PENGGUNAAN METODE PERTURBASI HOMOTOPI UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN BURGERS DAN PENERAPANNYA PADA MASALAH ARUS LALU LINTAS
CHRISTOPHER DANNY
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR 2013
2
3
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Penggunaan Metode Perturbasi Homotopi untuk Menyelesaikan Persamaan Burgers dan Penerapannya pada Masalah Arus Lalu Lintas adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini. Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor. Bogor, Oktober 2013 Christopher Danny NIM G54070051
4
ABSTRAK CHRISTOPHER DANNY. Penggunaan Metode Perturbasi Homotopi untuk Menyelesaikan Persamaan Burgers dan Penerapannya pada Masalah Arus Lalu Lintas. Dibimbing oleh JAHARUDDIN dan FARIDA HANUM. Masalah arus lalu lintas sering berupa masalah kemacetan, kecelakaan kendaraan bermotor, dan pelanggaran aturan lalu lintas. Kecelakaan lalu lintas sering terjadi karena pengemudi kendaraan tidak dapat mengendalikan kecepatan kendaraannya. Salah satu upaya yang harus dilakukan oleh pengemudi kendaraan agar dapat mengendalikan kecepatan kendaraannya adalah melaju dengan kecepatan yang diperkenankan pada saat kondisi-kondisi tertentu di jalan. Pada masalah arus lalu lintas ini akan dikaji besaran kecepatan yang diperkenankan yang mengacu pada persamaan Burgers. Persamaan Burgers diselesaikan dengan metode perturbasi homotopi. Hasil yang diperoleh dengan metode perturbasi homotopi dibandingkan dengan metode numerik. Kata kunci: persamaan Burgers, metode perturbasi homotopi, masalah arus lalu lintas
ABSTRACT CHRISTOPHER DANNY. The Use of Homotopy Perturbation Method for Solving the Burgers Equation and Implementing Traffic Flow Problems. Supervised by JAHARUDDIN and FARIDA HANUM. Traffic flow problems are frequently referred as problems of congestion, accidents and traffic violations. Traffic accidents often occur because the vehicle drivers can not control the speed of their vehicle. One of the efforts that must be made by the vehicle drivers to control the speed of their vehicle is driving under the road speed limit. On this traffic flow problems, the road speed limit will be assessed based on the Burgers equation. The Burgers equation can be solved by the homotopy perturbation methods. The results of the homotopy perturbation method will be compared to the results of numerical methods. Keywords : Burgers equation, homotopy perturbation method, traffic flow problems
5
PENGGUNAAN METODE PERTURBASI HOMOTOPI UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN BURGERS DAN PENERAPANNYA PADA MASALAH ARUS LALU LINTAS
CHRISTOPHER DANNY Skripsi sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR 2013
Judul Skripsi : Penggunaan Metode Perturbasi Homotopi untuk Menyelesaikan Persamaan Burgers dan Penerapannya pada Masalah Arus Lalu Lintas Christopher Danny Nama : 054070051 NIM
Disetujui oleh
Dr J aharuddin, MS Pembimbing I
Tanggal Lulus:
22 OCT 2 11
Dra Farida Hanum, MSi Pembimbing II
vii
Judul Skripsi : Penggunaan Metode Perturbasi Homotopi untuk Menyelesaikan Persamaan Burgers dan Penerapannya pada Masalah Arus Lalu Lintas Nama : Christopher Danny NIM : G54070051
Disetujui oleh
Dr Jaharuddin, MS Pembimbing I
Dra Farida Hanum, MSi Pembimbing II
Diketahui oleh
Dr Berlian Setiawaty, MS Ketua Departemen
Tanggal Lulus:
viii
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yesus Kristus atas segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Penulisan karya ilmiah ini juga tidak lepas dari bantuan beberapa pihak. Untuk itu penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada: 1. Bapak Ramot Mulia Tunggal Sitompul dan ibu Roseline Yather Aden, beserta adik Samuel Christie, seluruh keluarga atas semua doa, dukungan, semangat, pengorbanan, nasihat, pendidikan, perhatian, cinta dan kasih sayangnya, 2. Dr Jaharuddin, MS, Dra Farida Hanum, MSi dan Drs Siswandi, MSi masing-masing sebagai dosen pembimbing I, dosen pembimbing II dan dosen penguji luar atas semua ilmu, kesabaran, motivasi, dan bantuannya selama penulisan skripsi ini, 3. Dosen dan staf penunjang Departemen Matematika atas semua ilmu dan bantuannya, 4. Kakak Matematika 43, adik Matematika 45 dan 46 atas bantuan, saran dan semua ilmunya, teman-teman Matematika 44, Andrew, Daniel, Josia, Parulian dan temanteman lainnya di luar Departemen Matematika IPB atas kebersamaan, bantuan, dukungan dan motivasinya selama ini. Semoga karya ilmiah ini bermanfaat dan menjadi inspirasi bagi penelitianpenelitian selanjutnya.
Bogor, Oktober 2013
Christopher Danny
ix
DAFTAR ISI
DAFTAR GAMBAR
x
DAFTAR LAMPIRAN
x
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Tujuan Penulisan
2
LANDASAN TEORI
2
Persamaan Burgers
2
Masalah Arus Lalu Lintas
6
Metode Numerik
8
Metode Perturbasi Homotopi
9
HASIL DAN PEMBAHASAN
10
Aplikasi Metode
10
Kasus pertama : Masalah arus lalu lintas
10
Kasus kedua : Persamaan Burgers berdimensi dua
13
SIMPULAN
15
DAFTAR PUSTAKA
15
RIWAYAT HIDUP
30
x
DAFTAR GAMBAR
1.
