PENGANTAR MODEL PROBABILITAS

PENGANTAR MODEL PROBABILITAS (PMP, Minggu 1-7)

Sri Haryatmi Kartiko Universitas Gadjah Mada

Juni 2014

Minggu 1:HIMPUNAN Minggu 2:COUNTING TECHNIQUE Minggu 3:PROBABILITAS Minggu 4,5:PROBABILITAS BERSYARAT Minggu 6,7:V

Outline 1

Minggu 1:HIMPUNAN Operasi Himpunan Sifat-Sifat Operasi Himpunan

2

Minggu 2:COUNTING TECHNIQUE Permutasi dan Kombinasi

3

Minggu 3:PROBABILITAS Probabilitas

4

Minggu 4,5:PROBABILITAS BERSYARAT Independensi

5

Minggu 6,7:VARIABEL RANDOM DAN DISTRIBUSINYA Fungsi Densitas dari Variabel Random Diskrit Fungsi Densitas dari Variabel Random Kontinu


Outline 1


2


3


4


5



Outline 1


2


3


4


5



Outline 1


2


3


4


5



Outline 1


2


3


4


5



Minggu 1:HIMPUNAN

Himpunan S adalah koleksi obyek yang diberi notasi s. Dengan kata lain, s adalah anggota S, elemen S, atau dimiliki oleh S diekspresikan dengan tulisan s ∈ S. Negasi pernyataan tersebut diekspresikan dengan menulis s ∈ / S. Dikatakan S 0 adalah himpunan bagian dari S atau bahwa S 0 termuat dalam S, ditulis S 0 ⊆ S, bila setiap s ∈ S 0 , berakibat s ∈ S. S 0 dikatakan himpunan bagian sejati dari S dan ditulis S 0 ⊂ S, bila S 0 ⊆ S dan terdapat s ∈ S sedemikian hingga s ∈ / S 0.

Minggu 1:HIMPUNAN Minggu 2:COUNTING TECHNIQUE Minggu 3:PROBABILITAS Minggu 4,5:PROBABILITAS BERSYARAT Minggu 6,7:V Operasi Himpunan

Komplemen terhadap S dari himpunan A ditulis dengan notasi Ac didefinisikan sebagai Ac = {s ∈ S; s ∈ / A} Union dari himpunan Aj ,

(1)

j = 1, 2, . . . , n, diberi notasi

A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An

or

n [

Aj

j=1

didefinisikan sebagai n [ Aj = {s ∈ S; s ∈ Aj untuk paling sedikit satu j = 1, 2, . . . , n} j=1

(2) Definisi dapat diperluas untuk banyaknya himpunan tak berhingga, sehingga untuk banyaknya himpunan denumerabel dapat ditulis ∞ [ Aj = {s ∈ S; s ∈ Aj untuk paling sedikit satu j = 1, 2, . . . } j=1

(3)


Interseksi dari himpunan Aj ,

j = 1, 2, . . . , n, diberi notasi

A1 ∩ A2 ∩ · · · ∩ An

or

n \

Aj

j=1

didefinisikan sebagai n \

Aj = {s ∈ S; s ∈ Aj untuk semua j = 1, 2, . . . , n}

(4)

j=1

Definisi dapat diperluas untuk banyaknya himpunan tak berhingga, sehingga untuk banyaknya himpunan denumerabel dapat ditulis ∞ \

Aj = {s ∈ S; s ∈ Aj untuk semua j = 1, 2, . . . }

(5)

j=1


Difference

dari A1 − A2 didefinisikan sebagai A1 − A2 = {s ∈ S; s ∈ A1 , s ∈ / A2 }

(6)

A2 − A1 = {s ∈ S; s ∈ A2 , s ∈ / A1 }

(7)

