PENGANTAR MODEL PROBABILITAS

PENGANTAR MODEL PROBABILITAS (PMP, Minggu 8-14)

Sri Haryatmi Kartiko Universitas Gadjah Mada

Juni 2014

Minggu 8:MOMEN VARIABEL RANDOM Minggu 9,10:DISTRIBUSI SPESIAL Minggu 11,12:DISTRIBUSI BERSAMA VARIABEL RANDOM Mi

Outline 1

Minggu 8:MOMEN VARIABEL RANDOM Mean dan Variansi Fungsi Pembangkit Momen (MGF)

2

Minggu 9,10:DISTRIBUSI SPESIAL Distribusi Spesial Diskrit Distribusi Spesial Kontinu

3

Minggu 11,12:DISTRIBUSI BERSAMA VARIABEL RANDOM Fungsi Distribusi Bersyarat dan Independensi Sifat Variabel Random

4

Minggu 13,14:RANTAI MARKOV Persaman Chapman Kolmogorov Klasifikasi State


Outline 1


2


3


4



Outline 1


2


3


4



Outline 1


2


3


4



Minggu 8:MOMEN VARIABEL RANDOM Dalam bab ini, diperkenalkan konsep tentang momen dari variabel, mean dan variansi dari variabel random.

Definisi 1.1 Momen ke n di sekitar titik asal dari suatu variabel random X , ditulis E (X n ), adalah (P n n x∈RX x f (x) jika X diskrit, E (X ) = R ∞ n jika X kontinu. −∞ x f (x) untuk n = 0, 1, 2, 3, . . ., Jika n = 1, maka E (X ) merupakan momen pertama di sekitar titik nol. Untuk n = 2, maka E (X 2 ) merupakan momen kedua dari variabel random X di sekitar titik nol. Secara umum, momen suatu variabel random tidak selalu ada. Bila suatu variabel random tidak punya mean, dikatakan variabel random tersebut tidak punya momen pertama. Ada dua hal yang penting untuk suatu variabel random, yakni, mean dan variansi yang akan dibahas dalam subbab

Minggu 8:MOMEN VARIABEL RANDOM Minggu 9,10:DISTRIBUSI SPESIAL Minggu 11,12:DISTRIBUSI BERSAMA VARIABEL RANDOM Mi Mean dan Variansi

Definisi 1.2 Misalkan X adalah variabel random yang mempunyai fungsi densitas probabilitas (pdf) f (x). Mean dari variabel random X didefinisikan sebagai µX

= sumx∈RX xf (x)jika X diskrit Z ∞ = xf (x)dxjika X kontinu

(1) (2)

−∞

bila harganya berhingga. Mean adalah ukuran tendensi sentral dari suatu distribusi variabel random X . Mean juga biasa disebut sebagai harga harapan dari variabel random X dan ditulis E (X ) dari kata Expectation of X.


Contoh 1.3 Variabel random X berdistribusi uniform pada interval (2, 7), berapa mean dari X ? Jawab: Pdf dari variabel random X adalah ( 1 jika 2 < x < 7, f (x) = 5 0 untuk harga x yang lain Sehingga, mean atau harga harapan dari X adalah µX

= E (X ) Z ∞ = xf (x)dx −∞ 7

Z

1 x dx 5 2 1 2 7 1 = x = (49 − 4) 10 10 2 =


Teorema 1.4 Misal X adalah suatu variabel random dengan pdf f (x). Jika a dan b adalah dua bilangan riil, maka E (ax + b) = aE (X ) + b

(3)

Definisi 1.5 Misal X adalah suatu variabel random dengan mean µX . Variansi dari X , ditulis Var (X ) atau σX2 , didefinisikan sebagai Var (X ) = σX2 = E (X − µX )2

(4)


Teorema 1.6 Jika X adalah suatu variabel random dengan mean µX dan variansi σX2 , maka σX2 = E (X 2 ) − µ2X (5)

Teorema 1.7 Jika X adalah suatu variabel random dengan mean µX dan variansi σX2 , maka Var (aX + b) = a2 Var (X ) (6) dimana a dan b adalah bilangan riil konstanta.


Contoh 1.8 Misal X mempunyai fungsi peluang: ( 2x untuk 0 ≤ x ≤ k, 2 f (x) = k 0 yang lainnya. Berapa nilai k, bila Var (X ) = 2?

Contoh 1.9 Jika pdf dari variabel random X diberikan oleh: ( 1 − |x| untuk |x| < 1 f (x) = 0 yang lainnya, Maka, berapa variansi dari X ?

Minggu 8:MOMEN VARIABEL RANDOM Minggu 9,10:DISTRIBUSI SPESIAL Minggu 11,12:DISTRIBUSI BERSAMA VARIABEL RANDOM Mi Fungsi Pembangkit Momen (MGF)

Fungsi pembangkit momen (MGF) adalah fungsi riil yang dapat dibangkitkan untuk semua momen dari variabel radom.

