Penrose Betegelingen Bart van der Paardt
Sjaak van Diepen
14 juni 2009
2
Inhoudsopgave 1
Betegelingen en periodiciteit 1.1 Wat is een betegeling? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Periodiek vs niet-periodiek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 3 3
2 Vliegers en pijlen 2.1 Aperiodiciteit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Penrose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Plakregels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 4 6 7
3
Deflatie 9 3.1 Hoe en waarom? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 3.2 Betegeling van het hele vlak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3.3 Vliegers en pijlen toch aperiodiek?! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4 Inleveropgaven
19
5 Evaluatie 5.1 In den beginne.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 De presentatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Inleveropgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20 20 20 21
1
BETEGELINGEN EN PERIODICITEIT
3
Figuur 1: Een betegeling uit Isfahan
1
Betegelingen en periodiciteit
1.1 Wat is een betegeling? Als je om je heen kijkt zie je al gauw allerlei patronen. Patronen die uit vaker voorkomende elementen bestaan kun je opvatten als een betegeling, waarbij de verschillende elementen de verschillende tegels vormen. Dit soort herhalende patronen worden vaak gebruikt vanwege het gemak, maar dienen soms ook als decoratie. Een alledaags voorbeeld is de betegelingen van je badkamervloer. Een mooi voorbeeld zijn betegelingen van religieuze gebouwen in Isfahan, Iran, zoals weergegeven in figuur 1. Over dit onderwerp gooien wij een wiskundig sausje. Wij zullen beginnen met een introductie, vervolgens stuiten we op grote vragen en op grote antwoorden. Nu volgen twee formele definitie’s, zodat we weten waar we het over hebben: Definitie 1. Een tegel is een veelhoek waarvan de ribben in plaats van rechte lijnstukken ook continue krommen mogen zijn. Deze krommen mogen elkaar en zichzelf echter niet snijden of raken. Definitie 2. Een betegeling is een bedekking van het gehele vlak, R2 , bestaande uit tegels. Hierbij mogen de tegels elkaar niet overlappen. Verder zullen de betegelingen in ons college geen ‘gaten’ bevatten.
1.2 Periodiek vs niet-periodiek We gaan vervolgens twee verschillende soorten betegelingen van elkaar onderscheiden. Namelijk periodieke betegelingen en niet-periodieke betegelingen.
4
Figuur 2: Drie mooie veel voorkomende periodieke betegelingen, die bestaan uit regelmatige veelhoeken. Definitie 3. Een betegeling waarvoor geldt dat er (minstens) twee lineair onafhankelijke vectoren zijn waarover de betegeling verschoven kan worden, zodat de verschoven betegeling exact gelijk is aan het origineel, heet periodiek. Oftewel, periodieke betegelingen hebben minstens twee verschillende translatiesymmetriën. Als vanzelfsprekend noemen we alle betegelingen die niet periodiek zijn niet-periodiek. Zeer duidelijke periodieke betegelingen zijn te zien in figuur 2. Mooie voorbeelden van niet-periodieke betegelingen zijn spiraalvormige betegelingen, zoals in figuur 3. Tot slot geven we nog een definitie van een fundamentaalgebied, omdat we deze gebruiken in opgave 1 en in sectie 3.3. Definitie 4. Een fundamentaalgebied is een deelverzameling van een betegeling, zodat de rest van de betegeling opdeelbaar is in deelverzamelingen, die beelden van isometriën zijn van het fundamentaalgebied. Opgave 1. a. Leg een periodieke betegeling met alleen de blauwe tegels (de blauwe en de gele tegels worden tijdens het college uitgedeeld). Overtuig je zelf ervan dat je zo het hele vlak periodiek kunt betegelen. M.a.w. probeer een fundamentaalgebied te herkennen dat je alsmaar kan herhalen. b. Doe hetzelfde met alleen de gele tegels. c. Ontdek tenslotte een periodieke betegeling van het hele vlak waar de gele en de blauwe tegel in voorkomen. Opgave 2. Doe hetzelfde als in opgave 1, maar leg nu niet-periodieke betegelingen.
