PENYELESAIAN MASALAH DATA SURVIVAL DENGAN MENGGUNAKAN METODE NONPARAMETRIK

PENYELESAIAN MASALAH DATA SURVIVAL DENGAN MENGGUNAKAN METODE NONPARAMETRIK

Oleh: ERYTA SANNELLA G54102013

DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR

2006

ABSTRAK ERYTA SANNELLA. Penyelesaian masalah data survival dengan menggunakan metode nonparametrik. Dibimbing oleh HADI SUMARNO dan RETNO BUDIARTI. Dalam kehidupan sehari-hari manusia tidak bisa lepas dari waktu. Banyak contoh-contoh kegiatan manusia yang berhubungan dengan waktu, seperti lamanya penyakit yang diderita seseorang hingga sembuh, jangka waktu lulusan suatu universitas hingga mendapatkan pekerjaan dan lain-lain. Data tentang pengamatan jangka waktu dari awal pengamatan sampai terjadinya suatu peristiwa (survival time) disebut data survival. Dalam data survival ada data tersensor ada juga data yang tidak tersensor. Untuk menganalisis dan mencari tingkat survival data-data tersebut diperlukan suatu metode yang sesuai. Untuk data tidak tersensor tingkat survival dari setiap individu dapat dicari dengan ^ menggunakan persamaan : S ( t ) = n j ≥ t yaitu rasio dari jumlah individu dengan tingkat survival

N ij

≥ t dibagi jumlah individu dalam suatu himpunan. Untuk data tersensor dimana data tidak dapat diamati secara utuh, digunakan beberapa metode nonparametrik yaitu Life Table dan Kaplan Meier. Untuk membandingkan antar dua grup dalam survival data digunakan uji Logrank dan uji Wilcoxon. Contoh kasus yang dibahas adalah pengaruh jenis kelamin dan kandungan protein pada darah dalam menentukan tingkat survival pada pasien multiple myeloma.

PENYELESAIAN MASALAH DATA SURVIVAL DENGAN MENGGUNAKAN METODE NONPARAMETRIK

Skripsi Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Pertanian Bogor

Oleh : ERYTA SANNELLA G54102013

DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR 2006

Judul :

Penyelesaian Masalah Data Survival dengan Menggunakan Metode Nonparametrik Nama : Eryta Sannella Nrp : G 54102013

Menyetujui: Pembimbing I

Pembimbing II

Dr.Ir. Hadi Sumarno, MS.

Ir. Retno Budiarti, MS.

NIP 131430804

NIP 131842409

Mengetahui: Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Pertanian Bogor

Prof. Dr. Ir. Yonny Koesmaryono, MS. NIP 131473999

Tanggal Lulus :

PRAKATA Puji syukur penulis curahkan kehadirat Allah SWT yang telah memberi segala limpahan rahmat dan nikmat sehat jasmani maupun rohani sehingga penulis mampu menyelesaikan karya ilmiah ini. Berbagai permasalahan muncul selama penyusunan karya ilmiah ini. Namun berkat bantuan dari semua pihak, penulis akhirnya mampu menyelesaikan semua permasalahan yang ada. Dengan segala kerendahan hati penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada: ♣

Pak Hadi, selaku pembimbing 1 yang selalu sabar mendidik, membimbing, memberikan ilmu sehingga saya bisa menyelesaikan tugas akhir ini. ♣ Bu Retno selaku pembimbing 2 yang senantiasa memberi masukan dan senyumnya sangat membangun semangat saya. ♣ Pak wayan yang telah bersedia menjadi penguji saya, yang telah memberikan masukan, sehingga skripsi ini bisa mendekati sempurna. ♣ Papa, Ibu ananda ingin memberikan yang terbaik buat kalian. Terima kasih telah membuat ananda menjadi lebih dewasa, berbesar hati, sabar, dan tegar menghadapi semua masalah dalam hidup, terima kasih juga atas dukungan, doa, semangat serta kasih sayang hingga ananda bisa menyelesaikan tugas akhir ini. ♣ Nden, K’en, Cia mama, Ojeng, terima kasih atas doa, dukungan serta semangatnya. Keponakan-keponakanku tercinta Puput, Abang Dwi, dan Fadel tetaplah ceria, tegar, serta siapkan diri menghadapi hari esok. ♣ Keluarga Bekasi : Mama, Papa, Eryt bangga punya keluarga baru penuh dengan kasih sayang seperti kalian. Nda, Mey, Dd, Kk, Tania, terima kasih atas doa dan dukungannya ♣ Bang Henry (Pi_ku) sandaran hatiku, terima kasih selalu ada saat Mi senang, susah, sedih, dikala Mi ngerasa sendiri, saat jatuh kamu selalu memberikan semangat serta motivasi baru untuk Mi bangun lagi, kamu telah memberikan warna dalam hidup Mi, kamu mengajarkan untuk selalu bersabar, lebih dewasa menghadapi semua masalah, terima kasih atas semua kasih sayang, cinta, semangat, dan Doanya hingga Mi bisa menyelesaikan tugas akhir ini. Berikan yang terbaik buat Andryta. ♣ Sahabat-sahabatku: Dina ,Avie, Ade, Arif, Febi, Ardi, Noyta, Tikha, Mere yang telah memberikan semangat, keceriaan, dukungan dan doa. Terima kasih atas persahabatan ini. ♣ Sahabat-sahabatku di Bengkulu: Kiki, atas dukungan, keceriaan, tempat ku berbagi keluh kesah, Ayo Semangat!!. Wiska, Yova ,Iis, persahabatan yang dari kecil terjalin tidak akan pernah retak, terima kasih semangat dan doanya. ♣ Temen-temen Padasuka : Yuni, Wida, Mithonki, Ijonki, Ana, Rina, Tia, Yendul, Mba Edith, Dina, Nana, Fanie, dll. Tetep jaga kekompakan dan keceriaan Padasuka. ♣ Math 39, yang tidak bisa disebutkan satu per satu, selama 4 tahun ini, kalian telah mengajarkan hal baru terima kasih semuanya. Math 38, Math 40, Math 41, Ayo semangat!!. ♣ Staf dan karyawan Tata Usaha Departemen Matematika terima kasih atas kemudahan administrasi, dukungan dan Doanya. Bu Susi yang sangat membantu mengurus segala administrasi pengeluaran SKL, terima kasih bu. ♣ Dan semua pihak yang ikut terlibat dalam penyelesaian tugas akhir ini penulis ingin mengucapkan terima kasih. Besar harapan penulis agar karya ilmiah ini akan dapat memberikan banyak manfaat bagi para pembacanya.

Bogor, September 2006 Eryta Sannella

RIWAYAT HIDUP Eryta Sannella lahir di Kota Kepahiang, Bengkulu pada tanggal 11 april 1984. Penulis merupakan putri ke empat dari pasangan Mustadi Akir dan Nurlela Wati yang bertempat tinggal di jalan raya Desa durian Depun No.37 Curup-Bengkulu. Pada tahun 2002 penulis lulus dari Sekolah Menengah Umum (SMU) Negeri I Curup. Setelah itu penulis mencoba mendaftar jalur Ujian Seleksi Masuk IPB (USMI) yang diadakan sekolah. Pada waktu itu penulis memilih Program Studi Matematika sebagai pilihan kedua dan Program Studi Ilmu Komputer sebagai pilihan pertama, dan akhirnya penulis bisa lolos dalam seleksi itu dan menjadi mahasiswa Departemen Matematika IPB Selama mengikuti kegiatan perkuliahan, penulis aktif pada kegiatan kemahasiswaan Gumatika (Gugus Mahasiswa Matematika) pada periode 2003/2004.

“ Untuk Papa, Ibu, dan Keluarga tercinta, Bang Henry dan semua Orang yang Kusayangi “.

DAFTAR ISI Daftar Tabel ......................................................................................................................... Daftar Grafik ........................................................................................................................ Daftar Lampiran ..................................................................................................................

Halaman ii ii ii

I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang ....................................................................................................... 1.2 Permasalahan ......................................................................................................... 1.3 Tujuan .....................................................................................................................

1 1 1

LANDASAN TEORI 2.1 Data Survival .......................................................................................................... 2.2 Data Tersensor ....................................................................................................... 2.2.1 Sensor Titik ................................................................................................... 2.2.2 Sensor Selang .............................................................................................

1 1 1 2

III PEMBAHASAN 3.1 Contoh Data Survival ............................................................................................ 3.2 Fungsi Survivor ..................................................................................................... a.Data Tidak Tersensor ......................................................................................... b.Data Tersensor ................................................................................................... 3.3 Metode Life Table .................................................................................................. 3.4 Metode Kaplan-Meier ............................................................................................ 3.5 Fungsi Hazard.......................................................................................................... 3.6 Membandingkan Dua Grup Dalam Survival Data ..................................................

4 4 5 5 5 6 8 11

IV CONTOH KASUS ....................................................................................................

13

SIMPULAN.........................................................................................................................

15

DAFTAR PUSTAKA ..........................................................................................................

15

LAMPIRAN .........................................................................................................................

