Pengantar Matematika Toeri, Soal, dan Pembahasan
PENGANTAR MATEMATIKA
i
RINJANI_STIS
Penyusun : Himpunan Mahasiswa Sekolah Tinggi Ilmu Statistik (STIS) asal Nusa Tenggara Barat . RINJANI STIS Email :
[email protected] Blog : rinjanistis.wordpress.com
ii
RINJANI_STIS
KATA PENGANTAR Segala puji bagi Allah SWT, karena atas berkah dan rahmat-Nya kami dapat menyelesaikan penulisan buku ini. Terima kasih kami haturkan bagi semua pihak yang telah berkontribusi dalam pembuatan buku ini. Buku ini disusun dengan harapan dapat bermanfaat bagi pembaca dalam mempelajari matematika. Dalam buku ini akan dibahas berbagau macam soal yang disertai dengan pembahasannya. Buku ini juga memberikan ulasan singkat tentang matematika. Semoga buku ini bermnfaat bagi semua pihak yang membutuhkan dan sekaligus dapat memberikan kontribusi kecil bagi pengembangan ilmu pengetahuan. Tak ada gading yang tak retak. Maka dari itu buku ini juga masih jauh dari kata sempurna. Kami mohon saran dan kritiknya untuk perbaikan dari buku ini.
JAKARTA, Oktober 2012
Tim Penyusun
iii
RINJANI_STIS
DAFTAR ISI KATA PENGANTAR DAFTAR ISI BAB I
NOTASI SIGMA DAN PRODUCT
1
Notasi Sigma
1
Teorema dan Sifat-Sifat
Notasi Product Teorema dan Sifat-Sifat
BAB II
BAB III
BAB IV
iv
3
4 5
Soal dan Pembahasan
7
FAKTORIAL, PERMUTASI DAN KOMBINASI
22
Faktorial
22
Permutasi
22
Kombinasi
23
Soal dan Pembahasan
24
TEOREMA BINOMIAL DAN MULTINOMIAL
32
Binomial
32
Identitas dan Segitiga Pascal
33
Rumus Binomial dengan n negative atau pecahan
34
Multinomial
35
Soal dan Pembahasan
37
TEORI HIMPUNAN, RELASI DAN FUNGSI
42
Himpunan
42
Definisi Himpunan
42
Penyajian Himpunan
42 RINJANI_STIS
Himpunan Universal dan Kosong
43
Himpunan Bagian (Subset)
43
Himpunan Sama
43
Himpunan yang Ekuivalen
44
Himpunan Saling Lepas
44
Operasi pada Himpunan
44
Jumlah Anggota pada Operasi Himpunan
45
Hukum-Hukun Himpunan
45
Relasi dan Fungsi
BAB V
v
46
Deinisi Relasi
46
Domain, Kodomain, Range
46
Definisi dan Fungsi
47
Jenis-Jenis Fungsi
47
Operasi pada Fungsi
47
Komposisi Fungsi
48
Soal dan Pembahasan
49
LIMIT DAN KEKONTINUAN
57
Limit
57 Menyelesaikan Limit
58
Limit-Limit Sepihak
59
Teorema Limit Utama
59
Teorema Substitusi
60
Teorema Apit
60
Limit Fungsi Trigonometri
60
Limit Trigonometri Khusus
60
Limit Tak Berhingga
61
RINJANI_STIS
Kekontinuan
BAB VI
61
Teorema Kekontinuan
62
Teorema Fungsi Komposit
62
Kekontinuan pada Selang
62
Teorema Nilai Antara
63
Soal dan Pembahasan
64
TURUNAN
65
Definisi Turunan
65
Aturan Pencarian Turunan
65
Turunan Sinus dan Cosinus
66
Hukum Rantai (Chain Rule)
66
Diferensiasi Fungsi Implisit
66
Turunan Ordo yang Lebih Tinggi
68
Soal dan Pembahasan
69
BAB VII APLIKASI TURUNAN
79
Maksimum dan Minimum
79
Kemonotonan dan Kecekungan
79
vi
Kemonotonan Grafik Fungsi
79
Kecekungan dan Titik Balik/Belok
80
Titik Belok
80
Maksimum dan Minimum Lokal
81
Definisi
81
Teorema A
81
Teorema B
82
Soal dan Pembahasan
83
RINJANI_STIS
BAB VIII INTEGRAL TERTENTU
BAB IX
93
Definisi 1
93
Definisi 2
94
Teorema Dasar Kalkulus
97
Sifat-Sifat Integral Tertentu
97
Soal dan Pembahasan
99
APLIKASI INTEGRAL TERTENTU
102
Menentukan Luas Daerah
102
Menentukan Luas Daerah diatas Sumbu-x
102
Menentukan Luas Daerah dibawah Sumbu-x
102
Menentukan Luas Daerah yang dibatasi Kurva y=f(x) dan terletak di sumbu-x 103 Menentukan Luas Daerah yang terletak diantara dua Kurva 103 Menentukan Volume Benda Putar
104
Menentukan Volume Benda Putar yang Diputar Mengelilingi Sumbu-x
104
Menentukan Volume Benda Putar yang Diputar Mengelilingi Sumbu-y
104
Menentukan Volume Benda Putar yang Dibatasi Kurva f(x) dan g(x) jika Diputar Mengelilingi Sumbu-x 105 Menentukan Volume Benda Putar yang Dibatasi Kurva f(y) dan g(y) jika Diputar Mengelilingi Sumbu-y 105 Metode Kulit Tabung
Soal dan Pembahasan
vii
105
106
RINJANI_STIS
NOTASI SIGMA DAN PRODUCT Dalam matematika dikenal banyak simbol yang digunakan untuk menyederhanakan penulisan persamaan matematika. Dua simbol yang sering digunakan adalah notasi sigma (Σ) untuk menyederhanakan penjumlahan dan notasi product (Π) untuk menyederhanakan perkalian.
1. NOTASI SIGMA (Σ)
Untuk menunjukkan jumlah ini dalam suatu bentuk yang kompak, kita tuliskan sebagai ∑
Penulisan penjumlahan seperti di atas akan lebih sederhana jika dituliskan ke dalam bentuk notasi penjumlahan. Notasi ini dikenal dengan notasi sigma (Σ) yang berasal dari huruf Yunani. Dimana Σ disebut dengan Tanda Penjumlahan, (i). Sebagai tanda penjumlahan yang menyatakan batas-batas penjumlah, dimulai dengan bilangan yang diperlihatkan di bawah tanda Σ dan berakhir dengan bilangan yang berada diatas tanda tersebut. Sehingga, ∑
∑
1
∑
dan, untuk n
m,
∑ ()
( )
Jika semua c dalam ∑
(
)
(
)
( )
mempunyai nilai sama, katakan c, maka
∑ Suku n
Sebagai suatu hasil, kita terima perjanjian
∑
Khususnya, ( )
∑
∑(
)
(
)
Lambang yang dipakai untuk indeks tidak menjadi masalah. Sehingga, variabel i, j, k disebut "dummy variable" karena variabelnya bisa diubah-ubah menjadi simbol lainnya. Simbol ini hanya berfungsi untuk iterasi (pengulangan) saja.
2
RINJANI_STIS
Teorema dan Sifat-sifat Andaikan {
+ dan { } menyatakan dua barisan dan
suatu
konstanta. Maka : ∑
∑
Bukti : ∑
(
)
∑(
)
∑
∑
∑
Bukti :
∑
∑
3
∑
RINJANI_STIS
∑(
)
∑
∑
(
∑
)
(
∑
∑
*
∑
2. NOTASI PRODUCT (
)(
)
(
)
(
)(
+
)
)
Untuk perkalian pada suku yang banyak, penulisannya dapat disederhanakan dengan menggunakan notasi perkalian atau notasi product yang disimbolkan dengan
.
∏
4
RINJANI_STIS
∏ Suku n
Teorema dan Sifat-sifat
∏
∏
∏
Dimana k adalah konstanta. Bukti : (
∏
)(
)(
( )(
∏(
)
(
)(
∏(
∏
5
)
)(
(
)
)
)
(
)
( )
∏
∏
∏
)
∏
RINJANI_STIS
)
∏(
∏
Bukti : ∏(
)
(
)(
)(
( )( )( )
∏(
)(
( )( )(
)
(∏
) )(
( )
(
) )
)
Di mana c adalah konstanta. Bukti : ∏(
)
( ) (
(∏
6
) (
)
(
)
(( ) (
)(
)
(
))
)
RINJANI_STIS
SOAL DAN PEMBAHASAN
1.
Hitunglah ∑
(
)
Jawab : ∑(
2.
)
∑
∑
∑
∑
(
)
Hitunglah ∑
(
)
Jawab : ∑(
)
∑ (
3.
∑ )
Hitunglah ∑
Jawab : ∑
7
RINJANI_STIS
Hitunglah ∑
4. Jawab : ∑
5.
Tentukan notasi dari
Jawab : ∑ (
6.
)
Tentukan notasi dari
Jawab : ∑
Jika ∑
7.
dan ∑
. Hitunglah ∑
(
) Jawab : ∑(
)
∑
∑ (
8
)
∑
∑
∑
∑ (
)
RINJANI_STIS
Jika ∑
8.
dan ∑
. Hitunglah ∑
(
. Hitunglah ∑
(
)
Jawab : ∑(
)
∑
∑
∑ (
∑ )
Jika ∑
9.
dan ∑
). Jawab : ∑(
)
∑
∑
∑ (
∑
∑
)
(
)
∑ ( )
Tentukan nilai n yang memenuhi, jika ∑
10.
(
)
Jawab : ∑
∑(
9
)
∑(
∑
)
RINJANI_STIS
∑(
)
(
∑( (
(
)
)
) )
(
)(
) n=6
11.
Hitunglah ∑
Jawab : ∑
12.
(
)
Hitunglah ∑
Jawab : ∑
13.
(
)(
)
Hitunglah ∑
Jawab : ∑
10
(
)(
)
RINJANI_STIS
Hitunglah ∑
14.
(
)
Jawab : ∑
(
)
∑( (
15.
) )
∑
(
∑
)
Cari suatu rumus untuk ∑
(
)(
)
Jawab : ∑(
)(
)
∑(
)
∑
∑
(
)(
∑ )
,
) -
(
16.
(
)
Tuliskan notasi sigma untuk 2 + 4 + 6 + ... + 10.
Jawab : 2 + 4 + 6 + ... + 10 = ∑ 17.
Tuliskan notasi sigma untuk 1 -3 + 5 – 7 + 9.
Jawab : 1−3+5–7+9=∑
11
(
)
(
)
RINJANI_STIS
18.
Tentukan nilai dari ∑
(
)
Jawab : ∑(
)
∑(
)
( ∑
∑ )
. (
19.
∑(
)
Tentukan nilai dari ∑
)
( ∑
/
(
(
)
(
)
)
)
Jawab : ∑(
)
∑ (
20.
)
Tentukan nilai dari ∑
Jawab : ∑(
)
∑(
)
∑
∑
(
12
)(
)
(
)
RINJANI_STIS
21.
Tentukan nilai dari ∑
(
)
Jawab : ∑(
)
∑(
)
∑
22.
∑
∑
Tentukan nilai dari ∑
Jawab : ∑
23.
Tentukan nilai dari ∑
Jawab : Batas indeksnya bisa diubah-ubah. Kita akan mengubah batas bawah indeks k mulai dari 1. Sehingga ∑
∑
(
)
atau
. Maka,
∑
∑
13
RINJANI_STIS
24.
