IKG3I4 Pemodelan Simulasi Dosen: Aniq A Rohmawati, M.Si [Kelas Pemodelan Simulasi] CS-37-04 [Jadwal] Senin 12.30-14.30 R.A204A & 16.30-18.30 R.A207B; Kamis 06.3008.30 R.A204A [Materi Pemodelan dan Simulasi] Kuliah Pemodelan dan Simulasi berisi tentang teknik-teknik dasar pemodelan matematika seperti analisis dimensi, penskalaan, aproksimasi dan validasi. Setiap mahasiswa akan bekerja dalam kelompok untuk memodelkan masalah nyata dalam kehidupan sehari-hari. Aspek yang dinilai meliputi usaha setiap individu dalam memecahkan masalah, kerjasasama dalam kelompok, dan kompleksitas model. • Minggu 1 Pemodelan Matematika • Minggu 2 Analisis Dimensi • Minggu 3-4 Penskalaan • Minggu 5-6 Penerapan Pemodelan dan Simulasi • Minggu 7 Pemilihan Topik dan Rencana Kerja Kelompok • UTS • Minggu 8 Pengerjaan Tugas: Pendalaman Masalah • Minggu 9 Presentasi 1 • Minggu 10 Pengerjaan Tugas: Formulasi Matematika • Minggu 11 Presentasi 2 • Minggu 12 Pengerjaan Tugas: Hasil Akhir • Minggu 13 Presentasi 3
1
[Penilaian] 1. UTS 30% 2. Pretest/Posttest 20% 3. Laporan dan Poster 30% 4. Presentasi 10% 5. Log Book 10% A 80 ≤ N A < 100; AB 70 ≤ N A < 80; B 65 ≤ N A < 70; BC 60 ≤ N A < 65; C 45 ≤ N A < 60; D 30 ≤ N A < 45 [Buku Acuan] 1. Clive L. Dym, Principles of Mathematical Modeling 2nd Edition, Elsevier Academic Press, New York, 2004. 2. Frank R. Giordano, Maurice D. Weir, and William P. Fox, A First Course in Mathematical Modeling 3rd Edition, Brooks/Cole, 2003.
2
1
Pemodelan Matematika
[Fakta] • Jembatan Tacoma Narrow di Washington hanya bertahan selama 4 bulan. • Sebuah gedung di Filiphina runtuh. • Salah satu tanggul di Jepang gagal menahan terjangan tsunami Apa yang menyebabkan jembatan Tacoma dan salah satu gedung di Filiphina runtuh? Bagaimana dengan tanggul tsunami di Jepang? Definisi Pemodelan adalah suatu kegiatan, aktivitas kognitif dimana kita berpikir tentang membuat model yang menggambarkan bagaimana suatu alat atau objek berperilaku. Banyak cara dimana suatu perilaku suatu alat atau objek dapat digambarkan. Kita dapat menggunakan kata, gambar atau sketsa, model fisik, program komputer, atau formula matematika. Dengan kata lain, kegiatan pemodelan dapat dilakukan dalam beberapa bahasa, dan sering kali secara bersamaan. Model matematika merupakan sebuah idealisasi dari fenomena dunia nyata dan tidak akan pernah menjadi suatu representasi akurat yang sempurna. Dengan kata lain, tidak ada model matematika terbaik, yang ada hanya model matematika yang lebih baik. Model matematika sering kali dapat menolong kita memahami suatu perilaku dengan lebih baik. Model tersebut memberikan kesimpulan secara matematika tentang suatu perilaku. Simulasi (n): (1) Metode pelatihan yang meragakan sesuatu dalam bentuk tiruan yang mirp dengan keadaan sesungguhnya (2) Penggambaran sistem atau proses dengan peragaan berupa model matematika. Pemodelan Matematika dan Metode Ilmiah Dalam metode ilmiah, kita mengenal ’dunia nyata’ dan ’dunia konseptual’. Dalam ’dunia nyata’ kita mengobservasi berbagai macam fenomena dan perilaku. Sedangkan, ’dunia konseptual’ adalah dunia dalam pikiran kita, kita mencoba mengerti apa yang akan terjadi di dunia nyata. 3
Dunia konseptual dapat dipandang memiliki tiga tingkatan: (1) Observasi: Mengukur apa yang terjadi di dunia nyata, mengumpulkan bukti-bukti empirik dan fakta-fakta yang terjadi. (2) Pemodelan : Menganalisa hasil observasi, membuat model yang menggambarkan hasil observasi. (3) Prediksi : Menggunakan model yang telah dibuat untuk mengantisipasi kejadian-kejadian dalam dunia nyata. [Langkah Metode Ilmiah] 1. Membuat observasi umum dari suatu fenomena 2. Formulasikan suatu hipotesis tentang fenomena tersebut 3. Kembangkan suatu metode untuk menguji hipotesis tersebut 4. Kumpulkan data untuk digunakan pada pengujian 5. Lakukan uji hipotesis dengan data yang sudah diperoleh 6. Keputusan terima atau tolak hipotesis tersebut Berdasarkan skemanya, proses pemodelan matematika dan metode ilmiah mempunyai banyak persamaan. Keduanya membuat asumsi atau hipotesis, mengumpulkan data nyata, menguji atau memverifikasi dengan data yang ada. Metode ilmiah dan pemodelan matematika mempunyai banyak persamaan, akan tetapi memiliki perbedaan dalam hal motivasi dan pendekatan. Dalam pemodelan matematika, model sering digunakan untuk memprediksi apa yang akan terjadi pada situasi yang waktu mendatang.
4
[Prinsip Pemodelan Matematika] 1. Why. Apa yang kita cari? Mengidentifikasi kebutuhan model 2. Find. Apa yang ingin kita ketahui? Membuat daftar data yang kita cari? 3. Given. Apa yang kita ketahui? Mengidentifikasi data yang relevan tersedia. 4. Assume. Apa yang bisa kita asumsikan? Mengidentifikasi keadaan yang diberlakukan.
Metode Pemodelan Matematika 1. Konsistensi dan Keseragaman Dimensi 2. Abstraksi dan Penskalaan 3. Konservasi dan Kesetimbangan 4. Mengkonstruksi Model Linear Misalkan kita mengamati sifat fisika Q(t), dengan variabel bebas adalah waktu t.
5
Hukum kesetimbangan untuk laju Q(t) terhadap waktu adalah, ∂Q = qin (t) + g(t) − qout (t) − c(t) ∂t dengan qin (t) adalah laju aliran Q(t) kedalam batas sistem; qout (t) adalah laju aliran Q(t) keluar batas sistem; g(t) adalah laju Q(t) dibangkitkan didalam sistem; c(t) adalah laju Q(t) dikonsumsi didalam sistem. Jika tidak ada ada pembangkitan dan tidak ada konsumsi, maka diperoleh Hukum Konservasi, ∂Q = qin (t) − qout (t) ∂t [Langkah Membangun Model Matematika]
(1) Mengidentifikasi Masalah (2) Membuat Asumsi: Mengklarifikasi variabel dan menentukan hubungan antar variabel yang terpilih (3)Selesaikan atau Interpretasikan Model (4) Verifikasi Model (5) Implementasi Model (6) Memelihara Model [Kasus] Memodelkan arus lalu lintas. Agar terstruktur, formulasikan masalah menjadi suatu model matematika. Langkah pertama, identifikasi kasus dengan pertanyaan Why, Find, How, Assume 6
