Kontribusi Fisika Indonesia Vol. 13 No.2, April 2002
Pengembangan Metode Komputasi dan Simulasi Siti Nurul Khotimah dan The Houw Liong Departemen Fisika, ITB Jl. Ganesa 10 Bandung, 40132 E-mail :
[email protected] Abstrak Pada umumnya hukum alam, seperti hukum Newton, persamaan Maxwell, persamaan Schrodinger, dapat dirumuskan menjadi persamaan diferensial. Persamaan ini dapat diubah menjadi persamaan diferensi (beda hingga) sehingga dapat dipecahkan secara numerik. Hukum alam dapat juga dirumuskan dalam bentuk least action atau prinsip Hamilton dan diselesaikan dengan metode elemen hingga. Namun tidak semua persoalan dapat diselesaikan dengan metode ini. Ilmuwan mengembangkan metode komputasi baru berdasarkan konsep selular automata. Setiap automata yang berada dalam suatu keadaan akan berlaku sebagai prosesor yang menerima masukan, memproses masukan itu, menentukan keadaan automata berikutnya serta keluarannya. Ternyata dengan menggabungkannya dengan mekanika statistik, metoda ini dapat mensimulasikan gempa, proses aliran fluida, proses erosi dan sedimentasi, dan lain lain. Jika diteliti dengan cermat neuron merupakan automata, sehingga kemampuan komputasi dalam Jaringan Neural Artifisial dapat dimasukkan juga sebagai metoda selular automata. Ini berarti proses menalar, mengenali pola, memori asosiatif, generalisasi, dan swatata dapat disimulasikan dengan metoda selular automata. Demikian juga metoda komputasi yang berkembang berdasarkan logika samar serta gabungannya dengan jaringan neural yang dikenal sebagai metoda NeuroFuzzy dapat dipandang sebagai metoda selular automata. Kata kunci: Jaringan Neural artificial, logika samar, selular automata. Abstract In general natural laws, such as Newton's laws, Maxwell's equations, and Schrodinger equation, can be formulated into differential equations. These equations can be modified to be finite difference equation so that they can be solved numerically. Natural laws can also be formulated in the form of least action or Hamiltonian principal then they are solved using finite element method. However, these methods can not be used to solve all of the problems. Scientists developed new computation methods based on the concepts of cellular automata. Each automaton in its internal state will behave as a processor that receives inputs, processes the inputs, determines the next internal state and its outputs. By applying statistical mechanics into cellular automata, this method can simulate earthquake, the process of fluid flows, the process of erosion and sedimentation, and the others. If we look in detail, a nerve cell is an automaton. Therefore the computation method based on artificial neural network can also included as cellular automata method. This means reasoning process, identifying pattern, associative memory, generalisation, and self organising can be simulated using cellular automata method. The computation method based on fuzzy logic also its combination with neural network that is called as Neuro-Fuzzy method can also be viewed as cellular automata method. Keywords: artificial neural network, fuzzy logic, cellular automata 1. Pendahuluan
2. JNA, Logika Samar, dan Selular Automata
Hukum alam yang dapat dinyatakan dalam persamaan diferensial dapat dipecahkan secara numerik dengan metode beda hingga atau elemen hingga. Perkembangan selanjutnya dalam fisika komputasi untuk pengolahan simbolik, pengenalan pola, penafsiran, prediksi, dan lain lain, terutama untuk sistem kompleks kita harus mengandalkan pada intelegensi artifisial terutama Jaringan Neural Artifisial (JNA) atau Jaringan Sel Saraf Tiruan (JST) atau selular automata. Dalam pendekatan ini, kita membangun pemroses yang menerima banyak masukan, kemudian memrosesnya untuk menentukan keadaanya serta keluarannya untuk diteruskan ke pemroses lainya. Metoda ini ternyata mampu memberikan solusi dalam banyak persoalan yang sulit dipecahkan dengan cara konvensional.