Sistem koordinat fluida dua dimensi
2.
Penyelesaian masalah nilai awal (48) dan (49) dengan metode numerik dan metode perturbasi homotopi untuk dan 12
3.
Tingkat kepadatan mobil
2
yang dinyatakan dalam tiga dimensi pada saat 12
4.
Tingkat kepadatan kendaraan , , ,
yang dinyatakan dalam dua dimensi untuk dan 13
DAFTAR LAMPIRAN
1.
Penurunan Persamaan (3), (6), dan (8)
17
2.
Penurunan Persamaan (17), (18), dan (19)
18
3.
Penurunan Persamaan (22)
19
4.
Penurunan Persamaan (23)
20
5.
Penurunan Persamaan (27)
21
6.
Penurunan Persamaan (34) dan (35)
22
7.
Penurunan Persamaan (52) dan (53)
23
8.
Penurunan Persamaan (59), (60), (61), dan (62)
26
PENDAHULUAN Latar Belakang Model matematika dapat digunakan untuk menjelaskan fenomena yang terjadi di alam dan dalam kehidupan sehari-hari. Umumnya model matematika tersebut berupa masalah taklinear. Masalah arus lalu lintas adalah contoh masalah dalam kehidupan sehari-hari. Masalah arus lalu lintas sering berupa masalah kemacetan, kecelakaan kendaraan bermotor, dan pelanggaran lalu lintas. Kecelakaan lalu lintas sering terjadi karena pengemudi kendaraan tidak dapat mengendalikan kecepatan kendaraannya. Salah satu upaya yang harus dilakukan oleh pengemudi kendaraan agar dapat mengendalikan kecepatan kendaraannya adalah melaju dengan kecepatan yang diperkenankan pada saat kondisi-kondisi tertentu di jalan. Pada karya ilmiah ini akan dikaji besaran kecepatan yang diperkenankan yang mengacu pada persamaan Burgers. Selain digunakan pada masalah arus lalu lintas, persamaan Burgers juga muncul pada masalah mekanika fluida, khususnya sebagai model persamaan untuk kecepatan aliran fluida, dinamika gas, dan gerak gelombang. Persamaan Burgers pertama kali diperkenalkan oleh Johannes Martinus Burgers (1939). Persamaan Burgers telah digunakan oleh banyak peneliti. Burns et al. (1998) telah menyelesaikan persamaan Burgers dengan faktor gesekan secara numerik, Taghizadeh et al. (2011) menyelesaikan persamaan Burgers dengan menggunakan metode transformasi diferensial tereduksi, Piao et al. (2012) menyelesaikan persamaan Burgers berdimensi satu dengan suatu metode numerik, dan masih banyak lagi peneliti yang telah menggunakan persamaan Burgers. Persamaan Burgers dapat diturunkan dari persamaan Navier Stokes. Persamaan Navier Stokes didapat dari persamaan dasar fluida. Persamaan dasar fluida merupakan persamaan-persamaan gerak aliran fluida. Penurunan persamaan dasar fluida ini dilakukan berdasarkan hukum kekekalan massa dan hukum kekekalan momentum. Setiap hukum memberikan persamaan yang selanjutnya dinamakan persamaan kontinuitas untuk hukum kekekalan massa dan persamaan gerak untuk hukum kekekalan momentum. Persamaan kontinuitas diturunkan dengan asumsi fluida yang ditinjau tak termampatkan (incompressible) dengan rapat massa yang homogen dan gerak partikel fluida yang tak berotasi (irrotational). Persamaan gerak diturunkan dengan asumsi fluida mengalami transfer momentum, yaitu adanya sirkulasi aliran fluida (convection) dan momentum yang dipindahkan akibat adanya perbedaan tiap lapis aliran. Analog dengan penurunan persamaan Burgers dari persamaan Navier Stokes, persamaan Burgers pada masalah arus lalu lintas diturunkan berdasarkan analogi bahwa rapat massa fluida dinyatakan oleh kepadatan kendaraan sehingga persamaan kontinuitas berlaku. Model persamaan untuk masalah arus lalu lintas merupakan persamaan Burgers berdimensi satu. Pada karya ilmiah ini, akan digunakan metode perturbasi homotopi untuk menyelesaikan persamaan Burgers berdimensi satu dan berdimensi dua. Konsep dari metode perturbasi homotopi pertama kali diajukan oleh He JH pada tahun 2000. Metode ini merupakan kombinasi dari bentuk homotopi dan metode perturbasi. Dalam metode ini, penyelesaiannya diberikan dalam bentuk deret tak hingga. Metode perturbasi homotopi bergantung pada suatu parameter kecil dalam persamaan. Banyak peneliti telah menggunakan metode perturbasi homotopi, seperti He (2000) mengkaji teknik homotopi dan teknik perturbasi untuk suatu masalah taklinear, Shafieenejad et al.
2 (2009) menggunakan metode perturbasi homotopi pada masalah aliran pipa fluida non Newtonian, dan masih banyak lagi peneliti yang telah menggunakan metode perturbasi homotopi.
Tujuan Penulisan Berdasarkan latar belakang tersebut, maka tujuan penulisan ini ialah: 1) menurunkan kembali persamaan Burgers dari persamaan Navier Stokes dan memperluas pada masalah arus lalu lintas, 2) menggunakan metode perturbasi homotopi untuk menyelesaikan masalah arus lalu lintas dan persamaan Burgers berdimensi dua dan membandingkan hasil-hasilnya dengan metode numerik, 3) menafsirkan hasil-hasil yang diperoleh dari metode perturbasi homotopi pada penyelesaian masalah arus lalu lintas dan persamaan Burgers berdimensi dua.
