PENYELESAIAN MASALAH GELOMBANG PERMUKAAN DENGAN MENGGUNAKAN METODE PERTURBASI HOMOTOPI
ANGGRAENI PUTRISIA
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2013
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Penyelesaian Masalah Gelombang Permukaan dengan Menggunakan Metode Perturbasi Homotopi adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini. Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor.
Bogor, Juli 2013
Anggraeni Putrisia NIM G54090069
ABSTRAK ANGGRAENI PUTRISIA. Penyelesaian Masalah Gelombang Permukaan dengan Menggunakan Metode Perturbasi Homotopi. Dibimbing oleh JAHARUDDIN dan ALI KUSNANTO. Gelombang permukaan merupakan fenomena yang ditemui ketika mengamati permukaan air laut. Secara umum, gerak gelombang permukaan dalam tiga dimensi dijelaskan secara matematis dalam bentuk persamaan KadomtsevPetviashvili (KP). Persamaan Kadomtsev-Petviashvili diselesaikan dengan metode perturbasi homotopi. Dalam metode ini, penyelesaian persamaan KP dimisalkan dalam bentuk deret pangkat, dengan suku pertama berupa penyelesaian pendekatan awal. Dikaji penyelesaian persamaan KP dengan dua jenis pendekatan awal, yaitu berupa penyelesaian gelombang soliter dan penyelesaian dalam bentuk fungsi rasional. Penyelesaian dengan metode perturbasi homotopi mendekati penyelesaian eksak yang diperoleh Drazin dan Johnson (1989). Kata kunci: persamaan Kadomtsev-Petviashvili, metode perturbasi homotopi, gelombang soliter
ABSTRACT ANGGRAENI PUTRISIA. Surface Wave Solution Using the Homotopy Perturbation Method. Supervised by JAHARUDDIN and ALI KUSNANTO. Surface wave is a phenomenon that is encountered at the sea surface. Generally, the motion of surface waves in three dimensions could be described mathematically in the form of Kadomtsev-Petviashvili (KP) equation. Kadomtsev-Petviashvili equation is solved using the homotopy perturbation method. In this method, the solution of the KP equation is assumed in the form of power series with the first term of the solution as the initial approach. The solution to the KP equation is studied using two initial approaches. Those are solitary wave solution and solutions in the form of rational functions. The solution of homotopy perturbation method is closed to the exact solution given by Drazin and Johnson (1989). Keywords: Kadomtsev-Petviashvili equation, homotopy perturbation method, solitary wave
PENYELESAIAN MASALAH GELOMBANG PERMUKAAN DENGAN MENGGUNAKAN METODE PERTURBASI HOMOTOPI
ANGGRAENI PUTRISIA
Skripsi sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2013
Judul
Skripsi
Nama NIM
:
Penyelesaian Masalah Gelombang Permukaan Menggunakan Metode Perturbasi Homotopi : Anggraeni Putrisia : G54090069
dengan
Disetujui oleh
Dr Jaharuddin, MS Pembimbing I
Drs Ali Kusnanto, MSi Pembimbing II
Diketahui oleh
Dr Berlian Setiawaty, MS Ketua Departemen
Tanggal Lulus:
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala karuniaNya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Penulisan karya ilmiah ini juga tidak lepas dari bantuan beberapa pihak. Untuk itu penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada: 1 Bapak Muhammad Yusuf dan ibu Siti Masfufah, beserta kakak Nina Kirana beserta suami, seluruh keluarga atas semua doa, dukungan, semangat, pengorbanan, nasihat, pendidikan, perhatian, cinta dan kasih sayangnya. 2 Dr Jaharuddin, MS dan Drs Ali Kusnanto, MSi masing-masing sebagai dosen pembimbing I dan dosen pembimbing II atas semua ilmu, kesabaran, motivasi, dan bantuannya selama penulisan skripsi ini. 3 Dosen dan staf penunjang Departemen Matematika atas semua ilmu dan bantuannya. 4 Kakak Matematika 45 dan 44 atas bantuan, saran dan semua ilmunya, teman-teman Matematika 46 atas kebersamaan, bantuan, dukungan dan motivasinya selama ini. Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat dan menjadi inspirasi bagi penilitian-penilitian selanjutnya.
