Minggu 7 MA2151 SIMULASI & KOMPUTASI MATEMATIKA
Pertumbuhan Terbatas Populasi, secara teori, memiliki potensi untuk mengalami pertumbuhan secara eskponensial. Populasi biasanya bertambah secara cepat pada awalnya, namun pada saatnya akan mengalami reaksi dari lingkungan: persaingan, pemangsa, sumber makanan yang terbatas, dan penyakit. Lingkungan cenderung untuk membatasi pertumbuhan populasi, sehingga populasi hanya dapat bertumbuh sampai ambang batas tertentu dan kemudian tidak akan bertambah atau berkurang secara drastic tanpa ada perubahan dalam lingkungan. Ukuran populasi maksimum yang dapat didukung oleh lingkungan disebut kapasitas lingkungan.
Kapasitas Lingkungan dan Model Pertumbuhan Dalam pertumbuhan tak terbatas, diperoleh model: ๐๐ = ๐๐ ๐๐ก Dengan solusi analitik ๐ = ๐0 ๐ ๐๐ก , di mana ๐0 adalah populasi awal. Quick Review Question 1
Model Baru Dalam model baru, untuk populasi awal yang jauh lebih kecil dari kapasitas lingkungan, populasi akan bertambah serupa dengan model tak terbatas. Namun, seiring dengan mendekatnya ukuran populasi dengan kapasitas lingkungan, pertumbuhan akan semakin berkurang. Dekat dengan kapasitas lingkungan, banyaknya kematian harus serupa dengan banyaknya kelahiran, agar populasi cenderung konstan. Untuk memperoleh pertumbuhan yang diperlambat, kita dapat mengukur banyaknya kematian sebagai rasio dari banyaknya kelahiran yang dimodelkan sebagai ๐๐. Ketika populasi sangat kecil, rasio tersebut harusnya mendekati nol, karena hanya sedikit individu yang mati. Jika ๐ท menyatakan banyaknya kematian dan ๐ menyatakan kapasitas lingkungan, maka kita dapat memodelkan laju perubahan kematian sebagai: ๐๐ท ๐๐ = ๐ ๐๐ก ๐
Model Baru (2) Akibatnya,
atau
Dalam simulasi diskrit, jika ๐(๐ก) adalah estimasi populasi pada saat ๐ก, maka banyaknya kematian dari saat ๐ก โ 1 ke saat ๐ก adalah
Secara umum, banyaknya kematian dari saat ๐ก โ โ๐ก ke saat ๐ก adalah
Model Baru (3) Dengan demikian, perubahan populasi dari saat ๐ก โ โ๐ก ke saat ๐ก adalah
atau
Model persamaan diferensial dan persamaan beda yang diperoleh disebut persamaan logistik.
Contoh Persamaan Logistik
Ekuilibrium dan Stabilitas Solusi ekuilibrium untuk persamaan diferensial adalah solusi yang turunannya selalu 0. Solusi ekuilibrium untuk persamaan beda adalah solusi yang bedanya selalu 0. Misalkan q adalah solusi ekuilibrium untuk persamaan diferensial dP/dt atau persamaan beda ฮP. Solusi q dikatakan stabil jika terdapat selang (a, b) yang memuat q, sehingga jika populasi awal P(0) termuat dalam selang tersebut, maka 1. P(t) hingga untuk semua t > 0; 2. Seiiring pertambahan t, P(t) menghampiri q. Solusi q dikatakan tidak stabil jika tidak ada selang yang demikian.
Contoh Exercise 2 Exercise 3 Exercise 5 Exercise 6
Fatalitas Karena Kesalahan Pengobatan Kesalahan dalam pemberian obat seringkali terjadi. Sebagian besar tidak berakibat fatal, namun beberapa di antaranya ternyata. Beberapa contoh kasus: โข Apotik di Florida memberikan 10 kali lipat dosis seharusnya dari pengencer darah pada seorang ibu, yang mengakibatkan pendarahan otak (Patel dan Ross 2010). โข Seorang bayi berusia 10 bulan meninggal akibat menerima 10 kali lipat overdosis dari Cisplatin (agen kemoterapi) (Fitzgerald and Wilson 1998) โข Heath Ledger meninggal karena mengalami overdosis peresapan kombinasi Xycodone, Hydrocodone, Diazepam, Temazepam, Alprazolam, dan Doxylamine. (CNN 2008) โข Dua pasien di Rumah Sakit Siloam Karawaci, Tangerang meninggal karena tertukarnya isi obat anestesi Buvanest Spinal dengan asam Traneksamat. (Kompas 2015)
Klasifikasi Kesalahan Pengobatan Kesalahan pengobatan dapat diklasifikasikan ke dalam kesalahan dalam hal: orderingโ kesalahan penentuan obat atau dosis; transcribingโ kesalahan dalam frekuensi atau terlewatnya pemberian obat; dispensingโ kesalahan pemberian obat, dosis, or waktu; administeringโ kesalahan teknik pemberian obat; monitoringโ tidak mengobservasi akibat pemakaian obat. Hal ini dapat terjadi karena komunikasi yang buruk, pelabelan yang buruk, dll (Institute of Medicine 2007)
Dosis Efektif Terdapat dosis yang diresepkan untuk berbagai obat, namun bagaimana kita dapat menentukan manakah dosis yang benar/efektif? Ada beberapa hal yang perlu dipertimbangkan, termasuk penyerapan, distribusi, metabolisme, dan eliminasi obat. Hal tersebut merupakan komponen dari sains kuantitatif dalam farmakokinetik.