2 Vliegers en pijlen 2.1 Aperiodiciteit Na de introductie van de term periodiciteit, zie definitie 3, in sectie 1.2 kunnen we onszelf een leuke vraag stellen. We hebben al voorbeelden gezien van verzamelingen van tegels die niet-periodieke betegelingen toestaan, maar:
2 VLIEGERS EN PIJLEN
Figuur 3: Een bekende spiraalvormige betegeling van Heinz Voderberg.
Figuur 4: De tegel waaruit de spiraalbetegeling van Voderberg is opgebouwd.
5
6
Figuur 5: De ‘vlieger’ en de ‘pijl’, beter bekend als de ‘kite’ en de ‘dart’, van Roger Penrose vormen de kleinste aperiodieke set die bekend is. Probleem 1. Zijn er ook verzamelingen van tegels die alléén niet-periodieke betegelingen toestaan? Een verzameling tegels waarvoor dit zou gelden wordt een aperiodieke set genoemd. Opgave 3. Ga na dat de tegels uit de betegeling in figuur 3 ook periodieke betegelingen toestaan. Deze set tegels uit figuur 3 is dus niet aperiodiek. Er zijn veel meer voorbeelden van zulke sets die niet-periodieke, maar ook periodieke betegelingen toestaan. Vandaar dat men lange tijd dacht dat een aperiodieke set tegels niet bestond, dit werd zelfs ‘bewezen’. Tenminste, men geloofde in dit ‘bewijs’ tot 1964. Toen vond de wiskundige Robert Berger een aperiodieke set van 20.000(!) tegels, dit aantal reduceerde hij later aanzienlijk tot 104.
2.2
Penrose
Roger Penrose heeft echter het record op zijn naam staan. Hij wist in 1974 een aperiodieke set van maar twee tegels te vinden, de ‘vlieger’ en de ‘pijl’. Deze zijn weergegeven in figuur 5. Opmerkelijk aan de vorm van deze tegels is dat ze zijn gebaseerd op de gulden snede. De verhouding tussen de lengten van de lange en de korte zijden is namelijk φ : 1, waarbij p 1+ 5 . φ= 2
2 VLIEGERS EN PIJLEN
7
In het eerste college van Concrete Meetkunde hebben we al afgeleid dat de verhouding tussen de zijden en de diagonalen van een vijfhoek gelijk is aan de gulden snede φ. Er is echter nog een parallel met de vijfhoek te trekken, alle scherpe hoeken van de vlieger en de bovenste hoek van de pijl zijn namelijk 360◦ = 72◦ . 5 De kleinste hoeken van de pijl zijn precies twee keer zo klein, 36◦ . Als gevolg hiervan bieden de vlieger en de pijl ons de mogelijkheid om mooie vijfvoudige rotatiesymmetrische betegelingen te leggen. Opgave 4. Welke manieren zijn er om twee tegels tegen elkaar aan te leggen, zodat een zijde nooit gedeeltelijk bedekt is? Leg ze voor jezelf op tafel neer. Nu we de beroemde aperiodieke set van Penrose hebben ingevoerd moeten we natuurlijk de volgende twee vragen bevestigend kunnen beantwoorden, de problemen 2 en 3 vormen onze probleemstelling: Probleem 2. Kunnen we met de vliegers en pijlen het hele vlak betegelen? We zullen de oplossing van dit probleem geven in sectie 3, het volgende probleem is echter moeilijker op te lossen: Probleem 3. Zijn alle betegelingen die we met de vliegers en pijlen kunnen leggen niet-periodiek? Bekijk nu nog eens opgave 1. Hieruit kunnen we concluderen dat we de vraag van probleem 3 met ‘nee’ kunnen beantwoorden. Dit is echter een groot probleem. We beweren namelijk dat de vlieger en pijl een aperiodieke set vormen, maar de set is volgens opgave 1 niet aperiodiek. Jammer, maar hiervoor geven we in de volgende sectie een oplossing.