Sistem neuron yang sebenarnya seperti yang terdapat dalam benak manusia dan hewan merupakan piranti yang sangat rumit dengan berbagai bagian, subsistem dan mekanisme kendali. Neuron-neuron ini saling berhubungan dengan memakai berbagai jaringan elektrokimiawi sehingga dapat saling berkomunikasi. Para peneliti belum dapat mengerti dengan baik bagaimana neuron itu bekerja, apalagi membuat tiruannya. Jaringan neural artifisial belum dapat sebagai model daripada jaringan neural biologis, tetapi jaringan neural artifisial ini merupakan model yang mengambil berbagai aspek dari jaringan neural biologis yang diperkirakan mempunyai kemampuan intelegensi yang cukup menarik. Salah satu fungsi dari model ini ialah mereduksi jumlah parameter sistem sehingga kita dapat mengerti dengan baik secara
108
KFI Vol. 13 No. 2, 2002
109
analitis dan komputasi. Neuron Artifisial1-5) dapat digambarkan sebagai berikut:
S
FA
TF
Gambar 1. Neuron artifisial. S menyatakan penjumlahan dengan bobot tertentu. FA menyatakan Fungsi Aktivasi dan TF menyatakan Fungsi Transfer. Pada Gambar 1 terlihat ada empat garis masukan, sebenarnya jumlah masukan mungkin saja N buah dengan N ≥ 1 dan N berupa bilangan bulat. Kemudian neuron akan melakukan penjumlahan dengan pembobotan tertentu ini diberi tanda S. Masukan total ini akan diubah oleh fungsi aktivasi menjadi harga aktivasi. Akhirnya harga aktivasi ini akan diubah oleh fungsi transfer menjadi keluaran dari neuron artifisial tersebut. Keluaran ini akan menjadi masukan bagi neuron yang lain, dan seterusnya. Fungsi transfernya dapat bermacam-macam, misalnya fungsi linear, fungsi tangga, atau sigmoid. Sekarang kita tinjau sitem arsitektur neuron yang terdiri dari banyak lapis dan setiap neuron mempunyai N masukan dan satu keluaran yang harus "mempelajari" vektor masukan Ip, dan vektor sasaran Pp. Indeks p bergerak dari 1 sampai dengan N. Keluaran neuron ke i kita beri simbol Oi dan aktivasinya Ai. Jika fungsi transfernya TF maka: (1) Oi = TF(Ai)
untuk menganalisis sistem neuron dan mengukuhkan bidang ini sebagai hard science. Perkembangan komputasi dengan memanfaatkan logika samar juga mempunyai banyak sumbangan karena komputasi ini dapat memanfaatkan pengetahuan kualitatif seorang pakar menjadi metoda komputasi yang kuantitatif dengan mengatur parameter yang ada dalam kaidah samar dengan data dari sistem yang dipelajari. Perkembangan selanjutnya menyatakan bahwa kaidah samar ini dapat dipetakan ke dalam JNA sehingga kita mengenal sistem baru ini sebagai sistem Neuro-Fuzzy. Contoh penerapan metoda ini untuk prediksi deret waktu1,6,7) dikenal sebagai ANFIS (adaptive neuro-fuzzy inference system). Ternyata secara umum sistem tsb. dapat diperluas menjadi sistem selular automata yang dapat dipakai untuk mensimulasi gempa, longsor, aliran fluida dan lain-lain. 3. Penerapan Selular Automata dalam Fluida
Model gas-kisi yang diperkenalkan oleh Frisch, Hasslacher, dan Pomeau pada tahun 1986 ini melakukan penyederhanaan persoalan dengan menggunakan diskretisasi ruang, waktu, dan kecepatan. Model ini sederhana9-11) yakni partikel partikel identik bermassa satu satuan bergerak dengan satu satuan kecepatan menempati titik kisi segitiga samasisi dan dalam setiap tumbukan dipenuhi hukum kekekalan massa dan momentum. Jumlah maksimum banyaknya partikel pada tiap titik kisi adalah 6 partikel dan hanya satu partikel bergerak pada tiap arahnya. Sebuah contoh evolusi dalam satu satuan waktu diilustrasikan pada Gambar 210).
