MATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS
MINGGU XII OPTIMASI FUNGSI MULTIVARIAT TANPA DAN DENGAN KENDALA Prepared by : W. Rofianto
ROFI©2010
KONDISI MAKSIMUM DAN MINIMUM RELATIF DEFINISI Fungsi y = f(x1,x2, …,xn) maksimum relatif pada x1 = a1, x2 = a2, …, xn = an jika pada semua titik (x1,x2, …,xn) yang “cukup dekat” dengan (a1,a2, …,an) f(a1,a2, …,an) ≥ f(x1,x2, …,xn) Fungsi y = f(x1,x2, …,xn) minimum relatif pada x1 = a1, x2 = a2, …, xn = an jika pada semua titik (x1,x2, …,xn) yang “cukup dekat” dengan (a1,a2, …,an) f(a1,a2, …,an) ≤ f(x1,x2, …,xn)
ROFI©2010
OPTIMASI FUNGSI n-VARIABEL SYARAT TITIK EKSTRIM
fx1 = 0,
fx2= 0, …,
fxn = 0
Titik Kritis pada fungsi n-variabel bebas diuji dengan Hessian matrix. Untuk fungsi f(x1,x2, …,xn) maka Hessian matrix-nya merupakan matriks bujur sangkar dengan dimensi (nxn).
H = ROFI©2010
f x1 x1 f x2 x1
f x1x2 f x2 x2
f x1 x3 f x2 x3
... ...
...
...
...
...
f xn x1
f xn x2
f xn x3
...
f x1xn f x2 xn ... f xn xn
OPTIMASI FUNGSI n-VARIABEL Dari Hessian matrix dapat dibentuk sebanyak n submatriks yang determinannya dinamakan principal minor (dilambangkan dengan ∆i).
( )
H1 = f x1 x1
f x1x1 H 2 = f x2 x1
f x1x2 f x2 x2
f x1x1 H 3 = f x2 x1 f x3 x1
f x1 x2 f x2 x2 f x3 x2
f x1 x3 f x2 x3 f x3 x3
Submatrix ke n merupakan matriks Hessian itu sendiri, Hn = H. ROFI©2010
OPTIMASI FUNGSI n-VARIABEL Kondisi karakteristik titik ekstrim relatif Untuk nilai-nilai titik kritis yang telah diperoleh dan seluruh derivatif orde kedua adalah kontinyu : • Titik kritis merupakan titik maksimum relatif jika : ∆1 < 0, ∆2 > 0, ∆3 < 0, … • Titik kritis merupakan titik minimum relatif jika : ∆1 > 0, ∆2 > 0, ∆3 > 0, … • Jika tidak satupun kondisi tersebut terpenuhi tidak ada kesimpulan yang dapat ditarik. Analisis lebih jauh di sekitar titik kritis perlu dilakukan untuk mengetahui karakteristiknya
ROFI©2010
OPTIMASI FUNGSI n-VARIABEL Contoh penentuan titik kritis beserta karakteristiknya : f(x1,x2,x3) = -2x13 + 6x1x3 + 2x2 – x22 – 6x32 + 5 Pertama dicari terlebih dahulu lokasi titik kritisnya : fx1 = -6x12 + 6x3 =0 x1 = 0 fx2 = 2 – 2x2 =0 x2 = 1 dan fx3 = 6x1 – 12x3 =0 x3 = 0 Jadi titik kritis terjadi pada (0,1,0,6) dan (½, 1, ¼, 6 ¼). Uji karakteristik menggunakan matriks hessian :
6 − 12 x1 0 H = 0 −2 0 6 0 − 12 ROFI©2010
x1 = ½ x2 = 1 x3 = ¼
OPTIMASI FUNGSI n-VARIABEL Untuk titik (0,1,0,6):
H1 = (− 12(0)) = 0 0 0 H 2 = 0 − 2 6 0 0 H3 = 0 − 2 0 6 0 − 12
maka ∆1 = 0 maka ∆2 = 0
maka ∆3 = 72
Karena kondisi ini tidak memenuhi salah satu kriteria karakteristik titik kritis maka tidak dapat disimpulkan karakteristik untuk titik (0,1,0,6). ROFI©2010
OPTIMASI FUNGSI n-VARIABEL Untuk titik (½, 1, ¼, 6 ¼):
1 H 1 = (−12( )) = −6 2 −6 0 H 2 = 0 − 2
6 −6 0 H3 = 0 − 2 0 6 0 − 12
maka ∆1 = -6 maka ∆2 = 12
maka ∆3 = -72
Karena ∆1< 0, ∆2 > 0, ∆3 < 0, maka dapat disimpulkan bahwa titik (½, 1, ¼, 6 ¼) merupakan titik maksimum relatif.