16

II

DAFTAR TABEL 1 2 3 4 5 6

Halaman Contoh Data Lengkap .................................................................................................... 4 Contoh Data Tidak Lengkap .......................................................................................... 4 6 Life Table Penduga Fungsi Survivor dari 48 Pasien multiple myeloma......................... 9 Life Table Penduga Fungsi Hazard dari 48 pasien multiple myeloma ........................... Standard Error dan Selang Kepercayaan ...................................................................... 10 Jumlah Kematian Pada j Waktu Kematian Pada Masing-masing Grup ......................... 11

DAFTAR GRAFIK 1 2 3 4 5 6

Halaman Jenis-Jenis Sensor Titik ................................................................................................. 2 5 Survival Times................................................................................................................ 6 Life Table Fungsi Survivor ............................................................................................ 9 Life Table Fungsi Hazard ............................................................................................... Standard Error............................................................................................................... 11 Selang Kepercayaan ...................................................................................................... 11

DAFTAR LAMPIRAN 1 2

Data survival times dari 48 pasien multiple myeloma.................................................... Penghitungan Penduga Kaplan-Meier dari fungsi survivor untukdata 48 pasien multiple myeloma........................................................................................................... 3 Penghitungan Penduga Kaplan-Meier dari fungsi hazard untuk data 48 pasien multiple myeloma .......................................................................................................... 4 Grafik Penyelesaian dari fungsi survivor dan fungsi hazard ......................................... 5 Penghitungan Vj data 48 pasien multiple myeloma untuk Jenis kelamin ...................... 6 Grafik Tingkat Survivor untuk jenis kelamin................................................................ 7 Penghitungan Vj data 48 pasien multiple myeloma atas kandungan ............................. Proteinnya. 8 Grafik tingkat survival untuk kandungan Protein.......................................................... 9 Penghitungan V j data 48 pasien multiple myeloma untuk jenis kelamin................... 10 Penghitungan Vj untuk Kandungan protein .................................................................. 11 Grafik fungsi Survivor Data 48 pasien multiple myeloma.............................................

Halaman 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27

I PENDAHULUAN 1.1 Latar belakang Dalam kehidupan sehari-hari banyak dijumpai masalah-masalah yang berhubungan dengan waktu, seperti lamanya penyakit yang diderita seseorang hingga sembuh, jangka waktu lulusan suatu universitas menganggur sampai mendapatkan pekerjaan dan lain-lain. Waktu pengamatan tersebut adalah faktorfaktor yang mempengaruhi kejadian yang dipandang sebagai variabel independent. Data tentang pengamatan di atas disebut sebagai data survival. Data survival adalah data tentang jangka waktu dari awal pengamatan sampai terjadinya suatu peristiwa (survival time). Untuk mengamati data survival yang umumnya tidak dapat diamati secara utuh (censored), diperlukan suatu analisis yaitu analisis survival. Ada dua jenis sensor dalam data survival yaitu sensor titik dan sensor selang. Dikatakan sensor titik jika waktu kejadian (failure time) dapat diamati secara tepat, sedangkan sensor selang adalah pengamatan waktu kejadian hanya dapat diamati pada selang tertentu. Data survival biasa digunakan dalam berbagai bidang seperti : (i) dalam bidang kedokteran : lamanya waktu penderita kanker bertahan hidup atau waktu ketahanan hidup yaitu waktu sampai tibanya kematian, (ii)

dalam rancangan berbagai percobaan : waktu dari mulai pemberian suatu perlakuan sampai terjadinya respon, (iii) dalam bidang ekonomi: berkaitan dengan lamanya menganggur, atau waktu yang diperlukan oleh seorang sales untuk menjual sejumlah barang tertentu, (iv) dalam bidang kependudukan : lamanya seorang gadis mendapatkan jodoh, (v) dalam bidang industri: lamanya suatu unit atau beberapa komponen bertahan sampai rusak dan lain-lain. 1.2 Permasalahan Pada kenyataannya kita sering menghadapi masalah pendataan, adanya data yang tidak dapat diamati secara utuh, sehingga perlu menggunakan metode lainnya yang lebih sesuai. 1.3 Tujuan Tujuan penulisan karya ilmiah ini adalah: 1. Melakukan analisis data survival dengan menggunakan metode nonparametrik Life Table dan Kaplan Meier. 2. Membandingkan antar dua kelompok survival data dengan menggunakan uji Logrank dan uji Wilcoxon.

II LANDASAN TEORI Definisi 1 [ Data survival ] Data survival adalah data tentang pengamatan jangka waktu dari awal pengamatan sampai terjadinya suatu peristiwa (survival time), peristiwa itu dapat berupa kegagalan, kematian, respon, timbulnya gejala dan lain-lain. 1. Waktu awal yaitu waktu pada saat terjadinya kejadian awal, seperti waktu seseorang divonis menderita kanker, waktu pemberian perlakuan, dan lain-lain. 2. Waktu kegagalan yaitu waktu pada saat terjadinya kejadian akhir seperti kematian, respon dari perlakuan dan lain-lain. Data survival dapat diamati secara lengkap (data tidak tersensor) dan tidak lengkap (data tersensor). (Lee 1992)

Definisi 2 [ Data tersensor ] Data tersensor adalah data yang tidak bisa diamati secara utuh, karena adanya individu yang meninggal pada saat pengamatan atau adanya individu yang hilang ataupun dengan alasan lain, sehingga tidak dapat diambil datanya. (Lee 1992) Definisi 3 [ Sensor titik ] Sensor titik adalah salah satu jenis sensor terhadap objek yang diamati mulai dari waktu T0 sampai T1 dan selama itu objek dapat dimonitor secara kontinu dan waktu kejadian dapat dilihat dengan baik. Sensor titik (Point censoring) terdiri dari : a. Sensor kanan : - sensor kanan jenis I; tersensor karena tidak mengalami kejadian sampai akhir masa observasi ( B ).

10

-

Sensor kanan jenis II; tersensor karena tidak bisa mengikuti observasi sampai akhir akibat adanya kejadian lain di luar yang menjadi perhatian ( C ).

b. c. d. e.

Sensor kiri ( D ) Sensor kiri dan kanan (E ) Sensor kanan secara lengkap ( F ) Sensor kiri secara lengkap ( G ) (Lee 1992)

Berikut Grafik Penjelasan Sensor Titik _____________________________________________________________________________ A

*

B

* C

0

D

*

E

* F

G

*

* T0

T1

Grafik 1 Jenis-jenis sensor titik __________________________________________________________________________ Pada Grafik 1 garis yang ada dapat diamati secara kontinu. Dalam hal ini melambangkan periode resiko untuk setiap objek C disebut tersensor kanan jenis II. objek. Garis yang diakhiri dengan tanda Jika kasus B dan C menggambarkan bintang (*) menandakan adanya sebuah sensor kanan, maka objek D menjelaskan kejadian (event) yang menjadi perhatian pada sebuah kasus tentang data tersensor kiri. objek amatan. Sementara garis yang diakhiri Sebuah masalah bisa terjadi misalnya ketika dengan sebuah lingkaran (o) mengindikasikan objek amatan dalam studi AIDS sudah terkena adanya kejadian lain di luar yang menjadi HIV-1 seropositive saat didaftar dan variabel perhatian. waktu yang menjadi perhatian adalah periode Berdasarkan Grafik 1, periode resiko inkubasi dari AIDS. Pada situasi lain, seperti objek A berada dalam periode observasi dan objek E observasi tersensor kiri dan kanan sekaligus. Misalnya pada kasus AIDS, event diketahui, oleh karena itu tidak ada peristiwa sensor disini. Objek B, periode sesorang sudah terkena HIV-1 seropositive resiko dimulai di dalam periode observasi pada saat didaftar tetapi sampai akhir studi tetapi tidak ada kejadian sampai berakhirnya masih bebas dari AIDS. observasi. Event terjadi setelah observasi Dalam beberapa aplikasi, sering kali berakhir, melewati waktu T1. Dalam hal ini waktu awal dan waktu akhir dari suatu objek B tersensor kanan jenis I. Pada objek C, kejadian terjadi sebelum waktu observasi observasi juga tersensor sebelah kanan tetapi dimulai atau setelah waktu observasi selesai. dengan alasan yang berbeda dari objek B, Objek F dan G pada Grafik 1 Objek B tersensor karena berakhirnya studi. menggambarkan kasus sensor yang dikenal Objek C tersensor karena mengalami kejadian sebagai sensor kanan secara lengkap dan luar yang menjadi perhatian dan tidak dapat sensor kiri secara lengkap. mengikuti observasi sampai akhir akibat (Leung et. al. 1997) adanya kejadian lain, kejadian lain yang menjadi perhatian seperti pasien menghilang, Definisi 4 [ Sensor selang ] atau pindah ke negara lain sehingga tidak Sensor selang adalah salah satu jenis sensor terhadap suatu objek yang diamati

11

Definisi 7 [ Metode parametrik ] Metode parametrik adalah metode analisis yang memiliki asumsi sebaran. Misalnya data yang diamati menyebar normal, menyebar binom dan lain-lain. (Hogg dan Craig 1995)

mulai dari waktu T0 sampai T1 dan selama itu objek diamati pada titik-titik tertentu sehingga pasien yang diamati tidak dapat dimonitor secara kontinu. a. Tersensor di salah satu sisi, kiri atau kanan. b Tersensor di kedua sisi, kiri maupun kanan. Pada beberapa aplikasi, waktu terjadinya kejadian akhir tidak diketahui secara pasti. Informasi yang tersedia adalah bahwa kejadian (event) dilakukan secara periodik, yaitu pengamatan terhadap objek tidak dilakukan secara kontinu tetapi dalam selang waktu tertentu, misalnya satu tahun sekali. Hal ini mengakibatkan objek tidak dapat dimonitor secara penuh dan waktu terjadinya kejadian akhir tidak bisa ditentukan secara tepat. Contoh sensor selang misalnya ada delapan wanita yang berusia 50 tahun yang berada dalam masa post-menopausal, mereka mulai memeriksakan dirinya 1 tahun sekali untuk kemungkinan berkembangnya kanker payudara (yearly mammograms). Dalam hal ini waktu kegagalannya adalah saat mulai terdeteksi kanker payudara pada wanita tersebut. Pemeriksaan dilakukan selama 10 tahun. Interval yang menunjukkan saat wanita tersebut terdeteksi adanya kanker payudara (sensor selang) adalah ( 55,56], ( 58, 59], (52,53], (59,60], ≥ 60, ≥ 60, ≥ 60, ≥ 60. ( Klein dan Moeschberger 1997 )