Definisi 1.10 Misal X adalah suatu variabel random dengan fungsi pdf f (x). Fungsi riil M : R → R yang didefinisikan sebagai M(t) = E (e tX )

(7)

disebut fungsi pembangkit momen dari X , jika mean-nya ada untuk semua t dalam selang interval −h < t < h untuk suatu h > 0. Pada umumnya,tidak semua variabel random mempunyai fungsi pembangkit momen. Tetapi, jika fungsi pembangkit momen dari suatu variabel random ada, maka fungsi pembangkit momennya unique. Dengan menggunakan definisi mean dari variabel random, diperoleh representasi dari M(t) secara eksplisit, yakni: (P tx x∈RX e f (x) jika X diskrit


Contoh 1.11 Misal X adalah variabel random yang mempunyai fungsi pembangkit momen M(t) dan n adalah suatu bilangan asli. Berapa turunan ke-n dari M(t) pada t = 0?

Contoh 1.12 Tentukan MGF dari variabel random X yang mempunyai pdf: ( e −x untuk x > 0, f (x) = 0 yang lainnya. Kemudian, tentukan mean dan variansi-nya!

Contoh 1.13 Misal variabel random X mempunyai MGF, M(t) = (1 − t)−2 untuk t < 1. Berapa moment ketiga dari X ? Penyelesaian: Hitung turunan ketiga dari M(t) pada t = 0 untuk menghitung momen ketiga dari X , M(t) = (1 − t)−2


M 0 (t) = 2(1 − t)−3

M 00 (t) = 6(1 − t)−4 M 000 (t) = 24(1 − t)−5 Dengan demikian, momen ketiga dari X adalah

Teorema 1.14

24 (X 3 ) = random 5dengan = 24 fungsi pembangkit Misal X adalah suatuEvariabel (1 − 0) momen MX (t). Jika a dan b adalah dua bilangan riil konstanta, maka MX +a (t) = e at MX (t) (8) MbX (t) = MX (bt) t a t b M X +a (t) = e MX b b

(9) (10)


Minggu 9,10:DISTRIBUSI SPESIAL

Dalam bab ini dibahas beberapa distribusi penting. Dalam aplikasi, memungkinkan untuk menentukan bahwa distribusi mempunyai bentuk spesial yang diketahui. Biasanya distribusi spesial tergantung pada satu atau lebih dari satu parameter dan apabila harga numeris dari parameter diketahui, distribusi tertentu dengan lengkap.

Minggu 8:MOMEN VARIABEL RANDOM Minggu 9,10:DISTRIBUSI SPESIAL Minggu 11,12:DISTRIBUSI BERSAMA VARIABEL RANDOM Mi Distribusi Spesial Diskrit

Distribusi Bernoulli Sebuah eksperimen terdiri hanya satu trial, misal terdapat hanya 2 kejadian yaitu E dan E c yang dapat direpresentasikan sebagai ”head” dan ”tail” pada lemparan uang satu kali, mendapatkan barang ”rusak” atau ”bagus” pada pengambilan satu item dari suatu lot barang produksi pabrik, atau secara umum ”sukses” atau ”gagal” pada trial suatu eksperimen. Misal pada suatu eksperimen, probabilitas E terjadi dengan probabilitas p = P(E ) dan E c terjadi dengan probabilitas q = P(E c ) = 1 − p. Variabel random X yang berharga 0 atau 1 ini disebut variabel Bernoulli, dan hasil eksperimen yang hanya mempunyai 2 outcome disebut Bernoulli trial. Khususnya bila suatu eksperimen mempunyai 2 hasil yaitu ”sukses”(E ) atau ”gagal”(E c ) maka variabel Bernoulli yang berkorespondensi dengannya adalah ( 1 bila e ∈ E , X (e) = 0 bila e ∈ E c . Pdf X dapat disajikan sebagai f (0) = q dan bila f (1) = p. Disebut distribusi Bernoulli, yang secara matematis disajikan sebagai


Contoh 2.1 Eksperimen melempar sebuah dadu bersisi 4. Taruhan diletakkan pada hasil mata dadu 1 . Jadi E = {1}, E c = {2, 3, 4}, dan p = 1/4.

Contoh 2.2 Eksperimen mengambil kelereng secara random dari koleksi 10 kelereng hitam dan 20 kelereng putih. Dalam hal ini dapat dipandang ”hitam” sabagai sukses dan ”putih” sebagai gagal atau sebaliknya.Mendapatkan kartu hitam yang dikatakan sukses, p = 10/30 = 1/3 dan q = 20/30 = 2/3


Distribusi Binomial Kadang diperlukan eksperimen yang lebih kompleks, misalnya sejumlah trial Bernoulli yang diulang n kali secara independen, masing-masing dengan probabilitas sukses p. X menunjukkan banyaknya sukses, dikenal dengan pdf Binomial, dengan pdf dari X disajikan sebagai n f (x) = p x q n−x x = 0, 1, 2, ...n (12) x atau ditulis dengan notasi X ∼ B(n, p) dibaca X berdistribusi Binomial dengan banyak trial n dan probabilitas sukses untuk satu trial p, 0 ≤ p ≤ 1


