MATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS
Nuryanto.ST.,MT
HIMPUNAN Pengertian
Himpunan adalah suatu kumpulan dari sejumlah obyek. Sedangkan obyek yang ada didalamnya disebut anggota/elemen/unsur. Benda-benda yang berada di sekitar kita dapat dikelompokkan menurut sifat-sifat tertentu. Benda-benda yang dimaksud di sini dapat berupa bilangan, huruf, nama orang, nama kota dan sebagainya. Daftar kumpulan benda-benda yang mempunyai sifat-sifat tertentu itu, disebut himpunan. Benda yang terdapat dalam suatu himpunan disebut unsur, atau sering juga disebut elemen atau anggota. Untuk selanjutnya, dari ketiga istilah di atas, kita akan menggunakan istilah anggota untuk benda-benda yang terdapat pada suatu himpunan.
Nuryanto.ST.,MT
HIMPUNAN Suatu himpunan, umumnya ditulis dengan huruf besar, seperti A , B , C , D , X ,Y , .......... dan benda-benda yang menjadi anggota suatu himpunan, umumnya ditulis dengan huruf kecil, seperti a , b , c , d , x , y , .........
Penyajian Himpunan Cara daftar; mencantumkan seluruh obyek yang menjadi anggota suatu himpunan. Misalnya: A= {1,2,3,4,5}, yang berarti himpunan A beranggotakan bilangan-bilangan bulat positif 1,2,3,4 dan 5. Cara kaidah; dengan menyebutkan karakteristik tertentu dari obyek yang menjadi anggota suatu himpunan. Misalnya: A= {x;0<x<6}, yang berarti A beranggotakan obyek x, dimana x adalah bilangan bulat positif yang lebih besar dari nol tetapi lebih kecil dari enam.
Nuryanto.ST.,MT
Penulisan himpunan: Penulisan matematis (notasi)
misalnya;
artinya p merupakan elemen himpunan A artinya A merupakan himpunan-bagian B artinya himpunan A sama dengan himpunan-bagian B Diagram Venn Diagram bantuan yang menggambarkan aturan main dalam pengoperasian himpunan.
Nuryanto.ST.,MT
Diagram Venn
Nuryanto.ST.,MT
Nuryanto.ST.,MT
SISTEM BILANGAN Pembagian Jenis Bilangan
Khayal
Nyata
Irrasional
Bulat Nuryanto.ST.,MT
Rasional
Pecahan
Bilangan nyata adalah bilangan yang mengandung sifat tegas, baik negatif
o o o o
maupun negatif, dan tidak keduanya Bilangan khayal adalah bilangan yang berupa akar pangkat dari suatu bilangan negatif. Sedangkan bilangan khayal yang mengandung kedua sifat sekaligus (±) disebut bilangan kompleks. Bilangan rasional adalah hasil bagi antara dua bilangan, yang berupa bilangan bulat; pecahan dengan desimal terbatas, atau desimal berulang. Bilangan irrasional adalah hasil bagi antara dua bilangan, berupa pecahan dengan desimal tidak terbatas dan tidak berulang termasuk bilang π dan e. Bilangan bulat adalah hasil bagi antara dua bilangan yang hasilnya bulat, termasuk nol (0) Bilangan pecahan adalah hasil bagi antara dua bilangan yang hasilnya desimal terbatas, pecahan ataupun desimal berulang Contoh bilangan nyata : 2, -2, 1.1, -1.1 Contoh bilangan khayal : , Contoh bilangan rasional : 0,1492525 Contoh bilangan irrasional : 0, 1492525393939393999---Nuryanto.ST.,MT
Lanjutan, Klasifikasi bilangan bulat positif...
