PENGUKURAN DESKRIPTIF STATISTIK INDUSTRI I Jurusan Teknik Industri Universitas Brawijaya Malang
1
PENGUKURAN DESKRIPTIF
Suatu pengukuran yang bertujuan untuk memberikan gambaran tentang data yang diperoleh
Jurusan Teknik Industri Universitas Brawijaya Malang
2
UKURAN PEMUSATAN DATA Jurusan Teknik Industri Universitas Brawijaya Malang
3
UKURAN PEMUSATAN DATA Suatu nilai yang mewakili semua nilai observasi dalam suatu data dan dianggap sebagai gambaran dari kondisi suatu data. Beberapa macam ukuran pemusatan data: • • • • • •
Rata-rata hitung (Mean) Median Modus Kuartil Desil Persentil Jurusan Teknik Industri Universitas Brawijaya Malang
4
Rata–rata Hitung ( Mean ) Nilai khas yang mewakili sifat tengah atau posisi pusat dari sekumpulan data Contoh : • Tentukan nilai rata-rata dari data: 2,3,4,5,6 23 45 6 x 4 5 Jurusan Teknik Industri Universitas Brawijaya Malang
5
Data berbobot • Contoh : Berat paket yang diterima oleh suatu perusahaan selama 1 minggu tercatat seperti pada tabel disamping ini. Rata-rata berat paket dalam minggu tersebut adalah Jurusan Teknik Industri Universitas Brawijaya Malang
Berat (kg)
Frekuensi
5 6 7 8
6 8 12 4
f .x x f
Jawab: Berat (kg)
Frekuensi
X
F
5 6 7 8
6 8 12 4
30
Jumlah
30
194
F. X
48 84
32
Jadi rata-rata berat paket = 6,47 kg Jurusan Teknik Industri Universitas Brawijaya Malang
x
= =
f .x f 194 30
= 6,47
Data kelompok Cara I:
f .x x f
x = Nilai tengah
Contoh : Tentukan mean nilai tes Matematika 20 orang siswa yang disajikan pada tabel disamping ini !
Jurusan Teknik Industri Universitas Brawijaya Malang
Nilai
Frekuensi
3-4 5-6 7-8 9 - 10
2 4 8 6
Jumlah
20
Jawab :
x
=
Nilai
Frekuensi
x
3-4 5-6 7-8 9 - 10
2 4 8 6
3,5
7
5,5
22
7,5
60
9,5
57
Jumlah
20
146 20
= 7,3 Jurusan Teknik Industri Universitas Brawijaya Malang
F.x
146
Cara II:
x x0
f.d f
xo = rata-rata sementara, d = x - xo
x = nilai tengah Contoh : Jika rata-rata sementara pada
tabel adalah 67, maka nilai rata-rata data tersebut adalah…..
Nilai
f
x
55-59 60-64 65-69 70-74 75-79
4 10 17 14 5
57 62 67 72 77
Jumlah
50
Jurusan Teknik Industri Universitas Brawijaya Malang
Jawab : Nilai
f
x
d
f. d
55-59 60-64 65-69 70-74 75-79
4 10 17 14 5
57 62 67 72 77
- 10 -5 0 5 10
- 40 - 50 0 70 50
Jumlah
50
30
= 67 + 30 50
= 67,6 Jurusan Teknik Industri Universitas Brawijaya Malang
11
Median bilangan yang ditengah-tengah setelah bilangan-bilangan itu diurutkan dari yang terkecil sampai yang terbesar. a. Data tunggal Jika n ganjil Letak Me = data ke Jika n genap
(n 1) 2
Letak Me = ½ ( Xn/2 + Xn/2 + 1 ) Jurusan Teknik Industri Universitas Brawijaya Malang
Contoh : Nilai ulangan Mata Pelajaran Matematika dari 12 siswa adalah sebagai berikut: 6,8,5,7,6,8,5,9,6,6,8,7. Tentukan median dari data tersebut!
