PENENTUAN NILAI ASET AKTUARIA PADA PENDANAAN PENSIUN DENGAN METODE PEMULUSAN EKSPONENSIAL DAN ARITMATIKA
DESYI CHRISTIA
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2013
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA* Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Penentuan Nilai Aset Aktuaria pada Pendanaan Pensiun dengan Metode Pemulusan Eksponensial dan Aritmatika adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini. Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor. Bogor, Agustus 2013 Desyi Christia NIM G54090068
ABSTRAK DESYI CHRISTIA. Penentuan Nilai Aset Aktuaria pada Pendanaan Pensiun dengan Metode Pemulusan Eksponensial dan Aritmatika. Dibimbing oleh I GUSTI PUTU PURNABA dan RETNO BUDIARTI. Penentuan besarnya kontribusi yang tepat dan stabil untuk peserta pensiun merupakan suatu masalah yang dihadapi oleh suatu program dana pensiun. Salah satu cara untuk mengurangi ketidakstabilan kontribusi tersebut adalah dengan melakukan penilaian pendanaan terhadap suatu program pensiun yaitu dengan menggunakan nilai rata-rata dari nilai pasar aset dalam jangka pendek. Nilai aset inilah yang disebut dengan nilai aset aktuaria. Terdapat tiga metode yang umumnya digunakan dalam menentukan nilai aset aktuaria yaitu Average of Market, Deferred Recognition, dan Write-Up. Dalam karya ilmiah ini hanya penilaian dalam pendanaan pensiun saja yang akan dibahas dan akan ditunjukkan bahwa ketiga metode ini ekuivalen baik berdasarkan pemulusan eksponensial maupun aritmatika dengan nilai ragam yang sama yaitu sebesar 0.00064 berdasarkan pemulusan eksponensial dan 0.00036 berdasarkan pemulusan aritmatika. Kata kunci: aset, kerugian, penghitungan aktuaria, pemulusan
ABSTRACT DESYI CHRISTIA. Calculating the Actuarial Assets of the Retirement Funding with Exponential and Arithmetic Smoothing Methods. Supervised by I GUSTI PUTU PURNABA and RETNO BUDIARTI. Calculating the precise and stable contribution to a pension is a necessary in planning a pension. One way to reduce volatility this contribution is to conduct an assessment of the funding of the pension plan using the average value of the market value of assets in the short term. This value of the assets is called the actuarial value of assets. There are three methods commonly used in calculating the actuarial value of assets; Average of Market, Deferred Recognition and WriteUp. This paper discusses the pension funding valuation and it shows that all three methods are equivalent on exponential and arithmetic smoothing with the same variance that is equal to 0.00064 for exponential smoothing and 0.00036 for arithmetic smoothing. Keywords: actuarial valuation, asset, loss, smoothing
PENENTUAN NILAI ASET AKTUARIA PADA PENDANAAN PENSIUN DENGAN METODE PEMULUSAN EKSPONENSIAL DAN ARITMATIKA
DESYI CHRISTIA
Skripsi sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2013
Judul Skripsi : Penentuan Nilai Aset Aktuaria pada Pendanaan Pensiun dengan Metode Pemulusan Eksponensial dan Aritmatika Nama : Desyi Christia NIM : G54090068
Disetujui oleh
Dr Ir I Gusti Putu Purnaba, DEA Pembimbing I
Ir Retno Budiarti, MS Pembimbing II
Diketahui oleh
Dr Berlian Setiawaty, MS Ketua Departemen
Tanggal Lulus:
PRAKATA Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa atas segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Tema yang dipilih dalam karya ilmiah yang dilaksanakan sejak bulan Februari 2013 ini ialah pendanaan pensiun, dengan judul Penentuan Nilai Aset Aktuaria Pada Pendanaan Pensiun Dengan Metode Pemulusan Eksponensial Dan Aritmatika. Terima kasih penulis ucapkan kepada Bapak Dr Ir I Gusti Putu Purnaba, DEA dan Ibu Ir Retno Budiarti, MS selaku pembimbing, serta Bapak Dr Ir I Wayan Mangku, MSc selaku dosen penguji yang telah banyak memberi saran. Ungkapan terima kasih juga disampaikan kepada papa dan mama serta aseluruuh keluarga atas segala doa dan kasih sayangnya. Teman-teman matematika 46 (Widia, Ditta, Anne, Sevir, Irma, Yoyok, Fenny, dan yang lainnya) yang telah membantu penulis dalam kegiatan belajar, serta kakak-kakak matematika 43, 44, dan 45 atas saran dan masukan yang telah diberikan selama perkuliahan dan seluruh staf tata usaha yang telah membantu dan menemani penulis selama menjalani perkuliahan di Departemen Matematika IPB. Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.
Bogor, Agustus 2013 Desyi Christia
DAFTAR ISI DAFTAR TABEL
vii
DAFTAR GAMBAR
vii
DAFTAR LAMPIRAN
vii
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Tujuan Penelitian
2
TINJAUAN PUSTAKA
2
Program Pensiun Manfaat Pasti
2
Nilai Sekarang Aktuaria
2
Metode Penghitungan Aktuaria
3
HASIL DAN PEMBAHASAN
4
Model Sederhana Program Pensiun Manfaat Pasti
4
Metode Nilai Aset Aktuaria yang Dihaluskan
9
SIMULASI
12
Penentuan Nilai Pasar Aset dan Nilai Aset Aktuaria Berdasarkan Pemulusan Eksponensial 13 Penghitungan Setiap Metode dalam Menentukan Nilai Aset Aktuaria Berdasarkan Pemulusan Eksponensial
18
Penentuan Nilai Pasar Aset dan Nilai Aset Aktuaria Berdasarkan Pemulusan Aritmatika 20 Penghitungan Setiap Metode dalam Menentukan Nilai Aset Aktuaria Berdasarkan Pemulusan Aritmatika SIMPULAN DAN SARAN
25 27
Simpulan
27
Saran
28
DAFTAR PUSTAKA
28
LAMPIRAN
29
RIWAYAT HIDUP
36
DAFTAR TABEL 1 Hasil penghitungan nilai sekarang dari nilai aset berdasarkan operator write-up saat t untuk t = 1 sampai t = 5 2 Hasil penghitungan nilai sekarang dari nilai aset berdasarkan operator write-up saat t untuk t = 6 sampai t = 10 3 Ilustrasi hasil penghitungan pendanaan pensiun manfaat pasti dengan ( ) 4 Ilustrasi hasil penghitungan pendanaan pensiun manfaat pasti berdasarkan pemulusan eksponensial dengan ( )
16 16 16
17 5 Hasil penghitungan ketiga metode dalam menentukan nilai aset aktuaria berdasarkan pemulusan eksponensial 6 Hasil penghitungan nilai sekarang dari nilai aset berdasarkan operator write-up saat t untuk t = 1 sampai t = 5 7 Hasil penghitungan nilai sekarang dari nilai aset berdasarkan operator write-up saat t untuk t = 6 sampai t = 10 8 Ilustrasi hasil penghitungan pendanaan pensiun manfaat pasti berdasarkan pemulusan aritmatika dengan ( ) 9 Hasil penghitungan ketiga metode dalam menentukan nilai aset aktuaria berdasarkan pemulusan eksponensial
20 23 23 24 27
DAFTAR GAMBAR 1 Perbandingan nilai pasar aset dengan nilai aset aktuaria berdasarkan pemulusan eksponensial 2 Perbandingan nilai pasar aset dengan nilai aset aktuaria berdasarkan pemulusan aritmatika
17 24
DAFTAR LAMPIRAN 1 Pembuktian present value dari dana pensiun pada saat t dengan operator write-up 2 Pembuktian besarnya kerugian pada waktu dengan operator writeup 3 Pembuktian nilai aset aktuaria dalam metode average of market ekuivalen dengan persamaan pemulusan aritmatika 4 Pembuktian nilai aset aktuaria dalam metode average of market dengan pemulusan eksponensial setara dengan persamaan pemulusan eksponensial 5 Pembuktian nilai aset aktuaria dalam metode deferred recognition berdasarkan pemulusan eksponensial setara dengan pemulusan eksponensial yang umumnya digunakan. 6 Pembuktian nilai aset aktuaria dengna metode deferred recognition berdasarkan pemulusan eksponensial ekuivalen dengan metode average of market berdasarkan pemulusann eksponensial.