2.3 Plakregels We zetten onze zoektocht naar een aperiodieke set voort. Hiervoor introduceren we de ‘plakregels’ voor de vliegers en de pijlen. In figuur 6 staan H’s en T’s aangegeven. De plakregels zeggen nu dat de tegels alléén nog maar zo gelegd mogen worden, zodat H’s tegen H’s liggen en T’s tegen T’s. Deze plakregels noemen we de puntplakregels. Opgave 5. Bekijk welke leggingen uit opgave 4 nog mogen volgens de plakregels. In plaats van de puntplakregels worden ook wel de lijnplakregels gebruikt. Deze staan ook aangegeven in figuur 6 en werken als volgt: je mag twee tegels alleen tegen elkaar aanleggen zodat de donkere en de lichte kromme ondoorbroken doorlopen.
8
Figuur 6: De vlieger en de pijl met plakregels en betekeningen.
Figuur 7: De met j-curves vervormde vlieger en pijl. Als je alle mogelijkheden bekijkt dat twee tegels tegen elkaar aan mogen liggen zul je dezelfde vijf mogelijkheden verkrijgen als in opgave 5. Hieruit volgt dat je dezelfde betegelingen kunt leggen met de lijnplakregels als met de puntplakregels. Daarom zijn deze plakregels equivalent. Waarschijnlijk zal je eerste reactie op de plakregels zijn dat de set alleen aperiodiek is met de plakregels, maar dat dan de set zelf niet aperiodiek is. We kunnen echter de vorm van de tegels aanpassen, zodat het leggen van de aangepaste tegels alleen nog maar kan zoals met de onaangepaste tegels volgens de plakregels. Deze vervormingen worden j-curves genoemd, zie figuur 7. Een grappige variant met de j-curves tegels is de kip-haan-betegeling, zie figuur 8. Opgave 6. Leg een zo groot mogelijke betegeling met de vliegers en pijlen, zodat de plakregels gerespecteerd worden. Overtuig jezelf ervan dat je de betegeling steeds
3
DEFLATIE
9
Figuur 8: De kip-haan-betegeling
Figuur 9: De vlieger na deflatie maar kan uitbreiden, zodat je het hele vlak kunt betegelen.
3
Deflatie
3.1 Hoe en waarom? In opgave 6 heb je gezien dat het niet zo makkelijk is om met de plakregels een zo groot mogelijke betegeling te leggen. Toch beweren wij dat je het gehele vlak kunt betegelen, zie probleem 2. Om dit aan te tonen maken we gebruik van het begrip deflatie. Definitie 5. Deflatie is het opsplitsen van een oude tegel in nieuwe tegels.