LANDASAN TEORI Pada bagian ini akan dibahas teori-teori yang digunakan dalam penyusunan karya ilmiah ini. Teori-teori tersebut meliputi persamaan Burgers yang disarikan dari (Landajuela 2011), dan konsep dasar metode perturbasi homotopi yang disarikan dari (Taghizadeh et al. 2011). Persamaan Burgers Persamaan Burgers diturunkan dari persamaan dasar fluida. Persamaan dasar fluida diturunkan berdasarkan kesetimbangan massa terhadap elemen luas yang dilalui partikel fluida, seperti pada Gambar 1. Pada elemen luas tersebut, laju perubahan massa rata-rata merupakan selisih antara massa rata-rata yang masuk dan yang keluar. Misalkan merupakan rapat massa fluida dan kecepatan partikel fluida dalam arah sumbu dan sumbu masing-masing dinotasikan dengan dan . Rata-rata massa yang masuk pada elemen luas dalam arah x dan z masing-masing adalah | | dan . Rata-rata massa yang keluar dalam arah x dan z adalah | | dan .
Gambar 1 Sistem koordinat fluida dua dimensi
3 Berdasarkan kesetimbangan massa, maka laju perubahan massa dalam elemen luas tersebut adalah [
|
|
]
Jika persamaan (1) dibagi dengan
*
[
sehingga untuk
|
dan
[
|
|
].
(1)
, maka diperoleh | ]
+
*
|
[
| ]
+
(2)
, diperoleh
*
+
atau (3)
.
Persamaan (3) menyatakan rata-rata perubahan rapat massa sebagai hasil dari perubahan pada vektor kerapatan massa , dengan ( ). Persamaan (3) dikenal sebagai persamaan kontinuitas. Penulisan bentuk lain dari persamaan (3) adalah dengan menggunakan operator sebagai simbol untuk turunan total terhadap waktu t, yaitu (4)
.
Jadi turunan total dari
terhadap waktu t adalah (5)
. Persamaan (3) menjadi *
+
atau .
(6)
Berdasarkan asumsi bahwa fluida yang ditinjau tak termampatkan (incompressible), yaitu (7) maka
atau (8) (penurunan persamaan (3), (6), dan (8) dapat dilihat pada Lampiran 1). Persamaan (8) merupakan persamaan kontinuitas untuk fluida yang takmampat.
4 Hukum kekekalan momentum didasarkan pada kesetimbangan momentum. Pada elemen luas dalam Gambar 1, laju perubahan momentum merupakan selisih antara momentum yang masuk dan yang keluar serta ditambah dengan gaya-gaya yang bekerja | pada elemen luas tersebut. Dalam arah-x, momentum yang masuk ialah dan | momentum yang keluar ialah . Dalam arah-z, momentum yang masuk | | adalah dan yang keluar adalah . Jadi kesetimbangan momentum pada komponen-x adalah [
|
|
]
[
|
|
],
(9)
|
]
[
|
|
].
(10)
dan pada komponen-z adalah [
|
Misalkan tegangan geser diperhatikan, maka tegangan geser pada arah perpindahan momentum pada komponen-x dan arah kecepatan terhadap sumbu-x dinotasikan sebagai . Tegangan geser pada arah perpindahan momentum-z dan arah kecepatan-x dinotasikan sebagai . Tegangan geser pada arah perpindahan momentum-x dan arah kecepatan-z dinotasikan sebagai . Tegangan geser pada arah perpindahan momentum-z dan arah kecepatan-z dinotasikan sebagai . Tegangan geser pada komponen-x adalah [
|
|
]
[
|
|
].
(11)
[
|
|
].
(12)
Tegangan geser pada komponen-z adalah [
|
|
]
Faktor lain yang terlibat dalam hukum momentum ialah gaya-gaya yang terjadi pada elemen luas. Gaya-gaya tersebut muncul sebagai tekanan fluida p dan gaya gravitasi . Jadi jumlah gaya yang bekerja dalam arah-x adalah [
|
|
]
(13)
sedangkan jumlah gaya yang bekerja dalam arah-z adalah [
|
|
]
(14)
.
Perubahan rata-rata momentum dalam elemen luas pada arah-x adalah (
(15)
).
Perubahan rata-rata momentum dalam elemen luas pada arah-z adalah (
(16)
).
Jika perubahan rata-rata momentum dalam elemen luas dan hasil-hasil dari Persamaan (9), (10), (11), (12), (13), (14), (15), dan (16) digunakan pada hukum kekekalan momentum, kemudian persamaan yang diperoleh dibagi dengan , dan limit dari dan diambil menuju ke nol, maka diperoleh masing-masing komponen-x dan z sebagai berikut:
(
)
(
)
.
(17)
5
(
)
(
)
.
(18)
Persamaan (17) dan (18) dapat ditulis dalam notasi vektor seperti berikut : [ dengan,
(
] ),
(19)
.
(
), dan
(
).
Persamaan (19) disebut persamaan dasar fluida. Penurunan persamaan (17), (18), dan (19) dapat dilihat di Lampiran 2. Dengan menggunakan persamaan kontinuitas (5), maka persamaan (17) dan (18) masing-masing menjadi
(
)
.
(
)
.
(20) (21)
Dalam notasi vektor, persamaan (20) dan (21) ditulis (22)
.