Hitunglah ∑
Jawab : ∑
∑ (
25.
∑ )(
)
Hitunglah ∑
Jawab : ∑
26.
∑
∑
Hitunglah ∑
Jawab : ∑
14
∑
∑
RINJANI_STIS
27.
Hitunglah ∑
Jawab ∑
(
∑ ( (
28.
)
)((
(
)(
)
)( (
)
)
)
)
Hitunglah ∑
.
/
Jawab : ∑(
)
∑
∑
∑ ( (
29.
(
) )
)
Tunjukkan bahwa : 1.2 + 2.3 + ... + n (n+1) =
(
)(
)
Jawab : ( ∑(
15
)
)
RINJANI_STIS
∑
∑
(
)(
)
(
)(
)
(
)(
(
)( (
) (
)
) ) )(
)
Hitunglah ∑
30.
(
.
/
Jawab : ∑
.
31.
/
.
Hitunglah ∑
/
.
/
(
.
/
.
/
)
Jawab : ∑(
16
)
(
)
(
)
(
)
RINJANI_STIS
32.
Hitunglah ∑
.
(
)
/
Jawab : ∑(
33.
(
)
)
(
)
(
)
Tulislah 1 + 2 +
(
)
dalam notasi sigma dengan
batas bawah *J=0
**J = 1
***J = 2
Jawab : *∑ 34.
** ∑ Hitunglah
(
)
(
(
*** ∑
)
)
Jawab : ∏(
35.
(
)
Hitunglah
)(
)
(
)
(
(
))
Jawab : ∏(
17
)
(
)(
)
(
)
RINJANI_STIS
36.
Hitunglah
Jawab : ∏
37.
(
Hitunglah
)
Jawab ∏(
38.
)
(
) (
(
Hitunglah
)
(
)
)
Jawab : ∏(
39.
)
(
)(
Hitunglah
)
(
)
( )
Jawab : ∏( )
40.
Hitunglah
(
)
Jawab : ∏(
18
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
RINJANI_STIS
41.
Hitunglah
(∑
)
(
) )
Jawab : ∏ (∑ )
∏(
(
42.
∏
)
Hitunglah
[(∑
) ]
Jawab : ∏ [(∑
)
]
,( 43.
Hitunglah
∏[(
) ]
) - ,(
) -
[∑
]
Jawab : ∏ [∑ , 44.
]
,
- ,
- ,
-
Hitunglah
Jawab : ∏ (
45. 19
∏
∏
∏
)(
Tuliskan notasi dari
) ((
(
) )
)
RINJANI_STIS
Jawab : (
46.
)
∏
(
)
Tuliskan notasi dari
Jawab : ∏
Tuliskan notasi dari .
47.
/ .
/ .
/ .
/ .
/
Jawab : (
) (
) (
) (
48.
Jabarkan rumus ∑
) (
)
∏
Jawab : (
)
∑,(
)
(
)
-
∑(
)
∑
∑
∑
∑
20
RINJANI_STIS
Jabarkan rumus ∑
49. Jawab :
(
)
∑,(
)
(
)
-
∑(
∑
∑
)
∑
∑
(
)
∑
∑ (
21
)(
)
∑
RINJANI_STIS
FAKTORIAL, PERMUTASI, DAN KOMBINASI
1. FAKTORIAL Faktorial merupakan perkalian bilangan dengan bilangan berurutan dari bilangan n, terus mengecil sampai bilangan 1. Faktorial dinotasikan dengan tanda !. 7! = 7x6x5x4x3x2x1 n! = n! = nx(n-1)! 1! = 1 0! = 1 Untuk n yang sangat besar pendekatan dari n! bisa dihitung menggunakan rumus Stirling: √
Kaidah dasar menghitung : 1)
Kaidah Perkalian : percobaan 1 dan 2 = pxq
2)
Kaidah Penjumlahan : percobaan 1 atau 2 = p+q
2. PERMUTASI Permutasi adalah penyusunan kembali suatu kumpulan objek dalam urutan yang berbeda dari urutan yang semula dengan memperhatikan urutan.
22
RINJANI_STIS
Permutasi-r dari n objek adalah jumlah kemungkinan urutan r buah objek yang dipilih dari n buah objek, dengan r ≤ n dapat dinotasikan dengan P(n,r).
Permutasi Siklis Banyaknya permutasi n benda berlainan yang disusun melingkar adalah : (n-1)!
Permutasi benda berlainan Banyaknya permutasi yang berlainan dari benda n benda bila n1 diantaranya berjenis pertama, n2 berjenis kedua,..., nk berjenis ke k adalah :
Permutasi dengan Perulangan (
)
3. KOMBINASI Kombinasi adalah pengelompokan suatu unsur dari kelompoknya dengan pilihan dari unsur yang tersedia tanpa memperhatikan urutannya. Kombinasi dinotasikan dengan C(n,r). (
(
)
Kombinasi dengan Perulangan (
23
)
)
RINJANI_STIS
SOAL DAN PEMBAHASAN 1.
Hitunglah
!
Jawab :
2.
Buktikan 0! = 1
Jawab : (n+1)! = n! (n+1) (0+1)! = 0! (0+1) 0! = 1 (
3.
Sederhanakanlah (
) )
Jawab : ( (
) )
4.
(
)( )( (
) )
(
)
Tulislah 45 dalam bentuk notasi faktorial!
Jawab :
5.
Dalam suatu perlombaan nyanyi, ke-8 orang yang masuk ke final
terdiri atas 3 pelajar dan 5 mahasiswa. Carilah banyaknya kemungkinan urutan hasil perlombaan untuk : a)
keseluruhan masuk final
b)
ke 3 pemenang pertama
Jawab : a) b) 24
8! = 40320 =(
)
= =336 RINJANI_STIS
6.
Lima stiker akan ditempel secara berderet pada tempat yang
disediakan .Jika di antara kelima stiker tersebut satu stiker selalu menempati posisi tengah , maka banyak cara menempel ? Jawab : Misalkan kelima stiker itu adalah A,B,C,D,E. Misalkan stiker yang di tengah adalah stiker C. Maka hanya ada satu kemungkinan untuk posisi di tengah. Kemudian, posisi yang lain ditempati oleh A,B,D, dan E. Banyak susunannya adalah 4⋅3⋅1⋅2⋅1=4!=24. 7.
Terdapat 2 orang Amerika, 3 orang Indonesia, dan 4 orang China,
yg duduk berjajar pada 9 kursi kosong. Tentukan : a.
banyaknya formasi duduk
b.
banyaknya formasi jika 3 orang Indonesia harus selalu berdampingan
Jawab : a.
= 362880
b.
x
8.
Tersedia 6 huruf a,b,c,d,e,f. Berapa jumlah pengurutan 3 huruf jika
= 30240
a)
tidak ada huruf yang diulang
b)
boleh ada huruf yang berulang
c)
tidak boleh ada huruf yang berulang tapi huruf e harus ada
Jawab : a)
=(
)
= =120
b) c)
Karena huruf “e” harus ada maka satu kemungkinan dari 3 huruf sudah terisi 5x4x1 = 20 Huruf “e” bisa berada diketiga tempat yang disediakan maka banyak kemungkinan keseluruhan adalah 20x3=60
25
RINJANI_STIS
9.
Rani akan membuat gelang yang berisi pernak-pernik. Misal
terdapat 5 jenis pernik besar dan 5 jenis pernik kecil. Pada setiap gelang diisi kelima jenis pernik besar dan diantara pernik besar terdapat lima pernik kecil. Maka rani akan mendapat sejumlah gelang yang beraneka warna. Banyak gelang yang bisa dibuat rani? Jawab : Perhatikan bahwa pernak-pernik itu disusun melingkar dengan susunan selang-seling antara pernik besar dan pernik kecil. Banyaknya cara menyusun pernik besar adalah (5−1)!. Banyaknya cara menyusun pernik kecil adalah (5−1)!. Sehingga, banyaknya cara menyusun pernak-pernik itu adalah (5−1)!×(5−1)!=(4!)2=576. 10.
Dari 100.000 buah bilangan bulat positif pertama, berapa banyak
bilangan yang mengandung tepat 1 buah angka 3, 1 buah angka 4, dan 1 buah angka 5? Jawab :
Bilangan 100.000 tidak memenuhi, jadi hanya ada 5 digit yang harus dipenuhi
Ada 5 cara untuk menempatkan angka 5, sisa tempat kosong tinggal 4
Ada 4 cara untuk menempatkan angka 4, sisa tempat kosong tinggal 3
Ada 3 cara untuk menempatkan angka 3, sisa tempat kosong tinggal 2
Selain angka, 3, 4, dan 5 boleh diisi berulang. Jadi untuk kedua tempat yang masih kosong dapat diisi masing-masing dengan 7 angka
Banyak bilangan yang dapat dibentuk sesuai dengan aturan tersebut adalah 5.4.3.7.7 = 2940
26
RINJANI_STIS
11.
Berapa banyak string yang dapat dibentuk dari huruf-huruf kata
“CONGRESS” sedemikian sehingga dua buah huruf “S” tidak terletak berdampingan. Jawab : String tersebut tersusun atas 8 buah huruf, dan terjadi pengulangan dua kali untuk salah satu hurufnya (huruf “S”) Jika kedua huruf “S” boleh sembarang letaknya (tidak ada aturan khusus untuk huruf “S”), maka jumlah string berbeda yang dapat dibentuk adalah: 8!
8.7.6.5.4.3.2!
2!
2!
= 8.7.6.5.4.3 = 20160
Jika kedua huruf “S” harus berdampingan, maka jumlah string berbeda yang terjadi adalah sama dengan permutasi dari 7 huruf dari 7 huruf yang tersedia, dimana tidak ada karakter yang berulang yaitu: P(7,7) =
7! (7 7)!
7! 0!
7! 1
= 7.6.5.4.3.2 = 5040
Jadi jumlah string berbeda yang dapat dibentuk dari huruf-huruf tersebut apabila dua huruf “S” tidak boleh berdampingan adalah: 20160 – 5040 = 15120 macam 12.
Suatu pohon Natal dihias dengan 9 bola lampu yang dirangkai seri.
Ada berapa cara menyusun 9 bola lampu itu bila 3 diantaranya berwarna merah, 4 kuning, dan 2 biru? Jawab : Soal di atas merupakan permutasi benda berlainan jenis = 13.
=1260 cara Jika huruf-huruf pada kata "BOROBUDUR" dipertukarkan, berapa
banyak susunan huruf berbeda yang dapat diperoleh? 27
RINJANI_STIS
Jawab : Pada kata BOROBUDUR terdapat 9 huruf dengan huruf B diulang 2 kali, huruf O diulang 2 kali, huruf R diulang 2 kali, dan huruf U diulang 2 kali. Banyaknya susunan huruf berbeda yang diperoleh diberikan oleh rumus berikut:
14.
Dalam berapa carakah 6 orang dapat diantrikan masuk ke bis? Bila
3 orang tertentu bertahan harus saling menyusul satu sama lain, ada berapa banyak cara yang mungkin? Bila 2 orang tertentu tidak mau saling menyusul langsung, berapa banyak cara yang mungkin? Jawab : a)
6! = 720
b)
3!x4! = 144 (3! merupakan banyak cara 3 orang tersebut diurutkan sedangkan 4! merupakan banyak cara 6 orang mengantri dimana 3 orang dianggap sebagai 1 kelompok (jadi ada 4 kelompok))
c)
Banyak cara antrian semuanya = 720 Banyak cara jika 2 orang mau saling menyusul langsung = 2!x5! = 240 Jadi banyak cara jika 2 orang tidak mau saling menyusul langsung = 720 – 240 = 480
15.