10
Figuur 10: De pijl na deflatie Het omgekeerde van deflatie heet inflatie, dit proces zullen we verder niet behandelen. We gaan nu deflatie toepassen op de vliegers en pijlen. Hiervoor kiezen we eerst hoe we een vlieger opsplitsen en hoe we een pijl opsplitsen. In de figuren 9 en 10 zijn de pijl en vlieger weergegeven zoals ze eruit zien na deflatie. De vlieger en de pijl zijn te herkennen door de pijlen te halveren langs de stippellijnen. Opgave 7. Omdat er na deflatie halve pijlen uit de originele vlieger en pijl steken voldoet onze deflatie van de vlieger en de pijl niet aan definitie 5. Bedenk zelf een betere definitie voor deflatie in het geval van de vliegers en pijlen. De vraag is nu of deze uitstekende halve pijlen een probleem vormen als we deflatie toepassen op (een deel van een) betegeling. Opgave 8. Bekijk deflatie voor elk van de vijf mogelijkheden uit opgave 5, deze staan ook in figuur 13. In opgave 8 heb je aangetoond dat als twee tegels volgens de plakregels aan elkaar liggen, de uitstekende halve pijlen, die na deflatie ontstaan en voor ‘overlapping’ zouden kunnen zorgen, altijd samen te voegen zijn tot één pijl. We kunnen dus altijd deflatie toepassen op een (deel van een) betegeling, gemaakt van vliegers en pijlen en gelegd conform de plakregels, zonder dat de halve pijlen daarbij een probleem vormen. Tot slot nog een opmerking: als wij over deflatie spreken zullen we automatisch daarbij bedoelen dat we ook de nieuwe tegeltjes herschalen, zodat de ontstane ‘vliegertjes’ en ‘pijltjes’ weer net zo groot worden als de originele vliegers en pijlen. Later zal blijken dat dit de sleutel is tot het oplossen van probleem 2. Opgave 9. a. Pas deflatie toe op de Zon en op de Ster(deze zijn te zien in de middenpunten van figuren 11 en 12. Wat voor iets moois zie je gebeuren? b. Pas (minstens) tweemaal deflatie toe op de vlieger en/of de pijl. Laat de figuur
3
DEFLATIE
11
Figuur 11: Het oneindige zon patroon
12
Figuur 12: Het oneindige ster patroon
3
DEFLATIE
13
Figuur 13: De vijf manieren om twee tegels tegen elkaar aan te leggen(volgens de plakregels) die je na één keer deflatie uit te hebben gevoerd liggen, terwijl je met de volgende stap doorgaat.
3.2 Betegeling van het hele vlak In de vorige paragraaf hebben we gezien hoe we deflatie kunnen toepassen op een deel van een betegeling. Leg nu een willekeurige eindige betegeling met vliegers en pijlen neer zodat de plakregels gerespecteerd worden. Pas vervolgens deflatie toe. Er zal dan een nieuwe eindige betegeling ontstaan bestaande uit vliegers, pijlen en wat ‘halve pijlen’ aan de rand. Herschaal deze betegeling vervolgens zodat de nieuwe vliegers en pijlen even groot zijn als de originele waren, in sectie 3.3 zullen we zien dat de herschalingsfactor φ2 is voor de oppervlakte. Dan is de nieuwe betegeling dus φ2 keer zo groot. Pas nu weer deflatie toe op de nieuwe betegeling, en ga zo door. Met volledige inductie wordt zo het hele vlak betegeld met vliegers en pijlen, en conform de plakregels. 1 Merk op dat we probleem 2 nu hebben opgelost. In sectie 3.3 behandelen we probleem 3. 1
De heren Godijn en Hogendijk wezen ons er tijdens de presenatie op dat wij nu eigenlijk nog niet hebben bewezen dat we het hele vlak kunnen betegelen. Om dit te kunnen beweren zou je van een willekeurig punt in het vlak moeten kunnen zeggen hoe de betegeling er daar uitziet. Om nu te bewijzen dat je het hele vlak kunt betegelen moet je laten zien dat je een betegeling telkens kan uitbreiden zodat de oude betegeling behouden blijft.
14
Tot slot nog een mooi weetje: de figuren Zon en Ster zijn al eerder ter sprak gekomen. Nu kunnen we deze figuren ook als basis gebruiken om een betegeling te "bouwen". De figuren 11 en 12 zijn gedeelten van het oneindige zonpatroon, respectievelijk het oneindige sterpatroon. Dit zijn de enige betegelingen van vliegers en pijlen die vijfvoudig draaisymmetrisch zijn. In opgave 9 hebben we al gezien dat deflatie van de Zon en Ster ze in elkaar over doet gaan, zo gaat het ook met het oneindige zonpatroon en het oneindige sterpatroon. Wat belangrijk is om op te merken is dat we na tweemaal deflatie toepassen op een stuk betegeling dus weer het oude stuk betegeling terughebben met daar omheen een nieuwe rand.