Secara simetris,


Berikut ini berapa hal penting mengenai himpunan: 1 Himpunan yang tidak memuat satu elemenpun disebut himpunan kosong dan diberi notasi ∅. 2 Dua himpunan A , A disebut disjoint atau saling asing bila 1 2 A1 ∩ A2 = ∅. 3 Dua himpunan A , A , disebut sama, ditulis A = A , bila 1 2 1 2 A1 ⊆ A2 dan A2 ⊆ A1 . 4 Himpunan A , j = 1, 2, . . . disebut sepasang-sepasang atau j mutually disjoint jika Ai ∩ Aj = ∅ untuk semua i 6= j. Dalam hal ini, biasa ditulis n ∞ X X A1 +A2 , A1 +· · ·+An = Aj , dan A1 +A2 +· · · = Aj j=1

j=1

sebagai pengganti A1 ∪ A2 ,

n [

Aj , dan

j=1

Dapat ditulis [ X Aj , Aj , j

j

\ j

Aj (atau

∞ [

Aj

j=1

[ j

Aj ,

X

Aj ,

j

\

Aj )

j

.

Minggu 1:HIMPUNAN Minggu 2:COUNTING TECHNIQUE Minggu 3:PROBABILITAS Minggu 4,5:PROBABILITAS BERSYARAT Minggu 6,7:V Sifat-Sifat Operasi Himpunan 1 2 3 4 5

6

7

S c = ∅, ∅c = S, (Ac )c = A S ∪ A = S, ∅ ∪ A = A, A ∪ Ac = S, A ∪ A = A S ∩ A = A, ∅ ∩ A = ∅, A ∩ Ac = ∅, A ∩ A = A ∅ ⊆ A untuk semua himpunan bagian A dari S. A1 ∪ (A2 ∪ A3 ) = (A1 ∪ A2 ) ∪ A3 A1 ∩ (A2 ∩ A3 ) = (A1 ∩ A2 ) ∩ A3 yang disebut hukum Assosiatif. A1 ∪ (A2 ∩ A3 ) = (A1 ∪ A2 ) ∩ (A1 ∪ A3 ) A1 ∩ (A2 ∪ A3 ) = (A1 ∩ A2 ) ∪ (A1 ∩ A3 ) yang disebut hukum Distributif. Perluasannya adalah Tn T A ∪ (Si=1 Bi ) = Sni=1 (A ∪ Bi ) A ∩ ( ni=1 Bi ) = ni=1 (A ∩ Bi ) Hukum de Morgan (A1 ∪ A2 )c = Ac1 ∩ Ac2 (A1 ∩ A2 )c = Ac1 ∪ Ac2 Perluasan Hukum Sn Tn de cMorgan c (Ti=1 Ai ) = Si=1 Ai ( ni=1 Ai )c = ni=1 Aci

Minggu 1:HIMPUNAN Minggu 2:COUNTING TECHNIQUE Minggu 3:PROBABILITAS Minggu 4,5:PROBABILITAS BERSYARAT Minggu 6,7:V Sifat-Sifat Operasi Himpunan

Contoh 1.1 Misalkan S adalah suatu himpunan dan misalkan A, B, C adalah himpunan-himpunan bagian dari S. Tunjukkan bahwa A ∩ (B ∪ C ) ⊆ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C ) Bukti: s ∈ A ∩ (B ∪ C ) ⇔ s ∈ A dan s ∈ B ∪ C ⇔ (s ∈ A) dan (s ∈ B atau s ∈ C ) ⇔ (s ∈ A dan s ∈ B) atau (s ∈ A dan s ∈ C ) ⇔ (s ∈ A ∩ B) atau (s ∈ A ∩ C ) ⇔ (s ∈ A ∩ B) ∪ (s ∈ A ∩ C )


Minggu 2:COUNTING TECHNIQUE Bila E1 adalah suatu eksperimen yang mempunyai n1 hasil yang mungkin dan E2 adalah suatu eksperimen yang memiliki n2 hasil yang mungkin, maka eksperimen yang menghasilkan pasangan hasil E1 dan E2 adalah n1 .n2 hasil yang mungkin. Multiplication principle, bila E1 adalah suatu eksperimen yang mempunyai n1 hasil yang mungkin, E2 adalah suatu eksperimen yang memiliki n2 hasil yang mungkin, dan seterusnya Er adalah suatu eksperimen yang memiliki nr hasil yang mungkin, maka eksperimen yang menghasilkan pasangan hasil E1 , . . . , Er adalah sebanyak r Y ni = n1 n2 n3 . . . nr (8) i=1

Apabila ni = N, untuk semua i maka r Y ni = NNN . . . N = N r i=1

(9)

Minggu 1:HIMPUNAN Minggu 2:COUNTING TECHNIQUE Minggu 3:PROBABILITAS Minggu 4,5:PROBABILITAS BERSYARAT Minggu 6,7:V Permutasi dan Kombinasi

Banyaknya permutasi dari n obyek yang berbeda = n! Banyaknya permutasi r obyek diambil dari n obyek adalah Prn =

n! (n − r )!