C(n,4) = 35. Tentukan nilai n2!
Jawab : C(n,4) = 35
=
(
)
(
)(
)( (
)(
)
)
35 x 4! = n(n-1)(n-2)(n-3) 35 x 24 = n4 – 6n3 + 11n2 – 6 28
RINJANI_STIS
n4 – 6n3 + 11n2 – 846 = 0 n=7 n2 = 49 16.
Di antara 10 orang mahasiswa Teknik Informatika Angkatan 2002,
berapa banyak cara membentuk sebuah perwakilan beranggotakan 5 orang sedemikian sehingga: a.
mahasiswa bernama A selalu termasuk di dalamnya;
b.
mahasiswa bernama A tidak termasuk di dalamnya;
c.
mahasiswa bernama A selalu termasuk di dalamnya, tetapi B tidak;
d.
mahasiswa bernama B selalu termasuk di dalamnya, tetapi A tidak;
e.
mahasiswa bernama A dan B termasuk di dalamnya;
f.
setidaknya salah satu dari mahasiswa yang bernama A atau B termasuk di dalamnya.
Jawab : a.
C(9, 4) = 126 cara.
b.
C(9, 5) = 126 cara.
c.
C(8, 4) = 70 cara.
d.
C(8, 4) = 70 cara.
e.
C(8, 3) = 56 cara.
17.
Ada 5 orang mahasiswa jurusan Informatika dan 7 orang
mahasiswa jurusan Elektro. Berapa banyak cara membentuk panitia yang terdiri dari 4 orang jika:
29
a.
tidak ada batasan jurusan
b.
semua anggota panitia harus dari jurusan Matematika
c.
semua anggota panitia harus dari jurusan Informatika
d.
semua anggota panitia harus dari jurusan yang sama
e.
2 orang mahasiswa per jurusan harus mewakili
RINJANI_STIS
Jawab : a.
C(12,4) = 495
b.
C(5,4)xC(7,0) = 5
c.
C(7,4)xC(5,0) = 35
d.
C(5,4)xC(7,0) + C(7,4)xC(5,0) = 5+35 = 40
e.
C(5,2)xC(7,2) = 210
18.
Berapa banyak cara membentuk sebuah panitia beranggotakan 5
orang yang dipilih dari 7 orang pria dan 5 orang wanita jika di dalam panitia tersebut paling sedikit beranggotakan 2 orang wanita? Jawab: Jika mengandung 2 orang wanita = C(7,3) x C(5,2) = 350 cara Jika mengandung 3 orang wanita = C(7,2) x C(5,3) = 210 cara Jika mengandung 4 orang wanita = C(7,1) x C(5,4) = 35 cara Jika semuanya wanita = C(7,0) x C(5,5) = 1 Total semuanya = 596 cara 19.
Sebuah perusahaan membutuhkan karyawan yg terdiri dari 5 putra
dan 3 putri. Jika terdapat 15 pelamar, 9 diantaranya putra. Tentukan banyaknya cara menyeleksi karyawan! Jawab : Pelamar putra = 9 dan pelamar putri = 6 Banyak cara menyeleksi = C(9,5) x C(6,3) = 2520 20.
Ada 10 soal di dalam ujian akhir Matematika Diskrit. Berapa
banyak cara pemberian nilai (bilangan bulat) pada setiap soal jika jumlah nilai keseluruhan soal adalah 100 dan setiap soal mempunyai nilai paling sedikit 5. Jawab dalam notasi kombinasi. (contoh soal kombinasi dengan perulangan)
30
RINJANI_STIS
Jawab : Andaikan kita tidak menghitung lagi nilai minimal masing-masing soal 5 x 10 = 50 100 – 50 = 50 Jadi sekarang ada nilai sejumlah 50 yang harus didistribusikan ke 10 soal n = 10, r = 50, maka banyak cara pemberian nilai adalah: C(10+50-1, 50) = C(59, 50) = 21. Berapa banyak solusi bilangan bulat dari x1 + x2 + x3 = 11 jika x1 > 1, x2 4, dan x3 = 1. (contoh soal kombinasi dengan perulangan) Jawab : Nilai x3 = 1, maka x1 + x2 = 10 Nilai x1 minimum 2, sisa yang belum dibagikan = 10 – 2 = 8 Nilai x2 maksimum 4
Jika nilai x2 ≥ 0 (x2 minimum 0), maka ada 8 nilai lagi yang harus didistribusikan ke x1 dan x2 n = 2, r = 8 C(2 + 8 – 1, 8) = C(9, 8) = 9
Jika nilai x2 ≥ 5 (x2 minimum 5), maka ada 8 – 5 = 3 nilai lagi yang harus didistribusikan ke x1 dan x2 n = 2, r = 3 C(2 + 3 – 1, 3) = C(4, 3) = 4
Jadi jika x2 4, jumlah solusi bilangan bulat yang mungkin adalah 9 – 4 = 5 kemungkinan
31
RINJANI_STIS
TEOREMA BINOMIAL DAN MULTINOMIAL
1.
BINOMIAL
Rumus Binomial untuk n bilangan positif: ( a+b )n = ( ) ( a+b )n = ∑
(
)
(
)
( )
( )
Dengan koefisien binomial: . /
(
)
Contoh: 1. Ekspansikan ( a+b )5! Jawab: ( a+b )5= ∑ =( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
= a5 + 5a4b + 10a3b + 10a2b3 + 5ab4 + b5
2.
Jabarkan ( 3x – 2 )3!
Jawab: Misal: a = 3x b = -2 ( a+b )3 = ( )
( )
( )
( )
= a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 = 3x3 + 3(3x)2(-2) + 3(3x)(-2)2 + (-2)3 = 3x3 + 27x2(-2) + 9x.4 – 8 = 3x3 – 54x2 + 36x -8 32
RINJANI_STIS
Untuk menentukan suku yang memuat pangkat tertentu dari suatu persamaan ( x+y )n terlebih dahulu diubah ke dalam bentuk suku umum ( )
, di mana i merupakan pangkat dari suku yang dicari.
Contoh: 1.
Tentukan suku yang memuat x10 dari ( 2x2-y3 )8 !
Jawab: Suku umum: ( )(
)
=( )
=( )
( (
(
) )
)
= = -1792x10y9 Untuk mencari nilai i: x16-2i = x10 16-2i = 10 2i = 6 i=3 Jadi suku yang memuat x10 adalah -1792x10y9.
Identitas & Segitiga Pascal (
)
.
/
. /
n & k bilangan bulat positif
33
RINJANI_STIS
Bukti: (
)
.
(
/
) )
(
. /
(
) (
=(
) (
) ( (
=(
)
(
) )
)
(
)
) ) (
=(
(
( )(
(
=( =
)
)
) )
(
)
( terbukti )
)
Rumus Binomial dengan n negative atau pecahan
(
(
) (
)(
) (
)
(
)(
)
(
)(
)( ) (
)
Contoh: 1.
Ekspansikan (2 - 3x)4 sampai 4 suku!
Jawab: (
)
(
34
(
( ) )(
)(
)( ) ( )( ) (
)
)
)
RINJANI_STIS
2.
MULTINOMIAL
Suku umum dari multinomial (a1+a2+a3+…+ai)n untuk n positif adalah: (
)
Contoh: Carilah suku yang memuat x11 dan y4 dari (2x3-3xy2+z2)6! Jawab: (
)(
) (
) ( )
Mencari nilai a:
Mencari nilai b:
x3a .xb = x11
y2b = y4
3a+b = 11
2b = 4
3a+2 = 11
b=2
a=3 Mencari nilai c: a+b+c = 6 3+2+c = 6 c=1 Jadi suku yang memuat x11 dan y4 adalah: (
)(
=
(
)(
)( )
)
= 4320 x11y4z2
35
RINJANI_STIS
Suku umum dari (a+b+c+d+…)n untun n negative atau pecahan adalah: (
)(
)(
)
(
)
Di mana i merupakan bilangan bulat positif
36
RINJANI_STIS
SOAL DAN PEMBAHASAN 1.
Ekspansikan (a+b)6 !
Jawab: (
)
( )
( )
2.
( )
( )
( )
( )
( )
Ekspansikan (x-2y)5 !
Jawab: (
)
( ) (
3.
( ) )
( )
( )(
(
)
( )
(
)
(
( )
)
)
Berapakah suku keenam dari ekspansi (
) !
Jawab: (
)
( )(
( )(
) .
/
( ).
( ).
/ (
)
/ (
)
= 126(16x2)(-
)
)
( ).
/ (
)
( ).
/ (
)
Suku keenamnya adalah: ( ) .
/ (
)
=
37
RINJANI_STIS
Berapakah koefisien suku yang mengandung x14 dari ekspansi
4.
(x+2x3)10! Jawab: Suku umum: ( )
(
=( )
(
) )
= 45x84x6 =180x14 Cara mencari nilai i: x10-i x3i= x14 10-i+3i = 14 2i = 4 i=2 Jadi koefisien x14 adalah 180. Ekspansikan empat suku pertama dari (3a-2b)-2!
5.
Jawab: (
(
)
(
)(
6.
)(
)(
)
(
(
)
)(
)
(
)
(
)(
)(
)
(
)
)
Ekspansikan empat suku pertama dari (
) !
Jawab: (
38
)
( )
.
/
.
/(
)
RINJANI_STIS
7.
Carilah koefisien x2 y3 z4 dari persamaan (ax-by+cz)9!
Jawab: (
)(
) (
) ( )
Mencari nilai d:
Mencari nilai e:
xd = x2
ye = y3
d=2
e=3
Mencari nilai f: zf = z4 f=4 suku yang memuat x2 y3 z4 adalah: (
)(
) (
) ( )
Jadi koefisiennya adalah: (
8.
)
Carilah koefisien a3b3c dari persamaan (2a+b+3c)7!
Jawab: (
39
)(
) ( ) (
)
Mencari nilai d:
Mencari nilai e:
ad = a3
be = b3
d=3
e=3 RINJANI_STIS
Mencari nilai f: cf = c f=1 suku yang memuat a3b3c adalah: (
)(
) ( ) (
)
Jadi koefisiennya adalah: ( )
9.
Cari koefisien x3 dari persamaan (1-3x-2x2+6x3) !
Jawab: . /.
/
(
)
(
) (
) ( )
Jadi koefisiennya adalah: ( )
40
( )(
)(
)(
)
. /.
/.
/
(
)
RINJANI_STIS
10. (
√ )
(
√ )
Jawab: =(( ) (( )
( ) ( ) √
41
(√ )
( )
(√ )
( √ )
( )
( √ )
√
( ) (√ ) ( ) ( √ ) (√ )
( )(√ ) ) ( )( √ ) ) (√ )
RINJANI_STIS
TEORI HIMPUNAN, RELASI DAN FUNGSI
1.