29 31 31
32
33
33
7 Pembuktian nilai aset aktuaria dalam metode deferred recognition dengan pemulusan aritmatika setara dengan pemulusan aritmatika 8 English Life Table No. 16.1 Males
34 35
PENDAHULUAN Latar Belakang Pensiun merupakan suatu masa atau keadaan dimana seseorang tidak bekerja lagi karena usianya yang sudah lanjut atau karena kemauannya sendiri. Untuk menjamin kebutuhan hidupnya saat masa pensiun, maka seseorang dapat mengikuti program pensiun yang dikelola oleh dana pensiun. Dana pensiun adalah badan hukum yang mengelola dan menjalankan program yang menjanjikan manfaat pensiun bagi pesertanya (UU No. 11 tahun 1992). Ketika memasuki masa pensiun, seseorang dapat memperoleh penghasilan melalui program pensiun yang diikutinya baik melalui pemberi kerja (Dana Pensiun Pemberi Kerja) maupun melalui lembaga keuangan (Dana Pensiun Lembaga Keuangan) yang didirikan oleh perusahaan asuransi jiwa dan memberikan manfaat pensiun kepada masyarakat umum, karyawan dan pekerja mandiri. Program pensiun merupakan sebuah program atau kegiatan yang mengupayakan tersedianya uang pensiun bagi pesertanya. Sebelum peserta pensiun memperoleh manfaat dari program pensiun yang diikutinya, mereka harus membayar sejumlah uang yang telah ditentukan oleh perusahaan asuransi jiwa yang mendirikan dana pensiun tersebut yang disebut dengan kontribusi. Agar perusahaan asuransi dapat menentukan kontribusi yang sesuai sehingga perusahaan tersebut dapat memenuhi semua kewajibannya sampai program pensiun tersebut berakhir, maka perlu dilakukan penilaian dana/biaya (valuation) terhadap program pensiun tersebut. Aktuaris melakukan berbagai cara dalam penilaian pendanaan manfaat pasti dana pensiun. Salah satu cara dalam melakukan penilaian pendanaan adalah dengan menggunakan nilai aset atau kekayaan yang dimiliki dalam dana pensiun tersebut yaitu dengan memperbarui nilai pasar saat ini dari aset yang digunakan. Metode aktuaria dirancang untuk menentukan besarnya manfaat yang sistematis yang akan memberikan tingkat kontribusi yang stabil. Pada akhirnya nilai aset aktuaria yang merupakan rata-rata dari nilai pasar aset selama jangka pendek digunakan untuk mengurangi ketidakstabilan ketika menentukan besarnya kontribusi. Berdasarkan survey yang sudah dilakukan para praktisi aktuaria nilai pasar aset aktuaria yang dihaluskan umumnya digunakan dalam penilaian pendanaan dalam dana pensiun manfaat pasti. Terdapat tiga metode pemulusan yang digunakan dalam menentukan nilai aset aktuaria yaitu average of market, deferred recognition dan write-up. Karya ilmiah ini membahas penghitungan dana yang dimiliki oleh suatu program pensiun dan menunjukkan ketiga metode tersebut ekuivalen berdasarkan pemulusan eksponensial dan aritmatika. Rujukan utama dari karya ilmiah ini adalah jurnal karangan Owadally dan Haberman (2004) yang berjudul The Treatment of Assets in Pension Funding.
2 Tujuan Penelitian Tujuan dari penulisan karya ilmiah ini adalah sebagai berikut: 1 Mempelajari metode pemulusan yang umumnya digunakan dalam menentukan nilai aset aktuaria. 2 Menentukan nilai aset aktuaria berdasarkan pemulusan eksponensial dan aritmatika. 3 Membandingkan metode pemulusan eksponensial dengan metode pemulusan aritmatika dalam menentukan nilai aset aktuaria. 4 Menunjukkan bahwa tiga metode dalam penentuan nilai aset aktuaria ekuivalen berdasarkan pemulusan eksponensial dan aritmatika.
TINJAUAN PUSTAKA Program Pensiun Manfaat Pasti Program pensiun manfaat pasti adalah program pensiun yang penentuan besarnya manfaat pensiun yang akan diperoleh setelah memasuki usia pensiun normal sudah ditentukan di awal. Penetapan besarnya manfaat pensiun ini akan digunakan sebagai patokan untuk penghitungan besarnya kontribusi yang harus dibayarkan setiap periodenya. Dalam melakukan penghitungan aktuaria terdapat beberapa asumsi aktuaria salah satunya adalah tingkat bunga. Tingkat bunga yang digunakan pada program pensiun manfaat pasti adalah tingkat bunga pengembalian investasi (i), tingkat bunga yang dikenakan atas kewajiban pensiun (iL), dan tingkat bunga pengembalian investasi aktual (i’). Asumsi tingkat bunga pengembalian investasi merupakan asumsi tingkat bunga yang digunakan untuk menentukan besarnya imbalan pengembalian atas aset program pensiun. Besar kecilnya tingkat pengembalian investasi ini berbanding lurus dengan besar kecilnya hasil investasi yang diperoleh dari aset yang dimiliki. Asumsi tingkat bunga kewajiban dari dana pensiun merupakan tingkat bunga yang diberikan atas dasar penentuan nilai sekarang dari manfaat pensiun yang dijanjikan. Besarnya tingkat bunga ini biasanya ditentukan dari perkiraan awal aktuaris yang didasarkan pada faktor tingkat bunga yang dikenakan atas aset bebas risiko, obligasi yang dikeluarkan pemerintah atau sesuai peraturan pemerintah pada suatu negara tertentu (Dufresne 1988). Asumsi tingkat bunga aktual (i’) merupakan tingkat bunga yang diperoleh dari investasi aset secara aktual yang diketahui di akhir periode tertentu. Semua tingkat bunga yang digunakan dinyatakan dalam persentase.
Nilai Sekarang Aktuaria Nilai Sekarang Aktuaria atas Manfaat Pensiun Masa Depan Nilai sekarang dari pembayaran manfaat pensiun di masa depan disebut juga Actuarial Present Value of Future Benefit (APVFB). APVFB merupakan sekumpulan pembayaran manfaat pensiun di masa yang akan datang yang
3 ditafsirkan di masa sekarang. Secara matematis nilai APVFB bagi seseorang yang berumur y adalah: ̈. dengan ̈
: manfaat pensiun (benefit) usia pensiun normal. : anuitas diskrit di awal periode seumur hidup yang dibayarkan dimulai usia pensiun z. : probabilitas seseorang berusia y tetap bertahan hidup sampai usia pensiun z. : tingkat diskonto dengan merupakan tingkat bunga untuk kewajiban pensiun. (Winklevoss 1993)
Nilai Sekarang Aktuaria atas Iuran Pensiun Nilai sekarang dari pembayaran iuran peserta pensiun disebut juga Actuarial Present Value of Future Normal Contribution (APVFNC). APVFNC merupakan sekumpulan pembayaran iuran peserta yang ditafsirkan di masa sekarang. Secara matematis nilai APVFNC bagi seseorang yang berumur y adalah ∑ dengan
.
= normal contribution pada waktu t. (Winklevoss 1993)
Metode Penghitungan Aktuaria Entry Age Normal Entry Age Normal merupakan salah satu metode penghitungan aktuaria dengan pembayaran manfaat pensiun pada saat usia pensiun normal. Metode ini menentukan iuran normal yang akan dibayarkan setiap peserta yang berpedoman awal dari besarnya manfaat pensiun. Pandangan ini didasarkan pada beberapa faktor antara lain: gaji peserta di masa yang akan datang, gaji terakhir peserta sebelum masa pensiun, atau gaji rata-rata dari peserta selama masa kerja atau masa pembayaran iuran (Owadally dan Haberman 1999). Ketentuan lain pada entry age normal yaitu iuran normal dibayarkan dari peserta mulai bekerja, bukan saat peserta mulai mengikuti program pensiun. Selain itu, besarnya iuran normal bisa tetap setiap periodenya atau dapat ditentukan dari persentasi gaji peserta (Owadally dan Haberman 1999).