(10)

Banyaknya kombinasi r obyek diambil dari n obyek adalah ! n n! = (11) r !(n − r )! r


Teorema Binomial Dari matematik dasar telah diketahui bahwa (x + y )2 = x 2 + 2xy + y 2 ! ! 2 2 = x2 + xy + 0 1 ! 2 X 2 = x 2−k y k k k=0

2 2

! y2


Dengan cara yang sama (x + y )3 = x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 + y 3 ! ! 3 3 = x3 + x 2y + 0 1 ! 3 X 3 = x 3−k y k k k=0

3 2

! xy 2 +

3

!

3

y3


Secara umum, dengan menggunakan argumen induksi, dapat ditunjukkan bahwa ! n X n (x + y )n = x n−k y k (12) k k=0 ! n Hasil tersebut disebut Teorema Binomial. Koefisien disebut k koefisien Binomial. Berikut ini bukti combinatorial dari Teorema Binomial. Jika (x + y )n ditulis sebagai n kali faktor (x + y ), yaitu (x + y )n = (x + y )(x + y )(x + y ) . . . (x + y ), ! n maka koefisien x n−k y k adalah , yaitu banyaknya cara k memilih k faktor yang menghasilkan y .


Sekarang, akan diselidiki sifat-sifat dari koefisien Binomial.

Teorema 2.1 Andaikan n ∈ N (himpunan bilangan Asli) dan r = 0, 1, 2, . . . , n. Maka, n n = (13) r n−r


Teorema 2.2 Untuk suatu bilangan bulat positif n dan r = 1, 2, . . . , n, maka n n−1 n−1 = + (14) r r r −1


Minggu 3:PROBABILITAS Misal dilakukan eksperimen yang hasilnya tidak dapat diprediksi sebelumnya. Namun demikian, hasil dari eksperimen dapat diketahui dari kejadian yang mungkin, himpunan semua kejadian yang mungkin disebut ruang sampel, biasa diberi notasi S. Kejadian adalah himpunan bagian dari ruang sampel. Beberapa contoh eksperimen dan hasilnya adalah sebagai berikut: 1 Eksperimen melempar mata uang satu kali, maka ruang sampel adalah S = {H, T }

2

dengan H berarti mendapatkan hasil lemparan sisi Head dan T adalah hasil lemparan sisi Tail. Melempar sebuah dadu satu kali, maka ruang sampel adalah S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

3

Melempar dua mata uang dua kali, maka ruang sampel adalah S = {HH, HT , TH, TT }

Misal himpunan A adalah munculnya sisi Head, maka A = {HH, HT , TH} Dari sini, ⊆ S. Dengan himpunan A 4,5:PROBABILITAS merupakan BERSYARAT Minggu 1:HIMPUNAN Minggu A 2:COUNTING TECHNIQUEdemikian, Minggu 3:PROBABILITAS Minggu kejadian. Probabilitas

Definisi 3.1 Suatu eksperimen memberikan ruang sampel S. A, A1 , A2 , . . . merupakan kejadian. Fungsi himpunan berharga riil P(A) untuk setiap kejadian A disebut fungsi (himpunan) probabilitas dan P(A) disebut probabilitas dari A bila sifat-sifat di bawah ini dipenuhi 1

P(A) ≥ 0 untuk setiap kejadian A

2

P(S) = 1 P∞ S P( ∞ A ) = i=1 i i=1 P(Ai ) untuk Ai kejadian saling asing.