Definisi 8 [ Metode nonparametrik ] Metode nonparametrik adalah metode analisis yang tidak berdasarkan asumsi sebaran tertentu. Sehingga perlu dicari metode yang sesuai untuk menganalisis data-datanya. (Hogg dan Craig 1995) Definisi 9 [ Uji hipotesis ] Uji hipotesis adalah suatu aturan yang digunakan untuk menerima atau menolak suatu hipotesis dari hasil amatan yang diperoleh. Hipotesa mengenai populasi yang akan kita terima kebenarannya sampai ada bukti untuk menolaknya dinamakan hipotesis nol (null hypothesis/ H0). Apabila hipotesis ini ditolak kebenarannya, maka ada hipotesis lain yang kita anggap benar, yaitu hipotesis tandingan (Alternative hypothesis/ H1). Dalam perumusan H1 dikenal dua macam hipotesis yaitu : a. Hipotesis eka arah 1. H 0 : µ ≤ µ0 2. H 0 : µ ≥ µ0 H1 : µ > µ 0 H1 : µ < µ0 b. Hipotesis dwi arah H 0 : µ = µ0

H1 : µ ≠ µ0 Untuk menolak atau menerima hipotesis nol maka terlebih dahulu ditentukan taraf nyata α . Taraf nyata adalah peluang menolak hipotesis nol saat hipotesis nol benar (signifikan). Hipotesis ditolak pada saat berada di daerah kritis yang disebut sebagai daerah penolakan H0 . (Hogg dan Craig 1995)

Definisi 5[ Fungsi survivor ] Fungsi ketahanan (survivor function) atau S(t) adalah fungsi yang menyatakan peluang seseorang dapat bertahan hidup hingga atau lebih dari waktu t (mengalami kejadian sesudah waktu t) yang didefinisikan sebagai berikut:

S(t) = P(T ≥ t)

variabel acak T mempunyai fungsi kepekatan peluang f (t): dS (t ) f (t ) = − dt (Collet 1994)

Definisi 10 [ Selang kepercayaan ] Selang kepercayaan adalah selang yang dapat dipercaya pada nilai µ tertentu. Contoh ___

µ , σ diketahui: Bila X adalah nilai tengah contoh acak beukuran n, yang diambil dari suatu populasi dengan ragam σ 2 diketahui, maka selang kepercayaan (1 − α )100% bagi

Definisi 6 [ Fungsi hazard ] Fungsi hazard yaitu fungsi yang menyatakan peluang seseorang meninggal pada waktu t dengan syarat bahwa seseorang itu telah bertahan hidup hingga waktu t, fungsinya diberikan: h(t ) = P (t ≤ T ≤ t + δ t | T ≥ t )

µ adalah : __

X − Zα 2

( Collet 1994)

12

__ σ σ < µ < X + Zα n n 2

Selang Z α adalah nilai yang luas daerah

adalah

2

disebelah kanan dibawah kurva normal baku

α . 2

(Walpole 1995)

III PEMBAHASAN 3.1 Contoh Data Survival Data-data yang termasuk dalam data survival memenuhi empat informasi yang harus diperoleh : 1. Waktu kejadian (failure time) pasien 2. Jumlah objek yang diamati nj 3. Banyaknya objek yang meninggal dj 4. Banyaknya objek yang tersensor cj c j = 0 , disebut dengan pengamatan Jika

3.2 Fungsi Survivor Fungsi ketahanan (survivor function) atau S(t) adalah fungsi yang menyatakan peluang seseorang dapat bertahan hidup hingga atau lebih dari waktu t (mengalami kejadian sesudah waktu t). S(t) = P(T ≥ t) (3.1)

secara lengkap, kemudian sebaliknya jika c j ≠ 0 disebut dengan data survival

dengan

= 1 − p (T ≤ t ) = 1 − F (t )

∑

t

∑

F (t ) = P(T ≤ t ) = ∫ f (u)du 0

F(t) adalah fungsi sebaran kumulatif. Misalkan T menyatakan waktu kejadian atau waktu kematian, maka T dapat dipandang sebagai suatu variabel acak nonnegatif. Fungsi variabel acak T mempunyai fungsi kepekatan peluang f (t) : dS (t ) f (t ) = − dt Teorema 1: Jika fungsi survivor S (t ) = P(T ≥ t) maka dapat ditunjukkan bahwa fungsi kepekatan peluang dari T adalah: dS (t ) f (t ) = − dt

tersensor. _____________________________________ Tabel 1 Contoh Data Lengkap Waktu nj dj S^( t ) 11 11 1 1.000 13 10 5 0.909 14 5 2 0.455 15 3 2 0.273 17 1 1 0.091 _____________________________________ _____________________________________ Tabel 2 Contoh Data Tidak Lengkap

∞

Periode Waktu dj cj nj 0--12 16 4 48 12--24 10 4 28 24--36 1 0 14 36--48 3 1 13 48--60 2 2 9 60-4 1 5 _____________________________________ Untuk mengambil atau mengamati suatu data kita perlu populasi atau contoh yang akan dijadikan objek. Dalam melihat atau menganalisis suatu sample ada dua metode yang biasa digunakan yaitu metode parametrik dan metode nonparametrik. Dalam karya ilmiah ini hanya dibahas penyelesaian masalah data survival dengan menggunakan beberapa metode nonparametrik untuk data tersensor maupun data tidak tersensor.

S (t ) =

Bukti:

∫ f ( x)dx t

∞

t

karena

∫

f ( x )dx +

−∞

∫ f ( x)dx = 1 t

t

maka: 1 − S (t ) =

∫

f ( x )dx,

−∞ t

d[

∫

f ( x )dx ] d [1 − S (t )] = −∞ dt dt 0 − dS (t ) dF (t ) = dt dt − dS (t ) = dF (t ) − dS (t ) = f (t ) dt − dS (t ) f (t ) = dt Terbukti

13

a. Data Tidak Tersensor Misalkan bahwa kita punya sampel tunggal dari survival times dimana tidak ada pengamatan yang tersensor. Maka penduga fungsi survivor dapat diberikan: ^

S (t ) =

nj ≥ t

digunakan untuk menduga data yang tidak lengkap adalah Life Table dan Kaplan Meier. 3.3 Metode Life Table 1. Langkah-langkah Penyusunan Life Table Penduga Survivor Function Metode Life Table penduga fungsi survivor dikenal juga sebagai Actuarial Estimate. Langkah-langkah penyusunannya sebagai berikut: • Pertama dengan membagi periode dari pengamatan ke dalam beberapa interval misal ada m interval, j= 1,2,…,m. • Penentuan banyaknya angka kematian yang disimbolkan dengan dj. • Penentuan banyaknya data yang tersensor yang disimbolkan dengan cj. • Jumlah individu yang hidup dan beresiko untuk mati yang disimbolkan dengan nj.

(3.2)

N ij

^

S (t ) : Penduga fungsi survivor : Jumlah individu dengan waktu nj kelangsungan hidup ≥ t Nij : Jumlah individu dalam suatu himpunan data Contoh 1 Diperhatikan dalam suatu studi dengan perlakuan yang lebih memusatkan pada paruparu metastasis yang berasal dari Osteosarcoma. Diberikan data survival times dalam hitungan bulan pada 11 pasien laki-laki sebagai berikut : 11 13 13 13 13 13 14 14 15 15 17 Dengan menggunakan persamaan (3.2), perhitungan diberikan pada Tabel 1, nilai yang diduga dari fungsi survivor pada waktu 11,13,14,15, dan 17 adalah 1.000, 0.909, 0.455, 0.273, dan 0.091. Nilai penduga

Dengan asumsi bahwa proses sensor pada setiap interval terjadi secara seragam dalam setiap interval j, maka rata-rata dari jumlah individu yang beresiko tersensor adalah: cj n 'j = n j − (3.3) 2 Dalam setiap interval j, j= 1,2,…m d peluang kematian dapat diduga dengan 'j , nj bersesuaian dengan peluang kelangsungan hidup adalah (n’j – dj)/ n’j. Peluang bahwa individu yang bertahan lebih dari waktu awal hingga interval k bisa diduga dengan metode Life Table penduga fungsi survivor yang diberikan:

^

S (t ) = 1 ,untuk t ≤ t(1) . Dari Tabel 1 didapat

Estimated Hazard Function

Grafik 2 survival times untuk 11 pasien tersebut. _____________________________________ Grafik 2 Survival Times _____________________________________ 0.8

k  n '− d  j j  S * (t ) = ∏   n'j  j =1  Untuk t’k ≤ t < t ' k= 1,2,…,m. k +1, :

0.6 0.4 0.2

(3.4)

S*( t) =1,untuk t ≤ t1 dan S*(t)=0 untuk

t ≥ tm +1 .

0 11

12

13

14 15 16 Survival Times

17

18

Contoh 2 Untuk menggambarkan penghitungan penduga Life Table di atas akan dilihat data dari 48 pasien multiple myeloma pada Lampiran 1. Dalam penggambaran ini informasi penjelas lainnya diabaikan. Hasil perhitungan dari Contoh 2 dengan metode Life Table penduga fungsi survivor disajikan pada Tabel 3.

b. Data Tersensor Metode dari pendugaan fungsi survivor yang digambarkan pada Contoh 1 di atas tidak dapat digunakan ketika ada pengamatan yang tersensor. Sehingga diperlukan suatu metode yang sesuai untuk dapat menduga data tersebut. Diantara metode yang dapat

14

_______________________________________________________________________________ Tabel 3 Life Table Penduga Fungsi Survivor Dari 48 Pasien multiple myeloma Periode Waktu 0--12 12--24 24--36 36--38 48--60 60--

Interval 1 2 3 4 5 6

dj 16 10 1 3 2 4

cj 4 4 0 1 2 1

nj 48 28 14 13 9 5

n'j ( n'j-dj ) / n'j 46.00 0.6522 26.00 0.6154 14.00 0.9286 12.50 0.7600 8.00 0.7500 4.50 0.1111

S*( t ) 0.6522 0.4031 0.3727 0.2832 0.2124 0.0236

__________________________________________________________________ yang tersedia hanya jumlah kematian dan jumlah sensor yang diamati. Ketika survival times yang sebenarnya diketahui, penduga Life Table masih dapat digunakan seperti contoh data diatas, tetapi dalam pengelompokan dari survival times akan menghasilkan beberapa informasi yang hilang.