Bogor, Juli 2013
Anggraeni Putrisia
DAFTAR ISI DAFTAR TABEL
ix
DAFTAR GAMBAR
ix
DAFTAR LAMPIRAN
ix
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Tujuan Karya Ilmiah
2
TINJAUAN PUSTAKA
2
Persamaan Kadomtsev-Petviashvilli
2
Penyelesaian Gelombang Soliter
5
Metode Perturbasi Homotopi
6
HASIL DAN PEMBAHASAN
9
Analisis Metode
9
Aplikasi Metode
10
Kasus Pertama
11
Kasus Kedua
15
SIMPULAN
17
Simpulan
17
DAFTAR PUSTAKA
18
LAMPIRAN
19
RIWAYAT HIDUP
25
DAFTAR TABEL 1 Galat antara penyelesaian kasus pertama dengan menggunakan MPH dan penyelesaian eksaknya untuk 2 Galat antara penyelesaian kasus pertama dengan menggunakan MPH dan dan penyelesaian eksaknya untuk 3 Galat antara penyelesaian kasus kedua dengan menggunakan MPH dan penyelesaian eksaknya untuk dan
12 14 16
DAFTAR GAMBAR 1 Perbandingan antara penyelesaian kasus pertama dengan MPH dan penyelesaian eksak 2 Grafik penyelesaian persamaan KP pada kasus pertama untuk variabel y tetap 3 Grafik penyelesaian persamaan KP pada kasus pertama untuk variabel y berubah 4 Perbandingan antara penyelesaian dengan MPH dan penyelesaian eksak pada kasus kedua 5 Grafik penyelesaian persamaan KP pada kasus kedua untuk t = 0.1 6 Grafik penyelesaian persamaan KP pada kasus kedua untuk t = 1
12 13 14 16 17 17
DAFTAR LAMPIRAN 1 2 3 4
Penurunan persamaan (34)-(37) Penyelesaian kasus pertama (Variabel y tetap) Penyelesaian kasus pertama (Variabel y berubah) Penyelesaian kasus kedua
19 20 21 23
PENDAHULUAN Latar Belakang Gelombang permukaan merupakan fenomena yang ditemui ketika mengamati permukaan air laut. Gelombang tersebut terjadi karena perbedaan rapat massa air dan udara. Salah satu gelombang permukaan yang akan dikaji dalam karya ilmiah ini adalah gelombang soliter. Gelombang soliter adalah gelombang yang hanya memiliki satu puncak dan bergerak tanpa mengalami perubahan bentuk dan kecepatan. Partikel-partikel air pada gelombang soliter bergerak hanya dalam arah penjalaran gelombang sehingga tidak ada aliran balik. Pengamatan gelombang soliter pertama kali terdokumentasi oleh ilmuwan Skotlandia pada tahun 1834, John Scott-Russel. Ia mengamati gerak sebuah perahu dari kudanya. Ketika perahu tiba-tiba berhenti, timbullah gelombang air dengan sebuah puncak yang bergerak menjauh dari perahu. Pergerakan gelombang air tersebut kemudian diamati dan ditelusuri olehnya hingga sekitar 2 mil. Bentuk dan kecepatan gelombang air itu nyaris tidak berubah hingga akhirnya menghilang dari pandangan karena masuk ke dalam terowongan air (Newel 1985). Sebagai suatu fenomena alam, gelombang soliter dapat dijelaskan secara matematis. Salah satu ilmuan yang memformulasikan fenomena ini adalah Korteweg dan de Vries dan menemukan persamaan Korteweg-de Vries (KdV). Persamaan ini menjelaskan tentang fenomena gelombang soliter dimensi dua. Persamaan ini yang menjadi awal motivasi dari studi mengenai gelombang soliter. Secara matematis, penurunan persamaan KdV didasarkan pada persamaan dasar fluida. Penurunan persamaan dasar fluida didasarkan pada hukum kekekalan massa dan hukum kekekalan momentum. Dalam karya ilmiah ini, fluida yang ditinjau tak mampat (incompressible) dengan rapat massa konstan dan gerak partikel fluida yang tak berotasi (irrotasional), serta tidak adanya efek kekentalan (inviscid). Oleh karena itu, dalam karya ilmiah ini diasumsikan bahwa fluida yang ditinjau adalah fluida ideal yang tak berotasi. Pada tahun 1970, Kadomtsev dan Petviashvili memperumum persamaan KdV untuk dimensi tiga yang dikenal dengan persamaan Kadomtsev-Petviashvili (KP) (Mirgolbabaei, Ganji, Taherian 2009). Sejumlah penelitian telah banyak dilakukan menggunakan persamaan KP dengan berbagai pendekatan. Salah satu yang menarik dari persamaan ini adalah memiliki penyelesaian eksplisit yang berupa penyelesaian secan hiperbolik dan penyelesaian rasional. Persamaan KP ini telah banyak menarik minat para ilmuan dalam beberapa tahun terakhir. Metode dasar telah digunakan oleh Grubaum (1989) untuk memperoleh penyelesaian dari persamaan KP dengan berbagai asumsi. Metode yang sama juga digunakan oleh Latham (1990) untuk mendapatkan penyelesaian eksplisit dari persamaan KP berdasarkan operator turunan. Bratsos dan Twizell (1998) menggunakan metode beda hingga untuk mendapatkan penyelesaian numerik dari persamaan KP dan menjelaskan fenomena soliton. Dalam karya ilmiah ini, persamaan KP akan diselesaikan dengan menggunakan metode perturbasi homotopi.
