PENGGUNAAN METODE PERTURBASI HOMOTOPI UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN INTEGRAL FUZZY VOLTERRA QURROTUL A YUN

PENGGUNAAN METODE PERTURBASI HOMOTOPI UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN INTEGRAL FUZZY VOLTERRA

QURROTUL A’YUN

DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2011

ABSTRAK QURROTUL A’YUN. Penggunaan Metode Perturbasi Homotopi untuk Menyelesaikan Persamaan Integral Fuzzy Volterra. Dibimbing oleh JAHARUDDIN dan SISWANDI. Banyak fenomena yang terjadi alam dapat dijelaskan dengan model matematika. Salah satu model matematika tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan integral fuzzy Volterra. Persamaan integral fuzzy Volterra yang dihasilkan biasanya dalam bentuk taklinear. Secara analitik masalah taklinear ini sulit diselesaikan. Dalam tulisan ini, persamaan integral fuzzy Volterra diselesaikan dengan menggunakan metode perturbasi homotopi yang dapat dinyatakan dalam suatu deret pangkat terhadap suatu parameter 𝑝dan memenuhi suatu fungsi homotopi yang didefinisikan. Diberikan dua studi kasus yaitu kernel dari fungsi linear dan trigonometri. Berdasarkan dua kasus tersebut diperoleh bahwa semakin tinggi orde penyelesaian yang digunakan semakin mendekati penyelesaian sesungguhnya. Kata Kunci: metode perturbasi homotopi, persamaan integral fuzzy Volterra, masalah taklinear

ABSTRACT QURROTUL A’YUN. The Use of Homotopy Perturbation Method to Solve fuzzy Volterra integral equations. Supervised by JAHARUDDIN and SISWANDI. Most phenomena in nature can be explained in mathematical models, such as fuzzy Volterra integral equation. The fuzzy Volterra integral equation is a nonlinear integral problem, which is usually difficult to solve by an analytical solution. In this paper, fuzzy Volterra integral equation is solved using perturbation homotopy method, which can be written as a power series in 𝑝 and satisfies a certain homotopy function. This manuscript discuss two case studies, i.e. the case of linear and trigonometric kernel functions. The result shows that the greater approximation order being used, the wider convergence solution area will be. Keywords: homotopy perturbation method, fuzzy Volterra integral equation, and nonlinear problem

PENGGUNAAN METODE PERTURBASI HOMOTOPI UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN INTEGRAL FUZZY VOLTERRA

QURROTUL A’YUN

Skripsi sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Departemen Matematika

DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2011

Judul Skripsi : Penggunaan Metode Perturbasi Homotopi untuk Menyelesaikan Persamaan Integral Fuzzy Volterra Nama : Qurrotul A’yun NIM : G54070009

Menyetujui Pembimbing I

Pembimbing II

Dr. Jaharuddin, MS NIP. 19651102 199302 1 001

Drs. Siswandi, M.Si. NIP. 19650820 199003 1001

Mengetahui Ketua Departemen Matematika

Dr. Berlian Setiawaty, MS NIP. 19650505 198903 2 004

Tanggal Lulus:

KATA PENGANTAR Puji dan syukur penulis panjatkan kepada ALLAH SWT atas segala rahmat dan karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Penyusunan karya ilmiah ini juga tidak lepas dari bantuan berbagai pihak. Untuk itu penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada: 1. Keluarga tercinta : Muchtar (ayah), Bidayah (umi), dan adik Moqoddas Al-Aslami dan Mawaddah Addini atas semua doa, dukungan, semangat, pengorbanan, nasihat, pendidikan, perhatian, cinta dan kasih sayangnya. 2. Dr. Jaharuddin, M.S. dan Drs. Siswandi, M.Si. masing-masing sebagai dosen pembimbing I dan dosen pembimbing II atas semua ilmu, kesabaran, motivasi, dan bantuannya selama penulisan skripsi ini. 3. Drs. Ali Kusnanto, M.Si. selaku dosen penguji. 4. Semua dosen Departemen Matematika, atas semua ilmu yang telah diberikan. 5. Keluarga besar dan staf Departemen Matematika: Pak Yono, Bu Susi, Bu Ade, Pak Bono, Mas Hery, Mas Deni. 6. Kakak Math 43 atas saran dan semua ilmunya. 7. Teman-teman Math 44 : Ucu, Istiti, Wewe, Devi, Deva, Nunuy, Resa, Anis, Sari, Ruru, Siska, Lingga, Lugina, Diana, Yanti, Lilis, Ririh, Eka, Aswin, Wahyu, Aqil, Aze, Tanto, Rachma, Melon, Lili, Tita, Cicit, Selvi, Tendi, Ali, Lina, Ayum, Sri, Yuli, Zae, Dian, Vianey, Pepi, Igoy, Copa, Ayung, Endro, Dora, Ima, Fajar, Fani “kodok”, Masayu, Dika, Fani, Ikhsan, Della, Pandi, Abe, Tyas, Arina, Imam, Nadiroh, Rofi, Indin, Iyam, Olih, Ipul, Nurus, Lukman, Puyink, dan Na’im. 8. Teman-teman Math 45 : bolo, Isna, rischa, Gita, Mega, Santi, Agustina, Yunda, Aci dan lain-lain. 9. Anak-anak Kosan RZ : Caca, Laras, Ika, Ka Lana, Ka Minal, Ka Nurma, Ka Eli, Ka Dwi, Ka Surya, Ka Ana, dan Ka Erika. Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat dan menjadi inspirasi bagi penelitian-penelitian selanjutnya.

Bogor, Agustus 2011

Qurrotul A’yun

RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Jakarta pada tanggal 26 September 1990 sebagai anak pertama dari tiga bersaudara dari pasangan Muchtar dan Bidayah. Pendidikan formal yang ditempuh penulis yaitu di TK Islam Madarijut Thalibin lulus pada tahun 1995, MI Madarijut Thalibin lulus pada tahun 2001, MTsN 4 Jakarta lulus pada tahun 2004, MAN 13 Jakarta lulus pada tahun 2007 dan pada tahun yang sama penulis diterima di Institut Pertanian Bogor melalui jalur USMI di Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Selama menuntut ilmu di IPB, penulis aktif di organisasi kemahasiswaan Gugus Mahasiswa Matematika (GUMATIKA) sebagai staf Sosinkom (Sosial Informasi dan Komunikasi). Selain itu penulis juga pernah menjadi asisten dosen untuk mata kuliah Kalkulus II dan Kalkulus III.

DAFTAR ISI Halaman DAFTAR GAMBAR ................................................................................................................. ix DAFTAR TABEL ...................................................................................................................... ix DAFTAR LAMPIRAN .............................................................................................................. ix I

PENDAHULUAN ............................................................................................................. 1.1 Latar Belakang .......................................................................................................... 1.2 Tujuan ....................................................................................................................... 1.3 Sistematika Penulisan ................................................................................................

1 1 1 1

II

LANDASAN TEORI ......................................................................................................... 2.1 Himpunan Fuzzy dan Bilangan Fuzzy ...................................................................... 2.2 Persamaan Integral Fuzzy ......................................................................................... 2.3 Metode Perturbasi Homotopi ....................................................................................

2 2 3 3

III

PEMBAHASAN ................................................................................................................ 3.1 Analisis Metode ......................................................................................................... 3.2 Aplikasi Metode ........................................................................................................

6 6 8

V

SIMPULAN ........................................................................................................................

14

DAFTAR PUSTAKA ................................................................................................................

15

LAMPIRAN ...............................................................................................................................

16

DAFTAR GAMBAR

Halaman 1 Grafik Perbandingan penyelesaian eksak dan penyelesaian dengan metode perturbasi homotopi persamaan (2.16). ...............................................................................

5

2 Grafik penyelesaian eksak dan hampiran penyelesaian persamaan (3.18) ........................... 11 3 Grafik penyelesaian eksak dan hampiran penyelesaian persamaan (3.31) ........................... 13

DAFTAR TABEL

Halaman 1

Galat antara penyelesaian eksak dan metode pertubasi homotopi hingga orde 3 1

dengan 𝑥 = ...................................................................................................................... 11 2

2

Galat antara penyelesaian eksak dan penyelesaian dengan metode perturbasi homotopi suntuk

𝜋

𝑥 = ..................................................................................................................... 13 4

DAFTAR LAMPIRAN

Halaman 1 Penurunan Persamaan (2.7) ................................................................................................... 17 2 Penyelesaian Persamaan (2.16) ............................................................................................. 18 3 Penurunan Persamaan (3.9) ................................................................................................... 20 4 Program Maple untuk Gambar 2 ........................................................................................... 25 5 Program Maple untuk Gambar 3 ........................................................................................... 27

ix

I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang

Persamaan integral sering muncul dalam permasalahan di bidang matematika terapan, fisika, teknik, biologi dan lain sebagainya. Model seperti laju pertumbuhan penduduk, laju kelahiran, transfer radiasi dan proses penyaringan asap rokok merupakan model yang disajikan dalam bentuk persamaan integral. Persamaan integral merupakan suatu bentuk persamaan dimana variabel yang ingin diketahui terdapat dalam integrand persamaan integral tersebut. Jerri (1985) mengklasifikasikan persamaan integral berdasarkan batas pengintegralan pada integral yang muncul menjadi dua bagian yaitu persamaan integral Volterra dan persamaan integral Fredholm. Golberg (1978) telah memberikan beberapa metode numerik untuk menyelesaikan persamaan integral, khususnya untuk menyelesaikan persamaan integral Fredholm diantaranya metode pendekatan kernel, kuadratur, galerkin, semianalitik dan proyeksi. Pembahasan mengenai persamaan integral Volterra telah banyak dilakukan. Babolian dan Davari (2006) menyelesaikan persamaan integral Volterra dengan menggunakan dekomposisi Adomian. Beberapa penelitian difokuskan untuk memperoleh penyelesaian dari persamaan yang dimodelkan dalam persamaan taklinear. Dalam beberapa tahun terakhir, para peneliti memfokuskan pada penyelesaian persamaan integral Volterra secara numerik, seperti penggunaan metode implicity Linear collocation. Teori himpunan fuzzy merupakan cara yang sering digunakan untuk pemodelan ketidakpastian dan untuk suatu proses yang samar-samar atau informasi subjektif dalam suatu model matematika. Konsep ini pertama kali diperkenalkan oleh Zadeh (1965). Terapan dari himpunan fuzzy dalam kehidupan nyata antara lain mencakup kendali proses, klasifikasi dan pencocokan pola, manajemen dan pengambilan keputusan, riset operasi, teknik, dan ekonomi. Konsep pengintegrasian fungsi fuzzy pertama kali diperkenalkan oleh Dubois dan Prade (1982). Pembahasan mengenai metode numerik untuk menyelesaikan persamaan integral fuzzy telah banyak dilakukaan akhir-

akhir ini terutama yang berkaitan dengan kontrol fuzzy. Dalam karya ilmiah ini akan digunakan metode perturbasi homotopi untuk menyelesaikan persamaan integral fuzzy Volterra tipe kedua. Metode perturbasi homotopi [He,2000] merupakan suatu metode pendekatan analitik untuk menyelesaikan suatu masalah tak linear. Dalam metode ini, akan didefinisikan suatu operator taklinear yang didasarkan pada bentuk tak linear dari masalah taklinear tersebut. penyelesaian masalah taklinear dengan menggunakan metode perturbasi homotopi dimisalkan dalam bentuk deret yang umum, sehingga tidak perlu dimisalkan dalam bentuk deret pangkat (polinomial) seperti yang dilakukan pada metode dekomposisi Adomian. Metode perturbasi homotopi merupakan suatu metode perpaduan dari metode homotopi dengan metode perturbasi. Dalam karya ilmiah ini akan dibahas penyelesaian persamaan integral fuzzy Volterra tipe kedua dengan menggunakan metode perturbasi homotopi.. 1.2 Tujuan Berdasarkan latar belakang di atas, maka tujuan karya ilmiah ini adalah : a. Menyelesaikan persamaan integral fuzzy Volterra tipe kedua dengan menggunakan metode perturbasi homotopi. b. Membandingkan penyelesaian eksak dengan hampiran penyelesaian yang diperoleh. 1.3 Sistematika Penulisan Karya ilmiah ini terdiri dari empat bab. Bab pertama merupakan pendahuluan yang berisi latar belakang dan tujuan penulisan. Bab kedua berupa landasan teori yang berisi beberapa istilah dan konsep dari metode perturbasi homotopi untuk menyelesaikan persamaan integral fuzzy Volterra tipe kedua pada pembahasan. Bab ketiga berupa pembahasan yang berisi analisis metode yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan integral fuzzy Volterra tipe kedua. Dalam bab ini juga disajikan hasil numerik untuk membandingkan penyelesaian eksak dengan hampiran penyelesaian yang diperoleh. Bab terakhir pada tulisan ini berisi kesimpulan dari keseluruhan penulisan.