Model 1-Kotak Model 1-kotak adalah representasi sederhana dari bagaimana tubuh manusia memprose obat. Dalam model ini, kita mengganggap tubuh merupakan suatu kotak yang homogen, di mana distribusi berlangsung seketika, konsentrasi obat (banyak obat/volume darah) dalam tubuh sebanding dengan dosis obat, dan laju eliminasi sebanding dengan banyaknya obat dalam tubuh. Obat memiliki konsentrasi efektif minimum (MEC), yang merupakan banyak obat terkecil yang masih dapat menolong, dan konsentrasi terapis maksimum / konsentrasi racun minimum (MTC), yang merupakan banyak obat terbesar yang masih dapat menolong tanpa mengalami efek samping yang berbahaya. Selang terapi untuk obat merupakan konsentrasi di antara MEC dan MTC Waktu paruh dari suatu obat, yang merupakan waktu yang dibutuhkan agar setengah obat tereliminasi dari tubuh, amat berguna dalam pemodelan. Banyaknya darah dalam tubuh orang dewasa sekitar 5 liter, sementara banyaknya plasma (cairan yang memuat sel darah) sekitar 3 liter. Serum darah adalah cairan bening yang terpisah dari darah pada saat darah menggumpal dan orang dewasa memiliki sekitar 3 liter serum.
Contoh Kasus: Aspirin (Acetylsalicylic Acid) Untuk orang dewasa dan anak di atas 12 tahun, dosis untuk sakit kepala adalah 1 atau 2 tablet 325mg setiap 4 jam dengan maksimum 12 tablet per hari. Penghilang rasa sakit akan efektif pada level 150 sampai 300 mikrograms/milliliter (ฮผg/mL), sementara keracunan dapat terjadi pada konsentrasi plasma 350 ฮผg/mL. Waktu paruh dari dosis 300 sampai 650 mg adalah 3.1 sampai 3.2 jam, dengan dosis yang lebih banyak memiliki waktu paruh yang lebih lama.
Variabel dalam Model aspirin_in_plasma: massa aspirin dalam kotak, dengan nilai awal massa dari 2 aspirin = (2)(325 mg)(1000 ฮผg/mg). Laju eliminasi dari aspirin_in_plasma sebanding dengan aspirin_in_plasma. Jika aspirin_in_plasma dinotasikan dengan Q, maka
Persamaan Beda Untuk menghitung konsentrasi plasma dari aspirin (plasma_concentration) digunakan volume plasma dalam tubuh (plasma_volume) dengan nilai 3000 mL.
Nilai awal dari plasma_concentration adalah dosis.
Hasil Simulasi
Model 1-Kotak dengan Dosis Berulang Dilantin merupakan obat untuk epilepsy yang dipakai oleh pasien secara regular. Dosis orang dewasa adalah 3 x 1 kapsul 100-mg. Level efektif dalam serum darah adalah 10 sampai 20 ฮผg/mL, yang membutuhkan 7 sampai 10 hari. Walaupun setiap orang memiliki reaksi berbeda, namun efek samping serius dapat terjadi pada saat level serum adalah 20 ฮผg/mL. Half-life dari Dilantin berkisar dari 7 sampai 42 jam, tetapi secara rata-rata 22 jam. Sebagai penyederhanaan, diasumsikan model 1-kotal dengan penyerapan instan. Variabel drug_in_system merepresentasikan massa Dilantin dalam kotak. Variabel ingested merepresentasikan tambahan massa Dilantin pada drug_in_system. Variabel lain adalah dosis (dosage), waktu pemberian dosis awal (start), dan selang waktu antar dosis (interval). Dengan mengasumsikan bahwa hanya sebagian (absorption_fraction) yang akan masuk ke tubuh, kita mengalikan konstanta ini (misalkan, 0.12, berdasarkan hasil eksperimen).
Variabel Laju eliminasi drug_in_system sebanding dengan drug_in_system. Terdapat pula variabel konsentrasi obat dalam tubuh (concentration). Untuk menghitung concentration, diperlukan volume serum darah (volume) biasanya bernilai 3000 mL.
Persamaan Beda half_life = 22 jam; start = 0 jam; interval = 8 jam; volume = 3000 mL; MEC = 10 ฮผg/mL; MTC = 20 ฮผg/mL; dosage = 100 * 1000 ฮผg; absorption_fraction = 0.12; elimination_constant = -ln(0.5)/half_life; drug_in_system(0) = 0 ingested = absorption_fraction* (pulse of amount of dosage beginning at start every interval) elimination = elimination_constant * drug_in_system concentration = drug_in_system/volume
Hasil Simulasi
Model 2-Kotak Model 1-kotak lebih cocok untuk penyuntikan obat dibandingkan penggunaan tablet yang membutuhkan waktu untuk melarut, diserap dan didistribusikan di dalam tubuh. Dalam kasus ini, model 2-kotak dapat memberikan hasil yang lebih baik. Kotak pertama dapat merepresentasikan sistem pencernaan, sementara kotak kedua mengindikasikan darah, plasma, serum, atau organ tubuh tertentu yang merupakan target dari obat. Kadangkala model multi-kotak juga diperlukan.