2 Metode perturbasi homotopi merupakan salah satu metode yang banyak digunakan untuk menyelesaikan berbagai masalah taklinear. Metode ini memberikan pendekatan dari penyelesaian dengan tingkat akurasi yang tinggi. Dalam karya ilmiah ini akan dibahas penyelesaian persamaan KP dengan menggunakan metode peturbasi homotopi dengan pendekatan awal berupa penyelesaian gelombang soliter dan penyelesaian dalam bentuk fungsi rasional. Hasil yang diperoleh dengan menggunakan metode ini akan dibandingkan dengan penyelesaian eksak yang diperoleh pada (Drazin dan Johnson 1989).
Tujuan Karya Ilmiah Berdasarkan latar belakang di atas, maka tujuan penelitian ini adalah: a Menggunakan metode perturbasi homotopi untuk menyelesaikan persamaan KP dan membandingkan penyelesaian metode tersebut dengan penyelesaian eksak yang diperoleh pada (Drazin dan Johnson 1989). b Menganalisis penyelesaian dalam bentuk gelombang soliter dan penyelesaian dalam bentuk fungsi rasional.
TINJAUAN PUSTAKA Pada bagian ini akan dibahas teori-teori yang digunakan dalam menyusun karya ilmiah. Teori-teori tersebut meliputi penurunan persamaan KP (KadomtsevPetviashvili) dan penyelesaian eksaknya yang disarikan dari (Pangaribuan 2008) dan (Drazin dan Johnson 1989), konsep dasar metode perturbasi homotopi (He 2000), serta contoh masalah yang diselesaikan dengan metode perturbasi homotopi.
Persamaan Kadomtsev-Petviashvili Pada bagian ini akan diuraikan secara singkat penurunan persamaan KP berdasarkan sistem Hamiltonian. Bukti penurunan didasarkan pada (Pangaribuan 2008). Domain fluida dibatasi oleh batas bawah di - dan di atas oleh ( ) simpangan Energi total yang dimiliki gelombang terdiri dari energi potensial yang dihasilkan dari ketinggian permukaan air dan energi kinetik yang dihasilkan dari pergerakan partikel fluida. Misalkan Hamiltonian H adalah energi total pada fluida yang didefinisikan sebagai penjumlahan energi kinetik K dan energi potensial P, yaitu ( ) ( ) ( ), dengan K dan P masing-masing adalah (
) ∭ |
|
3 ( ) ∭ Fungsi
∬
adalah penyelesaian masalah nilai batas berikut : pada ( )
( ) ( ) ( ) dengan ( ) *( ) | ( )+ Sistem Hamilton untuk fluida tersebut dapat dinyatakan oleh . / .
)
/(
dan masing-masing turunan variasi H terhadap dan dengan (Pudjaprasetya 1996). Jika dan persamaan (1) diturunkan terhadap x, maka diperoleh . / (
)(
( )
)
Untuk mendapatkan hampiran yang memenuhi sistem Hamilton pada persamaan (2), maka diasumsikan bahwa gelombang yang ditinjau mempunyai panjang gelombang yang cukup panjang dan amplitudo yang cukup kecil. Oleh karena itu diperkenalkan suatu parameter kecil ɛ yang memenuhi ̂
̂ √ √ sehingga diperoleh hampiran berikut : ̂
-
̂
√
- .
̂
√
/
-
(3)
dengan F(X,Y,T) merupakan nilai pada orde terendah dan tanda topi telah dihilangkan. Karena dengan pada persamaan (3), maka diperoleh persamaan ̂(
) ∬ (
)
(
(
)
)
Sehingga berdasarkan sistem Hamilton (2), maka diperoleh sistem Hamilton berikut : ̂ . / ( ) ( ̂) dengan ̂ memenuhi persamaan (4). Persamaan (5) merupakan sistem Hamilton untuk gelombang yang bergerak dalam dua arah. Jika digunakan persamaan (4), maka persamaan (5) dapat dinyatakan dalam bentuk ( )
Persamaan di atas dikenal sebagai persamaan Boussinesq yang menggambarkan gelombang yang merambat ke dua arah.