HIMPUNAN Definisi Himpunan Himpunan : Suatu kumpulan/gugusan dari sejumlah obyek (kumpulan obyek yang berbeda). Secara umum himpunan dilambangkan A, B, C, ...... Z (huruf capital) Obyek dilambangkan a, b, c, ..... z (disebut juga anggota, elemen, atau unsur) Notasi :
- p A p anggota A - A B A himpunan bagian/subset dari B - A B A proper subset dari B - A = B himpunan A sama dengan B - ingkaran/bukan anggota
Anggota himpunan ditulis di dalam kurung kurawal {} Banyak anggota himpunan A: n(A) Penyajian Himpunan Mendaftar semua anggota menuliskan setiap anggota dalam kurung kurawal misal A = {1,2,3,4,5} Notasi pembentuk himpunanmenuliskan sifat-sifat yang ada pada semua anggota misal B = {x R | 0 < x < 6}
42
RINJANI_STIS
Diagram Venn:
Himpunan Universal dan Kosong Himpunan universal (semesta): himpunan semua obyek yang dibicarakan Notasi: S atau U Himpunan kosong: himpunan yang tidak mempunyai anggota Notasi: atau { } Contoh U = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 } A = {0,1,2,3,4} B = {5,6,7,8,9 } C = {0,1,2,3,4 } Ø={} Himpunan Bagian (Subset) A himpunan bagian dari B jika dan hanya jika setiap anggota A adalah anggota B. Notasi: A B aA, aB A dan A A, A adalah himpunan bagian tak sebenarnya dari A. Jika A B tetapi A B, maka A adalah himpunan bagian sebenarnya dari B. Untuk himpunan yang mempunyai n anggota, banyak himpunan bagiannya adalah 2n. Himpunan Sama Himpunan A sama dengan himpunan B jika dan hanya jika setiap anggota A adalah anggota B dan setiap anggota B adalah anggota A. 43
RINJANI_STIS
Notasi: A = B aA, aB dan bB, bA atau A = B A B dan B A Himpunan yang Ekivalen Himpunan A ekivalen dengan himpunan B jika dan hanya jika banyak anggota A sama dengan banyak anggota B. Notasi: A B n(A) = n(B) Himpunan Saling Lepas Dua himpunan dikatakan saling lepas (disjoint) jika keduanya tidak memiliki anggota yang sama. Notasi: A B Operasi pada Himpunan Gabungan (Union) A B = {x | x A atau x B}
Irisan (Intersection) A B = {x | x A dan x B}
Selisih A – B = {x | x A tetapi x B}
Komplemen AC = {x | x U tetapi x A} = U – A
44
RINJANI_STIS
Jumlah Anggota pada Operasi Himpunan Pada himpunan A dan B n( A B) n( A) n( B) n( A B) Pada himpunan A, B, dan C n( A B C ) n( A) n( B) n(C ) n( A B) n( A C )
n( B C ) n ( A B C )
Pada himpunan A, B, C, dan D n( A B C D) n( A) n( B) n(C ) n( D) n( A B) n( A C ) n( A D) n( B C ) n( B D) n(C D) n( A B C ) n( A B D ) n( A C D ) n( B C D ) n( A B C D )
Hukum-Hukum Himpunan Idempoten AUA=A
A∩A=A
Komutatif AUB=BUA
A∩B=B∩A
Asosiatif (A U B) U C = A U (B U C) (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) Distributif A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ (A U C) A ∩ (B U C) = (A ∩ B) U (A ∩ C) Hukum Identitas AUØ=A
A∩U=A
Hukum null/dominasi A∩Ø=Ø
AUU= U
Hukum komplemen A U AC = U, A ∩ AC = Ø, UC = Ø, ØC = U
45
RINJANI_STIS
Hukum Involusi (AC)C = A Hukum De Morgan (A U B)C = AC ∩ BC
2.
(A ∩ B)C = AC U BC
RELASI dan FUNGSI Definisi Relasi Relasi adalah suatu aturan yang menghubungkan anggota suatu himpunan dengan anggota himpunan lain Contoh relasi
Domain, Kodomain, Range
Relasi dari A ke B: faktor dari Domain (daerah asal) = A = {2,3,4,7} Kodomain (daerah kawan) = B = {1,2,3,4,5,6} Range (daerah hasil) = himpunan semua anggota B yang dipasangkan dengan anggota A = {2,3,4,6} Range B 46
RINJANI_STIS
Definisi Fungsi Fungsi adalah relasi khusus yang menghubungkan setiap anggota suatu himpunan dengan tepat satu anggota himpunan lain.
f:AB x f(x) Fungsi: xA, yB y = f(x) x variabel bebas, y bergantung pada x berdasarkan aturan tertentu Jenis-Jenis Fungsi Fungsi konstan, fungsi polinomial, fungsi rasional Fungsi genap, f(–x) = f(x) x grafik fungsi simetris terhadap sumbu y Fungsi ganjil, f(–x) = –f(x) x grafik fungsi simetris terhadap titik asal Fungsi nilai mutlak, Ingat definisi nilai mutlak Fungsi floor, x = bilangan bulat terbesar yang lebih kecil dari atau sama dengan x. Operasi pada Fungsi Dua fungsi dapat ditambahkan, dikurangi, dikali, atau dibagi Misal terdapat 2 fungsi, f dan g Domain f + g, f – g, f g adalah irisan domain f dan g 47
RINJANI_STIS
Domain f/g adalah irisan domain f dan g dengan g 0 Komposisi Fungsi Misal f : A → B dan g : B → C, maka h : A → C disebut fungsi komposisi, dilambangkan dengan g ο f. f
g
x f(x) g(f(x)) h (g ο f)(x) = g(f(x)) (f ο g)(x) = f(g(x)) Domain f ο g adalah x yang merupakan domain g dimana g(x) adalah domain f.
48
RINJANI_STIS
SOAL DAN PEMBAHASAN 1.
Gambarkan sebuah diagram venn untuk menunjukkan himpunan universal U dan himpunan-himpunan bagian A serta B jika: U = {1,2,3,4,5,6,7,8 } A = {2,3,5,7} B = {1,3,4,7,8 } Kemudian selesaikan: (a) A – B
(d) A U B
(g) U – (A U B)
(b) B – A
(e) A ∩ BC
(h) A ∩ (A U B)
(c) A ∩ B
(f) B ∩ (AC)C
(i) A U (A ∩ B)
Jawab: a.
{2,5}
b.
{1,4,8}
c.
{3,7}
d.
{1,2,3,4,5,7,8}
e.
{2,5}
f.
{3,7} huk. Involusi
g.
{6}
h.
{2,3,5,7}
i.
{2,3,5,7}
2.
Berapa banyak bilangan bulat dari 1 sampai 100 yang habis dibagi 3 atau 5?
Jawab: Seperti yang telah kita ketahui bahwa bilangan bulat adalah semua bilangan dari -∞ sampai dengan ∞. Jadi A={3,6,9,12,15,…99} himpunan yang habis dibagi 3 (kelipatannya)
49
RINJANI_STIS
B={5,10,15,20,…100} himpunan yang habis dibagi 5 (kelipatannya) U= {1,2,3,4,5,…100} himpunan semesta Karena yang diminta adalah bilangan bulat dari 1 sampai 100 yang habis dibagi 3 atau 5 A B = {x | x A atau x B}
3.
Dari 120 mahasiswa, 100 orang mengambil paling sedikit satu mata kuliah pilihan, yaitu QC (quality kontrol), LP (linear programming), dan RA (regression analysis). Diketahui: 65 orang mengambil QC, 45 orang mengambil LP, 42 orang mengambil RA, 20 orang mengambil QC dan LP, 25 orang mengambil QC dan RA, dan 15 orang mengambil LP dan RA. Berapa mahasiswa yang mengambil 3 mata kuliah sekaligus?
Dik: U = 120 (himpunan semesta) ≥ 1 mata kuliah = 100 QC= 65
LP=45
QC+LP=20
QC+RA=25
RA=42 LP+RA=15
Dit: Banyaknya orang yang mengambil 3 mata kuliah? Misalkan dengan X=QC+LP+RA Jawab:
QC=65
LP=45
RA=42
QC=65 - (45-X)
LP=45- (35-X)
RA=42- (40-X)
QC=20+X
LP=10+X
RA=2+X
Ada 100 orang yang mengambil paling sedikit 1 mata kuliah ada 20 org ygan tidak mengambil mata kuliah apapun. U
=(20+X) + (10+X) + (2+X) + (20-X) + (25-X) + (15-
X) + X +20 120
=92+X+20
120
=112+X
120-112= X X=8 50
RINJANI_STIS
4.
Sebuah kelompok penelitian membagi penelitian dalam 4 bidang. Dari 100 orang anggota kelompok, 30 orang meneliti bidang 1, 20 orang bidang 2, bidang 3 dan 4 masing-masing 25 orang. Ada 10 orang masing-masing meneliti 2 bidang. Sebanyak 5 orang masingmasing meneliti 3 bidang. Ada 2 orang yang meneliti keempat bidang. Berapa orang yang berpartisipasi dalam penelitian? Berapa orang yang meneliti bidang 1 saja?
Dik: U = 100 (himpunan semesta) X = 10 (meneliti 2 bidang) masing2x A = 30 (meneliti bidang 1) Y = 5 (meneliti 3 bidang) masing2x B = 20 (meneliti bidang 2) Z = 2 (meneliti 4 bidang) masing2x C = 25 (meneliti bidang 3) D = 25 (meneliti bidang 4) Dit:Banyaknya orang yang berpartisipasi dalam penelitian? Banyaknya org yg meneliti bidang 1 saja? Jawab: untuk menghitung banyaknya orang yang berpartisipasi dalam penelitian, bisa dilihat dari diagram venn yang digambar, jawabannya ialah 62 orang. untuk
menemukan banyaknya orang yang meneliti bidang 1 saja, juga
bisa dilihat dari diagram venn yang digambar, jawabannya ialah 15 orang.
51
RINJANI_STIS
5.
P adalah himpunan bilangan genap yang kurang dari 25. a. Sebutkan anggota-anggota dari P dalam tanda kurung kurawal. b. Nyatakan P dengan notasi pembentuk himpunan. c. Tentukan n(P).
Jawab: a. P = {2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24} b. P = {x|x<25, x bilangan genap} c. n (P) =12. 6.
Diantara himpunan-himpunan berikut, manakah yang merupakan himpunan kosong? a. himpunan bilangan genap di antara 6 dan 8. b. himpunan bilangan prima diantara 13 dan 19. c. himpunan bilangan cacah yanh kurang dari 0. d. himpunan nama bulan yang berjumlah 32 hari.
Jawab: a. Himpunan bilangan genap diantara 6 dan 8. Urutan bilangan genap = 2,4,6,8,10,... Diantara 6 dan 8 tidak terdapat bilangan genap melainkan angka7 yaitu bilangan ganjil. Jadi himpunan tersebut adalah himpunan kosong. b. Himpunan bilangan prima diantara 13 dan 19. Urutan bilangan antara 13 dan 19. Urutan bilangan antara 13 dan 19 adalah 14,15,16,17,18. Angka 17 merupakan bilangan prima. Jadi,himpunan bilangan prima diantara 13 dan 19 adalah{17}, bukan himpunan kosong.
52
RINJANI_STIS
c. Himpunan bilangan cacah yang kurang dari 0. Bilangan cacah yang terkecil adalah 0. Tidak ada bilangan cacah yang kurang dari 0. Jadi, himpunan bilangan cacah yang kurang dari 0 merupakan himpunan kosong. d. Himpunan nama bulan yang berjumlah hari 32. Jumlah hari dalam sebulan adalah 28,28,30, atau 31. Tidak ada bulan yang memiliki jumlah hari 32.Jadi, himpunan nama bulan yang berjumlah 32 hari merupakan himpunan kosong. 7.
