurs in Amsterdam en New York. Een aandeel van een onderneming is een voorbeeld van wat men noemt een asset. Assets zijn financiële producten waarvan de huidige waarde bekend is maar in de toekomst onderhevig zal 7

¨ HOOFDSTUK 1. INTRODUCTIE IN FINANCIELE WISKUNDE

8

Figuur 1.1: Koersverloop aandeel Delta Lloyd. zijn aan verandering. In figuur 1.1 vindt u een voorbeeld van de koers van het aandeel Delta Lloyd gedurende 3 november 2009 tot 25 november 2011. Het mag duidelijk zijn dat het aandeel Delta Lloyd aanzienlijk fluctueert. Er zijn wiskundige modellen opgesteld die het aandeelprijs proces simuleren. Later zullen we hier verder op ingaan en met name een model geven voor de toekomstige prijsontwikkeling van het aandeel. De onbekende prijs van het aandeel op tijdstip t wordt genoteerd met S(t). We noteren st als de prijs van het aandeel (d.m.v. van de financiële markt) bekend is op tijdstip t. We nemen hierbij aan dat de huidige aandeelprijs alle informatie uit het verleden bevat en de financiële markten direct reageren op nieuwe informatie over het aandeel. De bovenstaande aanname wordt ook wel de efficiënte markt hypothese genoemd. Als we voorspellingen willen doen van de prijs van een aandeel op een toekomstig tijdstip dan geldt onder de hypothese dat alleen de huidige aandeelprijs hiervoor nodig is. In de komende sectie zullen we het hebben over financiële producten waarvan de waarde afhankelijk is van een onderliggend prijsproces. Deze producten worden ook wel derivaten genoemd. In het bijzonder zijn we ge¨ınteresseerd in de volgende derivaat: de Parijse optie op één onderliggend aandeel. Als eerste lichten we de Europese opties toe.

1.2

Opties

De bekendste optie is voor de meeste mensen waarschijnlijk de optie op een huis. U bent van plan een huis te kopen en heeft daarvoor een aantal panden op het oog. Nadat u één van de panden bekeken heeft en het lijkt u wel wat, vraagt u aan de makelaar of hij het huis een paar dagen voor u vast wil houden, zodat u de gelegenheid heeft om het te vergelijken met een aantal andere huizen en eventueel een beslissing kunt nemen. Op dat moment krijgt u een optie op dat huis. We zien dus dat een optie een recht vertegenwoordigd om binnen een gestelde termijn (bij dit huis een paar dagen) een bepaalde onderliggende waarde (het huis) te kopen. Het huis is hier een asset omdat de huidige waarde bekend is, maar de toekomstige niet.


9

De opties waar wij het over zullen hebben zijn de opties die verhandeld worden op de beurs in Amsterdam. Bekende opties zijn de Europese call en put optie. Laten we deze opties definiëren en daarna de Europese call optie illustreren met een voorbeeld. Definitie (Europese call optie): Een Europese call optie geeft zijn houder het recht (maar niet de verplichting) om op een toekomstig tijdstip een voorgeschreven hoeveelheid aandelen te kopen van de schrijver tegen een van tevoren afgesproken prijs. Definitie (Europese put optie): Een Europese put optie geeft zijn houder het recht (maar niet de verplichting) om op een toekomstig tijdstip een voorgeschreven hoeveelheid aandelen te verkopen aan de schrijver tegen een van tevoren afgesproken prijs. Belangrijke elementen uit de omschrijving van een Europese call en put optie zijn: • Het toekomstig tijdstip oftewel de expiratiedatum T ; • Een van tevoren afgesproken prijs oftewel uitoefen/strike prijs E; • Het vastgestelde onderliggende aandeel; • De koper van een optie wordt ook wel de houder van een optie genoemd; • De verkoper van een optie wordt ook wel de schrijver genoemd. Aan de hand van de definitie kunnen we de vraag stellen: wanneer zal een optiehouder zijn recht uitoefenen? Deze keuze zullen we illustreren voor een houder van een Europese call optie. Er wordt een Europese call optie contract afgesloten waarbij in het contract de uitoefenprijs en expiratiedatum vastgelegd zijn. De optiehouder kan zich in twee situaties bevinden op de expiratiedatum: 1. Als de marktwaarde van het aandeel op de expiratiedatum groter is dan de uitoefenprijs van de optie, oftewel sT > E. De optiehouder zal in dit geval zijn recht uitoefenen. Het aandeel wordt voor prijs E gekocht en direct verkocht voor de waarde sT . Dan is de winst sT − E voor de optiehouder. Als de gebeurtenis sT > E plaatsvindt dan is de optie in-the-money. 2. Als de marktwaarde van het aandeel op de expiratiedatum kleiner of gelijk is aan de uitoefenprijs van de optie, oftewel sT ≤ E, dan zal de optiehouder in dit geval zijn recht niet uitoefenen. Er is voor de optiehouder geen winst te behalen. Het aandeel is namelijk in de markt goedkoper dan de afgesproken prijs in het contract. Als de gebeurtenis sT < E plaatsvindt dan is de optie out-the-money. De laatste mogelijkheid op de expiratiedatum is sT = E, dan is de optie at-the-money. De waarde van een Europese call optie, op tijdstip t met bijbehorend bekende aandeelprijs st , wordt genoteerd met C(st , T − t). De resterende tijd van de optie wordt aangeduid met T − t. Aan de hand van de twee situaties uit het voorbeeld kunnen we waarde van een call optie op de expiratiedatum definiëren. Deze waarde wordt genoteerd met C(sT , 0) en is gelijk aan C(sT , 0) = max(sT − E, 0).

(1.1)

De waarde C(sT , 0) wordt ook wel de uitbetaling van de call optie op de expiratiedatum genoemd.


10

Voor een Europese put optie geldt het voorbeeld analoog. Het enige verschil is dat het aandeel voor prijs E wordt verkocht. Dus de houder van een Europese put optie oefent zijn recht alleen uit als de marktwaarde van het aandeel op de expiratiedatum kleiner is dan de uitoefenprijs, oftewel sT < E. Als houder van een Europese optie is er geen verplichting om de voorgeschreven hoeveelheid aandelen te kopen. De optiehouder verliest geen geld hierdoor op de expiratiedatum. Bij een Europese call optie geldt uit scenario 1 dat de houder winst maakt en bij scenario 2 verliest de houder niks. De schrijver van de call optie maakt geen winst en kan mogelijk geld verliezen op de expiratiedatum uit deze twee scenario’s. Om ook het verkopen van opties aantrekkelijk te maken, betaalt de optiehouder voor de huidige waarde van de optie bij het afsluiten van het contract. De huidige waarde van een Europese call optie wordt genoteerd met C(s0 , T ). In de huidige waarde van opties zijn we ge¨ınteresseerd want hoeveel moet een optiehouder nu betalen bij het afsluiten van het contract? Met name wat is nu een eerlijke prijs om te vragen als schrijver van de optie? Voordat we dit interessante onderwerp gaan bespreken, leiden we eerst een model voor de koers van het aandeel af.

1.3

Model voor aandeelpad

De toekomstige koers van een aandeel is een verschijnsel dat gekenmerkt wordt door onzekerheid. In feite zijn we op zoek naar een model dat zich in de tijd afspeelt met als uitkomsten stochastische variabelen m.a.w. een stochastisch proces. Een stochastisch proces is een verzameling {Y (t) : t ∈ {τ }} van stochastische variabelen waarbij τ een willekeurige indexverzameling (N, Z, [0, 1], . . . ) is. In ons geval is de indexverzameling τ de tijd. Definieer het interval [0, T ] als de looptijd van de optie. Voor het model van het aandeelpad nemen we de indexverzameling τ gelijk aan het interval [0, T ]. Voordat we dit model gaan presenteren, moeten we eerst de definitie van het stochastisch proces de standaard Brownse beweging geven.

1.3.1

Brownse beweging

Definitie (standaard Brownse beweging ): Een standaard één dimensionale standaard Brownse beweging op het interval [0, T ] is een stochastisch proces {W (t), t ∈ [0, T ]} met de volgende eigenschappen: 1. W (0) = 0; 2. W (t) hangt met kans 1 continu van t af. 3. De incrementen {W (t1 ) − W (t0 ), W (t2 ) − W (t1 ), . . . , W (tk ) − W (tk−1 )} zijn onafhankelijk voor alle k en 0 ≤ t0 < t1 < . . . < tk ≤ T ; 4. W (t) − W (s) ∼ N (0, t − s) voor elke 0 ≤ s < t ≤ T . Aan de hand van 1 en 4 kunnen we concluderen dat W (t) ∼ N (0, t) ∀t ∈ [0, T ].

(1.2)


11

Uit (1.2) volgt dat E[W (t)] = 0 en V ar[W (t)] = t voor alle tijdstippen t uit het interval [0, T ]. Voor de constanten µ en σ > 0 noemen we het proces X(t) een Brownse beweging met drift µ en diffusiecoëfficiënt σ als X(t) − µt ∼ N (0, t) ∀t ∈ [0, T ]. σ We zijn nu in staat om X(t) te construeren met behulp van W (t) namelijk door X(t) = µt + σW (t) ∀t ∈ [0, T ].

(1.3)

Uit (1.3) volgt dat X(t) ∼ N (µt, σ 2 t).

1.3.2

Geometrische Brownse beweging

In de huidige sectie zal het klassieke model gepresenteerd worden dat de koers van een aandeel simuleert. De toepassing van dit model is van groot belang bij de theoretische prijsbepaling van opties. Dit model wordt ook wel de geometrische Brownse beweging genoemd. De geometrische Brownse beweging is het meest fundamentele model voor het modelleren van de toekomstige waarde van een aandeel. In de revolutionaire thesis van Louis Bachelier [5] wordt een model voor aandeelprijzen gegeven. Het model van Bachelier presenteert, beschrijven we op dit moment als Brownse beweging. Het nadeel van de Brownse beweging is dat negatieve waarden aangenomen kunnen worden en als model voor aandeelprijzen is dit niet gewenst. Het gebruik van geometrische Brownse beweging is afkomstig van Paul Samuelson rond 1960. Het doel is een uitdrukking te vinden voor het aandeelprijs proces {S(t) : t ∈ [0, T ]}. Deze uitdrukking kan gevonden door de volgende stochastische differentiaalvergelijking (SDV) op te lossen: dS = µdt + σdW (t). (1.4) S dS is de prijsverandering van het aandeel S(t) op tijdstip t over een klein tijdsinterval dt m.a.w. dS = S(t + dt) − S(t). dS geeft in feite aan hoeveel het aandeel in prijs gestegen is. Als gevolg dat dS S de relatieve prijsverandering van het aandeel wordt genoemd. De constante µ wordt de drift parameter genoemd en heeft als gevolg dat µdt het deterministisch deel van de SDV is. Ten slotte de constante σ wordt de volatiliteitsparameter genoemd en dW (t) is gelijk aan de verandering van de Brownse beweging over het kleine tijdsinterval dt, oftewel W (t + dt) − W (t). Samen vormen σ en dW (t) het stochastische deel van de SDV. Uitdrukking (1.4) kan worden omgeschreven naar: dS = µdtS + σdW (t)S.

(1.5)

Om een vergelijking voor S(t) te krijgen uit (1.5), maken we gebruik van een bekend lemma uit de stochastische calculus namelijk Ito’s lemma. Zie [2] voor een algemene introductie van stochastische calculus. In woorden zegt dit lemma als S(t) een bepaald type proces is (Ito proces) ∂h ∂ 2 h en de functie h(S(t), t) is een C 2,1 - gladde functie (continue in ∂S , ∂S 2 en ∂h ∂t ) dan volgt h(S(t), t) hetzelfde type proces als S(t). Het lemma geeft ons in het bijzonder een analytische uitdrukking voor dh. We kiezen de functie h(S(t), t) gelijk aan log(S(t)). Het is nu een kwestie van integreren


12

van uitdrukking dh en gelijk te stellen aan de functie log(S(t), t). Als gevolg dat we de gewenste uitdrukking voor S(t) kunnen vinden. Deze uitdrukking is gegeven door 1

S(t) = s0 e(µ− 2 σ

2

)t+σWt

.

(1.6)

en geldt voor alle tijdstippen t in het interval [0, T ]. Als voor het proces {S(t) : t ∈ [0, T ]} gebruik van (1.6) wordt gemaakt, noteren we S ∼ GBM (µ, σ 2 ). Uitdrukking (1.6) zal dienen als model voor de prijsontwikkeling van het aandeel gedurende het interval [0, T ]. Kies nu een equidistant grid ti = i∆t voor i = 0, . . . , n in het interval [0, T ] zodat 0 = t0 < t1 < . . . < tn = T . Zet ∆t = ti+1 − ti voor i = 0, . . . n − 1. De incrementen van W (t) zijn onafhankelijk en normaal verdeeld. Door de eigenschappen van de incrementen is simulatie van S(t) op ti voor i = 0, . . . , n mogelijk door, 1

S(ti+1 ) = S(ti )e(µ− 2 σ

2

)∆t+σ∆tZi

,

i = 0, . . . , n − 1

(1.7)

waarbij Zi ∼ N (0, 1). In Figure 1.2 is door middel van (1.7) een aandeelpad gesimuleerd. Als figuur 1.2 en figuur 1.1 met elkaar worden vergeleken dan ziet u dat de geometrische Brownse beweging dezelfde fluctuerende gedrag als het aandeel Delta Lloyd vertoond.

Figuur 1.2: Simulatie van S(t) De stochast S(t) op tijdstip t is een geëxponeerde normale verdeling. Iedere stochast van deze vorm is lognormaal verdeeld. We noteren Y ∼ LN (µ, σ 2 ) als Y de verdeling van de vorm e(µ+σZ) , Z ∼ N (0, 1), heeft. De cumulatieve verdelingsfunctie van Y is gegeven door log(y) − µ log(y) − µ P (Y ≤ y) = P Z ≤ =Φ σ σ

(1.8)

1 log(y) − µ φ . yσ σ

(1.9)

waarbij Φ(x) de cumulatieve verdelingsfunctie van de standaard normale verdeling is. Door (1.8) the differentiëren met respect tot y vinden we de kansdichtheid van Y ,


13

1 2 2 Als S ∼ GBM (µ, σ 2 ) dan is S(t) s0 ∼ LN ([µ − 2 σ ]t, σ t). Aan de hand van (1.8) kunnen we ook voor S(t) de cumulatieve verdeling vinden en differentiëren. Dan is de kansdichtheid van S(t) op tijdstip t gegeven door

log(y/s ) − [µ − 1 σ 2 ]t 1 0 2 √ φ √ , yσ t σ t

1.4

y > 0.

(1.10)

Prijzen van Europese opties

Tot nu toe zijn onderwerpen besproken als: waarde van een Europese optie op de expiratiedatum, S ∼ GBM (µ, σ 2 ) als model voor aandeelprijs proces. In de huidige sectie zullen deze twee middelen gecombineerd worden en ervoor zorgen dat er een analytische uitdrukking gevonden kan worden voor de huidige waarde van een Europese optie. Als eerst gaan we het begrip continue samengestelde rente kort bespreken.

1.4.1

Rente

Stel we hebben geld gestort op een bankrekening waarop een risicovrije rente van toepassing is. Als het geldt toeneemt volgens een continue samengestelde rente r dan groeit het bedrag met een factor ert gedurende tijdsperiode t. In het bijzonder een bedrag d0 op t = 0 is dt = ert d0

(1.11)

waard op tijdstip t. Andersom als het toekomstig bedrag bekend is en we willen de huidige waarde weten dan moet er verdisconteerd worden met een factor e−rt .