3.3 Vliegers en pijlen toch aperiodiek?! We gaan nu bewijzen dat elke Penrose betegeling bestaande uit vliegers en pijlen niet-periodiek is, zie probleem 3. We gaan hierbij uit van de definitie 3 van periodiciteit. Verder gaan wij er vanuit dat je op elke betegeling bestaande vliegers en pijlen deflatie kan toepassen, dit is aangetoond in sectie 3.1. Gegeven: Een willekeurige Penrose-betegeling T bestaande uit vliegers en pijlen, met de plakregels. Te Bewijzen: Deze betegeling T is niet-periodiek. Bewijs: Dit is een bewijs uit het ongerijmde. Stel dat de betegeling T wel periodiek is, dan zijn er volgens definitie 3 minstens twee lineair onafhankelijke trans− → − → latievectoren T1 en T2 zodat de betegeling weer op zichzelf wordt afgebeeld. Neem nu een willekeurig hoekpunt p op de betegeling en bekijk de paralel− → − → logram P opgespannen door de vectoren T1 en T2 die aangrijpen in het punt p. Dit is een fundamentaalgebied van de betegeling. We willen dit gebied zo vervormen zodat het uit een geheel aantal vliegers en een geheel aantal pijlen bestaat. Doe dit als volgt: knip aan de linkerkant van P langs de ribben van de tegels een zo klein mogelijk stuk van P af. Plak dit er aan de rechterkant bij, dit kan omdat P een fundamentaalgebied is. Knip op dezelfde manier een stuk aan de onderkant van P weg en plak dit er boven weer aan. Op deze manier ontstaat een nieuw fundamentaalgebied F , zodat F uit een geheel aantal vliegers en pijlen bestaat. Definieer nu ν als de oppervlakte van de vlieger en ρ als de oppervlakte van de pijl. Dan geldt er voor de oppervlakte O F van F dat O F = V0 · ν + P 0 · ρ,
(1)
waarbij V0 , P 0 ∈ N het aantal vliegers en pijlen zijn dat bevat wordt door F . Merk op dat V0 ∈ Q, (2) P0
3
DEFLATIE
15
hier gaan wij een tegenspraak uit afleiden. We gaan nu deflatie(zonder te herschalen) toepassen op T , voor de oppervlakten ν1 , ρ 1 van de nieuwe vliegers en pijlen geldt er nu dat ν1 = φ−2 ν −2
ρ 1 = φ ρ.
(3) (4)
Dit valt gemakkelijk af te leiden. Aan figuur 9 is te zien dat voor de verhouding tussen de lengte lange zijden van de oude vlieger ZV0 en die nieuwe vlieger ZV1 geldt ZV1 : ZV0 = φ : φ + 1 = 1 : φ. Verder valt er eenvoudig aan de figuur af te lezen dat zV1 : zV0 = 1 : φ. Voor de pijl valt hetzelfde af te leiden uit figuur 10. Hieruit volgt dat beide zijden van beide tegels met een factor φ worden verkleind door deflatie. Dan worden de oppervlakten van de tegels dus met een factor φ2 verkleind, zoals in weergegeven in de vergelijkingen 3 en 4. Omdat dit geldt voor elke deflatiestap, geldt er algemener dat νn = φ−2n ν −2n
ρn = φ
ρ,
(5) (6)
