Minggu 8 MA2151 Simulasi dan Komputasi Matematika
Gaya dan Pergerakan Sistem dinamik untuk memodelkan pergerakan seseorang yang melakukan terjun payung. Terdapat 2 fase: 1. Tahap jatuh bebas 2. Tahap parasut Dimulai dengan memodelkan pergerakan bola yang dilempar seseorang dari atas jembatan: 1. dengan mengabaikan gesekan udara 2. dengan mempertimbangkan gesekan udara
Model Tanpa Gaya Gesek
Digunakan untuk memodelkan pergerakan bola ketika pada suatu hari tak berangin, seseorang berdiri di atas sebuah jembatan dan melempar sebuah bola ke atas.
Grafik Posisi dan Kecepatan acceleration due to gravity, which—with up being the positive direction—is approximately –9.81 m/s2. initialize velocity to be 15 m/s initialize position to be 11 m, which is the height of the bridge.
Laju The speed gives the magnitude of the change in position with respect to time, the velocity expresses the magnitude with the direction.
Hukum Newton dan Stokes
Model Dengan Gaya Gesek
Algoritma
Hasil Simulasi
Terjun Payung To model a skydive, we build heavily on the example of a falling object under the influence of friction. We consider someone jumping out of a stationary helicopter at 2000 m (about 6562 ft), and we ignore changes in air density. The model for a skydive out of a helicopter has two phases: • one where the person is in a free fall and • the other after the parachute opens, when the larger surface area results in more air resistance. For our model, the main difference in these two phases is the projected area in the direction of motion, down. The crosssectional area of a jumper in the stable arch position with arms arched back and legs bent at the knees is approximately 0.4 m2 (about 4.3 ft2). Parachutes vary in their designs, but 28 m2 (about 301 ft2) is a reasonable value. We trigger the pull of the ripcord by the height (position) above the ground, say, 1000 m (about 3281 ft). Thus, the diagram contains a converter/variable (position_open) for this quantity and con nectors/arrows from position to position_open and from position_open to projected_area.
Model
Hasil Simulasi
Interaksi dalam Komunitas Dalam suatu populasi, terdapat interaksi antar individu dan dengan lingkungan. Populasi yang terdiri dari satu spesies, akan juga berinteraksi dengan spesies lain dalam suatu daerah yang disebut komunitas. Interaksi mempengaruhi komposisi dan dinamik di dalam komunitas seiring berjalannya waktu. Ada interaksi yang kuat, ada pula yang lemah. Dua interaksi yang akan kita pelajari adalah kompetisi dan relasi pemangsa-mangsa (predator-prey).
Kompetisi Kompetisi adalah karakter yang mendasar dalam semua komunitas, baik manusia maupun bukan. Kompetisi dapat terjadi dalam populasi di antara spesies yang sama (intraspecific), atau dapat pula terjadi antar populasi spesies yang berbeda (interspecific). Kompetisi akan mempengaruhi distribusi spesies, organisasi dalam komunitas, dan evolusi spesies. Kompetisi adalah pertarungan antar individu dalam suatu populasi atau antar spesies untuk sumber daya yang terbatas. Jika suatu individu (spesies) mengurangi ketersediaan sumber daya untuk yang lain, kompetisi ini dinamakan eksploitatif atau penipisan sumber daya. Jika terdapat interaksi lansung antar individu (spesies), di mana satu pihak melakukan campur tangan atau pelarangan akses untuk sumber daya tertentu, kompetisi ini dinamakan campur tangan. Dalam hal ini, mungkin terjadi kompetisi fisik untuk daerah atau sumber daya. Dalam beberapa tanaman, kompetisi ini akan melibatkan produksi zat beracun.
Model Kompetisi Dua spesies kadangkala tidak saling memangsa namun berkompetisi untuk sumber makanan yang terbatas. Sebagai contoh, hiu sirip putih (WTS) dan hiu sirip hitam (BTS) dalam suatu daerah mengkonsumsi jenis ikan yang sama di tahun di mana ikan tersebut tersedia dalam jumlah terbatas. Dapat diantisipasi bahwa peningkatan populasi di satu spesies, misalnya BTS, dapat mengakibatkan efek negative terhadap kemampuan spesies yang lain, dalam hal ini WTS, untuk memperoleh asupan sumber makanan yang mencukupi. Dengan demikian, jika satu spesies bertumbuh, yang lain akan berkurang, dan sebaliknya.