II LANDASAN TEORI Pada bagian ini akan dibahas teori-teori yang digunakan dalam penyusunan karya ilmiah ini. Teori-teori tersebut meliputi himpunan fuzzy yang disarikan dari [Kusumadewi, 2004], bilangan fuzzy, persamaan integral fuzzy Volterra yang disarikan dari [T.Allahviranloo, 2010 ] dan metode perturbasi homotopi yang disarikan dari [He, 2000].

𝑥−𝑚

𝑢=

𝛼 𝑚 −𝑥 𝛽

+ 1, 𝑚 − 𝛼 ≤ 𝑥 ≤ 𝑚, + 1, 𝑚 ≤ 𝑥 ≤ 𝑚 + 𝛽,

0,

𝑠𝑒𝑙𝑎𝑖𝑛𝑛𝑦𝑎

dan diperoleh bentuk parametrik sebagai berikut: 𝑢 𝑟 = 𝑚 − 1 − 𝑟 𝛼,

2.1 Himpunan Fuzzy dan Bilangan Fuzzy Himpunan fuzzy merupakan perluasan konsep dari himpunan klasik yang menggunakan nilai keanggotaan {0,1} menjadi [0,1]. Pada himpunan klasik, nilai keanggotaan suatu item 𝑥 dalam suatu himpunan 𝐴, yang sering ditulis 𝐴[𝑥], memiliki dua kemungkinan yaitu, 1 yang berarti bahwa suatu item menjadi anggota dalam suatu himpunan dan 0 yang berarti bahwa suatu item tidak menjadi anggota dalam suatu himpunan. Sedangkan pada himpunan fuzzy nilai keanggotaan terletak pada rentang 0 sampai 1. Nilai 0 menunjukkan salah, nilai 1 menunjukkan benar, dan masih ada nilai-nilai yang terletak antara benar dan salah. Himpunan fuzzy dapat juga didefinisikan sebagai sekumpulan objek 𝑥 di mana masing-masing objek memiliki nilai keanggotaan atau disebut juga nilai kebenaran. Jika 𝑋 adalah sekumpulan objek dan 𝑥 adalah anggota dari 𝑋, maka himpunan fuzzy 𝐴 yang memiliki domain 𝑋 didefinisikan sebagai 𝐴=

𝑥, 𝜇𝐴 𝑥

𝑥∈𝑋 ,

dengan 𝜇𝐴 𝑥 merupakan nilai keanggotaan 𝑥 pada himpunan fuzzy 𝐴 yang bernilai [0,1]. Suatu bilangan fuzzy 𝑢 ∈ ℜ didefinisikan sebagai pasangan (𝑢, 𝑢) dari fungsi (𝑢(𝑟), 𝑢(𝑟)) yang memenuhi sifat – sifat berikut : 1. Fungsi 𝑢 merupakan fungsi yang monoton naik, terbatas, dan kontinu kiri pada [0,1]. 2. Fungsi 𝑢 merupakan fungsi yang monoton turun, terbatas, dan kontinu kanan pada [0,1]. 3. 𝑢 𝑟 ≤ 𝑢 𝑟 dengan 0 ≤ 𝑟 ≤ 1. Untuk lebih memahami bilangan fuzzy, berikut ini diberikan salah satu contoh bilangan fuzzy yaitu bilangan fuzzy segitiga dengan parameter 𝑢 = (𝑚, 𝛼, 𝛽) yang didefinisikan dengan

𝑢 𝑟 = 𝑚 + 1 − 𝑟 𝛽. Berikut ini operasi penjumlahan dan perkalian skalar pada himpunan bilangan fuzzy. Untuk sembarang bilangan fuzzy 𝑢 = (𝑢, 𝑢) dan 𝑣 = (𝑣, 𝑣) didefinisikan penjumlahan (𝑢 + 𝑣) sebagai berikut: 𝑢 + 𝑣 𝑟 = 𝑢 𝑟 + 𝑣(𝑟), 𝑢+𝑣 𝑟 =𝑢 𝑟 +𝑣 𝑟

(2.1)

dan untuk bilangan real 𝑘 > 0 didefinisikan perkalian skalar sembarang bilangan fuzzy sebagai berikut:

𝑘𝑢 𝑟 =

𝑘𝑢 𝑟 , 𝑘𝑢 𝑟

, 𝑘 ≥ 0;

𝑘𝑢 𝑟 , 𝑘𝑢 𝑟

(2.2) , 𝑘 < 0.

Selanjutnya, untuk sembarang bilangan fuzzy 𝑢 = (𝑢, 𝑢) dan 𝑣 = (𝑣, 𝑣) didefinisikan fungsi jarak antara 𝑢 dan 𝑣 sebagai berikut 𝐷 𝑢, 𝑣 = max sup 𝑢 𝑟 − 𝑣 𝑟 , sup 𝑢 𝑟 0≤r≤1

0≤r≤1

−𝑣 𝑟

.

(2.3) Misalkan 𝐷: 𝐸1 → [0,1] memenuhi 𝐷 𝑢, 𝑢 = 0, 𝐷 𝑢, 𝑣 > 0 ∀𝑢 ≠ 𝑣 , 𝐷 𝑢, 𝑣 = 𝐷(𝑣, 𝑢), dan 𝐷 𝑢, 𝑣 ≤ 𝐷 𝑢, 𝑤 + 𝐷(𝑤, 𝑣), maka 𝐷 merupakan metrik untuk 𝐸1 dan (𝐸1 , D) merupakan suatu ruang metrik karena himpunan 𝐸1 dilengkapi dengan suatu metrik 𝐷. Berikut ini akan didefinisikan konsep integral dari fungsi fuzzy dengan menggunakan konsep integral Rieman. Misalkan 𝑓: 𝑎, 𝑏 → 𝐸1 . untuk setiap partisi 𝑝 = {𝑡0 , 𝑡1 , … , 𝑡𝑛 } dengan 𝑕= 𝑚𝑎𝑥 𝑡𝑖 − 𝑡𝑖−1

3 dan untuk sembarang 𝜀𝑖 dengan 𝑡𝑖−1 ≤ 𝜀𝑖 ≤ 𝑡𝑖 , 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛, misalkan 𝑅𝑝 =

𝑛 𝑖=1 𝑓

𝜀𝑖

𝑡𝑖 − 𝑡𝑖−1

(2.4)

maka bentuk persamaan Volterra tipe kedua adalah:

𝑏 𝑎

fuzzy

𝑢 𝑥, 𝑟 = 𝑓 𝑥, 𝑟 𝑥

+ Integral 𝑓(𝑥) pada [𝑎, 𝑏] didefinisikan sebagai berikut :

integral

𝑘1 𝑥, 𝑡, 𝑢 𝑡, 𝑟 , 𝑢 𝑡, 𝑟

𝑑𝑡,

𝑎

𝑢 𝑥, 𝑟 = 𝑓 𝑥, 𝑟 𝑥

+ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = lim𝑕→0 𝑅𝑝 ,

𝑘2 𝑥, 𝑡, 𝑢 𝑡, 𝑟 , 𝑢 𝑡, 𝑟

𝑑𝑡

𝑎

(2.8)

(2.5)

dengan

asalkan limit tersebut ada terhadap metrik D. Jika 𝑓 𝑥 kontinu terhadap metrik 𝐷, maka integral tentu dari 𝑓(𝑥) tersebut ada, kemudian didefinisikan 𝑓 𝑥, 𝑟 𝑑𝑥 =

𝑏 𝑎

𝑓 𝑥, 𝑟 𝑑𝑥

𝑏 𝑎

𝑓 𝑥, 𝑟 𝑑𝑥 =

𝑏 𝑎

𝑓 𝑥, 𝑟 𝑑𝑥

(2.6)

2.2 Persamaan Integral Fuzzy Volterra Persamaan integral Volterra tipe kedua dapat dinyatakan dalam bentuk berikut: 𝑥

=𝑓 𝑥 +

(2.9)

dan

𝑏 𝑎

𝑢 𝑥

𝑘1 𝑥, 𝑡, 𝑢 𝑡, 𝑟 , 𝑢 𝑡, 𝑟 𝑘 𝑥, 𝑡 𝑢 𝑥, 𝑟 , 𝑘 𝑥, 𝑡 ≥ 0; = 𝑘 𝑥, 𝑡 𝑢 𝑥, 𝑟 , 𝑘 𝑥, 𝑡 < 0

𝑘(𝑥, 𝑡)𝑢 𝑡 𝑑𝑡 ,

(2.7)

𝑎

dengan 𝑘 𝑥, 𝑡 didefinisikan sebagai fungsi kernel pada daerah persegi 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 dan 𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑥. Fungsi 𝑓(𝑥) merupakan fungsi dari 𝑥 dengan 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏. Persamaan integral Volterra tipe kedua pada persamaan (2.7) banyak muncul pada masalah osilasi dalam fisika. Masalah osilasi dinyatakan dalam persamaan differensial biasa orde dua berikut 𝑢"(𝑥) + 𝐴(𝑥)𝑢′ + 𝐵(𝑥)𝑢 = 𝑔(𝑥), penyelesaian persamaan differensial biasa tersebut berupa suatu persamaan integral Volterra tipe kedua. (Lampiran 1) Pada persamaan integral Volterra tipe kedua jika 𝑓(𝑥) berupa fungsi fuzzy yaitu fungsi 𝑓 𝑥 = 𝑓(𝑥, 𝑟), maka persamaan tersebut akan memiliki penyelesaian dalam bentuk fuzzy. Misalkan 𝑓 𝑥, 𝑟 = 𝑓 𝑥, 𝑟 , 𝑓(𝑥, 𝑟) dan 𝑢 𝑥, 𝑟 = (𝑢 𝑥, 𝑟 , 𝑢(𝑥, 𝑟)), 0 ≤ 𝑟 ≤ 1 yang masing-masing merupakan bentuk parametrik dari fungsi 𝑓(𝑥) dan 𝑢(𝑥) untuk 𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏 ,

𝑘2 𝑥, 𝑡, 𝑢 𝑡, 𝑟 , 𝑢 𝑡, 𝑟 𝑘 𝑥, 𝑡 𝑢 𝑥, 𝑟 , 𝑘 𝑥, 𝑡 ≥ 0; = 𝑘 𝑥, 𝑡 𝑢 𝑥, 𝑟 , 𝑘 𝑥, 𝑡 < 0,

(2.10)

untuk setiap 0 ≤ 𝑟 ≤ 1 dan 𝑡 ≥ 𝑎. 2.3 Metode Perturbasi Homotopi Berikut ini diberikan ilustrasi konsep dasar metode perturbasi homotopi berdasarkan alur pada pustaka [He, 2000]. Misalkan secara umum diberikan suatu persamaan integral sebagai berikut: 𝐴𝑢 =𝑓 𝑥

,𝑥 ∈ Ω

(2.11)

dengan 𝐴 merupakan suatu operator yang melibatkan persamaan integral, 𝑢 merupakan fungsi yang akan ditentukan dan 𝑓(𝑥) merupakan fungsi yang diketahui. Selanjutnya didefinisikan pula suatu operator linear 𝐿 yang memenuhi 𝐿 𝑦 = 0, bila 𝑦 = 0.