ROFI©2010
OPTIMASI FUNGSI BIVARIAT DENGAN KENDALA Permasalahan optimasi suatu fungsi tujuan (objective function) dengan kondisi batas tertentu (constrains) dapat diselesaikan dengan metode Lagrange multiplier. Misalkan suatu permasalahan Maksimisasi (atau minimisasi) dengan kendala
y = f(x1,x2) g(x1,x2) = k
Informasi tersebut dapat ditulis kembali sebagai fungsi komposit yang disebut lagrangian function dengan tambahan variabel λ (Lagrange multiplier). L(x1,x2, λ) = f(x1,x2) – λ[g(x1,x2) – k)] ROFI©2010
OPTIMASI FUNGSI BIVARIAT DENGAN KENDALA Syarat titik kritis :
Lx1 = 0
Lx2 = 0
Lλ = 0
Pengujian karakteristik titik kritis dapat dilakukan dengan bantuan matriks bordered hessian. 0 H B = g x1 g x2
g x1 Lx1x1 Lx 2 x1
g x2 Lx1x 2 Lx 2 x 2
Kondisi maksimum/minimum relatif I. Jika ∆B > 0, maka titik kritis merupakan titik maksimum II.Jika ∆B < 0, maka titik kritis merupakan titik minimum ROFI©2010
OPTIMASI DENGAN KENDALA Contoh : Carilah titik kritis karakteristiknya:
dari
kondisi
fungsi
berikut dan
f(x1,x2) = x12 + 3x1x2 - 6x2 dengan kendala x1 + x2 = 42 Jawab : Bentuk fungsi Lagrange : L(x1,x2,λ) = x12 + 3x1x2 – 6x2 – λ(x1 + x2 – 42) Syarat titik kritis : Lx1 = 0 2x1 + 3x2 – λ = 0 ….. (1) Lx2 = 0 3x1 – 6 – λ = 0 ….. (2) Lλ = 0 – x1 – x2 + 42 = 0 ….. (3)
ROFI©2010
tentukan
Eliminasi (1) dan (2) 2x1 + 3x2 – λ = 0 3x1 – 6 – λ = 0 -x1 + 3x2 + 6 = 0 ….. (4) Eliminasi (3) dan (4) – x1 – x2 + 42 = 0 – x1 + 3x2 + 6 = 0 – 4x2 + 36 = 0 x2 = 9 Substitusi x2 pada (3) – 9 – x2 + 42 = 0 x1 = 33 Substitusi fungsi tujuan f(33, 9) = 1926 ROFI©2010
Uji karakteristik titik kritis
0 1 1 H B = 1 2 3 1 3 0 ∆B = 4 positif max relatif Jadi titik kritis adalah (33,9,1926) yang merupakan titik maksimum relatif
INTERPRETASI λ Fungsi Lagrange : L(x1,x2, λ) = f(x1,x2) – λ[g(x1,x2) – k)] ∂L = Lk = λ ∂k
Dengan demikian λ dapat diinterpretasikan sebagai tingkat perubahan sesaat pada nilai fungsi Lagrange apabila konstanta k pada persamaan constraint berubah.
ROFI©2010
CONTOH Jika angka penjualan suatu barang (z) dipengaruhi oleh besarnya belanja iklan TV (x) dan besarnya belanja iklan radio (y) sesuai fungsi : z = 4000x + 6000y – 5x2 – 10y2 – 10xy x dan y dalam jutaan rupiah. Berdasarkan fungsi tersebut : a. Berapakah sebaiknya alokasi belanja iklan di TV dan radio agar dicapai angka penjualan maksimum dan buktikanlah b. Berapakah angka penjualan maksimum yang dapat dicapai? c. Berapakah masing-masing besarnya alokasi belanja iklan di TV dan radio agar diperoleh angka penjualan maksimum, bila total biaya iklan dibatasi sebesar Rp. 300 juta dan buktikanlah d. Berapakah angka penjualan maksimum yang dapat dicapai dengan pembatasan tersebut ROFI©2010
ANTIDERIVATIVE Antiderivative = kebalikan dari diferensial Jika f ‘ (x) = 4, berapakah f(x) = ? y
f(x) = 4x ? f(x) = 4x + 8? f(x) = 4x – 8? f(x) = 4x + C
ROFI©2010
f(x) = 4x + 8 f(x) = 4x f(x) = 4x - 8
x
KAIDAH INTEGRAL INDEFINITE INTEGRAL Jika f adalah fungsi kontinyu,
∫ f ( x)dx = F ( x) + C Dengan catatan F’(x) = f(x) Pelajari Rule 1 sampai Rule 9 (Budnick 18.2)
ROFI©2010
CONTOH 1.
∫ 3dx = 3x + C
3 x 2. ∫ x dx = +C 3 x2 x3 +C 3. ∫ dx = 2 6
2
4 x3 7 x2 4. ∫ (4 x − 7 x + 6) dx = − + 6x + C 3 2 2
ROFI©2010