4 Misalkan didefinisikan variabel r dan s sebagai berikut : ) (
(
)
dengan ( ) dimana r dan s masing-masing menyatakan bentuk gelombang yang merambat ke arah kanan dan ke kiri, dan merupakan kecepatan gelombang linear. Persamaan (5) dapat dinyatakan sebagai sistem Hamilton dalam peubah r dan s berikut : . / (
)(
( )
)
Diasumsikan bahwa gelombang yang ditinjau hanya merambat dalam satu arah, misalnya ke arah kanan saja , maka . Sehingga sistem Hamilton pada persamaan (6) memberikan persamaan untuk yang merupakan sistem Hamilton untuk gelombang yang bergerak dalam satu arah sebagai berikut : -
(7)
dengan () ∬ dan )
( Berdasarkan
, persamaan (7) menjadi (
)
Persamaan (8) merupakan persamaan Kadomtsev-Petviashvili (KP) yang dapat dinyatakan dalam bentuk yang lebih sederhana dengan melakukan transformasi. Untuk itu, misalkan ⁄
̂
⁄
̂
⁄
⁄
sehingga persamaan (8) menjadi ⁄
(
⁄
⁄
̂
̂
⁄
⁄
̂̂̂ )
⁄
⁄
⁄
̂
Kemudian misalkan ⁄ ⁄
⁄
⁄
dan ̅
-
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄ ⁄
lalu disubstitusikan ke dalam persamaan (9) dan dibagi dengan dihilangkan semua tanda garis pada Y, maka diperoleh
⁄
⁄
⁄
dan
5 (
)
atau Persamaan tersebut merupakan bentuk baku dari persamaan KadomtsevPetviashvili (KP) yang akan diselesaikan dengan metode perturbasi homotopi. Penyelesaian Gelombang Soliter Berikut ini persamaan Kadomtsev-Petviashvili akan diselesaikan secara analitik dengan penyelesaian dimisalkan dalam bentuk gelombang soliter, yaitu gelombang berjalan yang dimisalkan dalam bentuk : ( ) dengan dengan masing-masing merupakan kecepatan phase gelombang, panjang gelombang dalam arah X, dan panjang gelombang dalam arah Y. Jika u pada persamaan (11) disubstitusikan ke dalam persamaan (10), kemudian diintegralkan dua kali terhadap , maka diperoleh ( ) dengan K adalah konstanta integrasi. Karena yang akan ditinjau adalah gelombang soliter, maka bentuk ( ) dan semua turunannya di sama dengan nol mengakibatkan K = 0 sehingga persamaan (12) menjadi kemudian integralkan terhadap
Jika persamaan (13) dikalikan dengan diperoleh
maka
atau √(
)
Jika kedua ruas pada persamaan di atas diintegralkan, maka diperoleh (√
√
)
atau ( )
√
Jika pada persamaan (11) disubstitusikan ke persamaan (14), maka diperoleh penyelesaian soliter bagi persamaan Kadomtsev-Petviashvili (KP) sebagai berikut :
6
(
(√
)
)
atau (
)
(
)
-
(15)
dengan
Dari persamaan (16), diperoleh
Berdasarkan persamaan (15) diperoleh bahwa gelombang soliter bergantung pada parameter amplitudo a, kecepatan phase gelombang , panjang gelombang k dalam arah X, dan panjang gelombang l dalam arah Y.