Jawab : Data diurutkan : 5,5,6,6,6,6,7,7,8,8,8,9 jumlah data ( n ) = 12 ( genap ) Letak Me = data ke ½ ( X6 + X7 ) = ½ (6+7) = 6,5 Jurusan Teknik Industri Universitas Brawijaya Malang
Data berkelompok 𝑛 − 𝑓 2 𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛 = 𝐿𝑖 + 𝑓𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛
𝑙
𝑐
Dengan: Li = tepi bawah dari kelas median n = banyaknya data
(f)l = jumlah frekuensi seluruh kelas yang lebih rendah dari kelas median fmedian = frekuensi kelas median c = lebar interval kelas median Jurusan Teknik Industri Universitas Brawijaya Malang
14
Contoh ◦ Pengujian tegangan rusak (Breaking stress) pada suatu logam Breaking stress (kN/m2)
Jumlah (f)
900 – 999
4
1000 – 1099
19
1100 – 1199
29
1200 – 1299
28
1300 – 1399
13
1400 – 1499
7
Total (N)
100
𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛 = 𝐿𝑖 +
𝑛 − 2
𝑓 𝑙
𝑓𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛
𝑐 = 1099,5 +
100 −23 2
Jurusan Teknik Industri Universitas Brawijaya Malang
29
99 = 1191,7 15
Modus bilangan yang paling sering muncul atau nilai yang memiliki frekuensi terbanyak. Data tunggal / berbobot Contoh : Tentukan modus dari masing-masing kumpulan bilangan
di bawah ini: a. 5,3,5,7,5
c. 2,5,6,3,7,9,8
b. 4,3,3,4,4,7,6,8,7,7
d. 2,2,3,3,5,4,4,6,7
Jurusan Teknik Industri Universitas Brawijaya Malang
16
Jawab : a. Modus data tersebut adalah 5 b. Modus data tersebut adalah 4 dan 7 c. Modus data tersebut tidak ada d. Modus data tersebut adalah 2,3,4 Jurusan Teknik Industri Universitas Brawijaya Malang
17
Data berkelompok ∆1 𝑀𝑜𝑑𝑢𝑠 = 𝐿𝑖 + 𝑐 ∆1 + ∆2 Dengan: Li = tepi bawah dari kelas modus 1 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya 2 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya c = lebar interval kelas modus Jurusan Teknik Industri Universitas Brawijaya Malang
18
Contoh ◦ Pengujian tegangan rusak (Breaking stress) pada suatu logam Breaking stress (kN/m2)
Jumlah (f)
900 – 999
4
1000 – 1099
19
1100 – 1199
29
1200 – 1299
28
1300 – 1399
13
1400 – 1499
7
Total (N)
100
𝑀𝑜𝑑𝑢𝑠 = 𝐿𝑖 +
∆1 ∆1 +∆2
𝑐 = 1099,5 +
Jurusan Teknik Industri Universitas Brawijaya Malang
10 10+1
99 = 1189,5 19
Contoh
◦ Distribusi frekuensi hasil produksi setrika listrik (dalam buah) selama 100 hari yang diproduksi adalah: Hasil Frekuensi Tepi Frekuensi Produksi 20 - 34
8 35 - 49 24 50 - 64 27 65 – 79 20 80 – 94 8 95 – 109 8 110 – 124 4 125 - 139 1 Jurusan Teknik Industri Universitas Brawijaya Malang
Kelas 19,5
Kumulatif 8
34.5 49,5 64,5
32 59 79
79,5 94,5
87 95
109,5 124,5
99 100
20
◦ Kuartil (Quartile) Kelompok data yang telah diurutkan kemudian dibagi menjadi 4 (empat) bagian sama banyak Data tidak berkelompok
