MATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS
Nuryanto.ST.,MT
BARIS DAN DERET Pengertian Baris dapat didefinisikan sebagai suatu fungsi yang wilayahnya merupakan himpunan bilangan alam. Setiap bilangan yang merupakan anggota suatu banjar dinamakan suku. Bentuk umum dari banjar adalah: a 1, a2, a3, . . . . . a n Dimana : suku ke 1 = S1 = a1 Dimana : suku ke 2 = S2 = a2 Dimana : suku ke 3 = S3 = a3 Baris di atas dapat disimbolkan dengan [an], sehingga kalau ditulis lagi dengan lengkap menjadi: Suatu baris yang tidak mempunyai akhir atau banyaknya suku tidak terbatas dinamakan baris tak terhingga. Sedangkan baris yang banyaknya suku tertentu dinamakan baris terhingga. Nuryanto.ST.,MT
BARIS DAN DERET Baris hitung adalah baris yang antara dua suku berurutan mempunyai selisih yang besarnya sama. Jadi, suatu baris = a1, a2, a3, . . . . . An akan disebut dengan baris hitung apabila a2 - a1 = b a3 - a2 = b a4 - a3 = b ... an - an-1 = b di mana b merupakan beda yang besarnya tetap dan dapat bernilai positif atau negatif. Contoh:
a. [n] = 1 , 2 , 3 , 4, . . . . . n b = Sn - Sn-1 = 1 b. [5n] = 5 , 10 , 15 , 20 , . . . 5n b = Sn - Sn-1 = 5 c. [12 - 2n] = 10 , 8 , 6 , 4 , .... (12 - 2n) b = Sn - Sn-1 = -2 Nuryanto.ST.,MT
BARIS DAN DERET Baris ukur adalah baris yang antara dua suku berurutan mempunyai hasil bagi yang sama besarnya. Jadi untuk baris : [an] = a1 , a2 , a3 , . . . . . an akan disebut sebagai baris ukur jika S2 / S1 = p S3 / S2 = p ... Sn / Sn-1 = p di mana p merupakan nilai banding ( ratio) yang besarnya tetap dan dapat bertanda positif atau negatif.
Contoh 2.8: a. [apn-1] = a , ap , ap2 , . . . ,apn-1 b. [5. 2n-1] = 5 , 10 , 20 , 40 , ...., 5(2n-1)
Nuryanto.ST.,MT
BARISAN DAN DERET Bila suku-suku pada suatu baris dijumlah, maka jumlah tersebut dinamakan deret. Jadi deret merupakan penjumlahan semua suku suatu baris. Seirama dengan pembedaan baris, maka deret dapat dibedakan menjadi deret hitung, deret ukur dan deret harmoni. Deret hitung merupakan jumlah suku-suku baris hitung, deret ukur merupakan jumlah suku-suku baris ukur dan deret harmoni merupakan jumlah suku-suku baris harmoni. a. Deret hitung : 1 + 2 + 3 + . . . + n b. Deret ukur : 5 + 10 + 20 + . . + 5(2n-1) c. Deret harmoni: 1+ ½ +1/3 +....+1/n
Nuryanto.ST.,MT
Secara umum suatu deret dapat ditulis sebagai: Jn = a1 + a2 + a3 + . . . . + an Untuk menyingkat cara penulisan, dapat dipakai tanda Σ dan dibaca "sigma", sehingga deret dapat ditulis menjadi :∑ dan untuk deret tak hingga ∑ Apabila a adalah suku pertama suatu baris dan b adalah beda antara dua suku yang berurutan, maka sesuai dengan pengertian deret hitung: suku pertama = a suku kedua = a + b suku ketiga = a + 2b suku keempat = a + 3b ..... suku ke n = a + (n - 1)b = Sn
Nuryanto.ST.,MT
Jadi suku ke n suatu banjar hitung, ditentukan oleh
Sn = a + (n - 1)b Deret hitung jumlahnya dapat dihitung dengan menggunakan rumus:
J = ½ n(s+Sn) di mana : n = banyaknya suku a = suku pertama Sn = suku ke n Contoh: Jika ingin mengetahui suku ketujuh suatu banjar hitung yang suku pertamanya = 1 dan beda = 2 adalah Sn = a + (n - 1)b = 1 + (7 - 1)2 = 13 Deret hitung dengan jumlah tujuh suku tersebut adalah: J = ½ n(s+Sn) = ½ 7 (1+13) = 49
Nuryanto.ST.,MT
Selain banjar hitung, kita telah mengenal banjar ukur. Suatu banjar ukur ditandai oleh banjar yang hasil bagi suatu sukunya dengan suku sebelumnya merupakan bilangan konstan. Atau suku suatu banjar ukur diperoleh dari hasil kali suku sebelumnya dengan suatu pengali yang besarnya konstan. Bila suatu banjar ukur memiliki suku pertama a dan pengali sebesar p, maka secara matematis dapat ditulis: suku pertama = a suku kedua = ap suku ketiga = ap2 ... suku ke n = apn-1 = Sn Jadi suku ke n suatu banjar ukur ditentukan oleh Sn = apn-1 Jumlah n suku suatu banjar ukur dapat ditentukan dengan rumus
Nuryanto.ST.,MT
Bila ada suatu banjar ukur yang suku pertamanya a = 1 dan pengalinya p = 2 , maka besarnya suku ke 5 adalah: Sn = apn-1 S5 = 1(25-1) = 16 dan jumlah 5 sukunya adalah:
Nuryanto.ST.,MT
APLIKASI DALAM BIDANG EKONOMI