Penyajian dalam bentuk grafik dari Tabel 3 disajikan pada Grafik 3. _____________________________________ Grafik 3 Life Table Fungsi Survivor

3.4 Metode Kaplan Meier Penduga Fungsi Survivor Pada prinsipnya perhitungan Kaplan Meier sama dengan perhitungan Life Table, perbedaannya pada Life Table penentuan selang interval dibuat dengan panjang yang sama, jadi waktu kejadian (failure time) diabaikan, pada metode Kaplan Meier selang interval memuat 1 kematian. Jadi setiap ada kematian dibuat 1 interval. Misalkan r adalah waktu kematian antara individu-individu tersebut dengan r ≤ n. Peluang individu meninggal dalam setiap dj interval j diduga oleh . Penduga peluang nj

Estimated Survivor Function

Dengan : dj : Jumlah kematian cj : Jumlah sensor nj : Jumlah individu yang hidup dan beresiko untuk mati n’j : Rata-rata dari jumlah individu yang beresiko tersensor S*(t) : Fungsi ketahanan.

0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0

20

40 60 Survival Times

80

dari survival yang sesuai dengan interval itu nj − d j adalah . Metode Kaplan Meier nj

_____________________________________ Dari Grafik 3 penduga Life Table fungsi survivor di atas dapat dilihat bahwa pada periode 0-12 yaitu waktu dimana pengamatan baru dimulai peluang seseorang bertahan hidup masih tinggi yaitu 0.6522. Angka ini berangsur-angsur turun dengan meningkatnya waktu. Penurunan fungsi survivor pada awal pengamatan yang tajam, disebabkan treatment belum berdampak pada pasien, sehingga angka kematian meningkat. Tingkat kematian rendah pada pertengahan pengamatan, namun setelah memasuki periode pengamatan ke 60tingkat kematian meningkat yang disebabkan juga pengaruh umur. Penduga Life Table sesuai digunakan untuk situasi dimana waktu kematian sebenarnya tidak diketahui, dan informasi

penduga fungsi ketahanan diberikan oleh fungsi : k  ^ nj − d j  (3.5) S (t ) =    nj  j =1  

∏

^

Untuk tk ≤ t ≤ tk +1 dan S (t ) = 1 untuk t ≤ t(1) . Contoh 3 Untuk menggambarkan metode Kaplan Meier dari fungsi survivor, dengan menggunakan data yang sama pada metode Life Table. Lampiran 2 menyajikan dugaan Kaplan Meier untuk fungsi survivor.

15

Perhatikan bahwa S (t ) diduga pada waktu kematian. Pada minggu ke-15 50% pasien tidak mampu bertahan, tetapi tingkat survival masih tinggi yaitu 0.7315. Setiap periode waktu dapat diamati peluang seseorang bertahan hidup, dengan nilai peluang yang semakin lama semakin mengecil. Pengaruh umur juga sangat besar pada tingkat survival.

var(n j − d j ) nj

k

^

S (t ) = ∏ p j

f (x) =

(Mathews 1992) Definisi [Sifat Ragam]: Bila X suatu peubah acak dan a konstanta, maka : σ 2 aX = a 2σ X 2 = a 2σ 2 . (Walpole 1995)

S (t ) diberikan oleh:

Dengan menggunakan sifat ragam dan pendekatan deret taylor, maka ragam dari suatu fungsi g(X) dengan X adalah variabel acak diberikan :  N g k ( x0 )  var( g ( X )) = var  ( x − x0 )k   k =0 k !  ( x − x0 )   ≈ var  g( x0 ) + g'( x0 ) ( x − x0 ) + g ('' + ... x0 ) 2!  

(3.7)

Jumlah individu yang bertahan hidup pada interval yang dimulai pada waktu t(j) diasumsikan menyebar binom dengan parameter nj dan pj, dimana pj adalah peluang kelangsungan hidup dalam interval j. Dengan berlandaskan pada fungsi kepekatan peluang dari sebaran binom yang diberikan :

dan ragam

∑

2

≈ 0 + g'(x0 ) var(x − x0 ) + g ('' x0 )

n− x

(1 − p ) ; x = 0,1,... np (1 − p ) , karena nilai yang x

diamati selisih antara

(n j − d j )

var(n j − d j ) = n j p j (1 − p j )

Ketika p j =

(n j − d j ) nj

2

var(x − x0 ) +... 2!

2

 dg ( X )  var( g ( X )) ≈   var( X )  dX 

, maka

ragamnya : ^

N+1

N

j =1

∑ f ( x) = ∑ ( )p

k!

( x − x0 )2

 x − x0   x − x0  + f (n+1) (c)  f (n) (x0)    N!   N! 

^

n x

f (k) ( x0 )

 x − x0  f (x) = f (x0) + f '(x0)(x − x0) + f (2)(x0)  +... +  2! 

log S (t ) = ∑ log p j

^   k   var log S (t ) = ∑ var log p j    j =1  

∞

∑ k=0

^

^

(i)

x ∈ [a, b] terdapat c = c ( x ) yang terletak antara x dan x0 maka :

untuk k = 1,2,…,r dimana p^j = ( nj – dj ) / nj penduga dari peluang bahwa seseorang bertahan pada interval waktu yang dimulai dari t(j), j = 1,2,…,r . Untuk mempermudah perhitungan persamaan (3.6) diambil logaritmanya menjadi:

Dan ragam dari

(3.9)

nj

Teorema 2 [Deret Taylor] Jika diberikan fungsi f, f ∈ c n +1[a, b] , f kontinu dan terturunkan sampai turunan ke n+1. Misalkan x0 ∈ [a, b] untuk setiap

(3.6)

k

p j (1 − p j )

^  ^  p j 1 − p j    var p j = nj

j =1

^

=

^

2. Standar Error Metode Kaplan Meier Penduga Fungsi Survivor Penduga Kaplan Meier dari fungsi ketahanan untuk beberapa nilai t dalam interval dari t(k) sampai t( k+1) dapat ditulis menjadi : ^

2

^

^  var p j  var log p j  = ^   p j2

(3.8)

,

dari (i) dan (ii) didapat : ^  ^  p j 1 − p j  2 ^     / p^ var log p j  = j nj  

dengan mengalikan persamaan (3.8) dengan 1 , menghasilkan: n j2

16

(ii)

(3.10)

{ }

^

^

var log p j =

(1 − p j )

untuk mencari selang kepercayaan dari fungsi survivor. Selang Z α adalah nilai yang luas

^    nj pj    kemudian disubstitusikan didapat aproksimasi

2

daerah di sebelah kanan di bawah kurva α normal baku adalah . 2

^

p j adalah:

ragam dari log

 nj − d j  ^     1 − p j  1 −  n    j    var log p j  = = ^  nj − d j    nj pj nj    nj   

3.5 Fungsi Hazard Fungsi lain yang berkaitan dengan fungsi ketahanan adalah fungsi hazard yaitu fungsi yang menyatakan peluang seseorang meninggal pada waktu t dengan syarat bahwa seseorang itu telah bertahan hidup dalam waktu t. Fungsi tingkat hazard didefinisikan sebagai tingkat kegagalan bersyarat yaitu limit dari peluang suatu individu gagal bertahan. Waktu kelangsungan hidup seseorang pada saat T terletak antara t dan t + δt , jika seseorang itu telah bertahan hidup hingga waktu t, dengan nilai T lebih besar dari t yang ditulis: (3.14) h(t ) = P (t ≤ T ≤ t + δ t | T ≥ t )

^

(

)

 nj − nj − d j  / nj − d j =   nj   ^  dj  var log p j  =   nj nj − d j

(

)

Sehingga persamaan (3.7) menjadi : k ^ dj var log S (t ) ≈ ∑ ( n n j =1 j j −dj)

{

}

Sebagai aplikasi diberikan :

{

^

}

var log S (t ) ≈ Jadi:

dari

persamaan

1

{ }

 ^   S (t ) 

(3.10)

^

2

var S (t )

Limit dari fungsi hazard dibagi dengan δt ketika δt mendekati 0, jadi:

(3.11)

h ( t ) = lim

{ }

1

{ }

k dj  2  ^   s.e S (t ) ≈  S (t )  ∑     j =1 n j (n j − d j ) 

(3.12)

Sehingga fungsi hazard didapat: P (t ≤ T < t + δ t ) P (t ≤ T ≤ t + δ t | T ≥ t ) = P (T ≥ t ) Yang sama dengan :

3. Selang Kepercayaan Fungsi Survivor Setelah menghitung standard error dari fungsi survivor kemudian akan dihitung

F (t + δ t ) − F (t ) S (t )

^

selang kepercayaan dari S (t ) . Nilai selang kepercayaan dari fungsi survivor pada waktu t, diperoleh dengan mengasumsikan bahwa nilai yang diduga dari fungsi survivor pada waktu t adalah menyebar normal, dengan nilai tengah S(t) dan ragam mengikuti persamaan: 2 k ^ dj  ^  var S (t ) ≈  S (t )  ∑   1 n (n − d )

