PENGUJIAN HIPOTESIS
PROSEDUR UMUM z
Langkah 1 : tentukan hipotesis 0 (H0) dan anti hipotesis (H1) misalnya: H0 : µ = 100 H1 : µ ≠ 100 atau H1 : µ > 100 atau H1 : µ < 100
PROSEDUR UMUM z
Langkah 2: tentukan jenis distribusi yang cocok: Æ bila n > 30 dan σ diketahui Æ distribusi-Z Æ bila tidak terpenuhi Æ distribusi –t
PROSEDUR UMUM z
Langkah 4: hitung rasio kritis sebagai:
RK z
Langkah 3: tentukan resiko penolakan hipotesis Æ nilai α Æ ≠ Æ uji dua sisi Æ pada α/2 Æ > Æ uji sisi kanan area Æ pada α Æ < Æ uji sisi kiri area Æ pada α
=
x − µ
σ
x
H
0
PROSEDUR UMUM z
Langkah 5: Siapkan statemen kesimpulan: Æ terima H0 Æ perbedaan standar antara x (rerata perhitungan) dan µH0(rerata hipotesis) jatuh di daerah penerimaan atau Æ tolak H0 Æ perbedaan standar antara x (rerata perhitungan) dan µH0 (rerata hipotesis) jatuh di daerah penolakan
PENGUJIAN SATU SAMPEL σ DIKETAHUI z
z
Hipotesis nol Æ nilai parameter dari polpulasi adalah sesuai dengan suatu nilai. Anti-hipotesis Æ hipotesis alternatif: (a) H1 : µ < sebuah nilai Æ uji sisi kiri sebesar α Æ keputusan yang diambil: Terima H0 bila RK ≥ -Z Tolak H0 bila RK < -Z
PENGUJIAN SAMPEL z
Dua kemungkinan: Æ Pengujian satu sampel artinya hipotesis diambil terhadap satu nilai tertentu mis. H0 : µ = 100 Æ Pengujian dengan dua sampel artinya terdapat dua parameter yang saling dibandingkan mis. H0 : µ1 = µ2
PENGUJIAN SATU SAMPEL σ DIKETAHUI (b) H1 : µ > sebuah nilai Æ uji sisi kanan sebesar α Æ keputusan yang diambil: Terima H0 bila RK ≤ Z Tolak H0 bila RK > Z
PENGUJIAN SATU SAMPEL σ DIKETAHUI
PENGUJIAN SATU SAMPEL σ TIDAK DIKETAHUI z
(c) H1 : µ ≠ sebuah nilai Æ uji dua sisi sebesar α Æ keputusan yang diambil: Terima H0 bila RK = Z Tolak H0 bila RK < -Z atau RK > Z
PENGUJIAN SATU SAMPEL REKAPITULASI
z
z
z
Data tentang σ jarang diketahhui. Distribusi sampling tidak bisa lagi mendekati normal jika jumlah data ≤ 30. Distribusi-Z tetap bisa digunakan bila jumlah sampel > 30. Distribusi-t digunakan bila jumlah sampel < 30.
PENGUJIAN DUA SAMPEL z
Dua hal yang harus diperhatikan: (1) kedua sampel yang diuji hendaknya cukup besar (n > 30) (2) kedua sampel tersebut hendaknya bebas Æ sampel diambil dari grup yang berbeda Æ sampel yang diambil dari grup pertama tidak berhubungan dengan sampel dari grup kedua
PENGUJIAN DUA SAMPEL PENGUJIAN DUA SAMPEL z
Secara umum: hipotesis-nol Æ H0 : µ1 = µ2 hipotesis-alternatif: - alternatif dua sisi Æ H1 : µ1 ≠ µ2 - alternatif sisi kanan Æ H1 : µ1 > µ2 - alternatif sisi kiri Æ H1 : µ1 < µ2
PENGUJIAN DUA SAMPEL (lanjt.)