1.4.2

Optieprijzen als verwachte waarde

De economie waarin we optieprijzen gaan uitrekenen, bestaat uit een bankrekening en een aandeelprijs proces. Veronderstel dat de continue samengestelde rente r op de bankrekening risicovrij is. Laat {S(t) : t ∈ [0, T ]} het aandeelprijs proces zijn. Uit de voorgaande sectie is dit prijs proces gegeven door de geometrische Brownse beweging. In het bijzonder is de economie waarin we werken compleet. Dit houdt in dat voor iedere optie uitbetaling dat uitgedrukt kan worden in termen van het aandeelproces, er een replicerend zelf financierend handelsstrategie bestaat. Een zelf financierend handelsstrategie heet replicerend voor een optie uitbetaling als op de expiratiedatum T de waarde van het portfolio, deze bestaat uit aandelen en een bankrekening, geconstrueerd door de handelsstrategie gelijk aan deze uitbetaling is. Daarnaast veronderstellen we dat de economie arbitrage-vrij is. Zie [1] voor de betekenis van arbitrage-vrij. Als een economie zowel compleet als arbitrage vrij is, dan is de replicerende strategie uniek en de prijs van de optie gelijk aan de beginkosten van het replicerende strategie. In de huidige sectie zijn we ge¨ınteresseerd in de prijsbepaling van C(s0 , T ). We definiëren de uitbetaling functie van een Europese call optie als Λ : S(T ) → max(S(T ) − E, 0).

(1.12)

Uit (1.12) blijkt dat Λ(S(T )) een functie van de onbekende prijs S(T ) is. Waarom nemen we de prijs van een Europese call C(s0 , T ) niet gelijk aan de verdisconteerde verwachting van Λ(S(T ))?


14

Dit geeft ons de waarde 1

e−rT E[max(s0 e(µ− 2 σ

2

)T +σW (T )

− E, 0))].

(1.13)

We willen uitdrukking (1.13) gelijkstellen aan C(s0 , T )? Hiervoor introduceren we de risico neutrale aandeelprijs proces, weergegeven door 1

S(t) = s0 e(r− 2 σ

2

)t+σW (t)

∀t ∈ [0, T ].

(1.14)

Dit is in feite een prijsproces gegeven door de geometrische Brownse beweging waarbij µ = r. Als µ = r dan noemen we dit de risiconeutraliteits aanname. Onder de risiconeutraliteits aanname zijn de beginkosten van het replicerend portfolio, oftewel de prijs van een Europese call optie C(s0 , T ) gelijk aan 1

C(s0 , T ) = e−rT E[max(s0 e(r− 2 σ

2

)t+σW (t)

− E, 0))]

(1.15)

Voor meer over het prijzen van derivaten door middel van de risiconeutraliteits aanname verwijs ik naar [1]. De verwachting bij (1.15) kunnen we uitschrijven met behulp van (1.10) waarbij µ = r. C(s0 , T ) = e

−rT

Z

0

∞

log(y/s ) − (r − 1 σ 2 )T 1 0 2 √ √ max(y − E, 0) exp dy yσ 2πT σ T

(1.16)

De integraal bij (1.16) kan geëvalueerd in termen van de standaard normale cumulatieve verdelingsfunctie. Vanwege het bereik van dit project, is een verdere uitwerking van (1.16) hier niet nodig. Het resultaat dat bij (1.16) gevonden wordt, is gelijk aan de zogenaamde Black-Scholes formule [4] voor een Europese call optie. We noteren de Black-Scholes formule voor een Europese call optie met BC(s0 , T ), oftewel BC(s0 , T ) = C(s0 , T ). We kunnen concluderen dat we de prijs van een Europese call optie dankzij BC(s0 , T ) exact kunnen uitrekenen. In [4] wordt er over een relatie tussen de prijs van een Europese call optie en een Europese put optie besproken, de zogenaamde put-call parity. Hierdoor kunnen we de prijs van een Europese put optie ook exact uitrekenen. In dit hoofdstuk is een algemene introductie van aandelen en opties gegeven. Met name is het model voor de toekomstige koers van het aandeel besproken en zijn we in staat om de huidige waarde van een Europese optie analytisch uit te rekenen. In het komende hoofdstuk wordt er een grotere klasse van opties besproken namelijk de exotische opties. Met name staat de Parijse optie hier centraal.

Hoofdstuk

2

De Parijse optie 2.1

Exotische opties

Het soort opties waarover tot nu toe is gesproken, worden de Europese stijl opties genoemd. Hierbij is de uitbetaling functie van de optie Λ(S(T )) alleen afhankelijk van de onbekende aandeelprijs op de expiratiedatum. Gedurende de looptijd van de optie [0, T ] is alleen de aandeelprijs op de expiratiedatum T van belang. Om een grotere klasse van opties te verkrijgen, laten we de prijs van het aandeel op meerdere tijdstippen van [0, T ] invloed uitoefenen op de uitbetaling van de optie. Aan de hand van deze constructie is er een klasse van exotische opties ontstaan. Een exotische optie is gekenmerkt door: • De uitbetaling van de optie hangt af van het gedrag van de aandeelprijs S(t) gedurende 0 ≤ t ≤ T . De optie wordt hierdoor padafhankelijk.

• Afhankelijk van het type optie kan de optiehouder de mogelijkheid hebben om gedurende de looptijd [0, T ] vervroegd te mogen uitoefenen.

De handel in exotische opties wordt in het algemeen gedaan tussen banken en grote zakelijke klanten. De populariteit van exotische opties komt doordat de koper een optiecontract kan afsluiten die helemaal op zijn behoeften wordt bepaald. Zij mogen zelf de keuze maken hoe padafhankelijk de optie mag zijn of wanneer vervroegd uitoefenen is toegestaan. Hierdoor is de klasse van exotische opties in de loop van tijd toegenomen. Banken proberen ondanks de complexiteit van de exotische opties de huidige waarde te bepalen. Om een exotische optie te illustreren, bespreken we de down-and-in barrière call optie. De down-and-in barrière call optie heeft geen Europese call uitbetaling op de expiratiedatum tenzij het aandeelpad op een willekeurig tijdstip van [0, T ] een barrière B overschrijdt. De waarde van B ∈ R≥0 wordt bij het afsluiten van het contract vastgelegd. Het tijdstip wanneer het aandeelprijs proces de barrière voor het eerst raakt is stochastisch. We definiëren het stochastische tijdstip TB als de eerste keer wanneer het aandeelprijs proces de barrière B raakt, TB = inf{u : S(u) = B}

15

(2.1)

HOOFDSTUK 2. DE PARIJSE OPTIE

16

We noteren {TB = ∞} als de eerste raaktijd van B nooit voorkomt. De beschrijving van de barrière optie laat zien dat het raken van de barrière de uitbetaling activeert. Hierdoor is de uitbetaling van de down-and-in barrier optie B(sT , 0) gelijk aan B(sT , 0) = 1{TB ≤T } max(sT − E, 0),

(2.2)

waarbij 1{TB ≤T } de indicatorfunctie van de gebeurtenis {TB ≤ T } is. Met dezelfde opzet als in de sectie risiconeutraliteit hebben we een uitdrukking voor de prijs van een down-and-in barrière optie B(s0 , T ), B(s0 , T ) = e−rT E[1{TB ≤T } max(S(T ) − E, 0)].

(2.3)

In [4] is er een analytische formule voor de prijs van een down-and-in barrière optie. Uitdrukking (2.3) moet dan gelijk zijn aan deze analytische formule. We kunnen de prijs B(s0 , T ) exact uitrekenen. Barrière opties komen voor in alle soorten: down/up-and-out/in call/put opties, dubbele barrière opties, etc. Er is één type barrière optie waarvan de prijsbepaling interessant is: de Parijse optie.

2.2

De Parijse optie

In de voorgaande sectie is de Europese call optie besproken waarbij de aandeelprijs een barrière B moest overschrijden voordat max(S(T ) − E, 0) ontvangen kon worden. We willen nu de klasse van barrière opties uitbreiden door ook tijd als voorwaarde mee te laten tellen voordat max(S(T ) − E, 0) ontvangen kan worden. Door deze extra voorwaarde wordt de down-and-in barrière call optie uitgebreid naar een down-and-in Parijse call optie. In de scriptie wordt alleen de down-and-in Parijse call optie besproken dus voor ons gemak noemen we dit de Parijse optie. Laten we nu de definitie geven van de Parijse optie. Definitie (Parijse optie): De optiehouder van de Parijse optie ontvangt niet max(S(T ) − E, 0) tenzij het aandeelpad gedurende de looptijd [0, T ] een bepaalde aaneengesloten tijd D onder de barrière B blijft. Bij het afsluiten van het contract wordt de tijd D ∈ R≥0 expliciet vastgelegd. Het tijdstip wanneer de aandeelprijs voor de eerste keer een bepaalde tijd D onder de barrière blijft is stochastisch. Voordat we deze stochast definiëren moeten we eerst een andere stochast bespreken. Veronderstel dat de aandeelprijs S(t) voor een willekeurig tijdstip t ∈ [0, T ] zich onder de barrière B bevindt. Daarnaast heeft het aandeelprijsproces {S(t) : t ∈ [0, t)} de barrière B één of meerdere keren geraakt. De stochast γB (t) is de laatste keer voor tijdstip t dat de aandeelprijs S(t) de barrière B heeft geraakt, γB (t) = sup{u ≤ t : S(u) = B}

(2.4)

Door de constructie van de stochast γB (t) geldt dat S(t) voor alle t ∈ (γB (t), t) zich onder de barrière B bevindt. We spreken ook wel over een excursie onder de barrière B van lengte t − γB (t). Onze interesse ligt in het tijdstip t zodat de excursie van lengte t − γB (t) ≥ D en dan met name het eerst moment waarop deze gebeurtenis plaatsvindt. Deze twee aspecten definiëren de stochast TBD , TBD = inf{t > 0 : 1{St

17

Analoog als bij de barrière optie noteren we {TBD = ∞} als de excursie niet voorkomt. Als in het bijzonder {TBD ≤ T } dan spreken we over een zogenaamde knock-in gebeurtenis binnen de looptijd van de optie. De definitie van de Parijse optie beschrijft dat de optiehouder max(sT − E, 0) ontvangt als eerder de knock-in gebeurtenis heeft plaatsgevonden. Als gevolg dat de uitbetaling van de Parijse optie P (sT , 0) is, P (sT , 0) = 1{TBD ≤T } max(sT − E, 0)

(2.6)

Figuur 2.1 illustreert de uitbetaling van de Parijse optie. Er is aangenomen dat de huidige aandeelprijs s0 = 100, de expiratiedatum T = 1 jaar en de uitoefenprijs E = 110. De lengte van de gele lijn is de tijdsvoorwaarde D (ongeveer 28 dagen) van de Parijse optie. Figuur 2.1 laat zien dat het aandeelpad minstens tijd D onder de barrière B heeft doorgebracht. Als gevolg dat de knock-in gebeurtenis heeft plaatsgevonden. De winst voor de optiehouder is op de expiratiedatum sT − E. Daarnaast heeft de optiehouder een extra winst gemaakt door aanschaf van de Parijse optie i.p.v. Europese call optie. De prijs van zo’n optie is goedkoper dan een standaard Europese call optie vanwege de knock-in afhankelijke uitbetaling op de expiratiedatum.

Figuur 2.1: Uitbetaling van de Parijse optie We zijn met name ge¨ınteresseerd in de prijsbepaling van de Parijse optie, deze wordt uitgedrukt met P (s0 , T ). Het is alvast een geruststelling dat we een uitdrukking kunnen vinden voor P (s0 , T ) door middel van argumenten uit de sectie risiconeutraliteit. Door de risiconeutraliteits aanname toe te passen geldt voor P (s0 , T ), P (s0 , T ) = e−rT E[1{TBD ≤T } max(S(T ) − E, 0)],

(2.7)

waarbij 1{TBD ≤T } de indicatorfunctie van de knock-in gebeurtenis beschrijft. Tot op heden is er nog geen analytische formule gevonden waar (2.7) gelijk aan moet zijn. Onder de veronderstelling dat een financiële instelling een Parijse optie verkoopt, kunnen we ons afvragen of de prijs wel correct is? In het algemeen wordt een probleem numeriek opgelost als er geen analytische formule voor bekend is. Voor ons probleem wordt door simulatietechnieken een schatting voor P (s0 , T ) gegenereerd. In de komende sectie wordt de techniek besproken die banken het meest toepassen bij de waardebepaling van exotische opties: de Monte Carlo methode.

18


2.3

De Monte Carlo methode

2.3.1

Monte Carlo schatter voor α

Veronderstel dat we ge¨ınteresseerd zijn in het volgende probleem: het schatten van de volgende integraal, Z 1 α= f (x)dx, 0

waarbij α de onbekende waarde is. Om de waarde α te schatten willen we gebruik maken van de Monte Carlo methode. We kunnen de integraal representeren als α = E[f (U )],

U ∼ U (0, 1).

Veronderstel dat U1 , U2 , . . . , UM een rijtje onafhankelijke en uniform verdeelde stochasten op het interval [0, 1] zijn. We nemen hierbij aan dat het rijtje onafhankelijke stochasten gesimuleerd kan worden. Vervolgens evalueren we de functie f met de M gesimuleerde stochasten en door het gemiddelde te nemen, produceren we de volgende Monte Carlo schatter, α ˆM

M 1 X f (Ui ). = M i=1

Volgens de wet van grote aantallen [6] convergeert α ˆ M → α met kans 1 als M → ∞. In deze wet geldt E[f (Ui )] = α voor i = 1, . . . , M . Hierdoor is E[ˆ αM ] = α. Als schatters in het algemeen voldoen aan deze gelijkheid dan worden zij zuiver genoemd. Voor het schatten van een onbekende grootheid is een zuivere schatter zeer gewenst. Met name in de prijsbepaling van exotische opties is een zuivere schatter aanbevolen. Volgens de centrale limitietstelling [6] is de fout α ˆ M − α in de Monte Carlo schatter ongeveer 2 N (0, σM ). De fout kan worden gezien als een N (0, 1) geschaald door √σM . De factor √σM wordt vaak de standaard error genoemd. Dit suggereert dat de schatter α ˆ M voor grote waarden van M een benadering voor α geeft dat correct is tot O( √1M ). σ is in het algemeen onbekend maar de geschaalde standaard deviatie van het gemiddelde is een zuivere schatter voor de onbekende parameter, v u n u 1 X σ ˆ=t (f (Ui ) − α ˆ M )2 . n − 1 i=1 Dus vanuit de functiewaarden f (U1 ), . . . , f (Un ) vinden we niet alleen een schatting voor α geven maar ook van de statistische fout. Door gebruik te maken van α ˆ M en σ ˆ is σ ˆ σ ˆ (ˆ αM − 1.96 √ , α ˆ M + 1.96 √ ) M M een 95% betrouwbaarheidsinterval voor de onbekende parameter α.

2.3.2

Monte Carlo algoritme voor Parijse optie

De procedure bij het creëren van de Monte Carlo schatter α ˆ M voor α willen we nu toepassen op de onbekende prijs van de Parijse optie P (s0 , T ). In (2.7) is de prijs P (s0 , T ) gerepresenteerd.