waarbij νn , ρ n de oppervlakten van de vlieger en de pijl na deflatiestap n. De betegeling die ontstaat na deflatie van de betegeling T noemen we T1 . Er geldt nu dat F ook een fundamentaalgebied is van T1 . Want stel F is geen fundamentaalgebied van T1 , pas dan inflatie toe op T1 , dan is F ook geen fundamentaalgebied van T . Tegenspraak! Nu gaan we F weer zo vervormen tot F 1 , zoals we de paralellogram P vervormden tot F . Dan is ook F 1 een fundamentaalgebied van T1 en er geldt dat O F = O F1 . Dus O F = O F1 = V1 · ν1 + P 1 · ρ 1 . We kunnen dit proces nog n −1 keer herhalen, dan zien we dat voor elke n ∈ N geldt O F = O Fn = Vn · νn + P n · ρ n ,
(7)
waarbij Vn , P n het aantal vliegers en het aantal pijlen in het fundamentaalgebied F n zijn. Als we hier nu de vergelijkingen 5 en 6 bijhalen zien we dat O F = (Vn · ν + P n · ρ)φ−2n ,
(8)
16
voor elke n ∈ N. Verder moeten we nog even een vergelijking afleiden die het verband aangeeft tussen de oppervlakte van de vlieger ν en de oppervlakte van pijl ρ. In figuur 5 is te zien dat de vlieger en de pijl beiden zijn opgebouwd uit twee driehoeken met dezelfde hoogte maar met een verschillende basis. De basis van de driehoek in de vlieger heeft lengte φ en de basis van de driehoek in de pijl heeft lengte 1. Omdat de oppervlakte van de driehoek rechtevenredig is met de basis maal de hoogte, geldt er dat ν = φρ. (9) Deze vergelijking zal later in het bewijs een paar keer gebruikt worden. Vervolgens bekijken we wat er gaat gebeuren met O F als n → ∞. Daartoe stellen we een recursie op voor het aantal vliegers Vn en het aantal pijlen P n in het fundamentaalgebied F n . Aan de figuren 9 en 10 is te zien dat Vn+1 = 2Vn + P n P n+1 = Vn + P n . Er is alleen een klein probleem aan de rand. Het zou namelijk kunnen dat de halve pijlen die bij de deflatie overblijven er aan de rand van het fundamentaalgebied F n ‘uitsteken’. Dit probleem lost zich echter op door van het fundamentaalgebied F n het fundamentaalgebied F n+1 te maken. Dan worden aan de ene kant de halve pijlen afgeknipt, terwijl ze aan de andere kant aan het fundamentaalgebied worden ‘vastgeplakt’, zodat er hele pijlen ontstaan. We gaan nu over op de theorie van matrixrecursies om het limietgeval n → ∞ te bekijken. Er geldt dat µ ¶ µ ¶ Vn+1 Vn =A , (10) P n+1 Pn waarbij A de matrix µ
¶ 2 1 A= . 1 1
We bepalen de eigenwaarden en vervolgens de eigenvectoren van A. Daartoe stellen we eerst µ ¶ 2−λ 1 det = 0, 1 1−λ geeft λ2 − 3λ + 1 = 0. Dus hier zien we weer de gulden snede in p 3± 5 , λ1/2 = 2
3
DEFLATIE
17
want dan worden de eigenwaarden van A gegeven door λ1 = φ2 ,
λ2 = φ−2 .
(11)
De eigenwaarden gebruiken we om de eigenvectoren te bepalen. We bepalen ¡u 1 ¢ eerst de eigenvector u~+ = u2 bij de eigenwaarde φ2 . We stellen daartoe µ ¶Ã ! à ! u1 0 2 − φ2 1 = 2 1 1 − φ u2 0
en we verkrijgen het stelsel 2u 1 − φ2 u 1 + u 2 = 0
(12)
2
u 1 + u 2 − φ u 2 = 0.