Akan diturunkan beberapa sifat umum distribusi binomial. Bila X ∼ B(n, p), maka MX (t) = E (e

tX

)=

n X

e tx f (x)

x=0

=

=

=

n X x=0 n X x=0 n X x=0

n

! e tx p x q n−x

x n

! (pe t )x q n−x

x n x

! (pe t )x q n−x

= (pe t + q)n MX0 (t) = n(pe t + q)n−1 pe t , dengan demikian E (X ) = MX0 (0) = np. Selanjutnya MX ”(t) = n(n − 1)(pe t + q)n−2 p 2 e 2t + n(pe t + q)n−1 pe t , yang berarti E (X ) = MX ”(0) = n(n − 1)p 2 + np, sehingga Var (X ) = E (X 2 ) − [E (X )]2 = npq


Distribusi Hipergeometri Misal populasi terdiri dari N item, M diantaranya tipe 1, sisanya N − M item dari tipe 2. Misal n item diambil secara random tanpa pengembalian, dan X banyaknya item tipe 1 yang terambil. Dalam hal ini X dikatakan berdistribusi hipergeometri, sering ditulis dengan notasi X ∼ H(n, M, N). Pdf diskrit dari X diberikan oleh ! ! M N −M f (x) =

x

n−x ! N

, x = 0, 1, 2, ... min(n, m)

n Dapat ditunjukkan bahwa E (x) = nM/N V (x) = n(M/N)(1 − M/N)(N − n)/(N − 1)

(13)


Teorema 2.3 Apabila X berdistribusi Hipergeometri X ∼ H(n, M, N), x = 0, 1, ...n maka untuk N → ∞ dan M → ∞ dengan M N → p, konstanta positif berlaku ! ! M N −M ! x n−x n ! lim = p x (1 − p)n−x , (14) N,M→∞ x N n yang berarti bahwa distribusi binomial merupakan pendekatan dari distribusi hipergeometri.


Distribusi Geometri Pandang kembali trial bernoulli dengan probabilitas sukses p = E (X ). Pada distribusi binomial banyaknya trial tertentu yaitu n, dan variabel yang menjadi perhatian adalah banyaknya sukses. Sekarang pandang banyaknya trial yang diperlukan untuk menghasilkan sejumlah sukses yang ditentukan. Misal banyaknya trial yang diperlukan untuk mendapatkan sukses yang pertama adalah X , maka X dikatakan berdistribusi Geometri dengan parameter p, diberi notasi X ∼ Geo(p) dengan bentuk pdf sebagai berikut: g (x) = pq x−1 , x = 1, 2, 3, ... dan p = 1 − q Sifat probabilitas dipenuhi karena 0 < p < 1 dan ∞ ∞ X X g (x; p) = p q x−1 x=1

x=1

= p(1 + q + q 2 + ...) p =1 = p

(15)


Teorema 2.4 Apabila X berdistribusi Geometri, X ∼ Geo(p) maka X mempunyai sifat memoryless yaitu P(X > j + k/X > j) = P(X > k)

(16)

Contoh 2.5 Sampel dengan pengembalian. Lima buah kelereng diambil dari koleksi 10 kelereng hitam dan 20 kelereng putih, pengambilan dengan pengembalian. X merupakan banyaknya kelereng hitam yang terambil. Hitung P(X = 2) dan tulis pdf dari X . Penyelesaian : Untuk mengambil 2 kelereng hitam, dengan konsekuensi 3 kelereng putih karena diambil 5 kelereng maka didapat ! 5 10 2 20 3 P(X = 2) = 30 30 2 Dengan cara yang sama pdf dari X adalah ! 5 10 x 20 5−x P(X =Minggu x) = Minggu 8:MOMEN VARIABEL RANDOM 9,10:DISTRIBUSI SPESIAL Minggu 11,12:DISTRIBUSI BERSAMA VARIABEL RANDOM 30 30 x Distribusi Spesial Kontinu

Distribusi Uniform Variabel random kontinu terbatas pada interval (a, b) dan berharga konstan dalam interval tersebut. Dengan R b sifat probabilitas berakibat c = 1/(b − a) karena 1 = a cdx = c(b − a). Distribusi spesial ini disebut distribusi uniform pada interval (a, b) dengan pdf 1 a<x
a+b 2 (b − a)2 Var (X ) = 12 E (X ) =

(17)

(18)

Mi

Minggu 8:MOMEN VARIABEL RANDOM Minggu 9,10:DISTRIBUSI SPESIAL Minggu 11,12:DISTRIBUSI BERSAMA VARIABEL RANDOM Mi Distribusi Spesial Kontinu

Distribusi Gamma Distribusi kontinu yang sering terjadi pada aplikasi disebut distribusi Gamma. Nama ini diambil dari adanya hubungan dengan suatu fungsi yang disebut fungsi Gamma.

Definisi 2.6 Fungsi Gamma yang dinotasikan dengan Γ(κ) untuk setiap κ > 0, diberikan oleh Z ∞ Γ(κ) = t κ−1 e −t dt (19) 0

R∞ Sebagai contoh, jika κ = 1, maka Γ(1) 0 e −t dt = 1. Fungsi Gamma mempunyai beberapa sifat yang bermanfaat yang disajikan dalam teorema berikut:


Teorema 2.7 Fungsi Gamma memenuhi beberapa sifat: Γ(κ) = (κ − 1)Γ(κ − 1) Γ(n) = (n − 1)! √ 1 Γ = π 2

; κ>1

; n = 1, 2, . . .