(2.12)

Misalkan 𝑢0 (𝑥) pendekatan awal dari penyelesaian persamaan (2.11) dan 𝑝 ∈ [0,1] suatu parameter. Didefinisikan fungsi real 𝑈 𝑥, 0 : Ω × [0,1] → ℜ dan suatu fungsi 𝐻 sebagai berikut: 𝐻 𝑈, 𝑝 = 1 − 𝑝 [𝐿 𝑈 − 𝐿[𝑢0 ]] +𝑝 𝐴 𝑈 −𝑓 𝑥 (2.13) Berdasarkan persamaan (2.13), maka untuk 𝑝 = 0 dan 𝑝 = 1 masing-masing memberikan persamaan berikut: 𝐻 𝑈(𝑥, 0),0 = 𝐿[𝑈(𝑥, 0)] − 𝐿[𝑢0 (𝑥)]

4 dan 𝐻 𝑈(𝑥, 1),1 = 𝐴[𝑈 𝑥, 1 ] − 𝑓(𝑥) Sehingga menurut persamaan (2.11) dan persamaan (2.12) diperoleh bahwa fungsi

𝑢0 (𝑥) merupakan pendekatan awal dari penyelesaian 𝑢(𝑥). Selanjutnya, untuk lebih memahami metode ini, misalkan diberikan sebuah persamaan integral Volterra tipe kedua sebagai berikut: 1 𝑢 𝑥 = ex + 𝑥 e2x − 1 − 2

𝑈 𝑥, 0 = 𝑢0 (𝑥) dan 𝑈 𝑥, 1 = 𝑢(𝑥)

𝑥

𝑥𝑢2 (𝑡)𝑑𝑡 . 0

(2.16)

masing-masing merupakan penyelesaian dari persamaan

dengan 1 𝑓 𝑥 = 𝑒 𝑥 + 𝑥(𝑒 2𝑥 − 1) 2

𝐻 𝑈(𝑥, 0),0 = 0 dan

dan 𝐻 𝑈(𝑥, 1),1 = 0.

Dengan demikian peningkatan nilai 𝑝 dari 0 ke 1 menyatakan perubahan nilai 𝐻(𝑈, 𝑝) dari 𝐿[𝑈 − 𝑢0 ] ke 𝐴[𝑈] − 𝑓(𝑥). Dalam topologi, proses ini disebut deformasi. Proses deformasi yang ditinjau meliputi deformasi orde nol dan orde tinggi. Pada deformasi orde nol memberikan penyelesaian awal 𝑢0 , sedangkan deformasi orde tinggi memberikan penyelesaian 𝑢1 , 𝑢2 , ⋯ , 𝑢𝑖 . Dalam metode perturbasi homotopi, Penyelesaian fungsi 𝐻 𝑈, 𝑝 = 0 diasumsikan dapat ditulis dalam bentuk deret Taylor fungsi 𝑈(𝑥, 𝑝) terhadap 𝑝 sebagai berikut:

𝑘 𝑥, 𝑡 = 𝑥. Penyelesaian eksak persamaan (2.16) adalah 𝑢 𝑥 = 𝑒𝑥. Berikut ini akan dicari penyelesaian dari persamaan (2.16) dengan menggunakan metode perturbasi homotopi. Selanjutnya didefinisikan operator 𝐿 sebagai berikut 𝐿[𝑈] = 𝑈 dan

𝑥

𝐴 𝑈 =𝑈−

𝑘(𝑥, 𝑡)𝑈(𝑡)𝑑𝑡 0

∞

sehingga berdasarkan persamaan (2.13) diperoleh persamaan fungsi 𝐻 sebagai berikut:

𝑢𝑖 𝑥 𝑝 𝑖 .

𝑈 𝑥, 𝑝 = 𝑢0 𝑥 + 𝑖=1

(2.14) Berdasarkan persamaan (2.14) untuk 𝑝 = 1, maka akan diperoleh

𝐻 𝑈, 𝑝 = 1 − 𝑝 𝑈 𝑥, 𝑝 − 𝑢0 𝑥 +𝑝 𝑈 𝑥, 𝑝 − 𝑓(𝑥)

∞

𝑈 𝑥, 1 = 𝑢0 𝑥 +

𝑥

𝑢𝑖 (𝑥)

−

𝑖=1

Karena 𝑢 𝑥 = 𝑈(𝑥, 1), maka diperoleh

atau 𝐻 𝑈, 𝑝 = 1 − 𝑝 𝑈 𝑥. 𝑝 − 𝑢0 𝑥

∞

𝑢(𝑥) = 𝑢0 𝑥 +

𝑘 𝑥, 𝑡 𝑈(𝑡)𝑑𝑡 , 0

𝑥

𝑢𝑖 (𝑥).

(2.15)

𝑖=1

Hasil ini menunjukkan hubungan antara penyelesaian eksak dari persamaan (2.11) dengan pendekatan awal 𝑢0 (𝑥) dan 𝑢𝑖 (𝑥), 𝑖 = 1,2, … yang akan ditentukan. Untuk menentukan 𝑢𝑖 (𝑥), 𝑖 = 1,2, … diperoleh dengan menggunakan metode perturbasi, dimana persamaan (2.14) disubstitusikan ke dalam persamaan (2.13) dan diperoleh 𝑢𝑖 . Secara umum 𝑢𝑖 diperoleh dengan menyamakan koefisien perpangkatan 𝑝, dan

𝑥𝑈 2 𝑡 𝑑𝑡 − 𝑒 𝑥

+𝑝 𝑈 𝑥, 𝑝 − 0

1 − 𝑥 𝑒 2𝑥 − 1 . 2

(2.17)

dengan 𝑈(𝑥, 𝑝) merupakan peyelesaian dari 𝐻 𝑈, 𝑝 = 0 atau

5 𝑈 𝑥, 𝑝 = 1 − 𝑝 𝑢0 𝑥 1 − 𝑝 −𝑒 𝑥 − 𝑥 𝑒 2𝑥 − 1 2

Berdasarkan persamaan (2.15), maka hampiran penyelesaian dari persamaan (2.16) adalah

𝑥

𝑥𝑈 2 𝑡, 𝑝 𝑑𝑡 . (2.18)

+ 0

Misalkan penyelesaian persamaan dinyatakan dalam bentuk: 𝑈 𝑥, 𝑝 = 𝑢0 + 𝑝𝑢1 + 𝑝2 𝑢2 + ⋯.

(2.18)

(2.19)

Jika persamaan (2.19) disubstitusikan ke dalam persamaan (2.18), maka koefisien 𝑝0 , 𝑝1 , 𝑝2 , ⋯ masing-masing memberikan sebagai berikut

1 1465 3 𝑢 𝑥 ≈ ex + 𝑥 e2x − 1 + 𝑥 − e2x x 2 1152 8 1 3x 2 1 3x − e x + e x + ex x 2 3 9 +⋯ Perbandingan penyelesaian eksak persamaan (2.16) dan penyelesaian dengan metode perturbasi homotopi diberikan pada Gambar 1. Pada Gambar 1 terlihat bahwa penyelesaian eksak dan penyelesaian dengan menggunakan metode perturbasi homotopi terlihat sangat dekat untuk nilai 𝑥 tertentu.

𝑢0 𝑥 = 𝑢0 𝑥 , 𝑥

𝑢0 2 𝑡 𝑑𝑡,

𝑢1 𝑥 = −𝑥 0

𝑢2 𝑥 = −𝑥

𝑥 0

2𝑢0 𝑡 𝑢1 𝑡 𝑑𝑡,

dan seterusnya diperoleh 𝑢3 𝑥 , 𝑢4 𝑥 , dan ⋯. (Lampiran 2) Karena dipilih pendekatan awal sebagai berikut: 1 𝑢0 𝑥 = ex + 𝑥 e2x − 1 , 2 maka diperoleh: 1465 3 1 1 𝑥 − e2x x − e3x x 2 + e3x x 1152 8 3 9 1 4x 3 1 4x 2 x 2 x +e x − e x − e x + e x 16 32 1 4x 1 2x 3 1 2x 2 1 4 − e x+ e x − e x − x 128 4 4 12

𝑢1 𝑥 =

dan seterusnya diperoleh pula 𝑢2 (𝑥), 𝑢3 (𝑥), 𝑢4 (𝑥), ⋯.

Gambar 1 Perbandingan penyelesaian eksak dan penyelesaian dengan menggunakan metode perturbasi homotopi.

III PEMBAHASAN Pada bagian ini akan dibahas kegunaan metode perturbasi homotopi untuk menyelesaikan suatu masalah taklinear. Metode ini akan digunakan untuk menyelesaikan persamaan integral fuzzy Volterra tipe kedua. Agar validitas metode ini terjamin, maka akan diberikan suatu contoh kasus dari persamaan integral fuzzy Volterra dan membandingkan penyelesaian eksak dan hampiran penyelesaian yang diperoleh dengan metode perturbasi homotopi.