{ }

j=

j

j

 P (t ≤ T < t + δ t | T ≥ t )   δt

Dari definisi di atas didapat hubungan antara fungsi ketahanan dan fungsi hazard. Berdasarkan teori peluang bersyarat P(A2|A1) yaitu peluang A2 jika diketahui kejadian A1: p( A1 ∩ A2 ) Pr( X1 = x1', X 2 = x 2') . = p( A2 | A1) = p( A1) Pr( X1 = x'1 )

2 k ^ dj  ^  var S (t ) ≈  S (t )  ∑   j =1 n j ( n j − d j ) Jadi, Standard Error metode Kaplan Meier Penduga fungsi survivor didefinisikan: ^

δt → o

 F ( t + δ t ) − F ( t )  1 → h ( t ) = lim δ t → 0   δt   S ( t )

f (t ) S (t ) dS (t ) f (t ) = − dt

h (t ) =

Karena

j

Maka : h ( t ) = − d {log S ( t )}

Didapat persamaan :

dt

S (t ) = exp {− H (t )}

 ^  ^  ^  S (t )− Z α s.e  S (t )  , S (t )+ Z α s.e  S (t )  (3.13)     2 2 ^

17

(3.15)

Dimana : H ( t ) =

t

∫ h ( u ) du

hazard dalam interval waktu diberikan oleh persamaan: dj (3.17) h * (t ) = d    n j − j τ j 2  

(3.16)

0

2. Langkah-langkah Penyusunan Metode Life Table Penduga Fungsi Hazard Pada prinsipnya perhitungan Life Table untuk fungsi hazard sama seperti fungsi survivor, yang berbeda adalah peluang hazardnya. Rata-rata dari individu yang cj   beresiko tersensor adalah n 'j =  n j −  2  dengan asumsi bahwa tingkat kematian konstan. Rata-rata waktu individu bertahan diberikan

d   n'j − j 2 

untuk t j '≤ t < t

' j +1 ,

j= 1,2,…,m

Contoh 4 Dengan menggunakan data 48 pasien multiple myeloma, sama pada pembahasan untuk fungsi survivor Life Table perhitungannya diberikan pada Tabel 4 dibawah ini :

 τ j , dimana τ j adalah 

panjang interval. Life Table penduga fungsi _______________________________________________________________________________ Tabel 4 Life Table Penduga Fungsi Hazard dari 48 Pasien multiple myeloma


Periode τj Interval Waktu dj cj n’ j h* ( t ) 1 0—12 16 4 46.00 12 0.0351 2 12—24 10 4 26.00 12 0.0397 3 24—36 1 0 14.00 12 0.0062 4 36—38 3 1 12.50 12 0.0227 5 48—60 2 2 8.00 12 0.0238 6 60-4 1 4.50 36 0.0444 _______________________________________________________________________________ pertengahan pengamatan, begitu memasuki dengan τ j : Panjang interval minggu ke-20 angka kematian menurun Penyajian dalam bentuk grafik dari Tabel 4 drastis, dan kembali naik pada minggu ke-40 disajikan pada Grafik 4. dan seterusnya. Faktor lain yang _____________________________________ mempengaruhi peluang seseorang meninggal Grafik 4 Life Table Fungsi Hazard adalah umur pasien. 3. Metode Kaplan Meier Penduga Fungsi Hazard Pendugaan fungsi hazard untuk data survival yang tidak dikelompokan rasio dari jumlah individu yang mati dengan jumlah individu yang beresiko untuk mati pada waktu itu. Jika fungsi hazard diasumsikan konstan antara waktu kematian secara berturut-turut, maka hazard per unitnya dapat ditemukan dengan membagi waktu intervalnya. Dengan demikian jika dj adalah kematian pada waktu j waktu kematian t(j), untuk j= 1,2,…,r dan nj yang beresiko pada waktu t(j) fungsi hazard dalam interval dari t(j) ke t(j+1) dapat diduga dengan : ^ dj (3.18) h(t ) = n jτ j

0.04 0.03 0.02 0.01 0 0

20


80

_____________________________________ Dari Grafik 4 fungsi hazard dapat dilihat bahwa peluang seseorang meninggal tidak stabil. Peluang seseorang meninggal tinggi pada awal pengamatan, dikarenakan treatment yang diterapkan belum begitu berdampak pada pasien. Tingkat kematian rendah pada

18

untuk

t j ≤ t < t( j +1)

dimana

τ j = t( j +1) − t( j )

dapat ditentukan, dengan angka peluang yang tidak beraturan.

Peluang kematian dalam tiap interval j adalah

^

h(t ) τ j =

dj nj

Standard Error dan Selang Kepercayaan Standard error adalah hampiran atau model. Dilihat dari Tabel 5 bahwa tingkat survival pasien berbanding terbalik dengan standard error, ini menandakan model yang digunakan untuk mencari tingkat survival itu semakin akurat dikala tingkat survivalnya semakin tinggi. Pada Contoh 4 telah dibahas fungsi survivor dari data 48 pasien dengan multiple myeloma. Sekarang akan ditentukan standard error dari fungsi survivor tersebut. Penghitungan standard error dan selang kepercayaannya disajikan pada Tabel 5.

dan peluang seseorang

bertahan hidup adalah 1 − (

dj nj

) .

Contoh 5 Penghitungan penduga Kaplan Meier untuk fungsi hazard ditampilkan pada Lampiran 3. Dari Lampiran 3 dapat dilihat bahwa peluang seseorang meninggal tidak

_______________________________________________________________________________ Tabel 5 Standard error dan Selang Kepercayaan Selang Kepercayaan nj dj S^ ( t ) s.e {S^ ( t )} 95% 48 0 1.0000 0.0000 ( 1.0000 , 1.0000 ) 48 1 0.9792 0.0206 ( 0.9388 , 1.0196 ) 44 1 0.9569 0.0220 ( 0.9137 , 1.0000 ) 42 1 0.9341 0.0225 ( 0.8900 , 0.9782 ) 38 1 0.9095 0.0243 ( 0.8619 , 0.9571 ) 35 1 0.8836 0.0256 ( 0.8334 , 0.9338 ) 34 1 0.8576 0.0256 ( 0.8074 , 0.9078 ) 28 1 0.8269 0.0301 ( 0.7679 , 0.8859 ) 26 1 0.7951 0.0312 ( 0.7339 , 0.8562 ) 25 1 0.7633 0.0312 ( 0.7021 , 0.8244 ) 24 1 0.7315 0.0311 ( 0.6705 , 0.7924 ) 22 1 0.6983 0.0325 ( 0.6346 , 0.7620 ) 20 1 0.6634 0.0340 ( 0.5968 , 0.7300 ) 19 1 0.6284 0.0340 ( 0.5618 , 0.6950 ) 15 1 0.5866 0.0405 ( 0.5072 , 0.6660 ) 14 1 0.5447 0.0404 ( 0.4655 , 0.6239 ) 13 1 0.5028 0.0403 ( 0.4238 , 0.5818 ) 12 1 0.4609 0.0401 ( 0.3823 , 0.5395 ) 9 1 0.4097 0.0483 ( 0.3150 , 0.5026 ) 8 1 0.3584 0.0479 ( 0.2645 , 0.4522 ) 5 1 0.2868 0.0641 ( 0.1611 , 0.4124 ) 4 1 0.2151 0.0621 ( 0.0934 , 0.3368 ) 2 1 0.1075 0.0760 ( -0.0414 , 0.2564 ) _______________________________________________________________________________

19

penjelasan menyebutkan bahwa ada perbedaan yang nyata antara survival times dari kedua kelompok individu, sehingga diketahui kemampuan survival juga berbeda. Namun ada juga yang berpendapat bahwa perbedaan keduanya tidaklah nyata, kalaupun ada mungkin faktor ketidaksengajaan. Untuk membedakan kedua pernyataan bisa digunakan uji hipotesis. Dalam perbandingan data survival , ada beberapa metode yang dapat digunakan untuk menghitung tingkat perbedaan tersebut. Dua prosedur nonparametrik akan dijelaskan disini, yaitu uji Logrank dan uji Wilcoxon.

Grafik 5 Standard Error

Standard Error

0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0

0

20


80

Grafik 6 Selang Kepercayaan

1. Uji Logrank Uji dibangun dengan Logrank memisahkan waktu kematian dalam dua kelompok data survival, masing-masing kelompok diberi nama grup I dan grup II. Misalkan ada r buah waktu yang berbeda, t(1) < t(2) < … < t (r) pada kedua kelompok tersebut, dan pada waktu t(j) terjadi kematian sebanyak d1j untuk grup I dan sebanyak d2j untuk grup II, j = 1,2,…,r . Misalkan pula ada sebanyak n1j individu yang beresiko meninggal dalam grup I sebelum waktu t(j) , dan ada juga n2j individu yang beresiko untuk mati pada grup II pada waktu t(j) , maka dj = d1j + d2j buah kematian dari sebanyak nj = n1j + n2j resiko kematian yang ada. Sebagai ilustrasi dapat dilihat pada Tabel 6 dibawah ini:

Selang Kpercayaan

1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0

20


80

3.6 Membandingkan Dua Grup Dalam Survival Data Ada dua kemungkinan penjelasan yang mungkin dalam pengamatan untuk beda dua fungsi survivor yang diduga. Salah satu _______________________________________________________________________________ Tabel 6 Jumlah Kematian Pada j Waktu Kematian Pada Masing-masing Grup Grup

Jumlah Kematian pada waktu t(j)

Jumlah individu yang bertahan hingga waktu t(j)

Jumlah individu yang beresiko sebelum t(j)