19


Voor de constructie van de Monte Carlo schatter PˆM voor P (s0 , T ) zijn we in feite ge¨ınteresseerd in het simuleren van de stochast 1{TBD ≤T } max(S(T ) − E, 0). Om max(S(T ) − E, 0) te mogen ontvangen, moeten we nagaan of de knock-in gebeurtenis optreedt. In (1.7) is een procedure beschreven om aandeelprijzen S(ti+1 ) voor i = 0, . . . , n − 1 te kunnen simuleren . Het idee is om M aandeelpaden te simuleren en bij elk aandeelpad te controleren of de knockin gebeurtenis is opgetreden. Als bij het ide gesimuleerde aandeelpad de knock-in gebeurtenis plaatsvindt dan is de stochast Pi = e−rT max(S(T ) − E, 0). Indien er geen knock-in gebeurtenis is dan ontvangt de optiehouder geen uitbetaling m.a.w. Pi = 0. De schatter PˆM neemt het gemiddelde van Pi voor i = 1, . . . , M . Het volgende Monte Carlo algoritme vat het idee samen. Kies een stapgrootte ∆t en definieer hiermee het grid tj = j∆t in het interval [0, T ] voor j = 0, . . . , n waarbij t0 = 0 en tn = T . We nemen aan D = c∆t waarbij c ∈ {0, . . . , n}. • Voor i = 1, . . . , M herhaal de procedure;

1. Genereer Zj ∼ N (0, 1) voor j = 1, . . . , n; 1

2. Zet S(tj+1 ) = S(tj )e(r− 2 σ

2

√ )∆t+σ ∆tZj+1

voor j = 0, . . . , n − 1;

3. Controleer of er een k ∈ {0, . . . , n − c} bestaat zodat het rijtje aandeelprijzen S(tk ), . . . , S(tk+c ) < B; – Zet Pi = e−rT max(S(tn ) − E, 0) als k ∈ {0, . . . , n − c}; – Zet Pi = 0 als k ∈ / {0, . . . , n − c}.

• De Monte-Carlo schatter PˆM =

P1 +...+PM M

voor P (s0 , T ).

Kunnen we nu opnieuw de wet van grote aantallen toepassen en concluderen dat PˆM → P (s0 , T ) convergeert met kans 1 als M → ∞? Om een knock-in gebeurtenis vast te stellen, moet het gehele continue aandeelpad onder de barrière bekend zijn. Uit het Monte-Carlo algoritme blijkt het aandeelpad slechts gediscretiseerd wordt met stapgrootte ∆t. De ontwikkeling van het aandeelpad tussen twee gesimuleerde stochasten S(ti ) en S(ti+1 ) is hierdoor onbekend. Vanwege de onbekende ontwikkeling maakt het Monte-Carlo algoritme een discretisatiefout ∆t in de ide replicatie. Hierdoor is de schatter PˆM niet zuiver, oftewel E[PˆM ] = P (s0 , T ) + ∆t . Het Monte Carlo-algoritme stelt een knock-in gebeurtenis te snel vast en hierdoor betaalt de optie onrechtmatig uit. Als gevolg dat de schatting voor de prijs van P (s0 , T ) te hoog is. Hoeveel invloed heeft ∆t op de overschatte prijs van P (s0 , T )? Uit [4] blijkt dat het fluctuerende gedrag van de geometrische Brownse beweging invariant is voor de tijd m.a.w. het proces heeft dezelfde fluctuatie ongeacht het bekeken tijdsinterval. Voor het Monte Carlo algoritme heeft dit de consequentie dat bij een vast aantal replicaties M er een ontzettend kleine stapgrootte ∆t nodig is om de schatting in de buurt te laten komen bij de correcte prijs. Het gevolg is dat de rekentijd alsmaar toeneemt bij het verkleinen van ∆t. Met het oogpunt op de financiële instellingen waarbij binnen seconden correcte prijzen (zonder ∆t ) gegenereerd moeten worden is dit niet gewenst. Het doel van dit project is hiermee duidelijk geworden, namelijk het creëren van een algoritme waarin een zuivere schatter voor P (s0 , T ) wordt gegenereerd en wat bruikbaar is voor de snelheid van de financiële markten. In het komende hoofdstuk rekenen we (2.7) uit onder een andere kansmaat. Als eenmaal dit behaald is, kunnen we toewerken naar het creëren van het gewenste algoritme.

Hoofdstuk

3

Verandering van kansmaat In hoofdstuk 2 is de knock-in gebeurtenis {TBD ≤ T } van de Parijse optie besproken. Om een knock-in gebeurtenis met zekerheid vast te stellen, moet het gehele continue aandeelpad onder de barrière B bekend zijn. Het Monte Carlo algoritme discretiseert slechts het aandeelpad en maakt hierdoor een zogenaamde discretisatiefout ∆t in de schatting voor 1

P (s0 , T ) = e−rT E[1{TBD ≤T } max(s0 e(r− 2 σ

2

)T +σW (T )

− E, 0)].

(3.1)

Dit leidt tot het creëren van een nieuw algoritme waarin de excursie lengte onder de barrière exact wordt bepaald. In hoofdstuk 4 zal blijken dat door middel van specifieke eigenschappen van de standaard Brownse beweging {W (t) : t ∈ [0, T ]} we deze excursie lengte exact kunnen bepalen. We willen dus de knock-in gebeurtenis vaststellen aan de hand van de standaard Brownse beweging. Als eerste moeten we de knock-in gebeurtenis formuleren in termen van standaard Brownse beweging. Bekijk de gebeurtenis S(t) < B op een tijdstip t ∈ [0, T ]. Onder het huidige aandeelprijs model geldt, log sB0 − (r − 21 σ 2 )t 1 2 S(t) = s0 e(r− 2 σ )t+σW (t) < B ⇐⇒ W (t) < =: bt . (3.2) σ Door de ongelijkheid in termen van standaard Brownse beweging te beschrijven, lijkt het probleem ingewikkelder te zijn geworden. De barrière bt voor W (t) blijkt uit (3.2) tijdafhankelijk te zijn. Het proces {W (t) : t ∈ [0, T ]} moet dan binnen de de looptijd [0, T ] een excursie van minstens lengte D onder de tijdafhankelijke barrière bt hebben voordat de Parijse optie uitbetaalt. Het vaststellen van deze knock-in gebeurtenis in termen van {W (t) : t ∈ [0, T ]} is uitermate lastig.

20

HOOFDSTUK 3. VERANDERING VAN KANSMAAT

21

We zullen zien door het toepassen van de Girsanov stelling ons het mogelijk maakt de verwachting bij (3.1) uit te rekenen onder een andere kansmaat waar het prijsproces {S(t) : t ∈ [0, T ]} geschreven wordt als S(t) = s0 eσZ(t) ∀t ∈ [0, T ], (3.3) waarbij {Z(t) : t ∈ [0, T ]} een standaard Brownse beweging is. Onder de gewenste kansmaat is de gebeurtenis S(t) < B op een tijdstip t ∈ [0, T ] te schrijven als, S(t) = s0 eσZ(t) ⇐⇒ Z(t) <

B 1 log := b. σ s0

(3.4)

Het gevolg van (3.4) is dat proces {Z(t) : t ∈ [0, T ]} voor een excursie van minstens lengte D onder de constante barrière b moet hebben voordat de Parijse optie uitbetaalt. Voordat we de Girsanov stelling toepassen en vervolgens de knock-in gebeurtenis in termen van {Z(t) : t ∈ [0, T ]} formuleren waarbij de barrière b constant is, bespreken we eerst het onderwerp verandering van kansmaat.

3.1

Kansruimte

In de huidige sectie zullen we de definitie geven van een kansruimte. Het concept filtratie wordt ook besproken. Ten slotte zullen alle besproken begrippen kort ge¨ıllustreerd worden. Definitie (kansruimte): Een kansruimte van een bepaald experiment wordt gegeven door (Ω, F, P) waarbij,

• Ω is de verzameling van alle mogelijke uitkomsten van het desbetreffende experiment; • F is de verzameling van alle mogelijke gebeurtenissen. Een gebeurtenis is een deelverzameling van Ω. F heeft de structuur van een σ-algebra: 1. ∅ ∈ F;

2. Als A ∈ F =⇒ AC ∈ F; S∞ 3. A1 , A2 , . . . ∈ F =⇒ i=1 Ai ∈ F.

• P is een functie die iedere A ∈ F associeert met een getal P(A). De afbeelding P heet een kansmaat als deze aan de volgende eigenschappen voldoet: 1. P(Ω) = 1; 2. 0 ≤ P (A) ≤ 1;

S∞ P∞ 3. Voor een disjunct rijtje A1 , A2 , . . . in F geldt P( i=1 Ai ) = i=1 P(Ai ).

De eigenschappen van P zijn zeer gewenst. De kans op alle mogelijke uitkomsten van een experiment is intu¨ıtief al gelijk aan één. De tweede eigenschap laat zien dat P : F → [0, 1].


22

De toegewezen kansen bij de gebeurtenissen hoeven niet uniek bepaald te zijn. Dit betekent dat de kansmaat P niet uniek is voor (Ω, F). Het is mogelijk om een kansmaat Q op (Ω, F) te creëren die bij dezelfde gebeurtenissen andere kansen toekent. Veronderstel dat er twee keer met een munt wordt getost. De uitkomstenruimte Ω = {KK, KM, M K, M M } waarbij K voor ’kop’ staat en M voor ’munt’. We zien dat de uitkomsten van het experiment een rijtje ω = ω1 ω2 vormen waarbij wi de waarde K of M aanneemt. Veronderstel dat het tossen onafhankelijk gebeurt. Bekijk de gebeurtenis ’eerste keer kop gooien’, H = {w ∈ Ω : w1 = K} = {KK, KM }. De verzameling van alle gebeurtenissen F is bij het desbetreffende experimente gelijk aan de machtsverzameling 2Ω . Als onder kansmaat P de kans op K gelijk is aan p ∈ [0, 1]. Dan is de kans op de gebeurtenis P(H) = p. We kunnen een kansmaat Q creëren op dezelfde (Ω, F) waarbij de kans op K gelijk is aan p˜ = 1 − p. In feite is onder kansmaat Q de kans op K hetzelfde als de kans op M onder kansmaat P. Hieruit volgt dat Q(H) = p˜. Het voorbeeld laat zien dat er verschillende kansmaten op dezelfde ruimte (Ω, F) kunnen werken. We zijn nu in staat om stochasten op een bepaalde kansruimte te definiëren. Een stochast op (Ω, F, Q) is een functie van Ω naar R. Onder kansmaat Q heeft de stochast een bepaalde cumulatieve verdelingsfunctie, oftewel Q(Z ≤ z) voor alle z ∈ R is gedefinieerd. Door het creëren van een nieuwe kansmaat P op (Ω, F) kan dezelfde stochast een andere cumulatieve verdelingsfunctie krijgen. In de komende sectie staat het creëren van een nieuwe kansmaat P op (Ω, F) door middel van een speciale stochast gedefinieerd op (Ω, F, Q) centraal. Deze stochast wordt de Radon-Nikodym afgeleide genoemd. Met de bespreking van het concept filtratie wordt de huidige sectie afgesloten. Bij het tossen komt er informatie vrij met betrekking tot de waarden die de munt aanneemt. Als er nog niet met de munt getost dan zijn in feite alle uitkomsten mogelijk. Bij het starten van een experiment is namelijk nog niet de mogelijkheid om gebeurtenissen te kunnen verifiëren. De gebeurtenissen die we bij het begin kunnen verifiëren zijn, F0 = {∅, Ω} De lege verzameling zit in F0 vanwege de σ-algebra structuur. Als bijvoorbeeld na één keer tossen de waarde K is gevallen dan geeft dit een beperking in het aantal toekomstige uitkomsten. Dus het aantal gebeurtenissen dat we na één keer tossen kunnen verifiëren neemt hierdoor toe, F1 = {∅, Ω, H, H C }, waarbij de gebeurtenis H C het complement van de gebeurtenis H is. In ons voorbeeld is het experiment afgelopen na twee keer tossen. Als gevolg dat de verzameling van alle mogelijke gebeurtenissen na twee keer tossen verifieerbaar is, F2 = 2Ω . Dit rijtje F0 , F1 , F2 is een voorbeeld van een zogenaamde filtratie. In het algemeen kunnen we op een willekeurig (Ω, F, P) een filtratie {Ft : t ∈ {τ }} definiëren zodat F0 ⊂ F1 ⊆ . . . ⊆ Fi ⊆ . . . waarbij τ een willekeurige index verzameling is. Na verloop van tijd komt er informatie vrij van het desbetreffende experiment. Het gevolg is dat het aantal gebeurtenissen toeneemt die met de huidige informatie verifieerbaar zijn.

23


3.2

De Radon-Nikodym afgeleide

Voordat we de Radon-Nikodym afgeleide presenteren, gaan we eerst de verwachting van een stochast bespreken. Veronderstel dat een continue stochast Z gedefinieerd is op de kansruimte (Ω, F, Q) en de kansdichtheidsfunctie van Z gegeven is door g. We introduceren de volgende notatie, Z Z ∞

EQ [Z] =

Z(ω)dQ(ω) =

Ω

zg(z)dz

(3.5)

−∞

voor de verwachting van de stochast Z ten opzichte van de kansmaat Q. Ten slotte de verwachting van de stochast h(Z), een positieve en continue functie van de stochast Z, ten opzichte van de kansmaat Q is gedefinieerd als, Z Z ∞ EQ [h(Z)] = h(Z(ω))dQ(ω) = h(z)g(z)dz. Ω

−∞

We zijn nu in staat om de Radon-Nikodym afgeleide te illusteren. De verdelingsfunctie van Z onder kansmaat Q is gegeven door, Z z Q(Z ≤ z) = g(x)dx, z ∈ R. (3.6) −∞

Als f een willekeurige kansdichtheidsfunctie is met de eigenschap dat g(z) = 0 =⇒ f (z) = 0 dan kunnen we een nieuwe kansmaat P op (Ω, F) definiëren door de volgende constructie, Z h f (Z) i Z f (Z(ω)) f (Z(ω)) = 1A (ω) dQ(ω) = dQ(ω), (3.7) P(A) = EQ 1A g(Z) g(Z(ω)) Ω ω∈A g(Z(ω)) waarbij 1A de indicatorfunctie van een willekeurige gebeurtenis A ∈ F is. De constructie bij (3.7) laat zien dat de kansen onder P uitgedrukt worden d.m.v een verwachting ten opzichte van kansmaat Q van een functie van de stochast Z. In de voorgaande sectie is de definitie van een kansruimte gegeven. Hierin staan de drie eigenschappen vermeld waaraan een kansmaat moet voldoen. Deze eigenschappen gaan we na om aan te tonen dat P een kansmaat op (Ω, F) is. h i R R ∞ (x) R∞ (Z) (Z(ω)) 1. P(Ω) = EQ fg(Z) = Ω fg(Z(ω)) dQ(ω) = −∞ fg(x) g(x)dx = −∞ f (x) = 1; i h R (Z) (Z(ω)) = ω∈A fg(Z(ω)) dQ(ω) ≤ 2. Zij A ∈ F willekeurig. Er geldt 0 ≤ P(A) = EQ 1A fg(Z) R f (Z(ω)) dQ(ω) = 1; Ω g(Z(ω)) i h i h (Z) (Z) = EQ max(1A , 1B ) fg(Z) = 3. Als A ∩ B = ∅ dan P(A ∪ B) = EQ 1A∪B fg(Z) h i h i h i f (Z) f (Z) f (Z) EQ 1A g(Z) + EQ 1B g(Z) − EQ 1A 1B g(Z) = P(A) + P(B).

Het bewijs van P(A ∪ B) = P(A) + P(B) kan worden uitgebreid naar een rijtje disjuncte gebeurtenissen A1 , A2 , . . . in F.

24


De constructie van (3.7) gaan we toepassen op de gebeurtenis Z ≤ z. Onder de de nieuwe kansmaat P geldt, Z f (Z(ω)) P(Z ≤ z) = dQ(ω) {w:Z(w)≤z} g(Z(ω)) Z z f (x) g(x)dx = −∞ g(x) Z z f (x)dx (3.8) = −∞

Uit (3.8) kunnen we concluderen dat de stochast Z de kansdichtheidsfunctie f onder kansmaat P heeft. x2

1 Veronderstel dat g(x) = √2πt e− 2t , oftewel een normale kansdichtheid gecentreerd rond nul en met variantie t. Als de keuze van f gelijk is aan een normale kansdichtheid gecentreerd rond mt en met variantie t dan geldt, m2 f (x) = emx− 2 t . g(x)

De keuze om kansdichtheid f rond mt te centreren waarbij m ∈ R zal later duidelijk worden. m2 We concluderen als Z ∼ N (0, t) onder kansmaat Q dan zorgt de stochast emZ− 2 t voor een connectie met de nieuwe kansmaat P als volgt, P(A) = EQ [1A emZ−

m2 2

t

],

A ∈ F.