4
HASIL DAN PEMBAHASAN Model Sederhana Program Pensiun Manfaat Pasti Benefit (B) Benefit merupakan jumlah total manfaat yang wajib dibayarkan oleh perusahaan asuransi atau pihak penanggung untuk setiap periodenya. Nilai dari benefit ini merupakan penjumlahan atas manfaat pensiun bagi semua peserta yang mengikuti asuransi pensiun bagi semua peserta yang mengikuti asuransi pensiun pada periode tertentu. Besarnya benefit ditentukan di awal secara pasti dan diketahui nilainya karena akan digunakan sebagai acuan untuk menghitung berbagai penghitungan aktuaria pada program pensiun manfaat pasti. Normal Contribution (NC) Iuran normal (Normal Contribution) merupakan besarnya iuran yang dibayarkan oleh setiap peserta asuransi pensiun selama peserta mengikuti program ini mulai dari usia awal y sampai usia pensiun z. Pada metode entry age normal nilai iuran normal ini konstan dan diperoleh melalui persamaan berikut: ̈ ̈
.
(1)
dengan ̈
: anuitas hidup diskrit di awal periode berjangka waktu
tahun
yang dibayarkan mulai dari usia masuk kerja y (Bowers et al. 1997). Nilai ini diperoleh dari aturan nilai sekarang dari pembayaran iuran normal secara berkala harus sama dengan nilai sekarang dari pembayaran manfaat seseorang berumur y, sehingga persamaannya yaitu: . Dari persamaan tersebut dapat ditunjukkan bahwa persamaan untuk menentukan iuran normal sebagai berikut: ∑ ̈ ∑ ̈ ̈ ∑ ̈ ̈
.
Actuarial Liability (AL) Actuarial Liability merupakan kewajiban aktuaria (cadangan manfaat) dalam menjamin suatu kewajiban manfaat pensiun. Actuarial liability dihitung dengan menggunakan actuarial present value of future benefit (APVFB) saat usia
5 x dikurangi dengan actuarial present value of future normal contribution (APVFNC) pada saat usia x. Persamaan untuk menghitung actuarial liability saat orang berumur x adalah sebagai berikut: ̈
̈
.
(2)
Bukti diperolehnya rumus tersebut yaitu: Untuk usia pensiun ∑ ̈
∑ ̈
̈ ̈ ̈
̈
( ̈
) ̈
.
Jika penghitungan dilakukan secara agregat (keseluruhan) dan besarnya NC, B, dan konstan sepanjang waktu, maka besarnya actuarial liability juga dapat dinyatakan dalam persamaan berikut: .
(3)
Bukti: Misalkan iuran normal diterima di awal tahun t dan benefit juga dibayarkan, maka setiap tahunnya akan mendapatkan bunga atas kewajiban pensiun. Kondisi ini menyebabkan perubahan actuarial liability dalam setahun karena penerimaan iuran normal dan pembayaran manfaat, sehingga pada waktu t berlaku:
Karena konstan, sehingga berlaku:
konstan, maka
,
dan
juga
. Unfunded Liability (UL) Unfunded Liability pada waktu adalah selisih antara nilai actuarial liability pada waktu t dengan aset aktual yang dimiliki program pensiun pada periode tersebut. Persamaan untuk unfunded liability jika nilai aset aktuaria berdasarkan metode pemulusan digunakan adalah sebagai berikut: (4)
6 Nilai unfunded liability juga dapat digunakan untuk menentukan kecukupan dana pensiun yang tersedia untuk pembayaran manfaat pensiun ke depan. Artinya jika nilai unfunded liability bernilai positif maka terjadi kekurangan pada pendanaan pensiun tersebut. ) Supplementary Contribution ( Supplementary Contribution merupakan kontribusi tambahan yang dibayarkan oleh peserta pensiun untuk menutupi kerugian yang terjadi karena adanya perbedaan tingkat bunga aktuaria dengan tingkat bunga investasi. Kontribusi tambahan merupakan fraksi dari besarnya unfunded liability (Dufresne 1988). Persamaan untuk supplementary contribution didefinisikan sebagai berikut: ( ) . (5) ̈ ̅̅̅̅
dengan ̈ ̅̅̅̅ : anuitas hidup diskrit diawal selama m tahun (Bowers et al. 1997) Contribution (C) Contribution merupakan iuran rutin yang dibayarkan dari peserta program pensiun. Nilai kontribusi ini diperoleh dari besarnya normal cost (NC) ditambah dengan supplementary contribution yang nilainya juga dapat berubah setiap waktu t. Besarnya kontribusi yang diberikan ketika menggunakan nilai pasar aset yang dihaluskan adalah sebagai berikut: (
) (Dufresne 1988)
Aset Pensiun Aset pensiun pada saat merupakan nilai total aset yang dimiliki pada suatu program pensiun pada saat . Aset ini terdiri dari total pembayaran iuran seluruh peserta, pengurangan atas pembayaran manfaat pensiun dan termasuk hasil pengembangan investasi dari aset tersebut. Secara matematis dirumuskan sebagai berikut: Persamaan untuk nilai pasar aset atas asumsi aktuaria didefinisikan sebagai berikut: . (7) Persamaan untuk nilai pasar aset didefinisikan sebagai berikut: .
(8)
Persamaan untuk nilai pasar aset yang dihaluskan didefinisikan sebagai berikut: .
(9)
Persamaan untuk nilai pasar aset yang dihaluskan atas asumsi aktuaria didefinisikan sebagai berikut: .
(10)
7 ) akan dibahas dalam karya ilmiah ini Nilai pasar aset yang dihaluskan ( berdasarkan pemulusan eksponensial dan aritmatika Operator Write-up (W) Operator write-up didefinisikan sebagai berikut : .
(11)
dengan : merupakan present value dari dana pensiun pada waktu t yang ditulis dengan operator write-up. : arus kas keluar pada saat t – 1. Dari persamaan (7) dapat ditentukan bahwa merupakan besarnya benefit dikurangi dengan contribution pada saat dengan suku bunga asumsi aktuaria (i). Operator write-up selama waktu j(
) didefinisikan sebagai berikut: ∑
.
(12)
Bukti dapat dilihat pada Lampiran 1. Loss Kerugaian (Loss) terjadi karena adanya penyimpangan antara asumsi aktuaria dengan kejadian yang sebenarnya (Aitken 1994). Jika loss bernilai positif artinya telah terjadi kerugian dalam pendanaan program pensiun tersebut. Kerugian aset pada waktu t dinotasikan sebagai berikut: –
.
(13)
dari persamaan (7) maka kerugian pada saat t dapat dinotasikan sebagai berikut: .
(14)
Kerugian aset berdasarkan nilai pasar aset aktuaria pada saat t dinotasikan sebagai berikut: . (15) dari persamaan (10) maka kerugian berdasarkan nilai pasar aset aktuaria pada saat t dapat dinotasikan sebagai berikut: .
(16)
Penulisan persamaan (11) jika dituliskan dalam operator write-up akan menjadi : .
(17)
8 Bukti : Dari persamaan (13) diperoleh:
. Kerugian pada saat t – j dapat didefinisikan sebagai selisih antara nilai aset dengan operator write-up pada selang (t – j – 1, t – j) yang didefinisikan sebagai berikut: (
)
.
(18)
Bukti persamaan (18) dapat dilihat pada Lampiran 2. ) Pemulusan Eksponensial ( Pemulusan eksponensial (exponential smoothing) dalam nilai pasar didefinisikan sebagai berikut : ∑
.
(19)
dengan E : operator pemulusan eksponensial. : parameter pemulusan eksponensial dimana 0 ≤ ˂ 1. : nilai aktuaria dari aset rencana pensiun pada saat t berdasarkan pemulusan eksponensial, dalam jangka panjang bobot dari yaitu ∑ =1 Bukti : ∑ = …
= 1. ) Pemulusan Aritmatika( Metode pemulusan aritmatika mengakui bahwa kerugian/keuntungan (bersama dengan suku bunga) terjadi secara bertahap selama suatu interval bergerak, biasanya selama lima tahun. Pemulusan aritmatika (arithmetic smoothing) dalam nilai pasar aset didefinisikan sebagai berikut: ∑
.
: operator pemulusan aritmatika dengan periode n.