Persamaan (22) disebut persamaan Navier Stokes. Penurunan persamaan (22) dapat dilihat di Lampiran 3. Tegangan geser erat kaitannya dengan aliran fluida kental (viscous fluid). Konstanta kekentalan (viscosity) fluida dinotasikan sebagai . Hubungan antara dan ialah , , , dan . Jadi persamaan (22) menjadi (23)
. Penurunan persamaan (23) dapat dilihat di Lampiran 4.
Selanjutnya asumsikan gaya yang bekerja pada sistem hanya gaya gesekan sedangkan gaya luar (external force) diabaikan. Gaya luar (external force) yang bekerja pada sistem adalah gaya yang diakibatkan oleh tekanan (p) dan gaya gravitasi (g). Persamaan (23) menjadi (
)
(
)
6 atau (24) ( ) ( ) . Kekentalan erat kaitannya dengan kekentalan kinematik (kinematic viscosity). Kekentalan dibagi rapat massa fluida disebut sebagai kekentalan kinematik yang dinotasikan sebagai , yaitu . Jika persamaan (24) dibagi dengan rapat massa fluida
akan diperoleh (
)
(
)
(25)
.
Khusus untuk masalah satu dimensi, persamaan (25) memberikan (26)
. Persamaan (26) merupakan persamaan Burgers berdimensi satu. Secara umum persamaan Burgers berdimensi n adalah (
)
(
)
atau .
(27)
Penurunan persamaan (27) dapat dilihat di Lampiran 5. Salah satu contoh masalah yang memunculkan persamaan Burgers adalah masalah arus lalu lintas. Berikut ini diberikan penggunaan persamaan Burgers berdimensi satu pada masalah arus lalu lintas.
Masalah Arus Lalu Lintas Pada masalah arus lalu lintas berdimensi satu, diasumsikan mobil melaju di jalan raya. Mobil melaju dalam satu arah (misalkan dalam arah horizontal). Kepadatan mobil di jalan dilambangkan dengan dengan x dan t masing-masing ialah koordinat horizontal dan waktu. Misalkan adalah nilai pada dengan adalah nilai pada saat mobil dalam keadaan berhimpitan bumper ke bumper. Jika diasumsikan kepadatan mobil konstan, yaitu (28) maka ,
(29)
dengan v kecepatan kendaraan dalam arah-x. Secara umum, bila kecepatan kendaraan berubah, maka diperoleh persamaan berikut:
atau
7 (30)
.
dengan . Namun kenyataannya kendaraan tidak melaju konstan. Seorang pengendara terkadang harus melambatkan kecepatan kendaraannya pada saat kondisi lalu lintas padat sehingga atau dengan kata lain, kecepatan kendaraan sebagai fungsi dari kepadatan kendaraan. Selain itu, f juga dipengaruhi oleh faktor perlambatan (seperti angin dan lain-lain), dengan konstanta perlambatan dinotasikan D. Jadi didefinisikan fungsi f sebagai berikut: (31)
.
Pada situasi lalu lintas di jalan raya, pengendara cenderung untuk mengemudi pada kecepatan tertentu (yang merupakan batas kecepatan maksimum), tetapi dengan kondisi lalu lintas yang semakin padat, pengemudi akan melambatkan kecepatan dari kecepatan maksimum yang diizinkan. Hubungan paling sederhana dari situasi tersebut dapat dijelaskan oleh persamaan berikut: (32)
.
Berdasarkan persamaan (32), jika kepadatan mobil (tidak padat), maka pengendara mengemudikan kendaraannya dengan kecepatan maksimum. Namun, jika (sangat padat), maka mobil berhenti (v = 0). Jika persamaan (31) dan (32) disubstitusikan ke dalam persamaan (30), maka diperoleh *
+
(33)
.
Selanjutnya didefinisikan variabel tak berdimensi berikut: , dengan
, dan
,
. Jika variabel tak berdimensi di atas disubstitusikan ke dalam
persamaan (33) maka diperoleh: [ Jika dimisalkan
]
, dengan
dan
.
(34)
, maka persamaan (34) menjadi
atau .
(35)
Penurunan persamaan (34) dan (35) dapat dilihat di Lampiran 6. Persamaan (35) merupakan persamaan Burgers berdimensi satu, seperti pada persamaan Burgers (26) yang akan diselesaikan dengan metode numerik dan metode perturbasi homotopi. Berikut ini konstruksi numerik persamaan Burgers (26) dan konsep dasar metode perturbasi homotopi.
8 Metode Numerik Misalkan persamaan Burgers (26) dinyatakan sebagai berikut: [
] , dengan
(36)
.
Jika kedua ruas pada persamaan (36) diintegralkan terhadap x dari
sampai
,
maka diperoleh [
∫
]
[
]
(37)
.
Pendekatan numerik dari setiap suku pada persamaan (37) adalah: (
∫ [
]
[
[
(
)
(
(
(
)
)
)
)
(
(
(
)
)
)]
(
(
)
]
)
,
dan [
]
. (
)/
. (
)/.
Jika bentuk-bentuk di atas disubstitusikan ke dalam persamaan (37), kemudian dibagi dengan h, maka diperoleh .
dengan
/
.
(38)
/
.
Jika diskretisasi turunan terhadap waktu digunakan, maka diperoleh rumus rekursif dari penyelesaian numerik persamaan Burgers (36) sebagai berikut: .
/
.
( dengan (
) merupakan rata-rata
(39)
/
),
dan
.