(20) (21) (22)


Contoh 2.8 Banyaknya penguapan dalam inci di suatu sungai merupakan variabel random X yang berdistribusi Gamma, X ∼ Gam(0, 2; 6). Hitung probabilitas banyaknya penguapan melebihi suatu level, misalnya 2 inci. Penyelesaian: Z ∞ 1 x 6−1 e −x/0.2 dx P[X > 2] = 6 (0, 2) Γ(6) 2 = 1 − F (2; 0, 2 , 6) 5 X 10i −10 = e = 0.067 i! i=0

Contoh 2.9 Hitung mean dan variansi dari distribusi Γ(κ) Penyelesaian: ∞

x κ−1 e −x/θ MX (t) = e dx θκ Γ(κ) 0 Z ∞SPESIAL Minggu 11,12:DISTRIBUSI BERSAMA VARIABEL RANDOM Minggu 8:MOMEN VARIABEL RANDOM Minggu 9,10:DISTRIBUSI 1 = x κ−1 e (t−1/θ)x dx κ Distribusi Spesial Kontinu θ Γ(κ) 0 Z

tx

Dengan substitusi u = −(t − 1/θ)x, didapat Z ∞ 1 1 −κ u κ−1 e −u du DistribusiMEksponensial X (t) = ( − t) κ θ θ Γ(κ) 0 Variabel random kontinu X mempunyai distribusi Eksponensial −κ M (t) = (1 − θt) t < X dengan parameter θ > 0 diberi notasi X 1/θ ∼ Exp(θ) bila mempunyai pdf berbentuk Dengan memasukkan t = 0 pada derivatif pertama dan kedua dari 1 −x/θ f (x; θ) = e , x >0 (23) MX t didapat θ dan nol untuk x yang lain. CDF dari X adalah MX0 (0) = κθ(1 − θt)−κ−1 = κθ −x/θ F (x; θ) = 1 − e , x >0 MX ”(0) = κ(κ + 1)θ2 (1 − θt)−κ−2 = κ(κ + 1)θ2 θ merupakan parameter skala.

(24)

Mi


Distribusi eksponensial adalah keadaan kusus distribusi Gamma yaitu X ∼ Exp(θ) identik dengan X ∼ Gam(θ, 1) sehingga pdf Eksponensial mempunyai mean dan variansi E (X ) = 1θ = θ Var (X ) = 1θ2 = θ2

Theorem 1 Untuk variabel random kontinu X , X ∼ Exp(θ) berlaku P[X > a + t/X > a] = P[X > t]

(25)

untuk semua a > 0 dan t > 0. Bukti : P[X > a + t/X > a] = =

P[X > a + t dan X > a] P[X > a] P[X > a + t] P[X > a]

e −(a+t)/θ = e −a/θ = P[X > t]


Contoh 2.10 Misal komponen tertentu, sebut K mempunyai waktu tahan hidup X dalam jam yang berdistribusi X ∼ Exp(100). Hitung probabilitas komponen berusia paling sedikit 50 jam. Penyelesaian: Probabilitas komponen berusia paling sedikit 50 jam adalah P[X ≥ 50] = 1 − F (50; 100) = e −0,0,5 = 0, 6065


Distribusi Normal 1 f (x; µ, σ) = √ exp σ 2π

( ) 1 x −µ 2 2 σ

(26)

untuk −∞ < x < ∞, dimana −∞ < µ < ∞ dan 0 < σ < ∞. Biasa diberi notasi X ∼ N(µ, σ 2 ).


Minggu 11,12:DISTRIBUSI BERSAMA VARIABEL RANDOM

Definisi 3.1 Fungsi densitas probabilitas bersama (pdf bersama) dari variabel random diskrit berdimensi k, X = (X1 , X2 , . . . Xk ) adalah f (x1 , x2 , . . . xk ) = P[X1 = x1 , X2 = x2 , . . . Xk = xk untuk semua harga x = (x1 , x2 , . . . xk ) dari X .

(27)


Contoh 3.2 Dari 1 dek kartu bridge diambil 5 buah kartu. x1 banyaknya kartu merah. x2 banyaknya kartu daun. pdf bersama dari (x1 , x2 ) adalah 25 13 13 x1 x2 5 − x1 − x2 f (x1 , x2 ) = 52 5 x1 = 0, 1, ...5 x2 = 0, 1, ...5.


Perluasan distribusi hipergeometri: N item terdiri dari M1 tipe 1, M2 tipe 2 dst Mk tipe k. xi = banyaknya item tipe i. x = (x1 , . . . , xk ). P M1 M2 N − P Mi ... x1 x2 n − xi f (x1 , . . . , xk ) = N n

(28)


Contoh 3.3 Distribusi Multinominal (k + 1) kejadian saling asing E1 , . . . , Ek+1 pi = P(Ei ) i = 1, 2, . . . , k + 1 xi = n(Ei ) x = (x1 , . . . , xk ) berdistribusi multinominal X ∼ Mult(n, p1 , . . . , pk ) f (x1 , . . . xk ) =

n! xk+1 p1x1 p2x2 . . . pk+1 x1 ! . . . xk+1 !