(20)
9 Metode Nilai Aset Aktuaria yang Dihaluskan Dalam penentuan nilai aset aktuaria, terdapat tiga metode pemulusan yang sering digunakan dalam menentukan nilai aset aktuaria yaitu Average of Market, Deferred Recognition (Adjusted Market) dan Write-up. Dalam bab ini akan ditunjukkan bahwa ketiga metode tersebut ekuivalen baik secara eksponensial maupun aritmatika. Average of Market Permulaan nilai aset dikembangkan sebagai rata-rata dari nilai pasar saat ini dan nilai pasar yang disesuaikan dari satu atau lebih dari tahun sebelumnya. Untuk masing-masing nilai pasar yang disesuaikan dikembangkan dengan menyesuaikan nilai pasar pada tahun tersebut ke waktu penilaian dengan menambahkan kontribusi, dikurangi pembayaran manfaat, dan penyesuaian lainnya dengan halhal tertentu dari pengalaman investasi (CRSR 2001). Metode average of market dapat melibatkan pemulusan aritmatika dan pemulusan eksponensial. Dengan menggunakan pemulusan aritmatika biasa disebut juga dengan moving average of market yang didefinisikan sebagai berikut: ∑
∑
.
(21)
Metode ini setara dengan persamaan pemulusan aritmatika yang didefinisikan dalam persamaan (20). Bukti dapat dilihat pada Lampiran 3. Metode ini juga dapat didefinisikan dengan menggunakan pemulusan eksponensial sebagai berikut : ∑
∑
.
(22)
Akan ditunjukkan bahwa metode average of market dengan pemulusan eksponensial pada persamaan (22) identik dengan yang didefinisikan pada persamaan (19). Bukti dapat dilihat pada Lampiran 4. Deferred Recognition or Adjusted Market Menurut Committee on Retirement Systems Research (2001), metode lainnya yang umumnya digunakan dalam menentukan nilai aset aktuaria adalah deferred recognition. Dalam metode ini permulaan nilai aset dikembangkan dengan mengurangi atau menambahkan bagian dari keuntungan atau kerugian dari nilai pasar saat ini. Metode ini juga dapat didefinisikan dengan menggunakan pemulusan aritmatika dan pemulusan eksponensial. Pemulusan eksponensial dalam metode ini didefinisikan sebagai berikut: ∑
.
(23)
10 Metode ini juga setara dengan pemulusan eksponensial yang didefinisikan pada persamaan (19) dan setara dengan metode average of market berdasarkan pemulusan eksponensial yang didefinisikan pada persamaan (22). Bukti dapat dilihat pada Lampiran 5 dan Lampiran 6. Metode ini dikenal juga sebagai metode adjusted market jika nilai aktuaria dari aset yang direncanakan diambil menjadi nilai pasar saat ini bersama dengan penyesuaian yang sama dengan fraksi dari selisih antara future value dari nilai aktuaria tahun sebelumnya dengan nilai pasar saat ini, sehingga metode ini dapat didefinisikan juga sebagai berikut: (
).
(24)
dengan merupakan present value dari nilai aktuaria pada saat t. Metode ini setara dengan pemulusan eksponensial yang didefinisikan pada persamaan (19). Bukti bahwa metode adjusted market ini ekuivalen dengan pada persamaan (19) adalah sebagai berikut: ( ) Berdasarkan pemulusan eksponensial nilai ∑
didefinisikan sebagai berikut:
∑ . Pendefinisian lain dari metode ini adalah berdasarkan pemulusan aritmatika. Pemulusan aritmatika dari metode ini didefinisikan sebagai berikut: ∑ yang ekuivalen dengan pemulusan aritmatika ( Bukti dapat dilihat pada Lampiran 7.
.
(25)
)pada persamaan (20).
Write-up with Adjustment Dalam metode ini permulaan nilai aset dikembangkan dengan mengedepankan nilai aset aktuaria tahun sebelumnya, menambahkan kontribusi, mengurangi pembayaran manfaat (dan pembayaran yang mungkin) dan meningkatkan hasil tersebut dengan pendapatan yang diasumsikan. Nilai aset awal ini dapat diberikan penyesuaian-penyesuaian tertentu lainnya untuk mengembangkan nilai aset akhir. Penyesuain tersebut mungkin termasuk penyesuaian parsial terhadap nilai pasar saat ini (CRSR 2001). Dalam pemulusan eksponensial metode ini di definsikan sebagai berikut : .
(26)
11 dengan merupakan present value dari nilai aset aktuaria dari tahun sebelumnya berdasarkan pemulusan eksponensial (permulaan nilai aset dari definisi CRSR 2001). ) yang Metode ini ekuivalen dengan metode pemulusan eksponensial ( didefinisikan pada persamaan (19) dan ekuivalen dengan kedua metode lainnya yang dijelaskan sebelumnya. Bukti : Dari persamaan (26) dapat diperoleh: ( )
( ). Terbukti bahwa metode ini setara dengan metode deferred recognition (adjusted market) dengan pemulusan eksponensial pada persamaan (24). Karena metode deferred recognititon setara dengan metode average of market berdasarkan pemulusan eksponensial maka dapat disimpulkan bahwa ketiga metode ini ekuivalen berdasarkan pemulusan eksponensial. Penggunaan pemulusan aritmatika dengan metode ini didefinisikan sebagai berikut : ∑ . (27) dengan present value dari nilai aset aktuaria dari tahun sebelumnya (CRSR 2001). Pemulusan aritmatika dalam metode ini juga setara dengan definisi pemulusan aritmatika pada persamaan (20) dan ekuivalen dengan setiap metode yang telah dibahas di atas. Bukti : Dari persamaan (27) diperoleh: ∑ ∑ ∑
∑ ∑
∑
∑ . Sehingga terbukti bahwa metode ini juga ekuivalen dengan pemulusan aritmatika dan metode-metode lainnya dengan pemulusan aritmatika. Berdasarkan pembuktian dari setiap metode diatas, terbukti bahwa ketiga metode yaitu average of market, deferred recognititon, dan write-up masing) dan pemulusan aritmatik masing setara dengan pemulusan eksponensial ( ( ).
12
SIMULASI Dalam karya ilmiah ini juga ditunjukkan secara numerik bahwa setiap metode ekuivalen baik dengan menggunakan pemulusan eksponensial maupun pemulusan aritmatika. Sebelum melakukan perbandingan setiap metode perlu ditentukan nilai aset pada saat awal dan diperlukan beberapa asumsi untuk menentukan nilai aset tersebut. Asumsi-asumsi tersebut digunakan untuk menyederhanakan kasus dan memudahkan penghitungan. Asumsi-asumsi yang digunakan berdasarkan asumsi aktuaria yang ditentukan sebagai berikut: 1. Tingkat mortalitas diasumsikan seperti pada English Life Table (Males) Nomor 16.1 2000-2002. 2. Populasi peserta pensiun diasumsikan stasioner (besarnya populasi dan distribusi usia dalam populasi tetap konstan dari tahun ke tahun) dan semua peserta mulai bekerja pada usia 25 tahun dan usia pensiun normal 56 tahun. 3. Gaji peserta sebesar 1 satuan dan mengalami kenaikan yang sama setiap tahun sebesar 2%. 4. Manfaat pensiun diberikan dengan proporsi 2/3 dari gaji terakhir. 5. Tidak terjadi inflasi, aset menghasilkan tingkat investasi aktual i’ yang menyebar bebas identik dengan nilai harapan sama dengan tingkat pengembalian investasi dan simpangan baku dan tingkat bunga atas kewajiban pensiun . 6. Initial Unfunded Liability diasumsikan sama dengan nol, sehingga nilai ) sama dengan actuarial liability. fund awal ( 7. Semua penghitungan variabel merupakan proporsi terhadap benefit . Berdasarkan asumsi yang telah diberikan di atas maka besarnya gaji terakhir yang akan diperoleh di usia 55 tahun sebagai berikut: Karena manfaat pensiun yang akan diperoleh sebesar 2/3 dari gaji terakhir maka total manfaat pensiun yang dibayarkan setiap tahunnya adalah: ∑ . Besarnya iuran normal (normal contribution) dapat dihitung dengan menggunakan persamaan (1) ̈ ̈
∑ ̈
̈
∑ ̈
̈ (
)
. Karena penghitungan menggunakan proporsi terhadap benefit (B) maka besarnya NC yang digunakan dalam penghitungan yaitu:
13
. Dari persamaan (2) besarnya kewajiban aktuaria (actuarial liability) setiap tahunnya yaitu:
. sehingga proporsi AL terhadap B setiap tahunnya sebesar: .