Metode Perturbasi Homotopi (MPH) Berikut ini diberikan ilustrasi konsep dasar metode perturbasi homotopi berdasarkan pada He (2000). Misalkan diberikan persamaan diferensial sebagai berikut: , ( )(17) dengan suatu operator turunan taklinear dan ( ) fungsi yang akan ditentukan yang bergantung pada . Operator secara umum dapat dibagi menjadi dua bagian, yaitu dan yang masing-masing merupakan operator linear dan taklinear. Jadi persamaan diferensial (17) dapat ditulis: , , Misalkan ( ) pendekatan awal dari penyelesaian dan , - suatu parameter. Didefinisikan suatu fungsi homotopi sebagai berikut: (
)
( - ) [ -
Berdasarkan persamaan (18), maka untuk
, -
]
memberikan persamaan
) ( )- ( ) H( dan untuk p = 1 memberikan persamaan ( ( ) ) , ( ) Berdasarkan persamaan (17), maka penyelesaian persamaan H( ( ( ) ) masing-masing diperoleh () v( ) dan () v( ) Deret Taylor dari fungsi ( ) terhadap di sekitar adalah (
)
(
) ∑
(18)
(
)
|
)
dan
7 Misal dinotasikan
(
() Karena (
)
|
( ), maka (
Jadi untuk
)
)
( ) ∑
()
dari persamaan (19), diperoleh (
Karena ( )
)
()
∑
, maka diperoleh ()
() ∑
()
Hasil ini menunjukkan hubungan antara penyelesaian eksak dari persamaan (17) ( ) dan dengan pendekatan awal diperoleh dengan menggunakan metode perturbasi. Dalam metode perturbasi homotopi, fungsi ( ) yang dinyatakan pada persamaan (19) merupakan penyelesaian dari persamaan ( ) atau ( - )[
]
-
, ( )-
(20)
Jika persamaan (19) disubstitusikan ke dalam persamaan (20), maka diperoleh dengan cara menyamakan koefisien perpangkatan dari . Untuk lebih memahami metode perturbasi homotopi yang telah dibahas, misalkan diberikan suatu masalah nilai awal yang dinyatakan oleh persamaan berikut :
dengan syarat awal (
)
Penyelesaian eksak masalah nilai awal (21) adalah (
)
Berikut ini akan dicari penyelesaian dari masalah nilai awal persamaan (21) dan (22) dengan menggunakan metode perturbasi homotopi. Didefinisikan operator sebagai berikut: , dan , -
8 Berdasarkan persamaan (20), maka diperoleh persamaan berikut : (
) (
)(
)
(
)
Diasumsikan penyelesaian dari persamaan (23) dinyatakan dalam persamaan berikut: ( ) Jika persamaan (24) disubstitusikan ke dalam persamaan (23), kemudian dipisahkan berdasarkan derajat kepangkatan maka koefisien , masing-masing memberikan persamaan
(25)
Misalkan sebagai berikut :
(
)
, maka diperoleh penyelesaian persamaan (25)
Jadi penyelesaian masalah nilai awal persamaan (21) dan (22) dengan metode perturbasi homotopi diperoleh sebagai berikut : ( ) Penyelesaian pada persamaan (26) dapat ditulis ( )
*
( )
( )
( )
+
Deret di ruas kanan merupakan deret geometri terhadap t, sehingga deret (26) konvergen ke fungsi ( ) yang merupakan penyelesaian eksak masalah nilai awal persamaan (21) dan (22). Hasil ini menunjukkan bahwa penyelesaian dengan menggunakan metode perturbasi homotopi dari masalah nilai awal (21) dan (22) mendekati penyelesaian eksaknya dengan sangat baik. Hal ini menunjukkan bahwa metode perturbasi homotopi dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan diferensial dengan syarat awal yang diberikan.
9
HASIL DAN PEMBAHASAN Dalam karya ilmiah ini akan dibahas penggunaan metode perturbasi homotopi untuk menyelesaikan persamaan Kadomtsev-Petviashvili dengan syarat awal berupa gelombang soliter dan gelombang dengan penyelesaian berupa fungsi rasional. Hasil yang diperoleh dengan menggunakan metode ini akan dibandingkan dengan penyelesaian eksak untuk gelombang soliter pada persamaan (15) dan fungsi rasional pada (Drazin dan Johnson 1989).
Analisis Metode Berikut ini dibahas perluasan dari konsep dasar metode perturbasi homotopi seperti yang diuraikan pada tinjauan pustaka. Misalkan diberikan persamaan diferensial )A, ( (27) pendekatan awal dari penyelesaian dan didefinisikan suatu Misalkan fungsi H sebagai berikut : )
H(
( - ) [ (
)-
(
Berdasarkan persamaan (28), maka untuk memberikan persamaan berikut : )
H(
[ (
dan
)- (
)]
(28)
masing-masing
)]
dan
) ( ) H( Berdasarkan persamaan (27), maka penyelesaian dari persamaan H( ) masing-masing adalah dan H( ( ) ( ) dan ( ) Deret Taylor dari fungsi ( ) di sekitar adalah (
(
)
Misalkan dinotasikan
Karena (
)
( (
)
)
), maka (
Jadi untuk
(
) ∑
(
)
) ∑
, dari persamaan (29) diperoleh (
(
) ∑
(
)
)
10 Karena (
)
(
), maka diperoleh (
(
)
) ∑
(
)