Diketahui P = {a,b,c,d,e}. Tentukan himpunan bagian dari P yang memiliki: a. 2 anggota b. 3 anggota c. 4 anggota
Jawab: a. Himpuanan bagian yang terdiri atas 2 anggota: {a,b},{a,c},{a,d},{a,e},{b,c},{b,d},{b,e},{c,d},{c,e},{d,e}. Himpunan bagian yang memiliki 2 anggota ada 10 buah. b. Himpunan bagian yang terdiri dari 3 anggota: {a,b,c},{a,b,d},{a,b,e},{a,c,d},{a,c,e},{a,d,e},{b,c,d},{b,c,e},{b,d, e},{c,d,e}. Himpunan bagian yang memiliki 3 anggota ada 10 buah. c. Himpunan bagian yang terdiri dari 4 anggota: {a,b,c,d},{a,b,c,e},{a,b,d,e},{a,c,d,e},{b,c,d,e} Himpunan bagian yang memiliki 4 anggota ada 5 buah. 8.
Misal f(x) = 1 – x2 , tentukan f(1), f(–5), f(2x), f(1+h)
53
RINJANI_STIS
Jawab: f(1) = 1 – (1)2 = 0 f(-5) = 1 – (-5)2 = -24 f(2x) = 1- (2x)2 =1 – 4x2 f(1+h) = 1 – (1+h)2 =1 – (1+2h+h2) = -h2-2h 9.
Diketahui bahwa f
1 x x 2x
, x3 , x3
dan g x
x 1 , x1 3 , x1
Tentukan a. f(–4)
b. f(4)
c. f(t2+5)
d. g(0)
e. g(–1)
f. g(–3)
Jawab: a. f(-4) = 1/x = -1/x b. f(4) = 2x = 8 c. f(t2+ 5) = 2x = 2 (t2+ 5) = 2t2+ 10 d. g(0) = √
=1
e. g(-1) = √
=0
f. g(-3) = 3 10. Tentukan domain dan range dari fungsi berikut a. f x x 2 b. f x
x2 9 x 3 x2 1 d. f x 2 x 1
c. f x 1 x 3
e. f x
5 3 cos 2 x
Jawab:
54
a. D= {x |x R}
R={f(x)| f(x) ≥ 0, f(x) R}
b. D={x |x > 3, x ≠ 3, x R}
R={f(x) | f(x) ≠ 0, f(x) R}
c. D= {x | x > 0, x ≠ √ , x R}
R={f(x) | f(x) > 0, f(x) R}
d. D={ x | x R}
R={f(x) | f(x) > 0, f(x) R}
e. D={x | x R}
R={f(x) | f(x) > 0, f(x) R} RINJANI_STIS
11. Bentuk berikut merupakan fungsi atau tidak? a. f x x 3 1
c. xy y x 1, x 1
b. x 2 y 1
d. x 2 y 2 1
Jawab: a. Fungsi b. Fungsi c. Fungsi d. Tidak 12. Tentukan fungsi berikut genap, ganjil atau tidak keduanya x3 8 x b. g x x 2 1
a. f x
c. h x 625 x 4 d. f t t 3
Jawab: a. Fungsi ganjil b. Fungsi ganjil c. Fungsi genap d. Fungsi nilai mutlak (tidak keduanya) 13. Misal f x
x 7 dan g x
2 , x
tentukan
a. f + g, f – g, f g, f2, f/g b. g f dan domainnya c. f g dan domainnya d. g(f(9)) dan f(g(1))
55
RINJANI_STIS
Jawab: a. f + g = √ f–g=√ f×g=√ f /g=√ b. g o f = g (f(x)) =
√
D={x | x ≥ 0, x ≠ -7, x R} c. f o g = f(g(x)) = √ D={x | x > 0, x ≠ 0, x R} 14. Tentukan f(g(x)) dan g(f(x)) dari a. f x x3 dan g x
1 x 1 dan g x x
b. f x x 2 1 x
3
Jawab: a. f(g(x)) = ( g(f(x)) =
√
= 1/x
√
b. f(g(x)) = ( g(f(x)) =
56
)3 = 1/x
) (
=( = )
(
) )
RINJANI_STIS
LIMIT DAN KONTINUITAS
1.
LIMIT Limit fungsi di satu titik dan limit fungsi di tak hingga merupakan
konsep dasar dalam kalkulus diferensial dan integral yang digunakan secara intensif. Konsep esensial dan strategis dalam kalkulus seperti, turunan, integral tentu, dan integral tak wajar dikonstruksi dengan menggunakan konsep ini. Untuk dapat memahami konsep limit fungsi diperlukan pengetahuan tentang nilai mutlak sebagai ukuran jarak pada garis bilangan, pertaksamaan sebagai ukuran kedekatan dan berbagai sifat tentang fungsi real sebagai obyeknya.
. -
Dari grafik tersebut, jika x cukup dekat tapi berbeda dengan a maka nilai f(x) mendekati L. ( )=L
-
Ditulis :
-
Dibaca: limit f(x) untuk x di sekitar a adalah L.
-
( ) = L berarti bahwa untuk tiap ε > 0 yang diberikan (betapun kecilnya), terdapat δ > 0 yang berpadanan sedemikian sehingga | ( )
| |
57
asalkan bahwa |
| ( )
|
|
; yakni,
|
RINJANI_STIS
Contoh : (
) = -1
Penyelesaian : Ambil ε < 0, pilih δ > 0 ϶ |
|
|(
)
(
)|
Pandang pertidaksamaan di sebelah kanan |(
)
|
=|
|
=| (
)|
= | ||
|
tulis |
|
Pilih δ, yaitu δ = Bukti resmi : |
Ambil ε > 0, pilih δ = , maka |(
)
|=|
|=| ( =2|
Jadi,
(
|
mengakibatkan
)|
|
) = -1
Menyelesaikan Limit 1.
Jika f(x) terdefinisi di x = c, substitusi x = c ke f(x).
2.
Jika f(x) tidak terdefinisi di x = c a. f(x) rasional faktorkan f(x), sederhanakan, kemudian substitusi b. f(x) bentuk akar rasionalkan kemudian substitusi
58
RINJANI_STIS
Contoh : (x2 + 3x – 5) = (4)2 + 3(4) – 5 = 16 +12 – 5 = 23 Limit–Limit Sepihak Bilamana suatu fungsi mempunyai lompatan. Maka limitnya tidak ada pada setiap lompatan. x → a+ artinya x mendekati a dari kanan, sebaliknya x → a- artinya x mendekati a dari kiri. Definisi (limit kanan) ( ) = L berarti bilamana x dekat tetapi pada sebelah kanan a, maka f(x) dekat ke L. ( ) = L berarti
ε > 0,
>0϶
| ( )
|
Definisi (limit kiri) ( ) = L berarti bilamana x dekat tetapi pada sebelah kiri a, maka f(x) dekat ke L. ( ) = L berarti
ε > 0,
>0϶
| ( )
|
Theorema Limit Utama Andaikan n bilangan bulat positif, k konstanta, f dan g fungsi yang mempunyai limit di c, maka : 1. 2. ( )
3. 4.
, ( )
( )-
( )
( )
5.
, ( )
( )- =
( )
( )
6.
, ( )
7. 59
( )
( )- =
( )
( )
(
( )
= )
, asalkan
( )
( ) ( ) RINJANI_STIS
8.
( ( ))n = (
( ))n
9.
√ ( )= √
( ) , asalkan
( )
bilamana n genap
Theorema Substitusi Jika f suatu fungsi polinom atau fungsi rasional, maka ( )
( )
Asalkan dalam kasus fungsi rasional penyebut di c tidak nol Theorema Apit Andaikan f, g dan h adalah fungsi-fungsi yang memenuhi f(x)
g(x)
h(x) untuk semua x dekat c, kecuali mungkin di c. Jika
( )
( )
, maka
( )
Limit Fungsi Trigonometri bilangan real di dalam domain fungsi, 1. 2. 3. 4. 5. 6. Limit Trigonometri Khusus 1. 2.
60
RINJANI_STIS
Limit di Tak Berhingga 1.
Limit x → ∞
Misalkan f didefinisikan di [c, ∞) ( )
Dikatakan
| ( )
Jika 2.
|
Limit x → -∞
Misalkan f didefinisikan di (-∞,c] ( )
Dikatakan
| ( )
Jika
2.
|
KEKONTINUAN
Misal f terdefinisi pada suatu selang terbuka yang mengandung c. f kontinu ( )
di c jika
( )
Syarat f(x) kontinu di titik c 1.
f(c) ada atau f(x) terdefinisi pada x=c
2.
( ) ada
3.
( )
( )
Jika salah satu syarat tidak terpenuhi, maka f(x) tidak kontinu di x=c dan dikatakan f diskontinu di c. cirri fungsi diskontinu : adanya loncatan pada grafik fungsi. Terdapat 3 jenis diskontinuitas : 1.
Tak hingga di c jika limitnya (kiri dan kanan) tak hingga;
2.
Loncat berhingga di c jika limit kiri dan kanannya berhingga namun tak sama;
3.
Dapat dihapuskan/dihilangkan di c jika nilai fungsi dan limitya ada, tetapi tidak sama
61
RINJANI_STIS
Teorema Kekontinuan 1.
Fungsi polinom kontinu di setiap
.
2.
Fungsi rasional kontinu di setiap
di dalam domainnya.
3.
Fungsi nilai mutlak kontinu di setiap
4.
Jika n ganjil, fungsi akar-n kontinu di setiap
.
5.
Jika n genap, fungsi akar-n kontinu di setiap
,
6.
Jika f dan g kontinu di c, maka kf, f+g, f-g, f.g, f/g(dengan g(c)
.
. 0),
dan √ (dengan f(c) > 0 jika n genap), juga kontinu. 7.
Fungsi sinus dan kosinus kontinu di setiap
.
Teorema Fungsi Komposit Jika
( ( ))
(
( ))
( )
Khususnya, jika g kontinu di c dan f kontinu di g (c), maka fungsi komposit f○g kontinu di c.
Kekontinuan pada Selang Suatu fungsi f dikatakan kontinu pada selang buka (a,b) jika f kontinu di setiap titik (a,b). f kontinu pada selang tutup [a,b] jika f kontinu pada (a,b), kontinu kanan di a dan kontinu kiri di b. 62
RINJANI_STIS
Dengan kata lain, 1.
Fungsi f dikatakan kontinu kiri di c jika
2.
Fungsi f dikatakan kontinu kanan di c jika
( ) ( )
( ) ( )
Teorema Nilai Antara Misalkan f kontinu pada [a,b] dan W suatu bilangan antara f(a) dan f(b). Jika f kontinu pada [a,b]
63
c di antara a dan b ϶ f(c) = W.
RINJANI_STIS
SOAL DAN PEMBAHASAN
1. 2. 3.
64
(
=
)( (
)
)
= =-
=
(x2+2x+4) = 12
= (
)
=-
(
= (
)
)
= -1
RINJANI_STIS
TURUNAN 1.
Definisi Turunan (Derivative)
Turunan fungsi f adalah fungsi lain f’ (dibaca “f aksen”) yang nilainya pada sebarang bilangan c adalah (
( )
)
( )
asalkan limit ini ada.
2.
Aturan Pencarian Turunan a. Aturan Fungsi Konstanta Jika ( ) ( )
dengan
suatu konstanta maka untuk sembarang ,
.
b. Aturan Fungsi Identitas Jika ( )
, maka
( )
c. Aturan Pangkat Jika
( )
, dengan
bilangan-bilangan bulat positif, maka
( ) d. Aturan Kelipatan Konstanta Jika
adalah suatu konstanta dan
maka (
)( )
suatu fungsi yang terdiferensiasi,
( )
e. Aturan Jumlah Jika
dan )( )
fungsi fungsi yang terdiferensialkan, maka ( ( )
( )
f. Aturan Selisih Jika
dan )( )
65
fungsi fungsi yang terdiferensialkan, maka ( ( )
( )
RINJANI_STIS
g. Aturan Hasil Kali Andaikan (
dan
)( )
fungsi fungsi yang terdiferensialkan, maka
( ) ( )
( ) ( )
h. Aturan Hasil Bagi Andaikan ( )
dan
fungsi fungsi yang terdiferensialkan dengan
. Maka ( ) ( )
( )( ) 3.