(29)


Teorema 3.4 Fungsi f (x1 , . . . , xk ) adalah pdf bersama untuk vektor random diskrit X = (X1 , . . . , Xk ) bhb dipenuhi a. f (x1 , . . . , xk ) ≥ 0 untuk setiap (x1 , . . . , xk ) P P b. . . . f (x1 , . . . , xk ) = 1 x1

xk

Definisi 3.5 Pasangan (X1 , X2 ) dari variabel random diskrit mempunyai pdf bersama f (x1 , x2 ), pdf marginal dari X1 & X2 adalah P f1 (x1 ) = f (x1 , x2 ) & x2 P (30) f2 (x2 ) = f (x1 , x2 ) x1


Definisi 3.6 Pasangan (X1 , X2 ) dari variabel random kontinu mempunyai pdf bersama f (x1 , x2 ), pdf marginal dari X1 & X2 adalah R f1 (x1 ) = x2 f (x1 , x2 ) & R (31) f2 (x2 ) = x1 f (x1 , x2 )

Definisi 3.7 Sebarang fungsi f (x1 , x2 , . . . , xn ) dikatakan pdf bersama vektor random berdimensi k bila dan hanya bila a. f (x1 , . . . , xk ) ≥ 0 untuk setiap (x1 , . . . , xk ) R∞ R∞ b. −∞ . . . −∞ f (x1 , . . . , xk )dx1 . . . dxk = 1

Definisi 3.8 Cumulative Distribution Function (CDF), atau fungsi distribusi kumulatif, bersama dari k variabel random X1 , X2 , . . . , Xk didefinisikan sebagai F (x1 , x2 , . . . , xn ) = P[X1 ≤ x1 , X2 ≤ x2 , . . . , Xn ≤ xn ]

(32)


Definisi 3.9 Vektor random berdimensi k, X = (X1 , X2 , . . . , Xk ) disebut kontinu bila terdapat fungsi f (x1 , x2 , . . . , xk ) yang merupakan fungsi densitas probabilitas (pdf) bersama sedemikian hingga CDF bersamanya dapat ditulis Z xk Z x1 F (x1 , x2 , . . . , xk ) = f (t1 , . . . , tk )dt1 , . . . , dtk (33) ... −∞

−∞

untuk setiap x = (x1 , x2 , . . . , xn ).

Teorema 3.10 Fungsi F (x1 , x2 ) adalah CDF bivariat bila dan hanya bila memenuhi lim F (x1 , x2 ) = F (−∞, x2 ) = 0, ∀ x2

x1 →−∞

lim F (x1 , x2 ) = F (x1 , −∞) = 0, ∀ x1

x2 →−∞

lim F (x1 , x2 ) = F (∞, ∞) = 1

x1 →∞ x2 →∞


Contoh 3.11 X1 adalah konsentrasi zat pada trial pertama suatu eksperimen, sedangkan X2 adalah konsentrasi zat pada trial kedua. Dianggap pdf bersama kedua variabel random adalah f (x1 , x2 ) = 4x1 x2 ; 0 < x1 < 1, 0 < x2 < 1. Hitung CDF F (x1 , x2 ) Penyelesaian: CDF bersama adalah Z x2 Z x1 F (x1 , x2 ) = f (t1 , t2 )dt1 dt2 −∞ −∞ Z x2 Z x1 = 4t1 t2 dt1 dt2 =

−∞ 2 2 x1 x2

−∞

; 0 < x1 < 1, 0 < x2 < 1

Minggu 8:MOMEN VARIABEL RANDOM Minggu 9,10:DISTRIBUSI SPESIAL Minggu 11,12:DISTRIBUSI BERSAMA VARIABEL RANDOM Mi Fungsi Distribusi Bersyarat dan Independensi

Definisi 3.12 Probabilitas bersyarat Bila X1 dan X2 variabel random diskrit atau kontinu dengan pdf bersama f (x1 , x2 ), maka fungsi densitas probabilitas bersyarat untuk X2 disyaratkan X1 = x1 didefinisikan sebagai: f (x2 /x1 ) =

f (x1 , x2 ) f (x1 )

(34)

untuk setiap x1 sedemikian hingga f (x1 ) > 0, dan nol untuk yang lain.