BILANGAN BULAT POSITIF
Nuryanto.ST.,MT
Bilangan Asli : semua bilangan positif tidak termasuk nol
A = {1,2,3,4,5... dst}
Bilangan Cacah : semua bilangan positif termasuk nol
C= {0,1,2,3,4,5.... ..dst}
Bilangan Prima: bilangan asli yang besarnya tidak sma dengan satu dan habis dibagi oleh bilenaan itu sendiri
p = {2,3,5,7,11...dst}
Hubungan Perbandingan Antarbilangan Sifat-sifat hubungan antarbilangan: 1) Jika a < b, maka -a > -b, sedangkan a > b, maka -a < -b 2) Jika a < b, dan x ≥ 0, maka x.a ≤ x.b, sedangkan jika a ≥ b dan
x ≥ 0, maka x.a ≥ x.b 3) Jika a ≤ b dan x ≤ 0, maka x.a ≥ x.b, sedangkan jika a ≥ b dan x ≤ 0, maka x.a ≤ x.b 4) Jika a ≤ b, dan c ≤ d, maka a+c ≤ b+d, sedangkan jika a ≥ b dan c ≥ d, maka a+c ≤ b+d
Nuryanto.ST.,MT
Operasi Bilangan
1) Kaidah Komutatif a+b=b+a
axb=bxa
2) Kaidah Asosiatif (a+b) + c = a+ ( b+ c) (a x b) x c = a x ( b x c)
2) Kaidah Pembatalan Jika, a + c = b + c , maka a=b Jika, a x c = b x c , maka a=b (c≠0) Nuryanto.ST.,MT
4) Kaidah Distributif a ( b + c ) = ab + ac
5) Kaidah Unsur Penyama a ±0 = a
6) Kaidah kebalikan ax1/a=1
Nuryanto.ST.,MT
ax1=a
a:1=a
Operasi Tanda
1) Operasi penjumlahan ( +a )+(+ b ) = (+c) ( -a )+(- b ) = (-c) ( +a )+(- b ) = (+c), jika |a| > |b| ( +a )+(- b ) = (-c), jika |a| < |b| ( -a )+(+b ) = (+c), jika |a| < |b| ( -a )+(+b ) = (-c), jika |a| > |b|
Nuryanto.ST.,MT
2) Operasi Pengurangan ( +a ) - (+ b ) = (+c) jika |a | > |b | ( +a ) - (+ b ) = (-c) jika |a | < |b | ( -a ) - (- b ) = (+c) jika |a | < |b | ( -a ) - (- b ) = (-c) jika |a | > |b | ( +a ) - (- b ) = (+c) ( -a ) - (+ b ) = (-c)
Nuryanto.ST.,MT
3) Operasi Perkalian ( +a ) x (+ b ) = (+c)
( -a ) x (- b ) = (+c)
( +a ) x (- b ) = (-c)
( -a ) x (+b ) = (-c)
4) Operasi Pembagian ( +a ) : (+ b ) = (+c)
( -a ) : (- b ) = (+c)
( +a ) : (- b ) = (-c)
( -a ) : (+b ) = (-c)
Nuryanto.ST.,MT
Operasi Bilangan Pecahan
Bilangan pecahan merupakan bilangan rasional (benar dugaan anda!!) tidak bulat atau tidak utuh. Berdasarkan cara penulisannya dibedakan menjadi dua: 1) Pecahan biasa , contoh 2/4 (menunjukkan 2:4) 2) Pecahan desimal, contoh : 0, 75 Ada dua macam suku dalam pecahan: 1) Suku terbagi (numerator); diatas garisbagi 2) Suku pembagi (denominator);dibawah garisbagi Berdasarkan harga mutlak sukunya pecahan dibagi tiga: 1) Pecahan layak; angka depan koma selalu nol 2) Pecahan tak-layak; angka depan koma bukan berupa nol 3) Pecahan kompleks; pecahan yang disalah satu atau keduanya terdapat satu atau dua pecahan atau lebih Nuryanto.ST.,MT
1) Operasi Pemadanan Memperbesar pecahan ( a/b) = (a*c/b*c) Memperkecil pecahan
( a/b) = (a : c/b : c) Catatan : pembesaran bersifat tak terbatas, sedangkan
pengecilan bersifat terbatas
Nuryanto.ST.,MT
2) Operasi Penjumlahan dan Pengurangan Syarat penjumlahan ataupun pengurangan dua buah pecahan adalah harus memiliki denominator yang sejenis. Untuk menyamakannya diusahakan memiliki denominator bersama terkecil (dbt). Contoh: 6/8 + 2/4 = 3/4 +2/4 = 5/4 **dbt dari operasi penjumlahan diatas adalah 4 Cara menentukan dbt : a) Mengalikan antara numerator dan denominatornya
n/a + n/b = n.b/a.b + n.a/a.b = n.b+n.a/ab *dbtnya adalah a x b Notes :“penjumlahan dan pengurangan bilangan-bilangan campuran dapat dilakukan dengan cara menambahkan atau mengurangkan bilangan bulatnya dulu, kemudian menambahkan (mengurangkan) pecahan dengan pecahannya” . Misalnya: 2(1/2) + 3(2/2) = (2+3) + (1/2 + 2/2) = 5 + 3/2. Alternatifnya 2(1/2) + 3 (2/2) = 5 + 8/2 = 13/2 = 5 + 3/2 Nuryanto.ST.,MT
3) Operasi Perkalian Perkalian pecahan dilakukan dengan cara mengalikan suku-suku sejenis, numerator dikalikan numerator dam denominator dikalikan denominator ( a/x * b/y) = (ab/xy) 4) Operasi Pembagian Operasi pembagian dilakukan dengan tiga cara : 1) Mengalikan pecahan terbagi (pecahan yang akan dibagi) dengan kebalikan dari pecahan pembagi. [ a/b : c/d] = [a/b x d/c] 2) Mengubah terlebih dahulu pecahan terbagi dan pecahan pembagi sehingga keduanya memiliki denominator berseama terkecil (dbt), kemudian batalkan dbt tersebut dan bagilah suku-suku tebagi yang tersisa. [2/4 : 1/2] = [1/2 : 1/2] = 1 3) Mengalikan terlebih dahulu kedua pecahan dengan dbt-nya, selesaikan atau sederhanakan masing-masing pecahan dan kemudian baru dibagi. [2/4 : 1/2] = [2/4 * 4 : 1/2*4] = [2 : 2] = 1 Nuryanto.ST.,MT
Thank You ............ Nuryanto.ST.,MT
Nuryanto.ST.,MT
Nuryanto.ST.,MT
Nuryanto.ST.,MT
Nuryanto.ST.,MT
Nuryanto.ST.,MT