3.1 Analisis Metode Dalam karya ilmiah ini akan digunakan metode perturbasi homotopi untuk menyelesaikan persamaan integral fuzzy Volterra tipe kedua. Bentuk umum dari persamaan integral fuzzy Volterra tipe kedua diberikan pada persamaan (2.8). Perluasan dari konsep dasar metode perturbasi homotopi yang telah diuraikan di landasan teori memerlukan fungsi 𝑈(𝑥, 𝑝, 𝑟) yang tidak hanya bergantung pada parameter 𝑥 dan 𝑝, tetapi juga bergantung pada parameter 𝑟 dengan 0 ≤ 𝑟 ≤ 1. Misalkan fungsi 𝐻 dinyatakan sebagai berikut

𝐻 𝑈 𝑥, 𝑝, 𝑟 , 𝑝 = 1 − 𝑝 𝑈 𝑥, 𝑝, 𝑟 − 𝑈0 𝑥, 𝑟 𝑐

+ 𝑝 𝑈 𝑥, 𝑝, 𝑟 − 𝑓 𝑥, 𝑟 −

𝑥

𝑘 𝑥, 𝑡 𝑈 𝑡, 𝑝, 𝑟 𝑑𝑡 −

𝑘 𝑥, 𝑡 𝑈 𝑡, 𝑝, 𝑟 𝑑𝑡 𝑐

𝑎

atau 𝐻 𝑈 𝑥, 𝑝, 𝑟 , 𝑝 = 𝑈 𝑥, 𝑝, 𝑟 − 𝑈0 𝑥, 𝑟

𝑐

+ 𝑝 𝑈0 𝑥, 𝑟 − 𝑓 𝑥, 𝑟 −

𝑥

𝑘 𝑥, 𝑡 𝑈 𝑡, 𝑝, 𝑟 𝑑𝑡 −

𝑘 𝑥, 𝑡 𝑈 𝑡, 𝑝, 𝑟 𝑑𝑡 𝑐

𝑎

dan 𝐻 𝑈 𝑥, 𝑝, 𝑟 , 𝑝 = 1 − 𝑝 𝑈 𝑥, 𝑝, 𝑟 − 𝑈0 𝑥, 𝑟 𝑐

+ 𝑝 𝑈 𝑥, 𝑝, 𝑟 − 𝑓 𝑥, 𝑟 −

𝑥

𝑘 𝑥, 𝑡 𝑈 𝑡, 𝑝, 𝑟 𝑑𝑡 − 𝑎

𝑘 𝑥, 𝑡 𝑈 𝑡, 𝑝, 𝑟 𝑑𝑡 𝑐

atau 𝐻 𝑈 𝑥, 𝑝, 𝑟 , 𝑝 = 𝑈 𝑥, 𝑝, 𝑟 − 𝑈0 𝑥, 𝑟

𝑐

+ 𝑝 𝑈0 𝑥, 𝑟 − 𝑓 𝑥, 𝑟 −

𝑥

𝑘 𝑥, 𝑡 𝑈 𝑡, 𝑝, 𝑟 𝑑𝑡 − 𝑎

𝑘 𝑥, 𝑡 𝑈 𝑡, 𝑝, 𝑟 𝑑𝑡 𝑐

(3.1) Selanjutnya, berdasarkan persamaan (3.1) untuk nilai 𝑝 = 0 diperoleh

𝐻 𝑈 𝑥, 1, 𝑟 , 1 = 𝑈 𝑥, 1, 𝑟 − 𝑓 𝑥, 𝑟 𝑐

−

𝐻 𝑈 𝑥, 0, 𝑟 , 0 = 𝑈 𝑥, 0, 𝑟 − 𝑈0 𝑥, 𝑟

𝑎

𝑥

−

dan 𝐻 𝑈 𝑥, 0, 𝑟 , 𝑝 = 𝑈 𝑥, 0, 𝑟 − 𝑈0 𝑥, 𝑟 . (3.2) Kemudian untuk nilai 𝑝 = 1 diperoleh persamaan berikut

𝑘 𝑥, 𝑡 𝑈 𝑡, 1, 𝑟 𝑑𝑡 𝑘 𝑥, 𝑡 𝑈 𝑡, 1, 𝑟 𝑑𝑡 𝑐

dan

7 𝑐

𝐻 𝑈 𝑥, 𝑝, 𝑟 , 𝑝 = 𝑈 𝑥, 1, 𝑟 − 𝑓 𝑥, 𝑟 𝑐

𝑈 𝑥, 1, 𝑟 = 𝑓 𝑥, 𝑟 +

−

𝑘 𝑥, 𝑡 𝑈 𝑡, 1, 𝑟 𝑑𝑡

𝑘 𝑥, 𝑡 𝑈 𝑡, 1, 𝑟 𝑑𝑡 𝑎

𝑥

𝑎 𝑥

+

−

𝑘 𝑥, 𝑡 𝑈 𝑡, 1, 𝑟 𝑑𝑡 𝑐

(3.3) Misalkan fungsi 𝑈(𝑥, 𝑝, 𝑟) dan 𝑈(𝑥, 𝑝, 𝑟) masing-masing merupakan penyelesaian dari 𝐻 𝑈 𝑥, 𝑝, 𝑟 , 𝑝 = 0 dan 𝐻 𝑈 𝑥, 𝑝, 𝑟 , 𝑝 = 0. Berdasarkan persamaan (3.1), maka akan diperoleh

𝑘 𝑥, 𝑡 𝑈 𝑡, 1, 𝑟 𝑑𝑡 𝑐

dan 𝑐

𝑈 𝑥, 1, 𝑟 = 𝑓 𝑥, 𝑟 +

𝑘 𝑥, 𝑡 𝑈 𝑡, 1, 𝑟 𝑑𝑡 𝑎

𝑥

+

𝑘 𝑥, 𝑡 𝑈 𝑡, 1, 𝑟 𝑑𝑡 𝑐

𝑈 𝑥, 𝑝, 𝑟 = 𝑈0 𝑥, 𝑟 + 𝑝 𝑓 𝑥, 𝑟 − 𝑈0 𝑥, 𝑟 𝑐

+

𝑘 𝑥, 𝑡 𝑈 𝑡, 𝑝, 𝑟 𝑑𝑡

(3.5) Berdasarkan metode perturbasi homotopi, fungsi 𝑈(𝑥, 𝑝, 𝑟) dan 𝑈(𝑥, 𝑝, 𝑟) dapat diasumsikan dalam bentuk deret pangkat dalam 𝑝 berikut

𝑎

∞

𝑥

+

𝑝𝑖 𝑢𝑖 𝑥, 𝑟 ,

𝑈 𝑥, 𝑝, 𝑟 =

𝑘 𝑥, 𝑡 𝑈 𝑡, 𝑝, 𝑟 𝑑𝑡 𝑐

𝑖=0

dan dan

∞

𝑝𝑖 𝑢𝑖 (𝑥, 𝑟).

𝑈 𝑥, 𝑝, 𝑟 =

𝑈 𝑥, 𝑝, 𝑟 = 𝑈0 𝑥, 𝑟

𝑖=0

+ 𝑝 𝑓 𝑥, 𝑟 − 𝑈0 𝑥, 𝑟 𝑐

+

𝑘 𝑥, 𝑡 𝑈 𝑡, 𝑝, 𝑟 𝑑𝑡 𝑎

(3.6) Berdasarkan persamaan (3.6) dan persamaan (3.4), maka akan diperoleh koefisien dari perpangkatan 𝑝. Koefisien 𝑝0 memberikan

𝑥

+

𝑘 𝑥, 𝑡 𝑈 𝑡, 𝑝, 𝑟 𝑑𝑡 . 𝑐

(3.4) Fungsi 𝑈( 𝑥, 𝑝, 𝑟 , 𝑝) dan 𝑈( 𝑥, 𝑝, 𝑟 , 𝑝) tidak hanya bergantung pada parameter 𝑥 dan 𝑝, tetapi juga bergantung pada parameter 𝑟. Berdasarkan persamaan (3.4), maka untuk 𝑝 = 0 diperoleh masing-masing penyelesaian dari persamaan 𝐻 𝑈 𝑥, 0, 𝑟 , 0 = 0 dan 𝐻 𝑈 𝑥, 0, 𝑟 , 0 = 0 sebagai berikut

𝑢0 𝑥, 𝑟 = 𝑈0 (𝑥, 𝑟) dan 𝑢0 𝑥, 𝑟 = 𝑈0 (𝑥, 𝑟). (3.7) Selanjutnya, koefisien untuk 𝑝1 memberikan 𝑢1 𝑥, 𝑟 = 𝑓 𝑥, 𝑟 − 𝑈0 𝑥, 𝑟 𝑐

+

𝑘 𝑥, 𝑡 𝑢0 𝑡, 𝑟 𝑑𝑡 𝑎

𝑈 𝑥, 0, 𝑟 = 𝑈0 𝑥, 𝑟

𝑥

+

dan

𝑘 𝑥, 𝑡 𝑢0 𝑡, 𝑟 𝑑𝑡 𝑐

dan 𝑢1 𝑥, 𝑟 = 𝑓 𝑥, 𝑟 − 𝑈0 𝑥, 𝑟

𝑈 𝑥, 0, 𝑟 = 𝑈0 𝑥, 𝑟 .

𝑐

Selanjutnya, untuk 𝑝=1 penyelesaian persamaan berikut

diperoleh

+

𝑘 𝑥, 𝑡 𝑢0 𝑡, 𝑟 𝑑𝑡 𝑎

𝑥

+

𝑘 𝑥, 𝑡 𝑢0 𝑡, 𝑟 𝑑𝑡 . 𝑐

(3.8)

8 𝑐

koefisien 𝑝𝑖+1 untuk 𝑖 ≥ 1

Secara umum, memberikan

𝑢 𝑥, 𝑟 = 𝑓 𝑥, 𝑟 +

𝑐

𝑢𝑖+1 𝑥, 𝑟 = 𝑎

+

𝑥

+

𝑘 𝑥, 𝑡 𝑢𝑖 𝑡, 𝑟 𝑑𝑡 𝑐

dan

𝑘 𝑥, 𝑡 𝑢 𝑡, 𝑟 𝑑𝑡 𝑐

dan

𝑐

𝑢𝑖+1 𝑥, 𝑟 =

𝑎

𝑥

𝑘 𝑥, 𝑡 𝑢𝑖 𝑡, 𝑟 𝑑𝑡

𝑘 𝑥, 𝑡 𝑢 𝑡, 𝑟 𝑑𝑡

𝑐

𝑢 𝑥, 𝑟 = 𝑓 𝑥, 𝑟 + 𝑘 𝑥, 𝑡 𝑢𝑖 𝑡, 𝑟 𝑑𝑡

𝑎

𝑥

𝑥

+

+

𝑘 𝑥, 𝑡 𝑢𝑖 𝑡, 𝑟 𝑑𝑡 . 𝑐

(3.9) (Lampiran 3) Dengan membuat nilai 𝑝 = 1, diperoleh

maka akan

∞

𝑢 𝑥, 𝑟 = lim 𝑈 𝑥, 𝑝, 𝑟 = 𝑝→1

𝑢𝑖 𝑥, 𝑟 𝑖=0

dan

∞

𝑢 𝑥, 𝑟 = lim 𝑈 𝑥, 𝑝, 𝑟 = 𝑝→1

𝑢𝑖 𝑥, 𝑟 . 𝑖=0

(3.10) Dengan demikian apabila diberikan suatu persamaan integral fuzzy Volterra tipe kedua seperti pada persamaan (2.8), maka dengan menggunakan metode perturbasi homotopi akan diperoleh hampiran penyelesaian persamaan integral fuzzy Volterra tipe kedua sebagai berikut ∞

𝑢 𝑥, 𝑟 ≈ 𝑖=0

𝑢𝑖 𝑥, 𝑟

dan

𝑘 𝑥, 𝑡 𝑢 𝑡, 𝑟 𝑑𝑡 𝑎

𝑘 𝑥, 𝑡 𝑢 𝑡, 𝑟 𝑑𝑡 , 𝑐

(3.12) dengan 𝑘(𝑥, 𝑡) merupakan fungsi kernel. Nilai 𝑐 ditentukan berdasarkan nilai 𝑘(𝑥, 𝑡) taknegatif untuk 𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑐 dan 𝑘(𝑥, 𝑡) takpositif untuk 𝑐 ≤ 𝑡 ≤ 𝑥. Untuk lebih memahami penggunaan metode perturbasi homotopi pada persamaan integral fuzzy Volterra tipe kedua, maka berikut ini diberikan dua ilustrasi persamaan integral fuzzy Volterra tipe kedua dengan fungsi kernel yang berbeda. Pada kasus pertama fungsi kernel yang diberikan berupa fungsi linear dan pada kasus kedua diberikan fungsi kernel berupa fungsi trigonometri. Kasus I: kernel berupa fungsi linear Misal 𝑘 𝑥, 𝑡 = 𝑥 2 1 − 2𝑡 ,

(3.13)

dengan 0 ≤ 𝑥 ≤ 1 dan 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑥 serta 𝑎 = 0, 𝑏 = 1,

∞

𝑢 𝑥, 𝑟 ≈ 𝑖=0

𝑢𝑖 𝑥, 𝑟 ,

(3.11) dengan 𝑢𝑖 (𝑥, 𝑟) dan 𝑢𝑖 (𝑥, 𝑟) diperoleh dari persamaan (3.8) dan persamaan (3.9) serta 𝑢0 (𝑥, 𝑟) dan 𝑢0 (𝑥, 𝑟) merupakan pendekatan awal yang dipilih.