Turunan Sinus dan Cosinus
Jika ( )
, maka
( )
Jika ( )
, maka
( )
Jika ( )
, maka
( )
Jika ( )
, maka
( )
Jika ( )
, maka
( )
Jika ( )
4.
( ) ( ) ( )
, maka
( )
Hukum Rantai (Chain Role) ( ) dan
Andaikan ( ( ))
(
)( ).
Jika
terdiferensialkan
( ), maka
terdiferensialkan di ( Andaikan
( ) menentukan fungsi komposit
terdiferensialkan di
)( )
( ) dan
di
dan dan
( ( )) ( )
( ). Dalam notasi Leibniz, Aturan Rantai
mengambil bentuk yang sangat anggun.
5.
Diferensiasi Fungsi Implisit
Suatu persamaan (
)
, pada jangkau terbatas dari variabel-variabel
tertentu, dikatakan mandefinisikan
66
sebagai fungsi
secara implisit.
RINJANI_STIS
Contoh 1: a) Persamaan
, dengan
b) Persamaan
mendefinisikan fungsi
jika | |
dan
, mendefinisikan fungsi
jika | |
√
dan fungsi
√ dan
. Perhatikan bahwa elipsnya harus dianggap terdiri dari dua busur yang bertemu di titik-titik (-3,0) dan (3,0). Turunan
dapat diperoleh lewat salah satu cara berikut ini:
a) Jika mungkin, pecahkan
dan diferensiasi terhadap
. Untuk
persamaan-persamaan yang sangat sederhana, cara ini dapat diabaikan. b) Dengan memikirkan diketahui terhadap
sebagai fungsi dan cari
, diferensiasi fungsi yang
dari hubungan yang diperoleh. Proses
diferensiasi ini dikenal sebagai diferensiasi implisit. Contoh 2: a) Cari Kita
, bila diketahui
. ( )
mempunyai
( )
( ) atau b) Cari Kita
; maka
, jika
(
mempunyai
√ ,
√ ⁄ dan di titik (√
67
( )
( )
.
√ , bila diketahui
dan Jika
( )
)
(
)
(
)
. ⁄ . Di titik (√
⁄ ) pada busur atas elips,
⁄ ) pada busur bawah
√ ⁄ .
RINJANI_STIS
6.
Turunan Ordo yang lebih tinggi
Diketahui sebuah fungsi ( ) maka ( )
Turunan pertama Turunan kedua
( )
( )
Turunan ketiga
( )
( )
Turunan ke-n
68
( )
( )
( )
RINJANI_STIS
SOAL DAN PEMBAHASAN
1. Buktikan (a) (b)
( )
(d)
(
( ) (
; (c) )
, dimana c adalah sembarang konstanta; )
, dimana c adalah sembarang konstanta;
, jika n adalah bilangan bulat positif.
Jawab: (
( )
Karena (a)
( )
(b)
( )
(c)
(
)
(
) ( ) (
)
( )
)
( )
(d) (
(
)
) (
{
(
)
(
)
)
(
(
) }
)
2. Misalkan u dan v fungsi-fungsi x yang dapat dideferensiasi. Buktikan:
69
(a)
(
(c)
. /
)
( ) ( )
( ); (b)
(
)
( )
( );
( )
,
RINJANI_STIS
Jawab: Ambil ( )
(a) (
)
( )
( )
( ) maka
(
)
(
)
( )
( )
(
)
( )
(
)
( )
( )
(
)
Dengan mengambil limit jika
( )
( )
Ambil ( )
(b) (
)
( )
, (
) (
(
)
(
(
) (
)
( ) (
)
( )
dan
)
( )
( )
( )
( )
( (
( )
)
( ) ( )
)-
, ( ) (
(
)
( ) ) )
( ) ( )
, ( ( )
70
( )
( ).
; maka (
) ( )
( ) (
) ( ) (
)
. /
( )
( ) ( )- , ( ) ( * ( ) ( )+ ( )
( )
)
)+
( )
* ( )+
(
( )
( ) ( ( )
( ) ( )-
( )
( )
* ( ) (
dan
)
( )
Ambil ( )
(c) (
( ) ( ) maka
)
)
( ) ( )-
( )
) ( )
( )
( )
.
RINJANI_STIS
Dalam soal 3-21, cari turunan pertama.
3. Jawab: ( )
(
)
(
)
(
)
(
)
4. Jawab: (
)
⁄
5.
⁄
⁄
Jawab: (
6.
⁄
)
⁄
⁄
(
⁄
)
⁄
⁄
(
)
⁄
Jawab: (
71
)
(
)
(
)
(
)
RINJANI_STIS
√
7.
√
Jawab: (
⁄
)
√
⁄
)
(
)
⁄
(
)(
)
⁄
√
(
8.
)(
(
)
Jawab: ( 9.
) ( ) (
(
)
)
Jawab: , (
10.
( )
) -
(
)(
)
(
(
)(
) (
) )
(
)
√
Jawab: ( )
72
(
)
⁄
(
)
⁄
( (
) )
√
RINJANI_STIS
(
11.
) (
)
Jawab: (
)
( )
) (
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
(
) )
(
)
(
) (
)(
(
)
) (
(
)
)
12. Jawab: (
)
(
13.
(
)( (
)
)
(
)
(
)
( )
)( )
(
)
(
)
√
Jawab: (
)
⁄
(
)
⁄
(
)
(
)
⁄
(
)
( (
73
) )
(
)
( ( (
) )
)
⁄
⁄
( (
(
⁄
) ) )
⁄ ⁄
⁄
RINJANI_STIS
√(
)
14. Jawab: (
)
(
)
15. Jawab: (
)
16. Jawab: (
)
(
17.
)
Jawab: (
)
(
)
(
)
√
18. Jawab: ⁄
⁄
√
74
√
⁄
⁄
⁄
⁄
√
RINJANI_STIS
√
19. Jawab: (
⁄
) (
)
(
)
⁄
√
( )
20. Jawab: ( )
(
)
(
)
( )
21. Jawab:
(
( )
22.
Cari
)
( )
√
, bila diketahui
Jawab: (
)
⁄
(
)
⁄
(
)
, dan
√
⁄
√
23.
Cari
, bila diketahui
dan
√
Jawab: (
75
)
dan
(
)
⁄
RINJANI_STIS
maka
(
24.
)
(
)
Sebuah titik bergerak sepanjang kurva √
sehingga
di mana t adalah waktu. Dengan laju berapakah y berubah
ketika t=4? Jawab: ⁄
Kita harus mencari harga ( Ketika
25.
) ,
√
ketika
. (
,
) √
√
dan
Tunjukkan bahwa fungsi
(
)
per satuan waktu.
( )
mempunyai
turunan semua tingkat pada Jawab: ( )
dan
( )
dan
( )
dan
( ) ( )
( )
Semua turunan tingkat yang lebih tinggi identik 0.
26.
Selidiki turunan berurutan dari ( )
saat
.
Jawab: ( ) ( )
76
⁄
⁄
dan
( )
dan
( ) tidak ada.
RINJANI_STIS
27.
( )
Diketahui
(
)
( )
cari
( ).
Jawab: Kita peroleh ( )
(
( )
( )(
( )
)(
) ( )(
( )(
) ) (
)(
)
)
) ( ( )(
yang mengakibatkan
(
( (
)
)
) (
(
)
) (
)
)
.
Dalam soal 28-32, cari turunan-turunan yang diminta.
28. Jawab: (
)
(
29.
)
Jawab: (
) (
, (
)
)
) )
(
) (
(
(
30.
(
( )
)
(
)
(
(
) )
-
(
)
(
)
)
Jawab: (
77
)(
) dan
(
) (
)
RINJANI_STIS
31. Jawab: )⁄(
(
dan (
32.
Cari
)
)⁄ (
(
( ⁄ )
)
)
( ⁄ )
( ⁄ )
jika diketahui
( )
Jawab: ( ) (
)
( ⁄ )
(√ ⁄ )( )
( )
(
)
(
) ( )
( ⁄ )
( √ ⁄ )
( ) ( ⁄ )
78
(√ ⁄ )(
)
√
( ) (
)
(
)
RINJANI_STIS
APLIKASI TURUNAN
Maksimum dan Minimum
Definisi: Andai kan S, daerah asal f, memeuat titik c. kita katakan bahwa: i.
f(c) adalah nilai maksimum f pada S jika f(c)≥f(x) untuk semua x di S; f(c) adalah nilai minimum f pada S jika f(c)≤f(x) untuk semua x
ii.
di S; iii.
f(c) adalah nilai ekstrim f pada S jika ia adalah nilai maksimum atau minimum.
Titik kritis Definisi: Misalkan f terdefinisi pada selang I, c € I. c adalah titik kritis jika merupakan:
i.
titik ujung dari I, atau
ii.
titik stasioner dari f, yaitu f’(c)=0, atau
iii.
titik singular dari f, yaitu f’(c)tidak ada Kemonotonan dan Kecekungan
Kemonotonan Grafik Fungsi:
Misalkan f fungsi yang terdefinisi pada interval I. f disebut monoton naik pada I bila f disebut monoton turun pada I bila f monoton tak turun pada I bila f monoton tak naik pada I bila
79
x1 < x2 = x1 < x2 =
x1 < x2 = x1 < x2 =
f(x1) < f(x2) f(x1) > f(x2)
f(x1) ≤ f(x2) f(x1) ≥ f(x2)
RINJANI_STIS
Teori kemonotonan: Bila f’(x)>0 pada setiap x di interval I maka f naik Bila f’(x)<0 pada setiap x di interval I maka f turun
Kecekungan dan Titik Balik/Belok:
Misalkan f fungsi yang terdiferensialkan pada interval I yang memuat c. f disebut cekung ke atas bila f monoton naik. f disebut cekung ke bawah bila f monoton turun. Titik c disebut titik balik/belok bila terjadi perubahan kecekungan di kiri dan kanan c.
Pengujian kecekungan: Bila f”(x)> 0 maka f cekung ke atas. Bila f”(x)<0 maka f cekung ke bawah.
Titik belok Misalkan fkontinu di c Titik (c,f(c)) disebut titik belok dari kurva f jika kurva f berubah
kecekungan pada titik c (cekung ke atas pada satu sisi dan cekung ke bawah pada sisi lainnya dari c) 80
RINJANI_STIS
Maksimum dan Minimum Lokal
Definisi Andaikan S, daerah asal f, memuat titik c. Kita katakan bahwa: (i) f(c) nilai maksimum lokal f jika terdapat selang (a,b) yang memuat c sedemikian sehingga f(c) adalah nilai maksimum f pada (a ,b) ∩ S; (ii) f(c) nilai minimum lokal f jika terdapat selang (a,b) yang memuat c sedemikian sehingga f(c) adalah nilai minimum f pada (a,b) ∩ S; (iii) f(c) nilai ekstrim lokal f jika ia berupa nilai maksimum lokal atau minimum lokal.
Teorema A (Uji Turunan Pertama untuk Ekstrim Lokal). Andaikan f kontinu pada selang terbuka (a,b) yang memuat titik kritis c.