9 Metode Perturbasi Homotopi Berikut ini diberikan konsep dasar metode perturbasi homotopi berdasarkan alur pada (Taghizadeh et al. 2011). Untuk mengilustrasikan ide dasar dari metode ini, diberikan persamaan diferensial taklinear berikut: [
]
(40)
dengan kondisi batasnya adalah (
(41)
)
dengan operator turunan taklinear, operator batas, fungsi yang diketahui, Ω adalah domain, adalah batas dari domain Ω dan adalah fungsi yang akan ditentukan yang bergantung pada . Operator dapat dikatakan terpisah dalam dua bagian yaitu dan , dengan adalah operator linear dan adalah operator taklinear, sehingga persamaan (40) dapat ditulis sebagai berikut: [
]
[
]
(42)
.
Dalam metode homotopi, dikonstruksikan suatu homotopi berikut: [
]
yang memenuhi persamaan berikut: [
]
[
]
atau (
)
,
(43)
[ ] adalah suatu parameter, dan dengan adalah fungsi perturbasi homotopi, adalah pendekatan awal dari penyelesaian persamaan (40) yang memenuhi kondisi awal. Jelas bahwa: (44) . Berdasarkan persamaan (43), maka penyelesaian persamaan masing-masing diperoleh
(45) dan
dan . Proses peningkatan nilai p dari 0 ke 1 yang mengakibatkan perubahan v(r,p) dari ke u(r) disebut deformasi. Bentuk dan disebut sebagai homotopi dalam topologi. Jika parameter ; yang disebut parameter kecil digunakan dalam perturbasi klasik, maka diasumsikan bahwa persamaan (44) dan (45) dapat dinyatakan sebagai deret kuasa dalam yaitu: .
(46)
10 Jika berikut:
, maka diperoleh penyelesaian pendekatan dari persamaan (43) sebagai
(47) . Kombinasi dari metode perturbasi dan metode homotopi disebut metode perturbasi homotopi. Deret (47) adalah konvergen bagi banyak kasus. Bagaimanapun juga, tingkat kekonvergenan deret (47) bergantung pada operator taklinear .
HASIL DAN PEMBAHASAN Aplikasi Metode Kasus pertama : Masalah arus lalu lintas Tinjau model persamaan untuk masalah arus lalu lintas yang diberikan dalam persamaan Burgers (48) berikut: (48)
. Misalkan syarat awal diberikan dalam bentuk:
(49)
,
dengan kata lain pada posisi awal tingkat kepadatan mobil lebih kecil dari setengah tingkat kepadatan maksimum, kemudian pada posisi akhir tingkat kendaraan tidak padat . Berikut ini akan dicari penyelesaian dari masalah nilai awal persamaan (48) dan (49) dengan menggunakan metode perturbasi homotopi. Misalkan didefinisikan operator linear L dan operator taklinear A sebagai berikut:
dan . Berdasarkan persamaan (43) diperoleh persamaan berikut: (
)
(
)
.
(50)
Asumsikan penyelesaian dari persamaan (50) dengan bentuk deret berikut: .
(51)
11 Jika persamaan (51) disubstitusikan ke dalam persamaan (50), kemudian dipisahkan berdasarkan koefisien kepangkatan p, maka koefisien dan masingmasing memberikan persamaan berikut:
(52)
Secara umum, koefisien ∑ Pendekatan awal
(
berbentuk: )
dipilih berdasarkan syarat awal
pada persamaan (49) yaitu: ,
sehingga diperoleh pula syarat-syarat awal berikut:
Penyelesaian persamaan (52) untuk n= 0,1,2,3,4,5,6,7,8 masing-masing adalah
∫( ∫( ∫( ∫(
) ) ) )
sedangkan , , , dan dapat dilihat pada Lampiran 7. Dengan demikian penyelesaian dari persamaan (48) dengan syarat awal pada persamaan (49) hingga orde ke-delapan dengan menggunakan metode perturbasi homotopi adalah (53) Penurunan persamaan (52) dan (53) dapat dilihat di Lampiran 7. Berdasarkan persamaan (48) dan (49), diperoleh grafik penyelesaian numerik dan grafik penyelesaian dengan menggunakan metode perturbasi homotopi yang dinyatakan dalam [ ]. Gambar 2 dua dimensi pada saat faktor perlambatan , dan menyatakan grafik penyelesaian numerik dan grafik penyelesaian dengan menggunakan metode perturbasi homotopi untuk masalah nilai awal (48) dan (49) dengan , [ ]. dan
12 u(x,t) 0.8
Metode Perturbasi Homotopi
0.6
................ Metode Numerik
0.4
0.2
x 0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Gambar 2 Penyelesaian masalah nilai awal (48) dan (49) dengan metode numerik dan metode perturbasi homotopi untuk dan Dari Gambar 2 diperoleh bahwa penyelesaian masalah nilai awal (48) dan (49) menggunakan metode perturbasi homotopi konsisten dengan penyelesaian menggunakan metode numerik dengan rata-rata galat 0.00139027. Gambar 3 menunjukkan tingkat kepadatan mobil pada posisi x dan waktu t yang dinyatakan dalam tiga dimensi dengan menggunakan metode numerik. Misalkan kecepatan maksimum pada suatu jalan raya yang diperkenankan adalah 60 km/jam dengan panjang jalan raya tersebut adalah 60 km. Jadi km/jam, km, dan . Gambar 3 menunjukkan tingkat kepadatan mobil yang dengan u penyelesaian masalah nilai awal (48) dan diperoleh berdasarkan (49) dan .
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0
1 0.8 0.6 0.2
0.4
0.4 0.6
x Gambar 3 Tingkat kepadatan mobil saat
0.8
0.2 1
t
0
yang dinyatakan dalam tiga dimensi pada
Berdasarkan Gambar 3, dengan diperoleh bahwa pada posisi x=0 untuk setiap waktu, tingkat kepadatan sebesar 0.490842 . Dengan bertambahnya jarak yang ditempuh kendaraan, tingkat kepadatan mobil semakin berkurang tetapi untuk tingkat kepadatan mobil tidak nol.