I II

d1j d2j

n1j – d1j n2j – d2j

n1j n2j

Total

dj

nj - dj

nj

_______________________________________________________________________________ Misalkan hipotesis nol berbunyi: tidak ada oleh kelompok, maka keempat entri pada perbedaan survival antara individu-individu tabel tersebut hanya ditentukan oleh nilai d1j dalam kedua kelompok tersebut. Satu cara (banyaknya kematian pada t(j) dalam grup I). mendapatkan validitas hipotesis tersebut Bisa dianggap d1j sebagai peubah acak, yang adalah dengan membandingkan berapa bernilai antara nol hingga minimum dari dj banyak kematian pada masing-masing dan n1j. Nyatanya d1j memiliki sebaran yang kelompok pada setiap waktu kematian dikenal dengan nama sebaran hipergeometrik, terhadap nilai harapannya dibawah H0. dengan kemungkinan bahwa peubah acak Informasi untuk tiap waktu kematian yang berkaitan dengan banyaknya kematian kemudian dikumpulkan. pada grup I sebesar d1j ditentukan oleh : Jika total pada Tabel 6 dianggap tetap, dan benar bahwa survival tidak terpengaruh

20

 d1 j   n j − d j       d 2 j   n1 j − d1 j   nj     n1 j  dj  Ekspresi   menyatakan banyaknya  d1   j cara berbeda d1j bisa dipilih dari dj dan dibaca “ d1j ⊂ dj “ dengan dj  dj!   = d  1 j  d1 j !( d j − d1 j )! Rataan untuk peubah acak hipergeometrik d1j adalah: n1 j d j (3.19) e1 j = nj

UL VL

Kuadrat dari variabel acak standar normal mempunyai sebaran khi-kuadrat dengan derajat kebebasan satu yang dinotasikan dengan χ 2(1) : U L2 (3.23) : χ 2 (1) VL kemudian dikenal dengan uji Logrank. U 2 Statistik menyatakan WL = L VL penyimpangan amatan waktu survival dengan nilai harapannya dibawah H0. Karena distribusi nol dari W mendekati khi-kuadrat dengan derajat bebas satu, dari uji khi kuadrat dapat ditentukan taraf nyatanya. Ilustrasinya dibahas dalam contoh kasus pada bab berikutnya.

e1j adalah harapan banyaknya individu yang mati pada waktu t(j) di grup I. Probabilitas kematian pada waktu t(j) tidak bergantung pada posisi individu pada kelompok manapun, maka probabilitas kematian pada t(j) adalah dj . nj

2. Uji Wilcoxon Uji wilcoxon tidaklah berbeda jauh dari uji Logrank. Uji Wilcoxon didasarkan pada statistik : r

U w = ∑ n j ( d1 j − e1 j )

Langkah berikutnya menjumlahkan setiap waktu kematian untuk memperoleh ukuran menyeluruh atas penyimpangan pada nilainilai amatan d1j dari nilai harapannya. Statistiknya diberikan oleh:

UL =

r

∑ (d

ij

j =1

)

− eij .

dengan d1j banyaknya kematian pada waktu t(j) untuk grup I dan e1j adalah harapan banyaknya individu yang mati pada waktu t(j) di grup I. Perbedaan antara Uw dan UL adalah bahwa dalam uji Wilcoxon setiap perbedaan (d1j – e1j) diboboti oleh nj ( total banyaknya individu yang beresiko mati pada waktu t(j)). Akibatnya bobot kecil diberikan pada perbedaan antara d1j dan e1j pada waktu-waktu dimana total banyaknya individu yang masih hidup adalah sedikit, statistik ini kurang sensitif dibandingkan dengan statistik Logrank dalam hal penyimpangan d1j terhadap e1j. Ragam dari statistik Uw diberikan oleh:

(3.20)

amatan dan nilai harapan kematian di grup I. Statistik ini memiliki nilai tengah nol, karena E(dij) = eij. Ragam UL adalah jumlah dari ragam-ragam dij , dengan waktu kematian saling bebas. Karena menyebar dij hipergeometrik maka ragam dari dij diberikan: v1 j =

n j 2 ( n j − 1)

r

Vw = ∑ n j 2 v1 j

r

(3.25)

j =1

(3.21)

dengan v1j diberikan pada persamaan (3.21) Sehingga statistik Wilcoxon didapat: U 2 (3.26) Ww = w Vw yang memiliki sebaran khi-kuadrat dengan derajat bebas satu ketika H0 benar.

Sehingga ragam UL adalah :

var(U L ) = ∑ v1 j = VL .

(3.24)

j =1

Perhatikan bahwa ruas kanan sama dengan ∑ dij − ∑ eij , yaitu beda antara total dari nilai

n1 j n2 j d j ( n j − d j )

: N (0,1)

(3.22)

j =1

Selanjutnya dapat ditunjukkan bahwa UL mendekati sebaran normal jika banyaknya waktu kematian tidak terlalu kecil. Sehingga UL mendekati sebaran normal dengan rataan VL 0 dan ragam 1, N(0,1) bisa dituliskan :

21

IV CONTOH KASUS ( Pengaruh jenis kelamin dan Kandungan protein pada darah dalam penentuan tingkat survival pada pasien multiple myeloma ) mati pada tiap waktu tersebut kemudian Multiple myeloma adalah penyakit yang berbahaya yang ditandai dengan penimbunan dihitung. Nilai-nilai tersebut dinotasikan : plasma sel yang tidak normal dan sel darah d1j : banyaknya pasien laki-laki yang mati putih dalam sumsum tulang. pada tiap waktu kematian dalam grup I Perkembangbiakan plasma sel yang tidak d2j : banyaknya pasien wanita yang mati pada normal dalam tulang menyebabkan rasa sakit tiap waktu kematian dalam grup II dan merusak jaringan tulang. Pasien yang n1j : banyaknya pasien laki-laki mengidap multiple myeloma selalu mengalami yang beresiko mati pada tiap waktu kekurangan darah sehingga menyebabkan kematian dalam grup I kambuhnya infeksi dan lemah. Salah satu n2j : banyaknya pasien wanita yang beresiko universitas di USA telah memeriksa hubungan mati dalam tiap waktu kematian dalam antara variabel yang mempengaruhi atau grup II. covariates dan waktu ketahanan (survival nj : total banyaknya pasien yang beresiko mati times) dari pasien. Dalam pengamatan variabel respon utama dj : total banyaknya pasien yang mati pada adalah waktu dari diagnosa waktu awal tiap waktu kematian sampai pasien meninggal. Pada data Lampiran e1j : rataan untuk peubah acak d1j 1 terdapat 48 pasien multiple myeloma, 48 e2j : rataan untuk peubah acak d2j pasien tersebut beumur antara 50 sampai 80 UL : uji statistik log-rank tahun. Beberapa dari mereka belum meninggal VL : ragam untuk uji Logrank pada saat pengamatan berakhir, pasien WL : statistik Logrank tersebut termasuk jenis sensor kanan. Untuk pasien dengan status meninggal pada saat Kurva yang dibuat dinamakan survival pengamatan dengan survival times tertentu curve. Titik-titik yang terdapat pada kurva ditandai dengan angka 1, sedangkan 0 tersebut memberi dugaan atas proporsi pasien menjelaskan bahwa pasien mengalami sensor. yang akan bertahan, setidaknya untuk rentang Pada waktu diagnosis nilai dari variabelwaktu tertentu, jumlah dari entri-entri variabel yang mempengaruhi tingkat survival menghasilkan ∑ d1 j dan ∑ e1 j dengan pasien kemudian dicatat, meliputi umur, jenis menggunakan uji hipotesis: kelamin ( 1= laki-laki, 2 = perempuan ), dan H 0 : S1 (t ) = S2 (t ) adanya kandungan protein pada darah (1= ada, H1 : S1 (t ) ≠ S2 (t ) 0 = tidak ada ). Sebenarnya masih banyak variabel lain yang diamati , tetapi dalam karya ilmiah ini hanya mengambil 2 variabel. 4.1 Penyelesaian Data Survival Diantara 48 pasien tersebut ada 60,4 % Data diolah berdasarkan pengelompokan pasien laki-laki, sisanya perempuan dan 31,25 jenis kelamin dan kandungan protein, % pasien yang mengandung protein pada kemudian hasilnya didekatkan pada darah sisanya tidak mengandung protein. pendekatan tabel khi kuadrat. Data hasil dari Banyaknya pasien yang mati pada tiap waktu uji Logrank dan uji Wilcoxon ditampilkan kematian dan banyaknya pasien yang beresiko pada Tabel 7. _______________________________________________________________________________ Tabel 7 Hasil Penyelesaian Data Survival Berdasarkan Jenis Kelamin dan Kandungan Protein Uji Logrank Jenis Kelamin Laki-Laki

Perempuan

Uji Wilcoxon

UL1 = 0.4784 VL1 = 8.375 WL1 = 0.0273

Uw1 = 20.0000 Vw1 = 8967.2081 Ww1 = 0.0446

UL2 = -0.4784 VL2 = 8.375

Uw2 = -20.0000 Vw2 = 8967.2081

22

Kandungan Protein Ada

Tidak ada

WL2 = 0.0273

Ww2 = 0.0446

UL1 = -1.2439 VL1 = 8.0471 WL1 = 0.1923

Uw1 = -90.0000 Vw1 = 8391.841 Ww1 = 0.9652

UL2 = 1.2699 VL2 = 8.0471 WL2 = 0.2004

Uw2 = 89.0000 Vw2 = 8391.841 Ww2 = 0.9439

_______________________________________________________________________________ tersebut tidak signifikan atau tidak nyata. Pengaruh Jenis Kelamin Data Lampiran 1 dikelompokkan menjadi Maka dapat disimpulkan untuk tidak menolak 2 grup yaitu laki-laki untuk grup I dan H0 , bahwa tidak ada perbedaan tingkat perempuan grup II. Hipotesis nol menyatakan survival antara pasien yang ada kandungan bahwa peluang bertahan atau tingkat survival protein dengan pasien yang tidak mengandung pasien laki-laki akan sama dengan peluang protein. bertahannya pasien perempuan, dan hipotesis tandingan sebaliknya. Dengan pendekatan 4.2 Sifat-sifat Uji Logrank dan Uji 2 Wilcoxon UL : χ 2 (1) . Uji khi kuadrat dengan derajat DalamUji Logrank untuk mencari Uji VL statistik nya tidak terboboti oleh jumlah orang bebas 1 dapat digunakan untuk yang beresiko untuk mati sehingga besar membandingkan proporsi keduanya. Nilai χ 2 kecilnya jumlah pasien yang akan diamati tidak berpengaruh dalam penentuan uji untuk pengamatan berdasarkan jenis kelamin statistiknya, sedangkan untuk uji Wilcoxon uji pada Lampiran 5 bahwa nilai WW yang didapat statistiknya terboboti oleh jumlah orang yang tidak signifikan atau tidak nyata, maka dapat beresiko mati atau jumlah pasien yang akan disimpulkan untuk tidak menolak H0 , bahwa r tidak ada perbedaan tingkat survival antara diamati U w = ∑ n j ( d1 j − e1 j ) akibatnya bobot pasien laki-laki dan pasien perempuan. j =1 kecil diberikan pada perbedaan antara d1j dan e1j pada waktu-waktu dimana total banyaknya individu yang masih hidup adalah sedikit (survival times terpanjang). Statistik ini kurang sensitif dibandingkan dengan statistik Logrank dalam hal penyimpangan d1j terhadap e1j.