(3.9)

Onder kansmaat P is Z ∼ N (mt, t) en Z − mt ∼ N (0, t). Uit het voorbeeld blijkt dat je een speciale stochast op kansruimte (Ω, F, Q) kunt gebruiken om een nieuwe kansmaat P te definiëren. Deze speciale stochast op kansruimte (Ω, F, Q) heet de Radon-Nikodym afgeleide dP en wordt genoteerd met dQ . In het algemeen kunnen twee willekeurige kansmaten op dezelfde (Ω, F) in connectie worden gebracht door de Radon-Nikodym afgeleide, mits zij aan een bepaalde eigenschap voldoen. Deze bijzondere connectie tussen twee kansmaten wordt de stelling van Radon-Nikodym genoemd. Stelling (Radon-Nikodym): Veronderstel dat P en Q kansmaten zijn op (Ω, F) zijn met de eigenschap P(A) > 0 =⇒ Q(A) > 0 dP voor A ∈ F. Het gevolg is dat er een unieke en bijna altijd positieve stochast dQ onder kansmaat Q bestaat zodanig dat h dP i P(A) = EQ 1A . (3.10) dQ Het mag duidelijk zijn dat P(A) > 0 =⇒ Q(A) > 0 geldt voor de gebeurtenis Z ≤ z waarbij Z ∼ N (mt, t) onder P en Z ∼ N (0, t) onder Q. Dus de stochast, m2 dP = emZ− 2 t dQ

(3.11)

geeft de unieke connectie d.m.v. (3.9) tussen de kansmaten P en Q. Als vanuit kansmaat dP Q d.m.v. de stochast dQ een nieuwe kansmaat P wordt gedefinieerd, dan refereren we naar constructie (3.10).


25

dP Er is nog één eigenschap van dQ die voor ons doeleinde van belang is. Eerder hebben we gezien dat Z ∼ N (mt, t) onder kansmaat P. De verwachting EP [Z] is gelijk,

mt = EP [Z] Z = Z(ω)dP (ω) Ω Z ∞ = zf (z)dz −∞ Z ∞ f (z) g(z)dz = z −∞ g(z) Z f (Z(ω)) = dQ(ω) Z(ω) g(Z(ω)) Ω h dP i = EQ Z , dQ

(3.12)

(3.13)

In hoofdstuk 1 is de definitie van de standaard Brownse beweging W (t) gegeven. Uit de eigenschappen van de standaard Brownse beweging volgt dat W (t) ∼ N (0, t) voor alle t ∈ [0, T ]. In de huidige sectie is er de connectie tussen kansruimten P en Q besproken zodat (3.12) gelijk kan worden gesteld aan (3.13). We zien dat voor een vast tijdstip t de verwachting onder kansmaat P van een Brownse beweging met drift m gelijk is aan een verwachting onder kansmaat Q van een standaard Brownse beweging vermenigvuldigd met (3.11). Deze gelijkheid tussen verwachtingen willen we uitbreiden zodanig dat deze voor alle tijdstippen t uit het interval [0, T ] geldig zijn. In de komende sectie zal deze vraag d.m.v het toepassen van de stelling van Girsanov beantwoord worden.

3.3

Girsanov transformatie

In de huidige sectie geven we een versimpelde versie van de stelling van Girsanov. In [1] vindt u de algemene stelling van Girsanov. Het toepassen van deze stelling duiden we aan met een zogenaamde Girsanov transformatie. Stelling (Girsanov ): Definieer de standaard Brownse beweging {W (t) : t ∈ [0, T ]} op de kansruimte (Ω, F, Q) en laat {Ft : t ∈ [0, T ]} de filtratie voor deze standaard Brownse beweging zijn. Laat γ ∈ R. Definieer de stochast, 1 2 X(t) = e− 2 γ t+γW (t) (3.14) Dan definiëren we de nieuwe kansmaat P op (Ω, FT ) door middel van dP = X(T ). dQ T

(3.15)

Onder kansmaat P is voor alle t ∈ [0, T ] het proces,

een standaard Brownse beweging.

f (t) = W (t) − γt W

(3.16)

26


Over het begrip filtratie in de stelling van Girsanov geven we een intu¨ıtieve verklaring. Voor de exacte definitie van het begrip verwijs ik naar [2]. De filtratie {Ft : t ∈ [0, T ]} van de standaard Browse beweging bevat alle kennis van het proces W (t) tot en met tijdstip t. De filtratie {Ft : t ∈ [0, T ]} ontwikkelt zich analoog als in het voorbeeld van de sectie kansruimte. Voor ons doeleinde nemen we de γ uit de stelling van Girsanov gelijk aan de constante m. We definiëren een nieuwe kansmaat P door middel van de Radon Nikodym afgeleide, 2 1 dP (3.17) = e− 2 m T +mW (T ) . dQ T

f (t) = W (t)−mt voor alle t in het interval [0, T ] een Onder kansmaat P is het stochastisch proces W standaard Brownse beweging. Hieruit volgt dat onder kansmaat P het proces {W (t) : t ∈ [0, T ]} een Brownse beweging met drift m is. We concluderen dat we opnieuw een connectie hebben tussen de kansmaten P en Q dankzij (3.17) voor alle t in het interval [0, T ]. Het gevolg is dat de verwachting onder kansmaat P van de Brownse beweging met drift m voor alle t in het interval [0, T ] geldt, i h dP (3.18) mt = EP [{W (t)}0≤t≤T ] = EQ {W (t)}0≤t≤T dQ T

Het bijzondere aan uitdrukking (3.18) is dat door een verandering van kansmaat te ondergaani h dP dP m.b.v. dQ |T we de verwachting EP [{W (t)}0≤t≤T ] kunnen omschrijven naar EQ dQ |T {W (t)}0≤t≤T waarin de drift m van de Brownse beweging is geëlimineerd. Deze toepassing van de Girsanov stelling duiden we aan met de Girsanov transformatie. We zijn nu in staat om de Girsanov transformatie toe te passen voor de gewenste herformulering van P (s0 , T ). Definieer het proces {Z(t) : t ∈ [0, T ]} als, Z(t) = mt + W (t),

m=

r − 21 σ 2 σ2

(3.19)

waarbij {W (t) : t ∈ [0, T ]} onder kansmaat P een standaard Brownse beweging h is. Door gebruiki dP te maken van de Girsanov transformatie bij (3.18) geldt EP [{Z(t)}0≤t≤T ] = EQ dQ |T {Z(t)}0≤t≤T waarbij {Z(t) : t ∈ [0, T ]} onder kansmaat Q een driftloze Browse beweging is.

Onder kansmaat P veronderstellen we dat het model voor het aandeelpad gegeven is door 1

S(t) = s0 e(r− 2 σ

2

)t+σW (t)

∀t ∈ [0, T ].

We willen het proces bij (3.19) in S(t) onder kansmaat P verwerken, 1

S(t) = s0 e(r− 2 σ

2

)t+σW (t)

= s0 eσ(mt+W (t)) = s0 eσZ(t)

∀t ∈ [0, T ].

(3.20)

Voor de knock-in afhankelijke uitbetaling van de Parijse optie definiëren we de functie Ψ : {S(t)}0≤t≤T −→ R+ .

(3.21)

Met andere woorden voor ieder willekeurig aandeelpad {S(t)}0≤t≤T in (3.21) , geven we de bijbehorende Parijse uitbetaling.

27


Door de Girsanov transformatie vinden we een nieuwe verwachting waar P (s0 , T ) aan gelijk is. P (s0 , T ) = e−rT EP [Ψ[{s0 eσZ(t) }0≤t≤T ]] i h dP (3.18) −rT = e EQ Ψ[{s0 eσZ(t) }0≤t≤T ] dQ T h i (3.17) −(r+ m2 )T 2 = e EQ emZ(T ) Ψ[{s0 eσZ(t) }0≤t≤T ]

(3.22)

(3.23)

Na toepassing van de Girsanov transformatie is het model voor het aandeelpad onder kansmaat Q gegeven door S(t) = s0 eσZ(t) voor alle t in het interval [0, T ]. Voor de ongelijkheid S(t) < B geldt onder kansmaat Q, S(t) < B ⇐⇒ Z(t) < b waarbij b =

B 1 log . σ s0

Met andere woorden onder kansmaat Q vindt de knock-in gebeurtenis plaats als het proces {Z(t) : t ∈ [0, T ]} voor bepaalde aaneengesloten tijd D onder de constante barrière b binnen de looptijd van de optie blijft. 1

2

dP |T = e− 2 m T +mZ(T ) is de connectie tussen Met behulp van de Radon-Nikodym afgeleide dQ de kansmaten P en Q tot stand gebracht. De Girsanov transformatie heeft als gevolg dat de verwachtingen (3.22) en (3.23) aan elkaar gelijk zijn. Ten slotte gaan we de prijs van de Parijse optie P (s0 , T ) herformuleren in de stijl van hoofdstuk 2. Definieer het eerste moment waarop het proces {Z(t) : t ∈ [0, T ]} voor bepaalde aaneengesloten tijd D onder de constante barrière b heeft doorgebracht als

TbD = inf{t > 0 : 1{W (t)
(3.24)

De notatie {TbD ≤ T } duidt aan dat de standaard Brownse beweging een knock-in gebeurtenis met constante barrière b vaststelt. Vanaf nu gebruiken we weer de notatie W (t) i.p.v. Z(t) voor de standaard Browse beweging als we onder kansmaat Q werken. Dan geldt voor de prijs van de Parijse optie P (s0 , T ), h i m2 P (s0 , T ) = e−(r+ 2 )T EQ 1{TbD ≤T } emW (T ) max(s0 eσW (T ) − E, 0) . (3.25) In het komende hoofdstuk worden er verdelingen van stochasten afgeleid waardoor we de excursie lengte van de standaard Brownse beweging onder de barrière b exact kunnen vaststellen. We zullen in staat zijn de knock-in gebeurtenis {TbD ≤ T } correct te bepalen. Als {TbD ≤ T } plaatsvindt dan evalueren we de uitbetaling van de Parijse optie. Na de Girsanov transformatie wordt de rechtmatige uitbetaling van de Parijse optie vermenigvuldigd met (3.17). Dit is volgens (3.25) een functie φ : W (T ) −→ R+ van de stochast W (T ) geworden namelijk, φ(W (T )) = emW (T )−

m2 2

T

max(s0 eσW (T ) − E, 0).

(3.26)

Hoofdstuk

4

Eigenschappen van de standaard Brownse beweging In het huidige hoofdstuk worden er verdelingen afgeleid van stochasten die afhankelijk zijn van de standaard Browse beweging {W (t) : t ∈ [0, T ]} op de kansruimte (Ω, F, Q). Vervolgens bespreken we hoe deze stochasten te simuleren zijn. Op de volgende vragen wordt door voorgenoemde stochasten door middel van simulatie antwoord gegeven: 1. Wat is het eerste tijdstip s waarvoor W (s) = b? 2. Wat is de waarde van een standaard Brownse beweging op een bepaald tijdstip? 3. Veronderstel dat op een tijdstip t ∈ [0, T ] geldt W (t) < b. Wat is het laatste tijdstip voor t zodat de standaard Brownse beweging de barrière b heeft geraakt? Ten slotte wat is het eerste tijdstip na t zodat de standaard Brownse beweging de barrière b heeft geraakt?

4.1

Eerste raaktijdstip van de barri` ere

Het eerste tijdstip s zodat W (s) = b wordt de eerste raaktijd van de barrière b genoemd en genoteerd met Tb . Dit stochastische tijdstip Tb definiëren we als, Tb = inf{s : W (s) = b}.

(4.1)

We zijn ge¨ınteresseert in het vinden van een uitdrukking voor Q(Tb ≤ t). Veronderstel dat Tb = s voor een willekeurige s ∈ [0, t]. We passen een bekende eigenschap van de Brownse beweging toe: de sterke Markov eigenschap. Voor de details van deze eigenschap verwijs ik naar [2]. In woorden vertelt de sterke Markov eigenschap dat het proces {W (t) − b : t ≥ s} een standaard Brownse beweging en onafhankelijk van zijn geschiedenis Fs is. Het gevolg is dat het proces {W (t) : t ≥ s} gezien kan worden als een opnieuw startende Brownse beweging met als startwaarde W (s) = b.

28

HOOFDSTUK 4. EIGENSCHAPPEN VAN DE STANDAARD BROWNSE BEWEGING 29 Uit de definitie van de standaard Brownse beweging volgt dat W (t) ∼ N (0, t) voor alle t ∈ [0, T ]. Hieruit volgt dat het proces op het tijdsinterval [0, s) symmetrisch is rond de startwaarde W (0) = 0. Na het raken van de barrière b op tijdstip s blijkt uit de sterke Markov eigenschap dat het proces {W (t) − b : t ≥ s} een standaard Brownse beweging is. Hieruit volgt dat het proces {W (t) − b : t ≥ s} voor alle tijdstippen in het interval (s, T ] symmetrisch is rond de startwaarde W (s) − b = 0. In het bijzonder is het proces {W (t) : t ≥ s} symmetrisch rond de barrière b. Veronderstel dat het Brownse pad na het raken van de barrière op tijdstip s de waarde W (T ) = x op de expiratiedatum T , x < b, aanneemt. Zo’n pad kan gereflecteerd worden rond de barrière b en dit nieuwe proces noteren we met {B(t) : t ≥ s}. Dit illustreert een bekende eigenschap van de Brownse beweging namelijk het reflectieprincipe. We zijn ge¨ınteresseert in een uitdrukking voor het reflecterend proces {B(t) : t ≥ 0} te vinden. Voordat de gebeurtenis Tb = s heeft plaatsgevonden, is het reflecterend proces {B(t) : t ∈ [0, s)} gelijk aan {W (t) : t ∈ [0, s)}. Volgens de sterkte Markov eigenschap is het proces {B(t) − b : t ≥ s} een standaard Brownse beweging. Het proces {B(t) − b : t ≥ s} is gelijk aan het proces {−(W (t) − b) : t ≥ s}. Voor t ≥ s geldt voor het reflecterend pad B(t) rond de barrière b, B(t) − b = −(W (t) − b) =⇒ B(t) = 2b − W (t). Het bewijs van het reflectieprincipe laat zien dat het proces {B(t) : t ≥ 0}, W (t) voor t < s 2b − W (t) voor t ≥ s een standaard Brownse beweging is. Het gevolg is dat de kans op de gebeurtenis {W (T ) ≤ x} gelijk is aan de kans op de gebeurtenis {B(T ) ≥ 2b − x}. Het reflectieprincipe is in figuur 4.1 weergegeven. reflecterend pad B(T ) = 2b − x b ↑

W (T ) = x

W (t) W (0) = 0

Tb = s

T t→

Figuur 4.1: Reflectieprincipe standaard Brownse beweging

HOOFDSTUK 4. EIGENSCHAPPEN VAN DE STANDAARD BROWNSE BEWEGING 30 We definiëren het supremum van de standaard Brownse beweging tot en met tijdstip t met M (t), M (t) = sup W (s). (4.2) 0≤s≤t

Als M (t) kleiner is dan b dan heeft de eerste raaktijd Tb nog niet plaatsgevonden oftewel, M (t) < b ⇐⇒ Tb > t.