Model Kompetisi (2) Dalam model tak terbatas, yang mengabaikan kompetisi dan faktor pembatas, kelahiran dalam populasi akan sebanding dengan banyaknya individu dalam populasi (r1P) dan demikian juga dengan kematian (r2P). Akibatnya, dalam model ini, laju perubahan populasi adalah dP/dt = r1P – r2P = (r1 – r2)P, sehingga solusinya berupa fungsi eksponensial P = P0e(r1 – r2)t. Namun demikian, dengan kompetisi, spesies yang berkompetisi akan memiliki efek negatif terhadap laju perubahan populasi. Kita dapat memodelkan banyaknya kematian dalam setiap spesies sebanding dengan ukuran populasi spesies tersebut dan ukuran populasi spesies lainnya. Misalkan B adalah populasi BTS dan W populasi WTS, maka banyaknya kematian dalam setiap spesies akan sebanding dengan hasil kali BW. Sehingga perubahan dalam banyaknya kematian di setiap spesies adalah: . .
Diagram untuk Model Kompetisi
Algoritma untuk Model Kompetisi
Hasil Simulasi
Relasi Pemangsa-Mangsa Ketika suatu spesies (pemangsa) mengkonsumsi spesies lain (mangsa) yang masih hidup, aksi tersebut dinamakan pemangsaan. Beberapa contoh pemangsaan adalah konsumsi tupai oleh elang, ulat tomat memakan daun tomat, dan cacing mengkonsumsi mamalia. Interaksi pemangsa-mangsa merupakan salah satu factor penting dalam level populasi di suatu komunitas. Salah satu sifat yang menarik dalam relasi ini adalah bahwa pemangsa dan mangsa dalam jangka waktu yang panjang akan beradaptasi. Pemangsa akan beradaptasi dalam hal pendeteksian dan penangkapan mangsa, sementara mangsa beradaptasi untuk melepaskan diri dari deteksi dan penangkapan.
Model Lotka-Volterra (1920) Asumsikan bahwa elang hanya memburu tupai, bukan binatang lain, dan tidak ada binatang lain yang memakan tupai. Jika sumber makanan elang hanyalah tupai dan banyaknya tupai berkurang secara drastis, maka kekurangan sumber makanan akan mengakibatkan berkurangnya populasi elang. Pengurangan populasi elang ini akan mengakibatkan peningkatan populasi tupai.
Quick Review Question 1 This question reflects on the predator-prey situation before we begin the discussion. a. Do predator-prey interactions have a direct impact on the births or deaths of the prey? b. Based on other interaction model of Competition, we can model the prey deaths as being directly proportional to what? c. If we consider prey births as being unconstrained, we can model prey births as being directly proportional to what? d. Are predator-prey interactions advantageous or disadvantageous for predators? e. Based on other interaction models of Competition, we can model predator births as being directly proportional to what? f. If we consider predator deaths as being unconstrained, we can model the predator deaths as being directly proportional to what?
Persamaan Beda untuk Model Lotka-Volterra Misalkan s menyatakan banyaknya tupai dan h banyaknya elang. Pada saat tidak ada elang, perubahan dalam s dari t – Δt ke t akan seperti dalam model tak terbatas.
Populasi tupai akan berkurang sebanding dengan hasil kali dari banyaknya elang dan banyaknya tupai, h(t – Δt) * s(t – Δt). Jadi, dengan konstanta khs untuk pengurangan ini, perubahan banyaknya tupai dari t – Δt ke t adalah: . . .
Persamaan Beda untuk Model Lotka-Volterra (2) Apabila populasi tupai berkurang dengan banyaknya interaksi antara pemangsa dan mangsa, populasi elang bertambah. Lebih jauh lagi, laju kematian elang sebanding dengan banyaknya elang. Jadi, laju perubahan populasi elang dari t – Δt ke t adalah:
Model pemangsa-mangsa yang demikian, yang dikenal sebagai model LotkaVolterra, merupakan pasangan persamaan beda untuk perubahan pada populasi mangsa (Δs) dan perubahan pada populasi pemangsa (Δh) dari t – Δt ke t: . .
Diagram untuk Model Lotka-Volterra
Algoritma untuk Model Lotka-Volterra
Hasil Simulasi