Pengaruh Kandungan Protein Untuk data kandungan protein, data juga dibagi menjadi 2 grup berdasarkan ada tidaknya kandungan protein pada darah. U 2 Dengan menggunakan L : χ 2 (1) dengan H0 VL berbunyi bahwa tingkat survival antara pasien yang mengandung protein sama dengan tingkat survival pasien yang tidak ada kandungan protein. Dengan uji khi kuadrat berderajat bebas 1 didapat bahwa nilai WW

23

SIMPULAN Data survival adalah data tentang pengamatan jangka waktu dari awal pengamatan sampai terjadinya suatu peristiwa (survival times). Data survival sering kali tersedia secara tidak lengkap (tersensor), untuk menganalisis data-data survival diperlukan metode lain yang sesuai, dalam karya ilmiah ini metode yang digunakan adalah metode Life Table dan Kaplan Meier. Metode Life Table mengabaikan informasi waktu kematian sehingga semua kejadian yang terjadi pada individu tidak dapat dimonitor dengan baik (sensor selang). Metode Kaplan Meier, selang dibuat dengan

satu angka kematian, jadi kejadian pada individu dapat dimonitor dengan baik (sensor titik). Untuk membandingkan dua atau lebih populasi digunakan uji Logrank dan uji Wilcoxon. Dari data jenis kelamin dapat disimpulkan bahwa tidak ada perbedaan tingkat survival antara laki-laki dan perempuan, begitu juga dengan data kandungan protein tidak ada perbedaan tingkat survival antara pasien yang ada kandungan proteinnya dengan pasien yang tidak ada kandungan protein.

DAFTAR PUSTAKA Collet, D. 1994. Modelling Survival Data in Medical Research. 3th ed. London Glasgow-Weinheim-Newyork-TokyoMelbourne-Madrass: Chapman and Hall

Leung, et. al. 1997. Censoring Issues in Survival Analysis. Annu. Rev. Public Health.

Hogg, V. R. and Craig, T. A. 1995. Introduction to Mathematical Statistics, 5th ed. New Jersey: Prentice Hall, englewood Cliffs publisher.

Mathews, J. H. 1992. Numerical Methods for Mathematics, Science, and Engineering. 2th ed. California: Prentice Hall, englewood Cliffs publisher.

Klein, J & Moeschberger, M. 1997. Survival Analysis. Springer, Newyok.

Walpole, E. R. 1995. Pengantar Statistika, edisi ke-3. Penerbit PT Gramedia Putaka Umum Jakarta.

Lee, E. T 1992. Statistical Methods for Survival Data Analysis. Second ed. New York:A wiley Interscience Publication.

24

LAMPIRAN

17

LAMPIRAN 1 : Data survival times dari 48 pasien multiple myeloma No. Pasien 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

Survival Times 13 52 6 40 10 7 66 10 10 14 16 4 65 5 11 10 15 5 76 56 88 24 51 4 40 8 18 5 16 50 40 1 36 5 10 91 18 1 18 6 1 23 15 18 12

Status 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0

Umur 66 66 53 69 65 57 52 60 70 70 68 50 59 60 66 51 55 67 60 66 63 67 60 74 72 55 51 70 53 74 70 67 63 77 61 58 69 57 59 61 75 56 62 60 71

Jenis Kelamin 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2

Protein 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0

18

46 47 48

12 17 3

1 1 0

60 65 59

2 2 1

0 0 1

Keterangan: Status : 1 Pasien yang meninggal 0 Pasien Lolos Jenis Kelamin : 1 Laki-laki 2 Perempuan Protein : 1 Adanya kandungan Protein pada pasien 0 Pasien tidak mengnadung protein

Lampiran 2 : Penghitungan penduga Kaplan Meier dari fungsi survivor untuk data 48 pasien multiple myeloma . Interval Waktu 0 -1 -4 -5 -6 -8 -10 -12 -13 -14 -15 -16 -17 -18 -23 -24 -36 -40 -50 -51 -65 -66 -88 -91 --

nj 48 48 44 42 38 35 34 28 26 25 24 22 20 19 15 14 13 12 9 8 5 4 2 1

dj 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

cj 0 1 0 0 1 0 2 1 0 0 1 0 0 2 0 0 0 1 0 2 0 1 0 0

( nj - dj ) / nj 1.0000 0.9792 0.9773 0.9762 0.9737 0.9714 0.9706 0.9643 0.9615 0.9600 0.9583 0.9545 0.9500 0.9474 0.9333 0.9286 0.9231 0.9167 0.8889 0.8750 0.8000 0.7500 0.5000 0.0000

S^ ( t ) 1.0000 0.9792 0.9569 0.9341 0.9095 0.8836 0.8576 0.8269 0.7951 0.7633 0.7315 0.6983 0.6634 0.6284 0.5866 0.5447 0.5028 0.4609 0.4097 0.3584 0.2868 0.2151 0.1075 0.0000

19

Lampiran 3 : Penghitungaan penduga Kaplan Meier dari fungsi hazard untuk data 48 pasien multiple myeloma . Interval Waktu 0 -1 -4 -5 -6 -8 -10 -12 -13 -14 -15 -16 -17 -18 -23 -24 -36 -40 -50 -51 -65 -66 -88 --

τj 1 3 1 1 2 2 2 1 1 1 1 1 1 5 1 12 4 10 1 14 1 22 3

nj 48 48 44 42 38 35 34 28 26 25 24 22 20 19 15 14 13 12 9 8 5 4 2

dj 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

cj 0 1 0 0 1 0 2 1 0 0 1 0 0 2 0 0 0 1 0 2 0 1 0

h^( t ) 0.0000 0.0069 0.0227 0.0238 0.0132 0.0143 0.0147 0.0357 0.0385 0.0400 0.0417 0.0455 0.0500 0.0105 0.0667 0.0060 0.0192 0.0083 0.1111 0.0089 0.2000 0.0114 0.1667

20


Lampiran 4 : Grafik Penyelesaian dari fungsi survivor dan fungsi hazard

1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0

20

40 Survival

60 Times

80


Grafik 4.1 Penduga Kaplan Meier penduga fungsi survivor

0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 0 0

20

40 Survival

60 Times

80

Grafik 4.2 Penduga Kaplan Meier penduga fungsi hazard

21

Lampiran 5 : Penghitungan Vj data 48 pasien multiple myeloma untuk jenis kelamin Death Time

d1j

n1j

d2j

n2j

dj

nj

e1j

e2j

Vj = VL

Vw

S1 * ( t )

S2 ^ ( t )

1 3 4 5 6 7 8 10 11 12 13 14 15 16 17 18 23 24 36 40 50 51 52 56 65 66 76 88 91 Total

3 0 1 2 0 0 1 3 0 0 1 1 0 2 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 22

29 26 26 25 23 23 23 22 19 19 19 18 17 17 15 15 14 14 13 12 11 10 10 10 10 9 8 8 7

0 0 1 2 2 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 14

19 19 19 18 16 14 14 14 13 13 12 12 12 11 11 10 9 8 8 8 7 7 6 6 6 6 6 6 6

3 0 2 4 2 0 1 4 0 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 2 1 1 0 0 1 1 0 1 1 36

48 45 45 43 39 37 37 36 32 32 31 30 29 28 26 25 23 22 21 20 18 17 16 16 16 15 14 14 13

1.8125 0.0000 1.1556 2.3256 1.1795 0.0000 0.6216 2.4444 0.0000 0.5938 0.6129 0.6000 0.5862 1.2143 0.5769 1.2000 0.6087 0.6364 0.6190 1.2000 0.6111 0.5882 0.0000 0.0000 0.6250 0.6000 0.0000 0.5714 0.5385 21.5216

1.1875 0.0000 0.8444 1.6744 0.8205 0.0000 0.3784 1.5556 0.0000 0.4063 0.3871 0.4000 0.4138 0.7857 0.4231 0.8000 0.3913 0.3636 0.3810 0.8000 0.3889 0.4118 0.0000 0.0000 0.3750 0.4000 0.0000 0.4286 0.4615 14.4784

0.6869 0.0000 0.4768 0.9040 0.4712 0.0000 0.2352 0.8691 0.0000 0.2412 0.2373 0.2400 0.2426 0.4594 0.2441 0.4600 0.2382 0.2314 0.2358 0.4547 0.2377 0.2422 0.0000 0.0000 0.2344 0.2400 0.0000 0.2449 0.2485 8.3755