Secara matematis galatnya dapat ditulis sebagai berikut:
( Ppi − O pi ) 2
E pi =
2 Galat total untuk pola ke p ialah Ep =
∑ E pi
(2) (a)
(b)
(3)
i
Galat total untuk semua pola ialah E=
∑Ep
(4)
p
Dalam teknik propagasi balik perubahan pembobotan dihitung sebagai berikut. E harus dibuat minimum dengan mengubah pembobotan Wij. Perubahan Wij ∆ p Wij = −η
dE pi dWij
(5)
dengan η tetapan belajar. Metoda seperti ini ternyata cukup ampuh untuk pengenalan pola, prediksi deret waktu, dan lain lain. Perkembangan yang penting dalam bidang ini dilakukan oleh Hopfield1) yang melihat analogi antara sistem JNA dengan sistem spin dalam medan magnetik, sehingga ia dapat menerapkan metoda mekanika statistik
(c) Gambar 2. Sebuah ilustrasi evolusi dalam satu satuan waktu. Tanda panah menyatakan partikel yang bergerak dalam arah yang diberikan. (a) keadaan awal (b) memperlihatkan penjalaran (c) hasil perubahan arah gerak partikel akibat tumbukan Dengan demikian, arah gerak partikel adalah satu dari enam arah yang mungkin:
⎡ ⎛ 2π i ⎞ ⎛ 2π i ⎞⎤ c i = ⎢cos⎜ ⎟, sin ⎜ ⎟⎥ i = 1, 2, 3, 4, 5, 6. (6) 6 ⎠ ⎝ 6 ⎠⎦ ⎣ ⎝ dan persamaan mikrodinamikanya adalah:
110
KFI Vol. 13 No. 2, 2002
(7)
ni(x + ci, t + 1) adalah bilangan boolean yang menyatakan ada (1) atau tidak ada (0) partikel yang bergerak dari posisi tumbukan x ke posisi x+ci saat t+1. Sedangkan notasi ni(x,t) untuk partikel yang bergerak ke posisi tumbukan x dari arah ci pada saat t. Akhirnya, ∆i[ni(x,t)] adalah operator tumbukan yang menggambarkan perubahan nilai ni(x,t); operator ini dapat bernilai 0, +1, atau –1. Jika tidak ada perubahan jumlah partikel dalam arah ci yang disebabkan oleh peristiwa tumbukan, yaitu jumlah partikel sebelum dan sesudah tumbukan dalam arah i tersebut adalah sama, maka ∆i[ni(x,t)] = 0. Jika sebelum tumbukan tidak ada partikel yang bergerak dalam arah i dan setelah tumbukan menjadi ada sebuah partikel yang bergerak dalam arah i tersebut maka nilai operator ∆i[ni(x,t)] = +1; sedangkan jika sebaliknya maka nilai operator tersebut adalah ∆i[ni(x,t)]=-1. Pada setiap tumbukan berlaku hukum kekekalan massa dan kekekalan momentum yang dinyatakan berturut-turut oleh ungkapan:
∑ ∆ i [ni (x, t )] = 0 dan ∑ c i ∆ i [ni (x, t )] = 0 (8) 6
6
i =1
i =1
Hukum kekekalan massa menegaskan bahwa jumlah partikel (atau titik massa) sebelum dan sesudah tumbukan adalah sama atau tidak ada perubahan jumlah partikel. Jadi, total nilai operator tumbukan untuk ke-enam arahnya haruslah nol pada setiap posisi tumbukan.. Sedangkan, hukum kekekalan momentum menyatakan bahwa pada setiap posisi tumbukan tidak ada perubahan total momentum atau total momentum sesudah tumbukan adalah sama dengan sebelum tumbukan. Dengan demikian dapat dibuat tabel transformasi konfigurasi partikel yang menyatakan perubahan arah gerak partikel akibat tumbukan antar partikel. Ada dua kemungkinan aturan yang dapat digunakan untuk tumbukan antara partikel dengan titik materi (bagian dari suatu permukaan dinding atau penghalang diam), yaitu aturan Snellius dan terpantul balik (Gambar 3). Aturan Snellius biasanya digunakan untuk tumbukan partikel gas dengan dinding; sedangkan aturan terpantul balik lazim dipakai untuk syarat batas tak tergelincir cairan viskos yang kontak dengan dinding diam.