Hasil ini menunjukkan hubungan antara penyelesaian eksak dari ) dan ( ) persamaan (27) dengan pendekatan awal ( ( ) yang akan ditentukan. Persamaan untuk menentukan diperoleh dengan menggunakan metode perturbasi homotopi. Dalam metode ) yang diberikan pada persamaan (29) perturbasi homotopi, fungsi ( merupakan penyelesaian dari persamaan )) H( ( atau (30) ( ) , ( ) , ( )Aplikasi Metode Pada bagian ini metode perturbasi homotopi yang telah dijelaskan pada bagian sebelumnya akan diaplikasikan untuk menyelesaikan persamaan Kadomtsev-Petviashvili (10) yang dituliskan sebagai berikut : ( ) Didefinisikan operator: , dan , -
( )
Berdasarkan persamaan (30) dan persamaan (31) diperoleh : (
)(
)
*
( )
+
)merupakan pendekatan awal dari dengan , - suatu parameter dan ( penyelesaian. Misalkan penyelesaian dari persamaan (32) dinyatakan dalam deret pangkat berikut: ( ) (33) Jika persamaan (33) dan turunan-turunannya disubstitusi ke dalam persamaan (32), maka koefisien memberikan persamaan
Koefisien
memberikan persamaan (
)
11 Koefisien
memberikan persamaan
Koefisien
memberikan persamaan (
)
Penurunan persamaan (34)-(37) dapat dilihat pada lampiran 1. Penyelesaian persamaan (34)-(37) bergantung pada yaitu pendekatan awal dari penyelesaian. Dalam karya ilmiah ini, dibahas dua bentuk yaitu penyelesaian dalam bentuk gelombang soliter dan penyelesaian dalam bentuk fungsi rasional. Kasus pertama : Penyelesaian dalam bentuk gelombang soliter Dalam kasus ini akan ditinjau situasi dimana variabel y tetap dan variabel y berubah. Variabel y tetap Misalkan diasumsikan bentuk gelombang pada arah sumbu y adalah sama sehingga dipilih pendekatan awal berupa gelombang soliter pada t = 0 berikut (
( )
)
Berdasarkan persamaan (34)-(37) diperoleh penyelesaian ,i = 0,1,2,3,4 sebagai berikut:
(
) (
) (
)
(
)
Jadi penyelesaian dari persamaan KP dengan pendekatan awal pada persamaan (38) hingga orde keempat sebagai berikut : ( ) ( ) ( ) (
)
Penurunan dapat dilihat pada lampiran 2.
(
)
12 Tabel 1 Galat antara penyelesaian kasus pertama dengan menggunakan MPH dan penyelesaian eksaknya untuk x = 20 t 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
|
exact
0 6.21983 × 3.91580 × 1.90518× 8.44504 × 3.58142 × 1.48453 × 6.08205 × 2.47762 × 1.00665 × 4.08533 ×
MPH |
7 5 5
Tabel 1 menunjukkan galat antara penyelesaian persamaan KP dengan pendekatan awal pada persamaan (38) menggunakan metode perturbasi homotopi (MPH) dan penyelesaian eksak yang dibentuk pada persamaan (15) untuk x=20 pada selang waktu [0,1]. Berdasarkan Tabel 1 diperoleh bahwa galat yang ditimbulkan sangat kecil dengan rata-rata galat .
Gambar 1 Perbandingan antara penyelesaian kasus pertama dengan MPH dan penyelesaian eksak Gambar 1 menunjukkan perbandingan antara penyelesaian dengan metode perturbasi homotopi dan penyelesaian eksak untuk t = 0.01. Berdasarkan Gambar 1 diperoleh bahwa hasil penyelesaian dengan metode perturbasi homotopi mendekati penyelesaian eksak dengan sangat baik.
15 Kasus kedua: Penyelesaian dalam bentuk fungsi rasional Penyelesaian eksak persamaan KP dalam bentuk fungsi rasional adalah (
)
dengan (Drazin dan Johnson 1989). Misalkan dipilih a =1 sehingga pendekatan awal dipilih berbentuk : ( )
( ) Berdasarkan persamaan (34)-(37) diperoleh penyelesaian , i = 0,1,2,3 sebagai berikut : ( ) (
) (
(
) ( (
) (
)
).
/
).
(
/
( (
)
.
/
(
).
).
/
/ ], .
/
.
/
/
/ .
)
(
. .
(
.
/
/
. .
/
/ )
Jadi penyelesaian dari persamaan KP pada kasus kedua dengan pendekatan awal pada persamaan (41) hingga orde ketiga sebagai berikut : ( ) Penurunan dapat dilihat pada lampiran 4.
16 Tabel 3 Galat antara penyelesaian kasus kedua dengan menggunakan MPH dan penyelesaian eksaknya untuk x=100 dan y=100 t 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
|
exact
0 1.16413× 2.32833× 3.49266× 4.65719× 5.82197× 6.98708× 8.15258× 9.31853× 1.04850× 1.16520×
MPH |
5 5
Tabel 3 menunjukkan galat antara penyelesaian persamaan KP dalam bentuk fungsi rasional dengan menggunakan metode perturbasi homotopi dan penyelesaian eksak pada persamaan (40) untuk x=100 dan y=100 pada selang waktu [0,1]. Berdasarkan Tabel 3 diperoleh bahwa galat yang ditimbulkan cukup kecil dengan rata-rata galat . Pada Tabel 3 terlihat bahwa pada kasus ini metode perturbasi homotopi baik digunakan untuk selang waktu t yang sangat kecil.