Contoh 3.13 Pdf bersama pasangan X1 dan X2 adalah f (1, 1) = 0, 5 f (1, 2) = 0, 1

f (2, 1) = 0, 1

f (2, 2) = 0, 3

Hitung probabilitas X1 = 1 degan syarat X2 = 1 Penyelesaian : X fX2 (1) = f (x1 , 1) x1

= f (1, 1) + f (2, 1) = 0, 6

f (X1 = 1/X2 = 1) = = =

P(X1 = 1, X2 = 1) P(X2 = 1) f (1, 1) fX2 (1) 0, 5 5 = 0, 6 6


Definisi 3.14 Variabel Random Independen. Variabel random X1 , X2 , . . . , Xk dikatakan independen bila untuk setiap ai < bi P(a1 ≤ X1 ≤ b1 , . . . , ak ≤ Xk ≤ bk ) =

k Y

P(ai ≤ Xi ≤ b(35) i)

i=1

Teorema 3.15 Variabel random X1 , X2 , . . . , Xk independen bila dan hanya bila F (x1 , x2 , . . . , xk ) = F (x1 )F (x2 ) . . . F (xk )

(36)

f (x1 , x2 , . . . , xk ) = f (x1 )f (x2 ) . . . f (xk )

(37)



Akan disajikan bagaimana menghitung harga harapan fungsi variabel random U(X ) yang merupakan fungsi dari variabel random X1 , X2 , . . . , Xn .

Teorema 3.16 X = (X1 , . . . , Xk ) mempunyai pdf bersama f (x1 , . . . , xk ). Bila Y = u(x1 , . . . , xk ) merupakan fungsi dari X , maka E (Y ) = EX (u(x1 , . . . , xk )) dengan X X EX (u(x1 , . . . , xk )) = ··· u(x1 , . . . , xk )f (x1 , . . . , xk ) x

disk

Zk ...

xk

X

x

Z1 EX (u(x1 , . . . , xk )) =

untuk

u(x1 , . . . , xk )f (x1 , . . . , xk )dx1 . . . dxk x1

untuk

X


Teorema 3.17 X = (X1 , . . . , Xk ) mempunyai pdf bersama f (x1 , . . . , xk ). Bila Y = u(x1 , . . . , xk ) merupakan fungsi dari X , maka E (Y ) = EX (u(x1 , . . . , xk )) dengan P P EX (u(x1 , . . . , xk )) = R x1 · · R· xk u(x1 , . . . , xk )f (x1 , . . . , xk ) EX (u(x1 , . . . , xk )) = xk . . . x1 u(x1 , . . . , xk )f (x1 , . . . , xk )dx1 . . . dxk

; untuk X di ; untuk X ko

Teorema 3.18 Bila X1 dan X2 mempunyai pdf bersama f (x1 , x2 ), maka E (X1 + X2 ) = E (X1 ) + E (X2 )

(38)

Teorema 3.19 Bila X dan Y variabel random independen, maka untuk sebarang fungsi g (x) dan h(y ) berlaku: E (g (X )h(Y )) = E (g (X ))E (h(Y ))

(39)


Definisi 3.20 Kovariansi antara dua variabel random X1 dan X2 , diberi notasi Cov (X , Y ) = σXY = E [(X − µX )(Y − µY )]

(40)

Teorema 3.21 X = (X1 , . . . , Xk ) mempunyai pdf bersama f (x1 , . . . , xk ). Bila Y = u(x1 , . . . , xk ) merupakan fungsi dari X , maka E (Y ) = EX (u(x1 , . . . , xk )) dengan P P EX (u(x1 , . . . , xk )) = R x1 · · R· xk u(x1 , . . . , xk )f (x1 , . . . , xk ) EX (u(x1 , . . . , xk )) = xk . . . x1 u(x1 , . . . , xk )f (x1 , . . . , xk )dx1 . . . dxk

Teorema 3.22 Bila X dan Y dua variabel random, a dan b konstanta, maka Cov (aX , bY ) = ab · Cov (X , Y )

(41)

Cov (X + a, Y + b) = ab · Cov (X , Y )

(42)

Cov (X , aX + b) = a · Var (X )

(43)

; untuk X di ; untuk X ko


Teorema 3.23 Bila X dan Y dua variabel random independen, maka Cov (X , Y ) = 0

Teorema 3.24 Bila X1 dan X2 dua variabel random dengan pdf bersama f (x1 , x2 ) maka Var (X1 + X2 ) = Var (X1 ) + Var (X2 ) + 2Cov (X1 , X2 )

(44)

dan Var (X1 + X2 ) = Var (X1 ) + Var (X2 )

(45)

bila X1 dan X2 independen.


Definisi 3.25 Bila X dan Y variabel random dengan variasi σX2 dan σY2 dan kovariansi σXY = Cov (X , Y ), maka koefisien korelasi antara X dan Y adalah σXY ρ= (46) σX σY


Contoh 3.26 Pdf bersama pasangan X dan Y adalah f (x, y ) =

1 20

; 0 < x < 10, x − 1 < y < x + 1

Hitung korelasi antara variabel random X dan Y . Penyelesaian : 2 25 Variansi dari X adalah σ12 = (10) 12 = 3 , variansi dari Y adalah 2

2

2 26 σ22 = (10) 12 + 12 = 3 , dan kovariansi antara X dan Y adalah σ12 = E (XY ) − E (X )E (Y ) = 25 3 . Sehingga, koefisien korelasi antara X dan Y adalah r 25 25 ρ = q 3q = = 0, 981 26 25 26 3