dari sejumlah sistem kecil yang identik maka kita perlu menerapkan syarat bata periodik pada sistem kecil tersebut. Syarat batas ini menghubungkan ujung kiri kisi dengan ujung kanan dan ujung bawah kisi dengan ujung atas. 4. Contoh Penerapan Metode Selular Automata 4.1 Fungsi distribusi molekul-molekul gas dalam kesetimbangan
Diagram batang pada Gambar 4 dan 5 memperlihatkan nilai rata-rata dan simpangan baku dari 12 pengulangan percobaan. Angka pada sumbu horizontal menyatakan nilai tengah dari lebar sampel. Sumbu vertikal menyatakan banyaknya wakil grup partikel. Percobaan ini menggunakan 225 wakil grup partikel dari total 43200 partikel untuk menghasilkan fungsi distribusi13). Fitting data Gambar 4 terhadap persamaan analitik memberikan korelasi R2 = 0.999. Persamaan matematis kurva fitting adalah: f (v x ) = 48.93 exp( −0.0099v x2 )
(9)
Fitting data Gambar 5 terhadap persamaan analitik memberikan korelasi R2 = 0.987 dengan persamaan matematis kurva fitting adalah: f (v) = 9.0 v exp(−0.0099v 2 )
(10)
60 50 N P(Vx) dVx
n i ( x + c i , t + 1) = n i ( x, t ) + ∆ i [ni ( x, t )]
40 30 20 10 0 -10
-24 -20 -16 -12
-8
-4
0
4
8
12
16
20
24
Vx (lattice units per time step)
Numerical data
Curve fitting
Gambar 4. Distribusi komponen kecepatan dalam arah sumbu-x dengan metode LGA. 60
N P(v) dv
50
(a)
(b)
Gambar 3. Aturan tumbukan antara partikel dengan permukaan dinding. (a) aturan Snellius (b) aturan terpantul balik Dalam komputasi biasanya ditinjau sistem yang ukurannya jauh lebih kecil dari sistem nyatanya sehingga bagian yang dipelajari hanya merupakan sebuah sampel dari sistem yang besar. Jika sistem nyata merupakan deret
40 30 20 10 0 1
3
5
7
9
11
13
15
17
19
21
23
25
v (lattice units per time step)
Numerical data
Curve fitting
Gambar 5. Distribusi laju partikel gas 2-dimensi dengan metode LGA.
KFI Vol. 13 No. 2, 2002
111
4.2 Distribusi molekul gas dalam ekspansi bebas Gas
Vacuum
gas
gas l
(a) Gas
Gas
l
(b) Gambar 6. Keadaan awal (a) dan akhir (b) model percobaan Gay-Lussac-Joule. Sebuah celah dengan lebar l terletak pada pusat dinding pembatas antara kedua bejana
Gambar 7. Banyaknya partikel di bejana kanan sebagai fungsi waktu. Dinding penyekat sepenuhnya dibuka 3 satuan kisi ) pada langkah waktu (lebar celah 119 2 5000.