3

Minggu 6,7:V

Minggu 1:HIMPUNAN Minggu 2:COUNTING TECHNIQUE Minggu 3:PROBABILITAS Minggu 4,5:PROBABILITAS BERSYARAT Minggu 6,7:V Probabilitas

Teorema 3.2 Misal {A1 , A2 , . . . , An } adalah kumpulan berhingga dari n kejadian sedemikian hingga Ai ∩ Ej = ∅ untuk i 6= j. Maka ! n n [ X P Ai = P(Ai ) (15) i=1

i=1


Definisi probabilitas n(A) N memenuhi ketiga syarat probabilitas yaitu P(A) =

n(A) N n(S) N

1

P(A) =

>0

2

P(S) =

3

Untuk probabilitas union dua himpunan adalah sbb

=

N N

=1

n(A ∪ B) N n(A) + n(B) = N n(A) n(B) = + N N = P(A) + P(B)

P(A ∪ B) =

(16)


Sifat-sifat probabilitas 1

P(A) = 1 − P(Ac )

2

P(A) ≤ 1

3

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)

4

P(A ∪ B ∪ C ) = P(A) + P(B) + P(C ) − P(A ∩ B) − P(A ∩ C ) − P(B ∩ C ) + P(A ∩ B ∩ C ) Hint : A ∪ B ∪ C = (A ∪ B) ∪ C 5

Bila A ⊂ C =⇒ P(A) ≤ P(B)

6

P(A ∩ B c ) = P(A) − P(A ∩ B)

7

P(A ∪ B) = 1 − P(Ac ∩ B c )


Teorema 3.3 Jika A adalah suatu kejadian pada suatu ruang sampel diskrit S, maka probabilitas dari A adalah jumlah probabilitas kejadian elementernya.

Teorema 3.4 Jika A1 dan A2 adalah dua kejadian sedemikian hingga A1 ⊆ A2 , maka P(A2 \ A1 ) = P(A2 ) − P(A1 )


Contoh 3.5 Sebuah mata uang dilempar sebanyak tiga kali. Berapa probablilitas 1

lemparan pertama sama dengan lemparan ketiga

2

lemparan pertama dan kedua berbeda

3

tidak ada sisi H

4

banyaknya sisi H lebih besar dari banyaknya sisi T

5

banyaknya sisi H sama dengan banyaknya sisi T

Contoh 3.6 Sebuah dadu dilempar sebanyak dua kali. Berapa probabilitas 1

lemparan pertama genap

2

lemparan pertama dan kedua ganjil

3

jumlah kedua lemparan 7

4

jumlah kedua lemparan genap

5

selisih kedua lemparan 3


Minggu 4,5:PROBABILITAS BERSYARAT Pandang eksperimen yang mempunyai ruang sampel S. Misal B ∈ S. Dalam berbagai situasi, kita hanya memandang kejadian B tanpa memperhatikan S. Dalam hal ini, B dipandang sebagai ruang sampel. Misalkan S adalah ruang sampel berhingga yang tidak kosong dan B merupakan himpunan tidak kosong dari S. Dengan ruang sampel baru B, bagaimana mendefinisikan probabilitas terjadinya kejadian A. Secara intuisi, seseorang akan mendefinisikan probabilitas A terhadap ruang sampel baru B sebagai berikut: banyaknya elemen dalam A ∩ B P(A dengan syarat B) = banyaknya elemen dalam B dengan catatan: banyaknya elemen dalamB > 0. Dengan demikian, probabilitas terjadinya kejadian A dengan syarat B dapat didefinisikan sebagai P(A ∩ B P(A dengan syarat B) = (17) P(B)


Definisi 4.1 Misal S merupakan ruang sampel dari suatu eksperimen random. Probabilitas terjadinya kejadian A dengan syarat kejadian B telah terjadi, didefinisikan sebagai P(|B) =

P(A ∩ B) P(B)

(18)

dengan syarat P(B) > 0


P(.|B) merupakan probabilitas, yaitu memenuhi ketiga syarat sebagai probabilitas, yaitu P(A∩B) 1 P(A|B) = P(B) > 0 2

P(S|B) =

P(S∩B) P(B)

=

P(B) P(B)

=1

A1 , A2 , . . . saling asing maka P(∪∞ i=1 Ai |B) = Dibuktikan pernyataan no 3 3

P(∪∞ i=1 Bi |A)

= = = =

P∞

i=1 P(Ai |B)

P((∪∞ i=1 Bi ) ∩ A) P(A) P(∪∞ i=1 (Bi ∩ A)) P(A) P∞ i=1 P(Bi ∩ A) P(A) ∞ X P(Bi |A), i=1

karena Bi ∩ Ai juga saling asing.


