28/08/2012
•1 •LT Sarvia/2012
Outline
PENGUJIAN HIPOTESIS (1) I.Kesalahan Tipe I dan Tipe II Definisi Uji Hipotesis
•LT Sarvia/2012
Elty Sarvia, ST., MT. Fakultas Teknik Jurusan Teknik Industri Universitas Kristen Maranatha Bandung
Definisi H0 dan H1
Tipe kesalahan dalam pengujian hipotesis
Dasar untuk merumuskan hipotesis
•LT Sarvia/2012
•LT Sarvia/2012
HIPOTESIS
Contoh beberapa Asumsi yang digunakan Pemerintah dalam Penyusunan RAPBN :
• Pertumbuhan ekonomi 4,5 % pertahun • Harga minyak mentah di pasaran dunia sebesar $24.000/barel • Tingkat inflasi mencapai 8 % pertahun • Nilai tukar rupiah adalah Rp.9500 perdollar US • Penerimaan negara dari sektor pajak sebesar 170 triliun rupiah.
Merupakan perumusan sementara mengenai sesuatu hal yg dibuat untuk menjelaskan hal itu dan untuk mengarahkan penelitian selanjutnya. Atau merupakan suatu asumsi atau anggapan yang bisa benar atau bisa salah mengenai sesuatu hal tersebut sehingga memerlukan pengecekan lebih lanjut. Asumsi atau anggapan itu seringkali dipakai sebagai dasar dalam memutuskan atau menetapkan sesuatu dalam rangka menyusun perencanaan atau kepentingan lainnya baik dalam bidang ekonomi, bisnis, pendidikan , bahkan politik (Boediono & Koster,2001)
xp ˆ
•LT Sarvia/2012
HIPOTESIS STATISTIK PENGUJIAN HIPOTESIS
•LT Sarvia/2012
Tabel perbandingan Parameter dan Statistik :
Hipotesis Statistik : adalah suatu asumsi atau anggapan atau pernyataan yang mungkin benar atau mungkin salah mengenai parameter satu populasi atau lebih. Untuk sampai pada keputusan menerima atau menolaknya, maka diperlukan data dari sampel. (Boediono & Koster, 2001) Pengujian Hipotesis : prosedur perumusan kaidah yang membawa kita pada penerimaan atau penolakan hipotesis ttg paramater populasi atau distribusi populasi.
Karakteristik
Rata-rata
Variansi
Proporsi
Populasi
parameter
m
s2
p atau p
Sampel
statistik
x
S2
pˆ
Tujuan : untuk menarik kesimpulan mengenai hipotesa distribusi populasi atau parameter populasi (dpt diterima atau ditolak), berdasarkan nilai statistik sampel yg diperoleh; dimana dlm pengujian ini dimulai dgn membuat asumsi ttg karakteristik populasi yg hendak diuji.
LT Sarvia/2010
1
28/08/2012
•LT Sarvia/2012
2 jenis hipotesa yg selalu digunakan dalam pengujian : a.
Hipotesis Nol ( Ho ) : yaitu hipotesis yg dirumuskan dgn
b.
Hipotesis Alternatif / Tandingan H1 atau Ha
harapan akan ditolak dan digunakan pada sembarang hipotesis yg ingin diuji. Hipotesis Nol umumnya berupa pernyataan / pendapatan atau suatu claim yang dibuat seseorg.
Yaitu hipotesis tandingan dari hipotesis nol (Ho). Hipotesis Alternatif perkiraan / kecurigaan (suspicion) dari seseorang terhadap suatu bentuk pernyataan / pendapatan atau suatu claim yang ingin diuji kebenarannya. Namun variasinya mungkin saja terjadi, tergantung pada apa yang ingin diuji ! Penolakan Ho akan menjurus pada penerimaan H1, dan sebaliknya.
•LT Sarvia/2012
•LT Sarvia/2012
Tolak dan Terima Ho • Untuk suatu hipotesis yang telah dibuat, hanya dua kemungkinan yang akan kita putuskan , yaitu kita akan menolak hipotesis atau kita akan menerima hipotesis, setelah kita menghitung statistik dari sampel. • Menolak hipotesis artinya kita menyimpulkan bahwa hipotesis tidak benar. • Sedangkan menerima hipotesis artinya tidak cukup informasi dari sampel untuk menyimpulkan bahwa hipotesis harus kita tolak. Artinya walaupun hipotesis itu kita terima, tidak berarti bahwa hipotesis itu benar. • Oleh karena itu, dalam membuat rumusan pengujian hipotesis, hendaknya kita selalu membuat pernyataan hipotesis yang diharapkan akan diputuskan untuk ditolak.
•LT Sarvia/2012
Beberapa dasar yang dipakai untuk merumuskan hipotesis antara lain : 1. Berdasarkan pengetahuan yang diperoleh dari teori. 2. Berdasarkan hasil penelitian. 3. Berdasarkan pengalaman. 4. Berdasarkan ketajaman berpikir . Orang yang mempunyai kecerdasan tinggi sering mempunyai pendapat mengenai sesuatu hal dalam rangka memecahkan suatu persoalan atau dalam konteks yang lain.
Tipe kesalahan (Type of Error) dalam pengujian hipotesis statistik : •LT Sarvia/2012
GALAT JENIS I / ERROR TIPE I (a): kesalahan akibat menolak Ho yg seharusnya diterima GALAT JENIS II / ERROR TIPE II (b) : kesalahan akibat menerima Ho yg seharusnya ditolak
LT Sarvia/2010
•LT Sarvia/2012
Kesalahan Jenis I dan Jenis II • Probabilitas melakukan kesalahan jenis I disebut taraf nyata atau taraf signifikansi yang ditulis a, yaitu a= P(Kesalahan jenis I)= P(Menolak H0/Ho benar) • Probabilitas melakukan kesalahan jenis II disebut b, yaitu b = P(Kesalahan jenis II)= P(Menerima H0/Ho salah)
2
28/08/2012
•LT Sarvia/2012
Keputusan
•LT Sarvia/2012
Keadaan yang Sesungguhnya Hipotesis Nol (Ho) Benar
Hipotesis Nol (Ho) Salah
Menolak Ho
Keputusan Salah (Error I) a= P(Kesalahan jenis I)
Keputusan Tepat = 1 - b
Menerima Ho
Keputusan Tepat = 1 – a
Keputusan Salah (Error II) b = P(Kesalahan jenis II)
Jika H1
< H1
H0
a H0
Jika H1 >
b
H1 m = 25 b
a
m = 35
a adalah wilayah Ho yang ada di H1 b adalah wilayah H1 yang ada di Ho
m = 25
m = 35
•LT Sarvia/2012
•LT Sarvia/2012
Jika H1 ≠ H1
H1
H0 b
a/2
b a/2
• Kita mengharapkan nilai a ini sekecil mungkin, dengan kata lain kejadian melakukan kesalahan jenis I sangat jarang terjadi. Sebab tidaklah pantas sesuatu yang sesungguhnya benar kita tolak. Namun memperkecil atau membuat a dan b sekecil mungkin secara sekaligus tidak mungkin • Karena ternyata ada hubungan antara a dengan b yaitu bahwa memperkecil nilai a akan mengakibatkan membesarnya nilai b dan sebaliknya. • Usaha untuk memperkecil nilai a dan b dapat dilakukan dengan memperbesar banyaknya sampel. Makin besar sampel, maka a dan b akan semakin kecil.
•LT Sarvia/2012
•LT Sarvia/2012
Teorema :
a dan b dapat diperbesar atau diperkecil dengan cara mengubah batas penerimaan ( c ) dalam kondisi jumlah sampel ( n ) tetap. Sifat Kurva OC Semakin jauh posisi H1 dari H0 , maka b akan semakin kecil. H1’
H0
b
H1”
Teorema : Jika diinginkan a dan b diperkecil bersama-sama, dgn cara memperbesar ukuran sampel ( n ). H0”
H1”
H0’
H1’
b
a
m = 25 m = 25
LT Sarvia/2010
m = 35
a
m = 35
m = 40
3
28/08/2012
•LT Sarvia/2012
Contoh Soal :
Kita menguji hipotesis nol bahwa vaksin baru itu sama saja efektifnya dengan yang lama sesudah jangka waktu dua tahun, lawan hipotesis tandingannya bahwa vaksin yang baru lebih unggul.