3.2 Aplikasi Metode Tinjau persamaan integral fuzzy Volterra tipe kedua yang diberikan pada persamaan (2.8). Berdasarkan persamaan (2.9) dan persamaan (2.10), maka persamaan integral fuzzy Volterra tipe kedua dapat ditulis sebagai berikut:

dan diberikan fungsi 𝑓(𝑥, 𝑟) dan 𝑓 𝑥, 𝑟 sebagai berikut: 2 3 4 3 1 2 𝑟𝑥 − 𝑥 − 𝑟𝑥 3 3 2 1 + 𝑥2 + 𝑟 12 1 − (3.14) 12

𝑓 𝑥, 𝑟 = 𝑟𝑥 − 𝑥 2

dan 𝑓 𝑥, 𝑟 = 2 − 𝑟 𝑥 2 1 1 1 +𝑥 2 𝑟𝑥 3 − 𝑟𝑥 2 + 𝑟− 3 2 12 12 (3.15) Penyelesaian eksak untuk kasus 1 ini adalah: 𝑢 𝑥, 𝑟 = 𝑟𝑥,

(3.16)

9 dan 𝑢 𝑥, 𝑟 = 2 − 𝑟 𝑥.

(3.17)

Pada contoh ini, diperoleh nilai 𝑘(𝑥, 𝑡) 1 taknegatif untuk 0 ≤ 𝑡 ≤ dan 𝑘(𝑥, 𝑡) takpositif

2

1

untuk

≤ 𝑡 ≤ 𝑥,

2

1

sehingga

diperoleh 𝑐 = . 2 Berdasarkan persamaan (3.12), maka akan memberikan bentuk persamaan integral fuzzy Volterra tipe kedua dari persamaan (3.14) dan persamaan (3.15) sebagai berikut

Untuk memperoleh hampiran penyelesaian dari persamaan integral fuzzy Volterra tipe kedua, maka akan ditentukan terlebih dahulu koefisien dari perpangkatan 𝑝. Berdasarkan persamaan (3.7) -(3.9), diperoleh koefisien 𝑝0 , dan 𝑝1 masing-masing memberikan 𝑢0 𝑥, 𝑟 = 𝑈0 𝑥, 𝑟 , 𝑢1 𝑥, 𝑟 = 𝑓 𝑥, 𝑟 − 𝑈0 𝑥, 𝑟 1 2

+ 0

1 2

𝑢 𝑥, 𝑟 = 𝑓 𝑥, 𝑟 +

+

+ 𝑘 𝑥, 𝑡 𝑢 𝑡, 𝑟 𝑑𝑡

0

𝑥

𝑘 𝑥, 𝑡 𝑢 𝑡, 𝑟 𝑑𝑡

1 2

𝑘 𝑥, 𝑡 𝑢𝑖 𝑡, 𝑟 𝑑𝑡 0

𝑥

+

𝑘 𝑥, 𝑡 𝑢 𝑡, 𝑟 𝑑𝑡

𝑘 𝑥, 𝑡 𝑢 𝑡, 𝑟 𝑑𝑡 1 2

(3.18) Berdasarkan pendekatan metode homotopi yang telah diuraikan di awal, maka berdasarkan persamaan (3.4) akan diperoleh penyelesaian persamaan homotopi dari persamaan (3.18) sebagai berikut

Selain itu, koefisien 𝑝0 , dan 𝑝1 masingmasing memberikan 𝑢0 𝑥, 𝑟 = 𝑈0 𝑥, 𝑟 , 𝑢1 𝑥, 𝑟 = 𝑓 𝑥, 𝑟 − 𝑈0 𝑥, 𝑟 1 2

+ +

1 2

𝑘 𝑥, 𝑡 𝑈 𝑡, 𝑝, 𝑟 𝑑𝑡 0 𝑥

+

𝑘 𝑥, 𝑡 𝑈 𝑡, 𝑝, 𝑟 ] 1 2

dan 𝑈(𝑥, 𝑝, 𝑟) = 𝑈0 𝑥, 𝑟 + 𝑝[𝑓 𝑥, 𝑟 − 𝑈0 𝑥, 𝑟 1 2

+

𝑘 𝑥, 𝑡 𝑈 𝑡, 𝑝, 𝑟 𝑑𝑡 0 𝑥

+

𝑘 𝑥, 𝑡 𝑈(𝑡, 𝑝, 𝑟)𝑑𝑡]. (3.19) 1 2

𝑘 𝑥, 𝑡 𝑢0 𝑡, 𝑟 𝑑𝑡 0

𝑈(𝑥, 𝑝, 𝑟) = 𝑈0 𝑥, 𝑟 + 𝑝[ 𝑓 𝑥, 𝑟 − 𝑈0 𝑥, 𝑟 +

𝑘 𝑥, 𝑡 𝑢𝑖 𝑡, 𝑟 𝑑𝑡.

1 2

0

𝑥

𝑘 𝑥, 𝑡 𝑢0 𝑡, 𝑟 𝑑𝑡.

1 2

1 2

𝑢𝑖+1 𝑥, 𝑟 =

dan

+

𝑥

Secara umum diperoleh

1 2

𝑢 𝑥, 𝑟 = 𝑓 𝑥, 𝑟 +

𝑘 𝑥, 𝑡 𝑢0 𝑡, 𝑟 𝑑𝑡

𝑥 1 2

𝑘 𝑥, 𝑡 𝑢0 𝑡, 𝑟 𝑑𝑡.

Secara umum diperoleh 1 2

𝑢𝑖+1 𝑥, 𝑟 =

𝑘 𝑥, 𝑡 𝑢𝑖 𝑡, 𝑟 𝑑𝑡 0

𝑥

+

1 2

𝑘 𝑥, 𝑡 𝑢𝑖 𝑡, 𝑟 𝑑𝑡

Selanjutnya, pilih pendekatan awal 𝑈0 𝑥, 𝑟 = 0 dan 𝑈0 𝑥, 𝑟 = 0, maka akan diperoleh 𝑢0 𝑥, 𝑟 = 0 dan 𝑢0 𝑥, 𝑟 = 0.

10 Berdasarkan uraian di atas, maka diperoleh 2 4 1 u1 ( x, r )  rx  x 2 [ rx3  x3  rx 2  x 2 ] , 3 3 2

(3.20)

2 1 1 1 u1 ( x, r )  (2  r ) x  x 2 [ rx3  rx 2  r  ] , 3 2 12 12

u 2 ( x, r )  

(3.21)

23x 2 23rx 2 rx 4 49 x5 25rx5 x 6 rx6 rx7 5rx8 4rx9   x4         280 280 2 36 36 24 24 10 18 21 , (3.22)

23x 2 23rx 2 rx 4 x5 25rx5 x6 rx6 x7 rx7 5x8 5rx8 8x9 4rx9 u 2 ( x, r )              280 280 2 36 36 24 24 5 10 9 18 21 21 , (3.23)

149773 x 149773rx 23 x 23rx 23 x 23rx rx 7 x8        127733760 127733760 840 840 560 560 10 216 8 9 9 10 10 11 11 12 61rx x 103rx 7x rx 43x 43rx 47 x 47 rx12          216 72 504 480 480 405 810 315 630 16 x13 8rx13   , 231 231

u 3 ( x, r )  

2

2

5

5

6

6

(3.24),

149773 x 2 149773rx 2 23 x 5 23rx 5 23 x 6 23rx 6 x 7 rx 7 u 3 ( x)         127733760 127733760 840 840 560 560 5 10 121x8 61rx8 199 x9 103rx9 x10 rx10 43rx11 47 rx12 8rx13          . 216 216 504 504 96 480 810 630 231 (3. 25),

Dengan demikian, penyelesaian persamaan integral fuzzy Volterra tipe kedua yang dinyatakan oleh persamaan (3.18) hingga orde tiga berbentuk 𝑢 𝑥, 𝑟 ≈ 𝑢0 𝑥, 𝑟 + 𝑢1 𝑥, 𝑟 + 𝑢2 𝑥, 𝑟 + 𝑢3 𝑥, 𝑟 , dan 𝑢 𝑥, 𝑟 ≈ 𝑢0 𝑥, 𝑟 + 𝑢1 𝑥, 𝑟 + 𝑢2 𝑥, 𝑟 + 𝑢3 𝑥, 𝑟 . Dengan menggunakan software MAPLE diperoleh grafik penyelesaian eksak dan hampiran penyelesaian persamaan (3.18) seperti yang diberikan pada Gambar 2.

Gambar 2 Grafik penyelesaian eksak dan hampiran penyelesaian persamaan (3.18)

11

Gambar 2 merupakan grafik 𝑢 terhadap 𝑟 dengan nilai 0 ≤ 𝑟 ≤ 1. Berikut ini akan diberikan Tabel 1 yang merupakan selisih antara penyelesaian eksak dan hampiran penyelesaian dengan menggunakan metode perturbasi homotopi dengan orde tiga.