Gambar 4 Perbandingan antara penyelesaian dengan MPH dan penyelesaian eksak pada kasus kedua Gambar 4 menunjukkan perbandingan antara penyelesaian dengan metode perturbasi homotopi dan penyelesaian eksak untuk y =0,5 dan t =0,1. Berdasarkan Gambar 4 diperoleh bahwa hasil penyelesaian dengan metode perturbasi homotopi mendekati penyelesaian eksak dengan sangat baik untuk x yang cukup besar.
18 waktu [0,1]. Kemudian kekonvergenan metode perturbasi homotopi pada kasus pertama (pendekatan awal berupa fungsi secan hiperbolik) cepat tercapai. Hal ini disebabkan karena pendekatan awal yang diberikan berupa gelombang soliter. Berdasarkan metode ini pula diperoleh bahwa untuk pendekatan awal berupa gelombang soliter, gelombang yang dihasilkan bergerak tanpa mengalami perubahan bentuk dan kecepatan sesuai dengan sifat gelombang soliter. Untuk pendekatan awal berupa fungsi rasional, diperoleh bahwa gelombang yang dihasilkan bukan berupa gelombang soliter.
DAFTAR PUSTAKA Bratsos A, Twizell. 1998. An explicit finite difference scheme for the solution of Kadomtsev-Petviashvili. International Journal of Computer Mathematics. 68:175-187. doi: 10.1080/00207169808804685. Drazin PG, Johnson RS. 1989. Solitons : an Introduction. Cambridge Texts in Applied Mathematics. New York (US): Cambridge University Press. Grubaum F. 1989. The Kadomtsev-Petviashvili equation : an alternative approach “rank tw ” solutions of Krichever and Novikof. Physics Letters A. 139:146-150. doi: 10.1016/0375-9601(89)90349-6. He JH. 2000. A coupling method of homotopy technique and perturbation technique for nonlinear problems. International Journal of Nonlinear Mechanic. 1:37-43. Latham G. 1990. Solutions of the KP equation associated to rank-three commuting differential operators over a singular elliptic curve. Journal Physica D. 41:55-66. doi: 10.1016/0167-2789(90)90027-M. Mirgolbabaei H, Ganji DD, Taherian H. 2009. Soliton solution of the KadomtsevPetviashvili equation by homotopy perturbation method. World Journal of Modelling and Simulation. 1: 38-44. Newell AC. 1985. Solitons in Mathematics and Physics. Society for Industrial and Applied Mathematics. Philadelphia (US): University of Arizona. Pangaribuan RU. 2008. Formulasi hamiltonian untuk menggambarkan gerak gelombang soliter dimensi tiga di permukaan laut [skripsi]. Bogor (ID): Institut Pertanian Bogor. Pudjaprasetya SR. 1996. Evolution of waves above slightly varying bottom: a variational approach [disertasi]. Bandung (ID): Institut Teknologi Bandung.
19 Lampiran 1 Penurunan persamaan (34)-(37) Berdasarkan persamaan (30) dan persamaan (31), diperoleh (
)(
)
*
( )
+
Misalkan penyelesaian persamaan (32) dinyatakan dalam bentuk berikut : Jika persamaan (33) dan turunan-turunannya disubstitusi ke dalam persamaan (32), maka diperoleh (
)(
)
* (
) (
)( ) (
)+
atau (
)
(
(
)
)
(
) (
(
)
)
( )
(
(
) )
20 Koefisien
memberikan persamaan berikut :
Koefisien
memberikan persamaan berikut : (
)
Koefisien
memberikan persamaan berikut :
Koefisien
memberikan persamaan berikut : (
)
Lampiran 2 Penyelesaian kasus pertama (Variabel y tetap) Berikut ini akan ditentukan penyelesaian , persamaan (34)-(37) dengan pendekatan awal berikut : (
,
,
dan
pada
( )
)
Dari persamaan (34) diperoleh persamaan
Sehingga penyelesaian untuk
sebagai berikut :
Dari persamaan (35) diperoleh persamaan (
)
Jika bentuk dan turunan-turunannya digunakan kemudian diintegralkan terhadap x dan t, maka diperoleh ( Dari persamaan (36) diperoleh persamaan
)
21 Jika bentuk dan turunan-turunannya digunakan kemudian diintegralkan terhadap x dan t, maka diperoleh (
)