Sejenis vaksin flu diketahui hanya efektif 25%setelah jangka waktu 2 tahun. Untuk menentukan apakah vaksin yang baru lebih unggul dalam memberikan perlindungan terhadap virus yang sama untuk jangka waktu yang lebih lama, dipilih 2o orang secara acak dan diberi suntikan vaksin baru tersebut. Bila dalam waktu lebih dari dua tahun 8 orang atau lebih yang mendapat vaksin tersebut tidak terserang virus tersebut maka vaksin baru itu akan dianggap lebih unggul daripada yang selama ini digunakan
• Struktur Hipotesis : H0 : p = 1/4 H1 : p > ¼
Terima Ho 0
1
1
2
3
4
5
7
8
9
10
11
12
13
14
4
5
Tolak Ho 6
7
8
9
10
11
12
15
16
Terima Ho 17
18
19
20
Cara pengambilan keputusan seperti diatas mungkin saja membawa kita pada 2 kesimpulan yang keliru. Misalkan Vaksin yang baru mungkin saja tidak lebih baik dari yang lama, karena untuk kelompok orang yang dipilih secara acak ini mungkin saja 8 atau lebih daripadanya yang tidak terserang virus dalam jangka waktu melebihi dua tahun. Kita akan melakukan kekeliruan dengan menolak Ho, dan mempercayai H1, padahal sesungguhnya H0 yang benar (Error Tipe I) a. Error Tipe I : a = ..... ( p = 0,25 ) Terima H0 x≤ 8 n = 20 np = 20 * 0,25 = 5 Binomial a (Error Tipe I) =P ( tolak H0 yang benar ) = B (x>8, n=20,p=1/4) a = 1 – B (x ≤ 8 ; n = 20 ; p = 0,25 ) a = 1 – 0,9591 a = 0,0409
0
1
2
3
4
5
Error Tipe II : b = ..... ( p = 0,7 ) Terima H0 x≤ 8 β(Error Tipe II) = P( terima Ho yang salah) b = B (x≤8, n=20,p=0,7) b = B (x ≤ 8 ; n = 20 ; p = 0,7 ) b = 0,0051 Dengan peluang melakukan error tipe II yang begitu kecil, kecil sekali kemungkinannya vaksin baru tersebut akan ditolak bila 70 % efektif sesudah jangka waktu dua tahun. Bila hipotesis tandingan p menuju 1, maka nilai β menuju ke nol.
14
15
16
17
18
19
20
Tolak Ho 6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Kekeliruan jenis ke-2 yang mungkin bila 8 atau kurang dari kelompok tersebut yang kebal (berhasil) melewati 2 tahun dan disimpulkan bahwa vaksin baru tidak lebih baik, padahal sesungguhnya lebih baik. Dalam hal ini Ho diterima padahal salah (Error Tipe II). Peluang melakukan error tipe II tidak mungkin dihitung kecuali b. Error Tipe II : b = ..... ( p = 0,5 ) Terima H0 x≤ 8 n = 20 np = 20 * 0,5 = 10 Binomial β(Error Tipe II) =P ( terima H0 yang salah) = B (x≤8, n=20,p=0,5) b = B (x ≤ 8 ; n = 20 ; p = 0, 5 ) b = 0,2517
Peluang ini ternyata agak besar, suatu tanda prosedur pengujian yang agak jelek, kemungkinannya menolak vaksin baru tersebut cukup besar, padahal sesungguhnya lebih unggul dari selama ini dipakai.
•LT Sarvia/2012
c) Jika Direktur Laboratorium yang menguji vaksin tersebut bersedia menerima galat jenis II bila vaksin baru lebih mahal itu keunggulannya tidak cukup berarti . Dia baru akan menjaga terhadap error tipe II bila p yang sesungguhnya paling sedikit 0,7, hitunglah peluang error tipe II.
LT Sarvia/2010
13
•LT Sarvia/2012
Jawab :
Tolak Ho 6
3
Nilai kritis=8, Bila x>8 Tolak Ho (Terima H1), Bila x≤ 8 Terima Ho
•LT Sarvia/2012
Terima Ho 0
2
Semua nilai yang mungkin diatas 8 membentuk daerah kritis dan semua nilai yang mungkin dibawah atau sama dengan 8 membentuk daerah penerimaan. Bilangan pengamatan yang memisahkan kedua daerah tersebut disebut nilai kritis.
a) Hitunglah error tipe I, bila diasumsikan p = 1/4 b) Hitunglah error tipe II, bagi hipotesis alternatif p = 0,5
Jawab :
•LT Sarvia/2012
Jawab :
•LT Sarvia/2012
d). Apakah yang terjadi pada nilai α dan β apabila nilai kritis diganti menjadi 7 sehingga semua nilai 7 atau lebih termasuk dalam daerah kritis dan yang lebih kecil atau sama dengan 7 masuk daerah penerimaan. Dalam menguji p=1/4 dan hipotesis tandingannya p=1/2. Terima Ho 0
1
2
3
4
5
Tolak Ho 6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Error Tipe I : a = ..... ( p = 0,25 ) Terima H0 x≤ 7 n = 20 np = 20 * 0,25 = 5 Binomial a (Error Tipe I) =P ( tolak H0 yang benar ) = B (x>7, n=20,p=1/4) a = 1 – B (x ≤ 7 ; n = 20 ; p = 0,25 ) a = 1 – 0,8982 a = 0,1018
4
28/08/2012
•LT Sarvia/2012
•LT Sarvia/2012
Error Tipe II : b = ..... ( p = 0,5 ) Terima H0 x≤ 7 β(Error Tipe II) =P ( terima H0 yang salah) = B (x≤7, n=20,p=1/2) b = B (x ≤ 7 ; n = 20 ; p = 0,5 ) b = 0,1316 Dari hasil yang diperoleh, dapat dilihat bahwa peluang peluang melakukan error tipe 2 diperkecil tapi akibatnya menaikkan error tipe I. Untuk ukuran sampel yang tetap, memperkecil peluang suatu error biasanya akan menaikkan peluang error lainnya. Untungnya, peluang melakukan kedua jenis error dapat diperkecil dengan memperbesar ukuran sampel.
e). Pandanglah masalah yang sama dengan menggunakan sampel acak 100 orang. Bila 36 atau lebih daripadanya yang melewati jangka waktu dua tahun tanpa terserang virus maka hipotesis nol bahwa p=1/4 ditolak dan menerima hipotesis tandingan p>1/4 Terima Ho 0 1
2
Tolak Ho 36
100
37
Error Tipe I : a = ..... ( p = 0,25 ) Terima H0 x≤ 36 n = 100 np = 100 * 0,25 = 25 ≥ 5 Pendekatan Normal terhadap Binomial (Diskrit Kontinu) s npq 100)0,25)0,75) 4,33 z
xm
s
36,5 25 2,66 4,33
a (Error Tipe I) =P ( tolak H0 yang benar ) = P (x>36, p=1/4) a = P (z >2,66 ) a = 1 – P (z <2,66 ) a = 1 – 0,9961 a = 0,0039
•LT Sarvia/2012
H0
•LT Sarvia/2012
f). Bila Ho salah dan nilai sesungguhnya H1 adalah p=1/2, maka berapa peluang error tipe II?
H1
Terima Ho 0
s =4,33
b
36,5
2
Tolak Ho 36
100
37
Error Tipe I : b = ..... ( p = 0,5 ) Terima H0 x≤ 36 n = 100 np = 100 * 0,5 = 50≥ 5 Pendekatan Normal terhadap Binomial s npq 100)0,5)0,5) 5 x m 36,5 50 z 2,7 s 5
a
m = 25
1
m = 25
b(Error Tipe II) =P ( terima Ho yang Salah ) = P (x<=36, p=1/2) b = P (z <=-2,7 ) b = 0,0035 Sangat jelas bahwa error tipe I dan II jarang sekali terjadi bila percobaan tersebut menggunakan 100 orang
•LT Sarvia/2012 ‘n = 20, x<=8 Terima Ho
•LT Sarvia/2012
P=0,25 a
H0
H1 s =4,33
b s =5
P=0,5
P=0,7
0,2517
0,0051
0,0409
Nilai b selalu dapat diperkecil dengan memperbesar ukuran daerah kritis ‘n = 20, x<=7 Terima Ho
b
a
P=0,25 a b
m = 25
36,5
m = 50
P=0,5
0,1018 0,1316
Sangat jelas bahwa error tipe I dan II jarang sekali terjadi bila percobaan tersebut menggunakan 100 orang ‘n = 100, x<=36 Terima Ho P=0,25 a b
LT Sarvia/2010
P=0,5
0,0039 0,0035
5
28/08/2012
•LT Sarvia/2012
•LT Sarvia/2012
Pengujian hipotesis memiliki sifatsifat sbb : Ada hubungan antara kesalahan tipe I dan kesalahan tipe II. Memperkecil probabilitas melakukan kesalahan tipe I akan memperbesar probabilitas melakukan kesalahan jenis II. Probabilitas melakukan kesalahan jenis I dapat diperkecil dengan menyesuaikan nilai kritis.