13 Gambar 4 menunjukkan tingkat kepadatan kendaraan dimensi dengan menggunakan metode numerik, untuk , dan .
yang dinyatakan dalam dua , , ,
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
Gambar 4 Tingkat kepadatan kendaraan untuk , ,
0.7
0.8
0.9
1
t
yang dinyatakan dalam dua dimensi , dan
Gambar 4 menunjukkan bahwa semakin kecil ( mendekati nol), maka akan semakin kecil ( mendekati nol) sehingga tingkat kepadatan kendaraan akan semakin kecil (tidak padat). Ini berarti kondisi lalu lintas di suatu jalan raya akan semakin lancar. Kasus kedua : Persamaan Burgers berdimensi dua Tinjau model persamaan Burgers berdimensi dua sebagai berikut: (
)
(
)
(54)
.
Misalkan syarat awal diberikan dalam bentuk: (55) Penyelesaian eksak masalah nilai awal (54) dan (55) adalah (56) Berikut ini akan dicari penyelesaian dari masalah nilai awal persamaan (54) dan (55) dengan metode perturbasi homotopi. Misalkan didefinisikan operator linear L dan operator taklinear A sebagai berikut:
dan (
)
(
).
14 Berdasarkan persamaan (43) diperoleh persamaan berikut : (
)
.
(
)
(
)/
.
(57)
Misalkan penyelesaian dari persamaan (57) dengan bentuk sebagai berikut: (58)
.
Jika persamaan (58) disubstitusikan ke dalam persamaan (57), kemudian dipisahkan berdasarkan koefisien kepangkatan p, maka koefisien dan masing-masing memberikan persamaan berikut:
(59)
Secara umum, koefisien ∑
berbentuk:
(
Pendekatan awal
)
(
)
dipilih berdasarkan syarat awal
, pada persamaan (55) yaitu:
, sehingga diperoleh pula syarat-syarat awal awal berikut: . Penyelesaian persamaan (59) untuk n= 0,1,2,3,... masing-masing adalah
. Secara umum,
berbentuk: (60)
.
Dengan demikian penyelesaian dari persamaan (54) dengan syarat awal pada persamaan (55) dengan metode perturbasi homotopi adalah: .
(61)
Jika deret geometri digunakan, maka diperoleh penyelesaian dari persamaan (54) dengan syarat awal pada persamaan (55) dengan metode perturbasi homotopi: ,
.
(62)
15 Hasil ini menunjukkan kesesuaian dengan penyelesaian eksak (56) dari masalah nilai awal (54) dan (55). Dengan demikian metode perturbasi homotopi dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan Burgers berdimensi dua. Akurasi dari metode ini sangat tinggi untuk menyelesaikan persamaan Burgers berdimensi dua. Penurunan persamaan (59), (60), (61), dan (62) dapat dilihat di Lampiran 8.
SIMPULAN Persamaan Burgers berdimensi satu diaplikasikan pada masalah arus lalu lintas. Persamaan Burgers untuk masalah arus lalu lintas dapat diselesaikan dengan menggunakan metode perturbasi homotopi dan metode numerik. Penyelesaian dengan metode perturbasi homotopi konsisten dengan penyelesaian dengan metode numerik. Hal ini menunjukkan bahwa metode perturbasi homotopi memberikan pendekatan dengan akurasi yang lebih tinggi. Apabila diberikan faktor perlambatan maka pada posisi awal x=0 tingkat kepadatan mobil sebesar 0.490842 , kemudian dengan bertambahnya jarak yang ditempuh kendaraan, tingkat kepadatan mobil semakin berkurang dan untuk waktu yang lama tingkat kepadatan mobil tidak nol. Hasil yang diperoleh pada masalah arus lalu lintas juga menunjukkan bahwa semakin kecil ( mendekati nol), maka akan semakin kecil ( mendekati nol) sehingga tingkat kepadatan kendaraan akan semakin kecil (tidak padat). Ini berarti kondisi lalu lintas di suatu jalan raya akan semakin lancar. Persamaan Burgers berdimensi dua dapat diselesaikan dengan metode perturbasi homotopi. Hasil yang diperoleh dengan metode perturbasi homotopi sangat dekat dengan penyelesaian eksaknya. Semakin tinggi orde yang digunakan, maka didapatkan penyelesaian eksaknya. Hasil dari metode perturbasi homotopi juga menunjukkan tingkat validitas serta keakuratan yang tinggi. Hasil tersebut juga menunjukkan bahwa metode perturbasi homotopi dapat digunakan untuk menentukan penyelesaian masalah nilai awal persamaan linear dan taklinear dengan orde tinggi.
DAFTAR PUSTAKA Burns J, Balogh A, Gilliam DS, Shubov VI. 1998. Numerical stationary solutions for a viscous Burgers equation. Journal of Mathematical Systems, Estimation, and Control 8(2):1-16. He JH. 2000. A coupling method of homotopy technique and perturbation technique for nonlinear problems. International Journal of Nonlinear Mechanic 35(1):37-43. Liao SJ. 2004. Beyond Perturbation: Introduction to the Homotopy Analysis Method. New York (US): Boca Raton. Landajuela M. 2011. Burgers Equation. Paris (FR): Basque Center for Applied Mathematics. Piao XF, Kim SD, Kim P, Kim DH. 2012. A new time stepping method for solving one dimensional Burgers equation. Kyungpook Mathematical Journal. 52(3):327-346. doi:10.5666/KMJ.2012.52.3.327.