Penentuan Nilai Pasar Aset dan Nilai Aset Aktuaria Berdasarkan Pemulusan Eksponensial Menurut Owadally dan Haberman (2000) besarnya nilai m pada kontribusi tambahan yang efisien adalah sebesar 1 – 5 tahun dengan nilai maka dalam karya ilmiah ini dipilih nilai m = 5 dan . Dengan m = 5 diperoleh nilai k = 0.22395887. Diasumsikan juga untuk , , , , dan . Nilai aset pada waktu t dapat ditentukan melalui tahapan berikut: 1. Untuk tahun ke-0 Nilai aset pada waktu dihitung dengan terlebih dahulu mengasumsikan bahwa dan sehingga dengan menggunakan persamaan (4) diperoleh:
. berdasarkan asumsi yang diberikan, nilai aset aktuaria berdasarkan pemulusan eksponensial pada saat adalah 14.49380479, sehingga besarnya kontribusi tambahan dan kontribusi yang diberikan pada saat dapat dihitung dengan menggunakan persamaan (5) dan persamaan (6) yaitu:
. 2. Untuk tahun ke-1 Nilai pasar aset pada waktu persamaan (8)
dapat ditentukan dengan menggunakan
36454. Nilai aset dengan asumsi aktuaria yang tidak dihaluskan dapat ditentukan mengunakan persamaan (7) yaitu:
14
Kemudian besarnya kerugian pada saat t dapat ditentukan menggunakan persamaan (14) yaitu: . Penentuan nilai sekarang dari nilai pasar aset saat t adalah sebagai berikut: Berdasarkan persamaan (10) maka diperoleh hasil sebagai berikut: Untuk
untuk
Untuk
. untuk
. Untuk dapat ditentukan dengan cara yang sama berdasarkan persamaan (12). Hasil penghitungan dapat dilihat pada Tabel 1 dan Tabel 2. Nilai aset aktuaria berdasarkan pemulusan eksponensial pada saat dapat dihitung menggunakan persamaan (19) yaitu: (
)
. Dengan menggunakan persamaan (6) besarnya kontribusi pada saat ( )
yaitu:
. Nilai aset dengan asumsi aktuaria berdasarkan nilai pasar aset yang dimuluskan menggunakan pemulusan eksponensial dapat ditentukan dengan menggunakan persamaan (16) yaitu: . Sehingga besarnya kerugian yang dihaluskan dapat ditentukan berdasarkan persamaan (16) yaitu: . 3. Untuk tahun ke-2 Nilai aset saat
.
dihitung menggunakan persamaan (8) yaitu:
15 Nilai aset dengan asumsi aktuaria yang tidak dihaluskan dapat ditentukan mengunakan persamaan (7) yaitu: . Kemudian besarnya kerugian pada saat t dapat ditentukan menggunakan persamaan (14) yaitu: . Penentuan nilai sekarang dari nilai pasar aset saat t untuk sebagai berikut: Berdasarkan persamaan (10) maka diperoleh hasil sebagai berikut: Untuk
adalah
. Untuk
. Untuk
. Untuk dapat ditentukan dengan cara yang sama berdasarkan persamaan (12). Hasil penghitungan dapat dilihat pada Tabel 1 dan 2. Nilai aset aktuaria berdasarkan pemulusan eksponensial pada saat dapat dihitung menggunakan persamaan (19) yaitu: ( ) ( ) . Berdasarkan persamaan (6) besarnya kontribusi pada saat yaitu:
. Nilai aset berdasarkan asumsi aktuaria berdasarkan nilai pasar aset yang dimuluskan menggunakan pemulusan eksponensial dapat ditentukan dengan menggunakan persamaan (16) yaitu: . Sehingga besarnya kerugian yang dihaluskan dapat ditentukan berdasarkan persamaan (16) yaitu: . Untuk besarnya kontribusi, nilai aset, dan kerugian dapat ditentukan dengan langkah yang sama. Hasil penghitungan dengan menggunakan Microsoft Excel 2010 dapat dilihat pada Tabel 3 dan Tabel 4.
16 Tabel 1 Hasil penghitungan nilai sekarang dari nilai aset berdasarkan operator write-up pada saat t untuk t = 1 sampai t = 5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Tabel 2
14.494 14.494 14.494 14.494 14.494 14.494 14.494 14.494 14.494 14.494 14.494
14.511 14.494 14.494 14.494 14.494 14.494 14.494 14.494 14.494 14.494 14.494
14.502 14.509 14.491 14.490 14.490 14.490 14.490 14.490 14.490 14.490 14.490
14.503 14.500 14.508 14.489 14.488 14.488 14.488 14.488 14.488 14.488 14.488
14.511 14.502 14.499 14.507 14.486 14.486 14.486 14.486 14.486 14.486 14.486
Hasil penghitungan nilai sekarang dari nilai aset berdasarkan operator write-up pada saat untuk sampai
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
14.522 14.508 14.498 14.495 14.504 14.482 14.481 14.481 14.481 14.481 14.481
14.496 14.518 14.503 14.493 14.490 14.499 14.476 14.475 14.475 14.475 14.475
14.472 14.495 14.518 14.502 14.491 14.488 14.497 14.473 14.472 14.472 14.472
14.479 14.475 14.499 14.523 14.507 14.495 14.491 14.501 14.476 14.475 14.475
14.408 14.482 14.477 14.503 14.528 14.511 14.498 14.495 14.505 14.478 14.477
Tabel 3 Ilustrasi hasil penghitungan pendanaan pensiun manfaat pasti dengan t 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0.055 0.060 0.061 0.059 0.060 0.061 0.061 0.058 0.058 0.060 0.055
0.180 0.180 0.180 0.180 0.180 0.180 0.180 0.180 0.180 0.180 0.180
14.494 14.494 14.494 14.494 14.494 14.494 14.494 14.494 14.494 14.494 14.494
0.180 0.179 0.176 0.178 0.178 0.176 0.174 0.179 0.184 0.183 0.199
14.494 14.494 14.511 14.501 14.503 14.510 14.521 14.495 14.472 14.480 14.409
14.494 14.494 14.494 14.508 14.500 14.501 14.507 14.516 14.495 14.476 14.482
0.000 -0.001 -0.017 0.007 -0.003 -0.009 -0.014 0.021 0.023 -0.004 0.073
17 Tabel 4 Ilustrasi hasil penghitungan pendanaan pensiun manfaat pasti berdasarkan pemulusan eksponensial dengan t 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0.055 0.060 0.061 0.059 0.060 0.061 0.061 0.058 0.058 0.060 0.055
0.180 0.180 0.180 0.180 0.180 0.180 0.180 0.180 0.180 0.180 0.180
14.494 14.494 14.494 14.494 14.494 14.494 14.494 14.494 14.494 14.494 14.494
0.180 0.179 0.176 0.178 0.178 0.176 0.174 0.179 0.184 0.183 0.199
14.494 14.494 14.508 14.502 14.502 14.508 14.518 14.498 14.477 14.480 14.424
14.494 14.494 14.494 14.505 14.501 14.501 14.505 14.513 14.498 14.481 14.483
0.000 0.000 -0.014 0.003 -0.002 -0.008 -0.012 0.014 0.021 0.001 0.059
14.52 14.50
f(t)
14.48 14.46 14.44 14.42 Variable Ak tual Smooth
14.40 0
1
2
3
4
5 t
6
7
8
9
10
Gambar 1 Perbandingan nilai pasar aset aktual dengan nilai pasar aset aktuaria berdasarkan pemulusan eksponensial Pada Tabel 3 dapat dilihat bahwa nilai pasar aset mengalami peningkatan dari tahun pertama ke tahun kedua, kemudian mengalami penurunan pada tahun ke-3 dan mengalami peningkatan kembali pada tahun ke-4 sampai tahun ke-6, kemudian mengalami penurunan kembali dari tahun ke-7 sampai tahun ke-10. Peningkatan dan penurunan nilai aset tersebut dikarenakan adanya perubahan suku bunga setiap tahunnya. Penggunaan metode pemulusan dalam menghitung nilai aset aktuaria bertujuan agar nilai aset aktuaria tersebut tidak memiliki perbedaan yang signifikan dengan nilai pasar aset dari program pendanaan pensiun tersebut. Dari ) tidak terlalu Tabel 4 dan Gambar 1 dapat dilihat bahwa nilai aset aktuaria (
18 ), hal ini menunjukkan bahwa penghitungan berbeda dengan nilai pasar aset ( nilai aset aktuaria berdasarkan pemulusan eksponensial mampu mendekati nilai pasar aset yang sebenarnya. Perubahan kerugian maupun keuntungan juga terjadi dalam penghitungan ini, pada Tabel 3 Dapat dilihat kerugian berdasarkan nilai ) lebih besar dibandingkan kerugian yang terjadi berdasarkan nilai pasar aset ( ) pada Tabel 4. aset aktuaria ( Keuntungan terjadi pada tahun ke-3, tahun ke-7, tahun ke-8, dan tahun ke10 sebesar 0.007, 0.021, 0.0023, dan 0.073, sedangkan kerugian terjadi di tahun ke-3, tahun ke-7, tahun ke-8, dan tahun ke-10 sebesar 0.007, 0.021, 0.023, dan 0.073 (Tabel 3). Penghitungan nilai aset aktuaria dengan metode ini juga menimbulkan kerugian maupun keuntungan. Kerugian maupun keuntungan yang tejadi tidak jauh berbeda dengan keuntungan maupun kerugian dengan menggunakan nilai aset aktualnya, hal ini menunjukkan bahwa metode pemulusan eksponensial ini mampu mendekati kerugian yang sebenarnya.