Thank You………
Makin besar ukuran sampel, maka nilai a dan b akan makin kecil. Bila hipotesis nol salah maka nilai b akan mencapai maksimum, bilamana nilai parameter yang sesungguhnya dekat dengan nilai yang dihipotesiskan. Makin besar jarak antara nilai sesungguhnya dengan nilai yang dihipotesiskan , makin kecil nilai b.
•33 •LT Sarvia/2012
Outline 2
PENGUJIAN HIPOTESIS (2) Jenis pengujian hipotesis
•LT Sarvia/2012
Ruang lingkup uji hipotesis
Prosedur pengujian hipotesis
Elty Sarvia, ST., MT. Fakultas Teknik Jurusan Teknik Industri Universitas Kristen Maranatha Bandung
II. Uji Satu Arah dan Dua Arah
•LT Sarvia/2012
Hipotesis
Uji Hipotesis variansi
•LT Sarvia/2012
Struktur Hipotesis Hipotesis
: Parameter Populasi Variansi
Proporsi
Awal (Ho)
m = m0
s2 = s02
p= p0
Alternatif (H1)
m < m0
s2 < s02
p< p0
: Parameter Populasi
Wilayah Kritis
Rata-rata
Variansi
Proporsi
Awal (Ho)
m = m0
s2 = s02
p= p0
Alternatif (H1)
m ≠ m0
s2 ≠ s02
p≠ p0
Wilayah Kritis
Rata-rata
a/2
a/2
a
m > m0
LT Sarvia/2010
Uji Hipotesis proporsi
2. Uji 2 Arah ( Two Sided Test ) :
Jenis Uji Hipotesis : 1. Uji 1 Arah ( One Sided Test ) : Struktur Hipotesis
Uji Hipotesis nilai tengah
s2 > s02
p> p0
a
6
28/08/2012
•LT Sarvia/2012
•LT Sarvia/2012
PROSEDUR PENGUJIAN HIPOTESIS
Hipotesis Nol ( Ho ) : yaitu hipotesis yg dirumuskan dgn harapan akan ditolak dan digunakan pada sembarang hipotesis yg ingin diuji. Hipotesis Nol umumnya berupa pernyataan / pendapatan atau suatu claim yang dibuat seseorg.
•Langkah 1. Merumuskan Hipotesa •(Hipotesa nol (H0) dan Hipotesa Alternatif (H1))
Hipotesis Alternatif / Tandingan H1 atau Ha
•Langkah 2. Menentukan Taraf Nyata •(Probabilitas menolak hipotesa)
Yaitu hipotesis tandingan dari hipotesis nol (Ho). Hipotesis Alternatif perkiraan / kecurigaan (suspicion) dari seseorang terhadap suatu bentuk pernyataan / pendapatan atau suatu claim yang ingin diuji kebenarannya.
•Langkah 3. Menentukan Uji statistik •(Alat uji statistik, uji Z, t, F, 2 dan lain-lain) •Langkah 4. Menentukan Daerah Keputusan •(Daerah di mana hipotesa nol diterima atau ditolak))
Taraf nyata yaitu Probabilitas menolak hipotesa nol apabila hipotesa nol tersebut adalah benar
•Langkah 5. Mengambil Keputusan
•Menolak H0 Menerima H1
•Menerima H0
Ruang Lingkup Uji Hipotesis :
•LT Sarvia/2012
•LT Sarvia/2012
Uji Hipotesis
Uji statistik Parameter
Suatu nilai yang diperoleh dari sampel dan digunakan untuk memutuskan apakah akan menerima atau menolak hipotesa .
Rata-rata m Pengujian satu arah Adalah daerah penolakan Ho hanya satu yaitu terletak di ekor sebelah kanan saja atau ekor sebelah kiri saja.
1 buah Parameter
Karena hanya satu daerah penolakan berarti luas daerah penolakan tersebut sebesar taraf nyata yaitu a, dan untuk nilai kritisnya biasa ditulis dengan Za.
Jika
Statistik Uji
s diketahui
Uji Z
-
s tidak diketahui
Uji Z
n≥30
Uji t
n<30
Variansi s2
Ket
Uji χ2 Binomial
n kecil
n<30
Uji Z
n besar
n≥30; np>5;nq>5
Proporsi p
Sedangkan pengujian dua arah Adalah daerah penolakan Ho ada dua daerah yaitu terletak di ekor sebelah kanan dan kiri. Karena mempunyai dua daerah, maka masing-masing daerah mempunyai luas ½ dari taraf nyata yang dilambangkan dengan ½a, dan nilai kritisnya biasa dilambangkan dengan Z ½a.
Ruang Lingkup Uji Hipotesis (2): •LT Sarvia/2012
•LT Sarvia/2012
III. PENGUJIAN PARAMETER RATA-RATA (m) 1 POPULASI UNTUK SAMPEL BESAR
Uji Hipotesis Parameter
2 buah Parameter
Rata-rata m
Jika
Statistik Uji
Ket
s diketahui
Uji Z
-
s tidak diketahui Berpasangan
Variansi s2 Proporsi p Jenis Uji Lainnya
LT Sarvia/2010
Uji Z s1=s2
Uji t
s1≠s2 n<30 ; s tdk dik
Uji t Uji F
Z
Uji Z
Uji GOF/kebaikan Suai Uji Kebebasan Uji Kesamaan Beberapa Proporsi
1. Struktur Hipotesis : H0 : m = m0 H1 : m > m0 m < m0 m ≠ m0 2. Taraf nyata : a Za ( 1 arah) a/2 Za/2 ( 2 arah) 3. Statistik Uji : Uji Z 1 populasi
sx sx
sx
n
a
a/2
a/2
sx
Bilamana populasi tak terbatas
n
sx
a
X m
dimana
Uji χ2
4. Wilayah Kritis:
5. Keputusan dan Kesimpulan Tolak/Terima Ho
N n N 1 Bilamana populasi terbatas
7
28/08/2012
•LT Sarvia/2012
•LT Sarvia/2012
IV. PENGUJIAN PARAMETER RATA-RATA (m) 2 POPULASI UNTUK SAMPEL BESAR 1. Struktur Hipotesis : H0 : m1 = m2 H1 : m1 > m2 m1 < m2 m1 ≠ m2 2. Taraf nyata : a Za ( 1 arah) a/2 Za/2 ( 2 arah) 3. Statistik Uji : Uji Z 2 populasi
X
Z
1
s x x
dimana
sx
1 x2
1
n1
2
s 22 n2
sx
1 x2
n1
a/2
a/2
s 22 n2
.
t 5. Keputusan dan Kesimpulan Tolak/Terima Ho
Z
N1 N 2 ) n1 n2 )
X
1
sx
S1
N1 N 2 1
X 2 m1 - m 2 2
n1
S2
sx
2
sx
4. Wilayah Kritis: a
a
a/2
a/2
X m
sx
dimana
Jika s tidak diketahui dan n>=30, populasi terbatas lihat slide pertemuan 1
Bilamana 2 populasi terbatas
s 12
a
)
V. PENGUJIAN PARAMETER RATA-RATA (m) 1 POPULASI UNTUK SAMPEL KECIL 1. Struktur Hipotesis : H0 : m = m0 H1 : m > m0 m < m0 m ≠ m0 2. Taraf nyata : a ta ( 1 arah) a/2 ta/2 ( 2 arah) 3. Statistik Uji : Uji t 1 populasi
a
X 2 m1 m 2 )
Bilamana 2 populasi tak terbatas
s 12
4. Wilayah Kritis:
Bilamana populasi tak terbatas
v=n-1 5. Keputusan dan Kesimpulan Tolak/Terima Ho
n
sx n
N n Bilamana populasi terbatas N 1
n2
•LT Sarvia/2012
VI. PENGUJIAN PARAMETER RATA-RATA (m) 2 POPULASI UNTUK SAMPEL KECIL 1. Struktur Hipotesis : H0 : m1 = m2 H1 : m1 > m2 m1 < m2 m1 ≠ m2 2. Taraf nyata : a ta ( 1 arah) a/2 ta/2 ( 2 arah) 3. Statistik Uji : Uji t 2 populasi
X t
1
s x x 1
sx
1 x2
n1
s
a
a/2
a/2
)
dimana
s
1.
a
X 2 m1 m 2 ) 2
Bilamana 2 populasi tak terbatas 2 1
4. Wilayah Kritis:
2 2
v=n1+n2-2 5. Keputusan dan Kesimpulan Tolak/Terima Ho
Suatu Populasi berupa seluruh pelat baja yang diproduksi oleh suatu perusahaan memiliki rata-rata panjang 80 cm dengan simpangan baku 7 cm. Sesudah berselang 3 tahun, teknisi perusahaan meragukan hipotesis mengenai rata-rata panjang pelat baja tersebut. Guna meyakinkan keabsahan hipotesis itu, diambil suatu sampel acak sebanyak 100 unit pelat baja dari populasi di atas, dan diperoleh hasil perhitungan bahwa rata-rata panjang pelat baja adalah 83 cm, dan standar deviasinya tetap. Apakah ada alasan untuk meragukan bahwa rata-rata panjang pelat baja yang dihasilkan perusahaan itu sama dengan 80 cm pada taraf signifikansi 5 %?
n2
Bilamana 2 populasi terbatas
sx
1 x2
s 12 n1
s 22 n2
.