Contoh 4.2 Misalkan kartu bernomor 1 sampai 10 dikocok, diambil secara random. Jika dikatakan bahwa kartu terpilih bernomor paling sedikit 5. Berapa probabilitas bersyarat bahwa yang terambil adalah 10. Penyelesaian : Notasikan: E adalah pengambilan kartu 10 dan F adalah pengambilan paling sedikit 5. Probabilitas yang diinginkan adalah P(E /F ). P(E |F ) =

P(E ∩ F ) P(F )

P(E |F ) =

1 10 6 10

=

1 6

E ∩ F = E karena banyaknya kartu bernomor 10 dan paling sedikit nomor 5 hanya ada 1 yaitu kartu bernomor 10.


Teorema 4.3 Hukum Probabilitas Total Apabila B1 , . . . , Bn merupakan partisi dari ruang sampel S maka untuk sebarang kejadian A berlaku P(A) =

k X

P(Bi )P(A|Bi )

i=1

Bukti: Karena kejadian B1 , . . . , Bn partisi dari S maka Ai saling asing maka kejadian dan ∪ki=1 Ai = S, sehingga A ∩ B1 , A ∩ B2 , . . . , A ∩ Bk juga saling asing. Dengan demikian P(A) = P(A ∩ S) = P(A ∩ (∪ki=1 Bi )) = P(∪ki=1 (A ∩ Bi )) =

k X

P(A ∩ Bi )


Teorema 4.4 Aturan Bayes Apabila B1 , . . . , Bn koleksi kejadian yang saling asing, maka untuk setiap j = 1, 2, . . . , k berlaku P(Bj )P(A|Bj ) P(Bj |A) = Pk i=1 P(Bi )P(A|Bi ) Bukti:

P(Bj |A) = = =

P(A ∩ Bj ) P(A) P(Bj )P(A|Bj ) P(A) P(Bj )P(A|Bj ) Pk i=1 P(Bj )P(A|Bj )


Contoh 4.5 Ada 3 buah kotak, kotak pertama berisi 2 bola merah, 3 bola putih. Kotak kedua berisi 3 bola merah, 4 bola putih. Kotak ketiga berisi 3 bola merah, 3 bola putih. Dari kotak pertama diambil satu bola dimasukkan ke kotak kedua, sebut pengambilan I, selanjutnya dari kotak kedua diambil sebuah bola dimasukkan ke kotak ketiga, sebut pengambilan II, dan selanjutnya dari kotak ke ketiga diambil sebuah bola sebut pengambilan III. Hitung probabilitas pengambilan ketiga menghasilkan bola berwarna merah.


Penyelesaian:

P(IIIm ) = P(Im ∩ IIm ∩ IIIm ) +P(Im ∩ IIp ∩ IIIm ) + P(Ip ∩ IIm ∩ IIIm ) +P(Ip ∩ IIp ∩ IIIm ) = P(Im ).P(IIm |Im ).P(IIIm |Im ∩ IIm ) +P(Im ).P(IIp |Im ).P(IIIm |Im ∩ IIp ) +P(Ip ).P(IIm |Ip ).P(IIIm |Ip ∩ IIm ) +P(Ip ).P(IIp |Ip ).P(IIIm |Ip ∩ IIp ) 244 243 334 353 = + + + 587 587 587 587 32 + 24 + 36 + 45 137 = = 280 280

Minggu 1:HIMPUNAN Minggu 2:COUNTING TECHNIQUE Minggu 3:PROBABILITAS Minggu 4,5:PROBABILITAS BERSYARAT Minggu 6,7:V Independensi