a. Celah lebar
24000
Banyaknya partikel di bejana kanan untuk celah selebar 3 119 satuan kisi diperlihatkan pada Gambar 7. 2 Persamaan untuk kurva teredam ini didekati N r (t ) =
N0 [1 − exp(− α (t − t 0 )) cos(ω (t − t 0 ))] ; t ≥ t 0 (11) 2
N0 = 43200, t0 = 5000 langkah waktu. Parameter α adalah faktor peredaman. Amplitudo osilasi menurun secara eksponensial dengan waktu: N0 exp(− α (t − t 0 )) ; t ≥ t 0 (12) 2 Fungsi osilasi ini ternyata tidak periodik, sebab frekuensinya (ω) tidak konstan. N rm (t ) =
b. Celah sempit Gambar 8 memperlihatkan banyaknya partikel di bejana kanan setelah celah dibuka untuk lebar celah 3 3 (satuan kisi) 5 dan 9 . Jumlah partikel bertambah 2 2 secara halus dengan waktu sampai mencapai setengah dari nilai totalnya. Secara umum fungsi ini mendekati solusi analitik: N N r (t ) = 0 2
⎡ ⎛ 2v l ⎞⎤ (t − t 0 ) ⎟⎥ ; t ≥ t 0 (13) ⎢1 − exp⎜ − ⎝ πA ⎠⎦ ⎣
v : laju rata-rata molekul gas; A: luas bejana dua-dimensi.
20000 Nr (particles)
Banyaknya partikel di bejana kanan pada keadaan awal adalah nol. Pada saat t 0 dinding penyekat dilubangi.
16000
b 12000
a
8000 4000 0 5000
5603
6206
6809
7412
8015
8618
9221
9824 10427 11030 11633
t (tim e ste p s)
Gambar 8. Banyaknya partikel di bejana kanan sebagai fungsi waktu setelah dinding penyekat dilubangi pada 3 langkah waktu 5000 dengan lebar celah (a) 5 dan (b) 2 3 9 satuan kisi. 2
4.3 Aliran fluida diantara dua plat sejajar yang diam y=H
y
y=0
0
z
x
l Gambar 9. Plat sejajar pada posisi y = 0 dan y = H
a. Fluks volum sebagai fungsi waktu Fluks volum ditentukan dari rata-rata kecepatan sebuah partikel dalam arah aliran fluida. Perata-rataan ini dilakukan untuk seluruh partikel di seluruh titik kisi dalam sistem. Oleh karena sistem ditekan secara konstan maka fluks volum bertambah dari nilai nol menuju ke nilai saturasinya yaitu saat keadaan tunak. Gambar 10 memperlihatkan kurva fluks volum sebagai fungsi waktu dengan pemberian gaya rata-rata untuk tiap titik kisi di lapis kiri (fx) sebesar 0,0375 (satuan massa) x (satuan kisi) x (sataun waktu)-2.
112
KFI Vol. 13 No. 2, 2002
hasil LGA
analitik
0.20 kecepatan
0.16 0.12 0.08 0.04 0.00 0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
y/H
Gambar 12. Profil kecepatan laminer dengan fx =0,0125
d. Medan vektor kecepatan Gambar 10. Fluks volum sebagai fungsi waktu. Keadan tunak dicapai setelah langkah 8000 satuan waktu. fx = 0.0375.
b. Fluks volum sebagai fungsi gradien tekanan Fluks volum sebanding dengan gradien tekanan yang diberikan pada liran lamianer. Dengan tiga nilai fx yang berbeda diperoleh hasil bahwa fluks volum sebanding dengan gradien tekanan yang diberikan. Gradien tekanan dihubungkan dengan fx lewat persamaan berikut: dP n f x = dx Hl
(14)
n: banyaknya automata di lapis batas kiri; H: lebar saluran, dan l panjang saluran.
0.0375 0.0250
0.0125
Gambar 11. Fluks volum sebagai fungsi waktu pada tiga nilai gradien tekanan. Fx = 0.0125, 0.0250, dan 0.0375 dengan l dan H yang sama.
c. Profil kecepatan laminer Gambar 12 memperlihatakan profil kecepatan aliran laminer pada keadaan tunak yang berbetuk parabol. Hasil dengan selular automata ini dibandingkan dengan analitik Nilai simpangan bakunya ditunjukkan dengan error bars dari 10 pengulangan percobaan.