N1 N 2 ) n1 n2 ) N1 N 2 1 •LT Sarvia/2012
1. Diketahui : m = 80 cm sx = 7 cm n = 100 x = 83 cm a 0,05
Wilayah Kritis : 4,29
-1,96
2.
1,96
Jawab :
• Struktur Hipotesis : H0 : m = 80 H1 : m ≠ 80 • Taraf nyata : a = 0,05 Za/2 = Zo,o25 1,96 • Statistik Uji : Uji Z
Z
X m
sx
• Keputusan : Tolak H0 • Kesimpulan : Pada taraf nyata 5 % ada perbedaan yang nyata atau signifikansi dari rata-rata x=83 cm yang dihitung dari sampel dengan nilau rata-rata m = 80 cm yang dihipotesiskan.
X m 83 80 4,29 s x / n 7 / 100
•LT Sarvia/2012
LT Sarvia/2010
•46
•47
Rata-rata waktu yang diperlukan oleh mahasiswa untuk mendaftar ulang pada awal semester yang lalu adalah sekitar 45 menit dengan simpangan baku 8 menit. Suatu pendaftaran baru dengan memakai komputer modern yang dilengkapi dengan suatu software sedang dicobakan yang diharapkan dapat mengurangi waktu pendaftaran bagi para mahasiswa dibandingkan dengan cara lama. Untuk itu diambil sampel acak sebanyak 10 mahasiswa yang telah mendaftar pada semester berikutnya dengan memakai cara pendaftaran baru tersebut. Ternyata, rata-rata waktu yang diperlukan untuk mendaftar adalah sekitar 35 menit dengan simpangan baku 9,5 menit. Apakah anda percaya dengan harapan tersebut, berdasarkan hasil pengujian hipotesis bilamana dipakai taraf signifikansi 1%? (asumsi populasi dianggap tak terbatas)
•LT Sarvia/2012
8
28/08/2012
Wilayah Kritis
2. Diketahui : m = 45 menit sx = 8 menit n = 10 x = 35 menit s = 9,5 menit
3.
– 3,3
– 2,821
Jawab : • Struktur Hipotesis :
• Keputusan : Tolak H0 • Kesimpulan :
: m = 45 : m < 45
H0 H1
Cara pendaftaran baru itu terbukti memerlukan waktu yang lebih singkat daripada cara lama, karena waktu yang diperlukan antar cara yang lama dengan cara yang lama perbedaannya signifikan pada taraf nyata 0,05.
• Taraf nyata : a = 0,01 ;
ta = -2,821
• Statistik Uji : Uji t
Sebuah mata kuliah Ekonomi Teknik diberikan pada 2 kelas mahasiswa yang berbeda. Kelas A yang terdiri atas 12 mahasiswa diajar dengan metode pengajaran biasa. Sedangkan kelas B yang terdiri atas 10 mahasiswa diajar dengan metode pengajaran baru. Pada akhir semester mahasiswa di kelas A dan B diberi materi ujian yang sama. Di kelas A, nilai rata-rata mahasiswa adalah 85 dengan simpangan baku 4, sedangkan di kelas B nilai rata-rata mahasiswa adalah 81 dengan simpangan baku 5. Yakinkah anda bahwa metode pengajaran yang biasa tetap lebih baik dari metode pengajaran yang baru dengan memakai taraf signifikansi 1 %? Diasumsikan bahwa dua populasi mendekati distribusi normal dengan variansi yang sama.
Untuk menghitung sx, karena sX dan s diketahui, kita pakai saja simpangan baku yang dihitung dari sampel yaitu :
t
X m s/ n
35 45
3,3
9,5 / 10 •LT Sarvia/2012
3. Diketahui : Sampel A : n1=12 Sampel B : n2=10
( 12 - 1 ) 42 ( 10 - 1 ) 52 4,478 12 10 - 2
Sp x1=85
S1=4
x2=81
S2=5
T
X
1
X 2 m1 - m 2
Sp
1
n1
1
n2
85 - 81 0 4,478 1 1 12 10
4. Untuk mengetahui apakah keanggotaan dalam organisasi
mahasiswa mempunyai akibat baik atau buruk pada nilai seseorang, nilai mutu rata-rata berikut ini telah dikumpulkan selama 5 tahun :
2,07
Wilayah Kritis :
•
Jawab :
Tahun
2,07
• Struktur Hipotesis : H0: m 1 - m 2 = 0 atau m 1 = m 2 H1: m 1 - m 2 > 0 atau m 1 > m 2 • Taraf nyata :
1
2
3
4
5
Anggota
2,0
2,0
2,3
2,1
2,4
Bukan Anggota
2,2
1,9
2,5
2,3
2,4
2,528
Keputusan : Terima Ho • Kesimpulan : •
v=n1 +n2 -2= 12+10-2=20 a = 0,01 ta/,v = t0,01,20 =2,528
Dgn mengasumsikan bhw populasinya normal, ujilah pada taraf nyata 0,025 apakah keanggotaan dalam organisasi mahasiswa berakibat buruk pada nilai yang dicapai seseorang ?
Hasil Belajar mahasiswa yang diajar dengan metode biasa dan metoda baru perbedaannya adalah tidak signifikansi, Dengan kata lain data dari sampel tidak mendukung pernyataan bahwa metode pengajaran biasa tetap tlebih baik daripada metode pengajaran baru. Jadi informasi yang diperoleh dari sampel membuktikan bahwa 2 metode mengajar itu ternyata sama saja
• Statistik Uji : Uji T
n1 - 1) S12 n 2 - 1) S2 2
Sp
•LT Sarvia/2012
n1 n 2 2
•LT Sarvia/2012
4. Jawab : • Struktur Hipotesis : H0 : m 1 - m 2 = 0 atau m 1 = m 2 H1 : m 1 - m 2 < 0 atau m 1 < m 2 • Taraf nyata : a = 0,025 ta,v = -2,776 v = 5-1 = 4
Sd
n di 2 -
di )
Bukan Anggota 2,2 1,9 2,5 2,3 2,4 TOTAL
d
di n
di -0,2 0,1 -0,2 -0,2 0,0 -0,5
- 0,5 - 0,1 5
2
n ( n -1)
5 0,13 - ( - 0,5 2 ) 0,14142 5 (5 1)
d - μD 0,1 0 1,581 Sd / n 0,14142 / 5
•
Wilayah Kritis : – 1,581
di 2 0,04 0,01 0,04 0,04 0,00 0,13
– 2,776
• Keputusan : Terima H0 • Kesimpulan : Keanggotaan organisasi bagi mahasiswa tidak memberikan pengaruh yang berarti pada nilai yang dicapainya pada taraf nyata 0,025 •LT Sarvia/2012
LT Sarvia/2010
t
• Statistik Uji : Uji T Berpasangan Anggota 2,0 2,0 2,3 2,1 2,4
•LT Sarvia/2012
1. Struktur Hipotesis : H0 : p= po H1 : p>po p<po p≠ po 2. Taraf nyata : a Za ( 1 arah) a/2 Za/2 ( 2 arah) 3. Statistik Uji : Uji Z 1 populasi
Z dimana
s pˆ s pˆ
4. Wilayah Kritis: a
a
a/2
pˆ - p 0
a/2
s pˆ
p0 1 p0 ) Bilamana populasi tak terbatas n
5. Keputusan dan Kesimpulan Tolak/Terima Ho
p0 1 p0 ) N n . n N 1 Bilamana populasi terbatas •LT Sarvia/2012
9
28/08/2012
1. Struktur Hipotesis : H0 : p1= p2 H1 : p1>p2 p1
Z
x x2 ˆ 1 ˆ p , qˆ 1 p n1 n2 Sesungguhnya
s pˆ pˆ 1
1
2
4. Wilayah Kritis:
a
(pˆ 1 - pˆ 2 ) ( p1 p2 )
s pˆ pˆ
5.