Penghitungan Setiap Metode dalam Menentukan Nilai Aset Aktuaria Berdasarkan Pemulusan Eksponensial 1. Metode Average of Market Nilai aset aktuaria berdasarkan metode ini dengan pemulusan eksponensial dapat ditentukan menggunakan persamaan (22) yaitu sebagai berikut: Untuk . Untuk ( ) (
( (
)
(
)
) )
(
) (
)
. Untuk (
) (
( (
)
(
)
) )
(
) (
)
. Untuk dapat dihitung dengan cara yang serupa berdasarkan persamaan (22). Dengan menggunakan lembar kerja Microsoft Excel 2010 maka diperoleh hasil penghitungan pada Tabel 5.
19 2. Metode Deferred Recognition ( Adjusted Market ) Nilai aset aktuaria berdasarkan metode ini dapat dihitung dengan menggunakan persamaan (23) yaitu sebagai berikut: Untuk Untuk ((
)
)
)
)
. Untuk ((
. Nilai aset aktuaria berdasarkan metode ini untuk dapat ditentukan dengan cara yang sama dengan menggunakan persamaan (23). Dengan menggunakan lembar kerja Microsoft Excel 2010 diperoleh hasil penghitungan pada Tabel 5. 3. Metode Write-Up with Adjusment Nilai aset aktuaria berdasarkan metode ini dapat dihitung dengan menggunakan persamaan (26), yaitu sebagai berikut: Untuk . Untuk (
) .
Untuk (
)
. Nilai aset aktuaria berdasarkan metode ini untuk dapat ditentukan dengan cara yang sama dengan menggunakan persamaan (26). Dengan menggunakan Microsoft Excel 2010 diperoleh penghitungan pada Tabel 5.
20 Tabel 5 Hasil penghitungan nilai aset aktuaria dalam tiga metode pemulusan berdasarkan pemulusan eksponensial Average Of Market 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
14.49380479 14.49425230 14.50791187 14.50189426 14.50214791 14.50835522 14.51776801 14.49845515 14.47725700 14.48025443 14.42387381
14.49380479 14.49425206 14.50791163 14.50189402 14.50214767 14.50835499 14.51776777 14.49845491 14.47725677 14.48025420 14.42387358
Deferred Recognition 14.49380479 14.49425259 14.50791217 14.50189456 14.50214820 14.50835552 14.51776831 14.49845544 14.47725730 14.48025473 14.42387411
Write-Up With Adjustment 14.49380479 14.49425259 14.50791217 14.50189456 14.50214820 14.50835552 14.51776831 14.49845544 14.47725730 14.48025473 14.42387411
Menurut Owadally dan Haberman (2004) ketiga metode dalam penghitungan nilai aset aktuaria adalah ekuivalen. Pada Tabel 5 dapat dilihat ) sebagai kontrol. bahwa ketiga metode tersebut ekuivalen dengan nilai ( Dapat dilihat bahwa tidak terjadi perbedaan yang signifikan antara setiap metode ), sehingga dapat disimpulkan bahwa ketiga metode tersebut dengan nilai ( ekuivalen berdasarkan pemulusan eksponensial dengan nilai ragam pada yang sama yaitu sebesar 0.00064287.
Penentuan Nilai Pasar Aset dan Nilai Aset Aktuaria Berdasarkan Pemulusan Aritmatika Nilai aset pada waktu t dapat ditentukan melalui tahapan berikut, asumsi untuk , , , . 1. Untuk tahun ke-0 Nilai aset pada waktu dihitung dengan terlebih mengasumsikan bahwa dan sehingga menggunakan persamaan (6) diperoleh:
dengan , dan
dahulu dengan
berdasarkan asumsi yang diberikan, nilai aset aktuaria berdasarkan pemulusan eksponensial pada saat adalah 14.49380479, sehingga besarnya kontribusi yang diberikan pada saat dapat dihitung dengan menggunakan persamaan (4) yaitu:
21 2. Untuk tahun ke-1 Nilai pasar aset pada waktu persamaan (8)
dapat ditentukan dengan menggunakan
36454 Nilai aset dengan asumsi aktuaria yang tidak dihaluskan dapat ditentukan mengunakan persamaan (7) yaitu: . Kemudian besarnya kerugian pada saat t dapat ditentukan menggunakan persamaan (14) yaitu: . Penentuan nilai sekarang dari nilai pasar aset saat t untuk sebagai berikut: Berdasarkan persamaan (12) diperoleh hasil perhitungan sebagai berikut: Untuk =
adalah
.
Untuk
. untuk
. Untuk dapat ditentukan dengan cara yang sama berdasarkan persamaan (12). Hasil penghitungan dapat dilihat pada Tabel 1 dan 2. Nilai aset aktuaria berdasarkan pemulusan aritmatika pada saat dapat dihitung menggunakan persamaan (20) yaitu:
. Berdasarkan persamaan (6) besarnya kontribusi pada saat
yaitu:
. Nilai aset dengan asumsi aktuaria berdasarkan nilai pasar aset yang dimuluskan menggunakan pemulusan aritmatika dapat ditentukan dengan menggunakan persamaan (16) yaitu: .
22 Sehingga besarnya kerugian yang dihaluskan dapat ditentukan berdasarkan persamaan (16) yaitu: . 3. Untuk tahun ke-2 Nilai aset saat
dihitung menggunakan persamaan (8) yaitu:
. Nilai aset berdasarkan asumsi aktuaria yang tidak dihaluskan dapat ditentukan mengunakan persamaan (7) yaitu: . Kemudian besarnya kerugian pada saat t dapat ditentukan menggunakan persamaan (14) yaitu: . Penentuan nilai sekarang dari nilai pasar aset saat t untuk sebagai berikut: Berdasarkan persamaan (12) maka diperoleh hasil sebagai berikut: Untuk
adalah
. Untuk
. untuk
. Untuk dapat ditentukan dengan cara yang sama berdasarkan persamaan (12). Hasil penghitungan dapat dilihat pada Tabel 1 dan 2. Nilai aset aktuaria berdasarkan pemulusan aritmatika pada saat dapat dihitung menggunakan persamaan (20) yaitu:
.