16 Shafieenejad I, Moallemi N, Afshari HH, Novinzadeh AB. 2009. Application of He’s homotopy perturbation method for pipe flow of non-Newtonian fluid. Adv. Studies Theor. Phys. 3(5):199-211. Taghizadeh N, Akbari M, Afshari HH, Ghelichzadeh A. 2011. Exact solution of Burgers equation by homotopy perturbation method and reduced differential transformation method. Australian Journal of Basic and Applied Sciences. 5(5):580589.
17 Lampiran 1 Penurunan Persamaan (3), (6), dan (8) Perhatikan persamaan berikut: [
|
|
]
[
Jika persamaan (1) dibagi dengan luas diperoleh
,*
[
|
|
dan untuk
|
]
|
+
*
|
[
].
(1)
dan
, maka
|
]
+-
atau
*
(3)
+.
atau *
+
Penulisan bentuk lain dari persamaan (3) adalah dengan menggunakan operator sebagai simbol untuk turunan total terhadap waktu t, yaitu (4) sehingga turunan total dari
terhadap waktu t adalah (5)
sehingga persamaan (3) menjadi (6) dengan
( ).
Berdasarkan asumsi bahwa fluida yang ditinjau tak termampatkan (incompressible), yaitu , maka
atau . Persamaan (8) merupakan persamaan kontinuitas untuk fluida yang tak mampat.
(8)
18 Lampiran 2 Penurunan Persamaan (17), (18), dan (19) Perubahan rata-rata momentum dalam elemen luas pada arah-x dan untuk adalah [
|
, [
|
]
| ]
|
[
[
|
| ]
|
]
|
[
|
dan ]
|
-
atau (
)
(
(17)
)
Perubahan rata-rata momentum dalam elemen luas pada arah-z dan untuk adalah [
|
, [
|
]
|
|
]
)
(
[
|
[
| ]
|
]
|
[
dan
|
|
]
-
atau (
(18)
)
Persamaan (17) dan (18) dapat ditulis dalam notasi vektor seperti berikut : ⃗
(
)
(
) (
(
)
(
(
)
( )( )
( ) [
)
)
( )( ) ]
(
(
)
)
) (
) (
( ) (
(
) (
(
(
( )
)
( )
.
Persamaan (19) disebut persamaan dasar fluida.
( )
)
)
)
( )
( )
(
(
(
(
)
)
)
) (19)
19 Lampiran 3 Penurunan Persamaan (22) Diketahui persamaan dasar fluida : [
]
(
)
( )
(
)
(
)
( )( )
(
)
(
)
(
(
)
(
(
( )( )
( ) (
)
(
)
)
)
(
(
)
) (
)
)
( )
)
(
(
)
(
)
( )
(
(
)
)
)
)
)
(
)
(
(
)
(
( )
(
(
(
)
( )
) (
(
(
( )
)
( )
)
(
)
(
(
)
)
( )
(
(
)
)
)
20 (
)
(
(
)( )
) (
(
)
)( )
( )
(
)
(
)
( )( )
( )
( ) (
)
( )
(
)
(
)
( )
( )
( ) (
)
( )
(
)
⃗
( ) ⃗
( ) ⃗
(22)
( ) Persamaan (22) disebut persamaan Navier Stokes. Lampiran 4 Penurunan Persamaan (23) Diketahui persamaan Navier Stokes:
(
(
)
(
)
( ) (
(
)
)
( )
) (
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
)
(
)
( )
( )
(
(
)
)
21
(
)
(
(
)
(
)
)
(
( )
(
)
( )
(
)
( )
( )
(
)
)
(23)
.
Lampiran 5 Penurunan Persamaan (27) Diketahui persamaan (23):
(
(
(
)
)
( )
(
( )
)
)
(
)
( )
(
(
)
)
( )
(
)
Karena variabel dan disebut sebagai gaya luar (external force) sehingga variabel dan diabaikan dan kecepatan dalam satu arah saja, yaitu arah- , maka persamaan (23) akan menjadi
atau atau (
)
(
)
.
(24)
22 Jika persamaan (24) dibagi dengan ( dengan
, maka diperoleh )
(
(25)
)
.
Jika mempertimbangkan masalah satu dimensi, maka persamaan (25) menghasilkan : (26)
. Persamaan (26) merupakan persamaan Burgers berdimensi satu. Persamaan umum dari persamaan Burgers, yaitu : (
)
(
)
atau (27)
.
Lampiran 6 Penurunan Persamaan (34) dan (35) Diketahui persamaan (31) dan (32) berikut: .
(31)
.
(32)
Berdasarkan persamaan (32), jika kepadatan mobil (tidak padat) maka pengendara melaju kendaraannya dengan kecepatan maksimum. Namun, jika (sangat padat), maka mobil berhenti (v = 0). Jika persamaan (31) dan (32) disubstitusikan ke dalam persamaan (30), maka diperoleh [
]
atau [ [
]
]
atau *
+
(33)
.
Selanjutnya didefinisikan variabel tak berdimensi berikut: ,
, dan
, dengan
.
23 Jika variabel tak berdimensi di atas disubstitusikan ke dalam persamaan (33), maka diperoleh: *
(
)
+
atau [
]
atau [
]
atau [ [ Misalkan:
]
]
, dengan
dan
.
(34)
, maka persamaan (34) memberikan
atau
atau (35)
.
Persamaan (35) merupakan persamaan Burgers berdimensi satu, seperti pada persamaan Burgers (26).
Lampiran 7 Penurunan Persamaan (52) dan (53) Tinjau model persamaan Burgers (48) berikut: (48)
. Misalkan syarat awal diberikan dalam bentuk:
(49)
, Misalkan didefinisikan operator linear L dan operator taklinear A sebagai berikut:
dan .