p1 1 p1 ) p2 1 p2 ) n1 n2
Diketahui : n = 170 x = 16
a
2
Bilamana populasi tak terbatas dimana
a/2
1 1 ˆ qˆ p n1 n2 Bilamana populasi terbatas
s pˆ pˆ 1
Perusahaan BLEZY MAGIC yang bergerak di bidang suku cadang komputer mikro akan memperkenalkan produk terbarunya di pasaran. Untuk itu bagian pengendalian kualitas mengambil sampel secara acak sebanyak 170 buah suku cadang dan ditemukan ada 16 yang cacat. Dari data tersebut apakah benar produksi yang ditemukan cacat kurang dari 10 %? Gunakan taraf signifikansi 2 %
a/2
pˆ
2
s pˆ pˆ 1
2
1 1 ˆ qˆ p . n1 n2
16 0,094 170
5. Keputusan dan Kesimpulan Tolak/Terima Ho
N1 N 2 ) n1 n2 ) N1 N 2 1
•LT Sarvia/2012
5. Jawab : • Struktur Hipotesis : H0 : p = 0,1 H1 : p < 0,1 • Taraf nyata :
•
Wilayah Kritis : -0,26
a = 0,02 Za = -2,054 • Statistik Uji :
Z
pˆ - p 0
s pˆ
-2,054
Uji Z
p0 1 p0 ) n
s pˆ
•LT Sarvia/2012
0,1(1 0,1) 0,023 170
0,094 0,1 0,26 0,023
• Keputusan : Terima H0 • Kesimpulan : Pada taraf signifikansi 2 % data yang diperoleh dari sampel tidak mendukung hipotesis alternatif (H1) bahwa produksi yang cacat kurang dari 10 %.
6. Suatu survei dilakukan di dua daerah yang berbatasan, yaitu daerah A dan daerah B untuk mengetahui pendapat masyarakat yang sesungguhnya, apakah suatu rencana pembangunan pabrik obat nyamuk di perbatasan dua daerah itu bisa diteruskan atau tidak. Untuk mengetahui apakah ada perbedaan proporsi penduduk yang menyetujui rencana pembangunan pabrik obat nyamuk antara penduduk di daerah A dan daerah B, suatu polling dilakukan. Dari 200 penduduk di daerah A ternyata terdapat 120 penduduk yang menyetujui rencana tersebut dan dari 500 penduduk di daerah B ternyata terdapat 250 penduduk yang menyetujui rencana tersebut. Apakah beralasan untuk menerima bahwa proporsi penduduk di daerah A lebih besar dari proporsi penduduk di daerah B? gunakan taraf nyata a = 1 %! Diketahui : pˆ 1 proporsi sesungguhnya pennduduk di daerah A yang setuju dengan rencana tersebut pˆ 2 proporsi sesungguhnya pennduduk di daerah B yang setuju dengan rencana tersebut Sampel A n1 = 200 ; x1 = 120 ; Sampel B n2= 500 ; x2= 250 ;
•LT Sarvia/2012
6. Jawab :
• Struktur Hipotesis :
H0 H1
•
Taraf nyata :
: p1 = p2 : p1 > p2
pˆ 1 pˆ 2 p1 - p 2
Z
0,6 0,5 2,5
s pˆ pˆ 1
a = 0,01 Za = 2,325 • Statistik Uji :
Z
•
•LT Sarvia/2012
2
0,04
Wilayah Kritis :
Uji Z
2,5
x 120 0,6 n 200 x 250 pˆ 2 0,5 n 500 x x2 120 250 pˆ 1 0,53 n1 n 2 200 500 qˆ 1 - 0,53 0,47 pˆ 1
s pˆ pˆ
1 1 ˆ qˆ p n1 n2
s pˆ pˆ
0,53)0,47 )
1
1
2
2
2,325
1
200
1 500
• Keputusan : Tolak H0 • Kesimpulan : Dapat diterima bahwa proporsi penduduk di daerah A yang menyetujui rencana pembangunan pabrik tersebut lebih besar daripada proporsi penduduk di daerah B yang menyetujuinya pada taraf nyata 0,01
1. Struktur Hipotesis : H0 : s 2 = s o2 H1 : s 2 > s o2 s 2 < s o2 s2 ≠ so 2 2. Taraf nyata : a Za ( 1 arah) v =n-1 3. Statistik Uji : Uji χ2
2
4. Wilayah Kritis: a
a
a/2
n 1)s 2
a/2
s o2
Lihat Tabel Chi Square
5. Keputusan dan Kesimpulan Tolak/Terima Ho
s pˆ pˆ 0,04 1
2
•LT Sarvia/2012
LT Sarvia/2010
•LT Sarvia/2012
10
28/08/2012
1. Struktur Hipotesis : H0 : s 1 2 = s 22 H1 : s 1 2 > s 22 s 1 2 < s 22 s 1 2 ≠ s 22 2. Taraf nyata : a Za ( 1 arah) a/2 Za/2 ( 2 arah) v1=n1-1 ; v2 = n2-1
4. Wilayah Kritis: (lihat Tabel F)
fa(v1, v2) f 1-a(v1, v2)
a
a
3. Statistik Uji : Uji F
f
a/2
S12 dim ana S12 S 22 S 22
a/2
7. Suatu perusahaan baterai mobil menyatakan bahwa umur baterainya
berdistribusi hampiran normal dengan simpangan baku 0,9 tahun. Bila sampel acak 10 baterai tersebut menghasilkan simpangan baku 1,2 tahun, apakah anda setuju bahwa s > 0,9 tahun? gunakan taraf nyata a = 5 %!
Diketahui : s = 0,9 n = 10 S = 1,2 Jawab : • Struktur Hipotesis : H0 : s2 = 0,81 H1 : s2 > 0,81 • Taraf nyata : a = 0,05 v = 10 – 1 = 9
χ2a = 16,919
5. Keputusan dan Kesimpulan Tolak/Terima Ho •LT Sarvia/2012
•LT Sarvia/2012
• Statistik Uji : Uji χ2 χ2
( n - 1 ) S2 ( 10 - 1 ) 1,2 2 16,0 σ2 0,9 2
8. Seorang Insinyur peternakan mempunyai anggapan bahwa variasi berat
badan ternak yang diberi sejenis makanan ternak dari dua merek/pabrik yang berbeda, katakan A dan B adalah sama (tidak berbeda), dengan alternatif tidak sama (berbeda). Untuk menguji pendapatnya itu, 50 ekor ternak dipilih secara acak sebagai sampel. 25 ekor diberi makanan A dan yang 25 ekor lainnya diberi makanan B. Setelah 3 bulan, berat badan ternak-ternak tersebut ditimbang, dan varians beratnya dihitung. Dengan makanan A, varians berat badan adalah 900 pon; sedangkan dengan makanan B, varians berat badan adalah 1400 pon. Dengan taraf nyata a = 5 %, Ujilah pendapat tersebut!