(4.3)

De equivalentie bij (4.3) zal later van belang zijn voor de afleiding van Q(Tb ≤ t). We zijn met name ge¨ınteresseerd in de gezamenlijke verdeling van (W (t), M (t)). Het reflectieprincipe impliceert voor y < b, Q(W (t) ≤ y, M (t) > b) = Q(2b − B(t) ≤ y, M (t) > b)

= Q(B(t) ≥ 2b − y, M (t) > b) = Q(B(t) ≥ 2b − y).

(4.4)

De laatste gelijkheid geldt vanwege {B(t) ≥ 2b − y} ⊂ {M (t) > b}. Voor Q(W (t) ≤ y, M (t) ≤ b) geldt, Q(W (t) ≤ y, M (t) ≤ b) = Q(M (t) ≤ b|W (t) ≤ y)Q(W (t) ≤ y) h i = 1 − Q(M (t) > b|W (t) ≤ y) Q(W (t) ≤ y) h Q(W (t) ≤ y, M (t) > b) i Q(W (t) ≤ y) = 1− Q(W (t) ≤ y) = Q(W (t) ≤ y) − Q(W (t) ≤ y, M (t) > b) y 2b − y (4.4) = Q Z ≤ √ −Q Z ≥ √ t t y y − 2b =Φ √ −Φ √ t t

(4.5)

waarbij Φ(x) de standaard normale verdelingsfunctie is. Voor de kans Q(M (t) ≤ x) geldt, Q(M (t) ≤ b) = Q(M (t) ≤ b, W (t) ≤ b) + Q(M (t) ≤ b, W (t) > b) = Q(M (t) ≤ b, W (t) ≤ b) −b b (4.5) = Φ √ −Φ √ t t b = 2Φ √ − 1 t

(4.6)

We zijn nu in staat om Q(Tb ≤ t) te bepalen. (4.3)

Q(Tb ≤ t) = Q(M (t) ≥ b)

= 1 − Q(M (t) < b) h b i (4.6) = 1 − 2Φ √ − 1 t h b i . =2 1−Φ √ t

(4.7)

HOOFDSTUK 4. EIGENSCHAPPEN VAN DE STANDAARD BROWNSE BEWEGING 31 Q(M (t) ≤ b, W (t) > b) = 0 vanwege {M (t) ≤ b} ∩ {W (t) > b} = ∅. Voor de gevonden kans bij (4.7) geldt, b2 h b i b b = 1 − Q |Z| < √ = Q |Z| ≥ √ = Q 2 ≤ t . 2 1−Φ √ Z t t t

(4.8)

We concluderen dat de verdeling van de eerste raaktijd van de barrière b is gevonden, d

Tb =

b2 , Z2

(4.9)

waarbij Z ∼ N (0, 1). Het simuleren van Tb voor een standaard Brownse beweging gaat als volgt: • Genereer Z ∼ N (0, 1); • Zet Tb =

4.2

b2 Z2 .

Excursie onder de barri` ere

Voordat we de verdelingen presenteren die de excursie van de standaard Brownse beweging onder de barrière exact vaststellen, bespreken we eerst het simuleren van W (t) op een bepaald tijdstip t. In feite simuleren we de waarden (W (t1 ), . . . , W (tn )) op een voorafbepaald grid 0 = t0 < t1 < . . . tn = T . Volgens de definitie heeft de standaard Brownse beweging W (t) onafhankelijke en normaal verdeelde incrementen. Dus het simuleren van W (t) met behulp van deze incrementen ligt voor de hand. Genereer een onafhankelijk rijtje Z1 , . . . , Zn standaard normale stochasten. We nemen hierbij aan dat het rijtje onafhankelijke stochasten gesimuleerd kan worden. Voor de standaard Brownse beweging geldt W (t0 ) = 0. Door de incrementen van de standaard Brownse beweging vinden we de gelijkheid, p W (ti+1 ) − W (ti ) = ti+1 − ti Zi+1 , i = 0, . . . , n − 1. Veronderstel dat we een equidistant grid gebruiken oftewel ∆t = ti+1 − ti voor i = 0, . . . , n − 1. Dan is simulatie van de waarden (W (t1 ), . . . , W (tn )) mogelijk door, √ W (ti+1 ) = W (ti ) + ∆tZi+1 , i = 0, . . . , n − 1.

(4.10)

Simuleer de eerste raaktijd van de barrière b door de eerder besproken procedure. Veronderstel dat Tb = t∗ en voor de simulatie waarde van de standaard Brownse beweging op tijdstip t > t∗ de ongelijkheid W (t) < b geldt. We zijn ge¨ınteresseerd in het laatste tijdstip voor t zodat de standaard Brownse beweging de barrière b raakt. Dit stochastische tijdstip t∗ ≤ γb (t) < t definiëren we als, γb (t) = sup{s ≤ t : W (s) = b} (4.11) Neem aan dat we de mogelijkheid hebben om γb (t) te simuleren. Het gevolg is dat we kunnen spreken over een excursie van de standaard Brownse beweging onder b van lengte t−γb (t). Dankzij [3] kunnen we de verdeling van γb (t) voor b = 0 vinden. Als b = 0 dan noteren we γb (t) met γ(t) en spreken we over een barrière ˜b = 0. Merk op dat de eerste raaktijd van de barrière ˜b = 0 gelijk is aan de startwaarde van de standaard Brownse beweging. In [3] wordt de kansverdeling van R(t) = γ(t) t geconditioneerd op de reflecterende waarde B(t) = y afgeleid.

HOOFDSTUK 4. EIGENSCHAPPEN VAN DE STANDAARD BROWNSE BEWEGING 32 In het artikel worden de constante a = deling van R(t) geldt,

s t

y √ t

en u =

gedefinieerd. Voor de conditionele kansver-

r a − 1. P(R(t) ≤ a|B(t) = y) = 2Φ u 1−a Voor de gevonden kans bij (4.12) geldt, r r r a a a 2Φ u =Q −u ≤Z≤u 1−a 1−a 1−a 2 u a = Q Z2 ≤ 1−a Z2 1 =Q 2 ≤ 1 u a −1 Z2 =Q 2 ≤ a . Z + u2

(4.12)

(4.13)

We concluderen dat de conditionele verdeling van R(t) is gevonden, d

R(t) = Door middel van (4.14) en R(t) =

γ(t) t

Z2 Z 2 + u2

(4.14)

is de gewenste verdeling van γ(t) gegeven door, tZ 2 . + u2

d

γ(t) =

(4.15)

Z2

Het simuleren van 0 ≤ γ(t) ≤ t kan als volgt worden gedaan: • Simuleer W (t) op een bepaalde tijdstip t ∈ [0, T ]; • Zet de reflecterende waarde B(t) = −W (t);

• Bepaal u =

B(t) √ ; t

• Genereer Z ∼ N (0, 1) en evalueer R(t) =

Z2 Z 2 +u2 ;

• Zet γ(t) = tR(t).

Na simulatie van γ(t) zijn we ge¨ınteresseert in het eerste tijdstip na t zodat de standaard Brownse beweging de barrière b raakt. Dit stochastische tijdstip βb (t) is gegeven door, βb (t) = inf{s ≥ t : W (s) = b}

(4.16)

Analoog als bij γ(t) noteren we β(t) als de barrière ˜b = 0 van toepassing is. Dankzij de vorige sectie is de verdeling van β(t) snel bepaald. We conditioneren analoog als bij γ(t) op de reflecterende waarde B(t) = y. De verdeling van de verschuiving β(t) − t kan gezien worden als de eerste raaktijd van de barrière ˜b = 0 door een Brownse beweging startend in y. Deze verdeling is equivalent met de eerste raaktijd van de barrière ¯b = −y door een standaard Brownse beweging. Dankzij de eerder gevonden verdeling van Tb geldt voor β(t), d

β(t) = t +

¯b 2 Z

.

(4.17)

HOOFDSTUK 4. EIGENSCHAPPEN VAN DE STANDAARD BROWNSE BEWEGING 33 Simulatie van β(t) gaat analoog als bij Tb alleen de barrière ¯b is hier van toepassing. In het huidige hoofdstuk zijn de verdelingen van Tb , γ(t) en β(t) bepaald. Er is ook een methode gegeven om standaard Browse beweging te simuleren. Simulatie van deze stochasten laten ons antwoord geven op de eerder gestelde vragen. Deze antwoorden zijn waardevol voor vragen over hoe het proces W (t) zich ontwikkeld rondom een constante barrière b. In het vorige hoofdstuk is de P (s0 , T ) hergeformuleerd zodat de knock-in gebeurtenis bepaald kan worden door de standaard Brownse beweging. Dankzij de bekende verdelingen van Tb , γ(t) en β(t) zijn we in staat om de knock-in gebeurtenis met zekerheid vast te stellen. Daarom zijn Tb , γ(t) en β(t) de bouwstenen van het algoritme dat een zuivere schatter voor P (s0 , T ) produceert. In het komende hoofdstuk wordt dit algoritme in detail uitgelegd.

Hoofdstuk

5

Het Browns algoritme In het vorige hoofdstuk is simulatie van Tb , γ(t), β(t) en de standaard Brownse beweging behandeld. Veronderstel dat na simulatie van de standaard Brownse beweging op tijdstip t ∈ [0, T ] de ongelijkheid W (t) < 0 geldt. Voor hoelang is de standaard Brownse beweging onder de barrière ˜b = 0 gebleven? Dankzij simulatie van γ(t) en β(t) kunnen we deze tijdslengte exact bepalen. Er geldt voor alle tijdstippen t in het interval (γ(t), β(t)) met kans 1 dat W (t) < ˜b. We spreken ook wel over een standaard Brownse excursie onder de barrière ˜b = 0 van lengte β(t) − γ(t). Het eerst moment waarop de standaard Brownse excursie langer tijd D onder de algemene barrière b is gebleven wordt genoteerd met TbD . In (3.24) is dit stochastische tijdstip gedefinieerd. We zien als b = 0 en β(t) − γ(t) ≥ D dan T0D ∈ (γ(t), β(t)). Als aan de voorwaarde T0D ≤ T dan heeft de knock-in gebeurtenis plaatsgevonden. We zijn met name ge¨ınteresseerd om de knockin gebeurtenis voor algemene waarden van b vast te stellen. We zullen zien dat simulatie van Tb , γ(t), β(t) en W (t) deze knock-in gebeurtenis vaststelt. Dit geeft aanleiding tot het creëren van een algoritme waarin simulatie van Tb , γ(t), β(t) en W (t) centraal staat.

5.1

Knock-in gebeurtenis exact vaststellen

Veronderstel dat de huidige aandeelprijs s0 , de risico-vrije rente r en volatiliteitsparameter σ bekend zijn uit de markt. Om te illustreren hoe het algoritme een knock-in gebeurtenis vaststelt, zijn de volgende aannames voor de barrière B, de tijd D, de expiratiedatum T en uitoefenprijs E gemaakt: 1. B ≤ E ≤ s0 ; 2. 0 < D ≤ T . Aan het eind van het hoofdstuk bespreken we de overige aannames van B, D, T en E en de bijbehorende aanpassingen van het algoritme. Aanname 1 heeft als gevolg dat b=

B 1 log < 0. σ s0 34

(5.1)

35

HOOFDSTUK 5. HET BROWNS ALGORITME

Door de aannames van B, D, T en E zijn we in staat om de werking van het algoritme uit te leggen. Het algoritme herhaalt M keer een bepaalde procedure om een schatting voor de prijs van een Parijse optie te genereren. Hieronder vindt u één uitgewerkte procedure die het algoritme ondergaat. (1): Als eerste gaan we bepalen of de barrière b wordt geraakt. Het mag duidelijk zijn als W (s) > b voor alle s ∈ [0, T ] dan heeft de knock-in gebeurtenis niet binnen de looptijd van de optie [0, T ] plaatsgevonden. Veronderstel dat op tijdstip s ∈ [0, T ] het proces {W (t) : t ∈ [0, T ]} voor het eerst de barrière b raakt, oftewel Tb = s. Na het tijdstip s ontstaat er een mogelijkheid voor een Brownse excusie onder de barière b. Dit geeft aanleiding om een standaard Brownse beweging op een bepaald tijdstip t ∈ (s, s + D] te simuleren. Veronderstel dat voor de simulatiewaarde de ongelijkheid W (t) < b geldt. Vervolgens willen we nagaan hoelang de standaard Brownse excursie onder b is. Op het eerste gezicht lijkt hier een probleem te ontstaan. Simulatie van γ(t) en β(t) zijn alleen beschikbaar voor een barrière ˜b = 0. Dus hoe kunnen we nu de lengte van de standaard Brownse excursie onder (5.1) bepalen? (2): De argumenten uit het vorige hoofdstuk bijdebepaling van de verdeling van β(t) passen we op onze situatie toe. Door de barrière b =

1 σ

log

B s0

te verschuiven naar de waarde 0 bepalen we

door middel van simulatie van Tb de waarde T0 = inf{s : Z(s) = 0} van een Brownse beweging startend in x = − σ1 log sB0 . De waarden van de Brownse beweging na de verschuiving worden

genoteerd met {Z(t) : t ∈ [0, T ]}. In figuur 5.1 wordt de redenatie weergegeven. ↑

↑

W (t)

Z(t) Z(0) = x

W (0) = 0

s

T

s

t→

T t→

b=

1 σ

ln

B s0

˜b = 0

verschuiven

Figuur 5.1: Verschuiving van b =

1 σ

log

B s0

naar ˜b = 0

(3): Door de verschuiving zijn we in staat de lengte van de standaard Brownse excursie onder de barrière ˜b = 0 te bepalen. Als eerst simuleren we de standaard Brownse beweging op een tijdstip t ∈ (s, s + D] ⊂ [0, T ]. Vanwege de sterke Markov eigenschap is het proces {Z(t)} voor t ≥ s een standaard Browse beweging. Veronderstel dat na tijdstip s er een Brownse excursie onder ˜b = 0 ontstaat. Vanwege de kansverdeling is het aannemelijk dat de waarden van de standaard Brownse beweging vlak na tijdstip s in de buurt van ˜b = 0 liggen. Naarmate we verder verwijderd van tijdstip s zijn, neemt de spreiding toe in de waarden die het proces aanneemt. Van alle tijdstippen in het interval (s, s + D] is de spreiding het grootst bij t = s + D. In dit tijdstip zijn we ge¨ınteresseerd vandaar de keuze t = s + D. Na het simuleren van Z(t) zijn er twee mogelijkheden:

36


(4a): Als x = Z(t) ≥ 0 dan is er geen mogelijkheid om een knock-in gebeurtenis tot en met tijdstip t vast te stellen. Vanwege T0 = s geldt voor alle tijdstippen in het interval [0, s) dat Z(t) > 0. Desondanks de lengte van het interval (s, s + D] gelijk aan D is, kan er geen knock-in gebeurtenis plaatsvinden vanwege Z(s + D) ≥ 0. Het algoritme bepaalt vervolgens het tijdstip t + D en handelt als volgt: • Als de resterende tijd T − t ≤ D dan is binnen de tijd T − t geen mogelijkheid meer voor een toekomstige knock-in gebeurtenis van de standaard Brownse beweging. Het algoritme beëindigt de huidige procedure. • Als de resterende tijd T − t > D dan is het binnen de tijd T − t een toekomstige knockin gebeurtenis van de standaard Brownse beweging mogelijk. Zet vervolgens T = T − t dan bevinden we ons in situatie van een opnieuw startende Brownse beweging met als beginwaarde x en met een vernieuwde expiratiedatum T . In figuur 5.2 wordt de redenatie weergegeven. Vervolgens bepalen we T0 door simulatie van Tx . Na het bepalen van T0 doorloopt het algoritme opnieuw de resterende stappen. ↑

Z(t)

0

Z(t ) = x

Z(0) = x 0

s

T

t =s+D

˜b = 0

t→ D

opnieuw starten

↑

Z(t) Z(0) = x

T =T −t ˜b = 0

t→

T −t

0

0

Figuur 5.2: Opnieuw startende Brownse beweging

37


(4b): Als z = Z(t) < 0 dan zijn we ge¨ınteresseerd in de lengte van de excursie onder de barrière ˜b = 0. Voor het tijdstip γ(t) geldt na simulatie s ≤ γ(t) < t. Na simulatie van β(t) zijn er twee mogelijkheden: • Als β(t) ≤ T dan handelt het algoritme als volgt: 1. Als β(t) − γ(t) < D dan is de excursie van de standaard Brownse excursie onder de barrière ˜b = 0 te kort. Met andere woorden T0D ∈ / (γ(t), β(t)) dus de knock-in gebeurtenis heeft niet plaatsgevonden. In het voorgaande hoofdstuk bleek dat β(t) in feite een eerste raaktijd is van de barrière ¯b = −z door een standaard Brownse beweging startend vanaf tijdstip t. Na het opnieuw toepassen van de sterke Markov eigenschap vinden we dat het proces {Z(t)} voor t ≥ β(t) een standaard Brownse beweging is. Vervolgens simuleren we de standaard Brownse beweging op het tijdstip t = β(t) + D en zijn er opnieuw twee mogelijkheden voor de waarde Z(t) beschikbaar. Het algoritme beëndigd de huidige procedure als t ≥ T . 2. Als β(t) − γ(t) ≥ D dan kunnen we met zekerheid concluderen dat T0D ≤ T . Doordat het algoritme de knock-in gebeurtenis met zekerheid vaststelt, evalueren we φ(W (T )) = emW (T )−

m2 2

T

max(s0 eσW (T ) − E, 0).