Volterra tipe kedua dari persamaan (3.27) dan persamaan (3.28) sebagai berikut 𝑥

𝑢 𝑥, 𝑟 = 𝑓 𝑥, 𝑟 + dan

Tabel 1 Galat antara penyelesaian eksak dan metode perturbasi homotopi hingga orde 3 1 dengan 𝑥 = . 2

r

1 ; 𝑟 − 𝑢𝑕𝑝𝑚 𝑥, 𝑟 2

𝑢𝑒𝑘𝑠

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

𝑢𝑒𝑘𝑠

1.9699e-006 1.7457e-006 1.5215e-006 1.2973e-006 1.0731e-006 8.4893e-007 6.2474e-007 4.0054e-007 1.7634e-007 4.7853e-008 2.7205e-007

1 ; 𝑟 − 𝑢𝑕𝑝𝑚 𝑥, 𝑟 2

2.5140e-002 2.2898e-002 2.0656e-003 1.8414e-003 1.6172e-003 1.3930e-003 1.1688e-003 9.4464e-003 7.2404e-003 4.9625e-003 2.7205e-004

𝑥

𝑢 𝑥, 𝑟 = 𝑓 𝑥, 𝑟 +

kernel

berupa

𝑘 𝑥, 𝑡 = 𝑥𝑐𝑜𝑠 𝑡 − 𝑥 , dengan 0≤𝑥≤

𝜋 2

fungsi

𝑘 𝑥, 𝑡 𝑢 𝑡, 𝑟 𝑑𝑡 0

. (3.31) Berdasarkan pendekatan metode homotopi yang telah diuraikan di awal, maka berdasarkan persamaan (3.4) diperoleh penyelesaian persamaan homotopi dari persamaan (3.31) sebagai berikut 𝑈(𝑥, 𝑝, 𝑟) = 𝑈0 𝑥, 𝑟 + 𝑝 𝑓 𝑥, 𝑟 − 𝑈0 𝑥, 𝑟 𝑥

+ Kasus II: trigonometri Misal

𝑘 𝑥, 𝑡 𝑢 𝑡, 𝑟 𝑑𝑡 0

𝑘 𝑥, 𝑡 𝑈(𝑡, 𝑝, 𝑟)𝑑𝑡 0

dan 𝑈(𝑥, 𝑝, 𝑟) = 𝑈0 𝑥, 𝑟

(3.26)

+ 𝑝 𝑓 𝑥, 𝑟 − 𝑈0 𝑥, 𝑟 𝑥

𝜋

dan 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑥 serta 𝑎 = 0, 𝑏 = ,

+

2

𝑘 𝑥, 𝑡 𝑈(𝑡, 𝑝, 𝑟)𝑑𝑡 . 0

dan diberikan fungsi 𝑓(𝑥, 𝑟) dan 𝑓(𝑥, 𝑟) sebagai berikut: 𝑓 𝑥, 𝑟 = 2𝑥 𝑟 5 + 2𝑟 [3 − 3 cos 𝑥 − 𝑥 2 ] (3.27) dan 𝑓 𝑥, 𝑟 = 6𝑥 2 − 𝑟 3 [3 − 3 cos 𝑥 − 𝑥 2 ] (3.28)

(3.32) Untuk memperoleh hampiran penyelesaian dari persamaan integral fuzzy Volterra tipe kedua yang dinyatakan pada persamaan (3.31), maka akan ditentukan terlebih dahulu koefisien dari perpangkatan 𝑝. Berdasarkan persamaan (3.7)-(3.6), maka diperoleh koefisien 𝑝0 , dan 𝑝1 , masingmasing memberikan 𝑢0 𝑥, 𝑟 = 𝑈0 𝑥, 𝑟 ,

Penyelesaian eksak yang diberikan untuk kasus ini adalah sebagai berikut:

𝑢1 𝑥, 𝑟 = 𝑓 𝑥, 𝑟 − 𝑈0 𝑥, 𝑟 𝑥

𝑢 𝑥, 𝑟 = 𝑥 3 𝑟 5 + 2𝑟

(3.29)

+

dan

𝑘 𝑥, 𝑡 𝑢0 𝑡, 𝑟 𝑑𝑡. 0

𝑢 𝑥, 𝑟 = 𝑥 3 6 − 3𝑟 3

(3.30)

Pada contoh ini, nilai 𝑘(𝑥, 𝑡) selalu bernilai taknegatif untuk 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑥 , Sehingga diperoleh nilai 𝑐 = 𝑥. Berdasarkan persamaan (3.12) akan memberikan bentuk persamaan integral fuzzy

Secara umum diperoleh 𝑥

𝑢𝑖+1 𝑥, 𝑟 =

𝑘 𝑥, 𝑡 𝑢𝑖 𝑡, 𝑟 𝑑𝑡. 0

12 Selain itu, koefisien 𝑝0 , dan 𝑝1 masingmasing memberikan 𝑢0 𝑥, 𝑟 = 𝑈0 𝑥, 𝑟 ,

Secara umum diperoleh 𝑥

𝑢𝑖+1 𝑥, 𝑟 =

𝑘 𝑥, 𝑡 𝑢𝑖 𝑡, 𝑟 𝑑𝑡 . 0

𝑢1 𝑥, 𝑟 = 𝑓 𝑥, 𝑟 − 𝑈0 𝑥, 𝑟 𝑥

+

Selanjutnya, dipilih pendekatan awal 𝑈0 𝑥, 𝑟 = 0 dan 𝑈0 𝑥, 𝑟 = 0, sehingga diperoleh 𝑢0 𝑥, 𝑟 = 0 dan 𝑢0 𝑥, 𝑟 = 0. Berdasarkan uraian di atas, maka diperoleh

𝑘 𝑥, 𝑡 𝑢0 𝑡, 𝑟 𝑑𝑡. 0

u1 ( x, r )  2(2r  r 5 ) x(3  x 2  3Cos[ x])

,

(3.33)

u1 ( x, r )  6(2  r 3 ) x(3  x2  3Cos[ x]) ,

(3.34)

3 u 2 ( x, r )   r (2  r 4 ) x(4(3  x 2 )  (12  x 2 )Cos[ x]  xSin[ x]) 2 ,

(3.35)

9 u 2 ( x, r )  (2  r 3 ) x(4(3  x 2 )  (12  x 2 )Cos[ x]  xSin[ x]) 2 ,

(3.36)

u 3 ( x, r )  

1 r (2  r 4 ) x(288(3  x 2 )  3(288  25 x 2  x 4 )cos[ x]  x(69  10 x 2 ) sin[ x]) 16 (3.37)

3 u 3 ( x, r )  (2  r 3 ) x(288(3  x 2 )  3(288  25 x 2  x 4 )cos[ x]  x(69  10 x 2 ) sin[ x]) 16 (3.38)

Dengan demikian penyelesaian persamaan integral fuzzy volterra tipe kedua yang dinyatakan oleh persamaan (3.31) hingga orde tiga berbentuk 𝑢 𝑥, 𝑟 ≈ 𝑢0 𝑥, 𝑟 + 𝑢1 𝑥, 𝑟 + 𝑢2 𝑥, 𝑟 + 𝑢3 𝑥, 𝑟 ,

dan 𝑢 𝑥, 𝑟 ≈ 𝑢0 𝑥, 𝑟 + 𝑢1 𝑥, 𝑟 + 𝑢2 𝑥, 𝑟 + 𝑢3 𝑥, 𝑟 . Dengan menggunakan Software MAPLE diperoleh grafik penyelesaian eksak dan hampiran penyelesaian persamaan integral fuzzy Volterra tipe kedua pada contoh ini seperti diberikan pada Gambar 3.

Gambar 3 Grafik penyelesaian eksak dan hampiran penyelesaian.persamaan (3.31)

13 Gambar 3 merupakan grafik 𝑢 terhadap 𝑟 dengan nilai 0 ≤ 𝑟 ≤ 1. Selisih dari penyelesaian eksak dan hampiran

penyelesaian yang merupakan tingkat kesalahan metode perturbasi homotopi yang diberikan pada Table 2.

Tabel 2. Galat antara penyelesaian eksak dan penyelesaian dengan metode Perturbasi homotopi 𝜋 untuk 𝑥 = . 4

r 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

𝑢𝑒𝑘𝑠

1 ; 𝑟 − 𝑢𝑕𝑝𝑚 𝑥, 𝑟 2

0 1.1518e-004 2.3053e-004 3.4692e-004 4.6659e-004 5.9387e-004 7.3582e-004 9.0300e-004 1.1101e-003 1.3766e-003 1.7276e-003

1 ; 𝑟 − 𝑢𝑕𝑝𝑚 𝑥, 𝑟 2 4.4552e-003 3.4535e-003 3.4414e-003 3.4086e-003 3.3447e-003 3.2393e-003 3.0821e-003 2.8626e-003 2.5707e-003 2.1958e-003 1.7276e-003

𝑢𝑒𝑘𝑠

IV SIMPULAN Metode perturbasi homotopi merupakan salah satu metode analitik yang dapat digunakan untuk menyelesaikan suatu masalah taklinear. Dalam metode ini terdapat suatu parameter dan suatu fungsi yang dapat dipilih sembarang. Pemilihan kedua parameter ini dapat mengakibatkan perluasan daerah kekonvergenan (daerah dimana nilai penyelesaian hampiran mendekati nilai penyelesaian eksak). Salah satu aplikasi dari penggunaan metode perturbasi homotopi adalah penerapannya untuk menyelesaikan

persamaan integral fuzzy Volterra. Persamaan integral ini menggunakan konsep bilangan fuzzy sehingga persamaan tersebut dinyatakan dalam bentuk parametrik dengan parameter 0 dan 1. Dengan menggunakan program MAPLE diperoleh grafik penyelesaian eksak dan hampiran penyelesaian dari persamaan integral fuzzy Volterra. Grafik yang diperoleh menunjukkan bahwa penyelesaian yang diperoleh dengan metode perturbasi homotopi sangat dekat dengan penyelesaian eksak untuk nilai variabel bebas tertentu.

DAFTAR PUSTAKA Allahviranloo T, Khezerloo M, Ghanbari M, Khezerloo S. 2010.The Homotopy perturbation method for fuzzy Volterra integral equations. International journal of computational cognition, vol. 8, No.2. Babolian,E, A. Davari. 2005. Numerical implementation of Adomian decomposition method for linear voltera integral equations of the second kind, Appli. Math. Comput. 165, 223-227. Dubois D, Prade H. 1982. Towards fuzzy differential calculus:Part 3, differentiation, Fuzzy Sets and System. 8:225-233. Golberg M A. 1978. Solution Methods for Integral Equations: A Survey of .

Numerical Methods for Integral Equation. Plennum Press, New York, 158. He, J.H., 2000. A coupling method of homotopy technique and perturbation technique for nonlinear problems. International Journal Nonlinear Mechanic., Vol.35, No.1:37-43. Jerri A J. 1985. Introduction to Integral Equation with Applications, Marcel Dekker Inc., New York. Kusumadewi, S. 2002. Analisis dan Desain Sistem Fuzzy, Graha Ilmu.

LAMPIRAN

17

Lampiran 1 Penurunan Persamaan (2.7) Tinjau persamaan differensial biasa orde dua 𝑢" + 𝐴(𝑥)𝑢′ + 𝐵(𝑥)𝑢 = 𝑔(𝑥). dengan kondisi awal berikut 𝑢′ 𝑎 = 𝑢′0 .

𝑢 𝑎 = 𝑢0,

Jika persamaan differensial biasa di atas diintegralkan terhadap 𝑡, maka diperoleh 𝑥

𝑢′ 𝑥 = −

𝑥

𝐴 𝑡 𝑢′ 𝑡 𝑑𝑡 − 𝑎

𝑥

𝐵 𝑡 𝑢 𝑡 𝑑𝑡 + 𝑎

𝑔 𝑡 𝑑𝑡 + 𝑢′0 , 𝑎

atau 𝑥

𝑥

′

′

𝑢 𝑥 = −𝐴𝑢 𝑥 −

𝑔 𝑡 𝑑𝑡 + 𝐴 𝑎 𝑢0 + 𝑢′ 0 .