• Wilayah Kritis : 16,0
16,919
• Keputusan : Terima H0 • Kesimpulan : Tidak ada alasan untuk meragukan bahwa simpangan baku baterai mobil adalah lebih kecil atau sama dengn 0,9 tahun, pada taraf nyata 0,05
Diketahui : nA = nB= 25 S A 2 = 900 S B 2 = 1400 S B2 > SA2 Jawab : • Struktur Hipotesis : H0 : s 1 2 = s 22 H1 : s 1 2 ≠ s 22
•LT Sarvia/2012
•
•LT Sarvia/2012
Taraf nyata : a = 0,05 a/2 = 0,025
• Statistik Uji :
Uji F
F
INGAT : Pernyataan or data masa lalu Ho Ujilah bahwa ……. H1 Hanya salah satu yang akan diketahui
2
S1 1400 1,555 2 S2 900 2
•Wilayah Kritis :
a = 0,05 a/2 = 0,025 f0,025(24,24) = 2,269 vA = 25 – 1 = 24 1 vB = 25 – 1 = 24 f 0,975(24,24) f 0,025(24,24)
1 0,441 2,269
1. Rata-rata umur produk minimal 15 tahun, maka perumusan hipotesanya menjadi: H0 : m = 15 tahun (m>=15 tahun minimal 15 thn yg artinya lebih dari 15 tahun) H1 : m < 15 tahun
1,555
0,441
2,261
• Keputusan : Terima H0 • Kesimpulan : Tidak ada perbedaan variasi berat badan ternak akibat dari merek makanan yang berbeda pada taraf nyata 0,05
•LT Sarvia/2012
LT Sarvia/2010
2. Kesalahan yang dibuat adalah 5 %, maka perumusan hipotesanya menjadi: H0 : p = 5 % H1 : p 5 %
•LT Sarvia/2012
11
28/08/2012
INGAT : Pernyataan or data masa lalu Ho Ujilah bahwa ……. H1 Hanya salah satu yang akan diketahui
5. Seorang pejabat Direktorat Jenderal Pajak menduga bahwa persentase wajib pajak yang belum membayar pajak kurang dari 40 %. Untuk membuktikan dugaan tersebut, diambil sampel acak sebanyak 18 orang dan ternyata ada 6 orang yang belum membayar pajak. Dengan memakai taraf nyata 5 %, apakah dugaan tersebut benar?
3. Sebuah perusahaan rokok menyatakan bahwa kadar nikotin rata-rata rokok yang diproduksinya tidak melebihi 2,5 mg. maka perumusan hipotesanya menjadi: H0 : m = 2,5 mg H1 : m > 2,5 mg 4. Ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa rata-rata daya tahan merek lampu A lebih lama dari merek lampu B H0 : mA = mB H1 : mA > mB
6. Asosiasi Real Estate sedang menyiapkan brosur yang mereka rasa mungkin menarik bagi calon pembeli rumah di daerah A dan B di suatu kota. Satu hal yang menarik adalah lama waktu si pembeli tinggal dalam rumah yang bersangkutan. Sebuah sampel yang terdiri atas 40 rumah di daerah A memperlihatkan bahwa rata-rata kepemilikan adalah 7,6 tahun dengan simpangan baku 2,3 tahun. Sedangkan suatu sampel yang terdiri atas 55 rumah di daerah B memperlihatkan bahwa rata-rata lama waktu kepemilikan adalah 8,1 tahun dengan simpangan baku 2,9 tahun. Pada taraf signifikansi 5 %, apakah kita dapat menarik kesimpulan bahwa penduduk di daerah A memiliki rumah mereka dalam waktu lebih singkat dari penduduk di daerah B?
•LT Sarvia/2012
•LT Sarvia/2012
CONTOH UJI SIGNIFIKANSI MENGGUNAKAN TANDA LEBIH BESAR DAN LEBIH KECIL
1. Ujilah beda rata-rata populasi, misalkan hipotesanya adalah rata-rata hasil investasi lebih kecil dari 13,17%. Maka perumusan hipotesanya menjadi: H0 : m = 13,17 H1 : m > 13,17
Thank You………
Untuk tanda m pada H0 menunjukkan daerah penerimaan H0, sedang tanda > pada H1 menunjukkan daerah penolakan di sebelah ekor kanan. 2. Ujilah beda selisih dua rata-rata populasi, misalkan hipotesanya adalah selisih dua rata-rata populasi lebih besar sama dengan 0. H0 : m pa– m pl ³ 0 H1 : m pa– m pl < 0 Untuk tanda ³ pada H0 menunjukkan daerah penerimaan H0, sedang tanda < pada H1 menunjukkan daerah penolakan di sebelah ekor kiri seperti Gambar B.
•LT Sarvia/2012
•LT Sarvia/2012
Uji Goodness of Fit
Elty Sarvia, ST., MT. Fakultas Teknik Jurusan Teknik Industri Universitas Kristen Maranatha Bandung
•LT Sarvia/2012
LT Sarvia/2010
•71
Uji Kebebasan
Uji Kesamaan Beberapa Proporsi
•LT Sarvia/2012
12
28/08/2012
A.Uji Goodness Of Fit (GOF) / Uji Kebaikan Suai
• Struktur Hipotesis :
Ho: Distribusi frekuensi hasil observasi sesuai (fit) dengan distribusi … H1: Distribusi frekuensi hasil observasi tidak sesuai dengan distribusi …
Goodness of Fit berarti perbandingan antara observed frequencies dengan expected frequencies yang didasarkan pada mean dan standar deviasi dari distribusi pengamatan. Mekanisme pengujian statistik ini didasarkan pada seberapa baik kesesuaian antara frekuensi yang teramati dalam data sampel (frekuensi observasi) dengan frekuensi harapan / teoritis yg berdasarkan pada besaran yg dihipotesiskan. Tujuan dari Uji Goodness Of Fit :
• Stat. Uji :
k
oi - ei ) 2
i 1
ei
χ2
Dimana :
◦ Untuk menguji apakah suatu data mengikuti distribusi tertentu atau tidak, berdasarkan pada sampel yg diambil (distribusi Poisson, Binomial, Normal, dll). ◦ Untuk memeriksa apakah 2 faktor pengamatan berhubungan secara statistik.
oi : frekuensi observasi / pengamatan ei : frekuensi harapan / teoritis ei = P(x) * S oi k : jumlah kelas setelah penggabungan Penggabungan kelas dengan syarat : frekuensi harapan ( e i ) <
5 , dimana e i & o i dijumlahkan atau digabungkan dengan kelas e i dan o i sebelum atau sesudahnya.
•LT Sarvia/2012
•LT Sarvia/2012
Data modal kerja (dalam jutaan rupiah) yang disalurkan oleh Bank BNI kepada 40 perusahaan inti dalam rangka pembinaan pengusaha kecil disajikan dalam tabel berikut ini :
1.
• •
Derajat Kebebasan ( v ) v = k – r – 1 : Dimana : r = jumlah paramater populasi yg diestimasi dari sampel Wilayah Kritis :
Mod al
Frekuensi (oi)
112 - 120
4
121 - 129
χ 2 χ 2 (α , v) χ • •
2
(α , v)
a
5
130 - 138
8
139 - 147
12
148 - 156
5
157 - 165
Keputusan : Ho diterima apabila χ2 ≤ χ2 (α,v) Ho ditolak apabila χ2 > χ2 (α,v) Kesimpulan
4
166 - 174
2
Total
40
Untuk mengetahui apakah data modal yang disalurkan tersebut mempunyai distribusi normal yang sesuai dengan populasinya, Ujilah hipotesis dengan menggunakan taraf nyata 0,05. Diketahui m 140 ; s 14
Selain , Uji Kebaikan Suai dapat diuji dengan menggunakan KS – GOF ( Kolmogorov Smirnov – Goodness Of Fit ) untuk pengujian Non Parametrik
Struktur Hipotesis : H0 : data modal kerja yang disalurkan tersebut mengikuti distribusi normal H1 : data modal kerja yang disalurkan tersebut tidak mengikuti distribusi normal
•LT Sarvia/2012
•LT Sarvia/2012
Taraf nyata : a = 0,05 Statistik Uji : Uji Goodness Of Fit (GOF) / Uji Kebaikan Suai xm ei Pz 2 ) Pz1 ) x oi Normal z
s
Modal
Batas Kelas
Frekue nsi (oi)
Z1
Z2
P(Z1 )
P(Z2 )
P(Z2 ) -P(Z1 )
Ei
112 - 120
111,5 – 120,5
4
-2
-1,39
0,0228
0,0823
0,0595
2,38
121 - 129
120,5 – 129,5
5
-1,39
-0,75
0,0823
0,2266
0,1443
5,772
Ei - gab
8,152
Oi - gab
9
χ2 0,088
Kelas 112-120 memiliki batas kelas 111,5 – 120,5
Dik : m 140 ;
s 14
111,5 140 2 14 120,5 140 1,39 14 P(2 Z 1,39) P( z 2 ) P( z1 ) x1 111,5 z1
x2 120,5 z 2
130 - 138
129,5 – 138,5
8
-0,75
-0,11
0,2266
0,4562
0,2296
9,184
9,184
8
0,153
139 - 147
138,5 – 147,5
12
-0,11
0,54
0,4562
0,7054
0,2492
9,968
9,968
12
0,414
5
0,54
1,18
0,7054
0,8810
0,1756
7
157 - 165
156,5 – 165,5
4
1,18
1,82
0,8810
0,9656
0,0846
3,384
166 - 174
165,5 – 174,5
2
1,82
2,46
0,9656
0,9931
0,0275
1,1
•LT Sarvia/2012
LT Sarvia/2010
Frekuensi yang diharapkan
χ 2 0,675
ei n x P 40 x 0,0595 ei 2,38
11,484
11
0,02
Jad i :
χ 2 0,675
0,675
40
Wilayah Kritis : a = 0,05 v = k–r–1= 4-0-1=3 r=0 karena tidak ada parameter yang diestimasi dalam soal ini Maka
2 a ,v ) 2 0,05,3) 7,815
P(2 Z 1,39) 0,0823 0,0228 0,0595
147,5 – 156,5
148 - 156
7,815 Keputusan : Terima Ho Kesimpulan : Modal kerja yg disalurkan oleh Bank BNI kepada 40 perusahaan tersebut mengikuti distribusi normal pada taraf nyata 0,05
•LT Sarvia/2012
13
28/08/2012
Taraf nyata : a = 0,05 Statistik Uji : Uji Goodness Of Fit (GOF) / Uji Kebaikan Suai
Data-data berikut ini menunjukkan jumlah pasien dan jumlah hari dalam 12 bulan terakhir yang masuk ke suatu rumah sakit swasta yang disebabkan oleh kecelakaan lalu lintas.