Bila P(A|B) = P(A) atau P(B|A) = P(B) maka A&B disebut independen. Dengan demikian, 2 kejadian A&B disebut independen bila a. P(A|B) = P(A) atau b. (B|A) = P(B) atau c. P(A ∩ B) = P(A)P(B)


Contoh 4.6 Dua buah dadu dilempar. A1 adalah kejadian jumlah kedua lemparan 6 dan B adalah kejadian dadu pertama muncul angka 4. Apakah A1 dan B independen? Penyelesaian: P(A1 ∩ B) = P(4, 2) = Sementara itu, P(A1 )P(B) =

1 36

5 1 5 = 36 36 216

* Bila A&B independen buktikan Ac &B, A&B c , Ac &B c independen.


Definisi 4.7 n kejadian E1 , E2 , . . . En disebut independen atau mutually independen bila ∀ j = 2, 3, . . . n dan setiap himpunan bagian indeks yang berbeda i1 , . . . , ij , berlaku P(Ei1 ∩ Ei1 ∩ . . . Eij ) = P(Ei1 ) . . . P(Eij )


Contoh 4.8 Dalam menjawab pertanyaan pilihan ganda, seorang murid mungkin mengetahui dengan pasti jawaban yang benar atau dia menebak. p adalah probabilitas dia mengetahui jawaban yang benar dan 1 − p adalah probabilitas dia menebak. Dianggap mahasiswa yang menebak mempunyai probabilitas menjawab benar 1/m, bila tersedia m alternatif jawaban. Berapa probabilitas bersyarat mahasiswa yang tahu jawaban yang benar akan menjawab dengan benar? Penyelesaian: Misal C dan K adalah kejadian bahwa mahasiswa menjawab dengan benar dengan syarat dia memang mengetahui jawaban yang benar. P(K ∩ C ) P(C ) P(C |K )P(K ) = P(C |K )P(K ) + P(C |K c )P(K c ) p = p + (1/m)(1 − p) mp = TECHNIQUE Minggu 3:PROBABILITAS Minggu 4,5:PROBABILITAS BERSYARAT Minggu 2:COUNTING 1 + (m − 1)p P(K |C ) =

Minggu 1:HIMPUNAN

Jadi, untuk m = 5, p = 1/2, probabilitasDAN seorangDISTRIBUSINYA mahasiswa yang Minggu 6,7:VARIABEL RANDOM tahu jawaban yang benar akan menjawab benar adalah 5/6.

Hasil suatu eksperimen dapat berupa angka seperti melempar sebuah dadu satu kali, mengamati bola lampu mulai nyala sampai mati, namun sering kali hasil eksperimen tidak berupa angka namun berupa pasangan angka atau bahkan pasangan huruf. Misal sebuah dadu dilempar tiga kali akan menghasilkan outcome tripel bilangan seperti (2, 3, 6), (1, 1, 1). Sebuah mata uang dilempar tiga kali akan menghasilkan outcome tripel huruf H dan T seperti (H, H, T ) atau (H, T , T ). Outcome nonnumeris ini perlu dijadikan outcome numeris supaya dapat dilakukan perhitungan perhitungan yang bermanfaat. Perkawanan outcome nonnumeris menjadi outcome numeris disebut variabel random yang disajikan dalam definisi berikut¿

Minggu 6,7:V


Definisi 5.1 Variabel random X adalah fungsi dengan domain S dan range subset bilangan riil 3 X (e) = x, dengan e ∈ S & x ∈ R

Definisi 5.2 Himpunan {x ∈ R|x = X (s), s ∈ S} adalah ruang dari variabel random X diberi simbol RX .