(5.2)

De waarde van φ(W (T )) verkrijgen we op de volgende wijze: – Simuleer de waarde Z(T ) geconditioneerd op het tijdstip β(t). – Verschuif de waarde Z(T ) met een factor σ1 log sB0 terug om in oorspronkelijke situatie te komen waarin de barrière b = σ1 log sB0 , oftewel W (T ) = Z(T ) +

B 1 log σ s0

(5.3)

– Evalueer φ(W (T )) en het algoritme beëndigdt de procedure. In figuur 5.3 wordt de stappen visueel weergegeven. ↑

Z(T )

Z(t)

terug verschuiven Z(0) = x s

0

γ(t )

t

0

0

W (T )

β(t )

T

φ(W (T )) evalueren

˜b = 0

t→ >D

Figuur 5.3: Procedure na vaststelling knock-in gebeurtenis


38

• Als β(t) T dan geldt de ongelijkheid Z(T ) < 0. Na Z(T ) te verschuiven met een factor > 1 1 B B om in de oorspronkelijke situatie te komen waarin de barri` e re b = log log σ s0 σ s0 , geldt vanwege W (T ) < σ1 log sB0 < σ1 log sE0 dat de Parijse optie altijd out-the-money is. Vervolgens beëndigdt het algoritme de procedure. Het algoritme dat de bovenstaande procedure in totaal M keer herhaalt om een knock-in gebeurtenis van een Parijse optie vast te stellen, wordt Browns algoritme genoemd. De waarde die wordt aangenomen door het algoritme na het beëndigen van de ide procedure, noteren we voor 1 ≤ i ≤ M met Bi . Als de knock-in gebeurtenis plaatsvindt waarbij β(t) ≤ T , is de waarde Bi = e−rT φ(W (T )) anders wordt deze waarde gelijk aan 0 gezet. Vervolgens definiëren we de ˆM dat het Browns algoritme genereert als schatter B ˆM = B1 + . . . + BM . B M

(5.4)

Het Browns algoritme bepaald correct een knock-in gebeurtenis TbD door middel van een verschuiving en simulatie van γ(t) en β(t). Als gevolg dat de gemaakte discretisatiefout ∆t van het ˆM is een zuivere schatter. We kunnen concludeMonte Carlo algoritme hier afwezig is, oftewel B ˆM convergeert naar ren dat na het toepassen van de wet van grote aantallen dat B h i m2 P (s0 , T ) = e−(r+ 2 )T EQ 1{TbD ≤T } emW (T ) max(s0 eσW (T ) − E, 0) met kans 1 als M → ∞.

Het creëren van een zuivere schatter voor P (s0 , T ) is door het Browns algoritme behaald. In het komende hoofdstuk worden vragen beantwoord als: wat is de nauwkeurigheid en snelheid van het Browns algoritme t.o.v. het Monte Carlo algoritme en is optimalisatie van het Browns algoritme mogelijk?

5.2

Aanpassingen Browns algoritme

In de huidige sectie bespreken we de aangekondigde aanpassingen van het Browns algoritme. In de eerste vijf punten behandelen we de aanpassingen door wijziging van aanname 1. Bij de laatste twee punten worden kort de aanpassingen door wijziging van aanname 2 besproken. 1. Uitgaande van de aanname B < s0 ≤ E hoeft het Browns algoritme niet te worden aangepast. 2. Uitgaande van de aanname E < B < s0 is de Parijse optie bij β(t) > T niet altijd out-themoney. Doordat de uitoefenprijs E kleiner is dan de barrière B kan er een W (T ) bestaan zodanig dat E B 1 1 log < W (T ) < log . (5.5) σ s0 σ s0

Het gevolg van (5.5) is dat de Parijse optie in-the-money is. Om deze uitbetaling te mogen ontvangen, controleren we de voorwaarde T0D ≤ T . Als T − γ(t) ≥ D dan kan er worden geconcludeerd dat T0D ≤ T . Veronderstel dat de knock-in gebeurtenis T0D ≤ T heeft plaatsgevonden. Door simulatie van γ(t) en β(t) is het bekend dat Z(T ) < 0.


39

Om te concluderen dat (5.5) geldt, moet de exacte waarde van Z(T ) bekend zijn. Om deze waarde te bepalen, is de kansverdeling van Z(T ) geconditioneerd op W (t) < 0 en β(t) > T nodig. Vanwege de tijdslimiet van dit project, is een verdere uitwerking van deze conditionele kansverdeling niet mogelijk geweest. 3. Uitgaande van de aanname s0 < B ≤ E is de barrière b = σ1 log sB0 > 0. Door deze barrière te verschuiven naar de waarde 0 bepalen we door middel van simulatie van Tb de waarde T0 = inf{s : Z(s) = 0} van een Brownse beweging startend in x = − σ1 log

B s0

. In het bijzonder neemt de verschoven standaard Brownse beweging,

{Z(t) : t ∈ [0, T ]}, in het begin de waarde Z(0) = x aan. Na de verschuiving is de barrière ˜b = 0 en leidt dit tot de ongelijkheid x < ˜b. Dus door de eerste raaktijd T0 te bepalen via simulatie van Tx kunnen we bij de start van de Brownse beweging meteen bepalen of de knock-in gebeurtenis is opgetreden. Als D ≤ T0 ≤ T dan kunnen we concluderen dat T0D ≤ T .

4. Uitgaande van de aanname E < s0 < B zijn de aanpassingen besproken in 2. en 3. van het Browns algoritme hier van toepassing. 5. Uitgaande van de aanname B = s0 ≤ E is de barrière b = σ1 log sB0 = 0. De aanpassing voor het Browns algoritme voor E < B = s0 zijn besproken in 2. De standaard Brownse beweging begint op tijdstip t = 0 op de barrière ˜b = 0. Het simuleren van de eerste raaktijdstip T0 is hierdoor niet nodig. Het algoritme gaat vervolgens de waarde W (t) op het tijdstip t = D simuleren en controleert welke van de twee mogelijkheden van W (t) van toepassing is. 6. Uitgaande van de aanname 0 < T < D hoeft het Brownse algoritme niet te worden aangepast. De knock-in gebeurtenis kan binnen de looptijd niet worden vastgesteld. 7. Uitgaande van de aanname 0 = D < T is simulatie van γ(t) en β(t) niet meer nodig. Het algoritme hoeft alleen nog maar de eerste raaktijdstip T0 te bepalen en vervolgens de standaard Brownse beweging op het tijdstip t = T0 + D te simuleren. Als x = W (t) ≥ 0 dan zijn we in de situatie van een opnieuw startende Brownse beweging startend in het punt x en met T = T − t. Als W (t) < 0 dan betaalt de down-and-in barrière optie uit. Om deze uitbetaling te evalueren wordt (5.2) bepaald.

Hoofdstuk

6

Numerieke resultaten van Browns algoritme 6.1

Kwaliteit Browns algoritme

Voorafgaand aan dit hoofdstuk zijn er twee algoritmen in detail besproken voor het schatten van de onbekende Parijse optieprijs P (s0 , T ). Het Browns algoritme waarin geen discretisatie fout ∆t wordt gemaakt en het standaard Monte Carlo algoritme. Voor statistische doeleinden ˆM zuiver is. In het huidige heeft het Browns algoritme de gewenste eigenschap dat de schatter B hoofdstuk doen we onderzoek naar de kwaliteit van het Browns algoritme. Voor ons doeleinde wordt de kwaliteit van een schatter gekenmerkt door: • de nauwkeurigheid van de schatter; • de rekentijd om één optieprijs te genereren. Aspecten als standaard error (s.e) en discretisatiefout ∆t bepalen de nauwkeurigheid van de schatter. Om één getal toe te kennen aan de nauwkeurigheid van een schatter gebruiken we mean squared error (MSE). Definitie(MSE ): Laat T een schatter zijn voor een onbekende optieprijs θ. De mean squared error (MSE) van T is het getal MSE(T ) = E[(T − θ)2 ]. Dankzij de MSE zijn we in staat om de nauwkeurigheid van twee schatters met elkaar te vergelijken. Veronderstel dat T1 en T2 twee schatters zijn voor een optieprijs. Als MSE(T1 ) < MSE(T2 ) dan heeft T1 een kleinere spreiding rond de optieprijs dan T2 m.a.w. T1 is nauwkeuriger. Er geldt MSE(T ) = E[(T − θ)2 ]

= E[(T − E[T ] + E[T ] − θ)2 ]

= E[(T − E[T ])2 ] + 2E[T − E[T ]](E[T ] − θ) + (E[T ] − θ)2

= Var(T ) + (E[T ] − θ)2 = Var(T ) + (∆t )2 . 40

(6.1)

HOOFDSTUK 6. NUMERIEKE RESULTATEN VAN BROWNS ALGORITME

41

Uit (6.1) volgt dat de optelling van de variantie en kwadratische discretisatiefout ∆t van T de MSE(T ) vormen. Om √ de grootte van de nauwkeurigheid te weergeven, wordt later gebruik gemaakt van RMSE = MSE. Voor financiële instellingen is de rekentijd voor het generen van optieprijzen van groot belang. Bankiers moeten vaak in de optiehandel binnen ’split second’ een beslissing nemen. Veronderstel dat er twee schatters zijn voor een onbekende optieprijs met beide dezelfde MSE. Dan zullen financiële instellingen voorkeur geven aan de schatter met de kleinste rekentijd voor het genereren van één prijs. In de huidige sectie willen we de kwaliteit van het Browns algoritme bepalen. Dus in feite zijn we ge¨ınteresseert in de efficiëntie van het Browns algoritme t.o.v. het Monte Carlo algoritme. De factor MSE(PˆM ) (6.2) ˆM ) MSE(B geeft aan hoeveel keer het Browns algoritme nauwkeuriger is. Laat CPU(T ) de rekentijd van de schatter T voor het genereren van één optieprijs zijn. Dan geeft de factor CPU(PˆM ) ˆM ) CPU(B

(6.3)

aan hoeveel keer sneller het Browns algoritme één prijs genereert. De vermenigvuldiging van (6.2) met (6.3) is de efficiëntie van het Browns algoritme t.o.v. Monte Carlo algoritme. Vanaf nu nemen we aan dat de huidige aandeelprijs s0 = 100, de risico-vrije rente r = 1.5% en volatiliteit parameter σ = 30%. Veronderstel dat deze parameters bekend zijn uit de markt. Om te concluderen dat het Browns algoritme efficiënter is dan het Monte Carlo algoritme bij de schatting van P (s0 , T ), moeten we alle waarden van de overig gebleven parameters B, D, E, T nagaan. Vanwege de onuitvoerbare taak zijn er drie testgevallen gekozen waarbij de efficiëntie van het Browns algoritme wordt bepaald. De keuze is gevallen om de excursie lengte D onder de barrière B te variëren. Wellicht kan er een verband tussen de efficiëntie van het Browns algoritme en excursie lengte D gevonden worden? Voor de drie testgevallen nemen we aan dat de barrière B = 90, de uitoefenprijs E = 100 en expiratiedatum T = 1 jaar. De geëiste excursie lengte D onder de barrière B voor een knock-in gebeurtenis is bij de drie testgevallen: 1. D = 0.004 jaar (1.5 dag); 2. D = 0.04 jaar (15 dagen); 3. D = 0.4 jaar (150 dagen).


42

De volgende procedure bepaalt bij de drie testgevallen de efficiëntie van het Browns algoritme: • Schat door middel van het Browns algoritme een referentieprijs voor P (s0 , T ); • Zowel het Browns algoritme als het Monte Carlo algoritme krijgen M = 104 replicaties om één prijs te genereren. Als gevolg dat de s.e van beide schatters van de orde O( √1M ) is; • Door middel van de referentieprijs kunnen we de MSE van zowel het Browns algoritme als het standaard Monte Carlo algoritme schatten. Bij het Monte Carlo algoritme gebruiken we de stapgrootten ∆t = 10−2 , ∆t = 10−3 en ∆t = 10−4 . De rekentijd wordt voor beide algoritmen om één prijs te genereren in seconden bepaald. ˆ

ˆ

CPU(PM ) MSE(PM ) entie van het Browns algoritme t.o.v. • Bepaal de factoren MSE( ˆ M ) en CPU(B ˆ M ) . Zet de effici¨ B het Monte Carlo algoritme gelijk aan,

ˆ ˆ ˆM , PˆM ) = MSE(PM ) ∗ CPU(PM ) . eff(B ˆ ˆ MSE(BM ) CPU(BM )

(6.4)

Als eerst bespreken we het testgeval waarbij D = 0.04. Onder de condities van het huidige testgeval is in [7] een referentieprijs op drie decimalen exact bepaald namelijk 1.712. Als we het Browns algoritme M = 108 replicaties laten uitvoeren dan is de 95% betrouwbaarheidsinterval voor P (s0 , T ) gegeven door 1.71200±0.00131. Dus voor het testgeval waarbij D = 0.04 gebruiken we 1.71 als referentieprijs. In tabel 6.1 vindt u de schattingen van de RMSE voor de Monte Carlo schatter PˆM en de zuivere ˆM geproduceerd door het Brownse algoritme. Bij de Monte Carlo schatter PˆM is de schatter B stapgrootte ∆t erbij vermeld. De MSE is geschat door 100 keer een schatting voor P (s0 , T ) te genereren, vervolgens de kwadratische afwijking te berekenen en hiervan het gemiddelde te \ nemen. Door de wortel te nemen van het gevonden gemiddelde verkrijgen we RM SE. Daarnaast zijn er ook schattingen voor de standaard error (s.e) en discretisatiefout ∆t gegeven. Vanwege ˆM blijkt uit (6.1) dat MSE(B ˆM ) = de ontbrekende discretisatiefout ∆t bij de zuivere schatter B ˆM ). Var(B

s.e c ˆ∆t \ RMSE

PˆM : ∆t = 10−2 7.9 ∗ 10−2 2.4 ∗ 10−1 2.5 ∗ 10−1

PˆM : ∆t = 10−3 7.3 ∗ 10−2 1.1 ∗ 10−1 1.3 ∗ 10−2

PˆM : ∆t = 10−4 7.3 ∗ 10−2 2.8 ∗ 10−2 7.8 ∗ 10−2

ˆM B 6.6 ∗ 10−2 6.6 ∗ 10−2

\ algoritmen voor D = 0.04 Tabel 6.1: RMSE Uit tabel 6.1 blijkt dat het Brownse algoritme nauwkeuriger is dan het Monte Carlo algoritme. De nauwkeurigheid van het Monte Carlo algoritme verbetert zich naarmate de stapgrootte ∆t √ kleiner wordt. De geschatte discretisatiefout ∆t is van de orde O( ∆t). Als de geschatte discretisatiefout ∆t van de orde O(10−4 ) moet zijn dan is een stapgrootte van ∆t = 10−8 nodig. Dus een ontzettend kleine stapgrootte ∆t is nodig om de discretisatiefout te laten verdwijnen. In hoofdstuk 2 is besproken dat verkleinen van de stapgrootte ∆t de rekentijd zal laten toenemen van het Monte Carlo algoritme.