Dari persamaan (37) diperoleh persamaan (
)
Jika bentuk dan turunan-turunannya digunakan kemudian diintegralkan terhadap x dan t, maka diperoleh ( Persamaan masalah nilai batas untuk
) yaitu
Jika bentuk dan turunan-turunannya diintegralkan terhadap x dan t, maka diperoleh
digunakan
(
kemudian
)
Jadi penyelesaian dari persamaan KP dengan syarat awal pada persamaan (38) hingga orde keempat sebagai berikut : (
(
)
(
(
)
)
(
)
Lampiran 3 Penyelesaian kasus pertama (Variabel y berubah) Berikut ini akan ditentukan penyelesaian , (34)-(37) dengan pendekatan awal berikut : = Dari persamaan (34) diperoleh persamaan
Sehingga penyelesaian untuk
yaitu
Dari persamaan (35) diperoleh persamaan (
)
,
,
dan
5 pada
persamaan
22 Jika bentuk dan turunan-turunannya digunakan kemudian diintegralkan terhadap x dan t, maka diperoleh Dari persamaan (36) diperoleh persamaan
Jika bentuk dan turunan-turunannya digunakan kemudian diintegralkan terhadap x dan t, maka diperoleh Dari persamaan (37) diperoleh persamaan (
)
Jika bentuk dan turunan-turunannya digunakan kemudian diintegralkan terhadap x dan t, maka diperoleh (
)
Persamaan masalah nilai batas untuk
yaitu
Jika bentuk dan turunan-turunannya diintegralkan terhadap x dan t, maka diperoleh ( Persamaan masalah nilai batas untuk (
) 5
(
digunakan
kemudian
)
yaitu
)
Jika bentuk dan turunan-turunannya digunakan kemudian diintegralkan terhadap x dan t, maka diperoleh (
)
(
)
Jadi penyelesaian dari persamaan KP dengan pendekatan awal pada persamaan (39) hingga orde kelima sebagai berikut :
( (
)
) (
( )
) (
)
23
Lampiran 4 Penyelesaian kasus kedua Berikut ini akan ditentukan penyelesaian , , dan pada persamaan (34)-(37) dengan pendekatan awal dalam bentuk fungsi rasional berikut : )
(
(
)
(
)
Dari persamaan (34) diperoleh persamaan
Sehingga penyelesaian untuk
yaitu (
)
(
)
Dari persamaan (35) diperoleh persamaan (
)
Jika bentuk dan turunan-turunannya digunakan kemudian diintegralkan terhadap x dan t, maka diperoleh ( )
( Dari persamaan (36) diperoleh persamaan
Jika bentuk dan turunan-turunannya digunakan kemudian diintegralkan terhadap x dan t, maka diperoleh ( (
) ( (
). ). (
Dari persamaan (37) diperoleh persamaan (
)
)
( /
/
( ).
)
.
/ ). / ].
/
24 Jika bentuk dan turunan-turunannya digunakan kemudian diintegralkan terhadap x dan t, maka diperoleh (
)
(
.
. .
/
.
/
/ .
/
. /
/ .
.
/
/ )
Jadi penyelesaian dari persamaan KP pada kasus kedua dengan pendekatan awal pada persamaan (40) hingga orde ketiga sebagai berikut : (
)
25
RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Jakarta pada tanggal 8 Mei 1991 sebagai anak kedua dari dua bersaudara, anak dari pasangan Muhammad Yusuf dan Siti Masfufah. Pendidikan formal yang telah ditempuh penulis yaitu di TK Islam Annuriyah lulus pada tahun 1997, SD Kartini 1 Jakarta Pusat lulus pada tahun 2003, SMP Negeri 10 Jakarta Pusat lulus pada tahun 2006, SMA Negeri 3 Depok lulus pada tahun 2009 dan pada tahun yang sama penulis diterima di Institut Pertanian Bogor melalui jalur UTMI di Departmen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Selama menuntut ilmu di IPB, penulis aktif di organisasi kemahasiswaan Gugus Mahasiswa Matematika (GUMATIKA) sebagai staf divisi Pengembangan Sumber Daya Manusia (PSDM) pada tahun 2011, dan sebagai staf divisi Math Event pada tahun 2012. Selain itu penulis pernah menjadi asisten dosen untuk mata kuliah Kalkulus III pada semester ganjil tahun 2012. Berbagai kegiatan kepanitiaan penulis ikuti selama menjadi mahasiswi matematika seperti Masa Perkenalan Departemen (MPD) sebagai Komisi Disiplin, Matematika Ria 2011 dan Matematika Ria 2012 sebagai staf Divisi Acara.