(i) Jika f’(x) > 0 untuk semua x dalam (a,c) dan f’(x) < 0 untuk semua x dalam (c,b), maka f(c) adalah niai maksimum lokal f. (ii) Jika f’(x) < 0 untuk semua x dalam (a,c) dan f’(x) > 0 untuk semua x dalam (c,b), maka f(c) adalah niai minimum lokal f. (iii) Jika f’(x) bertanda sama pada kedua pihak c, maka f(c) bukan nilai ekstrim lokal f.
81
RINJANI_STIS
Teorema B (Uji Turunan Kedua Untuk Ekstrim Lokal). Andaikan f’ dan f “ ada pada setiap titik dalam selang terbuka (a,b) yang memuat c,dan andaikan f’(c)=0.
(i) Jika f “ (c) < 0, f(c) adalah nilai maksimum lokal f. (ii) Jika f “ (c) > 0, f(c) adalah nilai minimum lokal f.
82
RINJANI_STIS
SOAL DAN PEMBAHASAN 1.
Tentukan nilai maksimum dan minimum dari fungsi berikut :
f(x) = -2x3 + 3x2 + 1 pada [-1,2] Jawab: Turunan f adalah f ’(x) = -6x2 + 6x = 6x(1 – x). Jadi titik stasionernya adalah 0 dan 1, Sedangkan titik singularnya tidak ada. Dengan demikian terdapat 4 titik kritis, yakni -1, 0, 1, dan 2 (dua titik ujung selang dan dua titik stasioner). Sekarang bandingkan nilai f di titik-titik kritis tersebut: f(-1) = 6, f(0) = 1, f(1) = 2, f(2) = -3. Menurut Teorema Lokasi Titik Ekstrim, f mesti mencapai nilai maksimum 6 (di -1) dan minimum -3 (di 2). 2.
Petani badu mempunyai 80 kaki kawat duri yang ia rencanakan untuk memagari kandang persegi-panjang sepanjang satu sisi gudangnya sepanjang 100 kaki, seperti di perlihatkan dalam gambar(sisi sepanjang gudang tidak memerlukan kawat duri). Berapa ukuran kandang yang mempunyai luas maksimum? gudang
kandang
83
RINJANI_STIS
Jawab: Misal panjang kandang= y Lebar kandang= x Kll=2x + y 80=2x + y Y=80 – 2x……..(1)
Luas = p x l = x .y =x .(80 – 2x) L(x) =80x – 2x2 Agar luasnya maksimum maka L’(x)=0 L’(x) = 80 – 4x 0 = 80 – 4x x=20 Subtitusi nilai x ke pers (1). Y=80 – 2x20 Y =40 Jadi ukuran kandang yang luasnya maksimum adalah panjang 40 kaki dan lebar 20 kaki.
3.
Sebuah kotak tertutup dibuat dari selembar papan segi-empat berukuran 5 meter kali 8 meter . Ini dilakukan dengan memotong daerah yang diarsir dari gambar di bawah dan kemudian melipat pada garis titik-titik . berapakah ukuran x, y , dan z yang memaksimumkan volume kotak tertutup tersebut.
84
RINJANI_STIS
Jawab: Untuk Menentukan ukuran x,y,z agar volume kotak pada gambar maksimum. Terlebih dahulu kita tentukan fungsí dari volume benda sebagai suatu peubah.. 2x + 2y = 8,
y=4–x
2x + z = 5,
z= 5 – 2x
Volume = v = y
z
V(x)=(4 – x)(5 – 2x)x =(20 – 8x – 5x + 2x2)x =(20 – 13x + 2x2)x =20x – 13x2 + 2x3 ;0≤x≤5/2 Titik maksimum V(x) terletak pada titik kritisnya yaitu pada titik stasioner atau pada ujung interval dari domain V(x). titik stasioner terjadi ketika V’(x) = 0 yakni 20 - 26x + 6x2 = 0 3x2 – 13x + 10 = 0
85
RINJANI_STIS
(3x - 10)(x – 1) = 0 x=1 , x=10/3 Kita tolak x=10/3 Karena tidak berada pada interval 0 ≤x≤5/2 Jadi sekarang kita memiliki tiga buah titik kritis yaitu x =1 yang berasal dari titik stasioner dan x = 0 , x = 5/2 yang berasal dari ujung interval domain V(x) . Untuk mengetahui dimana V(x) mencapai nilai maksimum, kita evaluasi nilai V(x) pada titik -titik kritis tersebut, yaitu V(1) = 9m3 , V(0) = 0 m3 dan V(5/2) = 0m3 V (1) = 9m3 merupakan volume maksimum, sehingga ukuran kotak agar volumenya maksimum adalah x= 1 Y=3, z=3 4.
Cari dimana h naik dan turun, jika h(x) = 1/3 x 3 – 3/2 x2 – 4x + 1 dengan menggunakan teorema kemonotonan.
Jawab : 2
– 3x – 4
naik, jika : h’(x) > 0 x2 – 3x – 4 > 0 (x + 1) (x – 4) > 0 x + 1 > 0 atau x -4 > 0
++++
++++
-1
4
x > -1 , x > 4
86
RINJANI_STIS
x2 – 3x – 4 < 0 (x + 1) (x – 4) < 0 (x + 1) < 0 atau( x - 4)< 0 x < -1 , x < 4 Jadi, menurut Teorema , h naik pada (-
-
(-1, 4). 5.
Tentukan nilai ekstrim lokal dari fungsi f(x) = x2 – 8x + 12 pada (-
Jawab : Fungsi polinom f kontinu dimana-mana (Teorema A kekontinuan fungsi yang dikenal) → Turunan dari f(x) adalah f’(x) = 2x – 8 → Titik kritis untuk f yaitu f’(x) = 0 2x – 8 = 0 2x = 8 x=4 → f turun, jika : f’(x) < 0 2x – 8 < 0
87
RINJANI_STIS
2x < 8 x<4 dengan interval (→ f naik, jika : : f’(x) > 0 2x – 8 > 0 2x > 8 x>4
Jadi, menurut Teorema (Uji Turunan Pertama Untuk Ekstrim Lokal), yaitu : Jika f’(x) < 0 untuk semua x dalam (-
f (4) = (4)2 – 8.4 + 12 = 16 – 32 + 12 = -4 f(4) = -4 adalah nilai minimum lokal. 6.
Tentukan titik balik fungsi F(x) = x2+1
Jawab: F(x) = x2+1 F’(x)= 3/2x2 F”(x)= 3x
88
RINJANI_STIS
Jelas bahwa f’(x) = 3/2x2 kontinu di R. jadi f’(x) = 0. Akibatnya grafik f mempunyai garis singgung di titik (0,1). Turunan kedua F”(x)= 3x jelas bahwa f”(x)>0 untuk x>0 dan f “(x) <0 untuk x<0. Jadi f”(x) berubah tanda di sekitar x =0. Karena titik (0,1) adalah titik balik dari fungsi f
7.
x3
Diketahui f( x)
x5
a. Tentukan selang kemonotonan b. Tentukan selang kecekungan dan titik belok (bila ada) c. Tentukan nilai ekstrim dan jenisnya d. Gambarkan grafiknya
Jawab: x3
Diberikan f (x )
x5
a. Menentukan selang kemonotonan f
x
x2 - 15x4
f monoton naik jika f
f monoton turun jika f
x2
x
x
x
x
b. Menentukan selang kecekungan dan titik belok f
x – 60x3 = 30x
x
f cekung ke atas jika f √
89
x
-√
√
x √
f cekung ke bawah jika f √
- 2x2
x
√
RINJANI_STIS
karena pada pada x=
√
, x= -
√
, dan x=0 ter jadi perubahan
kecekungan serta f( ),f(- ) dan f(0) masing-masing ada , maka √
ketiga titik (
√
√
√
).
√
√
/ dan (0,0) adalah titik belok
c. Menentukan nilai ekstrim dan jenisnya Titik (-1,-2) merupakan titik minimum lokal karena f
f
titik (1,2) merupakan titik maksimum lokal karena f
d. Grafik f (x)
x3
f
x5
ditunjukkan pada gambar di bawah
90
RINJANI_STIS
8.
f(x) adalah fungsi kontinu , dan f(0) = f(2) = 0. Jika grafik y
f'
x
a. Tentukan selang kemonotonan f(x) b. Tentukan selang kecekungan f(x) c. Buat sketsa grafik f(x) Jawab: a. Menentukan selang kemonotonan Perhatikan grafik f
x
f(x) monoton naik jika f
f(x) monoton turun jika f
x x
- ,-1), (-1,0),
(1,2), dan (2,3) b. Menentukan selang kecekungan
f(x) cekung keatas jika f x
f(x) cekung ke bawah jika f x
91
x
f - ,-1), dan (2, x
) f
-1,0), dan (0,2)
RINJANI_STIS
c. Sketsa f(x)
92
RINJANI_STIS
INTEGRAL TERTENTU
Newton dan Leibniz telah memperkenalkan versi dini dari konsep ini. Tetapi Riemmanlah yang memberikan definisi modern. Berikut adalah teorema dari Riemman yang dikenal dengan Jumlah Riemman. Definisi 1 : Pada gambar Gb.1 kita mempunyai daerah D di bidang yang dibatasi grafik fungsi kontinu , garis ( )
pada ,
, garis
-, dan *(
, dan sumbu
, dengan
. Secara singkat di tulis : )
( )+
y
D x 0
a
b Gb.
0
1
Luas daerah D dihitung dengan proses limit dengan langkah : 1.
Selang tertutup [a,b] dibagi menjadi n bagian sama panjang. Sehingga titik pembagiannya :
.
Panjang selangnya : Panjang
2.
partisi
P
ditulis
‖ ‖
Buatlah persegi panjang dengan ukuran : Alas =
93
RINJANI_STIS
Tinggi = ( )
,
( )
Luas persegi panjang adalah Luas D = ∑
( )
y
D
x 0
a
b
Gb.
0
3.
1
Nilai eksak dari luas D didapat saat ‖ ‖
, sehingga,
Luas D =
∑
( )
sama artinya dengan
‖ ‖
∑
( )
Definisi 2 : 1.
Jika
f
‖ ‖
fungsi ∑
yang
( )
terdefinisi
pada
[a,b]
maka:
jika dan hanya jika untuk setiap bilangan
positif ε terdapat bilangan positif δ sehingga untuk setiap partisi * |∑ 2.
+ ( )
pada
|
[a,b]
dengan
‖ ‖
,
berlaku
.
Jika f fungsi yang terdefinisi pada [a,b] dan
‖ ‖
∑
( )
ini ada, maka limit tersebut dinamakan integral tertentu (integral Riemman) fungsi f pada [a,b]. Selanjutnya f dinamakan integrable pada Jadi ∫
94
[a,b] ( )
dan ‖ ‖
integralnya ∑
ditulis
∫
( )
.
( )
RINJANI_STIS
3.
Jika f integrable pada [a,b] maka: ( )
a.
∫
b.
Jika a = b maka ∫
( )
∫
( )
∫
( )
Dari definisi 2 dapat dipahami bahwa jika f(x) > 0, maka: ∫
( )
∑
‖ ‖
( )
secara geografis menyatakan luas
daerah di bawah kurva y=f(x), di atas sumbu X, diantara garis
dan
.
Contoh : Jika ( )
, tentukan ∫
( )
.