Gambar 13. Hasil simulasi medan vektor dengan sumber partikel terletak di sisi kiri. Gambar 13 memperlihatkan medan vektor kecepatan air di yang melewati sungai berpenghalang dengan sumber partikel terletak di sisi kiri yang kecepatannya berarah c1 , c 5 dan c 6 (atas ) dan berarah c6 (bawah)12). Garis arus yang kecil menyatakan laju aliran yang rendah. Gambar atas memiliki laju aliran 2x lebih besar dalam arah yang sama dibandingkan dengan gambar bawah. Rintangan membuat aliran fluida terpecah. Kecenderungan terjadinya aliran turbulen di daerah sebelum rintangan serta luas daerah pengendapan lebih kecil pada aliran dengan laju yang lebih besar.. Laju aliran sangat rendah di belakang rintangan terakhir yang memungkinkan terbentuknya daerah pengendapan. Dengan adanya rintanganterhadap aliran sungai, kemungkinan terjadinya pengendapan dan pengikisan pada tepi sungai menjadi lebih besar.
KFI Vol. 13 No. 2, 2002
Persoalan ini sukar diselesaikan secara analitik. Cara lain yang mungkin dapat diterapkan adalah dengan metode numerik beda hingga. Dalam makalah ini, kami belum melakukan studi banding.
113
5. 6.
5. Kesimpulan Perkembangan Metoda Komputasi dan Simulasi diperkaya dengan perkembangan metoda JNA, logika samar, dan selular automata. Model selular automata dapat memecahkan persoalan dinamika fluida dengan baik.
7.
8.
Ucapan Terima Kasih Penelitian ini dibiayai oleh Hibah Bersaing IX/1. Khususnya untuk penerapan selular automata dalam model aliran melalui membran. Ucapan terimakasih juga disampaikan kepada semua pihak yang membantu memperlancar penelitian ini, yaitu Dr. Idam Arif, Drs Soegeng, MS., Drs. Rizal Kurniadi, MSi., dan Acep Purqon, MSi.
Daftar Pustaka 1. 2. 3. 4.
Jang, et al, Neuro-Fuzzy and Soft computing, Prentice Hall, 1998. T. Kohonen, The "Neural" Phonetic Typewriter, Computer, Mar. 1988. J.A. Feldman, et. al., Computing with Structured Neural Networks, Computer, Mar. 1988. R.C. Eberhart, R.W. Dobbins, Neural Network PC Tools, Academic Press, 1990.
9.
10.
11. 12.
13.
B. Kosko, Neural Networks For Signal Processing,. Prentice Hall Int., 1992. Zadrach L. Dupe, The Houw Liong, Prediction Nino 3.4 using Simple Harmonic Model, International Conf. For Science and Technology Assesment of Global Climate Change, Jakarta ,1999. Zadrach L. Dupe, The Houw Liong, El Nino/ La Nina Forcasting Using Adaptive Neuro-Fuzzy Inference System (ANFIS), (submitted to a seminar in Beijing, 2001). Hardy J., O.de Pazzis, and Y. Pomeau, Molecular dynamics of a classical lattice gas: Transport properties and time correlation functions, Phys. Rev. A, 13 (1976) Frisch U., B. Hasslacher, and Y. Pomeau, Lattice-gas automata for the Navier-Stokes equations, Phys. Rev. Lett., 56 (1986) Rothman D.H. and S. Zaleski, Lattice-gas models of phase separation: interfaces, phase transitions, and multiphase flow, Rev. Mod. Phys., 66, 4, (1994). Rothman D.H., Cellular-automaton fluids: A model for flow in porous media, Geophys., 53, 4, (1988). The, H. L., E. Supriyatno, S.N. Khotimah, Penerapan Automata Gas-Kisi dalam Penafsiran Pengendapan dalam Sungai,.JMS, Vol.4, Ed. Khusus No. 2 , 1999 Khotimah S.N., I Arif, and, The H.L., Lattice-Gas Automata for Numerical Experimental Verification of Maxwell-Boltzmann Distribution, KFI, Vol.12, No.3, 2001.