Bunga Pinjaman Bunga pinjaman selama setahun atau kurang, sering dihitung dengan menggunakan cara yang sederhana, yaitu bunga yang hanya dikenakan pada jumlah pinjaman. Jumlah yang dipinjam ini untuk selanjutnya akan disebut dengan pokok pinjaman. Jika besarnya pokok pinjaman adalah p dengan bunga sebesar r persen setahun dan lama meminjam adalah t tahun, maka besarnya bunga yang harus di bayar yaitu I adalah hasil perkalian antara pokok pinjaman dan bunga dan lama meminjam, atau I = P.r.t
Nuryanto.ST.,MT
APLIKASI DALAM BIDANG EKONOMI CONTOH Berapakah jumlah yang harus dikembalikan oleh seseorang yang meminjam uang sebanyak Rp2.500,00 pada tanggal 5 Juni 1992 dan dikembalikan pada tanggal 5 Pebruari 1993 dengan bunga sebesar 14 persen? Mulai tanggal 5 Juni 1992 sampai 5 Pebruari 1993 ada 8 bulan, atau waktu peminjamannya 8/12 = 2/3 tahun. Besarnya bunga pinjaman: I = P.r.t = 2.500 (0,14) (2/3) = 233,33 Jumlah yang harus dikembalikan adalah pokok pinjaman ditambah dengan bunga, atau Rp2.500,- + Rp233,33 = Rp2.733,33
Nuryanto.ST.,MT
APLIKASI DALAM BIDANG EKONOMI
Nilai Sekarang Nilai sekarang dari jumlah yang diperoleh di masa mendatang atau sering pula disebut dengan present value adalah nilai sejumlah uang yang saat ini dapat dibungakan untuk memperoleh jumlah yang lebih besar di masa mendatang. Misalkan P adalah nilai sekarang dari uang sebanyak A pada t tahun yang akan datang. Bila kemudian diumpamakan tingkat bunga adalah r, maka bunga yang dapat diperoleh dari P rupiah adalah:
I = P.r.t
dan uang setelah t tahun menjadi:
P + P.r.t = P(1 + rt) Karena A adalah nilai uang sebanyak P pada t tahun mendatang, maka P(1 + rt) = A atau
Nuryanto.ST.,MT
APLIKASI DALAM BIDANG EKONOMI CONTOH Setahun lagi Asbun akan menerima uang sebanyak Rp10.000,00. Berapakah nilai sekarang uang tersebut jika tingkat bunga adalah 13 persen setahun? Dalam masalah ini, A = 10.000,- r = 0,13 dan t = 1
Nuryanto.ST.,MT
APLIKASI DALAM BIDANG EKONOMI Bunga Majemuk Bunga sederhana seperti yang dibahas sebelumnya adalah bunga yang umumnya diterapkan untuk pinjaman dalam jangka waktu satu tahun atau kurang. Dengan bunga majemuk, bunga selain dikenakan pada pokok pinjaman, juga dikenakan pada bunga yang dihasilkan. Misalkan seseorang membungakan uangnya sebanyak P dengan bunga sebesar i pertahun. Setelah satu tahun ia mendapatkan bunga sebesar: bunga tahun pertama = P.i Bunga dan pokok pinjaman pada akhir tahun menjadi: P + P.i = P(1 + i) Jumlah sebanyak itu, menjadi pokok pinjaman yang baru sehingga pada akhir tahun kedua bunga yang diterima sebesar : P(1 + i)(i) Jumlah uang keseluruhan sekarang menjadi ; P(1 + i) + P(1 + i)(i) = P(1 + i)(1 + i) = P(1 + i)2
Nuryanto.ST.,MT
APLIKASI DALAM BIDANG EKONOMI
Bunga Majemuk Penggandaan uang atau penghitungan bunga dapat dilakukan lebih dari satu kali dalam setahun. Misalkan pembayaran bunga dilakukan dalam m kali setahun (dalam 5 periode setahun), pada tingkat bunga i pertahun, maka tingkat bunga setiap periode adalah i/m dan jumlah periode pembungaan (penghitungan bunga) adalah sebanyak nxm. Seandainya bunga yang diperoleh dibungakan lagi selama n periode, maka rumus yang digunakan untuk menghitung seluruh uangnya menjadi:
Misalkan ada uang sebanyak Rp1.000,00 dibungakan selama 6 tahun dengan bunga majemuk sebesar 5 persen per tahun dan diambil setahun sekali, maka berapakah jumlah uang tersebut setelah 6 tahun? P = 1.000, i = 5% = 0,05 , m = 1 ,dan n = 6. Jumlah uangnya setelah 6 tahun menjadi:
Nuryanto.ST.,MT
APLIKASI DALAM BIDANG EKONOMI
Model Pertumbuhan Penduduk Kegunaan model pertumbuhan penduduk ini adalah untuk penaksiran jumlah
penduduk. Rumusnya adalah :
Pt = P1 . Rt-1 Dimana R = 1+r
Contoh Penduduk suatu kota berjumlah 1 juta jiwa pada tahun 1991, tingkat
pertumbuhannya 4% per tahun. Hitunglah jumlah penduduk kota tersebut pada tahun 2006. Jika mulai tahun 2006 pertumbuhannya menurun menjadi 2,5% berapa jumlah 11 tahun kemudian Penyelesaian P2006 = p16 = 1000.000 (1+0,4)15 = 1.800.943 jiwa P11tahun kemudian = 1.800.943 (1+0,25)10 = 2.305.359 jiwa
Nuryanto.ST.,MT
TUGAS
Nuryanto.ST.,MT
Thank You ............ Nuryanto.ST.,MT