Data berkelompok
in 1 Qi Nilai ke , i 1, 2, 3 4
in F , i 1, 2, 3 Qi L0 c 4 f
F: jumlah frekuensi semua kelas sebelum kelas kuartil L0 : tepi bawah kelas kuartil c : panjang interval kelas n : jumlah semua frekuensi f : frekuensi kelas kuartil Jurusan Teknik Industri Universitas Brawijaya Malang 21
Contoh ◦Untuk contoh soal pengujian tegangan rusak pada suatu logam; tentukan Q1, Q2, Q3
Jurusan Teknik Industri Universitas Brawijaya Malang
22
◦ Desil Kelompok data yang telah diurutkan dibagi menjadi 10 (sepuluh) bagian sama banyak Data tidak berkelompok
Data berkelompok
in 1 Di Nilai ke , i 1, 2, 3,...,9 10
in F Di L0 c 10 f
, i 1, 2, 3,...,9
F: jumlah frekuensi semua kelas sebelum kelas desil ke-i L0 : tepi bawah kelas desil ke-i c : panjang interval kelas desil ke-i n : jumlah semua frekuensi f : frekuensi kelas desil ke-i Jurusan Teknik Industri Universitas Brawijaya Malang
23
Contoh
◦Untuk contoh soal pengujian tegangan rusak pada suatu logam;, tentukan D3, D7, dan D9
Jurusan Teknik Industri Universitas Brawijaya Malang
24
◦ Persentil Kelompok data yang telah diurutkan dibagi menjadi 100 (seratus) bagian sama banyak Data tidak berkelompok in 1 Pi Nilai ke , i 1, 2, 3,...,99 100 Data berkelompok
in F Pi L0 c 100 f
, i 1, 2, 3,...,99
F: jumlah frekuensi semua kelas sebelum kelas persentil ke-i L0 : tepi bawah kelas persentil ke-i c : panjang interval kelas persentil ke-i n : jumlah semua frekuensi f : frekuensi kelas persentil ke-i Jurusan Teknik Industri Universitas Brawijaya Malang
25
Contoh
◦Untuk contoh soal pengujian tegangan rusak pada suatu logam; tentukan P25 dan P75
Jurusan Teknik Industri Universitas Brawijaya Malang
26
UKURAN DISPERSI Ukuran Penyebaran Data Jurusan Teknik Industri Universitas Brawijaya Malang
27
Pengertian Dispersi Ukuran yang menyatakan seberapa jauh penyimpangan nilainilai data dari nilai-nilai pusatnya Ukuran yang menyatakan seberapa banyak nilai-nilai data yang berbeda dengan nilai-nilai pusatnya Dispersi serangkaian data akan lebih kecil bila nilai-nilai tersebut berkonsentrasi di sekitar rata-ratanya, dan sebaliknya Jurusan Teknik Industri Universitas Brawijaya Malang
28
Ukuran Dispersi RENTANG (Range) SIMPANGAN RATA-RATA (Mean Deviasi) SIMPANGAN BAKU (Standard Deviation) VARIANSI (Variance) Jurusan Teknik Industri Universitas Brawijaya Malang
29
Rentang/Range Rentang (range) : selisih bilangan terbesar dengan bilangan terkecil. Sebaran merupakan ukuran penyebaran yang sangat kasar, sebab hanya bersangkutan dengan bilangan terbesar dan terkecil.