(13)
Stel dan u 1 = 1, dan verkrijgen we uit vergelijking 12 dat u 2 = φ2 − 2 = φ − 1 = φ−1 . Vergelijking 13 geeft hetzelfde. Hieruit concluderen we dat Ã
! 1 u + = −1 . φ
Vervolgens bepalen we de andere eigenvector u~− = berekenen. Er moet echter gelden dat
¡1¢ , waarbij we x nog moeten x
¡ ¢ ¡ ¢ det(u + 1 0 + u − 0 1 ) = det(A),
dus x − φ−1 = 1, dan x = 1 + (φ − 1) = φ. Hieruit volgt dat de eigenvectoren worden gegeven door Ã
! 1 u + = −1 , φ
We schrijven nu de de vector
¡V0 ¢ P0
à ! 1 u− = . φ
uit t.o.v. de eigenvectoren van A:
à ! V0 = αu + + βu − , P0
(14)
18
voor zekere α, β ∈ R. Merk op dat hier direct de volgende twee vergelijkingen uit volgen: α + β = V0
(15)
αφ−1 + βφ = P 0 ,
(16)
deze vergelijkingen zullen we later nog gebruiken. Uit vergelijking 14 volgt nu dat voor elke n ∈ N geldt à ! à ! Vn V0 = An = αφ2n u + + βφ−2n u − , (17) Pn P0 omdat φ2 en φ−2 de eigenwaarden zijn van A. Er geldt dat lim φ−2n = 0
n→∞
en β, u − zijn constant, dus
lim βφ−2n u − = 0.
n→∞
Uit vergelijking 17 volgt nu dat er voor grote n geldt dat à ! à ! Vn 1 = αφ2n −1 . Pn φ Als we dit invullen in vergelijking 8, zien we dat voor grote n geldt O F = (αφ2n ν + αφ2n φ−1ρ)φ−2n = αν + αφ−1 ρ = (2φ − 1)αρ, want ν = φρ, zie vergelijking 9. Dit gaan we vergelijkingen met de originele vergelijking 7 voor de oppervlakte O F van F : O F = V0 · ν + P 0 · ρ O F = (φV0 + P 0 )ρ. Dit geeft (2φ − 1)α = φV0 + P 0 . De vergelijkingen 15 en 16 geven dan dat (2φ − 1)α = φ(α + β) + αφ−1 + βφ, dus (φ − 1)α = 2βφ + αφ−1 .
4 INLEVEROPGAVEN
19
Figuur 14: De Aas Maar φ−1 = φ − 1, dus 2βφ = 0, dan β = 0. Uit vergelijking 14 volgt nu dat à ! à ! 1 V0 = α −1 , φ P0
voor een zekere α ∈ R \ {0}, want V0 , P 0 zijn niet beiden nul. Dus V0 1 = −1 = φ ∉ Q, P0 φ maar we hadden F zo gesconstrueerd dat V0 ∈ Q, P0 zie vergelijking 2. Tegenspraak!
4 Inleveropgaven Je mag de inleveropgaven in groepjes van twee of drie inleveren. Inleveren mag via de mail, onze adressen zijn:
[email protected] en
[email protected]. Inleveropgave 1. Laat zien dat elk punt op een Penrose-betegeling in een Aas(zie figuur 14) ligt. Geef een redenatie in goedlopende zinnen, onderbouw je argumenten eventueel met plaatjes.
20
Inleveropgave 2. Vind alle mogelijke (of zoveel mogelijk) manieren om de tegels rond één punt te leggen. Dus hoe je met hoeken van de tegels in dat punt, de oppervlakte rondom het punt helemaal kunt betegelen. De eerste drie heb je al, namelijk: de Aas, de Zon en de Ster. Inleveropgave 3. Laat in deze opgave de plakregels achterwege! Teken op een a4’tje een regelmatige vijfhoek waarvan de zijden net zolang zijn als de lange zijden van de vlieger en de pijl. Bedenk nu hoe je rond de vijfhoek tegels kunt leggen, zodat de vijfhoek volledig omsloten is en alle zijden van de tegels die aan de vijfhoek grenzen tegen een andere tegel liggen. Laat zien dat de omsloten vijfhoek ook echt regelmatig is. Tip: Een handige manier om zelfgemaakte betegeling in te leveren is door foto’s te nemen, de tegels scannen of een print screen van de java applet maken die te vinden is op http://www.geocities.com/SiliconValley/Pines/1684/Penrose.html, hier staat een bruikbare handleiding bij. Veel succes!