43

Door middel van de rekentijden en schattingen uit tabel 6.1 kunnen we de efficiëntie bepalen van het Browns algoritme t.o.v Monte Carlo algoritme. Om de snelheid van het algoritme aan te CPU(PˆM ) duiden is het resultaat van de factor CPU( ˆ M ) in breuk behouden. De rekentijd is in seconden B weergegeven. De resultaten zijn in tabel 6.2 te vinden. PˆM : ∆t = 10−2 PˆM : ∆t = 10−3 PˆM : ∆t = 10−4

ˆM ) MSE(PˆM )/MSE(B 14.1 4.1 1.4

ˆM ) CPU(PˆM )/CPU(B 0.92 /1.4 9.4 /1.4 125 /1.4

ˆM , PˆM ) ef f (B 9.3 27.5 125

Tabel 6.2: Efficiëntie Browns algoritme voor D = 0.04 In het huidige testgeval kunnen we concluderen dat het Brows algoritme efficiënter is dan het Monte Carlo algoritme. De efficiëntie van het Browns algoritme neemt toe als de stapgrootte ∆t kleiner wordt gemaakt. Het Browns algoritme heeft een hoge nauwkeurigheid rond de referentieprijs en de rekentijd voor het genereren van één prijs is zeer kort (1.4 sec). Het gevolg is dat het Monte Carlo algoritme zijn rekentijd moet laten toenemen (cursief in tabel 6.2) om in de ˆM te komen. Dus financiële instellingen zullen in het huidige buurt bij de nauwkeurigheid van B testgeval sterk de voorkeur geven aan het Brownse algoritme. Bij de overige testgevallen bepalen we de efficiëntie analoog. We zijn ge¨ınteresseerd in het ontdekken van een verband tussen de efficiëntie en excursie lengte D. Hoe reageert de nauwkeurigheid en rekentijd op de bijzondere keuzes voor D. Voor zeer kleine D is het vermoeden dat de MSE van beide algoritmen groter zal zijn. De knock-in gebeurtenis wordt snel geactiveerd dus de optie betaalt veel uit. Als gevolg dat de steekproefvariantie hoger zal zijn dan in tabel (6.2). Met tegenovergestelde argumenten kunnen we beredeneren dat de MSE voor zeer grote D kleiner moet zijn. Door het aantal replicaties M = 108 bij het Browns algoritme kunnen we de referentieprijzen schatten voor de overige testgevallen. Bij de excursie lengten D = 0.004 en D = 0.4 vinden we 95% betrouwbaarheidsintervallen 3.33956 ± 0.00180 en 0.08468 ± 0.00022. Voor de testgevallen D = 0.004 en D = 0.4 gebruiken we de volgende referentieprijzen 3.34 en 0.085. In tabellen 6.3 en 6.4 vindt u voor de overige testgevallen de efficiëntie van het Browns algoritme t.o.v. het Monte algoritme. Bij het Monte Carlo algoritme kunnen we bij een stapgrootte van ∆t = 10−2 geen punten simuleren die de excursie lengte D = 0.004 vormen. Als gevolg dat we beginnen met een stapgrootte van ∆t = 10−3 bij D = 0.004. PˆM : ∆t = 10−3 PˆM : ∆t = 10−4

ˆM ) MSE(PˆM )/MSE(B 2.4 1.3

ˆM ) CPU(PˆM )/CPU(B 8.7 /1.6 92.6 /1.6

ˆM , PˆM ) ef f (B 13.0 75.2

Tabel 6.3: Efficiëntie Browns algoritme voor D = 0.004

PˆM : ∆t = 10−2 PˆM : ∆t = 10−3 PˆM : ∆t = 10−4

ˆM ) MSE(PˆM )/MSE(B 7.3 2.1 1.1

ˆM ) CPU(PˆM )/CPU(B 0.6 /0.75 6.5 /0.75 265 /0.75

Tabel 6.4: Efficiëntie Browns algoritme voor D = 0.4

ˆM , PˆM ) ef f (B 5.8 18.2 389


44

Bij de overige testgevallen kunnen we concluderen dat het Browns algoritme efficiëntier is dan het Monte Carlo algoritme. Opnieuw neemt de efficiëntie toe als de stapgrootte ∆t kleiner wordt gemaakt. De argumenten uit het eerdere testgeval rondom de nauwkeurigheid en rekentijd van het Browns algoritme blijven ook voor de overige testgevallen gelden. Uit tabellen 6.3 en 6.4 blijkt dat voor ontzettend kleine en grootte D het Monte Carlo algoritme een verbetering in de nauwkeurigheid behaalt. Bij het testgeval D = 0.4 en de stapgrootte ∆t = 10−4 komt de nauwkeurigheid van het Monte Carlo algoritme zo goed als overeen met het Browns algoritme. MSE(PˆM ) Voor de factor MSE( ˆ ) geldt de benadering, B M

σ ˆP2ˆ + (∆t )2 MSE(PˆM ) ≈ M 2 ˆM ) σ ˆˆ MSE(B BM

σ ˆP2ˆ M 2 σ ˆB ˆM

(∆t )2 2 σ ˆB ˆM σ 2 i ˆPˆM 2 h ∆t . = ∗ 1+ σ ˆBˆM σ ˆPˆM =

+

(6.5)

We willen de drie testgevallen door middel van (6.5) met elkaar vergelijken. Vanaf nu gelden de volgende uitspraken voor stapgrootte ∆t = 10−3 . In tabel 6.5 is een indicatie van de factoren σˆ 2 2 ˆ P M en σˆ∆t gegeven voor de verschillende excursie lengten D. σ ˆˆ ˆ BM

PM

σˆ

ˆ P M

σ ˆB ˆ

M

∆t σ ˆPˆ

M

2

2

D = 0.004

D = 0.04

D = 0.4

1.1

1.2

1.4

1.4

2.3

0.4

Tabel 6.5: Factoren van benadering

MSE(PˆM ) ˆM ) MSE(B

ˆ

MSE(PM ) Tabel 6.5 kan een verklaring geven waarom de MSE( ˆ M ) bij D = 0.04 het hoogst is. De factor B 2 σˆ 2 ˆ ∆t domineert het meest bij D = 0.04. De grootte van σˆ PˆM zijn bij alle testgevallen σ ˆPˆ BM M σˆ 2 ˆ hetzelfde. Bij een stapgrootte van ∆t = 10−4 zal de factor σˆ PˆM iets kleiner worden vanwege BM 2 de verbeterde nauwkeurigheid. Met name de factor σˆ∆t wordt kleiner omdat de discretisaˆ PM

tiefout ∆t afneemt. Dit geeft een verklaring waarom de factor −4

en stapgrootte ∆t = 10

MSE(PˆM ) ˆM ) MSE(B

het kleinst is bij D = 0.4

.

Voor het verband tussen de efficiëntie en excursie lengte D is geen eenduidige conclusie te trekken. De rekentijd voor het Monte Carlo algoritme is niet lineair met de grootte van de excursie lengte D. In dit project is er ook nog geen verklaring gevonden voor de explosieve toename in de rekentijd van het Monte Carlo algoritme bij de keuze ∆t = 10−4 . Uit tabellen 6.2, 6.3 en 6.4 kunnen we wel concluderen dat de rekentijd van het Browns algoritme toeneemt naarmate D kleiner wordt. Als D = 0.004 dan is de efficiëntie van het Browns algoritme het kleinst. Dit is de enige conclusie die we kunnen trekken over het gezochte verband.


6.2

45

Optimalisatie Browns algoritme

In hoofdstuk 5 is besproken hoe het Browns algoritme een excursie van minstens lengte D onder de barrière B detecteert. Veronderstel dat voor de waarde van de standaard Brownse beweging op tijdstip t de ongelijkheid W (t) < ˜b = 0 geldt. In hoofdstuk 5 waren er twee gevolgen mogelijk door simulatie van β(t). De β(t) van de gebeurtenis β(t) − γ(t) ≥ D definiëren we voor de huidige sectie met β ∗ . Na het bepalen van β ∗ is het nog niet duidelijk als β ∗ ≤ T of β ∗ > T . Als de gebeurtenis β ∗ ≤ T plaatsvindt dan T0D ∈ (γ(t), β ∗ ) en de Parijse optie betaalt uit. Als de gebeurtenis β ∗ ≤ T plaatsvindt dan simuleert het Browns algoritme de waarde W (T ) van de standaard Brownse beweging en evalueert (5.2). Deze procedure is besproken in hoofdstuk 5. Het Browns algoritme kan geoptimaliseerd worden bij de evaluatie van (5.2). Het idee is om bij de evaluatie een BlackScholes prijs van een Europese call optie te gebruiken i.p.v. W (T ) te simuleren. In hoofdstuk 1 is besproken dat e−rT E[max(S(T ) − E, 0)] onder de risiconeutralitiets aanname gelijk moet zijn aan de analytische formule voor de Europese call optieprijs C(s0 , T ). De analytische formule voor C(s0 , T ) wordt de Black-Scholes prijs van een Europese call optie genoemd en genoteerd met BC(s0 , T ). In hoofdstuk 3 is het onderwerp verandering van kansmaat besproken. Dit gaan we toepassen op BC(s0 , T ). Hieruit volgt BC(s0 , T ) = e−(r+

m2 2

)T

EQ [emW (T ) max(s0 eσW (T ) − E, 0)]

(6.6)

We kunnen de Black-Scholes prijs ook uitrekenen op een willekeurig tijdstip u ∈ [0, T ] met bijbehorende aandeelprijs su . De resterende tijd tot aan de expiratiedatum is T − u. Voor de Black-Scholes prijs op tijdstip u geldt, BC(su , T − u) = e−(r+

m2 2

)(T −u)

EQ [em(W (T )−W (u)) max(su eσ(W (T )−W (u)) − E, 0)].

(6.7)

Door gebruik te maken van W (0) = 0 volgt (2.3) uit (6.7) als u = 0. Voor het geval u = T is (6.7) niet meer stochastisch (sT bekend) en vinden we de uitbetaling van een Europese call optie max(sT − E, 0) terug.

Met de constructie van β ∗ vinden we na toepassing van de Girsanov stelling de volgende uitdrukking voor P (s0 , T ), P (s0 , T ) = e−(r+

m2 2

)T

EQ [1{β ∗ ≤T } emW (T ) max(s0 eσW (T ) − E, 0)]

(6.8)

Veronderstel dat de aandeelprijzen bekend zijn tot en met tijdstip β ∗ . Deze veronderstelling noteren we met Fβ ∗ . Het tijdstip β ∗ is stochastisch en hoeft niet per se in de looptijd van de optie [0, T ] te liggen. Door te conditioneren op Fβ ∗ en het toepassen van de wet van de totale verwachting geldt, P (s0 , T ) = e−(r+

m2 2

)T

EQ [1{β ∗ ≤T } EQ [emW (T ) max(s0 eσW (T ) − E, 0)|Fβ ∗ ]].

(6.9)

Vanwege de bekende informatie van het aandeelpad tot en met tijdstip β ∗ mag de indicatorfunctie 1{β ∗ ≤T } uit de binnenste verwachting. Uitdrukking (6.9) willen we zo manipuleren zodat er een uitdrukking in de vorm van (6.7) voorkomt. Belangrijk in uitdrukking (6.7) is dat de aandeelprijzen bekend zijn tot en met tijdstip u. Na toepassing van de Girsanov stelling op P (s0 , T ) geldt de volgende ongelijkheid voor het model van het aandeelpad, B 1 s0 eσW (T ) < B ⇐⇒ W (T ) < log . σ s0

46

HOOFDSTUK 6. NUMERIEKE RESULTATEN VAN BROWNS ALGORITME De barrière voor de standaard Brownse beweging

1 σ

log

B s0

noteren we met b. De

constructie van β ∗ heeft als gevolg dat W (β ∗ ) = b. Voor de binnenste verwachting geldt, EQ [emW (T ) max(s0 eσW (T ) − E, 0)|Fβ ∗ ] = EQ [em(W (T )−W (β

∗

)+W (β ∗ ))

max(s0 eσ(W (T )−W (β

∗

)+W (β ∗ ))

− E, 0)|Fβ ∗ ]

In de volgende uitdrukking passen we eσb = elog(B/S(0)) = sB0 toe. Voor de binnenste verwachting geldt, ∗ ∗ = emb EQ [em(W (T )−W (β )) max(Beσ(W (T )−W (β )) − E, 0)|Fβ ∗ ]. (6.10) Om uitdrukking (6.7) in (6.9) te krijgen moeten we nog één manipulatie toepassen, e−(r+

m2 2

)T

= e−(r+

m2 2

2

)β ∗ −(r+ m2 )(T −β ∗ )

e

.

(6.11)

Dankzij (6.10) en (6.11) kunnen we (6.8) schrijven als emb EQ [1{β ∗ ≤T } e−(r+

m2 2

2

)β ∗ −(r+ m2 )(T −β ∗ )

e

EQ [em(W (T )−W (β

∗

))

max(Beσ(W (T )−W (β

∗

))

− E, 0)|Fβ ∗ ]]

Op het ondergestreepte deel passen we (6.7) toe waarbij su = B en u = β ∗ als gevolg dat voor (6.8) geldt, emb EQ [1{β ∗ ≤T } e−(r+

m2 2

)β ∗

BC(B, T − β ∗ )]

(6.12)

Vanwege de mogelijkheid van simulatie van β ∗ kunnen we de Black-Scholes prijs van een Europese call optie gebruiken bij de prijsbepaling van P (s0 , T ). Als eenmaal het Browns algoritme β ∗ ≤ T na simulatie van β ∗ detecteert dan wordt BC(B, T − β ∗ ) uitgerekend. In de vorige sectie is aangetoond dat bij drie testgevallen het Browns algoritme efficiënter is dan het Monte Carlo algoritme. In hoeverre neemt de nauwkeurigheid toe van het Browns algoritme na de optimalisatie? Het geoptimaliseerde algoritme wordt bij de naam Browns Black-Scholes (BBS) ˆM ) B algoritme genoemd. Dus we moeten de factor MSE([ bepalen waarbij de zuivere schatter MSE(BBS M )

[ M wordt geproduceerd door het BBS algoritme. Als eenmaal de CPU(BBS [ M ) is bepaald BBS van het BBS algoritme dan kunnen we de efficiëntie bepalen van het BBS algoritme t.o.v. het Monte Carlo algoritme. In tabel 6.6 zijn de schattingen voor de RMSE van het BBS algoritme gegeven. De RMSE is ˆM ) B geschat op dezelfde manier als in de vorige sectie. De factor MSE([ geeft aan hoeveel keer MSE(BBS M )

het BBS algoritme nauwkeuriger is dan het Browns algoritme.