Y
f(x) = x + 3
Penyelesaian : Buat
partisi
pada
[–2,
3]
dengan
menggunakan n interval bagian yang sama panjang. Jadi panjang setiap interval bagian adalah
3
Dalam setiap interval bagian , partisi tersebut diambil Akan dicari nilai
‖ ‖
-
. ∑
( ) -3
95
-2
-1
0
1
2
3
X
RINJANI_STIS
. / . / . . . . / . . . . / ( )
dengan
( )
.
/
Jadi jumlah riemmannya : ∑
( )
∑ ∑ ∑
96
. .
/ / ∑
RINJANI_STIS
∑
∑
( )
.
/
. ∑
‖ ‖
/
( )
(
.
/)
( )
Jadi ∫
Teorema dasar kalkulus Teorema Dasar Kalkulus memberikan kemudahan untuk menghitung Integral Tentu, berikut teorema tersebut : Misal f kontinu pada [a,b] dan F sebarang anti turunan f, maka ( )
∫ Selanjutnya ditulis ( )
( )
( )
( )
, ( )-
Sifat-sifat integral tertentu Berbagai sifat integral tertentu di berikan pada teorema berikut : 1.
Integral ( )
2.
tertentu ∫
Jika fungsi f
fungsi
‖ ‖
∑
konstan (
).
terintegralkan pada [a,b] nilai integral tertentunya
sebagai limit jumlah riemman adalah tunggal. 3.
97
Jika fungsi f
dan fungsi g terintegralkan pada ,
∫ (
( )
( ))
dan
adalah konstanta dan terintegralkan pada [a,b].
∫
( )
∫
( )
-,maka
dengan
RINJANI_STIS
4.
,
Jika fungsi f terintegralkan pada [a,b] dan
-, maka fungsi f
juga terintegralkan pada [a,c] dan pada [c,b], dengan ∫ ( )
∫ 5.
( )
Jika fungsi f dan fungsi g terintegralkan pada , - maka ∫
( )
∫
-,serta
( )
( )
- dan memenuhi |∫
( )
|
∫ | ( )|
Luas daerah D yang dibatasi oleh grafik fungsi kontinu f pada , garis
9.
-,maka
terintegralkan pada [a,b] maka fungsi | | juga
Jika fungsi f
terintegralkan pada , 8.
pada ,
.
( ) pada , 7.
( )
Jika fungsi f terintegralkan pada [a,b] dan ( ) ∫
6.
∫
( )
, garis
dan sumbu x adalah
∫ | ( )|
Misalkan fungsi f terintegralkan pada selang tertutup , a.
Jika f adalah fungsi genap pada , ∫
b.
-,
. -.
-, maka ∫
( )
( )
Jika f adalah fungsi ganjil pada ,
10. Jika fungsi f kontinu pada ,
-, maka ∫
-,
( ) ( ), dan
( ), maka (
98
)
∫
( )
(
)
RINJANI_STIS
SOAL DAN PEMBAHASAN Hitunglah ∫ (
1.
)
dengan limit jumlah riemman.
Jawab : Selang , -, dibagi n bagian sama panjang, sehingga panjang setiap selang bagiannya adalah Titik-titik
,
(
), dan -1
( )
.
∫ (
/
.
/
) /
.
.
∑
.
(
)(
/ )
/
.
∑
( )
/
Jika f adalah fungsi ganjil pada selang [-1,1] dan ∫
2.
X
3
2
1
, maka
∑
3
.
pembaginya
Misalkan ( )
Y
( )
hitunglah ∫
( )
.
Jawab : Karena f adalah fungsi ganjil pada selang [-1,1], maka untuk setiap (
,
(
)
( ) ( )
-. Akibatnya pada selang [-1,1] berlaku
). Integran yang akan dihitung dapat ditulis sebagai ∫
( )
∫
(
)
Untuk menghitung integral terakhir, gunakan penggantian Akibatnya
, sehingga
integralnya berubah menjadi, 99
.
. Limit atas dan limit bawah , dan
. RINJANI_STIS
Jadi ( )
∫
(
∫
)
( )(
∫
∫ ( )
)
∫ ( )
3.
√
Tunjukkan bahwa
Jawab Misalkan ( )
√
√
√ ,
pada selang ,
√
⁄
∫
( )
. Karena
-, maka fungsi f monoton naik pada
selang ini, sehingga ( )
⁄
( )
√ dan
⁄
( )
.
/
√ .
Kita mempunyai : √ (
)
∫
⁄
√
√ (
√
√
)
, Sehingga ⁄
∫
√ terbukti. 4.
. /
∫
Jawab : Karena bentuk tersebut merupakan bentuk fungsi genap, maka ∫ 5.
jika 100
∫ . /
∫ . /
√
Hitung ∫
Jawab (
. /
:
Misal
)
maka
sehingga (
)
, perhatikan
jika
(
) , dan
, RINJANI_STIS
jadi ∫
6.
∫
(
) (
Buktikan bahwa ∫ *
[
]
∑
( )
∑
)
-. Ambil sembarang
- dan sembarang titik
, dan
∑
(
)
(
)
(
)
(
( )
)
(
Dengan demikian ∫
(
)
)
. Terbukti.
∫ ( )
Sesuai dengan ∫
101
(
Maka
Jadi
∫
,
untuk setiap + pada ,
∑
7.
-
.
Jawab : Dalam hal ini ( ) partisi
,
∫
)
0
( )
( ), maka
1
RINJANI_STIS
APLIKASI INTEGRAL TERTENTU
A. Menentukan Luas Daerah 1. Menentukan Luas Daerah di Atas Sumbu-x Misalkan R daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x), sumbu-x, garis x = a, dan garis x = b, dengan f(x) ≥ 0 pada [a, b], maka luas daerah R adalah b
sebagai berikut. LR f x dx a
2. Menentukan Luas Daerah di Bawah Sumbu-x Misalnya S daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x), sumbu-x, garis x = a, dan garis x = b, dengan f(x) ≤ 0 pada [a, b], seperti yang telah dibahas di subbab D.1, maka luas daerah S adalah b
LS f x dx a
102
RINJANI_STIS
3. Menentukan Luas Daerah yang Terletak Dibatasi Kurva y = f(x) dan sumbu-x Misalkan T daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x), sumbu-x, garis x = a, dan garis x = c, dengan f(x) ≥ 0 pada [a, b] dan f(x) ≤ 0 pada [b, c], maka luas daerah T adalah b
b
a
a
LT f x dx f x dx
4.
Menentukan Luas Daerah yang Terletak di Antara Dua Kurva
Luas daerah U pada gambar di bawah adalah
b
b
b
a
a
a
Dengan demikian, luas daerah U adalah LU f x dx g x dx f x g x dx 103
RINJANI_STIS
B. Menentukan volume Benda Putar 1. Menentukan Volume Benda Putar yang Diputar Mengelilingi Sumbu-x Misalkan R daerah yang dibatasi oleh grafik fungsi f(x), sumbu-x, garis x = a, garis x = b, dengan a < b, maka volume benda putar yang diperoleh dengan memutar daerah R mengelilingi sumbu-x adalah V f x dx 2
2. Menentukan Volume Benda Putar yang Diputar Mengelilingi Sumbu-y Misalkan S daerah yang dibatasi oleh grafik fungsi x=f(y), sumbu-y, garis x = a, garis x = b, dengan a < b, maka volume benda putar yang diperoleh dengan memutar daerah S mengelilingi sumbu-y adalah V. b
V f y dy a
104
RINJANI_STIS
3. Menentukan Volume Benda Putar yang Dibatasi Kurva f(x) dan g(x) jika Diputar Mengelilingi Sumbu-x Daerah yang dibatasi oleh kurva f(x) dan g(x) dengan , pada interval [a, b] diputar mengelilingi sumbu-x, maka volume benda putar yang diperoleh adalah sebagai berikut.
V T f x g x dx 2
2
4. Menentukan Volume Benda Putar yang Dibatasi Kurva f(y) dan g(y) jika Diputar Mengelilingi Sumbu-y Jika daerah yang dibatasi oleh kurva f(y) dan g(y) dengan pada interval [a, b] diputar mengelilingi sumbu-y, Maka volume benda putar yang diperoleh adalah sebagai berikut. b
V U f x g x dx 2
2
a
METODE KULIT TABUNG ∫
105
( )
RINJANI_STIS
106
RINJANI_STIS
SOAL DAN PEMBAHASAN
1.
√
Hitunglah luas daerah yang dibatasi
Jawab : ∫ 1 (
2.
)
Hitunglah luas daerah yang di warnai pada kurva parabola dibawah
ini :
Jawab : Parabola memotong sumbu x di (-1,0) dan (3,0) ( *
( (
)(
)
)+(
)
)(
)
Parabola melalui (1, -4) 107
RINJANI_STIS
(
)(
(
)
)(
)
Persamaan parabola (
)(
(
)
)(
)
∫
3.
Hitunglah luas daerah yang diarsir
Jawab : Titik potong :
(
108
)(
)
RINJANI_STIS
∫ (
) 1
∫ 1
4.
Hitunglah luas daerah yang dibatasi
√
4
-4
Jawab : ∫ 1
109
RINJANI_STIS
5.
Pandang kurva
untuk
a)
Hitunglah luas daerah dibawah kurva ini
b)
Tentukan c sedemikian rupa sehingga garis
membagi dua luas
pada (a) sama besar c)
Tentukan d sedemikian rupa sehingga garis
membagi dua luas
pada (a)
d 1
c
6
Jawab :
a)
∫
b)
∫
.
-
/
.
c)
110
∫ √
/
1
.
/
RINJANI_STIS
Hitunglah volume benda putar ( )
6. a.
Diputar melalui sumbu x, dibatasi
b.
Diputar melalui sumbu y, dibatasi
c.
Diputar melalui garis
d.
Diputar melalui garis
, dibatasi , dibatasi kurva ( ), garis
, dan
garis Jawab : f(x)
3 2 1 0
a)
1
2
∫ (
y = -1
)
(metode cakram)
∫ .
b)
/1
∫ (√
)
(metode cakram)
∫ .
111
/1
RINJANI_STIS
∫ (
c)
)
(metode cincin)
∫
d)
.
/1
∫ (√
)
∫
√
.∫ .
7.
(metode cakram)
∫ (
)
√
/
/1
Hitunglah volume benda putar yang dibatasi (
)
mengelilingi garis
.
3
Jawab :
1
∫ (
2
)(
)
(metode kulit tabung)
∫ .
112
/1
RINJANI_STIS
8.
Susunlah sebuah integral untuk volume benda yang terbentuk
apabila daerah R diputar mengelilingi garis
.
4 d ( )
R
( )
c
Jawab : ∫ , 9.
-, ( )
( )-
(metode kulit tabung)
Susunlah sebuah integral untuk volume benda yang terbentuk
apabila daerah R diputar mengelilingi garis
.
( )
R
( )
Jawab : ∫ (
113
), ( )
( )-
(metode kulit tabung)
RINJANI_STIS
10. Suatu daerah dibatasi oleh
dan
diputar
mengelilingi sumbu y. Coba tuliskan integral untuk menghitung volume benda putar yang terbentuk dengan menggunakan metode cincin dan kulit tabung! Manakah yang lebih mudah/menguntungkan? Jawab :
3 0
-6
Metode cincin :
( )
∫
Bila menggunakan metode cincin diatas f(y) sulit untuk di cari atau dengan kata lain
sulit untuk diubah menjadi
,
sehingga untuk mencari integralnya pun susah . Metode kulit tabung :
∫
(
)
Dengan menggunakan metode kulit tabung kita tidak perlu mengubah fungsi, sehingga integral dapat dengan mudah dilakukan.
114
RINJANI_STIS