Contoh :
A : 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 B : 100 100 100 100 100 10 10 10 10 10 C : 100 100 100 90 80 30 20 10 10 10
X = 55 r = 100 – 10 = 90
Rata-rata
Jurusan Teknik Industri Universitas Brawijaya Malang
30
Simpangan Rata-rata : nilai rata-rata dari harga mutlak semua simpangan terhadap rata-rata (mean) kelompoknya
Rata-rata
Simpangan Rata-rata Data Tunggal Kelompok B
Kelompok A Nilai X
X-X
|X – X|
Nilai X
X-X
|X – X|
100
45
45
100
45
45
90
35
35
100
45
45
80
25
25
100
45
45
70
15
15
90
35
35
60
5
5
80
25
25
50
-5
5
30
-25
25
40
-15
15
20
-35
35
30
-25
25
10
-45
45
20
-35
35
10
-45
45
10
-45
45
10
-45
45
Jumlah
0
250
Jumlah
0
390
DR = 250 = 25 10
DR = 390 = 39 10
n |Xi – X| DR = Σ n i=1
Rata-rata
Makin besar simpangan,makin besar nilai deviasi rata-rata31
Jurusan Teknik Industri Universitas Brawijaya Malang
Simpangan Rata-rata Data Berkelompok
SR f
= Simpangan rata-rata = frekuensi = titik tengah = rata-rata
Jurusan Teknik Industri Universitas Brawijaya Malang
32
Simpangan Rata-rata Data Berkelompok Contoh
Jadi, rata-rata nilai statistik 70 orang mahasiswa sebesar 77,64 dengan simpangan rata-rata 5,5 Jurusan Teknik Industri Universitas Brawijaya Malang
33
Varians & Deviasi Standar Varians : penyebaran berdasarkan jumlah kuadrat simpangan bilangan-bilangan terhadap rata-ratanya; melihat ketidaksamaan sekelompok data
Deviasi Standar : penyebaran berdasarkan akar dari varians; menunjukkan keragaman kelompok data
Jurusan Teknik Industri Universitas Brawijaya Malang
34
Varians & Deviasi Standar Sampel Kecil (n < 30) Kelompok A
Varians Sampel Kecil
s2
n 2 = Σ (Xi – X) n-1 i=1
Deviasi Standar Sampel Kecil
s=
√
n (Xi – X)2 Σ i=1 n-1
Kelompok B
Nilai X
X -X
(X–X)2
Nilai X
X -X
(X –X)2
100
45
2025
100
45
2025
90
35
1225
100
45
2025
80
25
625
100
45
2025
70
15
225
90
35
1225
60
5
25
80
25
625
50
-5
25
30
-25
625
40
-15
225
20
-35
1225
30
-25
625
10
-45
2025
20
-35
1225
10
-45
2025
10
-45
2025
10
-45
2025
8250
Jumlah
Jumlah
s=
√
8250 9 = 30.28
s=
√
15850
15850 9 = 41.97
Kesimpulan : Kelompok A : rata-rata = 55 ; DR = 25 ; s = 30.28 Kelompok B : rata-rata = 55 ; DR = 39 ; s = 41.97 Maka data lebih tersebar daripada kelompok A Jurusan Teknikkelompok Industri UniversitasB Brawijaya Malang
35
Varians & Deviasi Standar Sampel Besar (n ≥ 30) Varians Sampel Besar
s2
n 2 = Σ (Xi – X) n i=1
Deviasi Standar Sampel Besar
s=
√
n (Xi – X)2 Σ i=1 n
Jurusan Teknik Industri Universitas Brawijaya Malang
36
Varians & Deviasi Standar Data Berkelompok Varians Sampel Kecil
s2
Varians Sampel Besar
n 2 = Σ f(Xi – X) n-1 i=1
s2
n 2 = Σ f(Xi – X) n i=1
Deviasi Standar Sampel Kecil
Deviasi Standar Sampel Besar
n f(Xi – X)2 Σ i=1 n-1
n f(Xi – X)2 Σ i=1 n
s=
√
s=
√
Dimana Xi = titik tengah setiap kelas Jurusan Teknik Industri Universitas Brawijaya Malang
37
Contoh ◦ Tentukan variansi dan standar deviasi untuk data berkelompok berikut: Hasil Produksi 20 - 34 35 - 49
Frekuensi 8 24
50 - 64 65 – 79 80 – 94 95 – 109
27 20 8 8
110 – 124
4
125 - 139
1
Jurusan Teknik Industri Universitas Brawijaya Malang
38