D = 0.004 D = 0.04 D = 0.4

ˆM ) \ RM SE(B

\ [ M) RM SE(BBS

9.6 ∗ 10−2 6.6 ∗ 10−2 1.0 ∗ 10−2

3.1 ∗ 10−2 2.5 ∗ 10−2 4.5 ∗ 10−3

ˆM ) MSE(B [ M) MSE(BBS

9.6 7.0 5.3

Tabel 6.6: Nauwkeurigheid van BBS algoritme Tabel 6.6 laat zien dat dankzij de optimalisatie de nauwkeurigheid van het Browns algoritme ˆM en BBS [ M zuiver zijn, geldt MSE(BˆM ) = Var(BˆM ) . verbeterd is. Doordat de schatters B [ [ MSE(BBS M )

Var(BBS M )

Uit tabel 6.6 kunnen we concluderen dat de variantiereductie toeneemt naarmate de excursie lengte D kleiner wordt gemaakt.


47

Het tweede aspect voor de bepaling van de efficiëntie is de rekentijd om één prijs te genereren. In tabel 6.7 is de CPU in seconden gegeven voor zowel het Brows algoritme als het BBS algoritme. ˆM ) B geeft aan hoeveel keer het BBS algoritme sneller één prijs genereert dat het De factor CPU([ CPU(BBS M )

Browns algoritme. Een Black-Scholes prijs uitrekenen is in feite een optieprijs functie evalueren. Het nadeel is dat een optieprijs functie evalueren meer tijd kost dan een stochast W (T ) te simuleren. Het vermoeden is ook dat de rekentijd van het Browns algortime na de optimalisatie iets zal toenemen.

D = 0.004 D = 0.04 D = 0.4

ˆM ) CPU(B

[ M) CPU(BBS

ˆM ) CPU(B [ M) CPU(BBS

1.6 1.4 0.75

1.8 1.5 0.77

0.89 0.93 0.97

Tabel 6.7: Rekentijd van BBS algoritme Uit tabellen 6.6 en 6.7 kunnen we concluderen dat de toename van de rekentijd van het BBS algoritme gepaard gaat met de grootte van de variantiereductie. Aan de hand van tabellen 6.6 en 6.7 zijn we in staat de efficiëntie van het BBS algoritme t.o.v. het Monte Carlo algoritme te bepalen. De resultaten zijn in tabel 6.8 gegeven.

D = 0.004 D = 0.04 D = 0.4

PˆM : ∆t = 10−2 − 0.61 ∗ 102 0.30 ∗ 102

PˆM : ∆t = 10−3 1.11 ∗ 102 1.8 ∗ 102 0.94 ∗ 102

PˆM : ∆t = 10−4 6.42 ∗ 102 6.62 ∗ 102 2.0 ∗ 103

[ M , PˆM ) Tabel 6.8: ef f (BBS In het huidige hoofdstuk is de kwaliteit van het Browns algoritme besproken. Met name de efficiëntie van het Browns algoritme t.o.v. het Monte Carlo algoritme is bepaald. In de vorige sectie hebben we geconcludeerd dat financiële instellingen de voorkeur zullen geven aan het Browns algoritme. In de huidige sectie is het Browns algoritme geoptimaliseerd. Het gevolg van de optimalisatie is dat het Browns algoritme in efficiëntie is toegenomen. De korte rekentijd van het Brows algoritme is na de optimalisatie vrijwel onveranderd gebleven. Met name heeft de optimalisatie de nauwkeurigheid van het Browns algoritme verbeterd. Dus financiële instelling zullen veel profijt hebben van de optimalisatie van het Browns algoritme die bij de naam Brown Black-Scholes (BBS) algoritme wordt genoemd.

Hoofdstuk

7

Conclusie In het begin van het verslag is er een algemene introductie over aandelen en opties gegeven. Om het aandeelprijs proces {S(t) : t ∈ [0, T ]} te modelleren, wordt gebruik van de geometrische Brownse beweging gemaakt, oftewel S ∼ GBM (µ, σ 2 ). Dit bekende stochastische proces is in feite een geëxponeerde Brownse beweging. Als de drift parameter µ van de geometrische Brownse beweging gelijk wordt gesteld aan de risico vrije rente r noemen we dit de zogenaamde risiconeutraliteits aanname. In [1] wordt weerlegt hoe de prijs van een Europese call optie C(s0 , T ) d.m.v. de risiconeutraliteits aanname gelijk wordt gesteld aan een verdisconteerde verwachting van de uitbetaling functie Λ(S(T )). Als deze verwachting wordt uitgewerkt, blijkt deze gelijk te zijn aan de beroemde Black-Scholes prijs voor een Europese call optie [4]. Hieruit volgt dat de prijs C(s0 , T ) exact kan worden uitgerekend. Als de ontwikkeling van het aandeelpad invloed heeft op de uitbetaling van de optie dan behoort de optie tot de exotische opties. In dit verslag staat de prijsbepaling van de Parijse optie P (s0 , T ) centraal. Dit is een exotische optie waarbij een knock-in gebeurtenis {TBD ≤ T } door het aandeelprijs moet plaatsvinden voordat een Europese call optie wordt uitbetaalt. In tegenstelling tot C(s0 , T ) is voor P (s0 , T ) geen analytische formule beschikbaar. Vervolgens is er een Monte Carlo algoritme gegeven waarin een onzuivere schatter voor P (s0 , T ) wordt genereert. We hebben gezien dat het Monte Carlo algoritme het continue aandeelpad slechts discretiseerd met als gevolg dat de knock-in gebeurtenis onterecht kan worden vastgesteld. Voor het Monte Carlo algoritme heeft dit de consequentie dat de rekentijd alsmaar stijgt om de schatting in de buurt te laten komen bij de correcte prijs. Dit leidt tot het creëren van een algoritme waarin een zuivere schatter voor P (s0 , T ) wordt gegenereerd en wat bruikbaar is voor de snelheid van de financiële markten. Door het toepassen van de Girsanov stelling kunnen we (3.1) uitrekenen onder een andere kansmaat. Onder deze kansmaat is het aandeelprijs proces gegeven door van S(t) = s0 eσZ(t) waarbij {Z(t) : t ∈ [0, T ]} een standaard Brownse beweging is. Met als gevolg dat het eerste moment wanneer de standaard Brownse beweging voor bepaalde aaneengesloten tijd D onder de constante barrière b in (3.24) is gedefinieerd. Vervolgens is er uitgelegd dat door eigenschappen van de standaard Brownse beweging de gebeurtenis {TbD ≤ T } exact kan worden vastgesteld.

48

HOOFDSTUK 7. CONCLUSIE

49

Als eerst is de kansverdeling van de eerste raaktijdstip van de barrière b van de standaard Brownse beweging, oftewel Tb bepaald. Vervolgens zijn de kansverdelingen van γ(t) en β(t) bepaald. Met als gevolg dat we de excursie onder de barrière ˜b = 0 exact kunnen bepalen. Daarnaast wordt er een methode gepresenteerd om een standaard Brownse beweging op bepaalde tijdstippen te simuleren. Deze eigenschappen vormen dan ook de bouwstenen van Browns algoritme dat een zuivere schatter voor P (s0 , T ) genereert. Het Browns algoritme wordt in hoofdstuk 5 in detail uitgelegd. In kort bepaald het Browns algoritme de knock-in gebeurtenis {TbD ≤ T } door de barrière b te verschuiven naar ˜b = 0 en vervolgens de eerder afgeleide verdelingen te gebruiken om de excursielengte β(t)−γ(t) onder ˜b = 0 exact te bepalen. Veronderstel dat β(t)−γ(t) ≥ D binnen de looptijd [0, T ] dan mogen we (5.2) evalueren. In figuur 5.3 is deze procedure weergegeven. In feite moet de simulatiewaarde van Z(T ) terug worden verschoven zodat we in oorspronkelijke situatie komen waarin de barrière b van toepassing is. Doordat de knock-in gebeurtenis {TbD ≤ T } ˆM voor de Parijse exact wordt vastgesteld door het Browns algoritme is de gegenereerde schatter B prijs P (s0 , T ) zuiver. In de laatste sectie van hoofdstuk 5 worden er aanpassingen van het Browns algoritme besproken door bepaalde keuzes van parameters. Op dit moment is de aanpassing van het Browns algoritme onder E < B nog niet gevonden. Wellicht dat de gevraagde conditionele verdeling in de toekomst kan worden bepaald. In hoofdstuk 6 wordt de efficiëntie van het Browns algoritme t.o.v. het Monte Carlo algoritme in drie testgevallen bepaald. De procedure hoe de efficiëntie wordt bepaald is in hoofdstuk 6 gegeven. In de drie testgevallen wordt de tijd D gevarieerd. We zijn met name ge¨ınteresseert in het vinden van een verband tussen de efficiëntie en grootte van D van het Browns algoritme. Uit alledrie de testgevallen is gebleken dat het Browns algoritme efficiënter is dan het Monte Carlo algoritme. De efficiëntie van het Browns algoritme neemt toe naarmate de stapgrootte ∆t van het Monte Carlo algoritme wordt verkleind. We kunnen concluderen dat het Browns algoritme een hoge nauwkeurigheid rond de referentieprijzen heeft en de rekentijd voor het genereren van één prijs zeer kort is. Uit de drie testgevallen bleek de efficiëntie van het Browns voor extreem kleine waarden van D het kleinst is. Vervolgens waren we ge¨ınteresseert om de nauwkeurigheid van het Browns algoritme alsnog te verbeteren en de korte rekentijd te behouden. Dit kan worden behaald door een Black-Scholes prijs voor een Europese call optie te gebruiken i.p.v. de waarde van de standaard Brownse beweging op de expiratiedatum T te simuleren als de knock-in gebeurtenis heeft plaatsgevonden. Het gevolg van de optimalisatie is dat het Browns algoritme in efficiëntie is toegenomen. Dus financiële instellingen zullen veel profijt hebben van het geoptimaliseerde Browns algoritme dat bij de naam Brown Black-Scholes algoritme wordt genoemd. In dit verslag is het Browns algoritme gecreëerd waarin een zuivere schatter voor P (s0 , T ) wordt gegenereerd, oftewel de prijs van de down-and-in Parijse call optie. Door een aanpassing in de uitbetaling kan het Browns algoritme worden toegepast in de prijsbepaling van de down-andin Parijse put optie. De kern van het Browns algoritme is dat een excursie onder of boven een barrière kan worden bepaald. Met als gevolg dat het Browns algoritme ook kan worden toegepast voor de prijsbepaling van de down/up-and-in/out Parijse call/put optie. Wellicht dat in de toekomst het Browns algoritme kan worden aangepast zodat er een zuivere schatter voor de dubbelzijdige Parijse opties wordt gegenereerd. Zie [7] voor de details over dubbelzijdige Parijse opties. Voor dit soort type opties blijft de vraag voor hoelang het proces onder of boven de barrière is gebleven van groot belang. Voor het type Parijse optie dat in dit verslag is onderzocht is de conclusie duidelijk: het geoptimaliseerde Browns algoritme is een zeer efficiënt algoritme voor de prijsbepaling van de Parijse optie.

Hoofdstuk

8

Matlab-implementaties • Implementatie Browns algoritme voor B < s0 & B ≤ E 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58

%%Browns algoritme geimplementeerd in Matlab %%De huidige implementatie kan toegepast worden voor: %%B < S0 ≤ E of B≤E≤S0 %%0
if(B≥0) if(t+D
50

HOOFDSTUK 8. MATLAB-IMPLEMENTATIES 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135

t = T; end end while(B<0 && tau==0) Y=abs(B); gamma= Tx + simulatiegamma(t−Tx,Y); Tx = firsthit(Y); beta = t + Tx; if(beta−gamma < D && beta ≤ T) Tx=beta; t=Tx+D; if(t
end end

end end end

PDAI=[mean(V),mean(V)−1.96*std(V)/sqrt(M),mean(V)+1.96*std(V)/sqrt(M)]; toc

51

HOOFDSTUK 8. MATLAB-IMPLEMENTATIES • Implementatie Browns algoritme voor s0 < B ≤ E 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93

%%Browns algoritme geimplementeerd in Matlab %%De huidige implementatie kan toegepast worden voor: %%S0 < B ≤ E %%0
if(Ty>D) if(Ty≤T) t=Ty+100; WT = simulatieBM(Ty,T) + (1/sigma)*log(Bar/S0); phi=S0*exp(sigma*WT); payoff=max(phi−E,0); LT=exp(m*WT−0.5*(m)ˆ2); V(i)=exp(−r)*LT*payoff; else t=Ty; end else while(B≥0 && t
if(B≥0) if(t+D
52

HOOFDSTUK 8. MATLAB-IMPLEMENTATIES 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152

Tx=beta; t=Tx+0.5*D; if(t
end

elseif(beta−gamma≥D && beta ≤ T) tau=beta−gamma; WT = simulatieBM(beta,T) + (1/sigma)*log(Bar/S0); phi=S0*exp(sigma*WT); payoff=max(phi−E,0); LT=exp(m*WT−0.5*(m)ˆ2); V(i)=exp(−r)*LT*payoff; else tau=beta−gamma; V(i)=0; end end end end end end VDAIP = [mean(V),mean(V)−1.96*std(V)/sqrt(M),mean(V)+1.96*std(V)/sqrt(M)]; PDAI = [VDAIP,VDAIP conf]

• Implementatie van Tb 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

function [Tx] = firsthit(x) y=abs(x); Z=randn(1,1); Tx=yˆ2/Zˆ2;

end

• Implementatie van γ(t) 1 2 3 4 5 6 7 8 9

function [gamma] = simulatiegamma(t,W) Y=abs(W); u=Y/sqrt(t); Z=randn(1,1); Rt = Zˆ2/(Zˆ2 + uˆ2); gamma=t*(Rt); end

53

HOOFDSTUK 8. MATLAB-IMPLEMENTATIES • Implementatie van simulatie W (T ) vanaf tijdstip β(t) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

function [B] = simulatieBM(t1,t2)

Z=randn(1,1); B=sqrt(t2−t1)*Z;

end

• Implementatie Black Scholes prijs Europese optie 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

function [C, C∆, P, P∆] = ch08(S,E,r,sigma,tau) % Program for Chapter 8 % This is a MATLAB function % % Input arguments: S = asset price at time t % E = Exercise price % r = interest rate % sigma = volatility % tau = time to expiry (T−t) % % Output arguments: C = call value, C∆ = ∆ value of call % P = Put value, P∆ = ∆ value of put % % function [C, C∆, P, P∆] = ch08(S,E,r,sigma,tau) if tau > 0 d1 = (log(S/E) + (r + 0.5*sigmaˆ2)*(tau))/(sigma*sqrt(tau)); d2 = d1 − sigma*sqrt(tau); N1 = 0.5*(1+erf(d1/sqrt(2))); N2 = 0.5*(1+erf(d2/sqrt(2))); C = S*N1−E*exp(−r*(tau))*N2; C∆ = N1; P = C + E*exp(−r*tau) − S; P∆ = C∆− 1; else C = max(S−E,0); C∆ = 0.5*(sign(S−E) + 1); P = max(E−S,0); P∆ = C∆− 1; end

54

Literatuur

[1] P. Glasserman, Monte Carlo Methods in Financial Engineering, Springer Verlag, New York, 2003. [2] I.Karatzas and S. Shreve, Brownian motion and stochastic calculus, 2. ed., Springer Verlag, Berlijn, 1991 [3] K.L. Chung, Excursions in Brownian motion, Adv. Appl. Prob. 14, 1976. [4] D.J Higham, Financial Option Valuation, Cambridge University Press, 5. ed., 2011 [5] L. Bachelier, Théorie de la speculation, Ann. Ecole Norm. Sup. 17, 1900 [6] J.A. Rice Mathematical Statistics and Data Analysis, 3. ed., Thomson Brooks/Cole University of California, Berkely [7] J.H.M. Anderluh Probabilistic methods in exotic option pricing , Thomas Stieltjes Institute for Mathematics, 2007

55

Het Browns algoritme voor prijsbepaling Parijse optie (Engelse titel: The Browns algorithm for pricing Parisian option)

Recommend Documents