𝐵 − 𝐴 𝑡 𝑢 𝑡 𝑑𝑡 + 𝑎

𝑎

Jika persamaan differensial di atas diintegralkan untuk yang kedua kalinya, maka diperoleh 𝑥

𝑢 𝑥 =−

𝐴𝑢𝑑𝑥 − 𝑎

𝑦

𝑥

+

𝑦

𝑥

𝐵 𝑡 − 𝐴′ 𝑡 𝑢 𝑡 𝑑𝑡

𝑑𝑢 𝑎

𝑎

𝑔 𝑡 𝑑𝑡 + 𝐴 𝑎 𝑢0 + 𝑢′ 0 𝑥 − 𝑎 + 𝑢0 .

𝑑𝑢 𝑎

𝑎

𝑥

𝑦

Karena 𝑥

𝑑𝑢 𝑎

𝑓(𝑡) =

𝑥 − 𝑡 𝑓 𝑡 𝑑𝑡

𝑎

𝑎

maka persamaan untuk 𝑢 𝑥 menjadi 𝑥

𝑥 ′

𝑢 𝑥 =−

𝐴 𝑡 + 𝑥−𝑡 𝐵 𝑡 −𝐴 𝑡

𝑢 𝑡 𝑑𝑡 +

𝑎

𝑥 − 𝑡 𝑔 𝑡 𝑑𝑡 𝑎

+ 𝐴 𝑎 𝑢0 + 𝑢 ′ 0 𝑥 − 𝑎 + 𝑢0 . Misalkan 𝑘 𝑥, 𝑡 = 𝑡 − 𝑥 𝐵 𝑡 − 𝐴′ 𝑡

−𝐴 𝑡 ,

𝑥

𝑥 − 𝑡 𝑔 𝑡 𝑑𝑡 𝐴 𝑎 𝑢0 + 𝑢′ 0 𝑥 − 𝑎 + 𝑢0 .

𝑓 𝑥 = 𝑎

Persamaan untuk 𝑢(𝑥) menjadi

𝑥

𝑢 𝑥 =𝑓 𝑥 +

𝑘 𝑥, 𝑡 𝑢 𝑡 𝑑𝑡 𝑎

18

Lampiran 2 Penyelesaian Persamaan (2.16) Tinjau persamaan (2.16) sebagai berikut: 1 𝑢 𝑥 = ex + 𝑥 e2x − 1 − 2

𝑥

𝑥𝑢2 (𝑡)𝑑𝑡 . 0

Persamaan tersebut merupakan persamaan integral volterra tipe kedua dengan 1 𝑓 𝑥 = ex + 𝑥 e2x − 1 2 dan 𝑘 𝑥, 𝑡 = 𝑥. Berdasarkan persamaan (2.18) diperoleh 𝑥 1 𝑈 𝑥, 𝑝 = 1 − 𝑝 𝑢0 𝑥 − 𝑝 −ex − 𝑥 e2x − 1 + 𝑥𝑈 2 (𝑡, 𝑝)𝑑𝑡 . 2 0 Misalkan penyelesaian persamaan integral tersebut dinyatakan sebagai berikut:

𝑈 𝑥, 𝑝 = 𝑢0 𝑥 + 𝑝𝑢1 𝑥 + 𝑝2 𝑢2 𝑥 + ⋯ + 𝑝𝑖 𝑢𝑖 (𝑥). Jika persamaan (2.19) disubstitusikan ke dalam persamaan (2.18), maka diperoleh 𝑢0 𝑥 + 𝑝𝑢1 𝑥 + ⋯ = 1 − 𝑝 𝑢0 𝑥 1 − 𝑝 −e − 𝑥 e2x − 1 + 2

𝑥

x

Koefisien 𝑝1 memberikan 1 𝑢1 𝑥 = −𝑢0 𝑥 − −ex − 𝑥 e2x − 1 + 2

𝑥 𝑢0 𝑡 + 𝑝𝑢1 𝑡 + ⋯

2

𝑑𝑡 .

0

𝑥

𝑥𝑢0 2 𝑡 𝑑𝑡 . 0

Koefisien 𝑝2 memberikan 𝑥

𝑢2 𝑥 = −

2𝑥𝑢0 𝑡 𝑢1 (𝑡)𝑑𝑡. 0 1

Misalkan dipilih pendekatan 𝑢0 𝑥 = ex + 𝑥 e2x − 1 , maka diperoleh 2

𝑢1 𝑥 =

1465 3 1 1 1 4x 3 1 4x 2 𝑥 − e2x x − e3x x 2 + e3x x + ex x 2 − ex x − e x + e x 1152 8 3 9 16 32 1 4x 1 1 1 4 − e x + e2x x 3 − e2x x 2 − x . 128 4 4 12 𝑥

𝑢2 𝑥 = − 0

1 1465 3 1 1 2𝑥−(ex + 𝑥 e2x − 1 ) 𝑥 − e2x x − e3x x 2 + e3x x + ex x 2 − ex x 2 1152 8 3 9 1 4x 3 1 4x 2 1 4x 1 2x 3 1 2x 2 1 4 − e x + e x − e x+ e x − e x − x 𝑑𝑡. 16 32 128 4 4 12

19 Dengan demikian penyelesaian persamaan (2.16) dengan menggunakan metode perturbasi homotopi adalah 𝑢 𝑥 = 𝑢0 𝑥 + 𝑢1 𝑥 + 𝑢2 𝑥 + ⋯ atau 1 1465 3 1 1 𝑢 𝑥 = −(ex + 𝑥 e2x − 1 ) + 𝑥 − e2x x − e3x x 2 + e3x x + ex x 2 − ex x 2 1152 8 3 9 1 4x 3 1 4x 2 1 4x 1 2x 3 1 2x 2 1 4 − e x + e x − e x+ e x − e x − x . 16 32 128 4 4 12

20

Lampiran 3 Penurunan Persamaan (3.9) Berdasarkan persamaan (3.4) berikut: 𝑐

𝑈(𝑥, 𝑝, 𝑟) = 𝑈0 𝑥, 𝑟 + 𝑝[𝑓 𝑥, 𝑟 − 𝑈0 𝑥, 𝑟 +

𝑘 𝑥, 𝑡 𝑈 𝑡, 𝑝, 𝑟 𝑑𝑡 𝑎

𝑥

+

𝑘 𝑥, 𝑡 𝑈(𝑡, 𝑝, 𝑟)𝑑𝑡] 𝑐

dan

𝑐

𝑈(𝑥, 𝑝, 𝑟) = 𝑈0 𝑥, 𝑟 + 𝑝[𝑓 𝑥, 𝑟 − 𝑈0 𝑥, 𝑟 + 𝑥

+

𝑘 𝑥, 𝑡 𝑈(𝑡, 𝑝, 𝑟)𝑑𝑡 𝑎

𝑘 𝑥, 𝑡 𝑈(𝑡, 𝑝, 𝑟)𝑑𝑡] 𝑐

Misalkan ∞

𝑝𝑖 𝑢𝑖 (𝑥, 𝑟)

𝑈 𝑥, 𝑝, 𝑟 = 𝑖=0 ∞

𝑝𝑖 𝑢𝑖 (𝑥, 𝑟)

𝑈 𝑥, 𝑝, 𝑟 = 𝑖=0

Jika persamaan (3.6) disubstitusikan ke dalam persamaan (3.4), maka diperoleh Untuk 𝑖 = 1 diperoleh 𝑢0 (𝑥, 𝑟) + 𝑝𝑢1 (𝑥, 𝑟) = 𝑈0 𝑥, 𝑟

𝑐

+ 𝑝 𝑓 𝑥, 𝑟 − 𝑈0 𝑥, 𝑟 +

𝑘 𝑥, 𝑡

𝑢0 𝑡, 𝑟 + 𝑝𝑢1 𝑡, 𝑟

𝑑𝑡

𝑎

𝑥

+

𝑘 𝑥, 𝑡 𝑢0 (𝑡, 𝑟) + 𝑝𝑢1 (𝑡, 𝑟) 𝑑𝑡 . 𝑐

𝑢0 𝑥, 𝑟 + 𝑝𝑢1 𝑥, 𝑟

𝑐

= 𝑈0 𝑥, 𝑟 + 𝑝𝑓 𝑥, 𝑟 − 𝑝𝑈0 𝑥, 𝑟 + 𝑝 𝑥

𝑐

𝑘(𝑥, 𝑡) 𝑢1 (𝑡, 𝑟))𝑑𝑡 𝑎

𝑥

+ 𝑝2 Koefisien 𝑝1 memberikan

𝑎

𝑐

𝑘 𝑥, 𝑡 𝑢0 𝑡, 𝑟 𝑑𝑡 + 𝑝2

+𝑝

𝑘 𝑥, 𝑡 𝑢0 𝑡, 𝑟 𝑑𝑡

𝑘 𝑥, 𝑡 𝑢1 𝑡, 𝑟 𝑑𝑡. 𝑐 𝑐

𝑢1 𝑥, 𝑟 = 𝑓 𝑥, 𝑟 − 𝑈0 𝑥, 𝑟 +

𝑥

𝑘 𝑥, 𝑡 𝑢0 𝑡, 𝑟 𝑑𝑡 + 𝑎

𝑘 𝑥, 𝑡 𝑢0 𝑡, 𝑟 𝑑𝑡 𝑐

21 Kemudian 𝑢0 𝑥, 𝑟 + 𝑝𝑢1 𝑥, 𝑟 = 𝑈0 𝑥, 𝑟

𝑐

+ 𝑝 𝑓 𝑥, 𝑟 − 𝑈0 𝑥, 𝑟 + 𝑥

+

𝑘 𝑥, 𝑡 𝑢0 𝑡, 𝑟 + 𝑝𝑢1 𝑡, 𝑟 𝑑𝑡 𝑎

𝑘 𝑥, 𝑡

𝑢0 𝑡, 𝑟 + 𝑝𝑢1 𝑡, 𝑟

𝑑𝑡 .

𝑐

𝑢0 𝑥, 𝑟 + 𝑝𝑢1 𝑥, 𝑟 = 𝑈0 𝑥, 𝑟 + 𝑝𝑓 𝑥, 𝑟 − 𝑝𝑈0 𝑥, 𝑟 𝑐

+𝑝

𝑘 𝑥, 𝑡 𝑢0 𝑡, 𝑟 𝑑𝑡 + 𝑝 𝑎

+𝑝

𝑥

𝑐

𝑐

2

𝑘 𝑥, 𝑡 𝑢0 𝑡, 𝑟 𝑑𝑡 𝑥

𝑘(𝑥, 𝑡) 𝑢1 𝑡, 𝑟 𝑑𝑡 + 𝑝

2

𝑎

𝑘(𝑥, 𝑡)𝑢1 𝑡, 𝑟 𝑑𝑡. 𝑐

Koefisien 𝑝1 memberikan 𝑐

𝑢1 𝑥, 𝑟 = 𝑓 𝑥, 𝑟 − 𝑈0 𝑥, 𝑟 +

𝑥

𝑘 𝑥, 𝑡 𝑢0 𝑡, 𝑟 𝑑𝑡 + 𝑎

𝑘 𝑥, 𝑡 𝑢0 𝑡, 𝑟 𝑑𝑡 . 𝑐

Untuk 𝑖 = 2 diperoleh 𝑢0 𝑥, 𝑟 + 𝑝𝑢1 𝑥, 𝑟 + 𝑝2 𝑢2 (𝑥, 𝑟) = 𝑈0 𝑥, 𝑟 + 𝑝 𝑓 𝑥, 𝑟 − 𝑈0 𝑥, 𝑟 𝑐

𝑘 𝑥, 𝑡 𝑢0 𝑡, 𝑟 + 𝑝𝑢1 𝑡, 𝑟 + 𝑝2 𝑢2 (𝑡, 𝑟) 𝑑𝑡

+ 𝑎 𝑥

𝑘 𝑥, 𝑡 𝑢0 𝑡, 𝑟 + 𝑝𝑢1 𝑡, 𝑟 + 𝑝2 𝑢2 (𝑡, 𝑟) 𝑑𝑡 .