5 Evaluatie 5.1 In den beginne.. We kozen het onderwerp Penrose betegelingen, we kregen een pak leeswerk en Penrose-tegels mee van meneer Hogendijk. Het was in het begin echter niet meteen duidelijk hoe we een mooie presentatie bij dit onderwerp konden maken: er waren veel begrippen die niet helemaal duidelijk waren, we zagen niet wat er zo bijzonder was aan de set vliegers en pijlen, enzovoorts. Door wat meer artikelen te lezen en wat meer met de tegels te spelen werd alles steeds duidelijker. Verder hielp het boek Tilings and Patterns van Grünbaum en Shephard om in te zien dat er veel wiskundige structuur achter de betegelingen schuil gaat. Tot slot zei meneer Hogendijk een keer: "Probeer eerst eens uit te vinden waarom je met de vliegers en pijlen met de plakregels het hele vlak kan betegelen". Hierdoor kregen we een idee van de vragen die we onszelf moesten stellen en daarna hoe we de antwoorden konden vinden.
5.2 De presentatie Drie dagen voor de presentatie scheurde Sjaak zijn enkelband, hij wilde er echter niet van weten om de presentatie op te geven. Dus ging onze proefpresentatie gewoon door. Het was erg gezellig en leerzaam om de presentatie aan een bevriende groep studiegenoten te geven. Ze gaven duidelijk aan wat er onduidelijk was, natuurlijk omdat we ze daarom gevraagd hadden, maar ze waren erg positief. Tijdens
REFERENTIES
21
het maken van de opgaven tijdens het oefencollege werd echter wel duidelijk dat niet iedereen het even goed snapte. Dit gaf aanleiding alles in het echte college wat duidelijker uit te leggen. We hadden erg veel zin om nu de ‘echte’ presentatie te gaan geven. Door ons enthousiasme werd de groep ook enthousiast, dit merkten we vooral toen we rondliepen terwijl de groep bezig was met het maken van de opgaven. Daarnaast hadden veel mensen door dat er nog problemen waren die opgelost moesten worden, wat de bedoeling was van de opgaven. Daarna konden we dan (een gedeelte) van de oplossing van dit probleem geven. Dit was een erg bevredigende manier van werken. Het was mooi om iedereen zo mee te nemen in ons betoog. We waren na dat betoog echter een kwartier te vroeg klaar en besloten nog even "het bewijs"te gaan behandelen, dit behandelden we echter zo vluchtig dat niemand het kon begrijpen waardoor we ook veel aandacht verloren. Tenslotte gaven we de inleveropgaven.
5.3 Inleveropgaven We waren nieuwsgierig hoe creatief de inleveropgaven gemaakt zouden worden. De inleveropgaven zijn over het algemeen goed gemaakt. We hebben twee van de acht groepjes matig beoordeelt en de rest goed. Bij de eerste opgave vroegen we om een redenering die door verrassend veel mensen zo werd gegeven als wij dachten dat mensen hem zouden geven. Ongeveer de helft van de groepjes gaf echter een alternatieve oplossing, die vaak wel goed gezocht was, maar in geen geval goed was uitgewerkt. Alle zeven de puntleggingen uit opgave 2 werden door alle groepjes op één na gegeven. Opgave 3 werd ook door elk groepje goed gemaakt. We zagen een grote variatie in de uitwerkingen van de antwoorden, sommigen antwoorden heel net en helder, anderen wel goed maar zeer slordig en bij de overige groepen moest je vaak het goede antwoord uit een brei woorden weten te vissen.
Referenties [1] Henk Bos, Aad Goddijn, Jan Hogendijk, Concrete Meetkunde 1, Herziene versie 2009 [2] Grünbaum, Shephard, Tilings and patterns, 1987 [3] Martin Gardner, Scientific American, januari 1977 [4] Andrew Glassner, Andrew Glassner’s Notebook, mei/juni 1998 [5] Jan Stienstra, Gesprek op 22 april 2009