Berdasarkan persamaan (6) besarnya kontribusi pada saat ( ) .
yaitu:
23 Nilai aset dengan asumsi aktuaria berdasarkan nilai pasar aset yang dimuluskan menggunakan pemulusan aritmatika dapat ditentukan dengan menggunakan persamaan (16) yaitu: . Sehingga besarnya kerugian yang dihaluskan dapat ditentukan berdasarkan persamaan (16) yaitu: . Untuk besarnya kontribusi, nilai aset, dan kerugian dapat ditentukan dengan langkah yang sama. Hasil penghitungan dengan menggunakan Microsoft Excel 2010 dapat dilihat pada Tabel 8 dan Tabel 9. Tabel 6 Hasil penghitungan nilai sekarang dari nilai aset berdasarkan operator write-up pada saat untuk sampai 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
14.494 14.494 14.494 14.494 14.494 14.494 14.494 14.494 14.494 14.494 14.494
14.511 14.494 14.494 14.494 14.494 14.494 14.494 14.494 14.494 14.494 14.494
14.501 14.508 14.490 14.489 14.489 14.489 14.489 14.489 14.489 14.489 14.489
14.503 14.500 14.507 14.488 14.487 14.487 14.487 14.487 14.487 14.487 14.487
14.510 14.501 14.498 14.506 14.486 14.485 14.485 14.485 14.485 14.485 14.485
Tabel 7 Hasil penghitungan nilai sekarang dari nilai aset berdasarkan operator sampai write-up pada saat untuk 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
14.521 14.507 14.497 14.495 14.503 14.481 14.481 14.481 14.481 14.481 14.481
14.495 14.516 14.502 14.491 14.488 14.497 14.474 14.473 14.473 14.473 14.473
14.472 14.495 14.517 14.502 14.491 14.488 14.497 14.473 14.472 14.472 14.472
14.480 14.476 14.500 14.524 14.508 14.496 14.492 14.502 14.477 14.476 14.476
14.409 14.482 14.478 14.504 14.529 14.512 14.499 14.496 14.506 14.479 14.478
24 Tabel 8 Ilustrasi hasil penghitungan pendanaan pensiun manfaat pasti berdasarkan pemulusan aritmatika dengan t 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0.055 0.060 0.061 0.059 0.060 0.061 0.061 0.058 0.058 0.060 0.055
0.180 0.180 0.180 0.180 0.180 0.180 0.180 0.180 0.180 0.180 0.180
14.494 14.494 14.494 14.494 14.494 14.494 14.494 14.494 14.494 14.494 14.494
0.180 0.179 0.176 0.178 0.178 0.176 0.174 0.179 0.184 0.183 0.199
14.494 14.494 14.497 14.496 14.497 14.500 14.505 14.498 14.495 14.497 14.480
14.494 14.494 14.494 14.493 14.494 14.495 14.497 14.499 14.498 14.501 14.501
0.000 0.000 -0.004 -0.002 -0.003 -0.005 -0.008 0.000 0.003 0.003 0.021
14.52 14.50
f(t)
14.48 14.46 14.44 14.42
Variable Aktual Smooth
14.40 0
1
2
3
4
5 t
6
7
8
9
10
Gambar 2 Perbandingan nilai aset aktual dengan nilai aset aktuaria berdasarkan pemulusan aritmatika Selain menggunakan pemulusan eksponensial, nilai aset aktuaria dapat ditentukan dengan menggunakan pemulusan aritmatika. Dengan menggunakan nilai pasar pada Tabel 3, dapat dilihat bahwa penentuan nilai aset aktuaria berdasarkan pemulusan eksponensial (Tabel 8) tidak mampu mendekati nilai aset aktualnya (Gambar 2). Pada Tabel 8 dapat dilihat besarnya nilai aset aktuaria ) . Nilai aset aktuaria berdasarkan berdasarkan pemulusan aritmatika ( pemulusan aritmatika memiliki perbedaan yang cukup signifikan dengan nilai aset aktualnya (Gambar 2). Pada tahun pertama sampai tahun ke-7 perbedaan yang terjadi tidak terlalu besar, namun pada tahun ke-8 sampai tahun ke-10 perbedaan yang terjadi cukup besar (Gambar 2). Hal ini menunjukkan bahwa penghitungan
25 nilai aset aktuaria berdasarkan pemulusan eksponensial lebih baik dibandingkan berdasarkan pemulusan aritmatika. Perubahan keuntungan maupun kerugian juga terjadi dalam program dana pensiun ini. Keutungan terjadi pada tahun ke-1,tahun ke-2, tahun ke-4, tahun ke-5, tahun ke-6 dan tahun ke-9, sedangkan kerugian terjadi pada tahun ke-3, ke-7, tahun ke-8 dan tahun ke-10 yaitu sebesar 0.007, 0.021, 0.023, dan 0.073 (Tabel 3). Dengan menggunakan pemulusan aritmatika (Tabel 8) keuntungan maupun kerugian pun terjadi, namun besarnya jauh berbeda dengan besarnya keuntungan maupun kerugian berdasarkan nilai pasar aset ( ) pada Tabel 3. Hal ini menunjukkan penentuan nilai aset aktuaria berdasarkan pemulusan aritmatika tidak mampu mendekati besarnya kerugian maupun keuntungan pada peogram pensiun tersebut.
Penghitungan Setiap Metode dalam Menentukan Nilai Aset Aktuaria Berdasarkan Pemulusan Aritmatika 1. Metode Average of Market Nilai aset aktuaria berdasarkan metode ini dengan pemulusan eksponensial dapat ditentukan menggunakan persamaan (16) yaitu sebagai berikut: Untuk . Untuk
( ) . Untuk
( ) . Untuk dapat dihitung dengan cara yang serupa berdasarkan persamaan (17). Dengan menggunakan lembar kerja Microsoft Excel 2010 maka diperoleh hasil penghitungan pada Tabel 10.
2. Metode Deferred Recognition ( Adjusted Market ) Nilai aset aktuaria berdasarkan metode ini dapat dihitung dengan menggunakan persamaan (20) yaitu sebagai berikut:
26 Untuk . Untuk
. Untuk
. Nilai aset aktuaria berdasarkan metode ini untuk dapat ditentukan dengan cara yang sama dengan menggunakan persamaan (20). Dengan menggunakan lembar kerja Microsoft Excel 2010 diperoleh hasil penghitungan pada Tabel 10. 3. Metode Write – Up with Adjustment Nilai aset aktuaria berdasarkan metode ini dapat dihitung dengan menggunakan persamaan (22), yaitu sebagai berikut: Untuk . Untuk (
)
. Untuk ( ( (
) )
(
) )
. Nilai aset aktuaria berdasarkan metode ini untuk dapat ditentukan dengan cara yang sama dengan menggunakan persamaan (22). Dengan menggunakan Microsoft Excel 2010 diperoleh penghitungan pada Tabel 10.
27 Tabel 9 Hasil penghitungan nilai aset aktuaria dalam tiga metode pemulusan berdasarkan pemulusan aritmatika
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
14.49380479 14.49391674 14.49732690 14.49571664 14.49708124 14.50026078 14.50464172 14.49843351 14.49533334 14.49742430 14.48040513
14.49380479 14.49391674 14.49732690 14.49571664 14.49708124 14.50026078 14.50464172 14.49843351 14.49533334 14.49742430 14.48040513
14.49380479 14.49391674 14.49732690 14.49571664 14.49708124 14.50026078 14.50464172 14.49843351 14.49533334 14.49742430 14.48040513
14.49380479 14.49391674 14.49732690 14.49571664 14.49708124 14.50024523 14.50416708 14.49862850 14.49526041 14.49716550 14.48002992
Menurut Owadally dan Haberman (2004) metode penentuan nilai aset ). Pada Tabel aktuaria juga ekuivalen berdasarkan pemulusan aritmatika ( 10 dapat dilihat bahwa hasil penghitungan nilai aset aktuaria dari ketiga metode tidak memiliki perbedaan yang signifikan dengan hasil penghitungan sebagai pembanding dengan nilai ragam yang sama dari ketiga metode tersebut adalah 0.00036. Sehingga dapat disimpulkan bahwa ketiga metode tersebut juga ekuivalen berdasarkan pemulusan aritmatika.
SIMPULAN DAN SARAN Simpulan Dalam karya ilmiah ini telah dilakukan penghitungan nilai aset yang dimiliki oleh suatu program pensiun berdasarkan pemulusan eksponensial dengan parameter λ=0.2 serta berdasarkan pemulusan aritmatika dengan n = 5 tahun. Berdasarkan penghitungan yang telah dilakukan dihasilkan nilai aset aktuaria dengan metode pemulusan eksponensial mampu mendekati nilai aset aktualnya dibandingkan dengan nilai aset aktuaria dengan metode pemulusan aritmatika. Hal ini menunjukkan bahwa penentuan nilai aset aktuaria dengan menggunakan pemulusan aritmatika dalam suatu program pensiun lebih baik dibandingkan dengan pemulusan aritmatika. Penentuan nilai aset aktuaria dengan menggunakan ketiga metode yang umumnya digunakan oleh praktisi aktuaria sudah dilakukan. Hasil penghitungan menunjukkan bahwa ketiga metode tersebut ekuivalen baik secara eksponensial dengan ragam yang sama yaitu sebesar 0.00064 maupun secara aritmatika dengan ragam sebesar 0.00036
28 Saran Model pendanaan program pensiun masih dapat dibahas lebih lanjut terutama ketika kerugian tidak hanya disebabkan oleh perbedaan asumsi tingkat bunga aktuaria dengan tingkat bunga yang sebenarnya. Namun disebabkan oleh perbedaan dari asumsi aktuaria lainnya. Model ini belum cocok jika digunakan di Indonesia, karena tabel mortalitas yang digunakan adalah tabel mortalitas penduduk di Inggris. Penelitian lebih lanjut dapat dilakukan dengan menggunakan tabel mortalitas penduduk Indonesia.