2.
Jmlh Pasien
0
1
2
3
4
5
6
Jmlh hari kerja
33
44
10
5
5
2
1
λ
(f
i
xi )
n
( 33 0 ) ( 44 1 ) ( 10 2 ) ( 5 3 ) ( 5 4 ) ( 2 5 ) ( 1 6 ) ( 33 44 10 5 5 2 1 )
λ 1,15
Poisson P ( x , λ ) Px
Dengan menggunakan taraf nyata 0,05, ujilah apakah jumlah pasien akibat kecelakaan lalu lintas tsb mengikuti distribusi Poisson ? Struktur Hipotesis : H0 : jumlah pasien akibat kecelakaan lalu lintas tersebut mengikuti distribusi Poisson H1 : jumlah pasien akibat kecelakaan lalu lintas tersebut tidak mengikuti dist. Poisson
e -λ λ x x!
Oi
fi * xi
P (x ; l )
Ei
Ei - gab
Oi - gab
33 44 10 5 5 2 1
0 44 20 15 20 10 6
0,3166 0,3641 0,2094 0,0803 0,0231 0,0053 0,0010
31,664 36,413 20,938 8,026 2,307 0,531 0,102
31,664 36,413 20,938
33 44 10
0,0564 1,5807 5,7137
10,966
13
0,3773
100
115
7,7281
•LT Sarvia/2012
k
oi - ei ) 2
i 1
ei
χ2 χ2
•LT Sarvia/2012
( 33 31,664 ) 2 ( 44 36,413 ) 2 (10 20,938 ) 2 (13 10,966 ) 2 31,664 36,413 20,938 10,966
3. Idem soal 2, jika taraf nyata 10 %
χ 2 7,7281
Wilayah Kritis : a = 0,05 v =4–1–1 = 2
χ2a = 5,991
7,7281
5.991
Keputusan : Tolak Ho Kesimpulan : Jumlah pasien akibat kecelakaan lalu lintas tsb tidak mengikuti dist. Poisson, pada taraf nyata 0,05
•LT Sarvia/2012
χ2
x 0 1 2 3 4 5 6
•LT Sarvia/2012
Tujuan dari Uji Kebebasan : untuk menguji apakah dua peubah saling bebas (independence) atau tidak. Langkah – langkah Uji Kebebasan : Struktur Hipotesis : Ho: Kedua variabel tersebut saling bebas (Tidak ada hubungan antara … dgn … ) H1: Kedua variabel tersebut tidak saling bebas (Ada hubungan antara … dgn … )
Stat. Uji :
4.
Misalkan ingin diteliti apakah pendapat penduduk pemilih di negara bagian Illinois mengenai perubahan pajak baru tidak ada hubungannya dengan tingkat penghasilannya. Suatu sampel acak 1000 pemilih yang tercatat di illinois dikelompokkan menurut apakah penghasilannya mereka rendah, sedang, dan tinggi dan apakah mereka setuju atau tidak terhadap perubahan pajak baru. Tingkat Pendapatan
χ2
k
oi - ei ) 2
i 1
ei
Dimana : e total kolom total baris i total pengamatan
Derajat Kebebasan ( v ) v = ( r – 1 ) ( c – 1 ) Dimana : r= jumlah baris c =jumlah kolom Wilayah Kritis : Keputusan :
χ χ 2
a
2
(α , v)
Ho diterima apabila χ2 ≤ χ2 (α,v) Ho ditolak apabila χ2 > χ2 (α,v)
Kesimpulan
Perubahan Pajak Setuju Tidak Setuju
Rendah
Menengah
Berada
182 154
213 138
203 110
Dengan menggunakan taraf nyata 0,05, apakah kesimpulannya ? Jawab : Struktur Hipotesis : Ho : Tidak ada hubungan antara tingkat pendapatan dgn perubahan pajak (slg bebas) H1 : Ada hubungan antara tingkat pendapatan dgn perubahan pajak (tdk slg bebas) Taraf nyata : a = 0,05 Statistik Uji : Uji Kebebasan
χ 2 (α , v) •LT Sarvia/2012
LT Sarvia/2010
•LT Sarvia/2012
14
28/08/2012
ei
k
oi - ei ) 2
i 1
ei
χ2
a = 0,05 v = ( r – 1 ) ( c – 1 ) = ( 2 – 1 )( 3 – 1 ) = 2
Tingkat Pendapatan Total Rendah Menengah Berada 182 200,93 213 209,898 203 187,174 598 154 135,07 138 141,102 110 125,826 402 336 351 313 1000
Perubahan Pajak Setuju Tidak Setuju Total
336 402 135,07 1000
ei
Wilayah Kritis :
χ2a = 5,991
Keputusan : Tolak H0 Kesimpulan :
7,85
Ada hubungan antara tingkat pendapatan dgn perubahan pajak , pada taraf nyata 0,05
313 598 187,174 1000
5,991
(182 200,93 ) 2 ( 213 209,898 ) 2 (110 125,826 ) 2 ..... 200,93 209,898 125,826
χ 2 7,85
•LT Sarvia/2012
•LT Sarvia/2012
5. Ingin diselidiki apakah terdapat hubungan antara tkt. pengalaman karyawan dgn produktivitas. Pengalaman Produktivitas Tinggi Sedang Rendah
Sedikit
Sedang
Banyak
5 20 15
10 60 15
35 20 20
Produktivitas
Total
Banyak
5
(
10
)
10
(
21,25
)
35
(
18,75
)
50
Sedang
20
(
20
)
60
(
42,50
)
20
(
37,50
)
100
Rendah
15
(
10
)
15
(
21,25
)
20
(
18,75
)
40
ei
Dengan menggunakan taraf nyata 0,05, apakah kesimpulannya ?
: Tidak ada hubungan antara produktivitas dgn pengalaman karyawan (slg bebas) : Ada hubungan antara produktivitas dengan pengalaman karyawan (tdk slg bebas)
85
75
40 100 20 200
k
oi - ei ) 2
i 1
ei
χ2
Struktur Hipotesis : H0 H1
Pengalaman Sedang
Sedikit
Tinggi
ei
50 200
75 50 18,75 200
( 5 10 ) 2 (10 21,25 ) 2 ( 20 18,75 ) 2 ..... 10 21,25 18,75
χ 2 45,127
Taraf nyata : a = 0,05 Statistik Uji : Uji Kebebasan •LT Sarvia/2012
•LT Sarvia/2012
Wilayah Kritis : a = 0,05 v = ( r – 1 ) ( c – 1 ) = ( 3 – 1 )( 3 – 1 ) = 4
χ2a = 9,488
Tujuan dari Kesamaan Beberapa Proporsi : untuk menguji apakah proporsi dari beberapa populasi ( k populasi ) sama atau tidak.