Contoh 5.3 Diberikan beberpa contoh variabel random hasil eksperimen dibawah ini. 1

Sebuah dadu bersisi 4 dilempar 2 kali. X : lemparan pertama Y : lemparan kedua Z : jumlah lemparan 1 dan lemparan 2 T : selisih lemparan 1 dan lemparan 2 RX = {1, 2, 3, 4} RY = {1, 2, 3, 4} RZ = {2, 3, . . . , 8} RT = {0, 1, 2, 3}

2

Sebuah mata uang dilempar 3 kali. X : banyaknya sisi H. P(X = 2) = P((HHT ), (THH), (HTH)) 3 = 8


Contoh 5.4 Pandang percobaan pelemparan sebuah koin. Konstruksikan variabel random X dari percobaan ini, lalu tentukan ruang dari variabel random tersebut! Penyelesaian: Ruang sampel dari percobaan ini adalah S = {Head, Tail} Selanjutnya, didefinisikan suatu fungsi dari S ke dalam himpunan bilangan riil, yakni: X (Head) = 0 X (Tail) = 1 Sehingga, ruang dari variabel random adalah RX = {0, 1}


Definisi 5.5 Jika ruang dari variabel random X adalah countable, maka X disebut variabel random diskrit.

Definisi 5.6 Jika ruang dari variabel random X adalah uncountable, maka X disebut variabel random kontinu.

Minggu 1:HIMPUNAN Minggu 2:COUNTING TECHNIQUE Minggu 3:PROBABILITAS Minggu 4,5:PROBABILITAS BERSYARAT Minggu 6,7:V Fungsi Densitas dari Variabel Random Diskrit

Definisi 5.7 Misal RX adalah ruang dari variabel random X . Fungsi f : RX → R yang didefinsikan sebagai: f (x) = P(X = x) disebut probability density function (pdf) dari X .


Contoh 5.8 Sebuah kotak memuat 5 bola, yang terdiri dari 2 bola putih dan 3 bola merah. tiga buah bola diambil dari kotak tanpa pengembalian. Jika variabel random X menyatakan banyaknya bola merah yang terambil, maka tentukan pdf dari X ! Penyelesaian: Karena X menyatakan banyaknya bola merah yang terambil, maka X = 0, 1, 2, 3 3 2 0 3 = 0, tidak mungkin mendapatkan P(X = 0) = 5 3 3 2 1 2 3 P(X = 1) = = 10 5 3 3 2

3

bola

pu


Teorema 5.9 Jika X adalah variabel random diskrit dengan ruang RX dan pdf f (x), maka a. f (x) ≥ 0 untuk semua x di RX P b. x∈RX f (x) = 1

Contoh 5.10 Jika probabilitas dari variabel random X dengan RX = {1, 2, 3, . . . , 12} diberikan oleh f (x) = k(2x − 1), maka, tentukan nilai dari konstanta k! Penyelesaian: X 1 = f (x) x∈RX

=

X

k(2x − 1) =

k(2x − 1)

x=1

x∈RX

"

12 X

12 X

#

(12)(13) x − 12 = k 2 − 12 2


= k 2

Fungsi Densitas dari Variabel Random Diskrit

x=1

= k.144

Definisi 5.11

Sehingga, Fungsi distribusi kumulatif F (x) dari 1 variabel random X k= didefinisikan sebagai: 144 F (x) = P(X ≤ x) untuk semua bilangan riil X .

Definisi 5.12 Jika X adalah variabel random diskrit dengan ruang RX , maka X F (x) = f (t) t≤x

untuk x ∈ RX .


Contoh 5.13 Jika pdf dari variabel random X diberikan oleh 1 (2x − 1), 144

untuk x = 1, 2, 3, . . . , 12

Tentukan fungsi distribusi kumulatif dari X Penyelesaian: Ruang dari variabel random X adalah RX = {1, 2, 3, . . . , 12} Maka, F (1) =

X

f (t) = f (1) =

t≤1

F (2) =

X

1 144

f (t) = f (1) + f (2) =

t≤2

F (3) =

X

1 3 4 + = 144 144 144

f (t) = f (1) + f (2) + f (3) =

t≤3

1 3 5 9 + + = 144 144 144 144

.. . F (12) =

X

f (t) = f (1) + f (2) + . . . + f (12) = 1

Minggu 1:HIMPUNAN Minggu 2:COUNTING TECHNIQUE Minggu 3:PROBABILITAS Minggu 4,5:PROBABILITAS BERSYARAT Minggu 6,7:V Fungsi Densitas dari Variabelt≤12 Random Diskrit

Teorema 5.14 F (X ) menyatakan akumulasi dari f (t) dari t paling kecil sampai Misal t = x.X adalah suatu variabel random dengan fungsi distribusi kumulatif F (X ). Maka fungsi distribusi kumulatif memenuhi: a. F (−∞) = 0, b. F (∞) = 1, dan c. F (x) adalah fungsi naik, yaitu, jika x < y , maka F (x) ≤ F (y ) untuk semua bilangan riil x, y .