DAFTAR PUSTAKA Aitken WH. 1994. Pension Funding and Valuation. Winsted (CT): Actex Publications. Bowers NL, Gerber HU, Hickman JC, Jones DA, dan Nesbitt CJ. 1997. Actuarial Mathematics Hasca III, Second Edition. Schaumburg (IL): The Society of Actuaries. [CRSR] Committee on Retirement Systems Research. 2001. Survey of asset valuation methods for defined benefit pension plans. Pension Forum. 13(1):149. Schaumburg (IL): The Society of Actuaries. Dufresne D. 1988. Moments of pension contributions and fund levels when rates of return are random. Journal of The Institute of Actuaries. 115:535-544. Owadally MI, Haberman S. 1999. Pension fund dynamics and gains/losses due to random rates of investment return. North American Actuarial Journal. 3(3):105-117. Owadally MI, Haberman S. 2000. Asset valuation and the dynamics of pension funding with random investment returns. Actuarial Research Paper. 131. Owadally MI, Haberman S. 2004. The treatment of assets in pension funding. Astin Buletin, 34:425-433. Undang-Undang Republik Indonesia Nomor 11 Pasal 1 Tahun 1992 Tentang Dana Pensiun. Winklevoss HE. 1993. Pension Mathematics with Numerical Illustrations, Second Edition. Philadelphia (PA): University of Pennsylvania Press.
Lampiran 1 Pembuktian present value dari dana pensiun pada saat t dengan operator write-up Akan dibuktikan : Bukti : Untuk sampai waktu
Untuk
sampai waktu
untuk
sampai waktu
∑
.
29
30
30
. . . sehingga untuk waktu
sampai waktu diperoleh . . . ... ... ...
∑
.
. . .
. . .
31 Lampiran 2 Pembuktian besarnya kerugian pada waktu write-up
dengan operator
Akan dibuktikan: ( ). Dengan mensubstitusi persamaan (12) ke dalam persamaan (18) maka di peroleh : ∑ ∑ ∑ ∑ (
) (
)
(
)
(
) .
Lampiran 3 Pembuktian nilai aset aktuaria dalam metode average of market ekuivalen dengan persamaan pemulusan aritmatika Akan dibuktikan: ∑ [
∑
(
∑
)]
∑
.
Bukti : Dari persamaan (20) diperoleh: ∑ [ ] Dengan mensubstitusi persamaan (10) maka diperoleh : ∑ ( ∑ [ ∑ Dengan cara rekursif akan dibuktikan: ∑ ∑ = ∑ Bukti : Untuk ∑ ∑ ∑ ∑
Untuk ∑ ∑
∑
∑
)]
∑
∑
( (
) )
32 Untuk ∑ ∑
∑
∑
(
(
) )
( Untuk ∑ ∑
∑
)
∑
( ) . . . dst sehingga ∑
∑
∑
sehingga
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
Lampiran 4 Pembuktian nilai aset aktuaria dalam metode average of market dengan pemulusan eksponensial setara dengan persamaan pemulusan eksponensial Akan dibuktikan: ∑ . Bukti: Dari persamaan (19) diperoleh: ∑
∑
Dengan mensubstitusi persamaan (10) maka diperoleh : ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑
∑
∑
∑
33 ∑
∑ ∑ ∑
∑
. Lampiran 5 Pembuktian nilai aset aktuaria dalam metode deferred recognition berdasarkan pemulusan eksponensial setara dengan pemulusan eksponensial Akan dibuktikan: ∑ Bukti: Dengan mensubstitusi persamaan (18) terhadap persamaan (23) maka didapat: ∑ ∑ ∑ ∑
∑
∑
∑
∑
∑ ∑
∑ ∑ .
Lampiran 6 Pembuktian nilai aset aktuaria dengna metode deferred recognition berdasarkan pemulusan eksponensial ekuivalen dengan metode average of market berdasarkan pemulusann eksponensial. Akan dibuktikan: ∑ ∑
∑
Bukti: Dengan mensubstitusi persamaan (18) maka diperoleh : ∑ ( ) = ∑
.
34 ∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑ ∑
∑ Dari Lampiran 5 maka diperoleh: ∑
∑ ∑
.
Lampiran 7 Pembuktian nilai aset aktuaria dalam metode deferred recognition dengan pemulusan aritmatika setara dengan pemulusan aritmatika Akan dibuktikan: ∑ Bukti: Dengan mensubstitusi persamaan (18) maka: ∑ ∑ ∑ ∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
[
∑ ∑ ∑
]
∑ ∑ ∑ ∑ ∑
∑
35 Lampiran 8 English Life Table No. 16.1 Males
25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55
98517 98436 98353 98268 98181 98091 97997 97900 97798 97693 97582 97466 97344 97215 97080 96936 96783 96619 96441 96247 96034 95799 95538 95249 94933 94587 94212 93808 93374 92906 92395
0.00082 0.00084 0.00086 0.00089 0.00092 0.00095 0.00099 0.00104 0.00108 0.00113 0.00119 0.00125 0.00132 0.00140 0.00148 0.00158 0.00170 0.00184 0.00201 0.00221 0.00245 0.00273 0.00302 0.00333 0.00364 0.00396 0.00429 0.00462 0.00502 0.00549 0.00607
56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86
91835 91214 90523 89754 88904 87969 86946 85834 84631 83328 81915 80379 78708 76889 74905 72743 70391 67850 65125 62224 59162 55957 52630 49207 45701 42127 38503 34852 31204 27594 24080
0.00675 0.00758 0.00849 0.00947 0.01052 0.01162 0.01279 0.01402 0.01540 0.01696 0.01875 0.02079 0.02312 0.02579 0.02886 0.03233 0.03610 0.04017 0.04454 0.04921 0.05418 0.05945 0.06504 0.07125 0.07821 0.08603 0.09481 0.10468 0.11570 0.12734 0.13943
87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109
20722 17575 14683 12078 9777 7773 6055 4607 3412 2451 1705 1149 750 474 289 168 93 49 25 12 5 2 1
0.15187 0.16458 0.17744 0.19051 0.20492 0.22108 0.23917 0.25940 0.28171 0.30413 0.32605 0.34721 0.36807 0.38966 0.41995 0.44469 0.47032 0.49681 0.52415 0.55230 0.58121 0.61084 0.64114
36
RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Jakarta pada tanggal 4 Desember 1990 dari ayah Bosman Sitohang dan ibu Mutiara Silalahi. Penulis adalah putri pertama dari lima bersaudara. Tahun 2009 penulis lulus dari SMA Negeri 59 Jakarta dan pada tahun yang sama penulis lulus seleksi masuk Institut Pertanian Bogor (IPB) melalui jalur Ujian Talenta Masuk IPB (UTMI) dan diterima di Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Selama perkuliahaan penulis juga mengikuti organisasi yang dibentuk oleh mahasiswa matematika yaitu gugus mahasiswa matematika (Gumatika) periode 2011-2012 dan tahun 2012-12013 menjabat sebagai anggota Divisi Komunikasi Dan Informasi, mengikuti kepanitian Masa Perkenalan Kampus Mahasiswa Baru (MPKMB 47), kegiatan lainnya yaitu mengikuti Indonesia Leadership Camp di UI, dan Leadership and Entrepreneurship School (LES) serta menjadi pengajar Landasan Matematika, Pengantar Matematika, Kalkulus di Gumatika dan KATALIS. Selain itu penulis juga aktif sebagai anggota dari komisi kesenian Persatuan Mahasiswa Kristen (PMK). Prestasi yang pernah diperoleh sebagai mahasiswa yaitu menjuarai kompetisi olahraga bidang catur putri dan memperoleh medali emas ditingkat departemen dan fakultas. Prestasi lainnya adalah penulis merupakan penerima beasiswa Bank Indonesia (BI).
.
37
38