3


Definisi 3.27 Bila X dan Y variabel random dengan pdf bersama f (x, y ), maka harga harapan bersyarat dari Y untuk X = x diberikan oleh (P yf (y /x) ; bila X dan Y diskrit E (Y /x) = R y ; bila X dan Y kontinu. y yf (y /x)


Minggu 13,14:RANTAI MARKOV Proses Stokasik adalah koleksi variabel random [X (t), t ∈ T ], yaitu X (t), t ∈ T merupakan variabel random. Indeks t merupakan waktu, X (t) dikatakan state dari proses pada waktu t. Misal X (t) bisa merupakan banyaknya pelanggan yang memasuki supermarket pada waktu t, atau banyaknya pelanggan pada waktu t, atau total penjualan pada waktu t. Himpunan T disebut indeks set dari proses. Bila T merupakan himpunan kontabel, proses disebut proses waktu diskrit. Bila T merupakan interval bilangan real, proses stokastik disebut proses waktu kontinu. Misal {Xn , n = 1, 2, . . . , n} disebut proses stokastik waktu diskrit dengan indeks bilangan bulat non-negatif, sementara {X (t), t ≥ 0} disebut proses stokastik waktu kontinu dengan indeks bilangan real non-negatif.


Pandang proses stokastik {Xn , n = 0, 1, 2, . . . } yang harganya sebanyak berhingga atau kontabel. Bila Xn = i, maka proses dikatakan pada state i pada waktu n. Misal proses pada state i, probabilitas pada waktu berikutnya pada state j dinotasikan dengan Pij tanpa memandang state pada waktu sebelumnya. P{Xn+1 = j/Xn = i, Xn−1 = in−1 , . . . , X1 = i1 , X0 = i0 } = Pij (47) untuk semua state i0 , i1 , . . . , in−1 dan semua n > 0. Proses stokastik semacam ini disebut Rantai Markov. Persamaan 47 dapat diberi interpretasi sebagai berikut, untuk suatu rantai Markov, distribusi bersyarat state yad Xn+1 diberikan state yang lalu X0 , X1 , . . . , Xn−1 dan state sekarang Xn , adalah independen terhadap state yang lalu, dan hanya tergantung pada state sekarang. Karena probabilitas non-negatif dan karena Harga Pij menunjukkan bahwa proses dari state i akan berpindah ke state j. Karena probabilitas non-negatif dan karena proses harus membuat transisi ke suatu state maka ∞ X Pij ≥ 0, i, j ≥ 0, Pij = 1, i = 0, 1, . . . (48)


P adalah matriks probabilitas transien satu step Pij   P00 P01 P02 · · · P10 P11 P12 · · ·     .. . . .. ..   .    Pi0 Pi1 Pi2 · · ·   .. .. .. . . .


Contoh 4.1 Ramalan Cuaca Misal kemungkinan hari hujan besok tergantung pada kondisi cuaca sebelumnya yaitu dari hari ini hujan atau tidak, dan tidak tergantung pada hari kemarin. Misal bila bari ini hujan, probabilitas besok hujan adalah α, sedang bila hari ini tidak hujan, probabilitas besok hujan adalah β. Hitung matriks probabilitas transisi situasi di atas Penyelesaian : P00 = Probabilitas hari ini hujan, besok hujan P01 = Probabilitas hari ini hujan, besok tidak hujan P00 = Probabilitas hari ini tidak hujan, besok hujan P01 = Probabilitas hari ini tidak hujan, besok tidak hujan Jadi, matriks probabilitas transisinya adalah α 1−α P=


Contoh 4.2 Sistim Komunikasi Pandang sistem komunikasi yang mentransmit digit 0 dan 1. Setiap digit yang ditransmit melalui beberapa fase, pada setiap fase mempunyai probabilitas p untuk tidak berubah. Misal {Xn , n = 0, 1, . . . } adalah rantai Markov dengan matriks probabilitas transisi: p 1−p P= 1−p p


Contoh 4.3 Seekor kucing bernama Gery bertempramen ceria(C), sedang(S) atau murung(M). Bila dia ceria hari ini, maka ia akan C ,S, atau G dengan probabilitas 0, 5; 0, 4; 0, 1. Bila dia sedang-sedang hari ini, probabilitas akan C ,S, atau G adalah 0, 3; 0, 4; 0, 3. Bila dia murung hari ini, probabilitas akan C ,S, atau G adalah 0, 2; 0, 3; 0, 5. Tulis matriks probabilitas transisinya. Penyelesaian : P00 = 0, 5 P01 = 0, 4 P02 = 0, 1 dan seterusnya, sehingga matriks  0, 5 P = 0, 3 0, 2

probabilitas transisinya adalah  0, 4 0, 1 0, 4 0, 3 0, 3 0, 5

Minggu 8:MOMEN VARIABEL RANDOM Minggu 9,10:DISTRIBUSI SPESIAL Minggu 11,12:DISTRIBUSI BERSAMA VARIABEL RANDOM Mi Persaman Chapman Kolmogorov

Telah didefinisikan probabilitas transisi satu step Pi,j , yang akan dikembangkan menjadi probabilitas transisi n step Pijn yaitu probabilitas proses dari state i akan berada pada state j setelah n transisi. Pijn = P[Xn+m = j/Xm = i],

n ≥ 0; i, j ≥ 0

(49)

Tentu saja Pij1 = Pij .