z
Persamaan rasio kritis (RK): RK = Z =
σ 12 n1
+
σ 12 n2
Jika diasumsikan bahwa sampel diambil secara acak dan independen dari populasi yang terdistribusi normal dan varians kedua populasi sama (σ12=σ22) Æ Pooled –variance t test
Bila σ1 dan σ2 tidak diketahui dan σ1 = σ2= σ
Uji Hipotesa: Ho : µ1=µ2 atau µ1-µ2 =0
t=
( X 1 − X 2 ) − ( µ1 − µ 2 )
dengan hipotesa alternatif H1 : µ1≠µ2 atau µ1-µ2 ≠ 0
( X 1 − X 2 ) − ( µ1 − µ 2 )
s
2 x 1− x 2
= S p2 =
⎛ 1 1 ⎞ ⎟⎟ Sp 2 ⎜⎜ + ⎝ n1 n 2 ⎠ (n1 − 1) ⋅ s12 + (n2 − 1) ⋅ s22 n1 + n2 − 2
Pada kebanyakan kasus: σ tidak diketahui dan hanya mengetahui nilai rata2 (X) dan varians sampel (s2)
Uji statistik t pada derajat kebebasan df = n1+n2-2
Uji statistik perbedaan antara 2 varians
Contoh soal Suatu studi dilakukan untuk membandingkan pengaruh penggunaan fungisida terhadap kadar merkuri dalam telur burung yang mengkonsumsi biji-bijian yang tercemar fungisida. Dilakukan pengambilan sampel secara random telur yang dihasilkan di Swedia dimana digunakan fungsida yang mengandung merkuri dan telur yang dihasilkan dari Jerman yang tidak menggunakan fungisida. Hasil yang diperoleh adalah sbb: Swedia Jerman n2= 40 n1= 18 x2= 0,0946 ppm x1= 0,0359 ppm s2= 0,0840 s1 = 0,0218 Tentukan hasil uji statistik, apakah kedua sampel mempunyai nilai rata-rata yang berbeda atau tidak ?
PENGUJIAN DUA SAMPEL bila σ1 ≠ σ2 z
Persamaan rasio kritis (RK):
⎛ x − x 2 RK = ⎜ 1 ⎜ σ x −x 1 2 ⎝
σ
x1 − x 2
=
σ
2 1
n1
Ho: σ12 = σ22 H1: σ12 ≠ σ22 F=
Tolak bila Fhitung > Fu atau Fhitung < FL df: numerator n1 – 1 dan denumerator n2-1 FL = 1/Fu
PENGUJIAN DUA SAMPEL bila σ1 ≠ σ2 = σ z
⎞ ⎟ ⎟ ⎠ +
σ
2 2
n2
s12 s22
Bila σ tidak diketahui dan n < 30 Æ σ diganti dengan s dan gunakan distribusi-t
PENGUJIAN DUA SAMPEL YANG TIDAK BEBAS z
z
z
Yang diperbandingkan Æ seluruh data yang ada. Prosedur ini didekati dengan statistika nonparametrik dan tidak terikat pada pola distribusi samplingnya. Cara non-parametrik Æ mencari perbedaan setiap pasangan sampel.
PENGUJIAN DUA SAMPEL YANG TIDAK BEBAS z
Persamaan yang digunakan: Z =
z
z
z
z
ANAVA Æ pendekatan yang memungkinkan digunakannya sampel untuk menguji apakah nilai dari dua atau lebih rerata populasi yang tidak diketahui adalah sama. Pengujian signifikansi perbedaan Æ dengan menentukan variabel bebas dan variabel tak bebas. Variabel bebas Æ tidak terikat pada perlakuan ataupun kondisi yang terjadi. Variabel tak bebas Æ dipengaruhi oleh perlakuan yang diberikan atau kondisi yang terjadi.
µ
d
d
n D =
sD =
RK
ANALISIS VARIANSI (ANAVA) Klasifikasi Satu Arah
D − µ
∑ D n
i
∑ (D i − D )2 (n − 1 ) = t =
(D
− µ sD n
D
)
ANALISIS VARIANSI (ANAVA) Klasifikasi Satu Arah z
z
Eksperimen yang hanya menggunakan satu variabel bebas Æ klasifikasi-satu-arah (oneway classification) Æ hanya satu faktor klasifikasi yang digunakan Æ completely randomized design. Hipotesis: - hipotesis-nol: H0 : µ1 = µ2 = µ3 =…..= µk - hipotesis-alternatif: H1 : seluruh populasi tidak mempunyai rerata yang sama
ANALISIS VARIANSI (ANAVA) Klasifikasi Satu Arah
ANALISIS VARIANSI (ANAVA) Klasifikasi Satu Arah
z
Asumsi yang digunakan: - Sampel harus dipilih secara acak, dan setiap sampel adalah bebas satu dengan lain. - Populasi yang dianalisis berdistribusi normal. - Seluruh populasi dari sampel tersebut mempunyai varian yang sama Æ variansi yang homogen.