Teorema 5.15 Jika ruang RX dari variabel random X diberikan oleh RX = {x1 < x2 < x3 < . . . < xn }, maka f (x1 ) = F (x1 ) f (x2 ) = F (x2 ) − F (x1 ) f (x3 ) = F (x3 ) − F (x2 ) .. . f (xn ) = F (xn ) − F (xn−1 )


Contoh 5.16 Tentukan pdf dari variabel random X kumulatifnya diberikan oleh   0, 00 jika      0, 25 jika F (x) = 0, 50 jika    0, 75 jika     1, 00 jika

yang fungsi distribusi

x < −1, −1 ≤ x < 1, 1 ≤ x < 3, 3 ≤ x < 5, x ≥ 5.

Tentukan probabilitas dari P(X ≤ 3), P(X = 3), dan P(X < 3)! Penyelesaian: Ruang dari variabel random adalah RX = {−1, 1, 3, 5} pdf dari X adalah f (−1) = 0, 25 f (1) = 0, 50 − 0, 25 = 0, 25 f (3) = 0, 75 − 0, 50 = 0, 25


f (4) = 1, 00 − 0, 75 = 0, 25

Fungsi Densitas dari Variabel Random Kontinu

Sehingga,

Definisi 5.17 P(X ≤ 3) = F (3) = f (−1) + f (1) + f (3) Misal X adalah variabel=random 0, 75 kontinu yang harganya merupakan anggota himpunan bilangan riil R. Suatu fungsi berharga riil P(X = 3) = F (3) − F (2) = 0, 75 − 0, 5 non-negatif, f : R ⇒ R, dikatakan pdf dari variabel random = 0, 25 kontinu X jika memenuhi: 1 f (x) ≥P(X 0 < 3) = P(X ≤ 2) = f (−1) + f (1) R∞ = 0, 50 2 −∞ f (x)dx = 1 Selanjunya jika A adalah suatu kejadian, maka Z P(A) = f (x)dx. A

Minggu 1:HIMPUNAN Minggu 2:COUNTING TECHNIQUE Minggu 3:PROBABILITAS Minggu 4,5:PROBABILITAS BERSYARAT Minggu 6,7:V Fungsi Densitas dari Variabel Random Kontinu

Contoh 5.18 Apakah fungsi f : R ⇒ R yang didefinisikan oleh ( 2x −2 jika 1 < x < 2, f (x) = 0 yang lainnya, merupakan pdf dari variabel random X ?


Definisi 5.19 Misal f (x) adalah pdf dari variabel random kontinu X . Fungsi distribusi kumulatif F (x) dari X didefinisikan sebagai berikut Z x F (x) = P(X ≤ x) = f (t)dt (19) −∞

Teorema 5.20 Jika F (x) adalah fungsi distribusi kumulatif dari variabel random kontinu X , maka pdf f (x) dari X adalah turunan dari F (x), yaitu d F (x) = f (x) dx

Contoh 5.21 Tentukan pdf dari variabel random yang mempunyai fungsi distribusi kumulatif: F (x) =

1 , 1 + e −x

−∞<x <∞

(20)


Teorema 5.22 Misalkan X adalah variabel random kontinu yang mempunyai fungsi distribusi kumulatif (cdf) F (x), maka akan memenuhi: a. P(X ≤ x) = F (x), b. P(X > x) = 1 − F (x), c. P(X = x) = 0, dan d. P(a < X ≤ b) = F (b) − F (a). e. P(a < X ≤ b) = P(a ≤ X < b) = P(a ≤ X ≤ b) = P(a < X < b)

PENGANTAR MODEL PROBABILITAS

Recommend Documents