1582.6596 0.0000 965.5455 1671.4286 716.6316 0.0000 322.0000 1126.4000 0.0000 247.0000 228.0000 216.0000 204.0000 360.1481 165.0000 287.5000 126.0000 112.0000 104.0000 181.8947 77.0000 70.0000 0.0000 0.0000 60.0000 54.0000 0.0000 48.0000 42.0000 8967.2081

0.8966 0.8966 0.8621 0.7931 0.7931 0.7931 0.7587 0.6528 0.6528 0.6528 0.6184 0.5841 0.5841 0.5154 0.5154 0.4810 0.4810 0.4467 0.4123 0.3764 0.3422 0.3422 0.3422 0.3422 0.3080 0.2738 0.2738 0.2396 0.2396

1.0000 1.0000 0.9474 0.8421 0.7368 0.7368 0.7368 0.6842 0.6842 0.6295 0.6295 0.6295 0.5770 0.5770 0.5246 0.4663 0.4145 0.4145 0.4145 0.3627 0.3627 0.3109 0.3109 0.3109 0.3109 0.3109 0.3109 0.3109 0.2590

22

Grafik 6.1 Tingkat survival bagi Jenis kelamin laki-laki

0.8 0.6 0.4 0.2 0 0

20


80



Lampiran 6 :


Grafik 6.3 Perbandingan antara tingkat survival lakilaki dan perempuan

1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0

20

40 Survival

60 Times

80

23

Grafik 6.2 Tingkat survival bagi Jenis kelamin perempuan

1 0.8 0.6 0.4 0.2 0

0

20


80

Lampiran 7: Penghitungan Vj data 48 pasien multiple myeloma atas kandungan proteinnya. Death Time 1 3 4 5 6 7 8 10 11 12 13 14 15 16 17 18 23 24 36 40 50 51 52 56 65 66 76 88 91 Total

d1j 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 12

n1j 15 14 14 13 13 12 12 12 12 12 12 11 11 11 11 11 10 10 10 9 8 7 6 6 6 6 5 5 4

d2j 2 0 1 4 1 0 1 4 0 1 0 1 1 2 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0

n2j 33 31 31 30 26 25 25 24 20 20 19 19 18 17 15 14 13 12 11 11 10 10 10 10 10 9 9 9 9

dj 3 0 2 4 2 0 1 4 0 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 2 1 1 0 0 1 1 0 1 1

nj 48 44 44 43 39 37 37 36 32 32 31 30 29 28 26 25 23 22 21 20 18 17 16 16 16 15 14 14 14

e1j 0.9375 0.0000 0.6364 1.2093 0.6667 0.0000 0.3243 1.3333 0.0000 0.3750 0.3871 0.3667 0.3793 0.7857 0.4231 0.8800 0.4348 0.4545 0.4762 0.9000 0.4444 0.4118 0.0000 0.0000 0.3750 0.4000 0.0000 0.3571 0.2857 13.2439

24

e2j 2.0625 0.0000 1.4091 2.7907 1.3333 0.0000 0.6757 2.6667 0.0000 0.6250 0.6129 0.6333 0.6207 1.2143 0.5769 1.1200 0.5652 0.5455 0.5238 1.1000 0.5556 0.5882 0.0000 0.0000 0.6250 0.6000 0.0000 0.6429 0.6429 22.7301

Vj = VL 0.6171 0.0000 0.4379 0.8236 0.4327 0.0000 0.2191 0.8127 0.0000 0.2344 0.2373 0.2322 0.2354 0.4594 0.2441 0.4723 0.2457 0.2479 0.2494 0.4689 0.2469 0.2422 0.0000 0.0000 0.2344 0.2400 0.0000 0.2296 0.1837 8.0471

Vw 1421.8085 0.0000 847.8140 1522.8571 658.2105 0.0000 300.0000 1053.2571 0.0000 240.0000 228.0000 209.0000 198.0000 360.1481 165.0000 295.1667 130.0000 120.0000 110.0000 187.5789 80.0000 70.0000 0.0000 0.0000 60.0000 54.0000 0.0000 45.0000 36.0000 8391.8410

S1 ^ ( t )

S2^ ( t )

0.9330 0.9330 0.8664 0.8664 0.7997 0.7997 0.7997 0.7997 0.7997 0.7997 0.7331 0.7331 0.7331 0.7331 0.7331 0.6664 0.6664 0.6664 0.5998 0.5292 0.4631 0.3969 0.3969 0.3969 0.3969 0.3308 0.3308 0.2646 0.1985

0.9394 0.9394 0.9091 0.7879 0.7576 0.7576 0.7273 0.6061 0.6061 0.5750 0.5750 0.5447 0.5136 0.4532 0.4230 0.3904 0.3604 0.3304 0.3304 0.3003 0.3003 0.3003 0.3003 0.3003 0.2703 0.2703 0.2703 0.2703 0.2703

Lampiran 8 : Grafik Tingkat Survival Untuk Kandungan Protein

0.8 0.6 0.4 0.2 0 0

20


80

Grafik 8.2 Tingkat survival berdasarkan tidak adanya kandungan protein pada pasien



Grafik 8.1 Tingkat survival berdasarkan adanya kandungan protein pada pasien

0.8 0.6 0.4 0.2 0 0


Grafik 8.3 Perbandingan antara adanyakandungan Protein dengan tidak adanya kandungan protein

0.8 0.6 0.4 0.2 0 0

20


80

25

20


80

Lampiran 9 : Penghitungan V j Data 48 pasien multiple myeloma untuk Jenis kelamin n1j 29 26 26 25 23 23 23 22 19 19 19 18 17 17 15 15 14 14 13 12 11 10 10 10 10 9 8 8 7 Total

n2j 19 19 19 18 16 14 14 14 13 13 12 12 12 11 11 10 9 8 8 8 7 7 6 6 6 6 6 6 6

dj 3 0 2 4 2 0 1 4 0 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 2 1 1 0 0 1 1 0 1 1

nj 48 45 45 43 39 37 37 36 32 32 31 30 29 28 26 25 23 22 21 20 18 17 16 16 16 15 14 14 13

n^2j 2304 2025 2025 1849 1521 1369 1369 1296 1024 1024 961 900 841 784 676 625 529 484 441 400 324 289 256 256 256 225 196 196 169

(nj-dj) 45 45 43 39 37 37 36 32 32 31 30 29 28 26 25 23 22 21 20 18 17 16 16 16 15 14 14 13 12

nj-1 47 44 44 42 38 36 36 35 31 31 30 29 28 27 25 24 22 21 20 19 17 16 15 15 15 14 13 13 12

n1jn2jdj(nj-dj) 74385 0 42484 70200 27232 0 11592 39424 0 7657 6840 6264 5712 9724 4125 6900 2772 2352 2080 3456 1309 1120 0 0 900 756 0 624 504

26

n^2(nj-1) 108288 89100 89100 77658 57798 49284 49284 45360 31744 31744 28830 26100 23548 21168 16900 15000 11638 10164 8820 7600 5508 4624 3840 3840 3840 3150 2548 2548 2028

vj 0.6869 0.0000 0.4768 0.9040 0.4712 0.0000 0.2352 0.8691 0.0000 0.2412 0.2373 0.2400 0.2426 0.4594 0.2441 0.4600 0.2382 0.2314 0.2358 0.4547 0.2377 0.2422 0.0000 0.0000 0.2344 0.2400 0.0000 0.2449 0.2485 8.3755

Lampiran 10 : Penghitungan Vj untuk kandungan protein n1j 15 14 14 13 13 12 12 12 12 12 12 11 11 11 11 11 10 10 10 9 8 7 6 6 6 6 5 5 4 Total

n2j 33 31 31 30 26 25 25 24 20 20 19 19 18 17 15 14 13 12 11 11 10 10 10 10 10 9 9 9 9

dj 3 0 2 4 2 0 1 4 0 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 2 1 1 0 0 1 1 0 1 1

nj 48 44 44 43 39 37 37 36 32 32 31 30 29 28 26 25 23 22 21 20 18 17 16 16 16 15 14 14 14

n^2 j 2304 1936 1936 1849 1521 1369 1369 1296 1024 1024 961 900 841 784 676 625 529 484 441 400 324 289 256 256 256 225 196 196 196

nj-dj 45 44 42 41 37 37 36 32 32 31 30 29 28 26 25 23 22 21 20 18 17 16 16 16 15 14 14 13 13

nj-1 47 43 43 42 38 36 36 35 31 31 30 29 28 27 25 24 22 21 20 19 17 16 15 15 15 14 13 13 13

n1j n2j dj (nj-dj) 66825 0 36456 63960 25012 0 10800 36864 0 7440 6840 6061 5544 9724 4125 7084 2860 2520 2200 3564 1360 1120 0 0 900 756 0 585 468

27

n^2j * (nj - 1) 108288 83248 83248 77658 57798 49284 49284 45360 31744 31744 28830 26100 23548 21168 16900 15000 11638 10164 8820 7600 5508 4624 3840 3840 3840 3150 2548 2548 2548

vj 0.6171 0.0000 0.4379 0.8236 0.4327 0.0000 0.2191 0.8127 0.0000 0.2344 0.2373 0.2322 0.2354 0.4594 0.2441 0.4723 0.2457 0.2479 0.2494 0.4689 0.2469 0.2422 0.0000 0.0000 0.2344 0.2400 0.0000 0.2296 0.1837 8.0471


Lampiran 11: Grafik fungsi survivor data 48 pasien multiple myeloma

0.8 0.6 0.4 0.2 0 0

20

40 Survival

60 Times

28

80

PENYELESAIAN MASALAH DATA SURVIVAL DENGAN MENGGUNAKAN METODE NONPARAMETRIK

Recommend Documents