z
ANALISIS VARIANSI (ANAVA) Klasifikasi Satu Arah
ANALISIS VARIANSI (ANAVA) Klasifikasi Satu Arah
z
Bila hipotesis-nol ditolak:
z
Bila hipotesis-nol diterima:
Skema umum klasifikasi-satu-arah: Sampel
Rerata
1
x11
x12
…
x1j
…
x1n
2
x21
x22
…
x2j
…
x2n
x2
…
…
…
…
…
…
…
…
x1
i
xi1
xi2
…
xij
…
xin
xi
…
…
…
…
…
…
…
…
k
xk1
xk2
…
xkj
…
xkn
xk X
ANALISIS VARIANSI (ANAVA) Klasifikasi Satu Arah z
Bila µi adalah rerata dari populasi ke-i dan σ2 adalah varian dari k populasi, maka :
ANALISIS VARIANSI (ANAVA) Klasifikasi Satu Arah z
x ij = µ i + ε ij
s1
atau x ij = µ + α i + ε ij
sx
Varian dalam sebuah populasi (within):
z
2 w
=
∑ ∑ (x
− xi )
n ∑ (xi − x )
2
σ b2 = dengan df = (k – 1)
(k − 1)
n −1
2
∑ (x − x ) = i
k −1
z
Rasio kritis F = σb2/ σw2 dibandingkan terhadap nilai sesuai dengan distribusi-F dengan df sebesar (k-1) dan k(n-1).
z
Hipotesis-nol ditolak jika: σb2 > σw2 atau Fperhitungan > Ftabel
k (n − 1 )
dengan df = k (n – 1) Varian antar populasi (between)
− xi )
2
ij
ANALISIS VARIANSI (ANAVA) Klasifikasi Satu Arah
2
ij
∑ (x =
2
ANALISIS VARIANSI (ANAVA) Klasifikasi Satu Arah σ
2
sedang varian antar kelompok sampel:
untuk i = 1,2,…, k dan j = 1,2,…,n
z
Asumsi awal σ2 adalah sama, maka varian diestimasi dengan satu varian:
ANALISIS VARIANSI (ANAVA) Klasifikasi Satu Arah z
Persamaan yang digunakan :
∑
x ij
⎡ SS (Tr ) = ⎢ ⎣⎢ C = SST
− 1 )] ⎤ k (n − 1 )⎥⎦
⎡ SSE ⎢⎣
=
SST
z
[SS (Tr )(k
=
RK
T 2 kn = SS
2
(∑
− C Ti n
(Tr ) +
2
)⎤⎥ ⎦⎥
Bila jumlah sampel tidak sama:
⎡ ⎛ T 2 ⎞⎤ SS (Tr ) = ⎢∑ ⎜⎜ i ⎟ −C ni ⎟⎠⎥ ⎣ ⎝ ⎦ C =T
− C
2
∑n
SSE
ANALISIS VARIANSI (ANAVA) Klasifikasi Satu Arah z
ANALISIS VARIANSI (ANAVA) Klasifikasi Satu Arah
Rekapitulasi analisis variansi Sumber variasi
Derajat kebebasan
Jumlah kuadrat
Rerata kuadrat
RK
Perlakuan
k-1
SS(Tr)
MS(Tr) = SS(Tr)/(k-1)
MS(Tr)/MSE
Galat
k(n-1)
SSE
MSE = SSE/(k(n-1))
Jumlah
nk-1
SST
PENGUJIAN HOMOGENITAS DUA VARIANSI z
Hipotesis:H0 : σ12 = σ22 H1 : σ12 = σ22
z
Rasio kritis untuk uji σ1= σ2
PENGUJIAN HOMOGENITAS LEBIH DARI DUA VARIANSI (UJI BARLETT) z
Bila k buah sampel dengan ukuran n1,n2,…, nk diambil dari polpulasi berdistribusi normal dan mempunyai ukuran varian yang sama:
[ (∑ (n − 1)(log s ))]
RK = ln 10 B −
(
B = log s
2
z
Persamaan yang digunakan:
)∑ (n − 1)
i
X
i
∑ (n − 1)(s ) = ∑ (n − 1) i
(m
fe =
i
i
Æ distribusi-X2 Æ derajat kebebasan df1=k-1 Æ tingkat signifikansi = α
df
=
2
=
fe : teoritis fo : observasi m : jumlah baris ke-i n : jumlah kolom ke-j
io
. n oj
) n
2
i
2
s
2
PENGUJIAN HOMOGENITAS UJI INDEPENDENSI DUA FAKTOR
b
k
∑ ∑ (b
(fo
− fe fe
− 1 )(k − 1 )
)2