Langkah – langkah Uji Kesamaan Beberapa Proporsi : Struktur Hipotesis :
Ho: p1 = p2 = p3 = … = pk H1: p1 , p2 , p3 , … , pk tidak semuanya sama
45,127
Stat. Uji :
χ2
9,488
Keputusan : Tolak H0 Kesimpulan : Ada hubungan antara produktivitas dengan pengalaman karyawan, pada taraf nyata 0,05
k
oi - ei ) 2
i 1
ei
Dimana :
ei
total kolom total baris total pengamatan
Derajat Kebebasan ( v ) v = ( c – 1 ) Dimana : c =jumlah kolom jumlah baris ( r ) = 2 , karena proporsi selalu : Sukses atau Gagal Wilayah Kritis : 2 2
a
χ χ
(α , v)
χ 2 (α , v)
Keputusan : χ2
χ2
Ho diterima apabila ≤ (α,v) Ho ditolak apabila χ2 > χ2 (α,v)
Kesimpulan •LT Sarvia/2012
LT Sarvia/2010
•LT Sarvia/2012
15
28/08/2012
6. Dalam suatu penelitian, dikumpulkan data untuk menentukan apakah proporsi produk yg cacat oleh pekerja yang bertugas pagi, siang, dan malam hari sama atau tidak. Data yang diperoleh adalah sebagai berikut :
Cacat Tidak Cacat
Pagi 45 905
Waktu Kerja Siang 55 890
Cacat
45
Tidak Cacat
905
Malam 70 870
H0 H1
)
945
k
oi - ei ) 2
i 1
ei
) )
Malam ( 56,37 870 ( 883,6 3 70
Total )
170
)
2665
940
950 170 ei 56,97 2835
χ2
: p1 = p2 = p3 : p1 , p2 , dan p3 tidak semuanya sama
)
Waktu Kerja Siang 55 ( 56,67 890 ( 888,3 3
950
Dengan menggunakan taraf nyata 0,025, ujilah apakah proporsi produk yang cacat sama untuk ke-3 waktu kerja tersebut ?
Struktur Hipotesis :
Pagi ( 56,97 ( 893,0 3
2835
940 2665 ei 883,63 2835
( 45 56,97 ) 2 ( 55 56,67 ) 2 ( 870 883,63 ) 2 ..... 56,97 56,67 883,63
χ 2 6,234
Taraf nyata : a = 0,025 Statistik Uji : Uji Kesamaan Beberapa Proporsi •LT Sarvia/2012
•LT Sarvia/2012
Wilayah Kritis : a = 0,025 v = (c–1) = (3–1) = 2
χ2a = 7,378
7. Idem soal 6, jika taraf nyata 5 %, Kesimpulannya?? 6,234
7,378
Keputusan : Terima H0 Kesimpulan : Proporsi produk yang cacat untuk ke-3 waktu kerja tersebut adalah sama, pada taraf nyata 0,025
•LT Sarvia/2012
8.
Sebuah lembaga manajemen ingin mengetahui pola konsumsi terhadap 5macam merk ban mobil yang dominan di dalam pemasaran ban. Untuk keperluan itu dipilih 1000 orang konsumen. Dari hasil observasi yang dilakukan terhadap sampel ini, diperoleh informasi sbb:
•LT Sarvia/2012
Preferensi Merk Ban
Frekuensi Observasi oi
Frekuensi Teoritis ei
oi-ei
(oi-ei)2
oi
ei ) ei
2
Preferensi Merk Ban
Jumlah Konsumen
A
210
200
10
100
0,5
A
210
B
310
200
110
12.100
60,5
B
310
C
170
200
-30
900
4,5
C
170
D
85
200
-115
13.225
66,125
D
85
E
225
200
25
625
3,125
E
225
Jumlah
1000
1000
0
26.950
134,750
Jumlah
1000
Dengan menggunakan taraf nyata 0,05, ujilah apakah proporsi preferensi ke5 merk ban adalah sama dengan 0,2?
Struktur Hipotesis :
k
oi - ei ) 2
i 1
ei
χ2
134,750
H0 : p1 = p2 = p3= p4 = p5 = 0,2 H1 : p1 , p2 , p3 , p4 dan p5 ≠ 0,2 Taraf nyata : a = 0,05 Statistik Uji : Uji Kesamaan Beberapa Proporsi •LT Sarvia/2012
LT Sarvia/2010
•LT Sarvia/2012
16
28/08/2012
Wilayah Kritis : a = 0,05 v = ( c – 1 ) = ( 5– 1 ) = 4
χ2a = 9,488 1.
134,750
9,488 Keputusan : Tolak H0 Kesimpulan : Proporsi preferensi ke-5 merek ban tersebut adalah tidak sama DENGAN 0,2, pada taraf nyata 0,05, berarti ada perbedaan yang signifikan antara frekuensi hasil observasi dengan frekeunsi teoritis.
2.
Apakah terdapat hubungan antara pria dan wanita dengan preferensinya terhadap warna pakaian? Gunakan taraf nyata 5 % Dari hasil penelitian terhadap 100 orang menunjukkan hasil sbb : Warna Pakaian
Pria
Wanita
Total
Pink
10
20
30
Putih
20
10
30
Biru
30
10
40
Total
60
40
100
Banyaknya orang yang berbelanja ke sebuah toko setiap hari selama seminggu adalah sbb : Hari
Senin
Selasa
Rabu
Kamis
Jumat
Sabtu
Berbelanja
127
112
121
109
132
149
Ujilah, dgn a = 5%, apakah banyaknya orang yg berbelanja itu bergantung pada nama hari? •LT Sarvia/2012
3.
•LT Sarvia/2012
Tiga buah kartu diambil secara acak dari seperangkat kartu bridge dengan pengembalian, & diamati jumlah X yaitu banyaknya sekop yg terambil. Setelah melakukan pengulangan percobaan sebanyak 64x, diperoleh data hasil pengambilan tersebut adalah sebagai berikut : X 0 1 2 3
5.
fi 21 31 12 0 Ujilah hipotesis apakah data yg diperoleh tsb menyebar menurut sebaran binomial ? Gunakan taraf nyata 5 % 4.
Suatu penelitian dilakukan di daerah Jakarta untuk mengetahui apakah penghasilan masyarakat ada hubungannya dengan tingkat pendidikan. Kita sebut saja penghasilan sebagai faktor 1 dan pendidikan sebagai faktor 2. Penghasilan kemudian kita bedakan menjadi 2 kategori yaitu penghasilan rendah dan penghasilan tinggi. Sedangkan pendidikan kita bagi menjadi 3 tingkat yaitu SMU ke bawah,Sarjana Muda, dan Sarjana (Termasuk Pasca Sarjana). Dari sampel 1000 orang, diperoleh data sbb : (a =5%) P enghasilan
P endidikan
Sebuah toko ada ingin sekali mengetahui pola pembungkus yang disukai oleh pembeli. Seksi pemasaran mengadakan wawancara dengan 200 pembeli serta menunjukkan 4 macam pola pembungkus yang berbeda. Hasil Observasi sedemikian itu diberikan dalam daftar dibawah ini : P ola Pembungkus
A
B
C
D
Jumlah yang menyukai
33
42
67
58
Apakah ada alasan yang menganggap bahwa preferensi pembeli terhadap keempat pola pembungkus tersebut tidak berbeda dengan menggunakan taraf nyata 5 %?
T otal
SMU ke bawah
Sarjana Muda
Sarjana
Rendah
182
213
203
Tinggi
154
138
110
402
Total
336
351
313
1000
598
•LT Sarvia/2012
6.
Frekuensi kecelakaan mobil dalam periode 50 hari di kota Bekasi ditunjukkan pada tabel berikut : Jumlah Kecelakaan ( x )
Frekuensi
0
21
1
18
2
7
3
3
4
1
•LT Sarvia/2012
7.
Suatu perusahaan asuransi membutuhkan tenaga lulusan perguruan tinggi untuk diangkat sebagai karyawan staf pada perusahaan. Dalam seleksi karyawan ini manajer personalia di bantu dengan 3 orang manajer lainnya ditugaskan untuk mengadakan wawancara terhadap calon karyawan sebanyak 100 orang pelamar. Hasil penilaian dalam seleksi tersebut ditunjukkan dalam tabel berikut : Alternatif Nilai
18
1
47
2
Ujilah apakah data kecelakaan mobil tersebut mendekati distribusi Poisson? Gunakan α =5 %
Jumlah yang Memperoleh Nilai
0
24
3
11
Total
100
Manajer personalia berpendapat bahwa proses wawancara ini akan menghasilkan suatu distribusi binomial dengan probabilitas 0,4 bagi setiap calon karyawan untuk memperoleh alternatif nilai A, B, C, D. Jika Manajer Personalia tesebut ingin membuktikan hipotesa ini dengan α =5 %, bagaimana proses pengujiannya dan kesimpulannya?
•LT Sarvia/2012
LT Sarvia/2010
•LT Sarvia/2012
17
28/08/2012
Thank You………
•LT Sarvia/2012
LT Sarvia/2010
18