Teorema 4.4 Persamaan Chapman Kolmogorov memberikan metode untuk menghitung probabilitas transisi n step. Persamaan ini adalah Pijn+m

=

∞ X

m Pikn Pkj ,

untuk setiap n, m dan setiap i, j

(50)

k=0

Bukti : Pernyataan ini dapat dibuktikan sebagai berikut: Pijn+m = P[Xn+m = j/Xm = i] = = =

∞ X k=0 ∞ X k=0 ∞ X k=0

P[Xn+m = j, Xn = k/X0 = i] P[Xn+m = j/Xn = k, X0 = i]P[Xn = k/X0 = i] m Pikn Pkj


Bila P(n) adalah matriks probabilitas transisi n step Pijn maka dari persamaan 50 didapat Pn+m = Pn · Pm dengan ” · ” menyatakan perkalian matriks. Khususnya P(2) = P(1 + 1) = P · P = P2 Maka dengan induksi, P(n) = P(n − 1 + 1) = Pn−1 · P = Pn

Contoh 4.5 Dari contoh 4.1, α = 0, 7 dan β = 0, 4. Hitung probabilitas akan hujan setelah 4 hari bila diketahui hari yang ditentukan hujan. Penyelesaian : Matriks probabilitas transisi 1 step adalah 0, 7 0, 3 P= 0, 4 0, 6 Dengan demikian, 2 P(2) = P Minggu 8:MOMEN VARIABEL RANDOM Minggu 9,10:DISTRIBUSI SPESIAL Minggu 11,12:DISTRIBUSI BERSAMA VARIABEL RANDOM 0, 7 0, 3 0, 7 0, 3 = . Klasifikasi State 0, 4 0, 6 0, 4 0, 6 n State j dikatakan asesibel untuk 0, 61 state 0, 39 i bila Pij > 0 untuk suatu = n > 0. Hal ini mengakibatkan j asesibel dari state i bila dan 0, 52state 0, 48 kemungkinan proses akan berada di hanya bila mulai dari i ada 0, 5749 0, 4251 state j. Hal ini benar=karena jika j tidak asesibel dari i, maka 0, 5668 0, 4332 , ! ∞ [ P(memasuki statediinginkan j/berawaladalah dari state i) 0,= P (Xn = j) X0 = 1 4 = Probabilitas yang P00 5749 n=0

= =

∞ X n=0 ∞ X

P(Xn = j/X0 = i) Pijn

n=0

= 0 Dua state i dan j yang asesibel satu dengan yang lain disebut berkomunikasi dan ditulis i ↔ j. Sebagai catatan, setiap state berkomunikasi dengan dirinya sendiri karena dengan definisi: Pii0 = P(X0 = i/X0 = i) = 1

Mi

Minggu 8:MOMEN VARIABEL RANDOM Minggu 9,10:DISTRIBUSI SPESIAL Minggu 11,12:DISTRIBUSI BERSAMA VARIABEL RANDOM Mi Klasifikasi State

Relasi komunikasi memenuhi tiga sifat berikut 1

State i komunikasi dengan state i, untuk setiap i ≥ 0.

2

State i komunikasi dengan state j, maka state j komunikasi dengan state i.

3

State i komunikasi dengan state j, state j komunikasi dengan state k, maka state i komunikasi dengan state k.

Sifat 1 dan 2 dapat diturunkan langsung dari sifat komunikasi, sedang untuk sifat 3 misal i komunikasi dengan state j, state j komunikasi dengan state k, maka terdapat n dan m sedemikian m > 0. Dengan Chapman Kolmogorov didapat: hingga Pijn > 0,Pjk Pikn+m

=

∞ X

m m Pirn Prk ≥ Pijn Pjk

(51)

n=0


Dengan demikian, state k asesibel dari state i. Dengan cara yang sama, dapat ditunjukkan bahwa state i asesibel dari state k. Sehingga state i dan k berkomunikasi. Dua state saling berkomunikasi dikatakan berada dalam satu kelas. Suatu akibat yang mudah diturunkan dari 1, 2, dan 3, bahwa dari setiap kelas dari state adalah sama atau saling asing. Dengan kata lain, konsep komunikasi membagi ruang state menjadi sejumlah kelas yang separabel. Rantai markov disebut iredusibel bila hanya terdapat satu kelas yaitu jika semua state berkomunikasi satu dengan yang lain.


Contoh 4.6 Pandang rantai Markov terdiri dari 3 state 0, 1, 2 dengan matriks probabilitas transisi 1 1  0 2 2 P =  12 14 14  0 13 23 Tunjukkan bahwa rantai Markov ini iredusibel. Penyelesaian: Sebagai contoh adalah memungkinkan untuk pergi dari state 0 ke state 2 yaitu dari state 0 ke 1 dengan probabilitas 12 kemudian dari state 1 ke state 2 dengan probabilitas 14 . Dengan demikian rantai Markov ini iredusibel.

PENGANTAR MODEL PROBABILITAS

Recommend Documents