24 Berdasarkan persamaan (43) diperoleh persamaan berikut : (
)
(
)
(50)
.
Asumsikan penyelesaian dari persamaan (50) dalam bentuk deret berikut: (51)
. Jika persamaan (51) diturunkan satu kali terhadap maka diperoleh :
dan diturunkan dua kali terhadap ,
Jika hasil-hasil di atas disubstitusikan ke dalam persamaan (50), maka diperoleh: (
)
(
. ))
(
(
)/
atau (
)
(
)
)
(
( )
(
) Kemudian persamaan di atas dipisahkan berdasarkan koefisien kepangkatan p, maka koefisien dan masing-masing memberikan persamaan berikut:
(52)
Secara umum, koefisien ∑
(
)
berbentuk: .
25 Pendekatan awal
dipilih berdasarkan syarat awal
pada persamaan (49) yaitu: ,
sehingga diperoleh pula syarat-syarat awal berikut: . Penyelesaian persamaan (52) untuk n= 0,1,2,3,4 diperoleh sebagai berikut: Koefisien
memberikan penyelesaian:
dengan penyelesaian . Koefisien
memberikan penyelesaian:
atau
dengan penyelesaian ∫( Koefisien
)
.
memberikan penyelesaian:
atau
dengan penyelesaian ∫(
Koefisien
atau
memberikan penyelesaian :
)
.
26 dengan penyelesaian ∫(
Koefisien
)
memberikan penyelesaian :
atau
dengan penyelesaian ∫(
)
.
Dengan demikian penyelesaian dari persamaan (48) dengan syarat awal pada persamaan (49) hingga orde ke-n dengan menggunakan metode perturbasi homotopi adalah (53)
.
Lampiran 8 Penurunan Persamaan (59), (60), (61), dan (62) Tinjau model persamaan untuk persamaan Burgers berdimensi dua (54) berikut: (
)
(
)
(54)
.
Misalkan syarat awal diberikan dalam bentuk: (55) Penyelesaian eksak masalah nilai awal (54) dan (55) adalah (56) Misalkan didefinisikan operator linear L dan operator taklinear A sebagai berikut:
dan (
)
(
).
Berdasarkan persamaan (43) diperoleh persamaan berikut : (
)
.
(
)
(
)/
.
(57)
Asumsikan penyelesaian dari persamaan (57) dengan bentuk sebagai berikut: .
(58)
27 Jika persamaan (58) diturunkan satu kali terhadap dan , maka diperoleh :
dan diturunkan dua kali terhadap
Jika hasil-hasil di atas disubstitusikan ke dalam persamaan (57), maka diperoleh: (
)
(
) )
(
)
(
(
) Kemudian pisahkan berdasarkan koefisien kepangkatan p , maka koefisien masing-masing memberikan persamaan berikut: dan
(59)
Secara umum, koefisien ∑
(
Pendekatan awal yaitu:
berbentuk: )
(
)
dipilih berdasarkan syarat awal
,
.
pada persamaan (55)
, sehingga diperoleh pula syarat-syarat awal berikut: . Penyelesaian persamaan (59) untuk n= 0,1,2,3 diperoleh sebagai berikut:
28 Koefisien
memberikan:
dengan penyelesaian . Koefisien
memberikan:
dengan penyelesaian: . Jika syarat awal
digunakan, maka diperoleh .
Koefisien
memberikan:
dengan penyelesaian: ]
∫[ atau . Jika syarat awal
digunakan, maka diperoleh .
Koefisien
memberikan penyelesaian :
dengan penyelesaian: ∫[
]
atau . Jika syarat awal
digunakan, maka diperoleh .
Secara umum,
berbentuk: .
(60)
Dengan demikian penyelesaian dari persamaan (54) dengan syarat awal pada persamaan (55) dengan menggunakan metode perturbasi homotopi adalah:
29 =
.
(61)
Jika deret geometri digunakan, maka diperoleh penyelesaian dari persamaan (54) dengan syarat awal pada persamaan (55) dengan metode perturbasi homotopi: ( ( ,
) ) .
(62)
Hasil ini menunjukkan kesesuaian dengan penyelesaian eksak dari masalah nilai awal (54) dan (55). Dengan demikian metode perturbasi homotopi dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan Burgers berdimensi dua. Akurasi dari metode ini sangat tinggi untuk menyelesaikan persamaan Burgers berdimensi dua.
30
RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Jakarta pada tanggal 7 Desember 1988 sebagai anak pertama dari dua bersaudara, anak dari pasangan Ramot Mulia Tunggal Sitompul dan Roseline Yather Aden. Pendidikan formal yang telah ditempuh penulis yaitu di TK Teladan lulus pada tahun 1995, SD Santo Antonius 1 Jakarta Timur lulus pada tahun 2001, SMP Marsudirini Jakarta Timur lulus pada tahun 2004, SMA Negeri 31 Jakarta Timur lulus pada tahun 2007 dan pada tahun 2007 penulis diterima sebagai mahasiswa Institut Pertanian Bogor (IPB) melalui jalur USMI di Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Selama menuntut ilmu di IPB, penulis aktif di organisasi kemahasiswaan Gugus Mahasiswa Matematika (GUMATIKA) sebagai staf divisi Keilmuan pada tahun 2009. Berbagai kegiatan kepanitiaan penulis ikuti selama menjadi mahasiswa matematika seperti Matematika Ria 2009 sebagai staf divisi Khusus dan Pelatihan Komputasi (PLATKOM) 2009 sebagai ketua panitia.