+ 𝑐

𝑢0 𝑥, 𝑟 + 𝑝𝑢1 𝑥, 𝑟 + 𝑝2 𝑢2 𝑥, 𝑟 = 𝑈0 𝑥, 𝑟 + 𝑝𝑓 𝑥, 𝑟 − 𝑝𝑈0 𝑥, 𝑟 𝑐

+𝑝

𝑘 𝑥, 𝑡 𝑢0 𝑡, 𝑟 𝑑𝑡 + 𝑝 𝑎

+𝑝

𝑥

𝑐

2

𝑘 𝑥, 𝑡 𝑢0 𝑡, 𝑟 𝑑𝑡 𝑐

𝑘 𝑥, 𝑡 𝑢1 𝑡, 𝑟 𝑑𝑡 + 𝑝 𝑎

+ 𝑝3

𝑥

2

𝑘 𝑥, 𝑡 𝑢1 𝑡, 𝑟 𝑑𝑡 𝑐

𝑐

𝑘 𝑥, 𝑡 𝑢2 𝑡, 𝑟 𝑑𝑡 + 𝑝3 𝑎

𝑥

𝑘(𝑥, 𝑡)𝑢2 (𝑡, 𝑟)𝑑𝑡. 𝑐

22 Koefisien 𝑝2 memberikan 𝑐

𝑢2 𝑥, 𝑟 =

𝑥

𝑘 𝑥, 𝑡 𝑢1 𝑡, 𝑟 𝑑𝑡 + 𝑎

𝑘 𝑥, 𝑡 𝑢1 𝑡, 𝑟 𝑑𝑡. 𝑐

Kemudian 𝑢0 𝑥, 𝑟 + 𝑝𝑢1 𝑥, 𝑟 + 𝑝2 𝑢2 𝑥, 𝑟 = 𝑈0 𝑥, 𝑟

𝑐

𝑘 𝑥, 𝑡 𝑢0 𝑡, 𝑟 + 𝑝𝑢1 𝑡, 𝑟 + 𝑝2 𝑡, 𝑟 𝑑𝑡

+ 𝑝 𝑓 𝑥, 𝑟 − 𝑈0 𝑥, 𝑟 + 𝑎

𝑥

+

𝑘 𝑥, 𝑡

𝑢0 𝑡, 𝑟 + 𝑝𝑢1 𝑡, 𝑟 + 𝑝2 𝑢2 𝑡, 𝑟

𝑑𝑡 .

𝑐

𝑢0 𝑥, 𝑟 + 𝑝𝑢1 𝑥, 𝑟 + 𝑝2 𝑢2 𝑥, 𝑟 = 𝑈0 𝑥, 𝑟 + 𝑝𝑓 𝑥, 𝑟 − 𝑝𝑈0 𝑥, 𝑟 𝑐

𝑐

+𝑝

𝑘 𝑥, 𝑡 𝑢0 𝑡, 𝑟 𝑑𝑡 + 𝑝 𝑎

+𝑝

2

𝑐

3

𝑘(𝑥, 𝑡)𝑢1 𝑡, 𝑟 𝑑𝑡 𝑎

𝑘(𝑥, 𝑡)𝑢2 𝑡, 𝑟 𝑑𝑡 𝑎 𝑥

+𝑝

𝑥

𝑘 𝑥, 𝑡 𝑢0 𝑡, 𝑟 𝑑𝑡 + 𝑝 𝑐

2 𝑐

𝑥

+ 𝑝3

𝑘(𝑥, 𝑡) 𝑢1 𝑡, 𝑟 𝑑𝑡

𝑘(𝑥, 𝑡)𝑢2 𝑡, 𝑟 𝑑𝑡. 𝑐

Koefisien 𝑝2 memberikan 𝑐

𝑢2 𝑥, 𝑟 =

𝑥

𝑘(𝑥, 𝑡)𝑢1 𝑡, 𝑟 𝑑𝑡 + 𝑎

𝑘(𝑥, 𝑡) 𝑢1 𝑡, 𝑟 𝑑𝑡. 𝑐

Untuk 𝑖 = 3 diperoleh 𝑢0 𝑥, 𝑟 + 𝑝𝑢1 𝑥, 𝑟 + 𝑝2 𝑢2 𝑥, 𝑟 + 𝑝3 𝑢3 𝑥, 𝑟 = 𝑈0 𝑥, 𝑟 + 𝑝 𝑓 𝑥, 𝑟 − 𝑈0 𝑥, 𝑟 𝑐

+

𝑘 𝑥, 𝑡

𝑢0 𝑡, 𝑟 + 𝑝𝑢1 𝑡, 𝑟 + 𝑝2 𝑢2 𝑡, 𝑟 + 𝑝3 𝑢3 𝑡, 𝑟

𝑑𝑡

𝑎 𝑥

𝑘 𝑥, 𝑡 𝑢0 𝑡, 𝑟 + 𝑝𝑢1 𝑡, 𝑟 + 𝑝2 𝑢2 𝑡, 𝑟 + 𝑝3 𝑢3 𝑡, 𝑟 𝑑𝑡 .

+ 𝑐

23 𝑢0 𝑥, 𝑟 + 𝑝𝑢1 𝑥, 𝑟 + 𝑝2 𝑢2 𝑥, 𝑟 + 𝑝3 𝑢3 𝑥, 𝑟 = 𝑈0 𝑥, 𝑟 + 𝑝𝑓 𝑥, 𝑟 − 𝑝𝑈0 𝑥, 𝑟 𝑐

𝑐

+𝑝

𝑘 𝑥, 𝑡 𝑢0 𝑡, 𝑟 𝑑𝑡 + 𝑝 𝑎

+𝑝

2

𝑘(𝑥, 𝑡) 𝑢1 𝑡, 𝑟 𝑑𝑡 + 𝑝 𝑎

𝑐

4

𝑐 3

𝑘(𝑥, 𝑡) 𝑢2 𝑡, 𝑟 𝑑𝑡 𝑎

𝑘(𝑥, 𝑡) 𝑢3 𝑡, 𝑟 𝑑𝑡 𝑎 𝑥

+𝑝

𝑥

𝑘 𝑥, 𝑡 𝑢0 𝑡, 𝑟 𝑑𝑡 + 𝑝 𝑐

𝑥

𝑘(𝑥, 𝑡)𝑢1 𝑡, 𝑟 𝑑𝑡 + 𝑝 𝑐

𝑥

+ 𝑝4

2

3

𝑘(𝑥, 𝑡)𝑢2 𝑡, 𝑟 𝑑𝑡 𝑐

𝑘(𝑥, 𝑡)𝑢3 𝑡, 𝑟 𝑑𝑡 . 𝑐

Koefisien 𝑝3 memberikan 𝑐

𝑢3 𝑥, 𝑟 =

𝑥

𝑘(𝑥, 𝑡) 𝑢2 𝑡, 𝑟 𝑑𝑡 +

𝑘(𝑥, 𝑡)𝑢2 𝑡, 𝑟 𝑑𝑡.

𝑎

𝑐

Kemudian 𝑢0 𝑥, 𝑟 + 𝑝𝑢1 𝑥, 𝑟 + 𝑝2 𝑢2 𝑥, 𝑟 + 𝑝3 𝑢3 𝑥, 𝑟 = 𝑈0 𝑥, 𝑟 + 𝑝 𝑓 𝑥, 𝑟 − 𝑈0 𝑥, 𝑟 𝑐

𝑘 𝑥, 𝑡 𝑢0 𝑡, 𝑟 + 𝑝𝑢1 𝑡, 𝑟 + 𝑝2 𝑢2 𝑡, 𝑟 + 𝑝3 𝑢3 𝑡, 𝑟 𝑑𝑡

+ 𝑎 𝑥

+

𝑘 𝑥, 𝑡

𝑢0 𝑡, 𝑟 + 𝑝𝑢1 𝑡, 𝑟 + 𝑝2 𝑢2 𝑡, 𝑟 + 𝑝3 𝑢3 𝑡, 𝑟

𝑑𝑡 .

𝑐

𝑢0 𝑥, 𝑟 + 𝑝𝑢1 𝑥, 𝑟 + 𝑝2 𝑢2 𝑥, 𝑟 + 𝑝3 𝑢3 𝑥, 𝑟 = 𝑈0 𝑥, 𝑟 + 𝑝𝑓 𝑥, 𝑟 − 𝑝𝑈0 𝑥, 𝑟 𝑐

𝑐

+𝑝

𝑘 𝑥, 𝑡 𝑢0 𝑡, 𝑟 𝑑𝑡 + 𝑝 𝑎

2

𝑐

+ 𝑝3

𝑘(𝑥, 𝑡) 𝑢1 𝑡, 𝑟 𝑑𝑡 𝑎

𝑘(𝑥, 𝑡) 𝑢2 𝑡, 𝑟 𝑑𝑡 + 𝑝4 𝑎 𝑥

𝑐

𝑎 𝑥

3

𝑘(𝑥, 𝑡)𝑢2 𝑡, 𝑟 𝑑𝑡 + 𝑝 𝑐

𝑥

𝑘(𝑥, 𝑡) 𝑢2 𝑡, 𝑟 𝑑𝑡 + 𝑎

𝑘(𝑥, 𝑡)𝑢2 𝑡, 𝑟 𝑑𝑡. 𝑐

𝑥

4

𝑘(𝑥, 𝑡)𝑢3 𝑡, 𝑟 𝑑𝑡 . 𝑐

Koefisien 𝑝 memberikan 𝑐

𝑘(𝑥, 𝑡)𝑢1 𝑡, 𝑟 𝑑𝑡 𝑐

𝑥

3

𝑢3 𝑥, 𝑟 =

𝑘(𝑥, 𝑡) 𝑢3 𝑡, 𝑟 𝑑𝑡

𝑘 𝑥, 𝑡 𝑢0 𝑡, 𝑟 𝑑𝑡 + 𝑝2

+𝑝

+𝑝

𝑐

24 Secara umum, untuk 𝑖 ≥ 1 diperoleh 𝑐

𝑢𝑖+1 𝑥, 𝑟 =

𝑥

𝑘(𝑥, 𝑡) 𝑢𝑖 𝑡, 𝑟 𝑑𝑡 + 𝑎

𝑘(𝑥, 𝑡)𝑢𝑖 𝑡, 𝑟 𝑑𝑡 𝑐

25

Lampiran 4 Program Maple untuk Gambar 2 > > > > >

>

> >

> > > > > >

>

>

26 > > > > > > > > >

27

Lampiran 5 Program Maple untuk Gambar 3 > > > > > > > >

> > > > > >

>

>

> > > > > > > >